Математическая модель оптимального прямого двухимпульсного перелета в лунную точку либрации L1 при заданном времени попадания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Окишев, Юрий Александрович

• Окишев, Юрий Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Окишев, Юрий Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения и сокращения

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

1.1. Цели и задачи проектно-баллистического анализа траектории КА

1.2 Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета

1.3 Система уравнений движения КА

1.3.1 Задача п тел

1.3.2 Ограниченная задача трех тел

1.3.3 Особенности гравитационного поля Земли

1.3.4. Возмущающее ускорение Солнца

1.3.5 Другие возмущения движения КА

1.3.6 Результирующая система уравнений движения

1.3.7 Коллинеарные точки либрации как частный случай решения ограниченной круговой задачи трех тел

1.4 Методы численного интегрирования для задач небесной механики

1.5 Алгоритм определения оптимального баллистического перелета

1.5.1 Нулевое приближение

1.5.2 Краевая задача

1.5.3 Оптимизационная задача

1.6 Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ДАТЫ ПОПАДАНИЯ КА В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ь1 ЗНАЧЕНИЯ СУММАРНОГО ИМПУЛЬСА СКОРОСТИ

2.1 Влияние прецессии орбиты Луны на выбор эпохи реализации баллистического перелета

2.2 Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли

2.3 Влияние положения Луны на энергетику баллистического перелета

2.4 Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. ВКЛАД ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ В ЭНЕРГЕТИКУ ПЕРЕЛЕТА КА В ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ы СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ - ЛУНА

3.1. Учет расстояния до Солнца для определения оптимальной даты попадания

3.2. Относительный вклад возмущающих факторов

3.3. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. ПОЭТАПНЫЙ ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА

4.1. Начальные параметры реализации баллистического перелета

4.2. Численные значения нулевого приближения

4.3. Решение краевой задачи

4.4. Решение оптимизационной задачи

4.5. Влияние погрешности задания параметров выведения КА на базовую орбиту ракетоносителем на величину невязки конечного решения

4.5.1. Влияние погрешности наклонения базовой орбиты на величину невязки конечного решения

4.5.2. Влияние погрешности долготы восходящего узла базовой орбиты на величину невязки конечного решения

4.6. Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА "ЫМООШ025"

Обозначения и сокращения

КА космический аппарат

ХРД химический ракетный двигатель

ЭРД электроракетный двигатель

ОДУ обыкновенные дифференциальные уравнения

ГЭСК геоцентрическая экваториальная система координат

РН ракетоноситель

РБ разгонный блок

з

/ гравитационная постоянная ( 6.67428 • 10"11 —— )

с кг

¡иЕ гравитационный параметр Земли (398600-^-)

с

цс гравитационный параметр Солнца (1.32712517-10"

с

3

Млу„ы гравитационный параметр Луны (4902,72—— )

с

У0 скорость КА на базовой орбите

У^ скорость К А на базовой орбите, после первого импульса скорости

АУ] первый импульс скорости

Уи скорость точки либрации Ы

УКАп вектор скорости КА в точке либрации Ы

АУ2 второй импульс скорости АУТ суммарный импульс скорости

радиус-вектор КА в произвольный момент времени в ГЭСК

п

/-1 радиус-вектор точки либрации Ы в ГЭСК гму„ы радиус-вектор Луны в ГЭСК

о

0 радиус-вектор КА на базовой орбите гГ радиус-вектор Солнца в ГЭСК

Я3 средний радиус Земли (6371км) ЯЕ экваториальный радиус Земли (6378?ш) Н0 высота базовой орбиты ср геоцентрическая широта ^ долгота восходящего узла 1 наклонение орбиты и аргумент широты Г0 дата по юлианскому календарю

Тк дата попадания К А с начала эпохи в точку либрации Ы tn время перелета а вектор площадей орбиты о-0 орт внешней нормали

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель оптимального прямого двухимпульсного перелета в лунную точку либрации L1 при заданном времени попадания»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований. В настоящее время одними из самых перспективных направлений развития космической деятельности являются задачи исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы. Вопрос исследования единственного спутника Земли - Луны - в этом ряду всегда стоял особняком, и эти исследования ведутся на протяжении практически всей истории развитии науки и техники. Так, еще во II в. до н. э. Гиппарх исследовал движение Луны, определив ее размеры и ряд характеристик орбиты [129]. Теорию Гиппарха в дальнейшем развил Птолемей, описав движение Луны в четвертой книге труда «Альмагест» [92]. С развитием науки и техники данные о движении Луны редактировались и изменялись [29, 9].

С началом космической эры в XX веке количество знаний о Луне существенно увеличилось, во многом благодаря космическим программам «Аполлон» и «Луна». Несмотря на то, что в XX веке вопрос исследования Луны был рассмотрен в достаточном объеме, вплоть до забора грунта, доставки его на Землю и высадки астронавтов, по-прежнему остаются актуальные задачи, связанные с изучением Луны. Забор и доставка на Землю вещества поверхности Луны из разных ее районов могут оказаться весьма полезными для геохимиков, изучающих строение верхней мантии Земли [116].

В начале XXI века КНР опубликовала свою программу освоения Луны, включающую отправку лунохода, забор и доставку на Землю лунного грунта, пилотируемые полеты на Луну и строительство обитаемых лунных баз. После этого ведущие мировые космические агентства, такие как HACA, Роскосмос, ЕКА, Индийское национальное космическое агентство и Японское агентство аэрокосмических исследований, заявили о планах будущих лунных экспедиций. 23 января 2014 года директор института космических исследований РАН, академик Лев Зеленый заявил, что в России возобновляют программу исследования Луны. Дальнейшее исследования Луны позволят изучить ее структуру, выявить наличие ресурсов, изучить вопросы теории образования

Солнечной системы и других звездных систем, а также ответить на многие другие вопросы.

В 1772 году Жозеф Луи Лагранж [126] обнаружил в пространстве между двумя гравитирующими телами точки, при попадании в которые тело с малой массой остается неподвижным относительно этих двух тел. Эти точки получили названия точки Лагранжа или точки либрации.

За счет своих уникальных физических свойств [70] точки либрации все чаще привлекают исследователей и разработчиков космических миссий. На данный момент существует более десятка реализованных проектов по использованию либрационных точек [120]. Среди реализованных проектов отечественные аппараты на данный момент не представлены, однако стоит отметить, что в Российской Федерации ведутся серьезные исследования и разработки по использованию точек либрации для будущих космических миссий [31-34, 44-49, 57-61].

Одним из возможных сценариев развития лунной программы может стать создание орбитальной базы обслуживания и заправки или ретрансляционного пункта для лунных объектов в точке либрации Ы системы «Земля - Луна» - в точке между двумя гравитирующими телами. Таким образом, точка Ы за счет своего уникального расположения может стать ключевым узлом грузового потока Земля - Луна.

Основной задачей небесной механики со времен Ньютона является осуществление возможности определять положение и скорость интересующего нас небесного тела для всякого момента времени. Для решения этой задачи Кеплер создал теорию невозмущенного (кеплерова) движения. Однако, в случае перемещения КА в поле притяжении двух и более небесных тел, математические методы описания движения, описанные Кеплером, не применимы.

Впервые задача п тел в точной постановке была сформулирована Ньютоном. Под телами он подразумевал материальные точки, и задача ставилась следующим образом: в некоторый момент времени заданы положения и скорости трех или более материальных точек, движущихся под действием сил взаимного

притяжения, массы тел известны. Необходимо вычислить их положения и скорости в любой момент времени. Задача становится более сложной, если (как, например, при исследовании движения системы Земля - Луна - Солнце) надо учитывать форму и внутреннее строение тел. При рассмотрении задачи п тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движения. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям. С тех пор исследователи смогли продвинуться только в изучении специальных задач, в которых можно было использовать те или иные приближения [98]. Общая задача трех тел описывается девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, таким образом, система уравнений движения имеет 18 порядок. В общем виде задача трех тел аналитического решения не имеет. Если предположить, что третье тело бесконечно малой массы и не притягивает два других, а гравитирующие тела движутся по окружности вокруг общего центра масс, то система сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т.е. порядок системы понижается от 18 до 6. Такая задача называется ограниченной задачей трех тел. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел [102, 16].

В рамках плоской ограниченной круговой задачи определяются положение точек либрации относительно небесных тел, в систему которых входит рассматриваемая точка либрации. Задача трех тел привлекла к себе серьезное внимание в середине XX века, когда разрабатывались и реализовывались лунные миссии [18-21, 25-28, 37, 118-119, 121-122].

Стоит отметить, что коллинеарная точка либрации LI неустойчивая [94, 102, 70, 15, 113], а соответственно, требования к точности доставки КА в заданную точку должны быть достаточно высокими.

Сложность решения задачи трех тел связано с тем, что она не имеет аналитического решения. Применению численных методов (как единственному способу решения) посвящены работы [4-6, 83, 106, 108], в которых отмечены основные методы и способы численного интегрирования уравнений движения КА.

На сегодняшний момент известно несколько способов реализации баллистических перелетов [23, 51, 71, 100], с точки зрения движителя космического аппарата (КА). Самыми распространенными из них являются перелеты КА, оснащенные химическим ракетным двигателем (ХРД) и электроракетным двигателем (ЭРД) [13, 39, 43, 52, 114]. Стоит отметить, что встречаются и более экзотические способы перемещения КА в космическом пространстве - с использованием солнечного паруса [35, 42, 65, 67-68, 87-88]. Ключевым преимуществом ХРД назвать высокий удельный импульс тяги, который позволяет реализовывать дальние перелеты за относительно небольшое время. Стоит отметить, что при использовании ЭРД, которые отличаются высокой скоростью истечения частиц и малым массовым расходом топлива, существует возможность повысить массу полезной нагрузки при реализации баллистических перелетов. Но при этом главным минусом использования ЭРД является длительное время перелета. Иногда встает задача в достаточно короткие сроки доставить КА в заданное космическое пространство, и в таком случае использование ЭРД практически исключается.

Ключевым фактором, который определяет реализуемость космической миссии, является стоимость проекта и его финансовая эффективность. Увеличение массы полезной нагрузки, в которую входит целевая аппаратура или, в случае пилотируемых полетов, космонавты вместе с приборами жизнеобеспечения. Задача по увеличению массы полезной нагрузки ставит перед специалистами проектно-баллистического анализа обеспечить оптимальную траекторию КА, где критерием оптимальности является минимальное значение

суммарного импульса скорости [24, 36], необходимого для реализации поставленной цели.

Задачам оптимизации баллистических перелетов посвящены множество научных работ. Среди них хотелось бы отметить работы [14, 30, 50, 53, 54, 63, 66, 72, 85, 86-87, 89, 99, 104, 115], в которых отображены способы и подходы к оптимизации космических миссий.

Вопросу численного решения и оптимизации прямого двухимпульсного баллистического перелета в лунную точку либрации Ы уделено не так много внимания. Левантовский [55] определил, что для реализации баллистического в точку либрации второй импульс скорости должен составлять 650 м/с.

Однако ранее задачи математического моделирования прямого двухимпульсного баллистического перелета в лунную точку либрации Ы не рассматривались с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Не были рассмотрены вопросы по оптимизации баллистического перелета за счет изменения времени перелета и поиска оптимальной даты попадания КА в заданное пространство на основе данных об эфемеридах небесных тел.

Цель диссертационной работы: разработка численной математической модели, алгоритма и программного комплекса, который учитывает данные о положении и движении небесных тел в реальном времени, для определения оптимального прямого баллистического перелета КА с минимальными энергетическими затратами с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна в заданную дату попадания с учетом возмущающих ускорений - Земли как сжатого сфероида, Луны, Солнца, а также прецессии лунной орбиты.

Достижение цели работы требует решения следующих задач:

1. Разработка численных алгоритмов для проведения баллистического анализа и создание на этой основе программного комплекса для расчёта и исследования баллистических траекторий с учётом различных факторов

и

физической природы и обусловленных технологическими требованиями к реализации операций доставки КА;

2. Численный анализ ограниченной задачи трех тел методами прогноза и коррекции различных порядков; реализация сходимости решения системы уравнений движения и заданных координат точки либрации путем решения линеаризованной краевой задачи, определение начальных параметров, обеспечивающих минимальные энергетические расходы для произвольно выбранного времени попадания в точку либрации;

3. Исследование и сравнительный анализ относительных вкладов в обеспечение оптимального решения транспортной задачи на периоде обращения Луны следующих факторов: времени перелета, второй зональной гармоники, прецессии орбиты Луны, возмущающего ускорения Солнца.

Научная новизна работы заключается в следующих положениях:

1. Предложена численная математическая модель и усовершенствован метод поиска оптимального баллистического перелета КА в лунную точку либрации Ы в заданное время попадания, отличающиеся в использовании реальных данных о положении и скорости небесных тел в зависимости от времени, учета второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца;

2. В рамках предложенной модели сформирован эффективный алгоритм упрощенного определения краевых условий, основанный на комбинации нулевого приближения, полученного из решения задачи двух тел, и линеаризованного способа нахождения корректирующих аргументов начальных параметров;

3. Впервые разработан эффективный программно-алгоритмический комплекс моделирования оптимального прямого двухимпульсного перелета КА с низкой околоземной орбиты в точку либрации 1Л системы Земля - Луна, отличающийся возможностью учета большего числа возмущающих факторов физической природы и произвольности момента времени реализации транспортной задачи, адаптируемый для проведения баллистических расчетов траекторий доставки КА в точки либрации других планетных систем.

Программный комплекс предусматривает использование находящихся в открытом доступе математических моделей расчёта эфемерид небесных тел, которые позволяет в процессе движения КА получать достоверную информацию о положении и скорости Луны и Солнца в геоцентрической экваториальной системе координат в реальном времени;

4. Использование предложенных алгоритмов и разработанного программного комплекса позволило:

> обеспечить точность попадания КА в точку либрации с величиной ошибки порядка 10"6м;

> выявить две возможные схемы перелета для одного времени попадания в точку либрации Ь1, которые принципиально отличаются друг от друга с точки зрения энергетики перелета, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек;

> установить зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации для двух выявленных способов перелета, которые обладают двумя экстремумами, расположенные друг от друга на расстоянии, равном половине периода обращения Луны вокруг Земли; временная зависимость каждого из двух типов решения асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу;

> впервые определить оптимальную дату попадания в точку либрации на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны, которая составляет 18,6 лет (2011 -2030 гг.) и этой датой является 24 декабря 2024 г., что стало возможным за счет учета возмущающих факторов и использовании реальных данных о положении небесных тел;

> предоставить окна запуска для осуществления оптимального баллистического перелета в точку либрации Ь1, длительностью от двух до трех суток для каждого из способов перелета, на каждом периоде обращения Луны вокруг Земли.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы подтверждается использованием адекватных математических моделей движения, учитывающих основные возмущающие факторы (гравитационный потенциал Земли, Луны и Солнца, а также второй зональной гармоники Земли) на всех участках движения КА, использованием апробированных численных методов решения систем дифференциальных уравнений, решения краевой и оптимизационной задачи, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, численных методов, динамики и баллистики летательных аппаратов при обсуждении промежуточных и основных результатов на научных конференциях и семинарах.

Теоретическая значимость, практическая ценность реализации результатов

Разработанный математический метод формирования оптимальной баллистической траектории в заданный момент времени попадания в точку либрации может служить теоретической основой построения численных моделей баллистических перелетов КА в точки либрации других систем трех тел Солнечной системы. В случае использования в сложных орбитальных системах (например, в окрестности крупных планет, таких как Юпитер или Сатурн) необходимо учитывать гравитационные возмущения всех небесных тел, входящих в эту систему. Практическая ценность работы заключается в разработке программного комплекса, который позволяет в любую заданную дату попадания в лунную точку либрации Ы рассчитать оптимальную траекторию перелета КА в точку либрации, определить минимальный потребный суммарный импульс скорости, оптимальное время перелета и координаты точки старта. Найдены: оптимальная дата попадания в точку либрации Ы системы Земля - Луна, координаты точки старта в геоцентрической экваториальной системе координат и минимальный суммарный импульс скорости.

Соответствие паспорту специальности.

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», а именно, пунктам:

1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности; 3. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования; 4. Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ; 5. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XXV, XXVI, XXVII Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25, Волгоград, ММТТ-26, Н.Новгород, ММТТ-27, Саратов, 2012, 2013, 2014), XI Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (Москва, Институт Космических Исследований РАН, 2014).

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Метод расчета и поиска оптимального решения двухимпульсного баллистического перелета КА в точку либрации Ы системы Земля - Луна с низкой околоземной орбиты.

2. Положение Луны на периоде ее обращения вокруг Земли оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА, а именно: в некоторых случаях различие в суммарном импульсе скорости при разных схемах построения базовой орбиты составляет около 200 м/с.

3. Выбор даты попадания на периоде обращения Луны вокруг Земли в точку либрации является ключевым фактором, который определяет энергетические затраты перелета, при этом время перелета является критерием поиска оптимального решения транспортной задачи для каждой даты попадания.

4. Программный комплекс ЫМооп2025 моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна как решение частной задачи трех тел с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Для обеспечения практического применения полученных результатов в обязательном порядке необходимо использовать базу данных с информацией о скорости и положении небесных тел по григорианскому календарю. Программный комплекс позволяет определить необходимые импульсы скорости для перелета в лунную точку либрации Ь1 в любую заданную дату попадания при старте с любого космодрома и с любой высоты базовой орбиты.

5. На ближайшем периоде лунной прецессии (18,6 лет) оптимальной датой попадания в точку либрации Ы системы Земля - Луна является 24 декабря 2024 года, что доказывает решение уравнения движения КА с учетом возмущающих ускорений Земли, Луны и Солнца с использованием данных о реальных положениях небесных тел.

В первой главе приводится математическая модель рассматриваемого прямого двухимпульсного баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в лунную точку либрации Ы как частный случай ограниченной задачи трех тел с дополнительными возмущающими факторами - второй зональной гармоники Земли и возмущающее ускорение Солнца. Приводится алгоритм решения и оптимизации баллистического перелета.

Во второй главе обосновывается выбор рассматриваемой эпохи, путем итерационного решения определяется зависимость суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации Ы системы Земля - Луна. Установлено влияние положения Луны на энергетику перелета.

В третьей главе проанализирован вклад возмущающих факторов в значение суммарного импульса скорости и потребную массу топлива. Определена оптимальная дата попадания КА в точку либрации на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны.

В четвертой главе приведен поэтапный пример реализации разработанного алгоритма. Определено влияние погрешности задания вектора начальных значений на величину невязки конечного решения.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

1.1.Цели и задачи проектно-баллистического анализа траектории КА

Одной из главных задач проектирования КА является всесторонне обоснованный выбор основных проектных параметров, удовлетворяющих техническому заданию при оптимальных показателях качества - критериях эффективности [71, 90].

Удовлетворение поставленным требованиям невозможно без проведения проектно-баллистического анализа - первичного этапа проектирования космической миссии, в рамках которого определяются необходимые энергетические и массовые затраты на реализацию транспортной задачи космического аппарата. Таким образом, можно сформулировать главную цель проведения проектно-баллистического анализа - поиск потребного приращения скорости КА и требуемых затрат топлива для такого приращения, а также определения связи найденных значений с проектными параметрами аппарата.

Для решения поставленной цели возникает необходимость математической модели движения КА [41, 84]. В общем виде эта модель представлена в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

^ = /(х,у,с), (1.1)

где х - вектор-столбец фазовых координат КА, для анализа, изменения которого математическая модель включает дифференциальные уравнения (чаще всего это скорость КА и его координаты), у- вектор функции управления движением КА (например, закон изменения тяги двигательной установки КА), с - вектор параметров К А; / - вектор-столбец функции от х,у,сш, ? - независимая переменная, чаще всего время движения КА. Решение задачи Коши для системы ОДУ с заданными с и у является математическим способом построения траектории КА. В общем случае при произвольно заданных условиях траектория

КА может не удовлетворять условиям транспортной задачи и, например, не выйдет на заданную конечную орбиту. Таким образом, главная задача баллистического анализа - формирование программы движения КА, при котором реализуется поставленная транспортная задача.

Несмотря на то, что существует множество научных трудов по вопросам развития небесной механики [2, 3, 15, 69, 93, 103, 112], для каждого рассматриваемого случая необходимо строить собственную математическую модель.

1.2. Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета

В настоящей работе рассматривается схема прямого баллистического перелета КА, оснащенного ХРД, с низкой околоземной орбиты (базовой) на орбиту точки либрации Ы системы Земля - Луна. В нулевом приближении рассматривается переход Цандера-Гомана [109, 105] между некомпланарными орбитами (рисунок 1).

Рисунок 1. Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна в ГЭСК

На базовую орбиту аппарат вместе с химическим разгонным блоком выводится ракетой-носителем. Баллистический перелет реализуется двумя включениями химического ракетного двигателя. Первый импульс скорости ДК, (1.2) реализует переход КА на перелетную орбиту, лежащую в плоскости базовой орбиты. При этом точка старта является перицентром перелетной орбиты.

(1.2)

где Укм - вектор скорости КА на базовой орбите, необходимый для перехода на перелетную орбиту, У0 - круговая скорость КА на базовой орбите.

Второй импульс скорости дк2(1.3) сообщается космическому аппарату в апоцентре перелетной орбиты, обеспечивает поворот плоскости перелетной орбиты на величину А/, который характеризует разность наклонений между базовой орбитой и орбитой точки либрации, и переход КА на орбиту точки либрации Ь1 со скоростью равной скорости точки либрации У1Л .

АК = (1.3)

В классической небесной механике абсолютные значения для второго импульса скорости определяются из теоремы косинусов:

АУ2^^]+У1!и-2-¥!А-ГКАи-Со5М, (1.4)

где, Ум - вектор скорости КА в точке либрации Ы.

Для анализа используется методическая идея импульсной аппроксимации активных участков полета, т.е. примем, что импульс скорости сообщается КА мгновенно [97].

В качестве критерия оптимальности в данной работе рассматривается значение суммарного импульса скорости. Таким образом, задача проектно-баллистического анализа в данной работе сводится к поиску минимального суммарного импульса скорости АУх (1.5) и, как следствие, по формуле Циолковского (1.6), минимуму потребной массы топлива для реализации перелета.

АУг = АУ, + АУ2, АУХ -> шп

(1.5)

/

шт = т0 1 - ехр-

(1.6)

V

где шт - масса топлива необходимо для реализации транспортной задачи КА, ш0 - начальная масса КА, 1у - удельный импульс тяги, который задается

выбранной двигательной установкой КА.

Положение плоскости орбиты в пространстве в ГЭСК определяется двумя углами - наклонением базовой орбиты /0, которая характеризует отклонение вектора площадей от оси г и долготой восходящего узла ^, которая характеризует отклонение линии узлов орбиты от оси х. На рисунке 1 ¿и - наклонение орбиты

точки Ь1, - долгота восходящего узла орбиты точки Ь1, г° - наклонение базовой

орбиты КА, - долгота восходящего узла базовой орбиты КА. - радиус-вектор точки либрации, который исходя из физических свойств коллинеарной точки либрации принадлежит радиус-вектору Луны гЦуиы . - положение КА на базовой орбите в момент схода с нее, и0 - аргумент широты точки схода базовой орбиты, который характеризует отклонение точки схода с базовой орбиты от линии узлов базовой орбиты, ЯКА - положение КА в произвольный момент времени относительно Земли. Пунктирной линией отображены элементы, которые находятся в южном полушарии, т.е. ниже экваториальной плоскости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Окишев, Юрий Александрович, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Аким Э.Л. Определение поля тяготения Луны по движению искусственного спутника Луны «Луна-10» // ДАН СССР. 1966. Т. 170. №4. С.799-802.

2. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986. 321 с.

3. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 359 с.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

5. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 137 с.

6. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики: пер. с англ. М.: Мир, 1964. 515 с.

7. Валле-Пуссен Ш. Ж., Лекции по теоретической механике. Т. 2. М.: ИЛ, 1949. 328 с

8. Вашковьяк М.А. Об интегрируемых случаях ограниченной двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. Исследования. 1984. Т. 22. № 3. С. 327.

9. Веселовский И. Н. Аристарх Самосский - Коперник античного мира // Историко-астрономические исследования. Вып. VII. М., 1961. С. 17-70.

10. Винокуров В.А., Иванов Ю.Н. Обобщенный метод Ньютона для решения краевых задач // Космические исследования. 1965 Т. 3. № 4. С. 234-248.

11. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986. 256с

12. Григорьев И. С. Методическое пособие по численным методам решения краевых задач принципа максимума в задачах оптимального управления. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005. 160 с.

13. Гришин С.Д., Захаров Ю.А., Оделевский В.К.. Проектирование космических аппаратов с двигателями малой тяги. М.: Машиностроение, 1990. 223 с.

14. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н. Токарев В.В. Механика космического полета (Проблемы оптимизации). М.: Наука, 1975. 702 с.

15. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / под ред. Г.Н. ДубошинаМ.: Наука, 1976. 864 с.

16. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 456 с.

17. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 800 с.

18. Дубошин Г.Н. Некоторые проблемы астродинамики и небесной механики / Г.Н. Дубошин, Д.Е. Охоцимский // Космические исследования. 1963. Т.1. № 2. С. 195-208.

19. Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне // УФН. 1957. Т. 43. N1. С. 73-117.

20. Егоров В.А. Пространственная задача достижения Луны. М.: Наука, 1965. 224 с.

21. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М.: Наука, 1980. 543 с.

22. Егоров В.А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой проблеме трех точек // ИСЗ. 1959. Вып. 3.

23. Жонголович И.Д. // Труды Института теоретической астрономии АН СССР. Вып. З.М., 1952.

24. Захаров Ю.А. Проектирование межорбитальных космических аппаратов. Выбор траекторий и проектных параметров. М.: Машиностроение. 1984. 176 с.

25. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. М.: Дрофа, 2004. 544 с.

26. Ивашкин В.В. Лунные траектории К А // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: VI Всерос. науч. конф., поев. 40-

летию НИИ ПММ ТГУ. Томск, 30 сент.-2 окт. 2008 г. ИПМ им. Келдыша РАН, Эл.. библ.: http://www.Keldysh.ru/papers/2008/source/article/Tomsk_08.pdf, 36 с.

27. Ивашкин В.В. О траекториях полета точки к Луне с временным захватом ее Луной // ДАН. 2002. Т. 387. № 2. С. 196-199.

28. Ивашкин В.В. О траекториях полета точки от Луны к Земле с гравитационным освобождением от лунного притяжения // ДАН. 2004. Том 398. № 3. С. 340-342.

29. Ивашкин В.В., Петухов В.Г. Траектории перелета с малой тягой между орбитами спутников Земли и Луны при использовании орбиты захвата Луной. // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. № 81. 32 с. URL: http ://library. keldysh.ru/preprints. asp?id=2008-81

30. Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. М. Наука, 1975.

496 с.

31. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976. 744с

32. Ильин И.С. Выбор номинальной орбиты КА «Миллиметрон» из семейства периодических орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце-Земля // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2013. № 46. 21

33. Ильин И.С., Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А., Ярошевский B.C. Баллистическое проектирование траекторий перелета с орбиты искусственного спутника Земли на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце - Земля // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 2013, № 6.

34. Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Построение ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце - Земля // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 65.

35. Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Траектории перелета с низкой околоземной орбиты на многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце - Земля // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. №66.

36. Казмерчук П.В. Оптимизация траекторий с гравиманеврами КА, оснащенных солнечным парусом «роторного» типа // Труды МАИ: Интернет-журнал. М.: МАИ, 2006. Вып. № 24. 23 с. http://www.mai.ru.

37. Келдыш М.В. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика. М.: Наука, 1988. 493 с.

38. Келдыш М.В., Власова З.П., Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Платонов А.К. (1959). Исследование траекторий облета Луны и анализ условий фотографирования и передачи информации // Келдыш М.В. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика / отв. ред. B.C. Авдуевский, Т.М.Энеев. М.: Наука, 1988. С. 261-309.

39. Коган А.Ю. Далекие спутниковые орбиты в ограниченной круговой задаче трех тел // Космич. Исследования. 1988. Т.26. № 6. С. 813-818.

40. Коган А.Ю., Котин В.А. Резонансные эффекты при движении с малой тягой в системе Земля-Луна // Космич. Исследования. 1987. Т. 25. № 3. С. 374.

41. Константинов М.С. Методы математического программирования в проектировании летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 164с.

42. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета. М.: Машиностроение, 1989. 408с.

43. Константинов М.С., Котин В.А. Об управлении космическим аппаратом с солнечным парусом в окрестности коллинеарных точек либрации // Тр. 7-х Чтений Ф.А. Цандера. Идеи Ф.А. Цандера и вопросы астродинамики. М.: ИИЕТ АН СССР, 1982.

44. Константинов М.С., Федотов Г.Г. Алгоритм коррекции программного движения аппарата с двигателем малой тяги // Сб. "Ф.А. Цандер и современная космонавтика". М.: Наука, 1976. 206с., С. 130-137

45. Крейсман Б.Б. Одноимпульсные перелеты с орбит искусственных спутников на орбиты вокруг точки либрации L1 или L2 .// Космические исследования. 2011. Т. 49. № 4. С. 335-344.

46. Крейсман Б.Б. Периодические решения пространственной ограниченной задачи трех тел. 2. Потеря симметрии при резонансе 1/1 // Космические исследования. 2012. Т. 50. № 1. С.68-78.

47. Крейсман Б.Б. Применение периодических решений пространственной задачи трех тел для проектирования орбиты космического телескопа // Космические исследования. 2009. Т. 47. № 5 С. 444-451.

48. Крейсман Б.Б. Семейства периодических решений гамильтоновых систем. Несимметричные периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел // Космические исследования. 2005. Т. 43. № 2. С. 88-110.

49. Крейсман Б.Б. Семейства периодических решений пространственной ограниченной задачи трех тел // Космические исследования. 2009. Т. 47. № 1 С. 64-78.

50. Крейсман Б.Б. Устойчивые пространственные орбиты «вокруг» коллинеарных точек либрации // Космические исследования. 2010. Т. 48. № 3. С. 271-278

51. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

52. Кубасов В.Н., Дашков A.A. Межпланетные полеты. М.: Машиностроение, 1979. ,272 с.

53. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 108 с.

54. Лебедев A.A., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. 200с.

55. Лейтман Дж. (ред.) Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.: Наука, 1965.

56. Левантовский В.И. Механика космического полета в элементарном изложении М.: Наука, 1980. 512 с.

57. Лидов М.Л. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентрального поля планеты / М.Л. Лидов, М.В. Ярская // Космические исследования. 1974. Т. 12 №2 С. 155-170.

58. Лидов М.Л., Вашковьяк М.А., Маркеев А.П. Теория пассивного движения космического аппарата вблизи коллинеарной точки либрации Ь2 системы Земля-Луна. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1975. №56.

59. Лидов М.Л., Вашковьяк М.А., Тесленко Н.М. Автоматическая станция в окрестности лунной либрационной точки Ь2: 1. Предварительный анализ схемы запуска и управления на галоорбите. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1974. № 116,

60. Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Одноимпульсный перелет на условно-периодическую орбиту в окрестности точки Ь2 системы Земля - Солнце и смежные задачи // Космич. исследования. 1987. Т. 25. № 2. С. 163-185.

61. Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Траектории полета Земля -Луна - гало-орбита в окрестности точки Ъ2 системы Земля - Солнце // Космич. исследования, 1992. Т. 30. № 4. С.435-454.

62. Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Характеристики управления при выведении КА в окрестность точки Ь2 системы Солнце - Земля с использованием гравитации Луны (Проект "Реликт-2") // Космические исследования, 1993. Т. 31. № 5. С.3-20.

63. Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Тесленко Н.М. Исследование одного класса траекторий ограниченной задачи трех тел // Космич. исследования. 1964. Т. 2. Вып. 6. С. 843-852.

64. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.

65. Лукьянов Л.Г. Об обобщенной задаче двух неподвижных центров / Л.Г. Лукьянов // Космические исследования. 2006. Т.44. №2. С. 162-169.

66. Малышев В. В., Усачов В. Е., Казмерчук П. В. Методика оптимизации траекторий, включающих гравиманевры КА с солнечным парусом // Системный анализ, управление и навигация: сб. докл. 11-й Междунар. конф. М., 2006.

67. Малышев В.В. Методы оптимизации сложных систем. М.: Изд-во МАИ, 1981. 76 с.

68. Малышев В.В., Тычинский Ю.Д., Усачев В.Е. Оптимизация траекторий межпланетных КА, формируемых двигателями большой и малой тяги, а также гравманеврами у планет // Теория и системы управления. Известия Академии наук. 2002. №2. С. 151-161.

69. Малышев В.В., Усачов В.Е., Казмерчук П.В. «Методика оптимизации траекторий, включающих гравиманевры КА с солнечным парусом» // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1.С. 194-205.

70. Малышев В.В., Усачов В.Е. Математическое моделирование управляемого движения космических аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1994. 84 с.

71. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.312 с.

72. Мишин В.П., Безвербый В.К., Панкратов Б.М., Щеверов Д.И. Основы проектирования летательных аппаратов (транспортные системы): учеб. для технических вузов / под ред В. П. Мишина. М.: Машиностроение, 1985. 360 с

73. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем, М.: Наука, 1975.

528 с.

74. Нариманов Г.С., Тихонравов М.К. (ред.) Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 608 с.

75. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Алгоритм поиска оптимальной траектории баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна // Прикладные аспекты исследований в радиофизике, электронике и спектроскопии: сб. науч. ст. СаратовЮОО Изд. Центр «Рата», 2013. С. 50-61.

76. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Анализ влияния положения луны на выбор схемы космического перелета в зависимости от даты попадания космического

аппарата в точку LI системы "Земля-Луна"//Информационные технологии, системы автоматизированного проектирования и автоматизация : сб. науч. тр. IV Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2012. С. 114-118.

77. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Математическая модель баллистического анализа перелета космического аппарата в точку либрации системы "Земля-Луна" // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25 :сб. тр. XXV Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 6. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2012. С. 71-74.

78. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Математическое моделирование баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы «Земля-Луна» с учетом нецентральности гравитационного поля Земли // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-26 :сб. трудов XXVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 10 .-Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т ,2013 .-С. 62-66 . - ISBN 978-5-7433-2386-9

79. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Математическое моделирование частной ограниченной задачи трех тел с учётом второй зональной гармоники в геоцентрической экваториальной системе координат // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 4 (73). С. 44-51.

80. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Основные подходы к численному моделированию частной задачи трех тел для баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку L1 системы "Земля-Луна" // Вестник Саратовского государственного технического университета .2013. № 1 (69).С. 44-49

81. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Разработка математической модели баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы "Земля-Луна" как решение частной ограниченной задачи трех тел с учетом прецессии орбиты Луны // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 4 (68 С. 61-68.

82. Окишев Ю.А. Численный метод поиска оптимальных дат попадания в лунную точку либрации LI с учетом влияния нецентральности гравитационного

поля Земли и возмущающего ускорения Солнца // Электронный журнал "Труды МАИ", №73, 2014.-25 с. - http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=48482

83. Окишев Ю.А., Клинаев Ю.В. Программный комплекс «LlMoon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы «Земля - Луна» с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». №02 (57). февраль 2014. С. 6.

84. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

85. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука. 1990. 448 с.

86. Петухов В.Г. Новый аналитический метод оптимизации многовитковых траекторий перелета КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги. Труды XVII Объединенных Научных Чтений по космонавтике, секция «Прикладная небесная механика и управление движением»., М.: ИИЕТ РАН, 1994. С. 11.

87. Петухов В.Г. Оптимизация траекторий и эволюция движения космических аппаратов с двигательными установками малой тяги: дис. ...канд. техн. наук. М.: МАИ, 1996.

88. Пичхадзе К. М., Малышев В. В., Усачов В. Е., Казмерчук П. В. Оптимизация траекторий с гравиманеврами для аппаратов, оснащенных солнечным парусом // Системный анализ, управление и навигация: сб. докл. 10-й Междунар. конф. М., 2005.

89. Поляхова E.H. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука,

1986.

90. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

91. Попович П.Р., Скребушевский Б.С. Баллистическое проектирование космических систем. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

92. Проскурин В.Ф., Батраков Ю.В. Возмущения в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли // Бюллетень Института теоретической астрономии АН СССР. 1960. Т. 7. № 7. С. 537-548.

93. Птолемей К. Альмагест: Математическое сочинение в тринадцати книгах: пер. с древнегреч. И.Н.Веселовского / Ин-т истории естествознания и техники РАН; науч. ред. Г.Е. Куртик. М.: Наука. Физматлит, 1998. 672 с.

94. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. тр. Т. 1,2. М.: Наука, 1971, 1972.

95. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965. 573 с.

96. Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложений MATHCAD: учеб. пособие для вузов по направлению 230400 «Прикладная математика» специальности «Прикладная математика». М.: Физматлит, 2005. 264 с.

97. Ракеты-носители. Проекты и реальность. Кн. 1: Ракеты-носители России и Украины. В.Н. Блинов, H.H. Иванов, Ю.Н. Сеченов, В.В. Шалай. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011.382 с.

98. Роббинс Х.М. Аналитическое исследование импульсной аппроксимации // Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 8. С. 134-143.

99. Рой А.Э. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981.

100. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.: Машиностроение, 1987.

101. Сафранович В.Ф., Эмдин Л.М. Маршевые двигатели космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1980.

102. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19916 ИНИМ РАО РФ. Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование»: Программный комплекс «LlMoon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы "Земля - Луна" с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев./ -РТО .05286136.00047. - 12 е., дата регистрации 06.02.2014

103. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. / пер. с англ. под ред. Г.Н. Дубошина. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1982. 656 с.

104. Субботин М. Ф. Введение В теоретическую астрономию. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1968. 800 с.

105. Федотов Г.Г. Некоторые приемы решения краевых задач оптимального межорбитального перелета. Математические методы оптимального управления и их приложения: тез. докл. / АН БССР, Ин-т математики. Минск, 1989. С. 238-239.

106. Федотов Г.Г. О быстрых компланарных переходах между орбитами, одна из которых круговая // Механика космического полета. М.: МАИ, 1985. С.61-66.

107. Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1989. 512 с.

108. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991.

109. Хофер Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1981.

110. Цандер Ф.А. (1964) Перелеты на другие планеты: (Теория межпланетных путешествий) // Пионеры ракетной техники: Кибальчич. Циолковский. Цандер. Кондратюк. Избранные труды. М.: Наука, 1964. С. 277-359.

Ш.Чарный В.И. О двух методах интегрирования уравнений движения /

B.И. Чарный // Космич. исследования. 1970. Т. 8. № 5. С. 341-354.

112. Чарный В.И. О сокращении времени интегрирования движения с помощью принципа Рунге / В.И. Чарный // Космич. исследования. 1969. Т. 7. № 1.

C. 87-95.

113. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975.

114. Эльясберг П.Е., Тимохова Т.А. Управление движением космического аппарата в окрестности коллинеарного центра либрации в ограниченной эллиптической задаче трех тел // Космич. исследования. 1986. Т. 24. № 4. С. 497.

115. Энеев Т. М., Р. 3. Ахметшин, Г. Б. Ефимов, М. С. Константинов, Г. Г. Федотов. Баллистический анализ межпланетных полетов космических аппаратов с электроракетными двигателями // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. Вып. 5.С. 33-38.

116. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления // Космич. исследования. 1966. Т. 4. № 5,

117. Энеев Т.М.. Актуальные задачи исследования дальнего Космоса // Космические исследования. 2005. Т. 43. № 6. С. 403-407.

118. Beard D., Johnson F., Charge and magnetic field interaction with satellites. J. Geopbys., Res., v. 65, p. 1, 1960.

119. Beibruno E. Lunar Capture Orbits, a Method of Constructing Earth-Moon Trajectories and the Lunar GAS Mission // AIAA Paper 87-1054, 19th Intern. Electric Propulsion Conference. 1987. 9 p.

120. Beibruno E.A. Miller J.K. Sun-Perturbed Earth-to-Moon Transfers with Ballistic Capture; Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1993. Vol. 16. № 4. Pp. 770-775.

121. Canalias E. Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries / E. Canalias, G. Gomez, M. Marcóte, J.J. Masdemont. Department de Matematica Aplicada, Universität Politécnica de Catalunya and Department de Matematica Aplicada, Universität de Barcellona.

122. Ivashkin V.V. Lunar Space Projects, American Astronautical Society Publications, Science and Technology Series, Vol. 108, 2004. AAS 03-763. Pp. 481499.

123. Ivashkin V.V. On Trajectories for the Earth-to-Moon Flight with Capture by the Moon // AAS Publications, Science and Technology Series. 2004. Vol. 108. Paper AAS 03-723. Pp. 157-166.

124. JPL PLANETARY AND LUNAR EPHEMERIDES (http://ssd.jpl.nasa.gov/7planet_eph_export)

125. Kaula W., Tidal friction with dependent amplitude and phase angle // Astron. Journ. 1969. V. 74. No 9. P. 1108,

126. Kozai Y., Effects of the tidal deformation of the Earth on the motion of close Earth satellites, Publ's. Astron. Soc. Japan, 1965. V. 17. No. 4. P. 395.

127. Lagrange J. Mecanique Analytique. Paris: 1788 / Русский пер.: Лагранж Ж. Аналитическая механика. М.: Гостехиздат. 1950. Т. 1. 594 е., Т.2. 440 с.

128. Musen P., Estes R., On the tidal effects in motion of artificial satellites, Celestial Mechanics. V. 6. No 1. P. 4. 1972.

129. Sehnal L., The motion of a chaged satellite in the Earth's magnetic field, Smithsonian Astrophysical Observatory, Special Report, 1968. No 271. P. 1,

130. Standish, E.M., Newhall, X X, Williams, J.G. and Folkner, W.F.: 1995, "JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403", JPL IOM 314.10-127.

131. Swerdlow N. M. Hipparchus's determination of the length of the tropical year and the rate of precession / N. M. Swerdlow // Arch. Hist. Exact Sci. 1980. V. 21(4). P. 291-309.

132. Westerman H., Perturbation approach to the effect of geomagnetic field on a charged satellite, ARS Journ. V. 30. P. 204, 1960.