Математические модели и методы анализа траекторий заряженных частиц в системах со скрещенными электрическими и магнитными полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Розов, Александр Станиславович

• Розов, Александр Станиславович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Розов, Александр Станиславович

Содержание

Введение

Глава 1. Общее уравнение движения заряда в скрещенных электрических и магнитных. Структура программного обеспечения

1.1 Основное уравнение математической модели

1.2 Программный комплекс 01ГШг для расчёта траекторий заряженных частиц в скрещенных полях

Выводы

Глава 2 Аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд

2.1 Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях, для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд

2.2 Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона

Выводы

Глава 3. Моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке

3.1 Модель движения заряда в заряженном цилиндрическом пучке

3.2 Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном магнитном поле

3.3 Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке в неоднородном и нестационарном магнитном поле

Выводы

Глава 4. Математическое моделирование поведения ларморовой орбиты электрона в ВЧ поле при отсутствии статического электрического поля

4.1 Ларморова орбита электрона при переменной магнитной индукции в плоском случае

4.2 Ларморова орбита электрона при переменной магнитной индукции в радиальном случае

4.3 Закритический режим магнетрона в условиях переменного магнитного поля

Выводы

Глава 5. Математическое моделирование процесса генерирования в скрещенных полях за счёт влияния переменной магнитной индукции

5.1 Условие параметрической генерации в скрещенных и переменных во времени электрическом и магнитном полях в плоском случае

5.2 Учёт вихревых электрических полей при параметрической генерации в скрещенных полях

Выводы

Глава 6 Выбор начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа

6.1 Постановка задачи

6.2 Способ задания начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа

Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы анализа траекторий заряженных частиц в системах со скрещенными электрическими и магнитными полями»

Введение

Актуальность работы. Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных поля определяют многие физические явления имеющие как в природных условиях (например в магнитных поясах планет), так и в ряде технических устройств (ускорителях элементарных частиц, генераторах и усилителях магнетронного типа и др.). Соответственно возникает необходимость анализа и расчёта траекторий зарядов в соответствующих областях науки и техники: астрофизике, радиофизике, СВЧ электронике др.

Экспериментальные методы дают некоторые усреднённые характеристики электронных потоков: плотность зарядов, скорость и тд. В связи с этим значительный интерес вызывает применение методов «математического моделирования», позволяющих рассчитывать «индивидуальные» траектории зарядов в общем потоке.

Аналитическим и численным методам анализа движения заряженных частиц в скрещенных полях посвящены работы многих отечественных и зарубежных учёных: П.Л.Капицы [23], G.P. Kooyers[63], J. Buneman[63], L. Brullien[61], J. Feinstein[55] Рошаль [49], E.B. Нечаев[26], Л.А. Вайнштейн[12], Д.И. Трубецков[52], Г.Г.Моносов[27], А.Г.Шеин, А.А.Терентьев[51], Е.М. Ильин[24]. Анализ хаотических траекторий зарядов проводился в работах:Р.З. Сагдеева, Т.М. Заславского[16 - 20], C.B. Поршнева[28], В.Б. Байбурина[6 - 11] и др.

Вместе с этим ряд задач в данной области остаётся мало исследованным. В частности, не изучено влияние на траектории зарядов в скрещенных полях

переменной во времени магнитной индукции, которая, как правило, до этого принималась стационарной. Кроме того, представляет значительный интерес определение условий реализации гипотезы П.Л. Капицы о возможности генерирования высокочастотных колебаний в скрещенных полях без подачи статического электрического поля, а также получение аналитических решений уравнений движения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд генераторов магнетронного типа, до сих пор аналитические решения в режиме больших амплитуд были получены дрейфовым способом (адиабатическое приближение).

Указанное определило актуальность данной работы, область исследований, её цели и задачи.

Область и объект исследований:

• Областью исследования является математическое моделирование физических процессов в системах со скрещенными электрическими и магнитными полями переменными в пространстве и времени.

• Объектом исследования являются электронные траектории в характерных электронных образованиях имеющих место в ряде технических устройств

Целью диссертационной работы является создание комплекса математических моделей и программ анализа и расчёта регулярных и хаотических траекторий зарядов в скрещенных полях с учётом переменной составляющей магнитной индукции, включая режим параметрического генерирования.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

• Развитие математических моделей анализа заряженных частиц в скрещенных полях в присутствии переменных магнитных полей и выбор эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения.

• Разработка программного комплекса для решения уравнений движения заряда в скрещенных полях в условиях переменных во времени и пространстве электрических и магнитных полей и его применение. При исследовании поведения заряда в типичных системах электрическими и магнитными полями.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

• Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием, соответствием полученных данных численного эксперимента и полученных аналитических решений.

• Соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в приборах М - типа.

Научная новизна работы (соответствует пунктам 1 - 5 паспорта специальности 05.13.18)

• Для многорезонаторного магнетрона впервые получены аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд, которые количественно согласуются с результатами расчетов, полученными на основе численных моделей крупных частиц, а также аналитические выражения для оценки уровня шумов согласующиеся с экспериментальными данными.

• Развита трёхмерная математическая модель движения зарядов в протяжённом цилиндрическом электронном пучке, отличающаяся учётом пространственного заряда и неоднородного вдоль радиуса и переменного во времени магнитного поля, позволяющая учесть хаотические и регулярные траектории в пучке. Показано, что в случае цилиндрического электронного пучка определяющим фактором появления хаотических траекторий является учёт нестационарного магнитного поля, что подтверждается спектром Фурье и значением показателя Ляпунова.

• Исследовано поведение ларморовой орбиты в высокочастотном поле (без статического электрического поля) и показано, что при стационарной

магнитной индукции существенное значения имеет соотношение частот высокочастотного поля сое и циклотронной частоты £2. При равенстве этих частот траектория имеет вид разворачивающейся «архимедовой» спирали, что свидетельствует о поглощении энергии ВЧ поля зарядом. Во всех остальных случаях траектории остаются замкнутыми, что указывает на стационарный энергообмен. При учёте нестационарной магнитной индукции (с переменной во времени составляющей) и при равенстве частоты ВЧ поля и циклотронной частоты постоянной составляющей магнитного поля имеет место отдача энергии заряда ВЧ полю. Показано, что при наличии статического электрического поля и знакопеременной магнитной индукции все электроны достигают анода с ростом циклотронного радиуса.

• Определены условия генерации в скрещенных полях без применения статического электрического поля, заключающиеся в параметрическом изменении во времени переменной составляющей магнитного поля с частотой равной циклотронной частоте постоянной составляющей магнитного поля и частоте высокочастотного поля. Получены оценки выходных характеристик генератора.

• Предложен способ задания начального приближения в каждом внутреннем узле при итерационном решении уравнения Лапласа, как результата решения одномерных трёхдиагональных уравнений по вертикалям, горизонталям и диагоналям пересекающимся в соответствующем узле.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

• Предложены математические модели и комплекс проблемно -ориентированных программ на их основе, которые позволяют исследовать электронные траектории в характерных типах электронных потоков различных технических устройств (ускорители, ЛБВ, магнетроны) в зависимости от вида переменных электрических и магнитных полей.

• В цилиндрическом электронном пучке с фокусирующим магнитным полем и ускоряющем электрическим полем решающем фактором определяющем хаотичность траекторий зарядов, вне зависимости от учёта поля пространственного заряда, является воздействие переменной составляющей магнитного поля.

• От соотношения частот циклотронной частоты (соответствующей постоянной магнитной индукции), частоты высокочастотного поля, частоты переменной составляющей магнитной индукции зависит вид энергообмена заряженной частицы с высокочастотным полем. При этом частица либо отдаёт энергию полю, либо забирает энергию поля, либо энергообмен носит постоянный характер.

• Использование физически обоснованных допущений (например близость анодного напряжения к синхронному) позволяющего получить в аналитическом виде выражения для координат циклотронной траектории в режиме больших амплитуд многорезонаторного магнетрона.

• Предложен способ параметрического генерирования в пространстве взаимодействия между коаксиальными цилиндрами без статического электрического поля, заключающийся в воздействии переменной составляющей магнитного поля. Приведены соотношения для расчёта рабочих выходных характеристик генератора.

• Предложен выбор начального приближения при численном решении уравнения Лапласа, которое существенно сокращает число итераций при получении итогового решения.

Научная и практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

• Научная значимость заключается в том, что полученные в работе математические модели позволяют исследовать новые физические явления в системах со скрещенными полями, связанные в первую очередь с воздействием

переменной составляющей магнитной индукции на электронные траектории, определяющие хаотические и регулярные режимы работы технических устройств.

• Практическая значимость работы заключается в том, что выявлен новый тип параметрической генерации колебаний в скрещенных полях обусловленный наличием переменной составляющей магнитной индукции с частотой равной частоте высокочастотного поля (на новый способ генерации подана заявка на патент). Предложенный комплекс программ имеет удобный интерфейс позволяющий визуализировать электронные траектории, в том числе в трёхмерном пространстве, а также в диалоговом режиме оперативно менять действующие геометрические и электродинамические параметры, (получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ).

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2012.» (Саратов, 2012), Международная научно-практическая конференция «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности» (ЛЭРЭП-6-2012 (Саратов, 2012), ЮТ 2012 (Saratov 2012), The 6th Chaotic Modeling & Simulation International Conference CHAOS-2013 (Istambul 2013), на международной конференции Crimean Conference "Microwave & Telecomunication Tehnology (CriMiCO) (Sevastopol 2013), на всероссийской конференции «Проблемы СВЧ электроники» (Москва 2013), на 11- ой международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов 2014) на семинарах IEEE Saratov - Penza chapter (Saratov 2013), материалы диссертации использовались автором на всероссийском конкурсе У.М.Н.И.К. - 2013 конкурс выигран, занято четвёртое место.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 29 работах (14 статьях и трудах 6 конференций), на разработанный программный комплекс получены свидетельства о регистрации программы для ЭВМ, также получен патент на полезную модель.

Авторский вклад Постановка задач исследования и обсуждение их результатов производилась совместно с научным руководителем, изложенные в диссертационной работе математические модели, программные расчёты и публикация результатов производилась автором самостоятельно.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе записаны уравнения движения зарядов в скрещенных полях в общем случае. Изложена суть применённых в работе методик анализа. В дальнейшем в главе описана общая численная схема для решения уравнений движения в скрашенных полях, описано разработанное программное обеспечение, которое используется в работе.

Вторая глава посвящена исследованию траекторий в многорезонаторном магнетроне в режиме больших амплитуд. Изложен метод решения уравнений движения позволяющий учесть циклоидальность траектории электрона в магнетроне. Получены выражения для определения времени пролёта электрона в зависимости от фазы высокочастотного поля, использующуюся в аналитической модели электрона.

Третья глава посвящена моделированию траекторий зарядов в цилиндрическом пучке с учётом влияния пространственного заряда и переменного во времени магнитного поля. В начале главы дано определение системы уравнений движения зарядов в скрещенных полях в трёхмерном случае.

В дальнейшем показано влияние различных видов зависимости магнитной индукции: неоднородной в пространстве, неоднородной в пространстве и нестационарной во времени.

Четвёртая глава посвящена математическому моделированию поведения ларморовой орбиты электрона в ВЧ поля в отсутствии статического электрического поля. В начале главы исследован случай двух коаксиальных цилиндров, исследованы траектории для этого случая. В дальнейшем проведены

подобные исследования для плоского случая. Рассмотрены различные условия энергообмена заряда с высокочастотным полем.

Пятая глава посвящена определению условий генерации ВЧ колебаний в скрещенных полях в отсутствии статического электрического поля. В главе показана возможность генерации в цилиндрическом и плоском случае, для каждого случая определены выходные характеристики генерации: наведённый ВЧ потенциал, наведённая ВЧ мощность и др.

В шестой главе предложен способ задания начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа.

В заключении приводятся результаты проведенных исследований.

Глава 1. Общее уравнение движения заряда в скрещенных электрических и магнитных. Структура программного обеспечения

Записаны в векторной и скалярной форме уравнения движения заряда в скрещенных полях в общем случае зависящие от координат и времени. Изложена суть применённого в работе метода анализа электронных траекторий в различных задачах.

1.1 Основное уравнение математической модели

Все рассматриваемые в работе математические модели траекторий заряженных частиц базируются на общем уравнении движения зарядов в скрещенных полях:

IIV

т^ = е(Е + [УВ]), (1.1)

где е - заряд частицы, т - масса частицы, V - вектор скорости, Е,В - векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции соответственно, в

общем случае нелинейно зависящие от координат и времени. При решении уравнения (1.1) имеет смысл разложить векторные величины на составляющие, тогда уравнение (1.1) сведётся к системе трёх дифференциальных скалярных уравнений второго порядка:

х = г]Ех + г](В2у - Вуг),

у = У]Еу + г\{Вх± — В2х) , (1.2)

г = г\Ег + (Вух - Вху)

где Т] = ~ - удельный заряд частицы, Ех, Еу, Е2 - компоненты вектора

напряжённости, Вх, Ву, В2 - компоненты вектора магнитной индукции.

Система уравнений (1.2) может быть точно решена для случая постоянных электрических и магнитных полей [14].

Суть предложенного в работе метода заключается в последовательном учёте тех или иных составляющих действующих электрических полей и магнитной индукции, в зависимости от поставленных задач. Например, при учёте влияния изменения магнитной индукции в начале рассматривалось влияние постоянной составляющей (В0), затем вводилась составляющая связанная с неоднородностью магнитной индукции в пространстве, а затем составляющей связанной с изменением магнитной индукции во времени. Как показано в дальнейшем, это дало возможность выявить появление хаотических траекторий в заряженных пучках, обнаружить различные виды энергообмена между заряженной частицей и полем, а также рассмотреть возможность параметрического генерирования.

Для численного решения системы уравнений вида (1.2), приведём её к виду Коши:

¿ = К , (1.2)

х = т]Ех + т](В2Уу - ВуУ2) У = -ПЕу + Г1{ВхУх-ВхуЛ

¿ = цЕг + Г}(ВуУх - ВхУу)

численное решение системы (1.2) проводилось численно методом Рунге - Кутта IV порядка точности, адаптированным применительно к каждой из решаемых задач[54]. Для расчета старшего показателя Ляпунова использовался алгоритм, предложенный в работе [1].

АГ-1 „

л = к=°к £ок, (1.3)

4=0

где К— общее число разбиений в алгоритме.

Спектр мощности Фурье определялся по алгоритму Кули - Тьюки[60] для вычисления быстрого преобразования Фурье.

N/2 (М-1)/2

2Я1

Z7.Hl

*гп</2 + е гп ^2п+1</п2. (1-4)

71=0 71=0

1.2 Программный комплекс для расчёта траекторий заряженных

частиц в скрещенных полях

В этом параграфе дано описание структуры разработанного в работе программного обеспечения.

Программный комплекс Diffur разработан на языке программирования С# 4.0 для платформы .Net Framework 4.0 (Mono 3.5 в версии для *nix систем), программный код реализует метод Рунге - Кутта[53] виде абстрактного класса от которого наследуются системы уравнений для каждого конкретного случая рассмотренного в работе: многорезонаторный магнетрон, заряженный цилиндрический пучок, система двух коаксиальных цилиндров, плоское пространство взаимодействия между двумя электродами и др. Общая схема работы комплекса представлена на рис. 1.1. Каждый класс наследник от абстрактного класса RungeKutta(l) реализует конкретную задачу; ниже на схеме показана очерёдность наследования от класса Eqmod(9), который реализует итерационный процесс, от него идут классы наследники для плоского и радиального пространства взаимодействия соответственно. В дальнейшем как видно из схемы данные передаются в класс Data_Visual(8) для представления в виде графиков, числовых значений и пр.

Рис 1.1 Схема работы комплекса Diffur

Класс Г/ЖЗу^ет (2) - описывает аналитические соотношения в многорезонаторных магнетронах.

Класс Шо 'гзеВегесИоп (3) - реализует методы определения шумов.

Класс Eq ¥ОКЗс1(4) - реализует методы по нахождению полей пространственного заряда и методы связанные с нахождением решения уравнения Лапласа и Пуассона.

Класс ЬагтогОгЪН (5) - описывает соотношения системе двух коаксиальных цилиндров.

Класс ЬогеШз (6) - описывает основные физические константы и соотношения используемые в расчётах.

Запись окончательных значений

наведённого тока, и 1д _|

Класс 5^31) (7) - реализует цилиндрический заряженный пучок.

Классы Р1апагСепегаЮг (10) и ЬагтогОгЬиСепетЮг (11)- реализуют расчёт выходных характеристик при генерации высокочастотных колебаний: наведённой высокочастотной мощности, тока анода, наведённого высокочастотного потенциала.

На рис 1.2 показана принципиальная схема работы класса Едтос!

Рис 1.2 работа класса Едтос/

Разработанный программный комплекс позволяет производить необходимые вычисления, для электронных траекторий в приборах М - типа и других сопутствующих областях физики, где имеют место нестационарные и неоднородные скрещенные электрические и магнитные поля.

Выводы

Записаны в векторном представлении, а затем в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений базовые уравнения движения заряда в скрещенных переменных во времени и пространстве электрических и магнитных полях.

Изложена методика последовательного учёта влияния параметров действующих полей на характер движения зарядов а, также использованные оценки нелинейной динамики (показатель Ляпунова, спектр мощности Фурье).

В качестве основного метода численного решения уравнений движения использован метод Рунге - Кутта IV порядка точности. Приведено описание структуры разработанного программного комплекса Diffur.

Глава 2 Аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме

больших амплитуд

Траектории движения заряженных частиц существу определяют характер физических процессов протекающих в различных приборах устройствах со скрещенными полями.

Уже в первых работах посвященных теории и практике многорезонаторных магнетронов [62] работающих в режимах больших амплитуд, были сформулированы уравнения движения для расчёта электронных траекторий в цилиндрической системе координат, однако, существенно нелинейный характер правых частей уравнений движения привёл к необходимости использования методов усреднения (расчёта так называемых адиабатических траекторий) впервые применённых П.Л. Капицей в 1952 г. Циклоидальный характер траекторий определялся лишь в простейших случаях статических полей [14,25], а в более сложных режимах только при применении численных методов [49].

В данной главе показан способ получения циклоидальных траекторий в режимах больших амплитуд за счёт получения независимых дифференциальных уравнений для каждой из координат заряженной частицы

2.1 Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях, для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд

Трудности получения аналитических решений при рассмотрении переменных полей привели к отказу от учёта циклоидальности и использованию адиабатических решений и приближений[13,14,52]. Вместе с тем развитие вычислительной техники дало возможность рассчитывать циклоидальные траектории в самых различных режимах, включая режимы больших амплитуд [30,31,32,33,36,37].Эти результаты не снижают роли аналитических решений необходимых как для более глубокого понимания протекающих процессов, так и для проверки вычислительных схем.

В данном параграфе получены приближенные аналитические решения для циклоидальных траекторий зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд и проведено сравнение их с данными численных решений.

Анализ проводился в приближении заданного поля применительно к схеме плоского многорезонаторного магнетрона изображённого на рис 2.1

х

Рис 2.1 Схематичное изображение плоского магнетрона

На схеме Е/ - синхронное высокочастотное поле движущейся со скоростью уо и имеющее частоту ш - частоту генерации, Е0 - постоянное поле, d — расстояние

катод-анод, I = - период резонаторной системы, N - число резонаторов, И -

ширина щели резонатора. Как видно на рисунке рассмотрение проводится для полуволнового магнетрона.

Система уравнений движения электрона в многорезонаторном магнетроне имеет вид[62]:

х = г\Ех + т]Ву,

(2.1)

у = т]Еу — г}Вх

действующие поля Ех и Еу определяются следующими соотношениями:

Ех = Е± 5ш(<у£ -(Зх + ф) еЪу ,Еу = Е0+ Ех соб^оуЬ - (Зх + ф) еЬу, (2.2)

где ф - фаза высокочастотного (ВЧ) поля. В анализе используются следующие допущения:

1) Релятивистские эффекты не учитываются. Волновое уравнение для пространства взаимодействия заменяется уравнением Лапласа.

2) Влияние всех пространственных гармоник высокочастотного поля резонаторной системы на электроны принимается малым, за исключением основной гармоники противофазного вида (я- вида).

Рассмотрение будем проводить в нормализованной системе координат:

У = ру

0 = <у/ (2.3)

X = Ш- Рх + ф

Система (2.1) в системе отсчёта двигающейся вместе с волной примет вид:

1 d2X dY _ Ex b d@2 d® ~ Еж 1 d2Y | dX = E0-EM | Er b d®2 d© E00 EM

Где Em = —^ - синхронное поле, Ex = ExeY cos X Ey = E,eY sin X ? b = ^ Проинтегрировав первое уравнение системы (2.3) ,получим:

— = bY+b[^-d® . (2.5)

d© J£oo

Используя выражение (2.5), второе уравнение системы (2.4) можно представить в виде:

1 d'Y ^ uv , ,fg/cos(X) ^_Е0-Е00^ E,eY sin(X)

+ ¿y+¿pe + gm^j (26)

A rf© J F F F

U U\J r.QQ -С,ад

Отбросив в системе (2.4) ускорительные члены и приняв Яр — Еро, получим:

е^Нй (2.7)

соотношение (2.7) выполняется для всего пространства взаимодействия Подставив эту зависимость в (2.6), получим:

А I

h d® ■> F h F E

и UKJ Cgo u oo oo

Продифференцировав (2.8) по безразмерному времени, будем иметь дифференциальное уравнение третьего порядка относительно У(0):

1 л? 7 ОУ Е.4е1г -1 л

—+—-= о

Ь2 с1& Ет

(2.9)

Будем считать, у/е2У -1 «еу, что справедливо для большей части пространства взаимодействия, тогда уравнение (2.9) сведётся к виду:

= о (2.10)

Ъ2 (1®ъ й® Еж

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2.10) имеет следующий вид:

+ —(« +1 + —) = 0 (2.11) Ъ2 ^оо 2'

Корни характеристического уравнения (2.11) равны:

= -Ь, а2 = 0.98+Ы, аъ = 0.98 - Ы, (2-12)

в итоге общее решение уравнения (2.10) имеет вид:

7(0) = С,еш + С, ехр(«20) соз(Ь0) + С3 ехр(а30) зт(60). (2.13)

Положим следующие начальные условия:

. (2.14)

а© а& Еоа

С учётом (2.6) для констант будем иметь:

С1=1,С2=0,С3=^, (2.15)

00

при заданных начальных условиях (2.15) решение уравнения (2.10) примет вид:

У(0) + ехр(-Х06) + зт(6©) —— , (2.16)

"^00 Дм

где - заданная координата точки вьшета электрона. Установив зависимость для

7(0) (2.16), найдём Х(&), подставим выражение - , найденное по

¿/0

соотношению (2.16), в первое уравнение системы (2.4), и получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно Х(0) :

-; * (2.17)

«0 £,т ь00 ь00

решение уравнения (2.17) имеет вид:

Х(&) = Х0-Е° ~Ет +Ае+АС05(ш) (2.18)

Ет Ет Ет

По соотношениям (2.16),(2.18) можно определить координаты электрона, то есть его траекторию в любой момент времени. На рис.2.2 тонкими линиями показаны циклоидальные траектории соответствующие соотношениям (2.16),(2.18) при различных начальных фазах ВЧ поля.

-Аналитическое решение

Часмнное обшвни«

20

15

10

5

0

2

я 4

2

X

Рис. 2.2 Циклоидальные траектории электронов, полученные на основе приближенных аналитических решений уравнений системы (2.4) и полученные на основе численного метода решения уравнений системы (2.4).

Траектории построены для установившегося рабочего режима, магнетрона ^50[13] при анодном напряжении на 10% превышающем синхронное и высокочастотном напряжении на ламелях, соответствующем 80% от постоянного напряжения. На этом же рисунке представлены траектории, полученные численным решением системы (2.4). Как видно на рис 2.2, численные и аналитические решения хорошо согласуются.

2.2 Определение время пролёта электрона на основе аналитических решений для вычисления шумовых характеристик магнетрона

В работах [49,68] на основе численных расчётов электронных траекторий полученных для в многорезонаторных магнетронов, проведены оценки шумов для подобных устройств, представлялось целесообразным для определения уровня шума использовать соотношения полученные в предыдущем параграфе, а также аналитическую модель магнетрона работы[11].

В работе[11] получено выражение для мощности, отдаваемой одиночным зарядом за время пролёта от катода к аноду в виде:

= ^ = (ад,,)

здесь:

г0 = иа/г]ВЧ И'" = еиа (2-21)

где *:пр - время пролёта электрона от катода к аноду, ]/Уп - потенциальная энергия электрона - кинетическая энергия электрона, иа - напряжение на аноде, г0-радиус катода, с1 - расстояние катод - анод.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Розов, Александр Станиславович, 2015 год

Литература

1. Анищенко В. С. Детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал. - 1997. - №7. - С. 70-76.

2. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. - Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

3. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. -М.: Наука, 1990.

4. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. - М.: Атомиздат, 1979.

5. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. - М.: Наука, 1978.

6. Байбурин В. Б. Трёхмерное решение задачи о потенциале электронных сгустков в скрещенных полях // Радиотехника и электроника. - 1984. - Т. 29, №4.-С. 751.

7. Байбурин В. Б., Терентьев А. А., Гаврилов М. В., Поваров А. Б. Трехмерные цилиндрические уравнения движения электронов в неоднородных скрещенных полях // Радиотехника и электроника. - 2000. - Т. 45, №4.

8. Байбурин В. Б., Терентьев А. А. и др. «Нулевой» ток в риборах М-типа и самоподдерживающие электронные сгустки // Письма в ЖТФ. - 1998. - Т. 24, № 12. - С. 57-62.

9. Байбурин В. Б., Терентьев А. А., Поваров А. Б., Гаврилов М. В., Ерёмин В. П. Численное трёхмерное моделирование приборов М-типа // Материалы междунар. науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Саратов. 1998. - Секция 1. - С. 50-53.

Ю.Байбурин В. Б., Собалев Г. Л. К анализу нелинейного режима плоского многорезонаторного электрона с учётом пространственного заряда // Радиотехника и электроника. - 1967. - №3.

П.Байбурин В.Б. Аналитическая модель магнетрона». Радиотехника и электроника том XXVIII М:1983 г. с. 318-325.

12.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - Издание переработанное под ред. Гроше Г.; Циглера В. / Пер. с немецкого. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

1 З.Бычков С.И. Вопросы теории и практического применения приборов магнетронного типа. /С.И. Бычков/. М.: Сов. радио 1967. 360 С

14.Вайнштейн J1. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, - М.: Советское радио, 1973.

15.Дыхне А. М., Снарский А. А., Женировский М. И. Устойчивость и хаос в двумерных случайно-неоднородных средах и LC-цепочках // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 174, №8. - С. 887-894.

16.3аславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. - М.: Наука, 1988.

17.3аславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. - М.: Наука, 1991. - 237 с.

18.3аславский Г. М., Моисеев С. С., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. Излучение захваченных частиц в магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. - 1986. - Т. 43, №1. - С. 18-21.

19.3аславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физических наук. - 1971. - Т. 105, №1. - С. 3-39.

20.3аславский Г. М., Натензон М. Я., Петровичев Б. А., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. // ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93. - С. 881.

21.Зеленский К. X., Игнатенко В. Н., Коц А. П. Компьютерные методы прикладной матаматики. - Киев.: Дизайн-В, 1999. - 352 с.

22.Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. - М.: Наука, Ф-МЛ, 1976. -238 с.

23.Капица П. JI. Электроника больших мощностей. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962.,- 196 с.

24.Кураев A.A. Байбурин В.Б. Ильин Е.М. «Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов» Минск «Наука и Тэхника» 1990 г.

25.Лебедев И.В. Техника и приборы сверхвысоких частот. Том 2 . - М Высшая школа 1972 - 376 с.

26. Нечаев Е.В. Об адиабатическом приближении при анализе работы приборов магнетронного типа. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1962.- Т.5.№5.-С.1035-1040.

27.Моносов Г.Г. Траектории электронов в приборах магнетронного типа. //Радиотехника и электроника.- 1962.- Т.VII. № 5.- С. 851-858.

28.Поршнев С. В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле // Журнал радиоэлектроники, №11,2000.

29.Поттер Д. Вычислительные методы в физике. - М.: Мир, 1975.

30.Розов A.C. Моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке при переменном магнитном поле. /A.C. Розов, В.Б. Байбурин// Радиотехника и электроника 2014 т.59 № 9 . с. 872-875

31.Розов A.C. Условие параметрической генерации в скрещенных и переменных во времени электрическом и магнитном полях /A.C. Розов, В.Б. Байбурин// «Радиотехника» №10 2014 г с. 19 - 21.

32.Розов A.C. Численное моделирование ларморовых орбит в поле / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Известия Волгоградского Государственного Технического Университета Серия Электроника и измерительная техника, радиотехника и связь выпуск 8. № 23(126) 2013 Волгоград 2013 с.7 - 10.

33.Розов A.C. Параметрический резонанс и генерация в плоском магнетроне / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2014. № 3 (76). С. 28-31.

34.Розов A.C. Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд / A.C. Розов, В.Б. Байбурин В.В. Муллин , // Вестник Саратовского Государственного Технического Университета Саратов 2012 Том: 1 Номер: 1 Год: 2012 с. 32 -36.

35.Розов A.C. Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях в условиях меняющегося пространство-взаимодействия и электрического поля / A.C. Розов, В.Б. Байбурин A.C. Ершов // Вестник Саратовского Государственного Технического Университета Саратов 2012 Том 3. Номер: 1 С. 47-49

36.Розов A.C. Моделирование и расчёт траекторий зарядов в неоднородном и нестационарном магнитном поле. / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского Государственного Технического Университета Саратов 2013. Т. 1. № 1 (69). С. 49-53.

37.Розов A.C. Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского Государственного Технического Университета Саратов 2012 №4 (68). с 68-72 .

38.Розов A.C. Закритический режим магнетрона в условиях переменного магнитного поля. / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2014. № 2 (75). С. 11-13.

39.Розов, A.C. Нелинейные режимы вакуумных дугогасительных камер (ВДК) в системах силовой электроники / A.C. Розов, В.Б. Байбурин В.В. Муллин // Международная научно-практическая конференция «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности» (ЛЭРЭП-6-2012) Саратов 2012 С. 216

40.Розов A.C. Расчёт траекторий зарядов в дуговом пучке ВДК / A.C. Розов, В.Б. Байбурин В.В. Муллин // Международная научно-практическая конференция «Логистика и экономика ресурсосбережения и

энергосбережения в промышленности» (ЛЭРЭП-6-2012) Саратов 2012 С. 215-216.

41.Розов A.C. Выбор начального приближения в итерационном методе решения уравнения Лапласа / A.C. Розов // Инновации и актуальные проблемы техники и технологий : материалы Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, г. Саратов, 26-29 окт. 2010 г.: в 2 т. / СГТУ. - Саратов, 2010.-Т. 1.-С. 287-288.

42-Розов, A.C. Энергообмен заряженных частиц в высокочастотном поле, в условиях неоднородного магнитного поля / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Scientific World Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте "2013 Секция г. Одесса, 17-26 декабря 2013 г. -Одесса, 2013. - Вып. 4, Т. 4 : Физика и математика. - С. 40-43.

43.Розов A.C. Выбор затравочного приближения при итерационном решении уравнения Лапласа / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского Государственного Технического Университета Саратов 2010 Том: 4 Номер: Зс с 56-58.

44.Розов A.C. Программа расчёта и анализа траекторий движения электронов в скрещенных электрических и магнитных полях №2014610588 дата регистрации 15.01.2014 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014

45.Розов A.C. Программа для решения уравнения Лапласа с возможностью выбора начального приближения №2014061587 дата регистрации 15.01.2014 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014

46.Розов A.C. Программа решения систем дифференциальных уравнений в частных производных для длинных линий № 2014610731 дата регистрации 16.01.2014 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014

47.Розов A.C. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Программа расчёта выходных характеристик генератора на основе Ларморовой орбиты» №2014662216 26.11.2014 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

48.Розов А.С Усилитель магнетронного типа / Патент на полезную модель Байбурин В.Б. Терентьев A.A., Ершов A.C., Розов A.C. Тертышник В.В.. № 142991, Заявка: 2013157250/07.

49.Рошаль A.C., Романов П.В. О статистическом моделировании стационарных режимов плоского магнетрона. //Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника,- 1970,- Т. XIII, №9,- С. 1092-1098.

50.Тамм И.Е. / Основы теории электричества М., Наука 1989 - 550 с.

51.Терентьев А. А., Ильин Е. М., Байбурин В. Б. Многопериодная численная модель усилителей М-типа с распределённой эмиссией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1986. - Т. 9, №10. - С. 72-79.

52.Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с. В 2 т. Т. 1

53.Турчак Л.А. // Численные методы - М. «Физматлит». 2003 - 226 с

54.Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах // Журнал технической физики. - 2004. - Т. 74, №11.- С. 38-46.

55.Фейнштейн Дж. Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями М Изд-во иностранной литературы, 1961

56.Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Research about the conditions of parametric generation in planar resonators (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958735, pp. 142-145.

57.Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Parametric resonance and high-frequency oscillations generation in crossed fields (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958734, pp. 139-142.

58.Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Electrons trajectories analysis in crossed constant electric field and variable magnetic field (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958736, pp. 146-149.

59.Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Larmor orbit reducing in crossed fields at parametric resonance (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958732, pp. 131-134.

60.Brigham, E. O. "The Fast Fourier Transform". New York: Prentice-Hall (2002).

61.Brillouin L. The Mathematics of Ultra-High Frequencies Radio. Brown University, 1943.

62.Collins G.B. Microwave magnetrons Massachusetts Institute of Technology Radiation Laboratory Series, no. 6., McGraw Hill New - York 1948, p 46.

63.Kooyers G.P. Yu S.P. and Buneman, J. Appl. Phys. 36,2550 (1965).

64.Rozov, A.S., Baiburin, V.B. The analysis of the charge trajectories in the inhomogeneous and time-dependent magnetic field (2013) CriMiCo 2013 - 2013 23rd International Crimean Conference Microwave and Telecommunication Technology, Conference Proceedings, art. no. 6652776, pp. 175-176.

65.Rozov A.S. Simulation of charge trajectories in a cylindrical beam in the presence of variable magnetic field Journal of communication technology and

electronics//A.S. Rozov V.B.Baiburin 2014 Vol.59 No. 9 pp 910-913 Pleiades Publishing Inc.

66.Rozov A.S. Mullin V.V. Some features of the processes in the circuit breaker based on vacuum interrupter chamber (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2012, l.,pp. 20-22.

67.Rozov A.S. Analysis of regular and chaotic charges trajectories in charged cylindrical beam . / A.S. Rozov, V.B. Baiburin // The 6th Chaotic Modeling & Simulation International Conference CHAOS-2013 Istambul 2013 p 241.

68.Sibley L. Tube Lore A references for Users and Collectors . New - York 1996 p 370.