Математическая модель и выделение трендов временных рядов при коррелированных ошибках измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Сазанова, Татьяна Александровна

• Сазанова, Татьяна Александровна
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сазанова, Татьяна Александровна

Введение

Глава 1. Асимптотические свойства статистик от моментов появления событий в потоках

1.1 Пуассоновский поток событий

1.2 Техника усреднения при пуассоновском потоке моментов измерений

1.3 Асимптотическое поведение статистик

1.4 Рекуррентный поток моментов измерений

1.5 Техника усреднения при рекуррентном потоке моментов измерений

1.6 Асимптотическое поведение статистик

Резюме

Глава 2. Асимптотические свойства статистик от упрощенных оценок параметров тренда при случайном числе измерений

2.1 Сходимость почти наверное и асимптотическая нормальность

2.2 Асимптотические свойства оценок ковариационной матрицы

2.3 Сходимость почти наверное и асимптотическая нормальность упрощенных оценок при рекуррентном потоке моментов измерений

2.4 Асимптотические свойства оценки ковариационной матрицы

Резюме

Глава 3. Выделение трендов временных рядов при пуассоновском потоке моментов измерений и коррелированных ошибках

3.1 Математическая модель измерений

3.2 Алгоритм оценки параметров

3.3 Уравнения для весовой функции

3.4 Решение интегрального уравнения

3.5 Окончательный вид оценок

3.6 Статистические характеристики оценок

3.7 Оценка ковариационной матрицы

3.8 Выделение линейного тренда

3.8.1 Вычисление некоторых интегралов

3.8.2 Решение интегральных уравнений

3.8.3 Оценка коэффициентов линейного тренда

3.8.4 Шумовая компонента дисперсии оценок

3.8.5 Уменьшение шумовой компоненты из-за оптимальности весовой функции

3.9 Метод взвешенного скользящего среднего

3.10 Рекуррентные сплайны

3.11 Сплайновая аппроксимация тренда Резюме

Глава 4. Выделение трендов временных рядов при пуассоновском потоке неизвестных моментов измерений и коррелированных ошибках

4.1 Математическая модель измерений

4.2 Алгоритм оценки параметров

4.3 Нахождение матриц гиг

4.4 Оценки линейного тренда

4.5 Шумовая компонента дисперсий оценок

4.6 Рекуррентные сплайны

4.7 Выделение сплайна целиком

Резюме

Глава 5. Имитационное моделирование

5.1 Моделирование пуассоновского потока событий и нормальных случайных величин

5.2 Проверка асимптотической нормальности

5.3 Проверка выделения линейного тренда и сплайнов

5.4 О программной реализации алгоритмов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель и выделение трендов временных рядов при коррелированных ошибках измерений»

Актуальность работы.

Временные ряды встречаются очень часто в самых разнообразных областях науки, техники, экономики, медицины и т.д., так что вопросы статистической обработки этих рядов постоянно встречаются в практической деятельности многих людей.

Алгоритмам статистической обработки временных рядов посвящена обширная литература, среди которой, уже ставшие классическими, монографии [см. например 2, 4, 5, 7, 40]. При этом надо отметить, что подавляющее большинство этой литературы посвящено ситуации, когда измерения, образующие временной ряд, производятся через равные промежутки времени.

Однако на практике часто встречаются ситуации, когда моменты измерений, порождающие временной ряд, случайны. Это имеет место в технике из-за так называемого "дрожания" моментов измерений. Случайные моменты производства измерений имеют место в телеметрических системах съема данных со спутников, где, кроме регулярных измерений, замеры осуществляются всякий раз, когда на борту наступает какое-то событие (срабатывание датчика, выход контролируемого параметра за определенные пределы и т.п.). И особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах - в торговле, управления запасами, страховых компаниях, банках и т.д., где приход клиента происходит в случайные моменты времени и величина операции, производимой с этим клиентом, есть также случайная величина. Все это приводит к необходимости разработки теории и алгоритмов анализа временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени, что и определяет актуальность данной работы.

Работа является продолжением докторской диссертации научного руководителя работы доктора технических наук Ф.Ф. Идрисова; она проводилась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ Томского государственного педагогического университета.

Цель работы

Целью данной работы являлось:

1. Доказательство асимптотической нормальности и сходимости почти наверное статистик от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоках.

2. Доказательство асимптотической нормальности и сходимости почти наверное упрощенных оценок тренда временного ряда, предложенных в работах Ф.Ф. Идрисова, в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский или рекуррентный поток событий.

3. Обобщение оценок тренда временного ряда на случай коррелированных ошибок измерений, когда моменты измерений известны точно и образуют пуассоновский поток событий.

4. Обобщение оценок тренда временного ряда на случай коррелированных ошибок измерений, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий и нам известен лишь их порядок, но не сами значения моментов.

5. Разработка дополнений к комплексу программ РАКЕТ, разработанному Ф.Ф. Идрисовым.

Состояние проблемы

Отличительной особенностью данной работы является то, что в ней рассматриваются ситуации, когда: а) моменты измерений образуют пуассоновский или реккурентный поток событий с известными характеристиками; б) моменты измерений могут быть известны точно; или о моментах измерений может быть известен только порядок их осуществления. в) ошибки измерений являются коррелированными случайными величинами с экспоненциальной функцией корреляции.

Поэтому прежде всего еще раз укажем на те практические ситуации, где подобные ограничения могут реализовываться.

Во-первых, в таких ситуациях часто находятся системы съема телеметрической информации со спутников. Обычно в таких системах заложены две программы. По одной из них производится съем информации о состоянии бортовых систем во вполне определенные промежутки времени, как правило, отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии по времени. Вторая программа производит съем информации всякий раз, когда на борту спутника происходит какое-то "событие", как-то: срабатывание датчика; включение (или выключение) какой-то системы. Кроме того, есть группа важнейших параметров, за которыми осуществляется постоянное слежение, и как только хотя бы один их этих параметров выходит за определенные границы, на всякий случай производится съем значений и других параметров. Так как такие события происходят случайно, то это приводит к тому, что моменты измерений образуют обычно пуассоновский поток событий.

Во-вторых, такие ситуации возникают в экономических системах, связанных с обслуживанием клиентов. К ним относятся: системы торговли, складирования, страховые и инвестиционные компании, банки и т.д. Обычно в такие системы приход клиентов осуществляется независимо друг от друга, так что поток моментов прихода, как правило, является пуассоновским (по крайней мере на небольших интервалах времени) [13, 48]. Поэтому возникает ситуация, когда измерения, образующие временной ряд, формируются в случайные моменты времени. Нередко момент обращения клиента фиксируется с ошибкой или вообще не фиксируется, так что известен лишь порядок обращения клиентов в компанию. Все это приводит к ситуации, изучаемой в данной работе.

Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. Основная цель этого обзора - показать место данной работы среди аналогичных работ, указать на пересечение результатов в приведенных работах, а также на их отличие.

Как уже подчеркивалось выше, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено исследованию случая, когда измерения (составляющие временной ряд) получены через равные промежутки времени. Работ по этому направлению так много, что укажем лишь на монографии [2, 5, 12, 35, 38].

Одним из главных направлений в исследованиях временных рядов, измерения в которых были получены в случайные моменты времени, являлись исследования временных рядов при наличии пропуска данных. Как на обобщающую можно указать на монографию Дж. А. Литтла и Д.В. Рубина [35], где суммированы результаты подобных исследований.

Большая часть работы посвящена оценке характеристик случайных процессов, когда моменты измерений случайны. Автору неизвестны обобщающие монографии по этим исследованиям. Дадим лишь краткий обзор статей по этой проблеме.

Первые работы в этом направлении появились в связи с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для такой обработки производится дискретизация (взятие отсчетов) сигнала через равные промежутки времени Ы:. Однако в силу погрешностей аппаратуры происходит так называемое "дрожание" (рШг^) этих моментов, в результате которого истинный момент измерения - п- At + {sn, где Ъ,п - независимые случайные величины. При этом сам момент 1п обычно неизвестен, а известна лишь величина п • А?.

В работах изучалось влияние этого эффекта на характеристики получающегося после измерений процесса [49, 51, 52, 55, 59], оценка параметров исходного процесса [63], интерполяция процесса в интервалах между измерениями [50, 60, 61], фильтрация процессов [56, 59] и некоторые другие вопросы, связанные с последующей обработкой и восстановлением сигнала [53, 62].

В более поздних работах начали изучаться те же временные ряды, что и в работе автора - то есть изучался случай, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий.

Среди работ, посвященных выделению трендов рядов, в которой рассматривалась задача выделения тренда при наличии пропусков в измерениях, отметим [46]. Алгоритмы выделения трендов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, впервые были предложены в статье [54]; однако эти алгоритмы совершенно не исследовались с вероятностных позиций. В работе [63] рассматривались свойства оценок параметров полиномиального тренда, полученных по методу наименьших квадратов, когда моменты измерений образуют случайный точечный процесс. Автора в основном интересовали вопросы сходимости получающихся оценок.

Более подробно выделение полиномиальных трендов, когда моменты измерений образуют рекуррентный или пуассоновский поток событий, в предположении, что сами моменты измерений неизвестны, было исследовано в работе Н.В. Степановой [41], результаты которой частично пересекаются с результатами автора. Аналогичная задача рассматривалась в работах Б.Е. Тривоженко [44, 45], в которой были подняты проблемы выделения трендов при помощи сплайнов, хотя и в другой постановке, чем в данной работе. Его результаты также частично пересекаются с работами автора. Близка к этой тематике и работа [42,43], в которой постановка задачи совсем иная.

Очень интересная тематика исследований была начата в работе Б.В. Гнеденко [9], где рассматривались вопросы оценок неизвестных параметров при случайном числе измерений, но, насколько известно автору, эта работа не получила дальнейшего развития.

Однако основная работа, от которой отталкивалась автор данной диссертации - это докторская диссертация научного руководителя работы доктора технических наук Ф.Ф. Идрисова и опубликованные им работы [19 -27]. Результаты данной работы уточняют и дополняют те результаты, которые получены в работе Ф.Ф. Идрисова, а также развивают их на случай коррелированных ошибок измерений.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотических

1 м свойств статистик вида £ = -—где - моменты наступления событий 1 пуассоновского или рекуррентного потока на интервале [О, Г]. Основным результатом являются следующие теоремы, доказанные автором.

Для пуассоновского потока моментов наступления событий т

1. Теорема 1. Если < +оо, то при оо статистика Б сходится в среднеквадратичном смысле к величине

1 Т

2. Теорема 2. Пусть — |/4(м)й?г/< + оо и рассматривается серия опытов с о

Хп=пХ0. Тогда при и-» оо статистика сходится почти наверное к величине

3. Статистика = А является асимптотически нормальной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией |/2(и)г/и. о

Для рекуррентного потока моментов наступления событий. т

4. Теорема 4. Если все |/к (и)ди < оо, к = 1,2,., то статистика 51 сходится о к /*! в средне квадратичном и почти наверное.

1 г

Здесь и далее /к= — |/к{ц)йи, Т о г

5. Теорема 5. Если все ^/к{и)йи < ооД = 1,2,., то статистика л(ХТ(8 — о сходится по распределению к нормальной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с /2.

Вторая глава диссертации посвящена изучению асимптотических свойств 1 м статистик вида 5 = —где величины х( представимы в виде ы д;г- = /) + п{. Здесь функция /(х,) есть некоторая неслучайная функция времени, а величины и, суть независимые одинаково распределённые случайные величины. Для пуассоновского потока моментов измерений имеем. Теорема 1. Пусть = /(7г) + щ . Тогда статистики вида N

1=1 при Я-»оо (для случая Л,п=Х-о п) сходятся почти наверное к величине

1 Т

Теорема 2. Пусть х1 = /((¿) + щ. Тогда статистики вида

1 N Т ,-=1 при оо сходятся по распределению к нормальной случайной вым математичес!сим ожиданием и дисперсией т т а2 |ф2(м)^+ |/2(«)ф2{и)с1и . о о

Теорема 3. При Х-> оо статистика N и 1=1 сходится в средне квадратичном к величине т л т а2 • I + ~ |ф(0/2(0^ • т * т о о

Теорема 4. При А,—» оо

5 = = а2 • )ц>№ +

XI ,=1 1 о 1 о

Для рекуррентного потока моментов измерений имеем. Теорема 5. Пусть хг = /(/г) + иг-. Тогда статистика вида N

1 /=1

1 г при А,-» со сходится почти наверное к величине — |ф(м)/{и)(1и .

Теорема 6. Пусть х;- = /(?,•) + «,•. Тогда статистики вида

1 ЛГ Т 1 при оо сходятся по распределению к нормальной случайной вым математическим ожиданием и дисперсией т т

9 Г 9 9 Г 9 9 а |ф (и)с1и + с I/ (и)ф . о

Третья глава диссертации посвящена выделению трендов временных рядов при пуассоновском потоке моментов измерений и коррелированных ошибках. Сами измеренные значения ) будем представлять в виде ) = / (7г ,9) + ) .где /(/¿,0) - неслучайная функция времени, зависящая от параметров 6 (то есть тренд процесса х{{) ), а - случайная компонента.

В дальнейшем тренд изучаемого процесса /(¿,6) мы будем брать в виде к

0) = ^Гб^фД/), где фЛ,(0 - известные функции. Таким образом, изучается

5=1 линейная по неизвестным параметрам 9 модель тренда.

Что касается случайной компоненты п(1), то мы будем считать её стационарным гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием М{и(7)} = 0 и функцией корреляции Я(х) = а2 ехр(-а|т|). л

По аналогии с работами Ф.Ф. Идрисова [22] рассмотрим оценки параметров 05 в виде 9 = — АХ(Л)Л(Л) • ^ работе показано, что функции /Д?) строят1 ся как линейная комбинация решений уравнения г Т г) + X + X ¡(и)с1и = ф(г), о г где в качестве функций ф(г) выступают функции фД^). Дано общее решение этого уравнения.

В качестве примера подробно рассмотрено выделение линейного тренда временного ряда. Итак, пусть на интервале [-Г/2, Г/2] было проведено N измерений в моменты причем сами измерения образовывали пуассоновский поток событий интенсивности X. Будем считать, что измеренные значения представимы в виде 0

Полученные выше результаты являются основой для модификации так называемого метода взвешенной скользящей средней на случай, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий и ошибки измерений коррелированы.

Итак, пусть значения процесса x(t) измеряются на интервале [О, Г] в случайные моменты времени, которые образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X. Рассмотрим произвольный момент времени t е[0,Г] и рассмотрим «окно» [t - Т0, t + Г0] с центром в точке t.

Пусть для начала t е[Г0,Г-Г0], так что интервал [t-TQ, ? + Г0] cz [ОХ] Тогда на этом интервале представим х(/) в виде Q x(0 = e0+zr-i + H(0, h где 0О определяет «выровненное» значение x(t) в момент времени i, а 0, определяет «тренд» процесса x(t), связанный с «выровненным» значением производной x'(t) в момент времени t.

Возникающая ситуация полностью подходит под рассмотренную выше. Обозначим через Nt множество значений индексов /', для которых t-T0 <tt <t + T0, то есть Nt = {i:t-T0 < tt <t + T0}. Тогда можно записать в* = —0! =-i-^xj71(i/-0x(i<). kin

10 /еЛГ, '"О ¡еИ,

Эти же результаты переносятся на сплайновые аппроксимации тренда. При аппроксимации тренда рекуррентным сплайном первого порядка, значения в узлах сплайна считаются по формуле 0

А 1п i^M

О ieN„

V v п — ■ 1 У где при I = ХТ0» 1 и а = ХТ0» 1 приближенно 21

I)/(z) = 1 +-ch(Kz)exp k + a кГп z 21 + — s TQ a + 6—

1 + a k + a sh(Kz) exp(- к/ 2)

1 +

48/ ak (k + a) 1

1 + a

В случае аппроксимации сплайном всего тренда целиком, оценки значений в узлах сплайна находятся из системы

4 = 1

Ы 1 л2 1 1л^н-1

6(^+1) ' +1) л* I щ ук = 2 хц ТГТТ' х,.

1 к /=1

1 —

Наконец, в пятой главе приводятся результаты имитационного моделирования, подтверждающие основные результаты и выводы диссертации. Также говорится о том, что программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы, вошло как часть в новую версию пакета программ РАКЕТ, разработанную по результатам диссертации Ф.Ф Идрисова и распространяющуюся на коммерческой основе.

Основные научные положения, полученные автором и выносимые на защиту, следующие:

1. Сходимость в средне квадратичном и почти наверное статистик от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоке.

2. Асимптотическая нормальность статистик от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоке.

3. Сходимость в средне квадратичном и почти наверное статистик, определяющих упрощенные оценки параметров, предложенные Ф.Ф. Идрисовым., и зависящие от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоке.

4. Асимптотическая нормальность статистик, определяющих упрощенные оценки параметров, предложенные Ф.Ф. Идрисовым., и зависящие от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоке.

5. Сходимость в средне квадратичном и почти наверное статистик, определяющих оценки ковариационной матрицы оценок неизвестных параметров.

6. Вид оценок параметров тренда, когда моменты измерений образуют пуассонов-ский поток событий а ошибки измерений имеют экспоненциальную функцию корреляции. Уравнение, определяющее оптимальный вид весовых функций. Явный вид оптимальных оценок параметров линейного тренда, а также приложения этих оценок для выравнивания по методу взвешенной скользящей средней, выделения рекуррентного сплайна первого порядка и сплайна целиком.

7. Вид оценок параметров тренда, когда моменты измерений образуют пуассонов-ский поток событий и неизвестны, а известен лишь их порядок, а ошибки измерений имеют экспоненциальную функцию корреляции. Явный вид оптимальных оценок параметров линейного тренда, а также приложения этих оценок для выравнивания по методу взвешенной скользящей средней, выделения рекуррентного сплайна первого порядка и сплайна целиком.

Методика исследований

Большая часть исследований носила теоретический характер и проводилась с использованием аппарата теории вероятностей, математической статистики, а также ряда разделов математики, таких как преобразование Фурье и Лапласа, ортогональные ряды и т.д. Правильность результатов исследования и предлагаемых алгоритмов подтверждена результатами имитационного моделирования на ЭВМ.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней доказаны теоремы об асимптотических свойствах (сходимость в средне квадратичном, почти наверное, асимптотическая нормальность) некоторых статистик, зависящих от моментов наступления событий в пуассоновском или рекуррентном потоке и содержащих, поэтому, случайное число слагаемых. Кроме того, разработаны алгоритмы оценки параметров тренда для случая, когда ошибки измерений экспоненциально коррелированы.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные алгоритмы обработки могут быть применены для анализа реальных данных, возникающих в экономических и технических системах, что позволит анализировать работу таких систем и прогнозировать их поведение в будущем.

Реализация и внедрение полученных результатов

Алгоритмы выделения линейного тренда временного ряда включены в новую версию пакета программ РАКЕТ, разработанного по результатам диссертации Ф.Ф. Идрисова. Отдельные результаты включены в курс «Анализ временных рядов», читаемого студентам факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Публикации по работе Статьи

1. Сазанова Т.А. Выделение трендов временных рядов при пуассоновском потоке моментов измерений и коррелированных ошибках. //В сб. «Статистическая обработка данных и управление в сложных системах» - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 134-144.

2. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Асимптотические свойства оценок параметров тренда, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий. //В сб. «Статистическая обработка данных и управление в сложных системах» Вып. 2. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. С. 86-93.

3. Сазанова Т А. Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий пуассоновского потока. //В сб. «Статистическая обработка данных и управление в сложных системах» Вып. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. С. 98105.

4. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Выделение трендов временных рядов при пуассоновском потоке неизвестных моментов измерений и коррелированных ошиб-ках./УЭкономика, технология, предпринимательство. Сборник трудов сотрудников технолого-экономического факультета. Вып. 1.-Томск, Изд-во ТГПУ, 2000.С 68-74.

5. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий рекуррентного потока. Вестник Томского государственного университета. Том 271, июнь 2000 г. С 47-52.

6. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Асимптотические свойства оценок параметров тренда при измерениях в случайные моменты времени. Известия высш. учебн. за-вед. Физика, 2000, №4, С.24-29.

7. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Выделение линейного тренда временного ряда при пуассоновском потоке моментов измерений и коррелированных ошибках. //В сб. «Статистическая обработка данных и управление в сложных системах» Вып. 3. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001.

Тезисы докладов

1. Идрисов Ф.Ф., Сазанова Т.А. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени. 4-й Сибирский конгресс по прикладной и ин

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сазанова, Татьяна Александровна

Заключение

Подводя итог проделанной работе, автор надеется, что ей удалось сделать следующее.

1. Выяснить асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий в пуассоновском и рекуррентном потоках, в частности, доказать сходимость в средне квадратичном и почти наверное а также доказать асимптотическую нормальность этих статистик.

2. Выяснить асимптотические свойства упрощенных оценок параметров тренда, предложенных Ф.Ф. Идрисовым, в частности доказать сходимость в средне квадратичном и почти наверное а также доказать асимптотическую нормальность этих статистик.

3. Доказать сходимость в средне квадратичном и почти наверное оценок ковариационных матриц, предложенных Ф.Ф. Идрисовым.

4. Предложить модификацию оценок тренда на случай, когда ошибки измерений имеют экспоненциальную функцию корреляции и найти вид оптимальных весовых функций. Довести эту задачу до конца для случая выделения линейного тренда и показать, при каких условиях эти оценки имеют меньшую шумовую компоненту, чем оценки Ф.Ф. Идрисова для некоррелированных ошибок.

5. Проделать все то же самое для случая, когда моменты измерений неизвестны, а известен лишь их порядок.

6. Показать методом имитационного моделирования правильность полученных ею результатов.

Автор выражает свою глубокую благодарность доктору технических наук Ф.Ф. Идрисову за постановку задач, постоянное внимание, помощь в работе и обсуждение результатов, а также доктору физ.-мат. наук А.Ф. Терпугову за ценные указания по методам доказательства предельных теорем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сазанова, Татьяна Александровна, 2001 год

1. Абрамович M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 300 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов М.:Мир,1976 - 755 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. М.: Наука, 1969. - 343 с.

4. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.-464 с.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. Вып.1 406 е.; вып. 2 - 197 с.

6. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. - 287 с.

7. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536 с.

8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 447 с.

9. Гнеденко Б.В. Об оценке неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений // Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР, 1989.-Т. 92.-С. 146-150.

10. Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. -М.: Наука, 1966.-431 с.11 .Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

11. Гренджер К., Хатанага М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. -М.: Статистика, 1972. 312 с.

12. Денио Кл., Оппенхейм Ж., Виано Кл. Выборка в случайные моменты времени: параметрическое оценивание // Тр. 1 Всемирн. конгр. об-ва Бернулли, Москва-Тула, 1988. Вып.2. - Секц. 6-8. - М., 1988. - С. 184-189.

13. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. -М.: Высш. школа, 1965. 466 с.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

15. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad PLUS 6.0 PRO. M.: CK Пресс, 1997. -328 с.

16. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976.-319 с.

17. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

18. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при наличии аномальных ошибок // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика,1993. Т. 36. - № 12. - С. 86-92.

19. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика,1994. Т. 37. - № 2. - С. 43-54.

20. Идрисов Ф.Ф., Ткаченко В.Н. Ядерные оценки функции корреляции и спектра мощности случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1994. Т. 37. - № 2. - С. 55-66.

21. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т. 38. -№ 3. - С. 3-10.

22. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т. 38. - № 3. - С. 11-16.

23. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра мощности гауссовско-го случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Радиотехника, 1995. № 9. С. 3-9.

24. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. -Т.39.-№4.-С. 11-16.

25. Идрисов Ф.Ф. Полиномиальные оценки функции корреляции при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 17-22.

26. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока // Радиотехника, 1996. № 2. С. 37.

27. Идрисов Ф.Ф. Сплайновая оценка спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т. 40,-№4.-С. 27-31.

28. Идрисов Ф.Ф. Оценивание сплайнами функции корреляции и спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т.40. - № 4. - С. 32-37.

29. Идрисов Ф.Ф. Анализ временных рядов при измерениях в случайные моменты времени. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Томск, 1998 г.

30. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. -М.: Наука, 1984. 352 с.

31. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. - 716 с.

32. Лившиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 180 с.

33. Литтл Дж. А., Рубин Д.В. Статистический анализ данных с пропусками. -М.: Финансы и статистика, 1991. 336 с.

34. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 158 с.

35. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы.-М.: Мир, 1982.-428 с.

36. Поляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

37. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.-800 с.

38. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их приложения. М.: Наука, 1968.-547 с.

39. Степанова Н.В. Выделение трендов временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып. 4. с. 180-189.

40. Тривоженко Б.Е. Оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока путем кусочно-линейной аппроксимации // Техника средств связи. Сер. СС, 1986. Вып. 4. - С. 1-6.

41. Тривоженко Б.Е. Рекуррентная оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока // Управляемые системы массового обслуживания. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып. 4. С. 203-209.

42. Тривоженко Б.Е. Сглаживание временных рядов кривыми первого и второго порядка при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та,1987.-Вып. 2.-С. 193-199.

43. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. 285 с.

44. Трофимчук С.Ю. Оценка коэффициентов полиномиального тренда процесса, наблюдаемого в случайные моменты времени // ДАН УССР. Сер. А, 1985. -№11.-С. 67-70.

45. Форсайт Дж. Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

46. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. -Цюрих,1988. -147с.

47. Akaike Н. Effect of timing-error on the power spectrum of sampled data // Ann. Inst. Statist. Math., 1960. Vol.11. - P. 145-165.

48. Akaike H., Ishiguro M. Trend estimation with missing observations // Ann. Inst. Statist. Math., 1980. Vol.32. -№ 3. - P. 481-488.

49. Balakrishnan A.V. On the problem of time-jitter in sampling // IRE Trans. Inform. Theory, 1962. Vol. 8. - P. 226-236.

50. Bentler F.J. Alias-free randomly time sampling of stochastic processes // IEEE Trans. Inform. Theory, 1970. Vol. 16. - P. 147-152.

51. Blum J.R., Rosenblatt J. On randomly sampling from a stochastic process // Ann. Math. Statist., 1964. Vol.35.-№3.-P. 1713-1717.

52. Blum J.R., Boyles R.A. Random sampling from a continuous parameter stochastic process // Lect. Notes Math., 1981. Vol.861. - P. 15-24.

53. Garter M., Roberts J.B. Spectral analysis of randomly sampled signals // J. Inst. Meth. and Appl., 1975.-Vol. 15.-№2.-P. 195-216.

54. Leneman O.A.Z., Lewis J.P. Random sampling of random processes: meansquare comparision of various interpolators // IEEE Trans. Automat. Control, 1966. Vol. 11. -P. 396^103.

55. Leneman O.A.Z. Random sampling of random processes: optimum linear interpolation // J. Franklin Inst., 1966. Vol. 281. - P. 302-314.

56. Leneman O.A.Z. Random sampling of random processes: impluse processes // Information and Control, 1966. Vol. 9. - P. 347-363.

57. Stoyanov J.M., Vladeva D.I. Estimation of unknown parameters of continuous time stochastic processes by observation at random points // Докл. АН НРБ, 1982. -Т. 35.-№2.-С. 153-156.

58. Qian W. Gaussian estimation of the first order time series models with Bernoulli observations // Stochastic Processes and their Applications, 1987. Vol. 27. - №1. -P. 85-96.

59. Российская Академия медшршошх наук Томский научный цешр1. ИНСТИТУТ ФАРМАКОЛОГИИ634028, г. Томск,пр, Ленина, 3, тел. 26-83-75» ьАь&З /г.1. СПРАВКАо внедрении и использовании модифицированного пакетапрограмм «РКОЕКТ»

60. Предложенный и используемый пакет прикладных программ «РК.ОЕКТ» ориентирован на распространённую среду \¥тс!о\У8 95, достаточно удобен в работе и рассчитан на самостоятельное освоение пользователем.