Математические методы статистики и нелинейной динамики для оценки валютных рисков на базе предпрогнозного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Болатова, Лилия Руслановна

• Болатова, Лилия Руслановна
• кандидат экономических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Болатова, Лилия Руслановна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ПРЕДМЕТА И ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Валютный рынок.

1.1.1. Анализ валютных операций.

1.1.2. Валютный курс - один из главных макроэкономических показателей

1.2. Валютные риски.

1.2.1. Валютные риски и способы страхования валютных рисков.

1.2.2. Основные принципы хеджирования.

1.2.3. О способах хеджирования.

1.3. Недостатки применения традиционных статистических методов для оценки финансово- экономического и валютного риска.

1.4. Прогнозирование обменного курса как эффективное управление валютными рисками.

1.5. Степень разработанности моделей доходности валют и методик прогнозирования риска в случае инвестиционного (неспекулятивного) подхода.

1.6. Сравнительный анализ векторной оценки риска курсов валют и их приращений.

1.7. Проблема прогнозирования временных рядов с памятью.

1.8. Современные инструменты анализа динамики временных рядов.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ радов ВАЛЮТНЫХ КУРСОВ, ВЫВЯВЛЕНИЕ ТРЕНДОВ, циклов И ТЕНДЕНЦИЙ РАЗВИТИЯ.

2.1. Инструментарий фрактального анализа временных рядов валютных курсов для выявления долговременной памяти, трендов циклов и тенденций развития.

2.1.1. Теоретические основы методологии и инструментария анализа эволюционных систем и процессов, не подчиняющихся известным законам распределения.

2.1.2. R/S-анализ временных рядов как основа получения предпрогнозной информации.

2.1.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов R/S -анализа.

2.2. Фазовые портреты.

2.2.1. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда.

2.2.2. Разбиение фазового портрета на квазициклы.

2.2.3. Сравнительный анализ фазовых портретов временного ряда обменного курса евро-доллар и временного ряда его приращений.

ГЛАВА 3. ШЕСТИЦВЕТНАЯ МОДЕЛЬ КРАТКОСРОЧНОГО

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОБМЕННОГО КУРСА ВАЛЮТ НА БАЗЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

3.1. Математический инструментарий нечетких множеств и линейных клеточных автоматов.

3.2. Частотный анализ памяти лингвистического временного ряда.

3.3. Конфигурационный анализ лингвистического временного ряда приращений.

3.4. Верификация и валидация прогнозной модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические методы статистики и нелинейной динамики для оценки валютных рисков на базе предпрогнозного анализа»

Актуальность темы исследования. Россия вступает на новый уровень международных отношений, что дает возможность российским юридическим и физическим лицам получать высококачественную и своевременную информацию с мировых валютных рынков и зарабатывать столь необходимые средства. Большое значение приобретает сегодня и другая составляющая финансового рынка - фондовый рынок.

Международный валютный рынок представляет собой совокупность конверсионных операций по купле-продаже иностранной валюты на конкретных условиях (сумма, обменный курс, период), которые осуществляются между участниками валютного рынка.

Тенденции развития международного валютного рынка характеризуются устойчивым ростом объемов конверсионных операций с иностранными валютами, сокращением времени распространения, обработки информации и совершения сделок на рынке FOREX, что сделало его доступным для более широкого круга участников рынка и наиболее ликвидным финансовым рынком. Поведение валютного рынка стало более динамичным с высокой волатильностью курсов валют и относительно высокочастотными колебаниями. Резко возросли значимость технологий управления валютными активами инвесторов и интерес участников рынка и исследователей разных стран к прогнозированию риска портфеля инвестора с целью принятия рациональных решений, учитывающих современное состояние развития валютного рынка.

Возможность прогнозирования риска финансовых потерь с учетом высокой волатильности курсов валют с относительно высокочастотными колебаниями создает дополнительные возможности коммерческим банкам для оценки резерва банка, необходимого для их покрытия, а также для тех участников рынка FOREX, которые осуществляют конверсионные операции на условиях маржевой торговли. При этом следует отметить, что эффективное прогнозирование риска портфеля инвестора зависит, в первую очередь, от модели доходности валют, входящих в портфель инвестора, адекватно отражающей процессы, происходящие на современном валютном рынке.

Данные обстоятельства обуславливают актуальность углубленных исследований моделей по прогнозированию обменных курсов валют и, как следствие, оценку валютных рисков. Для этих целей особого внимания заслуживает развитие и апробация соответствующих экономико-математических методов на базе многокритериального подхода и многоуровневой концепции, что и составляет основное содержание настоящего диссертационного исследования.

Степень разработанности проблемы. Вопросам моделирования доходности валют, доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора на финансовых рынках посвящено значительное число теоретических и эмпирических публикаций в отечественной и, в особенности, в зарубежной литературе.

Исследованию эмпирических закономерностей статистических характеристик рядов курсов и доходности финансовых инструментов посвящены работы Ф. Блэка (Black, F.), Б. Мандельброта (Mandelbrot, В.), К. Кима (Kim, С.М.), в которых выявлены гетероскедастичность доходности финансовых инструментов во времени, взаимное и однонаправленное изменение вола-тильности у разных финансовых инструментов. С учетом этих закономерностей Р. Ингл (Engi, R.F.) и Т. Боллерслев (Bollerslev, Т.) применили модели условной авторегрессионной гетероскедастичности и исследовали их свойства для финансовых рынков. В работах Л. Глостена (Glosten, L.R.), Дж. Закояна (Zakoian, J.M.) предложены модификации этих моделей для отражения асимметричной реакции волатильности финансового инструмента на новости, отмеченной в работах К. Харви (Harvey, C.R.) и Р. Хуанг (R.D. Huang). Периодичность изменений курсов и доходности финансовых инструментов, которая связана с реакцией на аккумулированную участниками рынка информацию, выявили Р. Бейли (Baillie, R.T.), М. Джерити (Gerity, M.S.). Закономерную волновую структуру в рядах курсов финансовых инструментов обнаружил Р. Н. Эллиотт (Elliott, R.N.), объясняемую особенностями массовой психологии участников торговли на финансовых рынках, и выделил модели движения (или волны), которые регулярно возникают и повторяются по форме.

Среди известных инструментариев по прогнозированию риска портфеля инвестора выделяют методологию прогнозирования риска портфеля инвестора RiskMetrics, в которой была принята единая мера для его измерения, состоящая из работ Ж. Лонгерштая (Longerstaey, J.), К. Фингера (Finger, С.С.), С. Ховарда (Howard, S.), П. Зангари (Zangari, Р.), и представляющую ковариационно-корреляционный подход к прогнозированию риска портфеля инвестора3. Кроме того, в работах П. Зангари выявлены проблемы точности прогнозирования риска портфеля инвестора, определяемые эмпирическими закономерностями статистических характеристик рядов доходности финансовых инструментов.

Исследования закономерностей поведения курсов валют на рынке FOREX в разрезе периодических свойств курсов и доходности финансовых инструментов начались с работ Дж. Гивик (Geweke, J.) и Е. Фиджа (Fiege, Е.), JI. П. Хансена (Hansen, L.P.) и Р. Ходрика (Hodrick, R.J.), Д. Лонгворта (Longwort, D.), Б. Фама (Fama, E.F.), Дж. Каваглия (Cavaglia, S.M). Для разделения низкочастотной и высокочастотной компонент колебаний курсов валют на рынке FOREX Л. Копеланд (Copeland, L.S.) использовал фильтрацию в частотной области на основе метода частотной выборки. Для анализа курсов акций К. Грен-жер (Granger, C.W.J) и О. Моргенштерн (Morgenstern, О.) применили метод спектрального анализа на основе быстрого преобразования Фурье. Методика расчета риска портфеля инвестора, базирующаяся на классическом спектральном анализе, разработана в цифровой портфельной теории К. Джонса (Jones, С.К.), которая является расширением портфельной теории Г. Марковича (Markowitz, Н.М.).

1 RiskMetrics предлагает методологию, данные и статистические характеристики доходности акций, облигаций, валют, производных и других ценных бумаг, выпускаемых в более чем 30 странах мира, необходимые для прогнозирования риска портфеля инвестора.

Исторически методы спектрального анализа и цифровой обработки сигналов получили развитие и применялись, в основном, в астрофизике, для анализа природных процессов, в связи. Методы спектрального анализа получили развитие в трудах Дж. С. Бендата (Bendat, J.S.), Д. Ватгса (Watts, D.G.), Г. Джен-кинса (Jenkins, G.M.), C.JI. Марпла-мл. (Marple, S.L.Jr.), A.M. Трахтмана, А.И. Хинчина. Методы цифровой обработки сигналов развиты в работах J1. Р. Раби-нера (Rabiner, L.R.), А.В. Оппенгейма (Oppenheim, A.V.), JI.M. Гольденберга. Среди отечественных авторов к задаче выделения периодичностей в природных процессах проявляли интерес А.Н. Колмогоров, О.М. Калинин, М.М. Кислицин.

Совсем недавно, с конца 90-х годов, в России и за рубежом наблюдается рост числа научных работ, посвященных сингулярному спектральному анализу, методы которого позволяют в условиях высокой волатильности данных временных рядов достигать большей достоверности по сравнению с классическими и параметрическими методами спектрального анализа для обнаружения периодических закономерностей, и, соответственно, на их основе осуществлять прогнозирование временных рядов. В числе таких работ в России выделяются публикации Н.Э. Голяндиной, Д.Л. Данилова, В.Н. Солнцева, А.А. Жиглявско-го, посвященные прогнозированию временных рядов на основе непараметрического метода анализа временных рядов «Гусеница», разработанного в Санкт-Петербургском университете, позволяющего выделить тренд, периодические и шумовую компоненты временного ряда. К числу основополагающих работ, в которых впервые был использован сингулярный спектральный анализ к временным рядам в технических приложениях, относят труды Н.Л. Оусли (Owsley, N.L.), Д. Тафтса (Tufts D.W.) и Р. Кумаресана (Kumaresan, R.). Методы прогнозирования временных рядов и техника главных компонент, лежащая в основе сингулярного спектрального анализа, фундаментально проработаны в работах отечественных и зарубежных ученых: С.А. Айвазяна, В.С Мхитаряна, В.М Бухштабера, К.Р. Pao (Rao, C.R.). Однако, с одной стороны, методы сингулярного спектрального анализа не нашли пока отражения в исследованиях валютного рынка по моделированию доходности и прогнозированию риска портфеля инвестора, а с другой - в отечественной литературе в настоящий момент образовался пробел в освещении методов цифровой обработки сигналов применительно к рынку FOREX. Это связано с относительной новизной изучаемых технологий управления валютными активами для российских финансовых институтов. Одной из известных работ, в которой используется аппарат методов цифровой фильтрации, является цикл статей В. Кравчука, в которых предлагается адаптивный метод следования за тенденцией и рыночными циклами и описывается на качественном уровне, как определять моменты времени для покупки (или продажи) валюты на рынке FOREX.

Практическая значимость и недостаточная изученность проблем моделирования доходности и прогнозирования риска портфеля инвестора на рынке FOREX в условиях высокой волатильности курсов валют с относительно высокочастотными колебаниями обуславливает необходимость и актуальность разработки моделей доходности и методик прогнозирования валютного риска портфеля инвестора, учитывающих периодические спады и подъемы курсов валют, на основе методов фрактального анализа, теории нечетких множеств и теории клеточных автоматов, адаптированных к современным реалиям международного валютного рынка. Важность и актуальность этой проблемы определили цель и задачи исследования.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной работы является исследование потенциальной прогнозируемости временных рядов валютных курсов (выявление долговременной памяти, трендов, циклов и тенденций их развития) для оценки валютных рисков на базе развития и апробации аппарата фрактального анализа, теории клеточных автоматов и фазовых портретов.

В соответствии с целью работы решались следующие задачи: - анализ отечественных и зарубежных исследований по вопросам прогнозирования валютного риска портфеля инвестора, учитывающих периодические спады и подъемы курсов валют;

- выявление и представление соответствующими моделями эмпирических закономерностей статистических характеристик временных рядов обменных курсов валют;

- определение векторной оценки уровня риска для обменных курсов валют и временных рядов их приращений, а также сравтительный анализ этих курсов на основе показателей их динамики;

- применение и адаптация инструментария нелинейной динамики для выявления и оценки предпрогнозных характеристик временных рядов курсов валют (глубина долговременной памяти, персистентность, антиперсистент-ность, трендоустойчивость, цвет шума);

- построение и адаптация методики предпрогнозного анализа временных рядов обменных курсов валют методами фрактального анализа с целью выявления прогностических характеристик рядов на базе массового компьютерного эксперимента;

- разработка методики проведения предпрогнозного анализа временных рядов обменных курсов валют на базе фазовых методов анализа, выявление циклов и разложение их на квазициклы;

- развитие и адаптация клеточно-автоматной прогнозной модели к временным рядам обменного курса валют на базе вариации состава терм-множества лингвистического временного ряда;

- развитие методики использования конфигурационного анализа в рамках клеточно-автоматной модели с целью выявления и обоснования глубины памяти исследуемого временного ряда.

Объектом исследования является валютный рынок, как один из главных элементов международной экономической системы.

Предметом исследования является динамика такого финансово-экономического показателя, как обменный курс валют на протяжении переходного периода российской экономики.

Методология и методы исследования. Теоретическую и методологическую базу исследования составляют научные труды современных российских и зарубежных ученых по методам статистического и фрактального анализа временных рядов, экономической синергетики, теории выбора и принятия решений, экономической рискологии, многокритериальное™, теории фазовых портретов и клеточных автоматов, а также работы посвященные вопросам моделирования и прогнозирования, содержательной экономической интерпретации прогнозных процессов и результатов.

Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстата России и Министерства Финансов России, а также научно-практические публикации по финансово-экономическим вопросам.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктом 1.8 области исследований Паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики: Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития.

Научная новизна. Научная новизна диссертационного исследования заключается в совершенствовании теоретического, методологического и инструментального обеспечения для математического моделирования, анализа и прогнозирования валютного риска на основе временных рядов обменных курсов валют. Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования:

- углублена и апробирована методика сравнительного анализа статистических показателей рассматриваемых временных рядов на базе реализации многокритериального подхода;

- получены предпрогнозные характеристики динамики (наличие памяти, оценки ее глубины, трендоустойчивости) для временных рядов валютных курсов на базе комбинированного использования результатов фрактального анализа, как исходного временного ряда, так и соответствующего временного ряда его приращений;

- выявлены предпрогнозные характеристики динамики валютного курса на основе сравнительного анализа фазовых портретов временных рядов и соответствующего временного ряда приращений;

- модифицирована клеточно-автоматная прогнозная модель, реализующая вариацию терм-множества лингвистического временного ряда; разработана методика выбора наиболее целесообразного варианта состава терм-множества лингвистического временного ряда для клеточно-автоматной прогнозной модели.

Практическая значимость полученных результатов. Практическая значимость работы определяется тем, что основные положения, выводы, рекомендации, модели, методы и алгоритмы диссертации ориентированы на широкое использование организационно-экономического, методического, алгоритмического обеспечения и инструментальных средств и могут быть использованы финансовыми учреждениями для совершенствования процессов управления и планирования, а также разработчиками информационно-аналитических систем для поддержки принятия управленческих решений в системе FOREX.

Результаты исследования могут быть использованы для раннего предвидения и краткосрочного прогнозирования критических тенденций финансово-экономических процессов, в частности, на валютных рынках (как дополнительный инструментарий для трейдеров).

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается применением математических и инструментальных методов экономики, включая статистику, эконометрику; известных методов экономической синергетики, теории нечетких множеств и клеточных автоматов, теории фазового анализа и фрактального анализа; построением экономико-математических моделей, реализующих методы анализа и прогнозирования на базе современных информационных технологий; наглядной визуализацией полученных результатов моделирования, прогнозирования, анализа.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- перечень инструментов нелинейной динамики временных рядов, целесообразных для проведения предпрогнозного анализа, а также состав векторной целевой функции для реализации многокритериального подхода к оценке уровня валютного риска;

- результаты массовых компьютерных экспериментов с применением инструментария фрактального анализа временных рядов обменного курса валют с целью выявления и качественной оценки их предпрогнозных характеристик;

- результаты сравнительного анализа фазовых портретов временных рядов обменного курса двух пар валют и методика использования выявленных циклических закономерностей для реализации комбинированного подхода к прогнозированию рассматриваемых временных рядов;

- модификация клеточно-автоматной прогнозной модели, реализующая вариацию терм-множества лингвистического временного ряда, а также методика выбора наиболее целесообразного варианта состава терм-множества лингвистического временного ряда для клеточно-автоматной прогнозной модели.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования и его положения докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России:

- на IX Международной конференции. «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002);

- на VIII Международной конференции «Нелинейный мир. Образование. Экология. Экономика. Информатика» (Астрахань, 2003);

- на III Международной научно-практической конференции "Проблемы регионального управления экономики, права и инновационных процессов в образовании" (Таганрог, 2003);

- на Всероссийской научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы - 2004» (Воронеж, 2004);

- на Международном Российско-узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003);

- на V и VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование экономических и экологических систем» (Кисловодск, 2002);

- на Межрегиональной научно-практической конференции «Региональные проблемы маркетинга и логистики» (Ростов-на-Дону, 2004).

Результаты диссертационного исследования получили принципиальное одобрение Министерства экономического развития Карачаево-Черкесской Республики. Отдельные рекомендации, вытекающие из диссертации приняты к внедрению в ЗАО АКБ «Тексбанк». Разработанные модели фрактального анализа и прогнозирования включены в лекционный и практический материал к курсу «Экономическая кибернетика» для студентов специальности «Прикладная математика» Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах общим объемом 2,64 п.л., в которых автору в совокупности принадлежит 1,28 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Текст диссертации изложен на 152 страницах, включает 13 таблиц, 44 рисунка. Список использованной литературы состоит из 87 источника.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Болатова, Лилия Руслановна

Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в следующем.

1. Глубина памяти конкретных BP не является фиксированным числом; ее величина меняется вдоль рассматриваемого BP, т.е. для различных его отрезков она является различной, например, как видно из таб.2.1 и таб.2.2, для BP обменного курса евро-доллар численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 3,4,., 18 , для BP приращений численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 3,4,.,9.

2. Для численного представления глубины памяти рассматриваемого BP Z наиболее целесообразным является математический аппарат теории нечетких множеств, т.е. оцениваемая глубина представляет собой нечеткое множество где / - численное значение встречающейся глубины памяти, //(/)— значение функции принадлежности для этой глубины.

3. Из рис.2.1 следует, что рассматриваемый BP курса евро в долларовом выражении достаточно часто (со значением функции принадлежности //(3) = 0,81) демонстрирует срыв с тренда в точке 1 = 3. Характеризуя этот факт качественно, его можно трактовать как отсутствие трендоустойчивости или, в другой терминологии, как антиперсистентность, которая свойственна розовому шуму [34]. Последнее означает проявление свойства, называемого «возврат к среднему чаще случайного» или, иными словами, частая смена знака приращений рассматриваемого BP, что подтверждается при исследовании ряда ежесуточных приращений курса евро в долларовом эквиваленте (см. рис.2.4) . Этот факт вместе с тем фактом, что практически для всех точек срыва с тренда значения показателя Херста находятся в области черного шума Я > 0,7 при глубине памяти /> 3, позволяет сформировать следующую гипотезу. Составляющими рассматриваемого BP являются три компоненты. Первую компоненту (назовём её термином «компонента черного шума») можно трактовать, как представленную в работе [59] «компоненту детерминированного хаоса». Вторую компоненту (на

2.5) зовем её «компонента белого шума»), можно трактовать как компоненту «случайного (недетерминированного) хаоса» [59]. Оставшуюся третью компоненту условимся называть термином «компонента розового шума». К настоящему времени является общепринятым тот факт, что свойство прогнозируемое™ рассматриваемого BP тем выше (тем ниже), чем большую долю или больший процент занимает в данном BP компонента черного шума (компонента белого шума). Однако в публикациях, относящихся к теории детерминированного хаоса, отсутствуют какие-либо выводы о влиянии розового шума на надежность прогнозов, получаемых с помощью тех или других методов. Более того, отсутствует методика оценки доли розового шума в рассматриваемых BP.

Используемые автором инструментальные и математические методы представляют собой принципиально новую базу для прогнозирования дискретных эволюционных процессов. Эти методы позволяют провести предпрогноз-ное исследование, результатом которого является выявление и формирование перечня фундаментальных свойств, характеризующих динамику временного ряда, для уровней (наблюдений) которых не выполняются условия независимости (глубина долговременной памяти, персистентность или антиперсистент-ность, трендоустойчивость или реверсирование чаще случайного, цвет шума) и сформулировать для каждого свойства его содержательную интерпретацию в контексте проблемы прогнозирования, что в свою очередь позволит предложить завершенную систему моделей и методов фрактального анализа этих рядов.

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в дальнейшем развитии методологии математического моделирования, в частности, в открытии новых подходов к прогнозированию и, прежде всего, получению предпрогнозной информации. Предлагаемые методы ориентированы на такие процессы, которые до настоящего времени оставались за границами состоятельности существующих подходов к прогнозированию, например, BP валютных курсов. Практическая значимость определяется тем, что предлагаемые модели, методы и алгоритмы могут быть внедрены разработчиками информационно-аналитических систем для поддержки принятия управленческих решений и методов их прогнозирования.

2.1.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов R/S - анализа

Влияние настоящего на будущее может быть выражено предложенным в [34] корреляционным соотношением:

С = 22я| -1, (2.6) где С - мера корреляции, Я - показатель Херста.

Имеются три различные классификации для показателя Херста: 1) Я = 0.5, 2)0 < Я < 0.5, 3)0.5 < Я < 1.0. Значение показателя Херста Я, равное 0.5, указывает на случайный ряд. События случайны и некоррелированны. Правая часть уравнения (2.6) обращается в нуль. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако это не обязательное условие. R/S -анализ может классифицировать произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распределения ему соответствует. В курсах статистики обычно говорится, что природа следует нормальному распределению. Открытие Херста это положение опровергает. Показатель Я, как правило, бывает больше 0.5, а вероятностные распределения не являются нормальными. Это положение в полной мере относиться и к временным рядам валютных курсов.

Диапазон 0 < Я < 0.5, соответствует антиперсистентным, или эргодиче-ским, рядам. Такой тип системы часто называют «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то скорее всего в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько Я близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе значение С в уравнении (2.6) к -0.5, или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. Несмотря на широкое распространение концепции возврата к среднему в экономической и финансовой литературе, до сих пор было найдено очень мало антиперсистентных рядов.

При 0.5 < Н < 1.0 мы имеем персистентные или трендоустойчивые ряды. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время и в будущем. Трендоустойчивость поведения, или сила персистентности, увеличивается при приближении Н к единице, или 100% корреляции, в соотношении (2.6). Чем ближе Як 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Сила персистентности зависит от того, насколько Я больше 0.5.

Пресистентные временные ряды являют собой более интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, -это открытие принадлежит Херсту, - но и свойственны рынкам капитала.

Персистентный временной ряд, 0.5 < Я <1.0 является фракталом, поскольку может быть описан как обобщенное броуновское движение. В обобщенном броуновском движении существует корреляция между событиями на временной шкале. Вследствие этого, вероятность двух событий, следующих одно за другим, не 50/50. Показатель Херста Я описывает такую вероятность, при которой два происходящих последовательно события могут быть одинаковыми. Если Я > 0.6, существует, в принципе, большая вероятность того, что если предшествующее движение было положительным, то оно и останется положительным еще какое-то время. Это не истинная вероятность, это просто мера «смещения».

Поскольку точки (события) временного ряда не равновероятны (в виду того, что порождают случайным блужданием), фрактальная размерность вероятностного распределения не равна 2, ее величина лежит в диапазоне от 1 до 2. Мандельброт [70] показал, что величина, обратная Я, есть фрактальная размерность. Случайное блуждание при Я = 0.5 должно иметь фрактальную размерность, равную 2. Если Я = 0.7, фрактальная размерность равна 1/0.7,или 1.43. Заметим, что случайное блуждание в действительности двумерно и целиком заполняет плоскость.

Прологарифмируем соотношение R/S = (а* N)H: log(tf/S)=#*(log(w)+log(a)) (2.7)

Если в двойных логарифмических координатах найти наклон R/S как функцию от N, то тем самым мы получим оценку Я. Эта оценка не связана с какими-либо предположениями относительно лежащего в их основе распределения.

Для очень большого количества наблюдений N можно ожидать сходимости ряда к величине Я = 0.50, так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того, как значение Я приблизится к 0.5, так как корреляционная мера (2.6) не применима ко всем без исключения приращениям.

Корреляционная мера (2.6) не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гаус-совские или почти гауссовские свойства, лежащего в основе нормального распределения — хорошо знакомую колокообразную кривую. Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах.

Херст [65] предложил также формулу для оценки величины Я по значению R/S:

Н = log(R/S)/\og(n/2), (2.8) где п — количество наблюдений.

В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения (2.6) равна 0.50. Федер [62] показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать Я, когда она больше 0.70, и, наоборот, преуменьшать, если Я < 0.40, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.

Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных изменений при случайном блуждании, равна 1.50. Фрактальная размерность кривой линии равна 1, а фрактальная размерность геометрической линии заполняющей плоскость, равна 2. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит как бы на полпути между кривой линией и плоскостью.

Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:

D = 2- Н. (2.9)

Таким образом, если Я = 0.50, то £) = 1.50. Обе величины характеризуют независимую случайную систему. Величина 1 < Я < 0.50 будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии. Это, по терминологии Херста, персистентный временной ряд, дающий более гладкую, менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Антиперсистентная величина Я (о < Я < 0.50) дает соответственно более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам. Это в точности соответствует антиперсистентному временному ряду.

Даже если найдена аномальная величина Я, закономерен вопрос, обоснована ли ее оценка. Можно усомниться в том, достаточно ли было данных, или даже - работает ли вообще R/S -анализ. Проверить обоснованность результатов можно путем перемешивания данных, в результате чего порядок наблюдений станет полностью отличным от исходного ряда. Ввиду того что наблюдения остаются теми же, их частотное распределение также останется неизменным. Далее вычисляется показатель Херста этих перемешанных данных. Если ряд действительно является независимым, то показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, т.е. корреляции между наблюдениями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.

Если имел место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешивая данные, мы тем самым разрушаем структуру системы. Оценка Я при этом окажется значительно ниже и будет приближаться к 0.50, даже если частотное распределение наблюдений не измениться.

2.2. Фазовые портреты

2.2.1. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда

Визуальная оценка данных в нелинейных динамических системах важна потому, что они, как правило, не имеют единственного решения. Обычно существует множество - возможно, бесконечное количество - решений. Как и в реальной жизни, есть много возможностей. В прошлом, это обстоятельство заставляло исследователей избегать рассмотрения нелинейных систем. Нынешние широкие графические возможности персональных компьютеров позволяют нам увидеть это огромное множество возможных решений. Многие хаотические системы имеют бесконечное количество решений, заключенных в ограниченной части пространства, и это множество возможных решений часто имеет фрактальную размерность.

Обозревать данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за л:, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т.е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы - он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Важны три основных класса нелинейных систем. Каждый из них имеет свой собственный тип «аттрактора» (область притяжения траектории [57]) в фазовом пространстве.

Простейшим типом является точечный аттрактор. Пример системы с точечным аттрактором - маятник, задемпфированный трением. Когда маятнику сообщается первоначальная энергия, он начинает раскачиваться, но ввиду трения амплитуда его колебаний становится все меньше и меньше, пока маятник совсем не остановится. Переменными в такой системе выступают скорость и положение. Если одну или другую из этих переменных вычертить как временной ряд, то результирующая волнистая линия будет постепенно уменьшать свою амплитуду до нуля - кривая становиться прямой линией. Маятник останавливается. Если фазовый портрет этой системы вычертить в координатах положение - скорость, то мы получим спиральную кривую, которая оканчивается в начале координат, когда маятник останавливается. Если сообщить маятнику большую начальную энергию, временной ряд и фазовый портрет системы будут обладать большей начальной амплитудой, но тем не менее временной ряд придет к нулевому значению, а фазовый портрет - в начало координат. Можно сказать, что в этом фазовом пространстве система «притягивается» к началу координат. Где бы ни брала свое начало система, она приходит к началу координат - к своему равновесному состоянию.

Предположим, что маятник не демпфирован. Сообщим ему толчок такой силы, чтобы забросить в туже исходную точку качания. В соответствии с ньютоновской физикой в данном случае будет иметь место аттрактор маятника, не задемпфированного трением или гравитацией. Временной ряд скорости или положения будет теперь синусоидой, а фазовый портрет - замкнутой окружностью. Радиус этой окружности будет зависеть от силы «толчка», сообщенного маятнику, но окружность остается окружностью. Этот тип аттрактора, называемый предельным циклом, характеризует регулярную периодическую систему, в том числе маятник с притоком энергии извне.

Классическая эконометрика рассматривает экономические системы как системы равновесные (с точечными аттракторами) или как периодически колеблющиеся около точки равновесия (с аттракторами типа предельный цикл). Однако эмпирически такой взгляд не подтверждается. Экономические временные ряды характеризуются непериодическими циклами (т.е. не имеющими «характеристики длины» или «временного масштаба»). Такие непериодические циклы имеют место в нелинейных динамических системах.

Последовательность непериодических циклов доставляет нам последний тип аттрактора - хаотический, или «странный» аттрактор. Предположим, что мы случайным образом изменяем сообщаемую энергию, но время между толчками остается одинаковым. Влияние энергии будет теперь переменным и связано с силой предыдущего толчка, несмотря на то, что величины толчков относительно независимы. Поскольку мы сообщаем толчки энергии, случайные по своей силе, но через равные промежутки времени, положение и скорость маятника будут каждый раз иными, то есть, во время второго толчка маятник может направляться уже вниз. Если этот второй толчок будет мал, то маятник может двигаться вверх, когда его настигнет третий толчок, который приведет к замедлению маятника, несмотря на то, что мы продолжаем сообщать маятнику толчки энергии с регулярными интервалами, его фазовый портрет будет отличаться в каждом цикле. Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет вращаться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Таким образом, получается хаотический или «странный» аттрактор. Поскольку хаотические аттракторы к тому же имеют фрактальную размерность, Мандельброт [71] называет их «фрактальные аттракторы» - это название лучше, нежели «странные», но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие представляется не точкой, а областью в фазовом пространстве - ограниченной областью с бесконечным количеством решений.

Такое фазовое пространство дает нам картину возможностей системы. Для систем, уравнения которых известны, сконструировать фазовое пространство несложно. Если же природа системы неизвестна, а наблюдается некий эффект, то фазовое пространство может быть восстановлено по данным.

Методы нелинейной динамики базируются на методах анализа временных рядов и реконструкции аттрактора [41]. Временной ряд - это упорядоченное множество значений zt, j = 1,2,.,Z,, для которого естественным, упорядочивающим фактором выступает время.

Если дан ряд

Z,, j = \ji, (2.10) то он обычно называется термином «траектория», которая рассматривается как ряд наблюдений, т.е. временной ряд.

Встает вопрос о характере поведения системы, исходя из ряда (2.10). Является ли поведение этой системы детерминированным, т.е. существует ли уравнение, которое обеспечивает полное определение поведения системы? При этом вопрос нахождения такого уравнения не является самоцелью, ибо нас интересует предсказание поведения системы на определенное число шагов вперед (прогнозирование). Глубина, т.е. число шагов прогноза определяется так называемыми ляпуновскими показателями [41,57]. Следующий естественный вопрос: как по известному начальному множеству z,,z2,.,z, предсказать значения z/+1,z/+2, и т.д.? Совокупность этих и других вопросов называют проблемой прогноза или задачей построения предиктора (от англ. слова to predict - предсказывать).

Несомненной заслугой теории хаоса является введение термина аттрактор и широкая пропаганда знаний о бифуркациях аттракторов. Аттрактор, т.е. при-тягатель, — это асимптотически устойчивое предельное множество в фазовом пространстве. Аттракторы, отличные от состояний равновесия и периодических колебаний, получили название странных аттракторов, имеют фрактальную структуру, и являются неотъемлемой составляющей хаотических колебаний графика или диаграммы рассматриваемого ряда.

Указанная выше динамика процесса (т.е. последовательность решений задачи) часто представляется в виде колебаний вокруг некоторого «среднего» или в приделах некоторого «интервала». Установить асимптотику поведения этих «флуктуаций» — задача весьма непростая. В ряду принципиальных вопросов в решении этой задачи первым является, обычно, вопрос о наличии хаоса или, наоборот, регулярности (периодичности) в динамике процесса.

С математической точки зрения хаос характеризуется двумя основными особенностями: а) при некоторых значениях параметров почти все начальные условия приводят к апериодической динамике; б) при сколь угодно близких начальных условиях движение систем будет различным.

Термин «апериодическая динамика» означает, что изменение наблюдаемой величины не имеет регулярного, периодического характера. При этом термин «хаос» и «шум» имеют различный смысл. До настоящего времени отсутствует какой-либо общий метод ответа на вопрос: обусловлен ли наблюдаемый динамический процесс шумом или представляет собой хаотическое поведение. Для идентификации хаотического поведения часто находят применение две статистические меры хаоса - число Ляпунова или фрактальная размерность [21,57]. Число Ляпунова отражает собой регулярность, а размерность - геометрию динамики (движения). В другой интерпретации фрактальная размерность системы, т.е. размерность области значений ее показателей или критериев показывает степень покрытия или заполнения выделенного для этой области пространства. Если фрактальная размерность системы меньше ее топологической размерности, то в выделенном пространстве будут существовать «пустые» подобласти, т.е. коэффициент заполненности выделенного пространства меньше единицы.

Математическая модель какой-либо динамической системы S представляет собой некоторое фазовое пространство F(z)= {(zl+r,zl+r+-i,.,zl+r+m) , I-1,2,.,г = 0,1,2,. с определенным в нем оператором изменения фазового состояния системы. В настоящем исследовании в качестве этого оператора принимаем упорядоченный процесс представления в декартовых координатах последовательности точек (z,,z/+1), / = 1,2,./?-1, где /? - длина рассматриваемого временного ряда. Для наглядности эти точки могут быть соединены дугами, или отрезками кривых.

Математические модели динамических систем классифицируются в зависимости от структуры их фазового пространства F(Z) и вида оператора. При этом в первую очередь различают случаи дискретного и непрерывного изменения во времени фазового пространства. Операторы принято классифицировать по их свойствам (линейный, нелинейный, непрерывный и т.д.) и по форме задания (дифференциальная, интегральная, матричная, табличная и т.д.). В настоящей работе объектом исследования является дискретное (фазовое) пространство. Выбранный оператор не обладает свойствами непрерывности и линейности и задан в табличной форме. При этом математическим образом динамики системы является ее фазовый портрет, который строится на базе данных определенной выше диаграммы. Фазовый портрет дает не только геометрическое изображение отдельных движений, состояний равновесия, периодических, хаотических движений, но и определяет «логику» поведения системы, его зависимость от параметров.

Накопленное к настоящему времени необычайное разнообразие движений детерминированных динамических систем может быть разделено на два основных типа, которые можно трактовать как порядок и хаос, регулярность и нерегулярность.

В случае дискретных систем разбиение движений на регулярные и хаотические характеризует только их временное поведение. В случае распределенных систем речь может идти не только о временном, но и о пространственном порядке и хаосе, о периодичности и апериодичности, регулярности и нерегулярности не только временной, но и пространственной структуры.

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т.е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы [21,57]. Как показано в настоящей работе, даже при помощи метода визуализации странных аттракторов можно получить существенную качественную информацию о моделируемом объекте.

Математические модели с пространственным или временным хаосом не учитывают внутреннюю структуру исследуемой системы. Однако эта структура может существенным образом влиять на поведение динамической системы. Проблема управления нелинейной системой (хаос возможен только в не линейных динамических системах) рассматривается ниже лишь в случае дискретного фазового пространства.

Цель использования метода псевдофазового пространства состоит в том, чтобы построить зависимость величины от значений этой же величины в другие моменты «времени» zhk = y{thk). Иными словами, вопрос состоит в нахождении или определении такой функции Ф = 0(zj,zJ+],.,zJ+ml), которая позволяла бы прогнозировать значения zt+m.

При выполнении определенных условий проблема построения обоснования указанной функции Ф удовлетворительным образом решается с помощью теоремы Такенса [28]. Мы, однако, в настоящей работе основное внимание уделяем вопросу о том, в какой степени могут оказаться полезными для прогнозирования качественные выводы, получаемые с помощью визуализации рассматриваемого фазового пространства. При этом имеется основание считать информативным фазовое пространство размерности 2, т.е. пространство точек в декартовых координатах zj.'JJ 7 = 1,2,. (2.11)

По эпистемологической теории, выдвинутой нобелевским лауреатом И. Пригожиным [38], процесс познания объективно требует «подключения человека к бытию познаваемого в качестве объективно распознающей системы». Выдающийся американский психолог и исследователь Рудольф Арнхейм утверждает: «визуальное восприятие есть визуальное мышление. Элементы мышления в восприятии и элементы восприятия в мышлении взаимно дополнительны. Они преобразуют человеческое познание в единый процесс, ведущий непрерывно от ощущения сенсорной информации к наиболее общим теоретическим понятиям и идеям» [5].

В процессе использования методов визуализации следует руководствоваться тем, что фазовая траектория (2.11) представляет собой набор точек, последовательно переходящих друг в друга. Иными словами, положение каждой точки в последовательности (2.11) одинаково определяется положением в предыдущей точке. Таким образом, существует некоторая функция <р, связывающая между собой положение двух следующих одна за другой точек:

Zj+S=<p(z) (2.12)

Говорят, что соотношение (2.12) определяет точечные отображения [24].

Использование точечного отображения (2.12) при исследовании динамики конкретных систем оказывается весьма полезным, как в силу их наглядности, так и в вычислительном отношении, поскольку при переходе к отображению размерность изучаемой системы уменьшается на единицу [24]. Заметим что конечные отображения вида (2.12) могут быть определены и вне всякой связи с какими-либо конкретными системами уравнений. [24].

2.2.2. Разбиение фазового портрета на квазициклы

В арсенале современных методов предпрогнозного анализа и прогнозирования BP возрастающее значение приобретает такой подход, как визуализация их фазовых портретов [34, 45], получаемых в интерактивном режиме использования ПЭВМ.

В качестве фазового пространства размерности /? = 2 для BP (2.1) используем простейший вариант вида <t>p(Z) = {(z,,z(+1)}, i = \,2,.,n- р + \ = п-\ (см. рис.2.5).

1,3 - ■

I 1,28 fi ! 1,26 :

1,24

1,22 j

1,2 i

1,18 i

1,16 i

1,16 1,18 1,2 1,22 1,24 1,26 1,28 1,3

Рис.2.5 Фазовый портрет исходного ВР(2.1) обменного курса евро-доллар в фазовом пространстве размерности 2

Как известно, при построении фазового пространства для конкретного BP принципиально важным является вопрос о его размерности р. Эта размерность должна быть не менее, чем размерность аттрактора наблюдаемого ряда. В свою очередь размерность аттрактора можно оценить с достаточно приемлемой точностью, если использовать фрактальную размерность. Последняя вычисляется по формуле С=2-Н. Поскольку для анализируемых в настоящей работе BP значения Н е (0,1), то получаем оценку С <2. Таким образом, для целей нашего исследования имеются основания использовать фазовое пространство <0p(z) размерности р = 2.

1,218 к--

1,2-1---------- ■ --

1.206 1,208 1.21 1,212 1,214 1,216

1.205 1,21 1,215 1,22

1,214 1,

215 1,22 1,225 1,23 1,235

1,226

1,225 1,23 1.235 1.24

Рис. 2.6 Разложение на квазициклы фазового портрета на рис. 2.5

При исследовании BP обменного курса достаточно информативным и целесообразным является построение фазовых портретов BP вида (2.1) в фазовом пространстве фр(2.) размерностир = 2 следующего вида: ф2(2) = {,zi+1)}, i = 1,2.я-1. Фазовая траектория BP обменного курса евро-доллар состоит из 35 квазициклов Ск, к = 1,2,.35 , представленных на рис. 2.6; размерности Lk этих квазициклов представлены в табл. 2.3 (Lk означает количество точек определяемых координатами (z,,z/+1) в квазициклы Ск).

Представленные на рис.2.6 квазициклы построены согласно следующему правилу: конечная точка квазицикла определяется либо первым самопересечением ее звена с каким-либо из предыдущих звеньев, либо достаточно близким расстоянием до начальной точки этого квазицикла.

Для каждого квазицикла Сг определим понятие «габаритный прямоугольник квазицикла Сг». Рассматривая все точки квазицикла через точки с максимальным и минимальным значением абсциссы (ординаты) проводим прямые, перпендикулярные оси ординат (абсцисс). Пересечение двух полученных пар параллельных прямых образует габаритный прямоугольник квазицикла Сг. Иными словами, габаритный прямоугольник представляет собой такую минимальную выпуклую оболочку квазицикла Сг, которая является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат. Пересечение диагоналей габаритного прямоугольника определяет так называемый центр вращения квазицикла Сг, координаты которого обозначим Cr(xr,yr).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в ходе исследований:

1. Проведен анализ перечня инструментов нелинейной динамики временных рядов целесообразных для проведения предпрогнозного анализа, а также состав векторной целевой функции для реализации многокритериального подхода для оценки уровня валютного риска;

2. Разработана и апробирована методика сравнительного анализа на базе реализации многокритериального подхода к использованию статистических показателей, рассматриваемых временных рядов;

3. На базе результатов массового компьютерного эксперимента развита концепция применения инструментария фрактального анализа временных рядов обменного курса валют с целью выявления и качественной оценки их предпрогнозных характеристик;

4. На основе сравнительного анализа фазовых портретов временных рядов обменного курса двух пар валют и развита методика использования выявленных циклических закономерностей для реализации комбинированного подхода к прогнозированию рассматриваемых временных рядов;

5. Осуществлена модификация клеточно-автоматной прогнозной модели реализующая вариацию терм-множества лингвистического временного ряда, а также методика выбора наиболее целесообразного варианта состава терм-множества лингвистического временного ряда для клеточно-автоматной прогнозной модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Болатова, Лилия Руслановна, 2005 год

1. Айвазян С. А., Енюков И.О., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. -М.: Финансы и статистика, 1983. - 471с.

2. Акулич ИЛ. Математическое программирование в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 1986.-319с.

3. Алтунин А.Е., Семухин M.B. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. - 352 с.

4. Андрианов Д. Л. и др. Имитационное моделирование и сценарный подход в системах поддержки принятия решений // Проблемы теории и практики управления. № 12. 2002.

5. Арнхейм Рудольф. Новые очерки по психологии искусства. -М.: Проме-тей,1994.

6. Балабанов И.Т. Финансовый менеджмент: Учебник. -М.: Финансы и статистика, 1994.-224с.

7. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. Как управлять капиталом? -М.: Финансы и статистика, 1994.-384с.

8. BirmmcbKuii В.В., Верченко П.Т. Анал1з, моделювання та управлшння еко-ном1чним ризиком. Киев: КНЕУ, 2000. -292с.

9. Ю.Гнеденко Б.Е., Курс теории вероятностей, 5изд. —М: Высш.шк.,1969.11 .Голяндина Н.Э. Метод «Гусеница» SSA: прогноз временныхрядов. -СПб.: С.-Петербургский государственный университет, 2003, 55с.

10. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и синергетической экономики в управлении. Отрадная: РГЭУ-ИУБиП-ОГИ, 2001.-577с.13 .Доугерти К. Введение в эконометрику. -М.: Инфра, 2001.

11. Евин И.Л. Синергетика искусства. -М.: Мир, 1993. -278с.

12. ХЪ.Емилъянов С.В. Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. -М.:3нание, 1985. -32с.

13. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Том 7. - №2. - С. 109-115.

14. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. -М.: Мир, 1999. -335с.

15. Касаева М.Д., Перепелица В.А. Прогнозирование природного временного ряда на базе модели клеточного автомата // Современные аспекты экономики. 2002. -№9(22). - С. 201-207.

16. Кирсанов К.А., Малявина А.Б., Попов С.А. Инвестиции и антикризисное управление. -М.: МАЭП; ИИК, «Калита»,2000.-180с.

17. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979. -200с.

18. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Наука, 1987.-510 с.

19. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: учеб.руководство. -М.:Наука,1990.

20. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. -М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998.-400с.

21. Льюис Р. Д., Райфа Г. Игры и решения. -М: Ил, 1961.

22. Малинецкий Г.Г., Митпин Н.А. Нелинейная динамика в проблеме безопасности. В сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. -М.:Наука, 1996.-С. 191 -214.

23. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности. Там же, с. 165-190.

24. Нейман Э.Л. Малая энциклопедия трейдера. Киев: Альфа Капитал: Логос, 1997.-236с.

25. Нейман Дж. фон. Морген-Штерн О. Теория игр и экономическое поведение.-М.: Наука, 1970.

26. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. -М.: Наука, 1981, -208с.

27. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов н/Д.: Изд-во Рост.ун-та, 2001.-128с.

28. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов

29. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер.с англ. -М.: Мир. 2000. -333с.

30. Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. -М.: Интернет-трейдинг, 2004. -304с.

31. Перепелица В.А., Попова Е.В., Касаев А.Д., Салпагарова А.А., Темирбулатов П.И. Исследование операций и принятие решений, Часть II, методическое пособие для экономических специальностей. -Черкесск:1. КЧГТИ, 1996. -36с.

32. Постюшков А. В. Об оценке финансового риска. -Бухгалтерский учет. -193.-№1.-с.56-59.

33. Пригожин И., Стингере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. -М: Прогресс, 1986.-278 с.

34. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.-408с.

35. Риски в современном бизнесе./П.Г. Грабовый, С.Н. Петрова, С.И. Полтавцев, К.Г. Романова, Б.Б. Хрусталев, С.М. Яровенко. -М.: Изд-во "Алане", 1994.-200с.41 .Рюэлъ Д., Такенс Ф. О природе турбулентности //Странные аттракторы. -М.:1991,С. 117-151.

36. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. — Минск: ИП «Экоперспектива», 2000.

37. Сафонов B.C. Трейдинг. Дополнительное измерение принятия решений. -М.; Издательский Дом «АЛЬПИНА», 2001.-300с.

38. Севрук В.Т. Банковские риски. -М.: «Дело ЛТД», 1994. -72 с.

39. Сергеева J7.H. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). -Запорожье: ЗГУ, 2002. -227 с.46 .Сигел Эндрю.Ф. Практическая бизнес-статистика-М.: Издательский дом «Вильяме», 2002. -1056с.

40. Уотшем ТДж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для вузов /Пер. с англ. Под ред. М.Р.

41. Ефимовой. -М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. -527с.

42. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. -М.: Наука, 2000.51 .Фишберн 77. С. Теория полезности для принятия решения. -М.: Наука, 1978.-298с.

43. ФедерЕ. Фракталы. -М.: Мир, 1991.

44. ЪЪ.Фрост А., Претчер Р. Полный курс по Закону волн Эллиотта. -М.: 2001.

45. Хозяйственный риск и методы его измерения: Пер. с венг./ Бачкаи Т., Месена Д., Мико Д. и др. -М.: Экономика, 1979.-184с.

46. Шапиро В Д. и др. Управление проектами. -СПб.: «ДваТрИ», 1993.-443.

47. Шарп У., Александер Г., БейлиДж. Инвестиции: Пер. с англ. -М.: ИН-ФРА-М, 1998.51 .Шустер Г. Детерминированний хаос: Введение. -М.: Мир, 1988. 240с.

48. Экономика и бизнес/Под.ред. В.Д. Камаева .-М.: Изд-во МГТУ, 1993.-464с.

49. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по технологии «Зонт». Воронеж: ВГАУ, 2000. - 379 с.

50. Cootner, P., ed. The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge: MIT Press, 1964b61 .Fama E.F. Portfolio Analysis in Stable Paretian Market. Management Science 11, 1965 r.

51. Feder, J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988.

52. Friedman B.M., Laibson D.I. Economic Implications of Extraordinary Movements in Stock Prices, Brookings Papers on Economic Activity 2, 1989.

53. Green, M.R. Risk and Insurance /M.R.Green, J.S.Trieschmann. -Cincinnati: South-Western Pub.,1988.-785p.

54. Hurst, H.E. "Long-term Storage of reservoirs," Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 1951.

55. Jones C.K. Digital Portfolio Theory. Computational Economics 18. 2001. 287-316 pp.

56. Kami,E. Decision Making Under Uncertainty: the Case of State -Dependent Preferences / E. Kami. -Cambridge: Harvard U.P., 1985.-147p.

57. Litner J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risk Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, Review of Economic Statictics 47, 1965.

58. Mandelbrot B. The Variation of Certain Speculative Prices, in P. Cootner, ed., The Random Character of Stock Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

59. Mandelbrot, B. Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles: From the covariance to R/S Analysis, Annals of Economic Social Measurements, 1973.

60. X.Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, 1983.

61. Markowitz H.M. Portfolio Selection, Journal of Finance 7, 1953.

62. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. -N.Y.: John Wiley and Sons. 1959.-129p.

63. A.Morgan J.P. and Reuters, RiskMetrics Technical Document, Fourth Edition, New York, 1996. -735p.

64. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asser Market. Econometrica 34,1966.le.Osborn M.F.M. Brownian Motion in the Stock Market in P. Cootner, ed., The Concepts, Cognition 9, 1981.

65. Roumasset, J.A. Rise and Risk: Decision Making Among Low-Income Farmers/J.A.Roumasset.-Amssterdam:North-Holland, 1976.-251 p.

66. Shackle. G. Decision, Orden, and Time in Human Affairs, by G.

67. Sharpe W.F. A Simplified Model for Portfolio Analysis 11 Management Science. 1963.-Vol.9, №3. -P.277-293.

68. Sharpe W.F. Capital Asset Price: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk // Journal of Finance. 1964. Vol.29, №3. -P. 425-443.

69. Shiller, R. J. Market Volatility. Cambridge: MIT Press, 1989

70. Snowden P.N. Emerging Risk in International Banking Origins of Financial Vulnerability in the 1980s/P.N.Snowden.-London:George Alien, 1985.-146p.

71. Sterge A.J. on the Distribution of Financial Futures Price Changes. Financial Analysts Journal. May/June 1989.

72. Tufts D. W. and Kumaresan R. "Estimation of frequencies of multiple sinu-soids: Making line prediction perform like maximum likelihood", Proc. IEEE, vol. 70, Sept. 1982,pp.975-989.

73. Turner A.L. and Weigel E.J. An Analysis of Stock Market Volatility. Russell Research Commentaries, Frank Russell Company, Tacoma, WA, 1990.

74. Vaughan E.J. Fundamentals Risk and insurance/ E.J. Vaughan, 4th Ed.-New York: John Wiley & Sons, 1986.-723p.

75. Williams C.A. Risk Management and Insurance /С.А. Williams, R.M. Heins. -5th Ed.-New York: McGraw-Hill Book Co., 1985.-755p.ш