Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Свиридова, Евгения Александровна

• Свиридова, Евгения Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Свиридова, Евгения Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

§ 1. Разрешимость и свойства решения задачи в образах Лапласа

Априорные оценки

Существования решения задачи (0.5)-(0.6)

Аналитичность решения задач в образах Лапласа

§2. Разрешимость и асимптотики решения задачи (0.1)-(0.3)

Вспомогательные утверждения

Выполнение начальных и граничных условий

Класс принадлежности решения задачи

Асимптотики решения

ГЛАВА 2. РАЗРЕШИМОСТЬ И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В ОБРАЗАХ ЛАПЛАСА-ФУРЬЕ. ТРЁХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

§3. Априорные оценки решение задачи (0.12)-(0.13)

§4. Существование и аналитичность решения задачи (0.12),(0.13). Выполнение краевых условий (0.11)

Существование решения задачи (0.12),(0.13)

Аналитичность решения задачи (0.12),(0.13)

Вспомогательные утверждения

Выполнение краевых условий

Выполнение начальных условий

Дифференцируемость решения задачи (0.9)-(0.11)

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ КОМПОНЕНТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (0.9)-(0.11)

§5. Асимптотические представления решения задачи (0.9)-(0.11) при t->оо

§6. Улучшение асимптотических оценок решения задачи (0.9)-(0.11)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Изучение математических моделей, описывающих малые колебания жидкостей, началось в пятидесятые годы прошлого века с известных работ ак. C.JI. Соболева [1], [2]. Позже появилось много работ В.Н. Масленниковой [3], [6], [7], [9], [10], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [4] -[6], В.Н. Масленниковой, A.A. Дезина [11], Т.Н. Зеленяка [12], Т.Н. Зеленяка и В.П. Михайлова [13], В.П. Маслова [14], И.М. Петунина [15], [16], в которых рассмотрены качественные свойства решений начальных и начально-краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающих малые колебания идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей. Особое внимание в этих работах уделено асимптотическим свойствам решений изучаемых задач при t —> оо. Отметим, что все результаты, полученные в упомянутых работах, относились к системам с постоянными коэффициентами. Подробное описание результатов, полученных к 1970 году содержится в обзоре [11], а состояние на 1998 год описано в обширной монографии Демиденко Г.В., Успенского C.B. [17], в которой содержится описание как результатов, принадлежащих авторам, так и подробный обзор материалов исследований других математиков.

Работы математиков С.А. Габова, А.Г. Свешникова, Г.О. Малышевой [18] -[21] посвящены изучению качественных, в том числе асимптотических свойств решений начальных и начально-краевых задач, описывающих движение стратифицированных жидкостей. Основным методом исследования, применяемым в этих работах, является построенная авторами теория гидродинамических потенциалов.

В работах A.B. Глушко с соавторами [22] - [42] изучались модели малых колебаний жидкостей с учетом вязкости, вращения, стратификации среды. Основным отличием этих задач, по сравнению с работами [1]-[21], является неоднородность символа дифференциального оператора, обусловленная наличием кориолисовых членов, или стратификацией среды. Отличается также и основной метод исследования, основанный на так называемом принципе локализации. Этот принцип позволяет изучать главные члены асимптотик при i—>оо решений на основании рассмотрения некоторых многомерных интегралов, зависящих от большого внешнего параметра лишь в произвольно малых окрестностях некоторых критических точек. Задача построения асимптотик решений не может считаться завершенной без доказательства теорем существования и единственности решений соответствующих систем уравнений. Поэтому значительная часть указанных работ

4

посвящена изучению разрешимости поставленных начальных и начально-краевых задач, а также оценке норм их решений. Список литературы и краткий обзор состояния изученности данных проблем к 2003 году содержится в монографии A.B. Глушко [43].

Особый интерес для нас представляет задача прилипания для системы уравнений, описывающих малые колебания вязкой сжимаемой жидкости во вращающейся системе координат, описанная в работах А.В, Глушко и С.О. Рыбакова [27] - [29], а также в [43]. Несмотря на то, что изучается задача в полупространстве для системы уравнений с постоянными коэффициентами, отсутствие внутренних симметрий в краевой задаче и сложный вид уравнений не позволил выписать явное представление решения. С помощью преобразования Лапласа по временной переменной и преобразования Фурье по касательным к границе пространственным переменным исходная начально-краевая задача сводится к «задаче в образах». Последняя задача представляет собой краевую задачу с параметрами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью априорных оценок в пространствах C.JI. Соболева с весом удается изучить геометрию области в комплексной плоскости (у gC — параметр, двойственный времени t при преобразовании Лапласа), что приводит к доказательству теорем о локализации, позволяющих в дальнейшем построить асимптотические представления компонент решения при большом времени.

В работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, Л.В. Перовой, Ю.Д. Плетнер [44] - [49], а также в работах E.H. Свиридовой и A.B. Глушко [50] - [56] изучаются начально-краевые задачи, описывающие малые колебания жидкостей с помощью систем уравнений с частными производными и с переменными коэффициентами. Однако, в рассмотренных задачах удается перейти к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи специальных замен искомых функций.

В работах A.C. Рябенко [44], [45] и в статьях A.B. Глушко и A.C. Рябенко [46], [47] подход, основанный на априорных оценках решения «задачи в образах» с последующим использованием полученных результатов для исследования асимптотического поведения решения исходной задачи при t -» оо, был применен уже к задачам для уравнений с переменными коэффициентами, переход от которых к системам с постоянными коэффициентами невозможен. Вначале этот подход был отработан на начально-краевой задаче в полупространстве для уравнения теплопроводности, а затем применен для исследования оценки асимптотического

поведения при большом времени решения задачи о малых одномерных (вертикальных) колебаниях в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости.

В настоящей работе данный метод был применен для изучения поведения при большом времени решения начально-краевой задачи прилипания описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости. Основным отличием от работ A.C. Рябенко [57] - [58] и работ A.B. Глушко, A.C. Рябенко [59] - [60] является то, что априорная оценка в последних работах проводится для скалярного уравнения, даже если исходно рассматривается система уравнений. Если не удается свести начально-краевую задачу для системы уравнений к задаче для скалярного уравнения, то прямое применение методов, разработанных в [57] - [60] невозможно. Поэтому априорная оценка для «задачи в образах» для второй из рассмотренных в диссертации задач проводится сразу для системы уравнений, что существенно затрудняет ее получение.

Таким образом, рассмотренные в работе задачи являются естественным и актуальным продолжением целой серии исследований многих математиков.

Цель работы. Главной целью исследования задач, рассмотренных в работе, является получение асимптотических оценок решений при t —> оо.

Работа посвящена изучению начально-краевой задачи, описывающей малые колебания сжимаемой вязкой жидкости с переменной стационарной плотностью. В первой главе работы рассматривается одномерный случай задачи. Вторая и третья главы посвящены исследованию задачи в трёхмерном полупространстве. Основными целями при изучении задач в образах Лапласа-Фурье (в трёхмерном случае) или Лапласа (в одномерном случае) были доказательство разрешимости задачи, построение области аналитичности и получение априорных оценок решения. Полученные при изучении задач в образах результаты позволяют доказать утверждений относительно разрешимости исходных задач, получить асимптотические оценки компонент решения при t —> оо.

Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральные преобразования (а именно интегральные преобразования Лапласа и Фурье), строятся априорные оценки решения задачи в образах Лапласа-Фурье, применяются методы функционального анализа в пространствах С.Л. Соболева, методы оценки асимптотического поведения интегралов (в частности метод стационарной фазы).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [65]-[72]. Работы[65], [71], [72] опубликованы в журналах из перечня

рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 134 страницы.

Краткое содержание работы

Все основные результаты сформулированы во введении и их формулировки далее не повторяются.

В первой главе работы проводится изучение задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в одномерном случае. Эта система имеет вид

(0 1)

¿я дх

а2

где х >0, ¡>0. Система дополнена начальными условиями

(0.2)

и граничными условиями

Щ,х)\х=0=0,и«,х)\х=х=0. (0.3)

Как и ранее и- соответственно скорость и отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент ?>0 в точке х > 0; V - динамический коэффициент вязкости среды; а2 Ф 0 - коэффициент сжимаемости жидкости; р0(х) - стационарная плотность. Сформулируем ряд условий, которые определят в дальнейшем классы принадлежности функций Ро (*)>/('>*) •

Условие 1. Существуют ртт,ртах > 0 такие, что при х е[0,со) выполнено неравенство ртт < р0(х) <ртах, р0(х) е С2 [0, сю) Существует такая константа с,

что |/?о(х)|<с,|/?;'(х)|<с прихе[0,оо).

Условие 2. Будем говорить, что функция /удовлетворяет условию 2, если она непрерывна по совокупности переменных х е [0,<х>), £ > 0 и при

<5>0: ДмУ

Условие 3. Будем говорить, что функция /(¿,х) удовлетворяет условию 3, дкЯих)

если: для функции

дгк

■, где к = 0,1 выполнено условие 2; /(г,х)|^о = 0;

1

дкКих)

де

(1 + х) е6' сИ е 12([0, оо)) где к = 0,1.

Условие 4. Будем говорить, что функция /(7,х) удовлетворяет условию 4,

дк/{1,х)

если: для функции

а/

д?

со -о- Г дкЖ,х)

1=0 0 д1к

-, где к = 0,1,2 выполнено условие 2;

(1 + х)е5'Л е£2([0, оо) , где к = 0,1,2.

Определение 1. Пусть <?3 >0, через обозначим следующий контур /0и/и/19 где 1 = + при [-£,£], /0--81а-Цд + при

<?е[0,оо),

/0 =-82а + Ц8 + !;)Р

при

£е[0,оо), где

2р0(0) «V

а а у

В одномерном случае для анализа разрешимости и свойств решения задачи (0.1)-(0.3) к системе (0.1) применяется интегральное преобразование Лапласа. Во втором параграфе работы будем придерживаться следующих обозначений у(у,х) = [Щ,х)],р{у,х) = [Р^х)],/{у,х) = Ц^ [/(*,*)]. То есть

у(у,х),р(у,х) - образы соответствующих функций при преобразовании Лапласа. В образах Лапласа система (0.1) примет вид д2\>(у,х) др(у,х)

Ро(Х)УЧУ,Х)-У-

дх2

дх

= /(Г,х),

а2ур(у, х) + р0' (х)$(у, х) + р0 (х) = 0.

ох

(0-4)

Данная система может быть сведена к одному уравнению следующим

образом (производя замену вида у(г,х) = (у + \ )х>(у,х)

а у

дх р0(х) + а уу Причём граничные условия будут иметь вид

(0.5)

Изучим разрешимость задачи (0.5)-(0.6) при \у\ > е > 0. Производя замену _/а2уу + р0(х)

вида у1(/,х) = ( д\(у,х) а1р0(х)у

а

2 л /„\„,2

)у(у,х), можно систему (0.4) переписать в виде

-Ч(Г>х) =-У/(?>*)>•

(0.7)

дх2 р0(х) + а2уу Граничные условия будут иметь вид

(0.8)

Разрешимость задачи (0.7)-(0.8) изучается при малых значениях у. Первый параграф работы содержит основные результаты, сформулированные и доказанные относительно задач в образах Лапласа (0.5)-(0.6) и (0.7)-(0.8).

ду(у,х) д2у(у,х)

Теорема

1.1. Пусть функции /(у,х),у(у,х),

дх ' дх2

принадлежат пространству £2([0,со)) по переменной х при каждом фиксированном уеИ, где И это некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у,х) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р{) (х) вьтолнено условие 1, тогда для любого £>0 существует ц/ж 12 такое, что при у <е (Игл(\у\ > £-)п(|а^;к| будет справедлива следующая оценка

д2г(у,х)

+М

дх2

Теорема

ду(у,х)

дх

+ \у\21 у(у, х)||2 < с ¡/(у, Х)||2, где с > 0 .

д2У1{у,х)

1.2. Пусть функции /(у,х)^(у,х),

дх ' дх2

принадлежат пространству /,2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном уеИ, где О это некоторая область в комплексной плоскости, функция у{(у,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) вьшолнено условие 1. Тогда для любого е > 0 существует 0 < у/ < я / 2 такое, что при у е е-)гл(|аг§ у\< <//)) будет справедлива следующая оценка

д2ух(у,х)

дх2

+

дх

+

\у\2\\у](у,х)( <с\\Ду,х)(,где с>0.

Теорема 1.3. Пусть функции f(y,x),v}(y,x),

dvi(r>*) ö2 vj(y,x)

дх дх2

принадлежат пространству £2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном / е £), где I) это некоторая область в комплексной плоскости, функция является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х)

выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между кривой

Ку) = + г "^тах у/ ( ц/ е[-<5,0)и (0,-^1) и мнимой осью (включая

аV а V

точки, лежащие на / и мнимой оси), будет выполнена оценка

d2vl(y,x)

дх2

+ \у\ sin у/

dvi (Г,*)

дх

+ \y\\m¥2\{vx{y,x)f<c\f{y,x)f.

dv (у лЛ д2 v (у х)

Теорема 1.4. Пусть функции /(у, х)(1 + х), v, (у, х), —1 ,-1 '

дх дх

принадлежат пространству Z,2([0,oo)) по переменной jc при каждом фиксированном у &D, где D это некоторая область в комплексной плоскости, функция v,(/,jc) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у £ D, таких, что

<p = argy е[-/7 / 2;-7г / / 6; л- / 2] верна оценка

2

dvAy,x)

cos (р

дх

+

cos (р\у\ 11^(^,^)1 <cJ\y\\\f(y,x)x\\

Теорема 1.5. Пусть функции f(y,x)(\. + x),vx(y,x),

dvi(r,x) d2v,(у,х)

дх ' дх2

принадлежат пространству £2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном уеО, где О это некоторая область в комплексной плоскости, функция у,(/,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между контуром / и мнимой осью (включая точки, лежащие на контуре I и мнимой оси) будет верна

оценка

d2vx{y,x)

дх2

+

dv,(y,x)

дх

+

Ч(г^<с\\(\ + х)Яг,х)(.

Первая глава работы также содержит теорему существования и аналитичности решения задачи (0.5)-(0.6).

10

Теорема 1.6. Пусть функция f{y,x) принадлежит пространству Z2([0,oo)) по переменной х при Re у>-е, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда при каждом фиксированном у (\у\ > s), лежащем правее некоторого контура , у задачи (0.4)-(0.5) существует единственное решение из Н2 ([0, оо)).

dv(y х) д2 v(y х)

Теорема 1.7. Пусть функции f(y,x),v(y,x),— ,- 2'

^ X Ö X

принадлежат пространству Z,2([0,oo)) по переменной х при каждом фиксированном у (\у\>s), лежащем правее контура , функция f(y,x) аналитична по у при каждом фиксированном х, функция v(y,x) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р0(х) выполнено условие 1 и функция

f(y,x) аналитична по у при каждом фиксированном хе[0,оо), тогда при у

( \

лежащем правее контура 1"ъ'р\ для которого Ы > s функции v(y,x),———,

3 дх

д v(y>x) ^удур аналитичны по у при каждом фиксированном х е [0,оо).

3 X

Основными результатами первой главы работы можно считать доказанные во втором параграфе утверждения относительно решения задачи (0.1)-(0.3). Следующая теорема описывает класс принадлежности решения задачи.

Теорема 2.2. Пусть функция f{t,x) удовлетворяет условию 4, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда функции U(t,x),P(t,x) являются классическим решением задачи (0.1)-(0.3).

Определение. Классическим решением задачи (0.1)-(0.3) будем называть вектор-функцию (U(7, х), P(t, х)), которая

1. удовлетворяет уравнению (0.1)

2. для которой выполняются начальные условия (0.2) в следующем смысле

lim U{t,x) — lim/^^x) = 0 при любом фиксированном х

f-»+0 /->+0

3. для которой выполняются краевые условия (0.3) в следующем смысле lim U(t,x) - lim U(t,x) - 0 при любом t

X—wo х—>0

4. U(t,x) - функция дважды непрерывно дифференцируемая по х и единожды непрерывно дифференцируемая по t;

5. Р(7,х) - функция непрерывно дифференцируемая по х и/.

Завершает изложение первой главы теорема, описывающая асимптотические оценки решения задачи (0.1)-(0.3) при г —» +оо.

Теорема 2.3. Пусть функция /(/,х) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для функций £У(/,х),Р(?,х) при ¿—»+00 равномерно по хе[0,оо) справедливы следующие оценки компонент решения

Вторая и третья глава работы посвящена изучению разрешимости и получению асимптотических оценок компонент решения первой смешанной задачи для линеаризованных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в трёхмерном полупространстве. Эта система имеет вид

Ро(хэ)--Г-1- + а =

¿л ох,

, .диМ,х) лтт/ дР&,х) ,,

Л>(*з)-ТГ"^-уьи2{их)+ ; = Л(/,X),

<9? <Эх2

, ктт, дР{их) _ч

Ро(*з)-^^ " ^<У3(г,х) + ^ ; = /3(Г,х),

сл ох3

2 ар^х) . Л а —г—: +

сн

гди^,х) | ди2Ц,х) | диг(1,х)л ^ <3х, 5х2 с5х3 у

= £(*,*); (0.9)

где * >0,х = (хрх2,х3), х' = (х!,х2)е/?2, х3 е[0,оо), д = _.+ _.+ _. .

с/л] 2 3

оператор Лапласа. Система дополнена начальными

= = 1 = !'2'3 (°Л°)

и граничными условиями

= (Щ(г,х)|х=ж =0,/ = 1,2,3. (0.11)

В данном случае £У(?,х),Р(/,х) - соответственно вектор скорости и отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент ¿>0 в точке х = (х,,х2,х3); V - динамический коэффициент вязкости среды;

а1 ф 0 - коэффициент сжимаемости жидкости; р{] (х3) - стационарная плотность.

Сформулируем ряд условий, которые определят классы принадлежности функций

Ро (x3 \f(t,x) = (/ (t, х), /2 (t, х), /з 0, х)) г, g(t, X) .

Условие 5. Существуют ртт,рта11 >0 , такие, что при хе[0,оо) выполнено неравенство ртт < р0 (х3) <ртах, /?0(х3) е С2 [0, оо) Существует такая константа с,

что |/^(х3)| -с ПРИ хз G[О,00) •

Условие 6. Функция /(х, t) удовлетворяет условию 6, если для нее выполнены следующие условия: f(x,t) непрерывна по совокупности переменных при х' = (х,,х2)еЛ2, х3 >0, />0; при ¿>0 f(x,t)es' еД(/£.),

R*+ = {х, eR,x2 etf,x3 >0,i >0} .f(x,t)e5t е^(^).

Условие 7. Функция f(x,t) удовлетворяет условию 7, если выполнены

f(x,t)

следующие условия: для функций вида-—^——, где 0 < / < 1,0 < j <2,0 < к <2

dx2dx{dt'

выполнено условие l;/(x,i)| - 0; функции вида

o-',lf(xJ)

и

. е dtdx'eL2(R+),rjjß 0 </<1,0 <у <2, 0 < Ä: < 2, а норма берется

Rl0 dx2dx{dt'

по переменной х3.

Условие 8. Функция f(x,t) удовлетворяет условию 8, если выполнены

e,+J+kf(x,t) dx2dx(dt'

df(x,t)

следующие условия: для функций вида а к } , где 0 < i < 2,0 < j < 4,0 < к < 4

выполнено условие 6; /СМ)|,_0=0

и

JJ

R2 0

dt

d'+J+kf(x,t)

- 0; функции вида

(=0

dxk2dx{dt'

es' dtdx'&L2(R+), где 0 < / < 2, 0<j<4, 0<к<4, а норма

берется по переменной х3.

Анализ, проводимый в отношении задачи (0.9)-(0.11), основан на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье соответственно по переменным ? и х,,х2. Далее в работе будем придерживаться следующих обозначений

Г(у,я',х3) = Ь^уГх,^,[й({,х',х3)], = То есть

Г(^,5',х3) = (у1(^,5',х3),у2(7,5,,х3),у3(/,5',х3))г,/?(^,5',х3) - образы Лапласа-

Фурье соответственно вектора скорости и отклонения от стационарного давления. В образах Лапласа-Фурье система (0.1) примет вид

а2 у, з) .

дх,

(роОЗ)Г + гф'Г^См'.Хз) - у

+ -182р{у,8',Хг) = /2{у,8',хг), (0.12)

^ ' дх3 дхг

5"V {у X 1

а2ур(у,х3)-р0(х3)(й,V,(у,5',х3) + и2у2(/,5',х3)--3 * 3 ) = g(y,я',х3).

Краевые условия примут вид

= 0, У.О^'.Хз)^ =0 , г = 1,2,3 . (0.13)

Изучим разрешимость задачи (0.12),(0.13) в зависимости от значений параметров у е С, 5' е Я2. Введём несколько определений.

Определение 2. Пусть д = (8ртахгоГ2) (\/ртш) 1/4. Через /(£) обозначим

следующий контур /0 и и 12, где /, = -а2 (8ртах) у]уртт42 + при

/0 --є+ при £є[£,+оо), /2 --є+і^ при ^є(—оо,—.

Определение 3. О0(—с С- такая область комплексной плоскости, что:

при Яе у >0 , | у\> 30, а при -є < Яе;г < 0: \ішу\ > 30, где є - достаточно малое, <50 -

произвольное положительное число.

Третий параграф работы посвящен получению априорных оценок решения задачи (0.12X0.13).

Теорема 3.1. Пусть функция р0(х3) удовлетворяет условию 5. Если

переменной х3 равномерно по у и 5', а |),/?(/,5',х3)| - решение задачи

(0.12),(0.13), то для любых у є С, Яеу >-(4а V) р^ , лежащих справа от контура /(£) справедлива оценка

I

1=1

4 Л

1+И

' .р + М2 ^!

5 + -

1 +

2

1=1

ду ,(У^',х3)

дх

+

( i |2

+

+

.ч2 ^

+ ■

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Свиридова, Евгения Александровна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики// Изв. АН СССР, серия матем., 1954, т. 18, № 1, с. 3-50.

2. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью// Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 3, с. 20-55.

3. Масленникова В.Н. Оценки и асимптотика при t->оо решения задачи Коши для системы С.Л. Соболева// Тр. МИ АН СССР, 1968, т. 103, с. 117141.

4. Боговский М.Е. Системы Соболева в случае двух пространственных переменных/ В.Н. Масленникова, М.Е. Боговский // ДАН СССР, 1975. т. 221. № 3, с. 563-566.

5. Боговский М.Е. О системах Соболева с тремя пространственными переменными/ В.Н. Масленникова, М.Е. Боговский//В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными (Труды семинара С.Л.Соболева), Новосибирск: Наука, 1976, с. 49-68.

6. Боговский М.Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей / В.Н. Масленникова, М.Е. Боговский // Сибирский матем. ж. 1983.-Т. 24. №5. С. 149-171.

7. Масленникова В.Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости// Тр. МИ АН СССР, 1973, т. 126, с. 46-72.

8. Масленникова В.Н. Смешанные задачи для одной системы уравнений с частными производными первого порядка// Изв. АН СССР, серия матем., 1958, т. 22, с. 271-298.

9. Maslennikova V. N. The asymptotic behavior at the large time of solutions of some mathematical physics problems.- In: Chechoslovak conference on differential equations and their applications. - Brno, 1972, p. 189-197.

Ю.Масленникова В.Н. Математические исследования по гидромеханике вращающейся жидкости. - В кн.: Труды всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. М.: МГУ, 1978, с. 153-156.

П.Дезин A.A. Неклассические граничные задачи/ А.А.Дезин, В.Н. Масленникова//В кн.: Дифференц. уравнения с частными производными, М.: Наука, 1970. С.81-95.

12.3еленяк Т.И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи// Диф. уравнения, 1966, т. 2, № 1, с.47-64.

И.Зеленяк Т.И.. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики при /—» оо/ Т.И. Зеленяк, В.П. Михайлов//Дифференциальные уравнения: Тр. симпоз.- М., 1970.- С.96-118.

14.Маслов В.П. О существовании убывающего при /—»оо решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области// СМЖ, 1968, т. IX, № 6, с. 1351-1360.

15.Петунин И.М. О стабилизации при / —» оо и классах единственности решений линеаризованных задач гидродинамики в слое вязкой жидкости//ДАН СССР, 1983, т.273, № 2, с. 296-301.

16.Петунин И.М. Об асимптотической оценке решения первой краевой задачи в полупространстве для движения вязкой вращающейся жидкости.- В кн.: Дифференц. уравнения и функциональный анализ. М.: УДН, 1983, с. 64-85.

17.Демиденко Г.В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной/ Г.В . Демиденко, С.В . Успенский/ Новосибирск: Научная книга, 1998. 438+xviii с.

18.Габов С.А. Задачи динамики стратифицированных жидкостей/ С.А. Габов, А.Г. Свешников//. - М.: Наука, 1986, 288 с.

19.Габов С.А. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн/ С.А. Габов, А.Г. Свешников. - М.: Наука, 1990, 342 с.

20.Габов С.А. О задаче Коши для одного класса движений вязкой стратифицированной жидкости/ С.А. Габов, Г.О. Малышева// Журн. вычисл. матем. и мат. физики.- 1984.-Т. 24, № 3.-С.467-471.

21.Габов С.А. Об одном уравнении динамики вязкой стратифицированной жидкости/ С.А. Габов, Г.О. Малышева, А.Г. Свешников// Дифференциальные уравнения.-1984.- Т. 20, № 7.-С.1156-1164.

22.Глушко A.B. Асимптотика по времени решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса. - ДАН СССР, 1982, т. 264, № 4, с. 800-805.

23.Глушко A.B. Асимптотика по времени решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с нулевой правой частью. -В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными (Труды семинара С.Л.Соболева) Новосибирск: Наука, 1981, № 2, с. 5-33.

24.Глушко A.B. Асимптотика при /-»оо решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса с учетом вязкости и сжимаемости. - Краевые задачи для

уравнения смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики, Нальчик, 1979, вып. 2, с. 42-47.

25.Глушко A.B. О стабилизации движения вращающейся вязкой сжимаемой жидкости. - Новосибирск, 1982. - 29 с. (Препринт/ Институт математики СО АН СССР: № 8).

26.Глушко A.B. Однозначная разрешимость задачи коши для уравнений динамики вязкой жидкости/ A.B. Глушко, C.JI. Ляхова// Труды математического факультета.- Воронеж, ВГУ, (Новая серия; № 3(19)). 1999.-С. 35 -39.

27.Глушко A.B. О задаче Дирихле в полупространстве для системы уравнений движения вязкой сжимаемой вращающейся жидкости / A.B. Глушко, С.О. Рыбаков// Краевые задачи для уравнений с частными производными (Труды семинара ак. С.Л.Соболева). Новосибирск.-1990. С. 35-55.

28.Глушко A.B. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости/ A.B. Глушко, С.О. Рыбаков //Сибирский математический журнал.-1992. - Том 33, №1. С.32-43

29.Глушко A.B. Асимптотика по времени решения начально - краевой задачи в полупространстве для уравнений динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости/ A.B. Глушко, С.О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. -1992. - Том 33, №4. С.43-58.

30.Глушко A.B. Теоремы тауберова типа об асимптотическом поведении интегральных преобразований и их применение в гидродинамике/ В.Н. Масленникова, A.B. Глушко// Успехи матем. наук, 1983, т. 38, выпуск 5 (233), с. 126

31.Глушко A.B. О стабилизации вихря в вязкой жидкости// Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1986.- с. 142-145.

32.Глушко A.B. Теоремы о локализации тауберова типа и скорость затухания решения системы гидродинамики вязкой сжимаемой жидкости/ В.Н. Масленникова, A.B. Глушко // Труды Института математики АН СССР им. В.А. Стеклова, т.181.-1989.- с. 156-186.

33.Глушко A.B. Асимптотика при t -»оо решения задачи коллапса пятна интрузии в вязкой стратифицированной жидкости// , Математические заметки. - 1993.-Т.53, вып. 1.-С. 16-24.

34.Глушко A.B. О регулярности решения задачи коллапса пятна интрузии в

129

вязкой стратифицированной жидкости/ A.B. Глушко, В.А. Яковлев// Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. -

Новосибирск., 1990.- с. 58-67.

35.Глушко A.B. Оценки ядер обратного оператора в задаче о малых колебаниях вязкой стратифицированной жидкости// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика.- 1996.- № 3. Вып. 1. С. 2737.

36.Глушко A.B. Разрешимость и поведение при t—»со решения задачи о малых колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве //Актуальные проблемы современной математики: Сборник научных трудов.Т.З - Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997. С. 53 - 58.

37.Глушко A.B. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи динамики экспоненциально стратифицированной жидкости //Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-т.38, № 1. С. 141-149.

38.Глушко A.B. Об одной начально- краевой задаче динамики стратифицированной жидкости/ А.В.Глушко, В.Е. Щербатых// Доклады РАН,- 1994.- т. 338, № 5.. С.607-609.

39.Глушко A.B. О задаче Коши, описывающей затухание акустическо-гравитационных колебаний в вязкой жидкости/А.В. Глушко, Е.Г. Глушко// Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 90 - летию проф. С. П. Пулькина, Самара, 27 -30 мая 1997 года, с. 19 - 20.

40.Глушко A.B. Затухание одномерных гравитационно - акустических колебаний в вязкой стратифицированной жидкости//Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-т.38, № 8. С. 1379-1390.

41.Глушко A.B. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости// Доклады РАН, 1999, т.365, № 1, с.26-30.

42. Глушко A.B. О кратности корней символа одной задачи динамики вязкой сжимаемой жидкости// Применение новых методов анализа к дифференциальным уравнениям.- Воронеж, изд-во ВГУ.-1989.- с. 17-22.

43. Глушко A.B. Асимптотические методы в задачах гидродинамики.- Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2003.-300 с.

44.Плетнер Ю. Д. Структурные свойства решений уравнения гравитационно-гироскопических волн и явное решение одной задачи динамики стратифицированной вращающейся жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1990. — Т. 30. — № 10. — С. 1513-1525.

45.Плетнер Ю. Д. О свойствах решений уравнений, аналогичных двумерному уравнению Соболева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. — Т. 31. — № 10. —С. 1512-1525.

46.Плетнер Ю. Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. — Т. 32. — № 6. — С. 890-903.

47.Корпусов М. О. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке/ М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997. — Т. 37. — № 9. — С. 1112-1121.

48.Корпусов М.О. Асимптотика при больших временах начально-краевой задачи для двумерного уравнения Соболева/ А. Г. Свешников, М.О. Корпусов, JI. В. Перова, Ю. Д. Плетнер// Диф. уравн., 1999. — Т. 35. — № 10. —С. 1-5.

49.Перова JI. В. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской бегущей по дну волной/ JI. В. Перова, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // Журн. выч. матем. и мат. физ., 2000. — Т. 40. — № 1. —С. 136-143.

50.Глушко A.B. Оценка поведения при i-»oo решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве/А.В. Глушко, E.H. Свиридова// Труды математического факультета ВГУ, 2007, — №11. — С.35^8.

51.Глушко A.B. Асимптотики решений двух задач динамики экспоненциально стратифицированной жидкости/А.В. Глушко, E.H. Свиридова // Вестник

РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2010. — №2. — С. 10 -14.

52.Свиридова Е. Н. Асимптотика при t —>оо компонент решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. Часть 1. // Вест. ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2009. — №1.-С.150-158.

53.Свиридова Е. Н. Асимптотика при t —»со компонент решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. Часть 2. // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия Физика. Математика. — 2009. — №2. — С. 101-111.

54.Sviridova Е. The asymptotic behavior as t—>oo of the components of solution of the Cauchy problem describing small fluctuations of stratified fluid rotation in the semi-space. // International Scientific Conf. "Nonlinear problems of Ap and Д".

Book of abstracts. — Linkopings Universitet, Linkoping, Sweden. — 8-15 August 2009.

55.Свиридова E.H. Асимптотика при t —>oo решения задачи о малых колебаниях стратифицированной жидкости во вращающейся системе координат // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2010. — №1— С. 169 -174.

56.Свиридова Е.Н. Линеаризованная задача динамики невязкой стратифицированной жидкости. Существование решения и асимптотические свойства/ Е.Н. Свиридова, А.В. rnyniKo//Saarbrucken, Deutschland. LAP LAMBERT Academic Publishing.-2013.-P.69.

57.Рябенко A.C. Оценка при t—>oo решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности/ А.С. Рябенко// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика.-2007.- № 1.- с. 95-99.

58.Рябенко А.С. Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости/ А.С. Рябенко// Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия.-2008.-№ 6.-с. 185-192.

59.Глушко A.B. О скорости стабилизации при tоо решений начально-краевых задач для уравнений теплопроводности/ A.B. Глушко, A.C. Рябенко// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика.-2008.- № 1.- с. 226-231.

60.Глушко A.B. Принцип локализации и оценка скорости затухания колебаний в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости/А.В. Глушко, A.C. Рябенко// Математические заметки.- 2009, Т.85.- №4. -С.585-593

61.Бреховских JI. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред — М.: Наука, 1982. —335 с.

62.Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М. Физматлит, 2000. — 398 с.

63.Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.—450 с.

64.Федорюк М. В. Метод перевала. —М.: Наука, 1977. — 368 с.

65.Свиридова Е.А. Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью/Е.А.Свиридова//Вестник ВГУ. Серия физика математика. - 2011.- № 2.- С. 133-140.

66.Свиридова Е.А. Оценка решения задачи о малых колебаниях сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью/Е.А.Свиридова//Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011). Материалы IV Международной конференции. - 2011.-С.261-262.

67.Свиридова Е.А. Первая смешанная задача для линеаризованных уравнений движения сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью/Е.А Свиридова// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXII». -2011. -С. 162-164

68.Свиридова Е.А. Малые колебания сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в трёхмерном случае/Е.А Свиридова// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской

весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXIII». - 2012. -С.162-164.

69.Свиридова Е.А. Априорные оценки решения задачи о малых колебаниях жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье /Е.А.Свиридова//Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012). Материалы V Международной конференции. - 2012.- С.252-253.

70.Свиридова Е.А. Разрешимость задачи о малых колебаниях жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/Е.А.СвиридоваУ/Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012). Материалы V Международной конференции. - 2012.- С.254-255.

71.Свиридова Е.А. Существование решения задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/Е.А. СвиридоваУ/Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - Москва-Воронеж: Научная книга, 2012.- № 3.1(49).- С. 169-171.

72.Свиридова Е.А. Априорные оценки решения задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/Е.А. Свиридова//Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - Москва-Воронеж: Научная книга, 2012.- № 4(50).- С. 95-98.