Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Затицкий, Павел Борисович

• Затицкий, Павел Борисович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Затицкий, Павел Борисович

Оглавление

Введение

Глава 1. Геометрия пространства допустимых полу метрик

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Теорема об исправлении

1.3. Теоремы о борелевских сигма-алгебрах

1.4. Эпсилон-энтропия полу метрической тройки

1.4.1. Определение и некоторые оценки

1.4.2. Эквивалентные определения допустимости полуметрик

1.5. Пространство допустимых полу метрик. Определение и свойства т-нормы

1.6. Сходимость допустимых полуметрик, аппроксимация срезками

1.7. Критерий предкомпактпости семейства допустимых полуметрик в гп-норме

Глава 2. Динамика метрик на пространстве с мерой

2.1. Определение и свойства масштабирующей энтропийной последовательности

2.1.1. Порождающие полу метрики

2.1.2. Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамической системы

2.1.3. Сравнение с колмогоровской энтропией

2.1.4. Масштабирующая энтропийная последовательность сдвига Бернулли

2.2. Чисто точечный спектр и последовательностная энтропия Куш-ниренко

2.2.1. Масштабирующая энтропийная последовательность динамической системы с чисто точечным спектром

2.2.2. Сравнение с последователыюстной энтропией Кушни-ренко

2.3. Масштабирующая энтропийная последовательность подстановочной динамической системы

2.3.1. Подстановочные динамические системы

2.3.2. Вычисление масштабирующей энтропийной последовательности подстановочной динамической системы

Заключение

Список публикаций диссертанта по теме

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамических систем»

Введение

Основная цель данной работы — изучение свойств масштабирующей энтропийной последовательности — метрического инварианта динамических систем.

Под динамической системой обычно понимается пара (Х,Т), где X некоторое пространство, а Т отображение из X в себя. Изучается динамика, задаваемая отображением Т на пространстве X, то есть действие на X последовательности отображений Тп, п е N. Если отображение Т обратимо в том или ином смысле, также рассматриваются отрицательные степени отображения Т — Тп, при п 6 < 0. Кроме того, изучаются действия групп преобразований. Представляют интерес динамические системы в разных категориях, то есть на пространстве X заводится некоторая дополнительная структура, а на отображение Т накладываются условия сохранения этой структуры. Так, например, изучаются динамические системы в категории пространств с мерой, в категории топологических пространств, гладкие динамические системы.

Эргодическая теория изучает динамические системы в категории пространств с мерой. Объектами в данной категории являются пространства с мерой (X,а на отображение Т накладывается условие измеримости и сохранения меры. Две метрические динамические системы (Хх,/.¿1, Т\) и (Х2,112,Т2) называются метрически изоморфными, если существует изоморфизм пространств с мерой 5: (Х-!,/^) -> (Хг,/^), переводящий одну динамическую систему в другую, то есть такой, что 5 о Т\ = о По сути, изоморфные динамические системы имеют одинаковые свойства. Оказывается, динамические системы, имеющие совершенно разную природу, зачастую оказываются изоморфны друг другу.

Одним из центральных вопросов эргодической теории является пробле-

ма изоморфизма: как по двум данным динамическим системам, возможно совершенно разной природы, понять, изоморфны они или пет? Ответ на этот вопрос дают так называемые инварианты. Инвариантом динамической системы называется та или иная ее характеристика, не изменяющаяся при изоморфизмах. Таким образом, для того, чтобы получить отрицательный ответ на вопрос изоморфизма, достаточно предъявить некий инвариант, который различен у двух данных динамических систем. Система инвариантов называется полной, если их совпадение у двух динамических систем гарантирует изоморфность этих систем.

Задача о поиске полной системы метрических инвариантов динамических систем исключительно сложна, и, по-видимому, не допускает сколько-нибудь удовлетворительного ответа. Несмотря на это, для некоторых классов динамических систем специального вида найдены полные системы инвариантов.

Спектральные инварианты. В начале 30-х годов 20 века в фундаментальных работах Дж. фон Неймана и Б. Купмана были предложены спектральные инварианты, основанные па спектральной теории унитарных операторов в гильбертовом пространстве. Автоморфизму Т пространства с мерой (X, каноническим образом ставится в соответствие унитарный оператор 11т гильбертова пространства Ь2(Х,[.ь), который каждой функции / сопоставляет функцию 11т/, заданную формулой ([/у/)(.г1) = /(Т(х)). Спектральные характеристики (спектральная мера и функция кратности) оператора 11т приписываются динамической системе (Х,{1,Т). Построенные таким образом унитарные операторы С/у, и 17т.2, действующие в пространствах Ь2(Х\,11\) и ^(^,/¿2), соответствующие метрически изоморфным динамическим системам ¡11,Т\) и (Х2, /¿2, Т2), являются унитарно эквивалентными, то есть существует унитарный оператор II: Ь2(Х\,1-1\) Ь2(Х2,^2), такой что и о Ц-1 -=~и<2°и. Но спектральные характеристики являются упи-

тарными инвариантами операторов. Отсюда следует, что определенные таким образом спектральные характеристики являются метрическими инвариантами динамических систем.

Однако, система спектральных инвариантов довольно сложна для вычислений, и в то же время не является полной. Так, спектры всех сдвигов Бернулли оказываются одинаковыми. Сдвигом Бернулли называется следующая динамическая система. Пусть (Л,21о,г/) — некоторое вероятностное пространство. Рассмотрим пространство X = Аъ всевозможных двусторонних последовательностей элементов множества А, занумерованных целыми числами. На нем задается сигма-алгебра произведения 21, берпуллиевская про-дакт-мера д. Оператор Т: X —> X — левый сдвиг последовательности. Динамическая система (X,/2,Т) называется сдвигом Бернулли с базовым пространством (Д21о, у). Бериуллневские динамические системы являются, с одной стороны, наиболее просто устроенными, с другой стороны, чрезвычайно важными примерами символических динамических систем.

Метрическая энтропия. Энтропия в качестве метрического инварианта динамических систем появилась в фундаментальных работах А. Н. Колмогорова [4, 5] 1958-59 гг. Важным инструментом для построения энтропийной теории послужила теория измеримых разбиений, разработанная В. А. Рохлиным в 40-е годы (см. [б]). Тут мы приведем необходимые определения для случая стандартного вероятностного пространства (X, ¡1) с непрерывной мерой, то есть пространства, изоморфного отрезку [0,1] с мерой Лебега. Разбиение £ пространства (X, па конечное или бесконечное количество непересекающихся элементов называется измеримым, если найдется измеримая функция /: (X, д) —» Е, такая что любой элемент разбиения £ есть полный прообраз /-1(у) какой-то точки у е М. Энтропией разбиения £ называется число Н{£) = f.l(A¡)\ogfl(Ai), если найдутся попарно дизъюнктные элементы разбиения {А\,А2,... }, такие что /¿(иА^) = 1. В противном случае полагают

Н(0 = +оо.

Наиболее удобная форма определения энтропии динамических систем

была предложена Я. Г. Синаем в работе [7| 1959 года. Пусть (X, /х, Т) —-

метрическая динамическая система. Сдвигом Т-1£ измеримого разбиения £

называется измеримое разбиение, элементы которого суть полные прообразы

к

элементов разбиения £ под действием отображения Т. Произведением \J

г=1

конечного числа измеримых разбиений называется измеримое разбиение, элементы которого суть пересечения элементов разбиений Информационной энтропией измеримого разбиения £ под действием отображения Т называется число

hJT, О = lim -Я(£ V V Т"2£ V • • • V T~n+lf).

n->+оо П

Метрической (колмогоровской) энтропией динамической системы (X,ß,T) называется точная верхняя грань этих чисел, взятая по всевозможным измеримым разбиениям с конечной энтропией:

htl{T)=suphtl(T,£).

Z

Из этого определения очевидно, что энтропия является метрическим инвариантом. Замечательная теорема Колмогорова-Синая (см. работу [7] 1959 года) утверждает, что если разбиение £ порождающее (то есть его сдвиги Тп£,п £ Z, в совокупности порождают всю сигм а-алгебру 21 пространства (X, /.¿)), то энтропия динамической системы (X,fi,T) вычисляется по формуле hfl(T) = hfl(T, £). Эта теорема позволяет в значительной степени упростить вычисление энтропии в конкретных примерах. В работе [8] В. А. Рохлина подробно освещены эти и другие вопросы теории.

Оказалось, что колмогоровская энтропия сдвига Берпулли совпадает с энтропией базового пространства (говоря в терминах разбиений, равна энтропии разбиения на точки базового пространства). Таким образом, энтропия

смогла сделать то, что не могли сделать спектральные инварианты — различить бернуллиевские сдвиги. Более того, как было показано Д. Орнстейном в серии работ начала 70-х, колмогоровская энтропия является полным инвариантом сдвигов Бернулли.

Во многих последующих работах В. А. Рохлина, Я. Г. Сипая, А. М. Вер-шика, Л. М. Абрамова, М. С. Пипскера, Д. Орнстейна, А. Б. Катка и др. изучались свойства метрической энтропии автоморфизмов и потоков, приводились формулы для энтропии конкретных автоморфизмов, изучалась аксиоматика энтропии, ее связи со спектральной теорией, изучались обобщения понятия энтропии на действия различных групп и др. Стоит отметить недавний цикл работ Л. Боуэна (2010-2012), в которых понятие энтропии переносится па действие софических групп.

Топологическая энтропия. Важно упомянуть, что параллельно развивалась теория топологической энтропии динамических систем. Объектами категории являются топологические пространства, а па отображения накладывается условие непрерывности. Р. Адлером, А. Конхеймом и М. МакЭндрю в работе |9] 1965 года был введен схожий инвариант для топологических динамических систем топологическая энтропия. Независимо Р. Боуэном в работе [1()| и Е. И. Дипабургом в работе [11] 1971 года было введено иное, более удобное, но по сути эквивалентное определение топологической энтропии динамической системы. Для этого использовались понятия е-энтропий метрических компактов. Пусть X — компактное топологическое пространство, а Т: X —> X — непрерывное отображение. Рассмотрим произвольную метрику р на пространстве X, задающую ту же топологию. Пусть £ > 0. Множество точек из X называется £-сетыо в метрическом пространстве (Х,р), если шары в метрике р с центрами в этих точках радиуса е покрывают все пространство X. В силу компактности пространства X, для любого £ > 0 найдется конечная £-сеть. Размер наименьшей по количеству г-сети обозна-

чим Ne(X,p). Для п G N определим теперь метрику рп на X следующим образом:

р»(х, у) = max р(Г(х), Г (у)),

0<г<п—1

которая показывает, насколько далеко зап первых итераций преобразования Т точки х и у "отдалялись" друг от друга. Измерим теперь ^-энтропию пространства X с метрикой рп. Оказывается, что она экспоненциально растет с ростом п. Величина, определенная по формуле

ЫоР(Т) = limsup^06^^'^ \

п—>оо П>

называется топологической энтропией динамической системы. Эта величина не зависит от выбранной метрики р) задающей исходную топологию.

Е. И. Динабург отмечал, что идея связи топологической энтропии, введенной Р. Адлером, А. Конхеймом и М. МакЭидрю, с ^-энтропией метрических компактов принадлежит А. Н. Колмогорову.

Масштабирующая энтропийная последовательность. Хотя для случая сдвигов Бернулли энтропия является полным инвариантом, для динамических систем общего вида вопрос о других инвариантах энтропийного типа открыт. Для метрической классификации динамических систем с нулевой энтропией Вершиком (см., например, [12], [13], [14],[15]) было предложено ввести иной инвариант, нежели энтропия Колмогорова, названный им масштабирующей энтропийной последовательностью. Это понятие основано на динамике полуметрик на фиксированном пространстве с мерой (X, р) и сочетает в себе идеи колмогоровской энтропии преобразований и£-эптропии метрических компактов. Стоит отметить, что схожие инварианты изучались в работах Ференци и Катка Тувено (см., например, [16], [17]).

Пусть (Х,р,р) - полуметрическая тройка, то есть пространство X с согласованными структурами полуметрики р и меры р. Для положительного числа е назовем е-энтропией метрической тройки И£(Х,р,р) величину

log к, где к — наименьшее возможное натуральное число, такое что найдутся точки xi,...,xf- G X, шары радиуса £ в полуметрике р с центрами в которых покрывают все множество X за исключением, возможно, множества ¡1-меры пе более £. Это понятие схоже, с одной стороны, с понятием е-эптропии метрического компакта, обсуждаемого выше, с другой стороны, оно учитывает меру /х. Определим теперь динамику полуметрик следующим образом. Для п > 0 определим усредненную под действием Т полуметрику T£vp{x,y) = 1 Хл^о1 р{Тг{х), Т1{у)). Последовательность чисел hn называется масштабирующей для полуметрики р и динамической системы (Х,ц,Т), если при достаточно малых £ > 0 найдутся две положительные константы Ci(6r), С^е), такие что

С1(фп<Ш£(Х:р:рп)<С2(фп

при всех п.

Основная цель данной диссертации — изучить свойства масштабирующей энтропийной последовательности, показать, что она в некотором классе не зависит от полуметрики р, и, следовательно, является метрическим инвариантом динамической системы.

Структура диссертации. В первой главе настоящей диссертации изучаются свойства допустимых полуметрик на фиксированном стандартном вероятностном пространстве (X,fi). В разделе 1.1 определены базовые понятия — полу метрическая тройка, допустимая полуметрика, почти метрика и т. д. Полуметрика на вероятностном пространстве (X, ц) называется допустимой, если она сепарабельпа на некотором подмножестве полной меры. Почти метрикой называется функция, которая удовлетворяет свойствам полуметрики лишь почти всюду. Такие функции возникают естественным образом при предельном переходе. В разделе 1.2 доказывается теорема об исправлении, которая утверждает, что почти метрика на стандартном вероятностном

пространстве всегда может быть исправлена до полуметрики. В разделе 1.3 доказываются теоремы о борелевских сигма-алгебрах, порожденных допустимыми полуметриками. В разделе 1.4 приводятся определение в-энтропии полуметрической тройки, некоторые оценки е-эптропии, критерии допустимости полуметрики. В разделе 1.5 на подпространстве пространстваЬ^Х2,//2) вводится специальная норма, названная т-нормой, которая позволяет контролировать ^-энтропии полуметрик. Там же изучаются простые свойства этой нормы, пространства М функций с конечной т-нормой, конуса суммируемых допустимых полуметрик. В разделе 1.6 обсуждается связь сходимости последовательности допустим г,IX полу метрик в пространствах (М, || ■ ||ш) и ^(Х2,/!2). Кроме того, там же доказывается, что допустимая полуметрика может быть аппроксимирована своими срезками 15 т-норме. В разделе 1.7 приводятся критерии предкомпактности семейства допустимых полуметрик в пространствах (М, || • ||т) и Ь1{Х2, /л2).

Во второй главе изучается динамика допустимых полуметрик в пространстве (М, || • ||т), заданная автоморфизмом Т пространства (X, ¡л). В разделе 2.1 вводится понятие масштабирующей последовательности полуметрики и, основываясь на результатах главы 1, доказывается основная теорема, утверждающая, что масштабирующая последовательность не зависит от выбора полуметрики в классе суммируемых допустимых полуметрик, что позволяет рассматривать масштабирующую энтропийную последовательность в качестве метрического инварианта динамической системы. В разделе 2.2 приводится критерий, дающий характеризацию динамических систем с чисто точечным спектром в терминах масштабирующей энтропийной последовательности, приводится оценка масштабирующей энтропийной последовательности через последовательностную энтропию Кушниренко. В разделе 2.3 приводится пример вычисления масштабирующей энтропийной последовательности для подстановочных динамических систем, отвечающих подстановкам посто-

янной длины. В качестве элементарного следствия доказанных в разделах 2.2 и 2.3 теорем получен критерий, описывающий подстановочные динамические системы с чисто точечными спектрами, доказанный ранее в работах [18, 19], однако сформулированный несколько иначе.

Основные результаты, представленные в работе, изложены в работах [1], [2], [3] и докладывались на Санкт-Петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам, на коллоквиуме лаборатории Чебышева СПбГУ, на семинаре по теории вероятностей и эргодической теории в МГУ.

Глава 1

Геометрия пространства допустимых

полуметрик

1.1. Основные определения и обозначения

На протяжении всей работы все встречающиеся пространства с мерой по умолчанию будут стандартными вероятностными пространствами (пространствами Лебега, Лебега-Рохлина), если не указано обратное. Основной интерес для нас будут представлять пространства с непрерывной мерой, однако все определения даются для произвольного пространства Лебега, т.е. пространства, в котором мера может содержать атомы. Говоря о вероятностном пространстве, мы чаще всего позволим себе опускать обозначение сигма-алгебры. В тех редких случаях, когда нам потребуется обозначение сигма-алгебры вероятностного пространства, скажем (X, /л), мы будем обозначать ее 21 (X,/г).

Поскольку полуметрики будут играть в дальнейшем существенную роль, мы используем основные понятия теории метрик и для случая полуметрик. Например, мы говорим о борелевской сигма-алгебре множеств, понимая в случае полуметрик сигма-алгебру, порожденную открытыми (в смысле полуметрики) множествами. Разумеется, эта сигма-алгебра, вообще говоря, может не разделять точки.

Имея некоторое множество Л и к € М, символом Ак мы будем обозначать его декартову степень. Имея полное вероятностное пространство (X, 21,//), его степень (Хк, 21*', цк) мы всегда будем считать пополненным вероятностным пространством.

Определение 1. Пусть (X, /¿) — вероятностное пространство (не обязательно стандартное). Функцию р: X2 —> М, измеримую по мере /Д будем пазы-

вать измеримой полуметрикой на (X, р), если она является полуметрикой па X. Тройку (X, р, р) будем называть полуметрической тройкой. В случае, если найдется некоторое подмножество Х\ С X полной меры, такое что сужение полуметрики р на Х\ является метрикой, тройку (Х:р,р) будем называть метрической тройкой. Измеримую полуметрику р будем называть суммируемой, если она, как функция двух переменных, суммируема по мере /х2, то есть р 6 Ь1(Х2, р2).

Определение 2. Измеримую полуметрику (или метрику) р на (не обязательно стандартном) вероятностном пространстве (Х,р) будем называть допустимой, если найдется некоторое подмножество Х\ С X полной меры, такое что полуметрическое (соотв. метрическое) пространство {Х\,р) сепарабель-но. Тройку (X, д, р) в этом случае будем называть допустимой.

Важным классом примеров допустимых полуметрик являются блок-полуметрики. Напомним определение измеримого разбиения и информационной энтропии.

Определение 3. Разбиение £ пространства (Х,р) па конечное или бесконечное количество непересекающихся элементов называется измеримым, если найдется измеримая функция /: (Х,р) —> М, такая что любой элемент разбиения £ есть полный прообраз /~1{у) какой-то точки у е М. Энтропией разбиения £ называется число Н{£) — — ]Г) р(А{) к^//(А), если найдутся попарно дизъюнктные элементы разбиения {уЦ, Аъ, • • ■ }, такие что р(иА,) = 1. В противном случае полагают Н(£) = +сю. Множество всех измеримых разбиений стандартного вероятностного пространства (Х,р.) с конечной энтропией обозначим символом Е(Х,р). Энтропией вероятностного пространства считается энтропия разбиения на точки.

Произведением нескольких измеримых разбиений будем называть

измеримое разбиение, элементы которого суть пересечения элементов исходных разбиений £г-.

Определение 4. Пусть £ — измеримое разбиение пространства (X, /¿). Для х Е X пусть - элемент разбиения содержащий .г. Блок-полуметрикой, соответствующей разбиению называется полуметрика р^, определенная равенствами р^{х,у) — 0, если £(.т) = £(?/), и р^(х,у) = 1 в противном случае. Если £ является разбиением на два множества, полуметрика р^ называется разрезной (или просто разрезом).

Полезно дать формально менее ограничительное определение измеримой полуметрики, которое, однако, эквивалентно исходному.

Определение 5. Пусть (X, ¿¿) — стандартное вероятностное пространство, а р: X2 —)• К. измеримая по мере р2 неотрицательная функция. Будем называть р почти метрикой, если р(х,у) = р{у,х) для ¿¿2-почти всех пар (х, у) Е X2 и р(х, г) < р(х, у) + р(у, г) для /х3-почти всех троек (ж, у, г) Е X3.

Определение 6. Пусть р — почти метрика на (X, /х). Пусть А С X — некоторое ¿¿-измеримое подмножество. Символом ётДА) будем обозначать диаметр множества А в полу метрике р:

ёШр(А) = 8ир{р(ж, у): X, у £ А}.

Символом сввсЬи-ДЛ) будем обозначать его существенный диаметр:

еэзсЬиДА) = п^{с1 Е М: р{х,у) < й для р2-п. в. (х,у) Е А2}.

Из определения ясно, что скпДЛ) > еззс1тДА). Обращение в некотором смысле этого неравенства устанавливает следующая простая лемма.

Лемма 1. Пусть р — измеримая полуметрика на (Х,р), А С X ~ изме-рилюе подмножество. Тогда найдется р-измеримое подмножество В С А, такое что /х(А\В) = 0 и скпД.£?) < 2е8зс1т/.,(Л).

Доказательство. Пусть d = essdmp(A). Мы можем считать, что р(А) > 0. Так как р(х, у) < d для //-почти всех пар (х, у) Е А2, то найдется точка х Е А, такая что р{х,у) < d для р-почти всех у Е А. Пусть В = {у Е А: р(х,у) < d}. Тогда р(А \ В) = 0 и для yi,y2 Е В по неравенству треугольника имеем р{УиУ2) < р(х, У\) + р(х, 2/2) < 2d. □

Следующее определение вводит естественный аналог понятия допустимости для почти метрик.

Определение Т. Почти метрику р на пространстве (X, р) будем называть существенно сепарабельной, если для любого £ > 0 пространство X может быть покрыто счетным семейством измеримых множеств, существенный диаметр каждого из которых меньше е.

Определение 8. Две почти метрики р^,р2 иа пространстве (Х,р) назовем ¿¿-эквивалентными, если р2({(х,у) Е X2: р\{х,у) ф Р2{х,у)}) = 0. Также будем иногда говорить, что одна из двух /¿-эквивалентных метрик является исправлением другой (обычно исправленная метрика будет обладать какими-то лучшими свойствами по сравнению с исходной).

Отметим, что если два измеримых разбиения совпадают па множестве полной меры, то соответствующие им полуметрики /¿-эквивалентны.

1.2. Теорема об исправлении

В этом разделе мы докажем теорему об исправлении, которая утверждает, что почти метрика всегда может быть исправлена до полуметрики.

Теорема 1.1) Пусть (Х,р) — стандартное вероятностное пространство, р — почти метрика на (Х,р). Тогда р можно исправить до всюду конечной

полу метрики на X, то есть найдется р-эквивалентная ей полуметрика р на (X, р).

2) Если при этом почти метрика р была существенно сепарабельной, то исправленную полуметрику р можно выбрать допустимой.

Замечание 1. Если последовательность полуметрик (или почти метрик) на (Х,р) сходится к некоторой функции р по мере /¿2, или /¿2-почти всюду, то функция р может не быть полуметрикой, но почти метрикой она является. В силу теоремы 1 об исправлении она //-эквивалентна некоторой полуметрике. Пользуясь этой теоремой, мы в будущем всегда будем исправлять встречающиеся после предельных переходов почти метрики до полуметрик. Таким образом, предел последовательности полуметрик на (X, р) относительно сходимости по мере /х2, /¿2-почти всюду, или в Ьх{Х2,р2) мы будем считать полуметрикой.

Доказательство теоремы 1. 1) Заметим, что для /¿-почти всех ж £ X функция /?(ж, •) является измеримой на (X, /г), и неравенство

р(у, г) < р(х, у) + р(х, г) (1.1)

выполняется для р2-иочти всех пар (у, г) € X2. Зафиксируем одну из таких точек .г-о. Изменим меру р на эквивалентную так, чтобы функция /(•) = р(хо, •) стала суммируемой на (X,р). Это несложно сделать, положив Ап =

оо

/-1([п — 1 , п)) при п £ М, р(В) = с 2~пр(ВпАп) для всякого измеримого

71=1

В С X, где константа с выбрана так, что Д(Х) = 1. Заметим, что тогда для /¿2-почти всех пар (у, г) € X2 выполнено неравенство (1.1) с х = Жо, поэтому функция р(у,г) суммируема на (Х2,Д2).

Теперь отождествим пространство Лебега (X, Д) с единичной окружностью 5 = Ж/Ъ с мерой Лебега. Определим функцию р (возможно, принима-

ющую бесконечные значения) равенством

тт

Р(х1 У) =: Т 2 р(х + у + з)сИ(1з.

'Г V Л I

(1.2)

о о

В силу теоремы Лебега о дифференцировании интеграла для почти всех пар (х, у) 6 52 предел (1.2) существует и совпадает с р(х,у). Отметим, что для любых а;, у Е 5 для почти всех пар £ [О,Т]2 выполнено равенство р(х + + в) = р(у + в,х + ¿), поэтому р(х,у) = р{у,х). Докажем, что р удовлетворяет неравенству треугольника. Для любых х, у, г € 5 для почти всех троек (з,£,т) € [0,Т]3 выполняется неравенство

Проинтегрируем неравенство (1.3) по(з,£,т) € [0,Т]3, поделим на Т3 и перейдем к верхнему пределу поТ —> 0+. Пользуясь тем, что верхний предел сумм не превосходит суммы верхних пределов, получаем неравенство треугольника для функции р. Переопределим значения функции р на диагонали нулем.

Заметим, что функция р почти всюду конечна (поскольку такова ¿¿-эквивалентная функция р), следовательно, можно выбрать точку Е так, что р(хц,х) < оо для почти всех х £ 5, то есть для всех х из некоторого множества полной меры. Переопределим полуметрику р вне ¿1 х по правилу р{х,у) р{хо,у) для х ^ ¿п, у £ ¿ь аналогично р(х,у) := р(х,хо) для у ф 3\,х £ й*! и р(х,у) := 0 для х, у ^ 8\. Построенная таким образом функция р является всюду конечной полуметрикой па б1, /^-эквивалентной исходной почти метрике р.

2) Пользуясь утверждением пункта 1, будем считать, чтор — полуметрика, заданная на всем X и всюду удовлетворяющая неравенству треугольника. Отметим, что при этом исправлении существенная сепарабельность сохранилась. Докажем, что найдется множество полной меры, сужение полу метрики р на которое даст сепарабельное полуметрическое пространство.

р{у + я, г + Ь) < р(у + 5, х + т) + р{х + г, г + £).

(1.3)

Достаточно доказать, что для любого п Е N найдется множество Хп С X полной меры, покрываемое счетным семейством множеств диаметра не более ^ в иолу метрике р. Тогда сужение полуметрики р па множество Г\пХп полной меры даст сепарабельпое полуметрическое пространство. В силу существенной сепарабельности полуметрики р для каждого фиксированного п Е N найдется семейство измеримых подмножеств А^ С X, такое что ез8с1тр(Ак) < ^ для каждого к и X = и¡¡А^ Для каждого к, воспользовавшись леммой 1, найдем Вк С Аь, так что р(Ак\Вк) = 0 и с!тДБ£.) < Тогда объединение Хп = и^В^ и есть искомое подмножество X полной меры. □

1.3. Теоремы о борелевских сигма-алгебрах

Обычно, когда говорят о связи меры и метрики, основной структурой считают метрическое пространство, а на меру накладываются условия, такие как борелевость, регулярность. Мы же, следуя подходу, предложенному А. М. Вершиком, действуем наоборот — в качестве основного объекта берем вероятностное пространство (X, р), а на полуметрику р накладываем условие измеримости. Теорема об измеримости, доказываемая нами в данном разделе, в некоторой степени проясняет связь между этими подходами.

Если (Х,р) — некоторое полуметрическое пространство, а р --- борелев-ская мера на нем, то функция р, рассматриваемая как функция двух переменных, тривиальным образом является непрерывной в топологии, задаваемой ей самой, поэтому она является борелевски измеримой, стало быть измеримой по мере р. Обратное, вообще говоря, неверно. Действительно, если А -некоторое неизмеримое подмножество в (X, р), хо Е Х\ А фиксированная

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Затицкий, Павел Борисович, 2014 год

Список литературы

4. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119. С. 861-864.

5. Колмогоров А. Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. С. 754-755.

6. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т. 25(67). С. 107 150.

7. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124. С. 768-771.

8. Рохлин В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. 1967. Т. 22, № 5 (137). С. 3-56.

9. Adler R. L., Konheim A. G., McAndrew M. H. Topological entropy // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 114. P. 309 319.

10. Bowen R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 153. P. 401 414.

11. Динабург E. И. Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. Т. 35. С. 324-366.

12. Вершик А. М. Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры // УМН. 2000. Vol. 55, по. 4(334). Р. 59 128.

13. Вершик А. М., Горбульский, А. Д. Масштабированная энтропия фильтраций <т-алгебр // ТВП. 2007. Vol. 52, по. 3. Р. 446 467.

14. Vershik A. M. Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants // Markov Process. Related Fields. 2010. Vol. 16, no. 1. P. 169-184.

15. Вершик A. M. Масштабированная энтропия и автоморфизмы с чисто точечным спектром // Алгебра и Анализ. 2011. Vol. 23, no. 1. Р. 111-135.

16. Ferenczi S. Measure-theoretic complexity of ergodic systems // Israel J. Math. 1997. Vol. 100. P. 189-207.

17. Katok A., Thouvenot J.-P. Slow entropy type invariants and smooth realization of commuting measure-preserving transformations // Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 1997. Vol. 33, no. 3. P. 323-338.

18. Kamae T. A topological invariant of substitution minimal sets //J. Math. Soc. Japan. 1972. Vol. 24. P. 285-306.

19. Dekking F. M. The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete. 1977/78. Vol. 41, no. 3. P. 221-239.

20. Кушниренко А. Г. О метрических инвариантах типа энтропии // УМН. 1967. Т. 22, № 5 (137). С. 57-65.

21. Queffelec М. Substitution dynamical systems—spectral analysis. Second edition. Springer-Verlag, Berlin, 2010. Vol. 1294 of Lecture Notes in Mathematics. P. xvi+351. ISBN: 978-3-642-11211-9.

22. Martin J. C. Substitution minimal flows // Amer. J. Math. 1971. Vol. 93. P. 503-526.