Математические модели эпидемиологии: идентифицируемость, регуляризация и программный комплекс тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Криворотько Ольга Игоревна

• Криворотько Ольга Игоревна
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Криворотько Ольга Игоревна

Введение

Глава 1. Обзор и анализ математических моделей

эпидемиологии

1.1 Краткий исторический обзор моделирования инфекционных заболеваний

1.1.1 Распространения СОУГО-19

1.1.2 Распространения ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ

1.2 Модели, основанные на анализе временных рядов

1.2.1 Введение

1.2.2 Регрессионные модели

1.2.3 Модели на основе машинного обучения

1.2.4 Модели на основе фильтрации

1.2.5 Выводы

1.3 Модели, основанные на системах обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3.1 Введение

1.3.2 БШ-модели

1.3.3 Индекс репродукции вируса По для дифференциальных моделей

1.3.4 Модель БЕШ-НСБ описания вспышки СОУГО-19

1.3.5 Модели ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ

1.3.6 Модель внутриклеточной динамики ВИЧ

1.3.7 Выводы

1.4 Модели «реакции-диффузии»

1.4.1 Пространственная БШ-модель распространения инфекционного заболевания

1.4.2 Диффузионно-логистическая модель распространения информации в онлайн социальных сетях

1.4.3 Пространственная модель Солоу экзогенного экономического роста

1.4.4 Выводы

1.5 Стохастические модели

1.5.1 Дискретная временная марковская цепная модель

1.5.2 Цепная модель Маркова с непрерывным временем

1.5.3 Стохастические дифференциальные уравнения

1.5.4 Случайные процессы в эпидемиологии

1.5.5 Выводы

1.6 Агентно-ориентированные модели

1.6.1 Клеточные автоматы

1.6.2 Агентно-ориентированные модели

1.6.3 Выводы

1.7 Модели «игры среднего поля»

1.7.1 Введение

1.7.2 Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка

1.7.3 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

1.7.4 Модель игры среднего поля

1.7.5 Примеры моделей

1.7.6 Выводы

Глава 2. Обратные задачи социально-эпидемиологических

процессов

2.1 Обратные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1.1 О корректности прямой задачи

2.1.2 Анализ некорректности обратной задачи

2.1.3 Вариационная постановка обратной задачи

2.1.4 Примеры моделей

2.2 Обратные задачи для моделей типа «реакции-диффузии»

2.2.1 Пример некорректности обратной задачи

2.2.2 Пространственная SEIR-HCD модель распространения COVID-19

2.2.3 Математическая модель распространения информации в онлайн социальных сетях

2.3 Обратные задачи для стохастических дифференциальных

уравнений

2.3.1 Вариационная постановка

2.3.2 Математическая модель финансовой экономики

2.4 Обратные задачи для агентно-ориентированных моделей

2.4.1 Агентная модель распространения COVID-19

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Идентифицируемость математических моделей

3.1 Методы идентифицируемости детерминистких математических моделей

3.1.1 Структурная идентифицируемость

3.1.2 Практическая идентифицируемость

3.1.3 Анализ чувствительности

3.2 Идентифицируемость агентно-ориентированных и стохастических моделей

3.2.1 Построение эмулятора

3.2.2 Анализ идентифицируемости АОМ на данных Новосибирской области

3.3 Выводы к главе

Глава 4. Алгоритмы решения задач минимизации

4.1 Методы локальной оптимизации градиентного типа

4.1.1 Градиент целевого функционала

4.1.2 Примеры градиентных алгоритмов

4.2 Методы глобальной оптимизации

4.2.1 Природоподобные алгоритмы

4.2.2 Метод древовидных оценок Парзена

4.2.3 Метод тензорной оптимизации

4.3 Методы регуляризации

4.3.1 Критерии останова

4.3.2 Метод А.Н. Тихонова

4.3.3 Метод С.К. Годунова

4.3.4 Ограничения на параметры

4.3.5 Квазигиперболическая регуляризация параболического уравнения

4.4 Комплекс алгоритмов и программ

4.4.1 Комплекс программ моделирования и построения сценариев распространения СОУГО-19

4.4.2 Комплекс программ моделирования и построение

прогноза распространения ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ252

4.4.3 Алгоритм восстановления источника для

диффузионно-логистической модели

Глава 5. Численные результаты

5.1 Моделирование распространения СОУЮ-19 в регионах Российской Федерации и странах

5.1.1 Анализ данных

5.1.2 Моделирование вспышки и распространение СОУЮ-19

5.1.3 Сценарии распространения СОУГО-19

5.1.4 Выводы

5.2 Моделирование распространения ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ312

5.2.1 Анализ данных

5.2.2 Моделирование и построение сценариев распространения ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ в Свердловской области

5.2.3 Выводы

5.3 Моделирование распространения информации в синтетической онлайн социальной сети

5.3.1 Входные параметры модели

5.3.2 Численное решение задачи об источнике в случае подробных данных

5.3.3 Численное решение задачи об источнике в случае данных интегрального типа

5.3.4 Выводы

5.4 Моделирование динамики ценных бумаг

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Анализ состояния равновесия вЕШ-НСЮ модели392

A.1 Вывод базового индекса репродукции П0

Приложение Б. Состояния равновесия модели распространения

ко-инфекции ТБ и ВИЧ

Б.1 Состояние равновесия без заболевания (Е0)

Б.2 Состояние равновесия без ВИЧ с ТБ (Ет)

Б.З Состояние равновесия без ТБ с ВИЧ (Ен)

Приложение В. Линеаризация и дискретизация обратных

задач систем ОДУ

B.1 Матрица обратной задачи для модели 8КШ-НС1) распространения СОУЮ-19

В.2 Матрица обратной задачи для модели ко-инфекции ТБ и ВИЧ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели эпидемиологии: идентифицируемость, регуляризация и программный комплекс»

Введение

Математическое моделирование процессов распространения эпидемий берет начало с работ Д. Бернулли (1760 год). С тех пор были разработаны множество математических моделей, основанных на системах интегро-дифференциальных уравнений (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, стохастические дифференциальные уравнения, оптимальное управление), а также агентно-ориентированных систем, позволяющих оценить скорость распространения эпидемии и выявить эффективные меры по ее контролю. С течением времени данные о заболеваниях накапливались, и модели все усложнялись, принимая во внимание особенности распространения инфекционного заболевания (наличие латентного периода, сужение группы риска тяжелого течения заболевания, наличие иммунитета и т.п.). С появлением мутаций вируса модели теряли свойство качественно описывать эпидемию, в связи с чем параметры моделей приходилось настраивать по новой. С другой стороны, в естественный процесс распространения эпидемии происходили вмешательства: введение ограничительных мер, вакцинация, что, в свою очередь, меняло ход распространения заболевания. С появлением вычислительных возможностей в моделях стали учитывать социально-экономические, иммунные (процессы внутри клетки), фармакокинетические/фармакодинамические (действие лекарственного препарата в организме) характеристики, влияющие на распространение эпидемии, что не всегда было успешным. Во-первых, качество получаемых данных не позволяло совместить указанные процессы (задача была несовместна) или данных об изучаемом процессе вовсе было недостаточно (решение может быть неединственным). Во-вторых, построенная комплексная математическая модель при любом внешнем или естественном воздействии (ограничительные меры, мутация), а также ее анализе в другом регионе нуждалась в перестройке. Последняя пандемия новой коронавирусной инфекции, вызванной вирусом 8ЛН8-ОоУ-2. показала необходимость разрабатывать математические модели, способные за приемлемое время приспосабливаться к внешним воздействиям и изменениям, а также выявлять возможные свойства изучаемого процесса, когда данных измерений для экспериментального анализа еще недостаточно.

Математические модели эпидемиологии характеризуются своими параметрами (скорость заражения, вероятности бессимптомного/легкого/тяжелого течения инфекции, смертность, скорость формирования иммунитета, начальное количество бессимптомных/латентных носителей инфекции и др.), которые уникальны для исследуемого заболевания в конкретном регионе (демографические, географические, экономические и экологические особенности влияют на распространение эпидемии одного инфекционного заболевания [1]) и достаточно грубо могут быть оценены посредством статистики. Для идентификации неизвестных параметров моделей формулируется обратная задача, состоящая в определении параметров по некоторой дополнительной информации о процессе в фиксированными моменты времени (количество выявленных больных, госпитализированных, вылеченных, умерших и др.). Рассматриваемые обратные задачи некорректны по Адамару (решение может не существовать, быть неединственным и или неустойчивым) по причине:

1. Неполных и неточных статистических данных о процессе (пробелы в сборе статистики, изменение принципов сбора данных, погрешность);

2. Параметры эпидемиологических моделей меняются со временем (появление новых мутаций вируса, ко-инфекции, вакцинация, введение/ослабление ограничительных мер).

Основы теории методов решения некорректных задач были заложены в работах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и чл.-корр. РАН В.К. Иванова, а развитие направление прослеживается в работах их последователей А.Л. Агеева, A.B. Бакушинского, Г.М. Вайникко, В.В. Васина, А.Р. Данилина, С.И. Кабанихина, Т.И. Королюк, В.Н. Страхова, В.П. Танины. А.Г. Я голы и многих других отечественных математиков. В указанных работах заложены основные теоретические оценки локальной устойчивости решения некоторых обратных задач биологии, математической физики, позволяющие разработать алгоритмы регуляризации решения обратных задач.

Зачастую решение обратных задач сводится к задачам минимизации целевого функционала, описывающего близость данных измерений к моделируемым данным в некоторой норме. В случае оптимизации строго выпуклых функционалов в работах Б.Т. Поляка [2], A.C. Немировского, Ю.Е. Нестерова, A.B. Гасникова и др. показана эффективность применения методов градиентного типа, основанных на движении в направлении, обратном градиенту (роста) целевой функции. В реальных приложениях целевые функционалы могут быть

не строго выпуклы, иметь седловой характер и множество локальных экстремумов, что затрудняет применения классических алгоритмов оптимизации. Еще одна трудность, с которой сталкиваются исследователи, рост размерности пространства неизвестных параметров, влекущий за собой множество оптимальных решений и необходимость разработки алгоритмов для решения многопараметрических задач.

Для моделирования реальных процессов необходимо провести большую работу по сбору и обработке статистических данных, особенность поведения которых должна учитываться не только при построении моделей, а также при разработке алгоритмов решения возникающих обратных задач.

В данной работе проведен комплексный анализ решения обратных задач эпидемиологии с учетом влияния социальных и экономических процессов на распространение некоторых инфекционных заболеваний (СОУЮ-19, ко-инфек-ции туберкулеза и ВИЧ), а также разработка открытого комплекса программ по построению сценариев распространения инфекционных заболеваний в условиях внешних административных и фармацевтических мер в различных регионах РФ и стран. Комплексный анализ содержит в себе:

— Сбор, обработку и анализ эпидемиологических, демографических и социально-экономических данных, реализованными в автоматическом режиме для некоторых регионов Российской Федерации;

— Анализ идентифицируемости и чувствительности предложенных математических моделей, в результате которого сужены области изменения неизвестных параметров и выявлены чувствительные параметры к статистическим данным;

— Комбинация моделей с учетом их области применимости для получения более качественных результатов, приближенных к реальным данным;

— Разработка алгоритма регуляризации решения обратных задач с учетом анализа идентифицируемости и чувствительности, а также комбинации методов глобальной и локальной оптимизации для повышения эффективности работы алгоритма решения обратных задач, а также увеличения точности решения;

— Анализ доверительных интервалов полученных решений на основе метода Монте-Карло.

Особенность данной работы состоит в комплексном подходе к изучению процессов в эпидемиологии на примере СОУГО-19 и ко-инфекции туберкулеза

и ВИЧ, позволивший выявить новые свойства заболеваний и влияния ограничений и социально-экономических характеристик на их распространение. В процессе моделирования СОУЮ-19 в регионах РФ выявлено существенное влияние неоднородности на распространение эпидемии (географические особенности), определены возрастные группы риска тяжелого течения заболевания населения в разные временные периоды, отсутствие эффекта вакцинации ввиду недостаточного количества вакцинированных в определенный момент времени, характеристики распространения каждого штамма вируса 8А118-СоУ-2, а также процент бессимптомных носителей инфекции, существенно влияющие на характер распространения инфекции. При моделировании распространения ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ удалось отсортировать регионы на основе динамики ВРП на благоприятные (с контролируемым развитием заболеваний туберкулеза и ВИЧ) и неблагоприятные (с ростом заболеваемости в последние 5 лет наблюдений).

Целью данной работы является построение эффективных численных алгоритмов и анализ решения прямых и обратных задач распространения эпидемий с учетом социальных, экономических и экологических процессов, создания комплекса программ по обработке эпидемиологических и социально-экономических показателей, а также построению и верификации сценариев распространения инфекционных заболеваний (на примере СОУЮ-19 и ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ) в зависимости от административных и фармакологических мер в исследуемом регионе с использованием высокопроизводительных вычислений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать математические модели эпидемиологии и влияния социальных, экономических и экологических процессов на распространение эпидемии, выявить ограничения и преимущества моделей, разработать статистические алгоритмы обработки и анализа эпидемиологических данных, сформулировать постановки прямых и обратных задач распространения эпидемии СОУГО-19 и ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ.

2. Исследовать методы идентификации математических моделей, основанных на дифференциальных и агентных подходах, разработать алгоритмы анализа идентифицируемости и чувствительности математических моделей, определить области изменения эпидемиологических

и

параметров моделей для исследуемых регионов и инфекционных заболеваний, выявить неидентифицируемые параметры и согласовать с априорной информацией о процессе.

3. Разработать алгоритмы регуляризации численного решения обратных и некорректных задач распространения эпидемий СОУГО-19 и ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ, основанные на анализе идентифицируемости и чувствительности, а также степени некорректности исследуемых обратных задач на основе характера убывания сингулярных чисел операторов обратных задач. Вычислить градиенты целевых функционалов исследуемых математических моделей, связанных с решением соответствующих сопряженных задач.

4. Разработать автоматизированный комплекс программ по моделированию и построению сценариев распространения инфекционных заболеваний с учетом ограничительных мер, доступный широкому кругу пользователей. Выявить эффективные социально-экономических характеристики, влияющие на распространение эпидемий СОУГО-19 и ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ.

Научная новизна:

1. Впервые изучена идентифицируемость агентных, дифференциальных и стохастических моделей эпидемиологии с учетом экономических и социальных процессов. На этой основе построены новые градиентные методы решения обратных задач с использованием априорной информации.

2. Впервые разработаны комбинированные алгоритмы численного решения прямых и обратных задач, в которых агентные, дифференциальные и стохастические модели взаимозависимы, и включают в себя градиентные, тензорную оптимизацию и природоподобные алгоритмы (дифференциальной эволюции, генетический алгоритм, методы имитации отжига, роя частиц и древовидных оценок Парзена).

3. Впервые разработан комплекс программ моделирования и построения сценариев развития СОУЮ-19 в Новосибирской области (Ы^рв:// covidl9-modeling.ru/) с учетом эпидемической обстановки в прилегающих регионах, а также наиболее интенсивных транспортных потоков Новосибирск-Москва, Алтай, Казахстан, Красноярск, Омск.

Практическая значимость работы заключается в том, что математическая модель и её численная и программная реализации организованы как программный пакет (https://covidl9-modeling.ru/), который распространяется в виде открытого кода, сопровождается руководством пользователя и не требует навыков программирования для своего использования. Таким образом, он может быть полезен другим научным группам для исследования распространения эпидемии в интересующем регионе. Разработанный комплекс программ позволит регулирующим органам власти скоординировать действия по принятию стратегических решений относительно сдерживающих ограничительных и фармацевтических мер на 45 дней к распространению эпидемии СОУГО-19.

Методология и методы исследования. Методы исследования включают в себя теорию обратных и некорректных задач, оптимизацию и вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, в том числе и уравнений математической физики, методы линейной и дифференциальной алгебры, а также строгие математические выводы полученных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Развитие качественных методов исследования математических моделей, основанных на теории дифференциальной алгебры, графов, вариационного исчисления, Монте-Карло.

2. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов решения прямых и обратных задач для комбинированных математических моделей эпидемиологии с применением современных компьютерных технологий.

3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ анализа чувствительности и практической идентифицируемости систем дифференциальных уравнений и агенто-ориентированных систем.

4. Разработка комплекса программ моделирования и построения сценариев развития СОУГО-19 в Новосибирской области, основанного на дифференциальном и имитационном подходах с учетом ограничительных мер и интенсивных транспортных потоков прилегающих территорий (Ь^рв://covidl9-modeling.ru/).

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

— использованием современных методик сбора и обработки статистической информации методами регрессионного анализа и машинного обучения;

— строгостью и корректностью математических доказательств и рассуждений;

— совпадением результатов исследования с историческими данными;

— использованием большого массива государственной и муниципальной статистики по распространению эпидемий и информации с зарубежных источников и СМИ;

— Положения и выводы, сформулированные в диссертации, получили квалифицированную апробацию на международных, российских научных конференциях и семинарах. Достоверность также подтверждается публикациями результатов исследования в рецензируемых научных изданиях.

Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

2020. Постоянный научный семинар «Актуальные проблемы прикладной математики» под руководством академика РАН И.А. Тайманова, чл.-корр. РАН С.И. Кабанихина, чл.-корр. РАН А.Е. Миронова, профессора РАН М.А. Шишленина, Новосибирск, ИМ СО РАН, апрель 2020.

12-я Международная школа молодых ученых «Системная Биология и Биоинформатика», Ялта-Севастополь, сентябрь 2020.

Ежегодная международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», Новосибирск, Академгородок.

2021. Научная конференция «Математика в медицине», Томск, ТПУ, май 2021.

13-я Международная школа молодых ученых «Системная биология и биоинформатика» SBB-2021, Новосибирск, ИЦиГ СО РАН, октябрь 2021.

Science Innovation Challenge Global Summit 2021 (NEOM), онлайн, октябрь 2021.

Научный семинар РФЯЦ-ВНИИТФ под руководством чл.-корр. РАН С.Н. Лебедева, Снежннск, ноябрь 2021.

Eurasian Conference on Applied Mathematics-2021, Новосибирск, декабрь 2021.

2022. Международная (53-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений», Екатеринбург, январь 2022 г.

Научный семинар «Прикладные обратные задачи и искусственный интеллект» под руководством чл.-корр. РАН С.Н. Кабанихина и профессора РАН М.А. Шишленина, Новосибирск, ИМ СО РАН, март 2022. Научный семинар отдела системной биологии Института цитологии и генетики СО РАН под руководством академика РАН H.A. Колчанова, Новосибирск, ИЦиГ СО РАН, май 2022.

13 Международная мультиконференция «Биоинформатика Геномной Регуляции и Структурной/Системной Биологии» (БГРС-2022), Новосибирск, ИЦиГ СО РАН, июль 2022.

Научная конференция «День Лаврентьева», посвященная 90-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева, Новосибирск, ИМ СО РАН, август 2022.

Научный семинар «Обратные задачи математической физики» под руководством А.Б. Бакушинского, A.B. Тихонравова, А.Г. Я голы. Москва, МГУ, сентябрь 2022.

Научный семинар «Математическое моделирование в биологии и медицине» под руководством чл.-корр. Ю.В. Василевского и профессора Г.А. Бочарова, Москва, ИВМ РАН, сентябрь 2022. Еженедельный алгебраический семинар Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева под руководством В.Н. Ремесленникова, Омск, ОФИМ СО РАН, сентябрь 2022.

Международная конференция «Игры среднего поля, теория управления средним полем и их приложения», Сочи, Сириус, октябрь 2022. Общероссийский семинар по оптимизации под руководством A.M. Рай-городского и A.B. Гасникова, Москва, МФТИ, октябрь 2022. Образовательная программа «Современные методы теории информации и оптимизации», Сочи, Сириус, октябрь 2022. Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

1. Марчуковские научные чтения (Новосибирск, 2020, 2021 и 2022).

2. Международная конференция «Динамика в Сибири» (Новосибирск, 2021 и 2022).

3. XXII Харитоновские тематические научные чтения «Суперкомпьютерное моделирование и искусственный интеллект» (Саров, 2021).

4. Конференция международных математических центров мирового уровня (Сочи, 2021).

5. Международная конференция «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения» - QIPA-2021 и QIPA-2022 (Сочи, 2021 и 2022).

6. Международная научная конференция «Численное моделирование в механике сплошных сред», посвященная памяти академика Олега Михайловича Белоцерковского (Долгопрудный, 2021).

7. 10-я международная конференция «Обратные задачи: моделирование и вычисления» - IPMS-2022 (Мальта, 2022).

8. V Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования» (Москва, 2022).

9. Вторая конференция Математических центров России (Москва, 2022).

10. Прикладная математика иммунологии и вирусологии (Сочи, 2022).

Личный вклад. Автору принадлежат формулировки прямых и обратных задач исследования, получение теоретических результатов для градиентных методов, построению алгоритмов численной оптимизации решения обратных задач, а также автор принимал активное участие в проведении вычислительных экспериментов и анализе и интерпретации результатов.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 31 печатных изданиях, 8 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 20 и периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus. Зарегистрированы 6 программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 404 страницы, включая 96 рисунков и 32 таблицы. Список литературы содержит 320 наименований.

Содержание работы. В первой главе приведены и исследованы основные математические модели распространения инфекционных заболеваний

(СОУЮ-19, туберкулез, ВИЧ) в популяции и связанные социально-экономические модели, которые можно разделить на следующие группы:

1. Модели временных рядов на основе регрессионных и сетевых моделей (раздел 1.2).

2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (БШ-модели), стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), уравнения в частных производных (разделы 1.3-1.5).

3. Имитационные модели, включая клеточные автоматы и агентно-ориен-тированные модели (АОМ) (раздел 1.6).

4. Комбинации нелинейных марковских цепей, оптимального управлении, объединенных в рамках теории игр среднего поля (раздел 1.7).

Наиболее встречаемые типы данных распространения эпидемиологических, социальных и экономических процессов характеризуются временными рядами, например, ежедневные/еженедельные/ежегодные сводки заболевших, умерших и/или вылеченных от конкретного заболевания. Методы обработки и анализа временных рядов позволяют построить краткосрочный прогноз поведения временных рядов при отсутствии резких изменений ситуации. В случае наличия периодичности в данных (сезонность временного ряда) модели прогнозирования временных рядов более достоверно экстраполируют временной ряд на небольшие периоды. В работе сравнены модели трех типов:

— адаптивная регрессионная модель БАММА, учитывающая сезонность временного ряда,

— модель машинного обучения, основанная на построении простейшей нейронной сети,

— модель Хольта-Винтерса (модель тройного экспоненциального сглаживания) ,

которые имеют схожую погрешность моделирования и прогнозирования количества ежедневно-проведенных ПЦР-тестов к вирусу 8АН8-Оо\-2. Как самостоятельные модели для описания комплексных процессов распространения социально-значимых заболеваний (где необходимо учитывать влияние экономики, социальные и климатические процессы и т.д.), обычно, не используются. Однако экстраполяция сезонных временных рядов (количество ежедневных проведенных тестов ПЦР, индекс самоизоляции, процент бессимптомных инфицированных) в комбинации с БШ-моделями и АОМ позволяют строить качественные краткосрочные и среднесрочные прогнозы распростра-

нения инфекционного заболевания с учетом различных сценариев внешних воздействий (введение масочного режима, закрытие/открытие учебных заведений/общественных мест и др.). В работе использовалась модель БАММА для анализа и экстраполяции сезонных временных рядов.

В разделе 1.3 приведены модели, описываемые системами дифференциальных уравнений, в основе которых лежит закон действующих масс: «скорость изменения популяции пропорциональна количеству введенных в популяцию индивидуумов (рождаемость, миграция) и обратно пропорциональна общей смертности». Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические сообщества была модель Лотки - Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов: хищники х(Ъ) и жертвы у(Ъ)., связанные системой уравнений:

х = —ах + сху, у = Ьу — дъху.

Система Лотки - Вольтерры обладает одним существенным недостатком: она неустойчива по отношению к малым возмущениям самой модели.

Системы уравнений, возникающие при описании биологических популяций, во многом близки к системам дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций. К слову сказать, система Лотки -Вольтерры была первоначально выведена Лоткой как система, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию, и лишь позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую популяцию «хищник-жертва».

В 1927 году \¥.0. Кегтаск и А.С. МсКепсЫск в рамках закона действующих масс сформулировали ЯШ-модель описания инфекционного заболевания [3]

йБ Б1 ¿1 31 пт ¿Я &г ж &г N 1 ' &г 1 '

Здесь N = Б(£) + I(£) + Я^) - численность исследуемой популяции, условно разделенной на восприимчивых £ (£), инфицирован пых I (£) и удаленных из популяции (умершие пли получившие иммунитет) Я^) в момент времени В основе БШ-модели лежат две гипотезы:

1. Заболеваемость в момент времени Ь равна Б(1)1 (р)/М (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении

пропорционально Ятаким образом численность класса Я

57

растет, а численность класса I убывает со скоростью а— (а > 0);

2. Численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т.е. со скоростью вН^) (в > 0).

Одним из важных результатов этой работы было введение базового индекса репродукции (заразности) = ав-1, который является важнейшей характеристикой заболевания и параметром распространения эпидемии. Он характеризует количество индивидуумов, которых заражает активный инфицированный, попавший в полностью неиммунизированное окружение при отсутствии специальных эпидемиологических мер, направленных на предотвращение распространения заболевания. В случае, когда < 1, то состояние равновесия ( N,0,0) асимптотически устойчиво, что характеризует затухание эпидемии.

В работе проанализированы следующие вариации БШ-моделей описания эпидемиологических процессов:

— БЕШ-НСБ, описывающая распространение СОУЮ-19, в которой вся популяция разделена на 7 групп: к имеющимся трем добавлены бессимптомные инфицированные Е(Ь), госпитализироваиные Нкритические, требующие подключения аппарата ИВЛ Сумершие в результате СОУГО-19 Е^):

¿Я . . (а1 и)1Н) аЕШЯН)ЕН)\ — = —аЩ[ -—--+ 1

N

N

(Е _ (а/(1)Б(1)1(1) + аЕ(^(1)Е(1)\

_а(1) у N + 11

(И

% (г) —

N

(Ш (Н (С (Е

-т,

1

и

1

Щ(1),

— ^е а),

тс 'п/

^ кг) + 1 — ^Н Ц) —

^'п/ ^Нояр °гтт

1 - в(*:)щ) + ^С а) — ^Н а),

-щг),

'п/

^Ъо ар

а)

сг г ь

н а) — а).

и,

сг г t

(1)

с начальными условиями

5(1о) = N — Ео — 1о — Яо — Но — Со — Дь Е(и) = Ео, I(1о) = 1о, Щк) = Во, н(1о) = Но, С(1о) = Со, Б(Ц) = Дь

Здесь В,(Ь) - вылеченные индивидуумы. В данной модели учитывается индекс самоизоляции населения а (от Яндекса) с запаздыванием в 1 день в параметре заразности а, иммунитет после выздоровления, который теряется через 4-6 месяцев (« Показано, что базовый индекс репродукции для БЕШ-НСБ модели = а(ЬтСае + а/) зависит от инфицирования как от бессимптомной группы ае, так и от симптомной группы населения а/ с учетом времени инкубационного периода ¿¿пс и протекания активной фазы инфекции

— ко-инфекции туберкулеза (ТВ) и ВИЧ, состоящая из 8 обыкновенных дифференциальных уравнений (популяция состоит из групп восприимчивых, латентно инфицированных ТВ, больные активным ТВ, вылеченные от ТВ, больные ВИЧ без ТВ, больные латентным ТВ и ВИЧ, больные активным ТВ и ВИЧ, СПИД больные), а также ее расширение путем добавления трех состояний, связанных с множественной лекарственной устойчивой формой ТВ (МЛУ-ТБ): больные латентной и активной формами МЛУ-ТВ, вылеченные от МЛУ-ТБ. Базовый индекс репродукции состоит из двух частей: индекс репродукции для ТБ

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Криворотько Ольга Игоревна, 2023 год

Список литературы

1. Epidemiology and Ecology of Influenza A Viruses among Wildlife in the Arctic / J. D. Gass [и др.] // Viruses. - 2022. - Т. 14, № 7. - URL: https:

www.mdpi.com 1999-4915 14 7 1531.

2. Поляк, Б. Введение в оптимизацию / Б. Поляк. — Москва : Наука, 1983. — 384 с.

3. Kermack, W. О. A contribution to the mathematical theory of epidemics / W. O. Kermack, A. G. McKendrick // Proceedings of the Royal Society. Vol. 115_ _ Royal Society, 08/1927. — P. 700—721.

4. Кабанихин, С. Регуляризация операторного уравнения Вольтерра первого рода с ограниченно липшиц-непрерывным ядром / С. Кабанихин // Доклады АН СССР. - 1989. - Т. 39, № 3. - С. 549 552.

5. Kolmogorov, А. N. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem / A. N. Kolmogorov, I. G. Petrovskii, N. S. Piskunov // Moscow University Mathematics, Mechanics Bulletin. — 1937. — Vol. 1, no. 6. — P. 1—26.

6. Krivorotko, O. Numerical solution of the inverse problem for diffusion-logistic model arising in online social networks / O. Krivorotko, T. Zvonareva, N. Zy-atkov // Communications in Computer and Information Science. — 2021. — Vol. 1476. — P. 444—459. — (Scopus, WoS).

7. Differential evolution algorithm of solving an inverse problem for the spatial Solow mathematical model / S. Kabanikhin [et al] // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2020. — Vol. 28, no. 5. — P. 761 774. — (Scopus, WoS).

8. Modeling the development of the coronavirus epidemic using differential and statistical models : tech. rep. / V. A. Adarchenko [et al.] ; RFNC-VNIITF. — in Russian, 2020.

9. Covasim: An agent-based model of COVID-19 dynamics and interventions / С. C. Kerr [et al.] // PLoS Computational Biology. — 2021. — Vol. 17, no. 7. — el009149.

10. Agent-based modeling of COVID-19 outbreaks for New York state and UK: parameter identification algorithm / O. Krivorotko [et al.] // Infectious Disease Modelling. — 2022. — Vol. 7. — P. 30 44. — (Scopus, WoS).

11. Tembine, H. COVID-19: Data-Driven Mean-Field-Type Game Perspective / H. Tembine // Games. — 2020. — Vol. 11, no. 4. — P. 51.

12. Mean field control problems for vaccine distribution / W. Lee [et al.] // arXiv preprint. _ 2021. — arXiv: 2104.11887vl.

13. Kabanikhin, S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems / S. I. Kabanikhin // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2008. — Vol. 16, no. 4. — P. 317—357.

14. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations / V. Isakov. — Springer International Publishing, 2017. — URL: https://doi.org/10.1007/ 978-3-319-51658-5.

15. Hasanov, A. Simultaneous determination of source terms in a linear parabolic problem from the final overdetermination: Weak solution approach / A. Hasanov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2007. - T. 330, № 2. - C. 766 779. - URL: https://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0022247X0600878X.

16. Kaltenbacher, B. The inverse problem of reconstructing reaction-diffusion systems / B. Kaltenbacher, W. Rundell // Inverse Problems. — 2020. — Май. - Т. 36, № 6. - С. 065011. - URL: https://dx.doi.org/10.1088/1361-6420/ab8483.

17. Dunker, F. On parameter identification in stochastic differential equations by penalized maximum likelihood / F. Dunker, T. Hohage // Inverse Problems. — 2014. - Лиг. - Т. 30, № 9. - С. 095001. - URL: https://doi.org/10.1088/ 0266-5611/30/9/095001.

18. DAISY: A new software tool to test global identifiability of biological and physiological systems / G. Bellu [и др.] // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 2007. - T. 88, № 1. - C. 52 61. - URL: http://www. sciencedirect .com / science / article / pii/S0169260707001605.

19. Евтушенко, Ю. Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) / Ю. Г. Евтушенко // Вычислительной математики и математической физики. — 1971. — Т. 11, Л'° 6. — С. 38 54. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/zvmmf/vll/i6/pl390.

20. Чет веру шкищ Б. Кинетические схемы и квази-газодинамическая система уравнений / Б. Четверушкин. — Москва : Макс Пресс, 2004. — 332 с.

21. Тихонов, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // Доклады Академии наук СССР. — 1943. — Т. 39, № 5. — С. 195 198.

22. Kaltenbacher, В. Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems. Vol. 6 / B. Kaltenbacher, A. Neubauer, O. Scherzer. — NY : De Gruyter, 2008. — (Radon Series on Computational and Applied Mathematics).

23. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С. К. Годунов [и др.]. — 2-е изд. — Новосибирск : Наука, 1992.

24. Bartlett, М. S. Measles periodicity and community size / M. S. Bartlett // Journal of the Royal Statistical Society, Series A. — 1957. — T. 120, № 1. — C. 48 70.

25. COVID-19 pandemic prediction model based on machine learning in selected regions of the Russian Federation / D. V. Gavrilov [и др.] // FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomics and Pharmacoepidemiology. - 2021. - T. 14, № 3. - C. 342 356.

26. Jain, A. Forecasting of COVID-19 Cases Using SARIMA Model in India / A. Jain, R. Khokher, R. C. Singh // Solid State Technology. — 2020. — Янв. - Т. 63. - С. 3516^3528.

27. Mathematical and computer modeling of COVID-19 transmission dynamics in Bulgaria by time-depended inverse SEIR model / S. Margenov [et al.] // AIP Conference Proceedings. — 2021. — Vol. 2333, no. 1. — P. 090024.

28. Predicting the spatially varying infection risk in indoor spaces using an efficient airborne transmission model / Z. Lau [et al] // Proceedings of the Royal Society A. — 2021. — Mar.

29. Diffusion-reaction compartmental models formulated in a continuum mechanics framework: application to COVID-19, mathematical analysis, and numerical study / A. Viguerie, A. Veneziani, G. Lorenzo, [et al.] // Computational Mechanics. — 2020. — Vol. 66. — P. 1131—1152.

30. Numerical-statistical study of the prognostic efficiency of the SEIR model /

G. Z. Lotova [h ^p.] // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2021. — T. 36, № 6. - C. 337 345.

31. Petrakova, V. Mean field game for modeling of COVID-19 spread / V. Petrakova, O. Krivorotko // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2022. - T. 514, № 1. - C. 126271. - URL: littps: www. sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X22002852. — (Scopus, WoS).

32. Virus replication and competition in a cell culture: Application to the SARS-CoV-2 variants / L. Ait Mahiout [h ^p.] // Applied Mathematics Letters. — 2022. - T. 133. - C. 108217. - URL: https://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0893965922001768.

33. An evidence review of face masks against COVID-19 / J. Howard [h ^p.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2021. — T. 118, № 4. — e2014564118. — URL: https : / / www. pnas . org / doi / abs / 10 .1073 / pnas . 2014564118.

34. Hatzius, J. Face masks and GDP / J. Hatzius, D. Struyven, I. Rosenbery. — URL: https: //www.goldmansachs.com/insights/pages/face-masks-and-gdp.html.

35. Waaler, H. T. The use of mathematical models in the study of the epidemiology of tuberculosis / H. T. Waaler, A. Geser, S. Andersen // American Journal Of Public Health. — 1962. — Vol. 52, no. 6. — P. 1002—1013.

36. Waaler, H. T. Cost-benefit analyses of BCG vaccination under various epidemiological situations / H. T. Waaler // Bulletin of the International Union against Tuberculosis. — 1968. — Vol. 41. — P. 42 52.

37. Waaler, H. T. A dynamic model for the epidemiology of tuberculosis /

H. T. Waaler // American Review of Respiratory Disease. — 1968. — Vol. 98, no. 4. — P. 591—600.

38. ReVelle, С. S. Mathematical models for the economic allocation of tuberculosis control activities in developing nations / C. S. ReVelle, W. R. Lynn, F. Feldmann // American Review of Respiratory Disease. — 1967. — Vol. 96 _ p g93—9Q9 _

39. ReVelle, C. S. The economic allocation of tuberculosis control activities in developing nations / C. S. ReVelle. — Thesis. Cornell University, 1967.

40. The intrinsic transmission dynamics of tuberculosis epidemics / S. M. Blower [et al.] // Nature Medicine. — 1995. — Vol. 1, no. 8. — P. 815—821.

41. Blower, S. M. Control strategies for tuberculosis: new models for old problems / S. M. Blower, P. M. Small, P. C. Hopewell // Science. — 1996. — Vol. 273. — P. 497—500.

42. Pertsev, N. V. Stochastic individual-based model of spread of tuberculosis / N. V. Pertsev, V. N. Leonenko // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2009. — Vol. 24, no. 4. — P. 341 360.

43. Small-scale stable clusters of elevated tuberculosis incidence in Moscow, 2000-2015: Discovery and spatiotemporal analysis / A. A. Romanyukha [et al.] // International Journal of Infectious Diseases. — 2020. — Vol. 91, na 3 — p X56—— (Scopus, WoS).

44. Авилов, К. К. Математические модели распространения и контроля туберкулеза / К. К. Авилов, А. А. Романюха // Математическая биология и биоинформатика. — 2007. — Т. 2, № 2. — С. 188—318.

45. Comparison Of Modeling Schemes for Natural Course Of Pulmonary Tuberculosis / K. Avilov [и др.] / / Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2019. - Дек. - Т. 14, № 2. - С. 570 587. - URL: https://doi.org/10.17537/2019.14.570.

46. Захаров, В. В. Балансовая модель эпидемии COVID-19 на основе процентного прироста / В. В. Захаров, Ю. Е. Балыкина // Информатика и автоматизация. — 2021. — Окт. — Т. 20, № 5. — С. 1034 1064.

47. Кондратьев, М. А. Методы прогнозирования и модели распространения заболеваний / М. А. Кондратьев // Компьютерные исследования и моделирование. - 2013. - Т. 5, № 5. - С. 863 882.

48. Burkom, H. S. Automated time series forecasting for biosurveillance / H. S. Burkom, S. P. Murphy, G. Shmueli // Statistics in Medicine. — 2007. — Vol. 26, no. 22. — P. 4202—4218.

49. Serfling, R. E. Methods for current statistical analysis of excess pneumonia-influenza deaths / R. E. Serfling // Public Health Reports. — 1963. — Vol. 78, no. 6. — P. 494 506.

50. Rove. Д. Анализ временных рядов : прогноз и управление / Д. Бокс, Г. Дженкинс. — Москва : Мир, 1974. — 197 с.

51. Dabral, P. P. Modelling and forecasting of rainfall time series using SARIMA / P. P. Dabral, M. Z. Murry // Environmental Processes. — 2017. — Vol. 4. — P. 399 419.

52. Box, G. E. P. An analysis of transformations. (With discussion) / G. E. P. Box, D. R. Cox // Journal of the Royal Statistical Society. — 1964. — Vol. 26. — P. 211—252. — URL: https://www.jstor.org/stable/ 2984418.

53. Dickey, D. A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root / D. A. Dickey, W. A. Fuller // Journal of the American Statistical Association. — 1979. — Vol. 74. — P. 427 431.

54. Williams, T. Adaptive Holt-Winters forecasting / T. Williams // The Journal of the Operational Research Society. — 1987. — Vol. 38. — P. 553—560. — URL: https://www.jstor.org/stable/2582769.

55. A Bayesian dynamic model for influenza surveillance / P. Sebastiani [et al] // Statistics in Medicine. — 2006. — Vol. 25, no. 11. — P. 1803—1816.

56. Strat, Y. L. Monitoring epidemiologic surveillance data using hidden Markov models / Y. L. Strat, F. Carrat // Statistics in Medicine. — 1999. — Vol. 18, no. 24. — P. 3463—3478.

57. Wieczorek, M. Neural network powered COVID-19 spread forecasting model / M. Wieczorek, J. Silka, M. Wozniak // Chaos, Solitons & Fractals. — 2020. — Vol. 140. — P. 110203.

58. Shmueli, G. Current and potential statistical methods for monitoring multiple data streams for biosurveillance / G. Shmueli, S. E. Fienberg // Statistical Methods in Counterterrorism: Game Theory, Modeling, Syndromic Surveillance, and Biométrie Authentication Science + Business Media P. — New York : Springer Science + Business Media, 2006. — P. 109—140.

59. Gardner, E. S. Exponential smoothing: the state of the art / E. S. Gardner // Journal of Forecasting. — 1985. — Vol. 4, no. 1. — P. 1—28.

60. Hamilton, J. D. Time Series Analysis / J. D. Hamilton. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1994. — 816 p.

61. Bernoulli, D. Essai d'une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l'inoculation pour la prévenir. Math, and Phys. de l'Acad. Roy. Sci. / D. Bernoulli // Hist, de 1'Acad. Roy. Sci., Ann. 1760. Vol. 1. — Paris, 1766.

62. Bacaër, N. A Short History of Mathematical Population Dynamics / N. Ba-caër. — London : Springer, 2011.

63. Brauer, F. Mathematical epidemiology: Past, present, and future / F. Brauer // Infectious Disease Modelling. — 2017. — Vol. 2. — P. 113 127.

64. Ross, R. The Prevention of Malaria / R. Ross. — 2nd ed. — London : John Murray, 1911.

65. Lotka, A. J. Undamped oscillations derived from the law of mass action / A. J. Lotka // Journal of the American Chemical Society. — 1920. — Vol. 42, no. 8. — P. 1595—1599.

66. Volterra, V. Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically / V. Volterra // Nature. — 1926. — Vol. 118. — P. 558 560.

67. McKendrick, A. G. Applications of mathematics to medical problems / A. G. McKendrick // Proceedings Of The Edinburgh Mathematical Society. Vol. 13. — 1926. — P. 98—130.

68. Logistic equation and COVID-19 / E. Pelinovsky [et al.] // Chaos, Solitons k Fractals. — 2020. — Vol. 140. — P. 110241.

69. Prediction of epidemic trends in COVID-19 with logistic model and machine learning technics / P. Wang [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals. — 2020. — Vol. 139. — P. 110058.

70. Koltsova, E. M. Mathematical modeling of the spread of COVID-19 in Moscow / E. M. Koltsova, E. S. Kurkina, A. M. Vasetsky // Computational nanotechnology. — 2020. — Vol. 7, no. 1. — P. 99^105. — URL: https: / / www.urvak.ru / articles / compu-5335-vypusk- 1-matematicheskoe-modelirovanie-/.

71. A time delay dynamical model for outbreak of 2019-nCoV and the parameter identification / Y. Chen [et al.] // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, _ 2020. — Vol. 28, no. 2. — P. 243 250.

72. Tamm, M. V. COVID-19 in Moscow: prognoses and scenarios / M. V. Tamm 11 FARMAKOEKONOMIKA. Modern Pharmacoeconomic and Pharmacoepidemiology. — 2020. — Vol. 13, no. 1. — P. 43—51.

73. Epidemic analysis of COVID-19 Outbreak and Counter-Measures in France / E. Unlu [et al.] // MedRxiv preprint. — 2020. — MedRxiv: 10.1101/2020. 04.27.20079962vl.full.pdf.

74. Математическое моделирование и прогнозирование COVID-19 в Москве и Новосибирской области / О. И. Криворотько [и др.] // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2020. — Т. 23, № 4. — С. 395 414. — (Scopus, WoS).

75. Simulation modelling application for balancing epidemic and economic crisis in the region / A. I. Borovkov [et al.] // International Journal of Technology _ 2020. — Vol. 11, no. 8. — P. 1579—1588.

76. Mathematical modeling of the transmission of SARS-CoV-2—Evaluating the impact of isolation in Sao Paulo State (Brazil) and lockdown in Spain associated with protective measures on the epidemic of CoViD-19 / H. M. Yang [et al.] // PLoS ONE. — 2021. — Vol. 16, no. 6. — e0252271.

77. Kiselev, I. N. A delay differential equation approach to model the COVID-19 pandemic / I. N. Kiselev, I. R. Akberdin, F. A. Kolpakov // MedRxiv preprint. — 2021. — MedRxiv: 10.1101/2021.09.01.21263002vl.

78. Optimal control of the COVID-19 pandemic: controlled sanitary deconfine-ment in Portugal / C. J. Silva, C. Cruz, D. F. M. Torres, [et al.] // Scientific Reports. — 2021. — Vol. 11. — P. 3451.

79. Mathematical modeling of COVID-19 transmission dynamics with a case study of Wuhan / F. Ndairou [et al.] // Chaos Solitons & Fractals. — 2020. — Vol. 135. — P. 109846.

80. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Basic%5C_reproduction%5C_number.

81. Driessche, P. van den. Further notes on the basic reproduction number / P. van den Driessche, J. Watmough // Mathematical Epidemiology, Springer Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1945. — Springer, 2008. — P. 159—178.

82. Berman, A. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences / A. Berman, R. J. Plemmons. — New York : Academic Press, 1979.

83. Krivorotko, O. I. Data-driven regularization of inverse problem for SEIR-HCD model of COVID-19 propagation in Novosibirsk region / O. I. Krivorotko, N. Y. Zyatkov // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, _ 2022. — Vol. 10, no. 1. — P. 51—68. — (Scopus, WoS).

84. The incubation period of coronavirus disease 2019 (COVID-19) from publicly reported confirmed cases: estimation and application / S. A. Lauer, K. H. Grantz, Q. Bi, [et al.] // Annals of Internal Medicine. — 2020. — Vol. 172, no. 9. — P. 577—582.

85. Virological assessment of hospitalized patients with COVID-2019 / R. Wolfel, V. M. Corman, W. Guggemos, [et al] // Nature. — 2020. — Vol. 581. — P. 465—469.

86. Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis / R. Verity, L. C. Okell, I. Dorigatti, [et al.] // The Lancet Infectious Diseases. — 2020. — Vol. 20, no. 6. — P. 669 677.

87. Clinical characteristics of 138 hospitalized patients with 2019 novel coron-avirus-infected pneumonia in Wuhan, China / D. Wang, B. Hu, C. Hu, [et al.] // JAMA The Journal of the American Medical Association. — 2020. — Vol. 323, no. 11. — P. 1061^1069.

88. Driessche, P. van den. Reproduction numbers of infectious disease models / P. van den Driessche // Infectious Disease Modelling. — 2017. — Abi\ — T. 2, № 3. - C. 288^303. - URL: https://doi.Org/10.1016/j.idm.2017.06.002.

89. Lebcir, R. System dynamic simulation of treatment policies to address colliding epidemics of tuberculosis, drug resistant tuberculosis and injecting drug users driven HIV in Russia / R. Lebcir, R. Atun, R. Coker // Journal of the Operational Research Society. — 2010. — Vol. 61, no. 8. — P. 1238^1248.

90. Bhunu, C. P. Modeling HIV/AIDS and tuberculosis coinfection / C. P. Bhunu, W. Garira, Z. Mukandavire // Bulletin of Mathematical Biology. — 2009. — Vol. 71, no. 7. — P. 1745 1780.

91. The potential effects of changing HIV treatment policy on tuberculosis outcomes in South Africa / C. Pretorius [et al.] // AIDS. — 2014. — Vol. 28. — S25 S34.

92. Roeger, L. I. Modeling ТВ and HIV co-infections / L. I. Roeger, Z. Feng, C. Castillo-Chavez // Mathematical Biosciences and Engineering. — 2009. — Vol. 6, no. 4. — P. 815—837.

93. Cohen, T. Modeling epidemics of multidrug-resistant M. tuberculosis of heterogeneous fitness / T. Cohen, M. Murray // Nature Medicine. — 2004. — Vol. 10, no. 10. — P. 1117—1121.

94. Modeling the dynamic relationship between HIV and the risk of drug-resistant tuberculosis / R. Sergeev [et al.] // Science Translational Medicine. — 2012. — Vol. 4, no. 135. — P. 135 167.

95. On Hiv dynamics: modeling, data analysis, and optimal treatment protocols / В. M. Adams, H. T. Banks, [et al.] // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2005. — Vol. 184, no. 1. — P. 10 49.

96. A numerical algorithm for constructing an individual mathematical model of HIV dynamics at cellular level / H. T. Banks [et al.] // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2018. — Vol. 26, no. 6. — P. 859^873. — (Scopus, WoS).

97. Inverse problems of immunology and epidemiology / S. I. Kabanihin [et al.] // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. — 2017. — Vol. 5, no. 2. — P. 14—35. — (Scopus, WoS).

98. Fisher, R. A. The wave of advance of advantageous genes / R. A. Fisher // Annals of Eugenics. — 1937. — Vol. 7. — P. 355—369.

99. Mathematical Biology / под ред. J. D. Murray. — Springer New York, 2002. — URL: https://doi.org/10.1007/b98868.

100. Aristov, V. V. Simulation of spatial spread of the COVID-19 pandemic on the basis of the kinetic-advection model / V. V. Aristov, A. V. Stroganov, A. D. Yastrebov // Physics. — 2021. — Vol. 3, no. 1. — P. 85—102.

101. Barwolff.j G. A local and time resolution of the COVID-19 propagation -a two-dimensional approach for Germany including diffusion phenomena to describe the spatial spread of the COVID-19 pandemic / G. Barwolff // Physics. — 2021. — Vol. 3, no. 3. — P. 530 548.

102. Capasso, V. Analysis of a reaction-diffusion system modeling man-environment-man epidemics / V. Capasso, R. E. Wilson // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1997. - T. 57, № 2. - C. 327 340. - URL: http://www.jstor.org/stable/2951865 (дата обр. 13.04.2022).

103. Bratus, A. S. Existence and stability of stationary solutions to spatially extended autocatalytic and hypercyclic systems under global regulation and with nonlinear growth rates / A. S. Bratus, V. P. Posvyanskii, A. S. Novozhilov // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2010. — T 11? д-о з _ c. 1897—1917. - (Дата обр. 01.06.2010).

104. Characterizing Information Diffusion in Online Social Networks with Linear Diffusive Model / F. Wang [et al.] // IEEE Proceedings of ICDCS. — 2013. — P. 307—316.

105. Solow, R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth / R. M. Solow // The Quarterly Journal of Economics. — 1956. — Февр. — Т. 70, № 1. - С. 65. - URL: https://doi.org/10.2307/1884513.

106. Varszegi, В. On the convergence and the steady state in a delayed Solow model / B. Varszegi // IFAC-PapersOnLine. - 2018. - T. 51, № 14. -C 94 99. _ URL: https://doi.Org/10.1016/j.ifacol.2018.07.205.

107. Gum/pert, M. Regional economic disparities under the Solow model / M. Gumpert 11 Quality к Quantity. — 2019. — Янв. — URL: https: / / doi.org/10.1007/sll 135-019-00836-2.

108. Kufenko, V. Divergence, convergence, and the history-augmented Solow model / V. Kufenko, K. Prettner, V. Geloso // Structural Change and Economic Dynamics. — 2020. — Июнь. — Т. 53. — С. 62 76. — URL: https: //doi.org/10.1016/j.strueco.2019.12.008.

109. Enghers, R. Inverse problems in geographical economics: parameter identification in the spatial Solow model / R. Engbers, M. Burger, V. Capasso // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2014. — Нояб. — Т. 372, Л'" 2028. - С. 20130402. - URL: https://doi.org/10.1098/rsta.2013.0402.

110. Nocedal, J. Numerical Optimization / J. Nocedal, S. J. Wright. — Springer New York, 2006. - URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-40065-5.

111. Camacho, C. On the dynamics of capital accumulation across space / C. Camacho, B. Zou, M. Briani // European Journal of Operational Research. - 2008. - Лир. - Т. 186, № 2. - С. 451 465. - URL: https: //doi.org/10.1016/j.ejor.2007.02.031.

112. Capasso, V. On a spatial Solow model with technological diffusion and nonconcave production function / V. Capasso, R. Engbers, D. L. Torre // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2010. — Окт. — Т. 11. Л'° 5. С. 3858^3876. - URL: https://doi.Org/10.1016/j.nonrwa.2010.01.016.

113. May, R. M. Infection dynamics on scale-free networks / R. M. May, A. L. Lloyd // Physical Review E. — 2001. — Vol. 64, no. 066112.

114. Pastor-Satorras, R. Epidemic spreading in scale-free networks / R. Pas-tor-Satorras, A. Vespignani // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 86, no. 14. — P. 3200—3203.

115. Newman, M. E. Spread of epidemic disease on networks / M. E. Newman // Physical Review E. — 2002. — Vol. 66, no. 016128.

116. Wong, F. Evidence that coronavirus superspreading is fat-tailed / F. Wong, J.J. Collins / / Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 117. — 2020. — P. 29416^29418.

117. Allen, L. J. S. An Introduction to Stochastic Epidemic Models / L. J. S. Allen // Mathematical Epidemiology / под ред. F. Brauer, P. van den Driessche, J. Wu. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2008. - C. 81—130. - URL: https://doi.org/10.1007/978-3-540-78911-6_3.

118. Taylor, H. M. An Introduction to Stochastic Modeling. 3rd Ed. / H. M. Taylor, S. Karlin. — San Diego et al. : Academic Press, 1998.

119. Sazonov, I. A two-stage model for the SIR outbreak: Accounting for the discrete and stochastic nature of the epidemic at the initial contamination stage / I. Sazonov, M. Kelbert, M. B. Gravenor // Mathematical Biosciences. - 2011. - T. 234, № 2. - C. 108 117. - URL: https : //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0025556411001337.

120. Sazonov, I. Random migration processes between two stochastic epidemic centers / I. Sazonov, M. Kelbert, M. B. Gravenor // Mathematical Biosciences. - 2016. - T. 274. - C. 45-57. - URL: https : / / www . sciencedirect.com/science/article/pii/S0025556416000225.

121. Markov Chain-Based Stochastic Modelling of HIV-1 Life Cycle in a CD4 T Cell / I. Sazonov [и др.] // Mathematics. - 2021. - Т. 9, № 17. - URL: https://www.mdpi.eom/2227-7390/9/17/2025.

122. Лукшин, А. В. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений / А. В. Лукшин, С. Н. Смирнов // Матем. моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 108—121.

123. Lotova, G. Z. Numerically statistical investigation of the partly super-exponential growth rate in the COVID-19 pandemic (throughout the world) / G. Z. Lotova, G. A. Mikhailov // Journal of Inverse and Ill-posed Problems, _ 2020. — Vol. 28, no. 6. — P. 877 879.

124. Lotova, G. Z. Numerical-statistical and analytical study of asymptotics for the average multiplication particle flow in a random medium / G. Z. Lotova, G. A. Mikhailov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. _ 2021. — Vol. 61. — P. 1330—1338.

125. Schelling, Т. C. Dynamic models of segregation / Т. C. Schelling // The Journal of Mathematical Sociology. — 1971. — Vol. 1, no. 2. — P. 143—186.

126. Mitchell, M. Re e of chaos: Evolving cellular automata to perform computations / M. Mitchell, P. T. Hraber, J. P. Crutchfield // Complex Systems. — 1993_ _ VoL 7j no_ 2. — P. 89—130.

127. Schimit, P. H. T. A model based on cellular automata to estimate the social isolation impact on COVID-19 spreading in Brazil / P. H. T. Schimit // Computer Methods and Programs in Biomedicine. — 2021. — Vol. 200. — P. 105832.

128. Modeling the Spread of Epidemics Based on Cellular Automata / J. Dai [et al.] // Processes. — 2021. — Vol. 9, no. 1. — P. 55.

129. Agent-Based Simulation Tools in Computational Epidemiology / P. Patlolla [et al.] // 4th International Workshop, International Conference on Innovative Internet Community Systems (I2CS '04). — Berlin/Heidelberg : Springer, 2004. — P. 212—223.

130. Laubenbacher, R. Agent-Based Models and Optimal Control in Biology: A Discrete Approach / R. Laubenbacher, F. Hinkelmann, M. Oremland // Mathematical Concepts and Methods in Modern Biology / под ред. H. Т. Robeva R. — Berlin, Heidelberg : Academic Press, 2013. — Гл. 5. С. 143 178.

131. Universal masking is urgent in the COVID-19 pandemic: SEIR and agent-based models, empirical validation, policy recommendations / D. Kai [et al.] // arXiv preprint. — 2020. — Apr. — arXiv: 2004.13553.

132. Wolfram, C. An Agent-Based Model of COVID-19 / C. Wolfram // Complex Systems. — 2020. — Vol. 29, no. 1. — P. 87 105.

133. Cuevas, E. An agent-based model to evaluate the COVID-19 transmission risks in facilities / E. Cuevas // Computers in biology and medicine. — 2020. — Vol. 121. — P. 103827.

134. Vlad, A. I. Transmission of acute respiratory infections in a city: agent-based approach / A. I. Vlad, Т. E. Sannikova, A. A. Romanyukha // Mathematical Biology and Bioinformatics. — 2020. — Vol. 15, no. 2. — P. 338—356.

135. Modelling the impact of testing, contact tracing and household quarantine on second waves of COVID-19 / A. Aleta [et al.] // Nature Human Behaviour. — 2020. — Vol. 4, no. 9. — P. 964 971.

136. Characterizing superspreading events and age-specific infectiousness of SARS-CoV-2 transmission in Georgia, USA / M. S. Y. Lau [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2020. — Vol. 117, no. 36. — P. 22430—22435.

137. Effectiveness of isolation, testing, contact tracing, and physical distancing on reducing transmission of SARS-CoV-2 in different settings: a mathematical modelling study / A. J. Kucharski [et al.] // The Lancet Infectious Diseases. — 2020. — Vol. 20, no. 10. — P. 1151—1160.

138. A stochastic agent-based model of the SARS-CoV-2 epidemic in France / N. Hoertel [et al.] // Nature Medicine. — 2020. — Vol. 26, no. 9. — P. 1417—1421.

139. Feasibility of controlling COVID-19 outbreaks by isolation of cases and contacts / J. Hellewell [et al.] // The Lancet Global Health. — 2020. — Vol. 8, no. 4. — e488—e496.

140. Nielsen, B. F. COVID-19 superspreading suggests mitigation by social network modulation / B. F. Nielsen, L. Simonsen, K. Sneppen // Physical Review Letters. _ 2021. — Vol. 126, no. 11. — P. 118301.

141. COVID-19 Agent-based Simulator. — URL: https : / / github . com / InstituteforDiseaseModeling/covasim.

142. Mobility network models of COVID-19 explain inequities and inform reopening / S. Chang [et al.] // Nature. — 2021. — Nov. — Vol. 589. — P. 82 87.

143. COVID-ABS: An agent-based model of COVID-19 epidemic to simulate health and economic effects of social distancing interventions / P. C. L. Silva [et al.] // Chaos, Solitons and Fractals. — 2020. — Oct. — Vol. 139. — P. 110088.

144. COVID-19 trends in Oregon: Implications for interventions / C. Kerr [et al.]. — Institute for Disease Modeling, 2020.

145. COVID-19 trends in Oregon: Preparing for opening up / C. Kerr [et al.]. — Institute for Disease Modeling, 2020.

146. Loginov, K. Direct Statistical Modeling of Spread of Epidemic Based On a Stage-Dependent Stochastic Model / K. Loginov, N. Pertsev // Mathematical Biology and Bioinformatics. - 2021. - Июль. - Т. 16, № 2. - С. 169-200. -URL: https://doi.org/10.17537/2021.16.169.

147. COVID-19 scenarios: an interactive tool to explore the spread and associated morbidity and mortality of SARS-CoV-2 / N. B. Noll [et al.] // MedRxiv. — 2020.

148. An agent-based epidemic model REIN A for COVID-19 to identify destructive policies / J. T. Tuomisto [et al.] // MedRxiv. — 2020.

149. Documentation for Covasim (a stochastic agent-based simulator, written in Python, for exploring and analyzing the COVID-19 epidemic). — URL: https: / / docs.idmod.org/projects / covasim/en/latest / index.html.

150. Size, H. UN / H. Size. — 2019. — URL: https://population.un.org Household /¡ 50 countries 840. published in the Internet.

151. Smith, M. J. The logic of animal conflict / M. J. Smith, G. R. Price / Nature. — 1973. — Vol. 246. — P. 15—18.

152. Jovanovic, B. Anonymous sequential games / B. Jovanovic, R. W. Rosenthal // Journal of Mathematical Economics. — 1988. — Vol. 17, no. 1. — P. 77—87.

153. Lasry, J.-M. Mean field games / J.-M. Lasry, P.-L. Lions // Japanese Journal of Mathematics. — 2007. — Vol. 2, no. 1. — P. 229 260.

154. Колоколъцов, В. H. Игры среднего поля, связанные с процессами устойчивого типа / В. И. Колоколъцов, М. Троева, В. Янг // МТИП. — 2013. — Т. 5, № 4. - С. 33 65.

155. Andersson, D. A maximum principle for SDEs of mean-field type / D. An-dersson, B. Djehiche // Applied Mathematics & Optimization. — 2011. — Vol. 63. — P. 341—356.

156. Mean-field backward stochastic differential equations: A limit approach / R. Buckdahn [et al.] // The Annals of Probability. — 2009. — Vol. 37, no. 4. — P. 1524—1565.

157. Kolokoltsov, V. N. Mean field games and nonlinear Markov processes / V. N. Kolokoltsov, J. Li., W. Yang // arXiv preprint. — 2012. — arXiv: 1112.3744v2.

158. Ван Камнем, H. Г. Стохастические процессы в физике и химии / И. Г. Ван Кампен. — Москва : Высшая школа, 1990.

159. Laguzet, L. Global optimal vaccination in the SIR model: Properties of the value function and application to cost-effectiveness analysis / L. Laguzet, G. Turinici // Mathematical Biosciences. — 2015. — Vol. 263. — P. 180—197.

160. Controlling propagation of epidemics via mean-field control / W. Lee [et al.j SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2021. — Vol. 81, no. 1. P. 190—207.

161. Боголюбов, Н. Н. Об уравнениях Фоккера-Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана / Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов // Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР. _ юз«). _ т. 4. - С. 5-80.

162. Bellman, R. Е. Dynamic Programming / R. Е. Bellman. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1957.

163. Fischer, M. On the connection between symmetric N-player games and mean field games / M. Fischer // The Annals of Applied Probability. — 2017. — Vol. 27, no. 2. — P. 757—810.

164. Bensoussan, A. Mean Field Games and Mean Field Type Control Theory / A. Bensoussan, J. Frehse, P. Yam. —New York : Springer, 2013. — (Springer Briefs in Mathematics).

165. Gomes, D. Continuous time finite state mean-field games / D. Gomes, J. Mohr, R. Souza // Applied Mathematics & Optimization. — 2013. — Vol. 68, no. 1. — P. 99—143.

166. Kolokoltsov, V. V. Mean field games and nonlinear Markov processes / V. V. Kolokoltsov, J. J. Li, W. Yang // arXiv preprint. — 2011. — ArXiv: 1112.3744v2.

167. Kolokoltsov, V. V. Sensitivity analysis for HJB equations with an application to a coupled backward-forward system / V. V. Kolokoltsov, W. Yang // arXiv preprint. _ 2013. — ArXiv: 1303.6234.

168. Carmona, R. Probabilistic analysis of mean-field games / R. Carmona, F. De-larue // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2013. — Vol. 51, no. 4. — P. 2705—2734.

169. Berec, L. Techniques of spatially explicit individual-based models: Construction, simulation, and mean-field analysis / L. Berec // Ecological Modelling. — 2002. — Vol. 150, no. 1/2. — P. 55 81.

170. Schimit, P. H. T. On the basic reproduction number and the topological properties of the contact network: An epidemiological study in mainly locally connected cellular automata / P. H. T. Schimit, L. H. A. Monteiro // Ecological Modelling. — 2009. — Vol. 220, no. 7. — P. 1034 1042.

171. The SIRC modeland influenza A / R. Casagrandi [et al.] // Mathematical Biosciences. — 2006. — Apr. — Vol. 200, no. 2. — P. 152 169.

172. Mарчу к, Г. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперементы / Г. Марчук. — Москва : Наука, 1991. — 304 с.

173. Бочаров, Г. Прикладные проблемы математического моделирования в иммунологии / Г. Бочаров, Г. Марчук // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Т. 40, № 12. — С. 1905—1920.

174. Руднее, С. Моделирование развития Т-системы иммунитета и оценка эффективности распределения ресурсов / С. Руднев, А. Романюха, А. Яшин // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 1. — С. 25-42.

175. Trauer, J. М. Construction of a mathematical model for tuberculosis transmission in highly endemic regions of the Asia-pacific / J. M. Trauer, J. T. Denholm, E. S. McBryde // J. Theor. Biol. — 2014. — Vol. 358. — P. 74—84.

176. Carson, E. Modelling Methodology for Physiology and Medicine / E. Carson, C. Cobelli // New-York: Academic Press. — 2001.

177. Социально-значимые заболевания населения России (Статистические материалы). — URL: https://last.mednet.ru/miac/meditsinskaya-statistika.

178. Аналитический обзор по туберкулезу в Российской Федерации: Туберкулез в Российской Федерации. — URL: https://old.mednet.ru/ru/czentr-monitoringa-tuberkuleza/produkcziya-czentra.html.

179. Эпидемическая ситуация по туберкулезу в России, 2014-2018 год. — URL: https : / / mednet. ru / images / materials / CMT / 2018 _ god _ tuberkulez _ epidsituaciya.pdf.

180. Эпидемическая ситуация по туберкулезу в России, 2019 год. — URL: https: / / mednet.ru / images / materials / CMT / tuberkulez-2019.pdf.

181. Информационные бюллетени «ВИЧ-инфекция». — URL: http://www. hivrussia.info/elektronnye-versii-informatsionnyh-byulletenij/.

182. Lorenzi, A. A remark on the paper « An inverse problem for a semilinear parabolic equation » / A. Lorenzi // Annali di Matematica Рига ed Applicata. - 1983. - T. 135, № 1. - C. 399-401. - URL: https: doi. org/10.1007/bf01781078.

183. Nanda, A. Determination of the source term in the heat conduction equation / A. Nanda, P. C. Das // Inverse Problems. - 1996. - Июнь. - Т. 12, № 3. -С. 325. - URL: https://dx.doi.Org/10.1088/0266-5611/12/3/011.

184. Бухгейм, А. Л. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач / А. Л. Бухгейм, М. В. Клибанов // Доклады АН СССР. — 1981. - Т. 260, № 2. - С. 269-272. - URL: http://mi.mathnet.ru/dan44697.

185. Yamamoto, М. Simultaneous reconstruction of the initial temperature and heat radiative coefficient / M. Yamamoto, J. Zou // Inverse Problems. — 2001. - Июль. - Т. 17, № 4. - С. 1181-1202. - URL: https://doi.org/10. 1088/0266-5611/17/4/340.

186. Bella,ssoued, M. Inverse source problem for a transmission problem for a parabolic equation / M. Bellassoued, M. Yamamoto // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. - 2006. - Янв. - Т. 14, № 1. - С. 47-56. - URL: https://doi.org/10.1515/156939406776237456.

187. Uniqueness from pointwise observations in a multi-parameter inverse problem / M. Cristofol [et al.] // Communications on Pure and Applied Analysis. — 2012. — Vol. 11, no. 1. — P. 173 188. — URL: /article/ id/lcd61b8d-ee37-41b8-a814-91a9eaea7dcf.

188. Choulli, M. Generic well-posedness of an inverse parabolic problem - the Holder-space approach / M. Choulli, M. Yamamoto // Inverse Problems. — 1996. _ Июнь. - Т. 12, № 3. - С. 195-205. - URL: https://doi.org/10. 1088/0266-5611/12/3/002.

189. An inverse problem of identifying the coefficient in a nonlinear parabolic equation / Z.-C. Deng [и др.] // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 2009. - T. 71, № 12. - C. 6212-6221. - URL: https: / / www.sciencedirect .com / science / article / pii/S0362546X09007779.

190. Penenko, A. Inverse modeling of diffusion-reaction processes with image-type measurement data / A. Penenko, Z. Mukatova // 2018 11th International Multiconference Bioinformatics of Genome Regulation and Structure/Systems Biology (BGRS\SB). - IEEE, 08.2018. - URL: https://doi.org/10.1109/ csgb.2018.8544885.

191. Goluh, G. H. Singular value decomposition and least squares solutions / G. H. Golub, C. Reinsch // Numerische Mathematik. - 1970. - T. 14, № 5. -C. 403-420.

192. Мильштейп, Г. H. Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Г. Н. Милынтейн // Теория вероятностей и ее применения. — 1975. — Т. 19, № 3. — С. 583—588.

193. Kapllani, L. Multistep schemes for solving backward stochastic differential equations on GPU / L. Kapllani, L. Teng // Journal of Mathematics in Industry. - 2022. - Янв. - Т. 12, № 1. - URL: https://doi.org/10. 1186/sl3362-021-00118-3.

194. Black, F. The Pricing of Options and Corporate Liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. - 1973. - T. 81, № 3. -0. 637—654. — URL: http:/ /www.jstor.org/stable/1831029 (дата обр. 29.10.2022).

195. A convergence rates result for Tikhonov regularization in Banach spaces with non-smooth operators / B. Hofmann [и др.] // Inverse Problems. — 2007. — Аир. - T. 23, № 3. - C. 987. - URL: https://dx.doi.org/10.1088/0266-5611/23/3/009.

196. Spokoiny, V. G. Adaptive Drift Estimation for Nonparametric Diffusion Model / V. G. Spokoiny // The Annals of Statistics. - 2000. - T. 28, № 3. -0. 815—836. — URL: http://www.jstor.org/stable/2674054 (дата обр. 29.10.2022).

197. Comte, F. Penalized nonparametric mean square estimation of the coefficients of diffusion processes / F. Comte, V. Genon-Catalot, Y. Rozenholc // Bernoulli. - 2007. - T. 13, № 2. - C. 514-543. - URL: http://www. jstor.org/stable/25464888 (дата обр. 29.10.2022).

198. Schmisser, E. Penalized nonparametric drift estimation for a multidimensional diffusion process / E. Schmisser // Statistics. — 2013. — T. 47, № 1. — C. 61-84. - eprint: https://doi.org/10.1080/02331888.2011.591931. - URL: https://doi.org/10.1080/02331888.2011.591931.

199. Nonparametric estimation of diffusions: a differential equations approach / O. Papaspiliopoulos [и др.] // Biometrika. — 2012. — Т. 99, № 3. — С. 511—531. — URL: http://www.jstor.org/stable/41720712 (дата обр. 29.10.2022).

200. Hum, A. Teaching an Old Dog New Tricks: Improved Estimation of the Parameters of Stochastic Differential Equations by Numerical Solution of the Fokker-Planck Equation : NCER Working Paper Series / A. Hurn, J. Jeisman, K. Lindsay ; National Centre for Econometric Research. — 02.2007. - № 9. -URL: https://ideas.repec.org/p/qut/auncer/2007-3.html.

201. Crepey, S. Calibration of the Local Volatility in a Generalized Black-Scholes Model Using Tikhonov Regularization / S. Crepey / / SI AM Journal on Mathematical Analysis. - 2003. - T. 34, № 5. - C. 1183-1206. - eprint: https://doi.org/10.1137/S0036141001400202. - URL: https://doi.org/10. 1137/S0036141001400202.

202. Crepey, S. Calibration of the local volatility in a trinomial tree using Tikhonov regularization / S. Crepey // Inverse Problems. — 2002. — Дек. — Т. 19, Л'" 1. - С. 91-127. - URL: https://doi.Org/10.1088/0266-5611/19/l/306.

203. Egger, H. Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing: convergence analysis and rates / H. Egger, H. W. Engl // Inverse Problems. - 2005. - Аир. - T. 21, № 3. - C. 1027-1045. - URL: https:

doi.org 10.1088 0266-5611 21 3 014.

204. Cezaro, A. D. Convex regularization of local volatility models from option prices: Convergence analysis and rates / A. D. Cezaro, O. Scherzer, J. Zubelli // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 2012. — Март. - Т. 75, № 4. - С. 2398-2415. - URL: https://doi.Org/10.1016/j. na.2011.10.037.

205. Бакушинский, А. Б. К проблеме сходимости иirrepanпиio-регуляр!повинного метода Гаусса-Ньютона / А. Б. Бакушинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1992. — Т. 32, № 9. - С. 1503-1509.

206. Blaschke, В. On convergence rates for the Iteratively regularized Gauss-Newton method / B. Blaschke, A. Neubauer, O. Scherzer // IMA Journal

of Numerical Analysis. - 1997. - Июнь. - Т. 17, № 3. - С. 421-436. -URL: https://doi.Org/10.1093/imanum/17.3.421.

207. Hohage, Т. Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss - Newton method for an inverse potential and an inverse scattering problem / T. Hohage // Inverse Problems. — 1997. — ()к г. — T. 13, № 5. — C. 1279-1299. - URL: https://doi.Org/10.1088/0266-5611/13/5/012.

208. Eggermont, P. P. B. Maximum Entropy Regularization for Fredholm Integral Equations of the First Kind / P. P. B. Eggermont // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1993. - T. 24, № 6. - C. 1557-1576. - URL: https://doi.org/10.1137/0524088.

209. Burger, M. Convergence rates of convex variational regularization / M. Burger, S. Osher // Inverse Problems. — 2004. — Июль. — Т. 20, № 5. — С. 1411-1421. - URL: https://doi.Org/10.1088/0266-5611/20/5/005.

210. Resmerita, E. Regularization of ill-posed problems in Banach spaces: convergence rates / E. Resmerita // Inverse Problems. — 2005. — Июнь. — Т. 21, № 4. - С. 1303-1314. - URL: https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/4/007.

211. Kabanikhin, S. A combined numerical algorithm for reconstructing the mathematical model for tuberculosis transmission with control programs / S. Kabanikhin, O. Krivorotko, V. Kashtanova // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2018. — Vol. 26, no. 1. — P. 121—131. — (Scopus, WoS).

212. Cox, J. C. The valuation of options for alternative stochastic processes / J. C. Cox, S. A. Ross // Journal of Financial Economics. — 1976. — T. 3. — 0. 145-166.

213. Li, S. The relationship between implied and realized volatility: evidence from the Australian stock index option market / S. Li, Q. Yang // Review of Quantitative Finance and Accounting. — 2009. — T. 32. — C. 405—419.

214. Ramirez, C. Time series and stochastic differential equations as a tool to model the volatility of an asset / C. Ramirez, J. R. González, G. Correa // Journal of Physics: Conference Series. — 2021. — T. 1938.

215. On identifiability of nonlinear ODE models and applications in viral dynamics / H. Miao [et al.] // SIAM Review. — 2011. — Vol. 53, no. 1. — P. 3—39.

216. Observability, Identifiability and Epidemiology A survey / F. Hamelin [и др.]. - 2021.

217. Glover К. Parametrization of linear dynamical systems: canonical forms and identifiability / Glover K., Willems J. // IEEE Trans on Automatic Control. — 1974. — Vol. 19. — P. 640—646.

218. Bellman, R. On structural identifiability / R. Bellman, K. Astrom // Math. Biosci. — 1970. — Vol. 30, no. 4. — P. 65 74.

219. Grewal, M. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems / M. Gre-wal, K. Glover // IEEE Trans on Automatic Control. — 1976. — Vol. 21, no. 6. — P. 833—837.

220. С obeli, C. Parameter and structural identifiability concepts and ambiguities: a Critical review and analysis / C. Cobeli, J. DiStefano // Amer. J. Physiology-Regulatory, Integrative and Comparative Physiology. — 1980. —

Vol, 3. _ p. 369—3gg.

221. Tunali, T. New Results for Identifiability of Nonlinear Systems / T. Tunali, T. Tarn // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1987. — Vol. 15. — P. 45—51.

222. Vajda, S. Identifiability of first order reaction systems / S. Vajda // Reaction Kinetics and Catalysis Letters. - 1979. - Март. - Т. И, № 1. - С. 39-43. -URL: https://doi.org/10.1007/bf02098331.

223. Audology, S. On the identifiability of linear compartmental system: a revisited transfer function approach based on topological properties / S. Audology, L. Angio // Mathematical Biosciences. — 1983. — Vol. 10, no. 5. — P. 10—17.

224. Щербак, В. Ф. Условия идентифицируемости динамических систем. Математическая физика / В. Ф. Щербак // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1983. - Т. 34. - С. 105-108.

225. Леваков, А. А. Идентифицируемость нелинейных систем / А. А. Леваков // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 6. — С. 1074-1078.

226. Карелин, В. В. . Алгоритм для оценки вектора параметров линейных динамических систем с дискретно-измеряемыми функциями / В. В. . Карелин // Вопросы механики и процессов управления. — 1982. — Т. 359, № 5.

227. Авдеенко, Т. В. Анализ идентифицируемости линейных динамических моделей с использованием сепараторов параметрического пространства / Т. В. Авдеенко, С. А. Каргин // Сиб. журн. индустр. матем. — 2006. — Т. 9, № 3. - С. 3-16.

228. Ломов, А. А. Совместная идентифицируемость коэффициентов линейных разностных уравнений объекта и аддитивных возмущений / А. А. Ломов // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. — 2015. - Т. 15, № 4. - С. 46-57.

229. Saccomani, М. Qualitative Experiment Design in Physiological System Identification / M. Saccomani, C. Cobeli // IEEE Control System. — 1992. — Vol. 3, no. 12. — P. 18—23.

230. Brown, R. Compartmental System Analysis: State of the Art / R. Brown // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1980. — Vol. 14, no. 3. — P. 31—41.

231. Brown, R. Identifiability: role in design of pharmacokinetic experiments / R. Brown // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1982. — Vol. 14, no. 3. — P. 31—41.

232. Saccomani, M. An Effective Automatic Procedure for Testing Parameter Identifiability of HIV/AIDS Models / M. Saccomani, S. Audoly, L. Angio // Bull Math Biol. — 1978. — Vol. 73. — P. 1734 1753.

233. Bellu, G. Comput Methods Programs / G. Bellu, M. Saccomani, S. Audoly // Biomed. Mathematical Biosciences. — 2007. — Vol. 5. — P. 67—75.

234. Meshkat, N. Alternative to Ritt's Pseudodivision for finding the input-output equations of multi-output models / N. Meshkat, C. Anderson, I. J. D. // Mathematical Biosciences. — 2012. — Vol. 239, no. 1. — P. 117—123.

235. Meshkat, N. Finding and Using Identifiable Parameter Combinations in Nonlinear Dynamic Systems Biology Models and COMBOS: A NovelWeb Implementation. / N. Meshkat, M. Eisenberg // Plos One. — 2014. — Vol. 9, no. 10.

236. Carson, E. Introduction to Modelling in Physiology and Medicine / E. Carson, C. Cobelli // New-York: Academic Press. — 2008.

237. Comparison of approaches for parameter identifiability analysis of biological systems / A. Raue [et al.] // BIOINFORMATICS. — 2014. — Vol. 30, no. 10. — P. 1440—1448.

238. Идентифицируемость математических моделей медицинской биологии / С. И. Кабанихин [и др.] // Вавиловский журнал генетики и селекции. — 2015. - Т. 19, № 6. - С. 738-744. - (Scopus, WoS).

239. Villaverde, A. F. Identifiability of large nonlinear biochemical networks / A. F. Villaverde, A. Barreiroc // MATCH Commun. Math. Comput. Cliem. — 2016. — Vol. 76. — P. 259 296.

240. Saltelli, A. Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley and Sons / A. Saltelli, K. Chan, M. Scott // New York: Sensitivity analysis. — 2000.

241. Raue, A. Structural and practical identifiability analysis of partially observed dynamical models by exploiting the profile likelihood / A. Raue, C. Kreutz, T. Maiwald // Bioinformatics. — 2009. — Vol. 25, no. 15. — P. 1923 1929.

242. Криворот,ъко, О. И. Анализ чувствительности и практическая идентифицируемость математических моделей биологии / О. И. Криворотько, Д. В. Андорная, С. И. Кабанихин // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2020. - Т. 23, № 1. - С. 107-125.

243. Identifiability and observability analysis for experimental design in nonlinear dynamical models / A. Raue [et al.] // Chaos. — 2010. — Dec. — Vol. 20, no. 4. — P. 045105.

244. Magal, P. The parameter identification problem for SIR epidemic models: identifying unreported cases / P. Magal, G. Webb // Journal of Mathematical Biology. - 2018. - Янв. - Т. 77, № 6/7. - С. 1629-1648. - URL: https: //doi.org/10.1007/s00285-017-1203-9.

245. The structural identifiability of the susceptible infected recovered model with seasonal forcing / N. D. Evans [и др.] // Mathematical Biosciences. — 2005. — Аир. - T. 194, № 2. - C. 175-197. - URL: https://doi.Org/10.1016/j.mbs. 2004.10.011.

246. Observability, Identifiability and Epidemiology A survey / F. Hamelin [и др.]. — 10.2021. — URL: https://lial.archives-ouvertes.fr/lial-02995562 ; working paper or preprint.

247. Diop, S. Nonlinear observability, identifiability, and persistent trajectories / S. Diop, M. Fliess // [1991] Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control. - 1991. - 714-719 vol.1.

248. Kolchin, E. R. Differential Algebra and Algebraic Groups / E. R. Kolchin. — Cambridge : Academic Press, 1973.

249. Ljung, L. On global identifiability for arbitrary model parametrizations / L. Ljung, T. Glad // Automatica. - 1994. - T. 30, № 2. - C. 265-276. -URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0005109894900299.

250. Чевердщ В. A. r-псевдообратный для компактного оператора / В. А. Чеверда, В. И. Костин // Сибирские электронные математические известия. — 2010. — Т. 7. — С. 258—282. — URL: http: / / www. mathnet.ru / rus / agreement.

251. On structural and practical identifiability / F.-G. Wieland [и др.] // Current Opinion in Systems Biology. - 2021. - T. 25. - C. 60-69. - URL: https: / / www.sciencedirect .com / science / article / pii/S245231002100007X.

252. Rodriguez-Fernandez, M. Novel metaheuristic for parameter estimation in nonlinear dynamic biological systems / M. Rodriguez-Fernandez, J. A. Egea, J. R. Banga // BMC Bioinformatics. — 2006. — Vol. 7, no. 483.

253. Metropolis, N. The Monte Carlo method / N. Metropolis, S. Ulam // Journal of the American Statistical Association. — 1949. — Vol. 44, no. 247. — P. 335—341.

254. Cacuci, D. G. Sensitivity and uncertainty analysis: theory. Vol. 1 / D. G. Cacuci. — New York : Chapman & Hall/CRC, 2003. — 304 p.

255. Identifiability analysis of inverse problems in biology / V. Latyshenko [et al.] // Proceedings of the 2nd International Conference on Computational Modeling, Simulation and Applied Mathematics (CMSAM2017). — 2017. — P. 567—571.

256. Quaiser, Т. Systematic identifiability testing for unambiguous mechanistic modeling - application to JAK-STAT, MAP kinase, and NF-к В signaling pathway models / T. Quaiser, M. Monnigmann // BMC Systems Biology. — 2009. - Май. - Т. 3, № 1. - URL: https://doi.org/10.1186/1752-0509-3-50.

257. Study of the sensitivity of coupled reaction systems to uncertainties in rate coefficients / R. I. Cukier [и др.] // The Journal of Chemical Physics. — 1973. - T. 59. - C. 3873-3878.

258. Sobol, I. M. Sensitivity analysis for non-linear mathematical models / I. M. Sobol // Mathematical Modelling and Computational Experiment. — 1993. - T. 4. - C. 407-414.

259. Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index / A. Saltelli [и др.] // Computer Physics Communications. - 2010. - T. 180. - C. 259-270.

260. Bayesian history matching of complex infectiousdisease models using emulation: a tutorial and a case study on HIV in Uganda / I. Andrianakis [et al.] // PLOS Computational Biology. — 2015. — Jan. — Vol. 11, no. 1. — el003968.

261. Comparison of approaches for parameter identifiability analysis of biological systems / A. Raue [et al.] // Bioinformatics. — 2014. — Vol. 30, no. 10. — P. 1440—1448.

262. Анализ чувствительности и практическая идентифицируемость математических моделей биологии / О. И. Криворотько [и др.] // Вавиловский журнал генетики и селекции. — 2021. — Т. 25, № 1. — С. 82—91. — URL: https://vavilov.elpub.ru/jour/article/view/2919. — (Scopus, WoS).

263. Bayesian history matching of complex infectious disease models using emulation: a tutorial and a case study on HIV in Uganda / I. Andrianakis [et al.] // PLOS Computational Biology. — 2015. — Jan. — Vol. 11, no. 1. — el003968.

264. McKay, M. D. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code / M. D. McKay, R. J. Beckman, C. W. J. // Technometrics. — 1979. — May. — Vol. 21, no. 2. — P. 239—254.

265. Malouf, R. A comparison of algorithms for maximum entropy parameter estimation / R. Malouf // Proceedings of the Sixth Conference on Natural Language Learning. — 2002. — Aug. — Vol. 20. — P. 49—55.

266. Pukelsheim, F. The three sigma rule / F. Pukelsheim // The American Statistician, _ 1994. _ May. — Vol. 48, no. 2. — P. 88 91.

267. Systems biology: parameter estimation for biochemical models / M. Ashyraliyev [и др.] // FEBS Journal. - 2009. - Янв. - Т. 276, № 4. -С. 886-902. - URL: https://doi.Org/10.llll/j.1742-4658.2008.06844.x.

268. Нестеров, Ю. Методы выпуклой оптимизации / Ю. Нестеров. — Москва : Издательство МЦНМО, 2010. - 281 с.

269. Gasnikov, А. V. Universal method for stochastic composite optimization problems / A. V. Gasnikov, Y. E. Nesterov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2018. - T. 58, № 1. - C. 48-64.

270. Гасников, А. В. Современные численные методы оптимизации. Метод универсального градиентного спуска / А. В. Гасников. — М.: МФТИ, 2018.

271. Евтушенко, Ю. Г. Распараллеливание процесса поиска глобального экстремума / Ю. Г. Евтушенко, В. У. Малкова, А.-И. А. Станевичюс // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Т. 11, № 5. — С. 46—58. — URL: http: / / mi.mathnet.ru / rus/at/у2007/i5/р46.

272. Evtushenko, Y. G. Parallel global optimization of functions of several variables / Y. G. Evtushenko, V. U. Malkova, A. A. Stanevichyus // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2009. — Февр. — Т. 49, № 2. - С. 246-260. - URL: https : / / doi . org / 10 . 1134 / s0965542509020055.

273. Tensor based approach to the numerical treatment of the parameter estimation problems in mathematical immunology / V. V. Zheltkova [et al.] //J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2018. — Vol. 26, no. 1. — P. 51—66.

274. Chou, I.-C. Recent developments in parameter estimation and structure identification of biochemical and genomic systems / I.-C. Chou, E. O. Voit // Mathematical Biosciences. - 2009. - Июнь. - Т. 219, № 2. - С. 57-83. -URL: https://doi.Org/10.1016/j.mbs.2009.03.002.

275. Oseledets, I. V. TT-cross approximation for multidimensional arrays / I. V. Oseledets, E. E. Tyrtyshnikov // Linear Algebra Appl. — 2010. — Vol. 432, no. 1. — P. 70—88.

276. Oseledets, I. V. Tensor-train decomposition / I. V. Oseledets // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2011. — Vol. 33, no. 5. — P. 2295—2317. — URL: https://epubs.siam.org/doi/epdf/10.1137/090752286.

277. Oseledets, I. V. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions / I. V. Oseledets, E. E. Tyrtyshnikov // SIAM J. Sci. Oompuf. — 2009. — Vol. 31, no. 5. — P. 3744 3759.

278. Васин, В. В. О сходимости методов градиентного типа для нелинейных уравнений / В. В. Васин // Доклад РАН. — 1998. — Т. 359. — С. 7—9.

279. Kabanikhin, S. I. Identification of biological models described by systems of nonlinear differential equations / S. I. Kabanikhin, О. I. Krivorotko // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2015. — Vol. 23, no. 5. — P 5i9—527. _ (Scopus, WoS).

280. Кабанихищ С. И. Оптимизационные методы решения обратных задач иммунологии и эпидемиологии / С. И. Кабанихин, О. И. Кривороть-ко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2020. - Т. 60, № 4. - С. 590-600. - (Scopus, WoS).

281. Самарский, А. Устойчивость разностных схем 3-е изд. / А. Самарский, А. Гулин. — Москва : Книжный дом «Либроком», 2009. — 384 с.

282. Репин, С. Оценка разности приближенных решений задач Коши для параболического уравнения и гиперболического уравнения с малым параметром / С. Репин, Б. Четверушкин // Доклады РАН. — 2013. — Т. 461, № 3. - С. 255-258.

283. Моисеев, Т. О близости решений невозмущенных гиперболизированных уравнений теплопроводности для разрывных начальных данных / Т. Моисеев, Е. Мышецкая, В. Тишкин // Доклады академии наук. Математика. - 2018. - Т. 481, № 6. - С. 605-609.

284. Четверушкин, Б. Моделирование процесса лучистой теплопроводности на всокопроизводительных вычислительных системах / Б. Четверушкин, О. Ольховская // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы

управления. — 2020. — Т. 491, № 1. — С. 111 114. — URL: https: doi. org/10.31857/ s2686954320020083.

285. Карчевеклщ А. Л. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом / А. Л. Карчевский // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2008. Т. 11. Л'° 2.

С. 139—149.

286. Евтушенко, Ю. Г. Оптимизация и быстрое автоматическое дифференцирование / Ю. Г. Евтушенко. — М.: ВЦ РАН, 2013.

287. Черноусько, Ф. Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. — 1979. — Т. 14. — С. 101—166.

288. Duchi, J. Adaptive Subgradient Methods for Online Learning and Stochastic Optimization / J. Duchi, E. Hazan, Y. Singer // Journal of Machine Learning Research. - 2011. - T. 12. - C. 2121-2159. - URL: http://www.jmlr.org/ papers/volumel2/duchilla/duchilla.pdf.

289. Locatelli, M. (Global) Optimization: Historical notes and recent developments / M. Locatelli, F. Schoen // EURO Journal on Computational Optimization. - 2021. — T. 9. — C. 100012. - URL: https : / / www . sciencedirect.com/science/article/pii/S2192440621001398.

290. Barricelli, N. A. Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods / N. A. Barricelli // Methodos. - 1957. - C. 143-182.

291. Storn, R. Differential Evolution: A Simple and Efficient Adaptive Scheme for Global Optimization Over Continuous Spaces / R. Storn, K. Price // Journal of Global Optimization. — 1995. — Янв. — Т. 23.

292. Kennedy, J. Particle swarm optimization / J. Kennedy, R. Eberhart // Proceedings of ICNN'95 - International Conference on Neural Networks. T. 4. - 1995. - 1942-1948 vol.4.

293. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis [и др.] // The Journal of Chemical Physics. — 1953. — Июнь. — Т. 21, № 6. — C_ Ю87-1092. - URL: https://doi.Org/10.1063/l.1699114.

294. Algorithms for Hyper-Parameter Optimization / J. Bergstra [и др.] // Advances in Neural Information Processing Systems. T. 24 / под ред. J. Shawe-Taylor [и др.]. — Curran Associates, Inc., 2011. — URL: https:// proceedings.neurips.cc / paper/2011/file / 86e8f7ab32cfdl2577bc2619bc635690-Paper.pdf.

295. Becker, R. A global optimization algorithm / R. Becker, G. Lago // Proceedings of the 8th Allerton Conference on Circuits and Systems Theory. - 1970. - C. 3-12.

296. Jones, D. R. j D. R. Jones, M. Schonlau, W. J. Welch // Journal of Global Optimization. - 1998. - T. 13, № 4. - C. 455-492. - URL: https: doi. org/10.1023/a: 1008306431147.

297. Bej, A. Time-Series Prediction for the Epidemic Trends of COVID-19 Using Conditional Generative Adversarial Networks Regression on Country-Wise Case Studies / A. Bej, U. Maulik, A. Sarkar // SN Computer Science. — 2022. - Июнь. - Т. 3, № 5. - URL: https://doi.org/10.1007/s42979-022-01225-7.

298. Жиглявский, А. А. Методы поиска глобального экстремума / А. А. Жи-глявский, А. Г. Жилинскас. — Москва : Наука, 1991.

299. On Convergence of Differential Evolution Over a Class of Continuous Functions With Unique Global Optimum / S. Ghosh [и др.] // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part В (Cybernetics). — 2012. - Февр. - Т. 42, № 1. - С. 107-124. - URL: https://doi.org/10. 1109/tsmcb.2011.2160625.

300. Locatelli, M. (Non) convergence results for the differential evolution method / M. Locatelli, M. Vasile // Optimization Letters. — 2014. — Ок г. — T. 9, ..V" 3. - C. 413-425. - URL: https://doi.org/10.1007/sll590-014-0816-9.

301. Storn, R. Differential Evolution - A Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces / R. Storn, K. Price // Journal of Global Optimization. - 1997. - T. 11. - C. 341-359.

302. Storn, R. Differential Evolution Research - Trends and Open Questions / R. Storn // Advances in Differential Evolution / под ред. U. К. Chakraborty. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2008. - C. 1-31.

303. Price, К. V. Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization (Natural Computing Series) / К. V. Price, R. Storn, J. Lampinen. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2005.

304. Anyong, Q. Differential Evolution: Fundamentals and Applications in Electrical Engineering / Q. Anyong. — John Wiley & Sons, 2009.

305. On stability and convergence of the population-dynamics in differential evolution / D. Sambarta [и др.] // Al Commun. - 2009. - T. 22. - C. 1-20.

306. Wolfgang, H. Theory and Application of Liapunov's Direct Method / H. Wolfgang. — 1963.

307. S., K. Optimization by Simulated Annealing / K. S., G. C. D., V. M. P. // Science. - 1983. - T. 220, № 4598. - C. 671-680. - eprint: https: www. science.org/doi / pdf/10.1126 / science.220.4598.671.

308. OPTUNA: hyperparameter optimization framework. — URL: https : / / optuna.org/.

309. Python implementation of the Tensor Train (TT). — URL: https://github. com / oseledets / ttpy.

310. Морозов, В. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации / В. Морозов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1968. — Т. 8, № 2. — С. 295—309.

311. Алифанов, О. Экстремальные методы решения некорректных задач / О. Алифанов, Е. Артюхин, С. Румюнцев. — Москва : Наука, 1988. — 288 с.

312. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады Академии наук СССР. — 1963. — Апр. — Т. 151, № 3. — С. 501-504.

313. Leonov, A. S. Inverse problem for coefficients of equations describing propagation of COVID-19 epidemic / A. S. Leonov, О. V. Nagornov, S. A. Tyuflin // Journal of Physics: Conference Series. — 2021. — Сент. — Т. 2036, № 1. - С. 012028. - URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/ 2036/1/012028.

314. Тихонов, А. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Тихонов // Математический сборник. — 1948. — Т. 22(64), № 2. - С. 193-204.

315. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ Численное решение обратной задачи распространения информации в онлайн социальных сетях [Текст] / Т. А. Звонарева, О. И. Криворотько ; НГУ. — № 2020616166 ; заявл. 21.05.2020 ; опубл. 11.06.2020, 2020616166 (Российская Федерация).

316. Kingma, D. P. Adam: a method for stochastic optimization / D. P. Kingma, J. Ba // arXiv preprint. — 2014. — ArXiv: 1412.6980.

317. The COVID Tracking Project in USA. — URL: https://covidtracking.com/ data.

318. Ba/rtolucci, F. A Generalized Moving Average Convergence/Divergence for Testing Semi-strong Market Efficiency / F. Bartolucci, A. Cardinali, F. Pennoni // Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance. — 2018. — С. 101—105. — URL: https://link.springer.com/ chapter/10.1007/978-3-319-89824-7_ 18.

319. Coronavirus (COVID-19) in the UK. — URL: https://coronavirus.data.gov. uk/.

320. Звонарева, Т. А. Сравнительный анализ градиентных методов определения источника диффузионно-логистической модели / Т. А. Звонарева, О. И. Криворотько // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2022. — Т. 62, № 4. — С. 694—704. — (Scopus, WoS).

Список рисунков

1.1 Диаграмма развития математических моделей эпидемиологии с 1760 года на основе камерных, имитационных моделей и их комбинации. В синих рамках приведены результаты по применению

ОДУ к описанию эпидемий, в желтых рамках - УРЧП, в

оранжевых - модели ИСП и в зеленых рамках - АОМ......... 43

1.2 Схема развития некоторых математических моделей динамики туберкулеза и ВИЧ с 1960-х годов до настоящего времени....... 48

1.3 Диаграмма моделей прогнозирования временных рядов........ 49

1.4 Результаты предсказания временного ряда ежедневно проводимых ПЦР-тестов Т(£) в Новосибирской области (сплошная синяя линия) на месяц вперед с 18.01.2021 (вертикальная оранжевая линия) моделями Хольта-Винтерса (черная пунктирная линия), линейной регрессии (синяя пунктирная линия) и БАШМА (зеленая

пунктирная линия)............................. 53

1.5 Схема зависимостей в скрытой марковской модели (а) и ИНС с

одним скрытым слоем (б)......................... 54

1.6 Взаимосвязь математических моделей распространения инфекционного заболевания на основе камерного подхода и имитационного моделирования....................... 58

1.7 Схемы камерных моделей (a) SIR, (б) SEIR и (в) SEIR-HCD...... 61

1.8 Кривая dR/dt в зависимости от времени и данных о количестве смертей в неделю во время эпидемии чумы в Бомбее в 1905-1906 гг. . 62

1.9 Схема модели ко-инфекции туберкулеза и ВИЧ (1.8), основанная на законе баланса масс............................. 74

1.10 Расширенная камерная модель ко-инфекции ВИЧ-туберкулез, основанная на модели (1.8). Дополнительно введенные камеры обозначены оранжевым цветом {Lm,Im,Tm)............... 82

1.11 Решение задачи Коши (1.5)-(1.6) (черная линия) и начально-краевой задачи (1.19)-(1.21) (красная линия) с заданными параметрами: а = 0.3856, ае = 0.0922, tinc = 5, t¡nf = 8, £не = 0.0376, thosp = 7, tvmm = 175, ^ = 0.4754, tcrit = 9, vs = 5 • 10-5, ve =

10-3 ,ví = 10-10 ,vr = 10-5.......................... 91

1.12 Схема распространения информации в онлайн социальных сетях, используемая в модели (1.22)....................... 92

1.13 Моделирование изменения S(t) и I(t) в детерминированной (1.1) (черная линия) и стохастической (1.27) (цветные линии) SIR модели

при условиях: N = 100, а =1, в = 0.5, S0 = 98, 10 = 2, At = 0.01. . 103

1.14 Представление распространения инфекции клеточным автоматом

(а) и сетевой моделью (б)..........................105

1.15 Пример схем связей для подвыборки 127 человек из 10 000. Все люди присутствуют в домохозяйствах (слева), в том числе некоторые не имеют связи с домом. Как правило, эти люди, включая учителей, присутствуют в школьной сети (кружки); другое подмножество присутствует в сетях рабочих мест (квадраты); некоторые люди не входят ни в школьную, ни в рабочую сеть

(треугольники). Цветом отмечена возрастная категория агента. . . . 112

1.16 Диаграмма состояний агентов в АОМ. Оранжевой рамкой обозначены те состояния, находясь в которых агент имеет возможность получить положительный тест на COVID-19.......114

1.17 Классическая схема ИСП, основанная на системе уравнений КФП и ГЯБ......................................122

1.18 Схема SIRC модели распространения инфекционного заболевания, основанной на законе баланса масс....................126

2.1 Значения сингулярных чисел матрицы линеаризованной обратной задачи для модели ЗКШ-Н01) для трех периодов моделирования: 1 период соответствует появлению штамма Омикрон (красная линия),

2 период - стабилизация эпидемиологической ситуации (синяя

линия) и 3 период - появление штамма Кентавр (черная линия). . . 140

2.2 Значения сингулярных чисел матрицы линеаризованной обратной задачи для модели динамики ко-инфекции ТВ и ВИЧ (1.12).....145

2.3 Графики убывания сингулярных чисел матриц А1 (слева) и А2 (справа) в логарифмической шкале....................153

2.4 Логарифмическая шкала убывания сингулярных чисел матриц Л1 (красный график) и А2 (синий график).................153

3.1 Диаграмма подходов идентифицируемости детерминистских и

стохастических моделей главы.......................164

3.2 функция полуотносительной чувствительности • q* для временного промежутка с 15.04.2020 по 01.10.2020 (Т = 170 дней). . 182

3.3 Величины норм перпендикуляров (вертикальная ось) для каждого параметра (соответствует цвету) на различных итерациях (горизонтальная ось) ортогонального алгоритма чувствительности

параметров математической модели (1.5).................183

О „ лч « 9y(t,x)

3.4 Функция полуотносительнои чувствительности —--q* для

dq3 3

х G (1,6), t G (1, 24).............................187

3.5 Величины норм перпендикуляров для каждого параметра на различных итерациях ортогонального алгоритма для

математической модели (1.22).......................188

3.6 Индексы чувствительности Si для неизвестных параметров q G R14

в зависимости от времени (с 40 по 200 день)...............190

3.7 Решение задачи Коши (1.19)-(1.20) с заданными параметрами: ai = 0.3856, ae = 0.0922, tmc = 5, tmf = 8, в = 0.4, tHC = 0.0376, thosp = 7, tvmm = 175, ^ = 0.4754, tcrit = 9, vs = 5 • 10-5, ve =

10-3 ,ví = 10-10 vr = 10-5..........................191

3.8 Значения индексов чувствительности Si для параметров q G R14 при различных измерениях данных. Красными столбцами представлены значения индексов Si7 черными линиями -доверительный интервал для Si7 i = 1,..., 14..............192

3.9 Диаграммы распределений плотности неизвестных параметров в пространстве правдоподобности, полученном с помощью байесовского подхода. Границы «ящиков с усами» представляют собой 25, 50 и 75 квантили распределений, черты снизу и сверху -неуточненные границы неизвестных параметров.............193

3.10 Алгоритм построения пространства правдоподобности на основе байесовского подхода............................197

3.11 Пространство правдоподобности l(q) изменения параметра заразности a, начального количества инфицированных Е(0) и шанса быть протестированным р(у) АОМ в зависимости от количества выявленных, критических и умерших случаев в результате COVID-19............................199

4.1 Синяя линия демонстрирует убывание функционала с увеличением числа узлов, оранжевая линия - график возрастания времени

работы программы с увеличением числа узлов.............238

4.2 Схема совмещения дифференциального и агентного подходов к моделированию распространения СОУЮ-19: цикл одного дня. 1 -модуль сбора, обработки и экстраполяции статистических данных, 2.1 - решение обратной задачи для 8КШ-НС1) модели, 2.2 -решение прямой задачи для 8КШ-НС1) модели при восстановленных параметрах, 3.1 - решение обратной задачи для агентной модели, 3.2 - решение прямой задачи для агентной модели при восстановленных параметрах, 4 - усвоение данных и

продолжение цикла на следующий день.................249

4.3 Схема прогнозирования эпидемиологической ситуации в момент времени £ на К дней вперёд по данным за N предыдущих дней: на отрезке [£ — N; £] осуществляется калибровка модели БЕШ-НСБ, на отрезке [£ + 1; £ + К] осуществляется прогноз с помощью откалиброванной модели..........................250

4.4 Схема кросс-валидации модели 8КШ-НС1) для временных рядов. . . 251

4.5 Моделирование новых выявленных случаев заражения СО\Т1)-19 в Новосибирской области за период с 26.07.2020 по 01.09.2022 на основе усвоения данных (красная линия). Черные точки - реальные данные. График представлен в логарифмической шкале........252

5.1 Выявленные случаи в результате ПЦР-тестирования Д в Новосибирской области с 26.07.2020 по 01.09.2022 (статистические данные)....................................262

5.2 Критические случаи Си СОУЮ-19 в Новосибирской области с 26.07.2020 по 01.09.2022 (статистические данные)............263

5.3 Количество захоронений дь индивидуумов с подтвержденным диагнозом СОУГО-19 в Новосибирской области с 26.07.2020 по 01.09.2022 (статистические данные)....................263

5.4 Доля бессимптомных носителей СОУГО-19 Ьк в Российской Федерации с 26.07.2020 по 01.02.2022 (статистические данные). . . . 264

5.5 Индекс самоизоляции от Яндекса а(£) в Новосибирской области с 26.07.2020 по 01.09.2021 (статистические данные, 0 - на улице очень много людей, 5 - на улице почти никого нет)..............264

5.6 Процент индивидуумов с наличием антител 1^0 к вирусу 8АНБ-СоУ-2 |3(£) в Новосибирской области с 26.07.2020 по

01.09.2022 (статистические данные)....................265

5.7 Данные по смертности в Новосибирской области в 2020 году: общая смертность по данным ЗАГС (черная линия), количество захоронений (красная линия) и количество умерших в результате СОУГО-19 по данным Росстата (синяя линия)..............267

5.8 Данные по смертности в Новосибирской области в 2021 году: общая смертность по данным ЗАГС (черная линия), количество захоронений (красная линия) и количество умерших в результате СОУГО-19 по данным Росстата (синяя линия)..............267

5.9 Данные по смертности в Новосибирской области в 2022 году (до октября): общая смертность по данным ЗАГС (черная линия), количество захоронений (красная линия) и количество умерших в результате СОУГО-19 по данным Росстата (синяя линия).......268

5.10 Количество госпитализированных (красная линия) и критических (синяя линия) случаев СОУГО-19 по Новосибирской области с

24.04.2020 по 06.12.2021 и количество захоронений в городе Новосибирске (черная линия).......................268