Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кочулимов, Александр Валерьевич

• Кочулимов, Александр Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочулимов, Александр Валерьевич

Введение.

Глава 1. Ортогональные финитные функции (ОФФ) второй степени на треугольных сетках и их свойства.

§ 1. Первая методика построения ОФФ второй степени на треугольных сетках.

§ 2. Вторая методика построения ОФФ второй степени на треугольных сетках.

§ 3. Аппроксимирующие свойства ОФФ, построенных по второй методике.

Глава 2. Численные методы исследования математических моделей теплопроводности и геометрического моделирования.

§ 1. Математическая модель процесса теплопроводности в смешанной форме. Численный метод исследования математической модели теплопроводности, связанный со смешанным вариационным принципом и с использованием линейных ОФФ на треугольных сетках.

§ 2. Математическая модель процесса теплопроводности в смешанной форме. Численный метод исследования математической модели теплопроводности, связанный со смешанным вариационным принципом и с использованием квадратичных ОФФ на треугольных сетках.

§3.0 сходимости численного метода исследования модели процесса теплопроводности.

§ 4. Метод конечных элементов в задаче математической физики.

§ 5. Численный метод геометрического моделирования, связанный с использованием метода наименьших квадратов и ОФФ на треугольных сетках.

Глава 3. Комплексы программ.

§ 1. Комплекс авторских процедур библиотеки Аих1лЬ.

§ 2. Описание комплекса программ СеотМос1е1.

§ 3. Описание комплекса программ РгоЬ8о1.

Глава 4. Результаты расчетов.

§ 1. Результаты расчетов, выполненных с помощью комплекса программ РгоЬ8о1.

§ 2. Результаты расчетов, выполненных с помощью комплекса программ СеотМос1е1.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и численные методы, связанные с ортогональными финитными функциями на треугольных сетках»

Одним из основных средств исследования математических моделей, связанных с краевыми задачами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах. В методе конечных элементов (МКЭ), который в классическом случае также является ВСМ, реализована идея перехода от системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным числом степеней свободы. К.Соигап1 [85] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии системы с использованием кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа. Была показана связь вариационных методов с разностными и определена вариационная основа МКЭ. Началось использование базисных функций с конечными носителями в МКЭ, что явилось основным отличием вариационного МКЭ от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что привело к улучшению ее обусловленности и позволило применить эффективные методы решения ленточных систем алгебраических уравнений.

Основное развитие ВСМ было связано с использованием вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что, во-первых, позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства и исследовать существование, единственность и сходимость решений, во-вторых, давать при их совместном использовании апостериорную оценку точности приближенных решений. Недостатками ВСМ, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к гладкости базисных функций, вызванные высоким порядком входящих в функционал производных, необходимость предварительного выполнения части краевых условий, низкая гладкость приближенного решения для градиента температуры, получаемого дифференцированием приближенного решения для температуры, и наличие производных температуры в краевых условиях для потока тепла. Основные недостатки В СМ, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоят в необходимости использования векторных полей градиента температуры, удовлетворяющих уравнению теплопроводности и краевым условиям, а также в трудоемкости процедуры определения температуры по приближенному решению для градиента температуры. Главный недостаток названных двух подходов заключается в том, что вычисление дискретного решения требует решения экстремальных задач с ограничениями. Следует заметить, что в определенной мере уровень требований к гладкости базисных функций может быть снижен использованием полуслабых форм функционалов, а налагаемые на пространство приближенных решений ограничения могут быть учтены с помощью техники R-функций.

E.Hellinger [89] и E.Reissner [101] сформулировали вариационный принцип теории упругости, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения и который в России называют вариационным принципом Рейсснера, а за рубежом - Хеллингера-Рейсснера. Систематизация вариационных принципов [1], [63] основана на установлении связей полных и частных функционалов посредством преобразований Лежандра и Фридрихса. Связь между функционалами Лагранжа и Кастильяно была установлена R. Courant с помощью преобразования Фридрихса. E.Reissner получил смешанный вариационный принцип [101], также применив этот аппарат. В В СМ, связанных с вариационным принципом Рейсснера, перемещения и напряжения аппроксимируются одновременно и независимо друг от друга, что создает предпосылки для сближения гладкости, а также и точности, приближенных решений для кинематических и силовых функций. Все уравнения и краевые условия удовлетворяются уравновешенно с помощью вариационного принципа Рейсснера в отличие от вариационного принципа Лагранжа, в котором из-за низкой гладкости силовых приближенных решений уравнения равновесия и силовые краевые условия нарушаются по крайней мере локально, особенно в областях с большими градиентами напряжений. Развитию и применению смешанного вариационного принципа и установлению его связи с проекционными процедурами методов Бубнова, Галеркина, Ритца посвящены работы В.М.Фридмана [72, 73] и В.М.Фридмана, В.С.Черниной [74]. Вариационный принцип Рейсснера называется смешанным потому, что в нем произвольно и независимо друг от друга варьируются как кинематические, так и силовые факторы. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время. Методика исследования сходимости смешанных ВСМ получила развитие в работах В.И.Астафьева [3], Л.В .Масловской, В.В.Вербицкого [57], Ф.Сьярле [70], А.П.Филипповича [71] и др. Функционал Рейсснера не имеет экстремума и не порождает норму, что затрудняет исследование вопросов существования, единственности точных решений, а также приближенных решений связанных с ними методов и сходимости последних. В вариационном принципе Рейсснера все краевые условия являются естественными. Обобщение смешанных вариационных принципов, позволившее для построения приближенного решения использовать разрывные поля перемещений, деформаций и напряжений, было выполнено В.Прагером [61]. Такое обобщение расширило класс функций используемых для аппроксимации искомого решения краевой задачи. Развитие этого направление в диссертации связано с включением интегралов Стилтьеса в функционалы смешанных вариационных принципов и с построением нескольких сеток.

Актуальность диссертационной работы. Диссертационная работа посвящена решению актуальной задачи — развитию теории ортогональных финитных функций (ОФФ) [28, 29, 37, 40, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53], направленному на расширение возможностей геометрического моделирования и алгоритмов смешанных численных методов на основе использования ОФФ.

Впервые создаются и исследуются ОФФ второй степени на треугольных сетках, порождающие новые фундаментальные возможности в построении математических моделей и в их исследовании. Повышение точности приближенных решений как для основных неизвестных функций, так и для их производных, повышение гладкости приближенных решений для производных достигается при использовании ОФФ без увеличения объема вычислений.

Смешанные вариационные принципы, в частности вариационный принцип Рейсснера, являются основой для построения численных методов, обладающих рациональными алгоритмами и дающих приближенные решения для температуры и градиента температуры с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории теплопроводности, и соответствующих комплексов программ. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры системы находятся в уравнениях теплопроводности и состояния вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных и поэтому в контактных задачах они также записываются в наиболее простой форме. Отсутствуют ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях, производные неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что являясь одним из основных достоинств смешанных ВСМ, снижает требования ВСМ к базисным функциям. В результате создаются предпосылки для повышения точности приближенных решений, особенно в задачах с большими градиентами температуры и с особенностями в решениях. Немаловажна сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, направлено на эффективное использование перечисленных возможностей. Это развитие началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время [78,

79, 81, 82, 83, 84, 87, 90, 91, 92, 98, 99, 104, 105, 106]. Функционал Рейсснера-не экстремальный, это вызывает необходимость использования специальных методик исследования сходимости смешанных ВСМ. Важнейший недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений (ССУ) для неизвестных узловых величин, усиливается в смешанных ВСМ. Следствием одновременной и независимой аппроксимации функций и их производных является увеличенное число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ОФФ. Классические методики исследования сходимости метода Ритца и разностных схем становятся эффективными при изучении сходимости таких смешанных ВСМ. Приближенные решения для основной неизвестной функции и ее частных производных характеризуются уравновешенной гладкостью и точностью. Исключение части неизвестных в аналитической форме до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, в которых определяются как температура, так и ее градиент, для реализации такого смешанного ВСМ требуется выполнение арифметических операций, число которых за счет исключения силовых неизвестных существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно и также дающую приближенные решения для температуры и ее градиента с уравновешенной точностью. Исключение неизвестных величин, связанных с аппроксимацией градиента температуры, становится возможным и тогда, когда в качестве базисных функций берутся ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева и др. Однако, такие базисные функции являются эффективными на интервалах и на областях большей размерности, если границы областей состоят из координатных линий, и, кроме того, в отличие от финитных функций не приводят к ССУ с разреженными матрицами. В случае областей общего вида их заменяют ОФФ.

Первый по времени его создания ортонормированный базис вейвлетов (wavelets) с компактными носителями связан с функцией Хаара [88], имеющей разрывы. До работ G.Battle [80], I.Daubechies [86], Y.Meyer [96], J.O.Stromberg [102], Ph.Tchamitchian [103], P.G.Lemarie [93], в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями [86], считалось [69, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с их важнейшим свойством, которое состоит в наличии у функций компактных конечных носителей и является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы ССУ разреженными и улучшает их обусловленность. В работах [86, 13] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа [95, 13]. Но функции [86, 13] не являются симметричными и обладают сложной структурой. Полная симметрия вещественных ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями (за исключением базиса Хаара), как показано в [86, 13], недостижима. Снижение степени несимметрии функций приводит [13, с. 342] к росту размеров конечных носителей функций и к снижению роли фи-нитности базисных функций. Регулярность функций этих базисов, которая характеризуется величиной показателя Гёльдера, определяющего непрерывность функции по Гёльдеру, возрастает с ростом ширины их конечных носителей, что приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений в численных методах. В [13] приводятся характерные примеры ортогональных базисов вейвлетов с компактными носителями, имеющих локальные флуктуации регулярности - на различных частях области определения таких функций показатель Гёльдера принимает различные значения. Производные этих функций непрерывны, но имеют очень малое значение показателя Гёльдера. Характер функций, в некоторых случаях являющихся недифференцируемыми, а также их производных, если они существуют, осложняет применение функций в численных методах решения краевых задач. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. Многомерные базисы вейвлетов строятся с помощью тензорных произведений одномерных функций [13]. Вейвлеты созданы для использования в теории фильтрации и кодирования, в цифровой обработке сигналов, изображений и не приспособлены для применения в алгоритмах численных методов решения краевых задач. В статье [15] отмечается, что 1.ВаиЬесЫез [86] удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В [15] также отмечается, что в тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы 1.БаиЬесЫез проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов, и указываются значительные трудности, препятствующие построению базисов, совмещающих отмеченные свойства базисов 1Х)аиЬесЫез и свойства сплайнов. Поэтому разработка ОФФ двух переменных, связанных с треугольными сетками, имеющих более высокие порядок аппроксимации и гладкость, обладающих свойствами симметрии, для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Решение этой задачи создает основу для построения смешанных ВСМ, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных ВСМ, а также основу для повышения качества математического моделирования и проектирования конструкций, эксплуатация которых связана с существенным влиянием тепловых полей. Построение таких ВСМ является актуальной задачей.

Значительный вклад в создание и развитие математического моделирования на основе вариационных принципов, а также в развитие численных методов исследования математических моделей внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Л.Я.Айнола, Н.А.Алумяэ, Р.Ю.Амензаде, Н.П.Андреев,

B.Б.Андреев, Г.М.Асланов, В.И.Астафьев, Л.И.Балабух, Н.С.Бахвалов, В-В.Болотин, В.В.Вербицкий, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, К.З.Галимов, И.И.Гольденблат, А.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, В.Г.Карнаухов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, С.Н.Коробейников, В.Г.Корнеев,

A.И.Лурье, В.Л.Леонтьев, Г.И.Марчук, Л.В .Масловская, И.Е.Милейковский,

C.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев,

B.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Е.Д.Свияженинов, Л.И.Седов, И.К.Сенченков, И.Н.Слесингер, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, Л.А.Трайнин, К.Ф.Черных, С.К.Черников, В.С.Чернина, С.С.Чесноков, А.ПФилиппович, В.М.Фридман, Y.Ando, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.W.Clough, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmann, E.Hellinger, H.C.Hu, C.Johnson, F.Kikuchi, J.L.Lions, T.Miyoshi, A.K.Noor, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner,

G.Strang, R.Temam, J.M.Thomas, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu, K.G.Wilson, A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifinan, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли

H.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров, В.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина,

C.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных.

Научная новизна. Впервые созданы базисные системы сеточных ОФФ второй степени на треугольных сетках, исследованы их свойства. Предложена математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа. Разработаны новые алгоритмы численных методов решения двумерных краевых задач теплопроводности, поставленных в смешанной форме. Эти алгоритмы связаны с использованием построенного смешанного вариационного принципа, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Разработан также алгоритм численного метода решения краевых задач математической физики, поставленных в классической форме, новизна которого связана с применением кусочно-квадратичных ОФФ на треугольных сетках. Исследована теоретическая сходимость методов. Разработан комплекс программ, реализующий смешанный численный метод, связанный с ОФФ первой степени на треугольных сетках. Создан комплекс программ решения задач геометрического моделирования объектов на основе использования новых дискретных математических моделей, связанных с использованием ОФФ на треугольных сетках. Показана эффективность разработанных математических моделей и численных методов решения краевых задач, а также методов геометрического моделирования.

Положения, выносимые на защиту.

1. Новые фундаментальные элементы математического моделирования и исследования математических моделей — системы базисных ОФФ второй степени на треугольных сетках. Исследование их свойств.

2. Дискретные математические модели геометрических объектов, связанные с применением ОФФ на треугольных сетках.

3. Математическая модель установившегося процесса теплопередачи в форме смешанного вариационного принципа.

4. Алгоритмы численных методов решения краевых задач теплопроводности, связанные с использованием ОФФ первой и второй степеней на треугольных сетках и позволяющие находить приближенные решения для градиента температуры более высокой точности и гладкости, чем при использовании классических методов. Исследования сходимости методов.

5. Комплексы программ, реализующих алгоритм численного метода и алгоритм геометрического моделирования.

Практическая значимость работы. Разработаны комплексы программ, с помощью которых выполнены расчеты, показывающие высокую эффективность применения ОФФ на треугольных сетках в инженерно-технических задачах геометрического моделирования и алгоритмах численных методов исследования математических моделей.

Личный вклад автора. Автору принадлежат: построение ОФФ, исследование их свойств, разработка алгоритмов методов, их реализация в комплексах программ, доказательство теорем, исследование сходимости.

Апробация. Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью применения математического аппарата, доказательствами теорем, исследованиями сходимости и численными решениями тестовых задач на ЭВМ с использованием разработанных комплексов программ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кочулимов, Александр Валерьевич

Выводы

Таким образом, в диссертационной работе решены все поставленные задачи. Созданы новые элементы математического моделирования, на их основе построены новые модели и эффективные численные алгоритмы, разработаны комплексы программ, в которых реализованы эти модели и алгоритмы. Теоретические исследования аппроксимирующих свойств функций и исследования сходимости методов, а также расчеты на ЭВМ с помощью комплексов программ, показали высокую эффективность созданных и изученных инструментов математического моделирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кочулимов, Александр Валерьевич, 2011 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1978, 288 с.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 316 с.

3. Астафьев В.И. Смешанная формулировка метода конечных элементов в задачах изгиба тонких пластин при установившейся ползучести // В книге: Деформирование и разрушение твердых тел. М.: изд-во МГУ, 1977, с. 71-77.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения //Успехи физич. наук. т. 166, № 11, 1996. с. 1145-1170.

5. Бубнов И.Г. Отзыв о работе проф. С.П.Тимошенко "Об устойчивости упругих систем" // Избранные труды. Л.: Судпромгиз, 1956, с. 136-139.

6. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 126 с.

7. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983. 214 с.

8. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // В книге: Успехи механики деформируемых сред. К 100-летию со дня рождения акад. Б.Г.Галеркина. М.: Наука, 1975, с. 121-133.

9. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров, т. 1, N 19, 1915, с. 897-908.

10. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 428 е., ил.

11. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.

12. Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с фран. М.: Мир, 1976. 92 с.

13. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 464 с.

14. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН-Пресс, 2006. 720 е., ил.

15. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Доклады РАН. Т. 335. № 1. 1994, с. 9-13.

16. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. -М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1980. 352 с.

17. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986. 318 е., ил.

18. Кочулимов A.B., Леонтьев В.Л. Комплексные ортогональные финитные функции второй степени на треугольных сетках // Труды Средневолжского математического общества, 2007, т. 9, № 1, с. 156-165.

19. Кочулимов A.B., Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции второй степени на треугольных сетках и их применение в геометрических моделях // Труды Средневолжского математического общества, 2008, т. 10, № 2, с. 126-129.

20. Кочулимов A.B., Леонтьев В.Л. О методе конечных элементов, связанном с использованием двумерных ортогональных финитных функций, в задаче теплопроводности // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып. 5, 2009, с. 868-869.

21. Кочулимов A.B., Леонтьев В.Л. О повышении точности аппроксимации ортогональными финитными функциями второй степени на треугольных сетках // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 3,2010, с. 427-428.

22. Кочулимов A.B., Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях второй степени на треугольных сетках // Механика и процессы управления: сборник научных трудов/ Ульяновский гос. техн. ун-т. — Ульяновск: УлГТУ, 2010, с. 42-43.

23. Кочулимов A.B. О сходимости численного метода, основанного на применении ортогональных финитных функций // Информатика, моделирование, автоматизация проектирования: сборник научных трудов / под ред. H.H. Войта. Ульяновск: УлГТУ, 2010, с. 303-308.

24. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа wavelet на основе атомарных функций // Доклады РАН. Т. 351, № 1,1996, с. 16-18.

25. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003. 178 с.

26. Леонтьев В.Л. О методе Галеркина для эллиптических задач, связанном с использованием ортогональных финитных базисных функций // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 4, 1997, Ульяновск: УлГУ, с. 62-65.

27. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч. Ортогональные финитные базисные функции, связанные с треугольной сеткой // Ученые записки Ульян, гос. ун-та. Фундамент, проблемы матем. и механики. Вып. 1(5), 1998, Ульяновск: УлГУ,. с. 163—171.

28. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч. Одномерные и двумерные ортогональные финитные функции // Проблемы естествознания на рубеже столетий. Сб. научн. статей. Материалы Междунар. Научн.

29. Конгресса "Фундаментальные проблемы естествознания", 21—27 июня 1998 года, С. -Петербург, Россия, СПб: изд-во "Политехника", 1999, с. 250-255.

30. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // Журнал вычислит, математики и матем. физики. 1999, т. 39, №7, с. 1158-1168.

31. Леонтьев В.Л. Ортогональные двумерные и трехмерные финитные функции на треугольных и тетраэдальных сетках // Труды 3-й Междунар. конф. "Математич. моделир. физич., экономич., социальных систем и процессов", 26-30 июня 2000 года, Ульяновск: УлГУ, с. 31.

32. Леонтьев В.Л. О сходимости вариационно-разностного метода // Труды 10-й межвуз. конф. "Математич. моделир. и краевые задачи", 29-31 мая 2000 года, часть 3, Самара: СамГТУ, с. 94—96.

33. Леонтьев BJL, Лукашанец Н.Ч. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках и смешанный вариационно-сеточный метод, связанный с их применением // Журнал вычислит, математики и матем. физики, т. 41, № 7, 2001, с. 1090-1098.

34. Леонтьев В.Л. О методах конечных элементов, связанных с применением ортогональных финитных функций // Обозрение прикл. и промышл. математики, т. 8, вып. 1, 2001, с. 252-253.

35. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции на треугольных сетках // Обозрение прикл. и промышл. математики, т. 8, вып. 2, 2001, с. 632-633.

36. Леонтьев В.Л. Об одной системе ортогональных финитных функций, связанных с треугольной сеткой // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та. Естественные науки, № 3, 2001, Ульяновск: УлГТУ, с. 37—42.

37. Леонтьев В.Л. О сходимости вариационно-разностного метода // Труды Средневолжского математического общества, т.3-4, №1,2002, с.221-223.

38. Леонтьев В.Л., Красильников А.Р. Об ортогональных сплайнах, связанных с треугольными сетками // Труды Средневолжского математического общества, т. 3—4, № 1, 2002, с. 168—174.

39. Леонтьев В.Л. Ортогональные сплайны и вариационно-сеточный метод Л Математическое моделирование, т.14, № 3, 2002, с. 117-127.

40. Леонтьев В.Л. О сходимости смешанного вариационно-сеточного метода // Сибирский журнал вычислит, математики, т. 5, N1, 2002, с. 25-34.

41. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикл. и промышл. математики, т. 9, вып. 3, 2002, с. 497-504.

42. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В. Сплайн-аппроксимация функций: Учеб. пособие для студентов вузов. — М.: Высш. шк., 1983. 80 с.

43. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1981. 416 с.

44. Масловская Л.В., Вербицкий В.В. Сходимость смешанного метода конечных элементов в задачах устойчивости пологих оболочек // Известия вузов. Математика, N10, 1993, с. 21—31.

45. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская Энциклопедия, т. 5. 1985. 1248 стб., ил.

46. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. 512 е., ил.

47. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1981. 304 е., ил.

48. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях // В сб. Переводов "Механика", N5 (117), 1969, с. 139-144.

49. Роженко А.И. Абстрактная теория сплайнов: Учебное пособие. Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999. 176 с.

50. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 224 с.

51. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956. 171 с.

52. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976. 352 с.

53. Сергеев В.А., Ходаков A.M. Тепловая модель полупроводниковой структуры с неоднородностью в области контакта с теплоотводом // Проектирование и технология электронных средств. N1, 2006, с. 49-54.

54. Скворцов A.B. Триангуляция Делоне и её применение. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002. 128 с.

55. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976. 248 с.

56. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. 349 с.

57. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 512 с.

58. Филиппович А.П. Анализ смешанных схем метода конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек // Журнал вычислит, математики и математич. физики, т. 28, N5, 1988, с. 741-754.

59. Фридман В.М. Видоизмененный метод Галеркина в задаче о совместных колебаниях турбинного диска и лопаток // Труды Ленингр. политехнич. ин-та, N 235, 1964, с. 23-32.

60. Фридман В.М. Вариационные методы в задачах технической механики. Дисс. на соиск. уч. ст. д-ра техн. наук. Л.: ЛПИ, 1969. 533 с.

61. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова-Галеркина-Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1969, N1, с. 64-78.

62. Ходаков A.M. Распределение плотности тока и температуры в биполярных транзисторных структурах с дефектами в активной области // Известия Самарского научного центра РАН. Т.7, N2, 2005. с.352-357.

63. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 е., ил.

64. Шикин Е. В., Боресков А. В., Зайцев А. А. Начала компьютерной графики. -М.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1993. 138 с.

65. Auricchio F., Sacco E. Partial Mixed formulation and refined models for the analysis of composite laminates within FSDT // Composite Structures, 46, 2001, p. 103-113.

66. Ayad R., Dhatt G., Batoz J.L. A new hybrid-mixed variational approach for Reissner-Mindlin plates, the MiSP model // Int. J. Numer. Methods Eng., 42, 1998, p. 1149-1179.

67. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part I: Lemarie functions // Comm. Math. Phys., 110, 1987, p. 601-615.

68. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods // Springer, New York, 1991.

69. Carrera E. A Reissner's mixed variational theorem applied to vibration analysis of multilayered shells // J. of Applied Mechanics, 66, 1999, No.l, p. 69-78.

70. Carrera E. An assessment of mixed and classical theories for thermal stress analysis of orthotropic plates // J. of Thermal Stress, 23, 2000, p.797-831.

71. Carrera E. Developments, ideas and evaluations based upon Reissner's mixed variational theorem in the modeling of multilayered plates and shells // Applied Mechanics Review, 54, 2001, p.301-329.

72. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc., 49, N1, 1943, p. 1-23.

73. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math., 41, 1988, p. 909-996.

74. Duan M., Miyamoto Y., Iwasaki S., Deto H. 5-node hybrid/mixed finite elements for Reissner-Mindlin plate // Finite Elements in Analysis and Design, 33, 1999, p.167-185.

75. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme // Math. Ann., 69, 1910, p. 331-371.

76. Hellinger E. Dir allegemeinen Ansätze der Mechanik der Kontinua // In: Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, Bd.4, Teil 4, Teubner, Leipzig, 1914, p. 601-694.

77. Hiller J.F., Bathe K.J. Measuring convergence of mixed finite element discretizations: an application to shell structures // Comp. Struct., 81, 2003, p. 639-654.

78. Kim J.G., Kim Y.Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element // Int. J. Numer. Methods Eng., 43, 1998, p. 925-940.

79. Lee Ho-Jun, Saravanos Dimitris A. A mixed multi-field finite element formulation for thermopiezoelectric composite shells // Int. J. Solids and Struct., 37, N36, 2000, p. 4949-4967.

80. Lemarie P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(Rn) // J. Math. Pures et Appl., 67, 1988, p. 227-236.

81. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Trans. Amer. Math. Soc., 315, N1, 1989, p. 69-87.

82. Meyer Y. Ondelettes sur l'intervalle // Rev. Math. Iberoamericana, 7, 1992, p. 115-133.

83. Persson P.O., Strang G. A Simple Mesh Generator in MATLAB // SIAM Review, Vol. 46 (2), 2004.

84. Piltner R. An implementation of mixed enhanced finite elements with strains assumed in Gartesian and natural element coordinates using sparse B-matrices //Engng. Comput., Vol.17, No.8, 2000, p. 933-949.

85. Pontaza J.P., Reddy J.N. Mixed plate bending elements based on least-squares formulation // Int. J. Numer. Methods Eng., 60, 2004, p. 891-922.

86. Prenter P.M. Splines and variational methods // Wiley, New York, 1989. 323 p.

87. Reissner E. On a variational theorem in elasticity // J. Math. Phys., 29, No. 2, 1950, p. 90-95.

88. Strómberg J.O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases of Hardy spaces // Repts. Dep. Math. Univ. Stockholm, N21, 1981, 21 p.

89. Tchamitchian Ph. Biorthogonalité et théorie des opérateurs // Rev. Math. Iberoamericana, 3, 1987, p. 163-189.

90. Wagner W., Gruttmann F. A robust non-linear mixed hybrid quadrilateral shell element // Int. J. Numer. Methods Eng., 64,2005, p.635-666.

91. Wisniewski K., Turska E. Improved four-node Hellinger-Reissner elements based on skew coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng., 76, 2008, p. 798-836.

92. Wisniewski K. Finite rotation shells. Basic equations and finite elements for Reissner kinematics // Barcelona, Spain: Springer, 2010. 483 p.