Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Соболевская, Ирина Николаевна

• Соболевская, Ирина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболевская, Ирина Николаевна

Введение.

Глава 1.

Постановка задач максиминного тестирования и алгоритмы жесткого тестирования.

§1.1. Функциональная схема тестирования и общая постановка задач.

§ 1.2. Математическая постановка задач первого этапа тестирования.

§ 1.3. Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем случае.

1.3.1. Регулярный случай.

1.3 .2. Иррегулярный случай.

§ 1.4. Алгоритм нахождения нижней оценки в случае жесткого тестирования при наличии аддитивных возмущений.

Глава 2.

Мягкое тестирование точности стабилизации.

§ 2. 1. Редукция к геометрической игре и существование седловой точки.

§ 2. 2. Алгоритмы построения областей достижимости.

§2.3. Принцип максимума для дифференциальной программной игры; редукция к краевой задаче и алгоритм ее решения.

Глава 3.

Тестирование качества алгоритма стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

§3.1. Постановка задачи тестирования качества стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

§ 3.2. Уравнения движения сегмента при наличии ветровых нагрузок.

§ 3.3. Уравнения движения в отклонениях от стационарного состояния.

§3.4. Постановка задачи мягкого тестирования и численное нахождение седловой точки, стратегии тестирования алгоритма стабилизации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации»

Широко известно, что задачи анализа и синтеза всевозможных динамических систем управления являются чрезвычайно актуальными. В научной литературе известны самые различные постановки задач управления. Задачи оптимального управления динамическими системами составляют отдельную — значительную отрасль современной математики. Число монографий и различных публикаций в этой области огромно (например, [37, 18]). В то же время при исследовании каждой динамической управляемой системы, имеющей определенную специфику, возникает необходимость разработки все новых методов анализа и синтеза.

Создание всевозможных алгоритмов управления для сложных динамических объектов, в том числе в робототехнике, при разработке различных имитационных космических комплексов сделало необходимым развивать строгую теорию тестирования (проверки) работы предлагаемых алгоритмов. При этом, как правило, сам алгоритм стабилизации движения динамического объекта является «know how» разработчика и закрыт для тестировщика. Для тестировщика известным параметром является выходной сигнал управления, вырабатываемый тестируемым алгоритмом.

Трудность подходов к постановке и решению задач тестирования состоит в том, что необходимо рассматривать постановки различных экстремальных задач, в том числе, задачи дифференциальных игр [10, 26]. 4 3

Недавно возникла и успешно разрабатывается новая задача тестирования - максиминное тестирование качества алгоритмов стабилизации. «Неестественность» такой постановки обусловлена тем, что тестировщика не интересует, какой именно стабилизацией занимается разработчик. Алгоритм разработчика может стабилизировать программное движение объекта, может реализовывать оптимальную стабилизацию (в смысле минимизации некоторого функционала), может, например, обеспечивать колебательное движение системы и т.д. Принципиально то, что при тестировании методом, предлагаемом в работе, тестировщик 4 пользуется вполне конкретным функционалом и с помощью решения задачи о поиске нижней неулучшаемой оценки реализует последующие шаги тестирования. Безусловно, в такой постановке, результат тестирования алгоритма разработчика может дать результат близкий к нулю.

Эта задача заключается в необходимости выполнения трех последовательных шагов [2]. Первый шаг заключается в построении нижней неулучшаемой оценки (далее - отличной оценки), поиске оптимальной контрстратегии и стратегии тестирования (наихудших возмущений). Второй шаг - поиск реальной оценки, который к осуществляется посредством использования в качестве входного параметра системы, контрстратегии (возмущающего параметра), полученного на предыдущем шаге; и третий шаг - сравнение полученных результатов. Управление, построенное на первом шаге, на практике, возможно, не может быть реализовано. Но, поскольку, задача построения наилучшего реализуемого управления не стоит, то получившийся результат по управлению ни на втором, ни на третьем этапе не используется, и не влияет на оценку качества . работы тестируемого алгоритма стабилизации.

В работе используются понятия ««жесткого»» и ««мягкого»» тестирования, введенного в [6]. Задача первого этапа тестирования ставится, как некоторая игровая задача [2]. Исследуется вопрос о существовании седловой точки в поставленной дифференциальной игре. В работе также приведены теоретические результаты по реализации первого этапа тестирования — нахождение контрстратегии тестирования и стратегии тестирования, в некоторых частных случаях.

В главе 1 представлены:

1). Общая постановка задач «жесткого» и «мягкого» тестирования;

2). Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем регулярном случае;

3). Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем иррегулярном случае;

4). Алгоритм нахождения нижней оценки в случае «жесткого» тестирования;

5). Примеры к каждой из описанных в главе 1 задач.

Глава 2 посвящена вопросу «мягкого» тестирования точности стабилизации. Здесь описана редукция к геометрической игре. Рассмотрен вопрос о существовании седловой точки. Представлены алгоритмы построения областей достижимости. Приведен принцип максимума для дифференциальной программной игры. Осуществлена редукция к краевой задаче и предложен алгоритм ее решения. Приведен также модельный пример использования предложенного алгоритма.

Далее, в главе 3 рассматривается применение, предложенной в главе 2, методики на примере задачи тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений. Здесь выписаны уравнения движения сегмента телескопа с учетом ветровых нагрузок; проведен первый этап тестирования, то есть получены отличная оценка, оптимальная контрстратегия (наихудшие ветровые возмущения) и стратегия тестирования (оптимальное для таких возмущений управление). Второй этап реализовывался на основе алгоритма, предложенного в [30]. И, наконец, приведено сравнение полученных результатов. Данные, полученные в процессе решения такой задачи тестирования, оказались правдоподобными и схожими с результатами, полученными при управлении аналогичным оптическим телескопом, функционирующем на Гавайских островах.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложены алгоритмы решения задачи первого этапа максиминного тестирования точности стабилизации в случае неограниченных ресурсов управления для квадратичного регулярного (N > 0) функционала.

2. Показано, что в иррегулярном случае (N = 0) следует применять «жесткое» тестирование.

3. Получены достаточные условия существования седловой точки геометрической игры для «мягкого» тестирования алгоритмов стабилизации в случае ограниченных ресурсов управления.

4. Предлагаемая методика теория применена для решения задачи «мягкого» тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности радиотелескопа при наличии вертикальных ветровых возмущений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Соболевская, Ирина Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложены алгоритмы решения задачи первого этапа максиминного тестирования точности стабилизации в случае неограниченных ресурсов управления для квадратичного регулярного (N > 0) функционала.

2. Показано, что в иррегулярном случае (n = 0) следует применять «жесткое» тестирование.

3. Получены достаточные условия существования седловой точки геометрической игры для «мягкого» тестирования алгоритмов стабилизации в случае ограниченных ресурсов управления.

Предлагаемая методика теория применена для решения задачи «мягкого» тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности радиотелескопа при наличии вертикальных ветровых возмущений.

РИСУНКИ

Рисунок 1.1.0.

Рисунок 2.2.0.

Ь г I ^ч/ л 7

ЬУ м

Рисунок 2.2.1.

Рисунок 2.2.2.

Рисунок 2.2.3.

Рисунок 2.2.4. й fb'- A F Рисунок 2.2.6. I

Nо

Рисунок 2.2.5.

Рисунок 3.2.0.

Рисунок 3.2.1.

•0.5 r • • > * > « 1 "i* j-* -1.5 -1 -0.5 \ ■-0.5 1 1 1 1 1 11 » 1 г < 1 / 1.5

Рисунок 3.4.1. Области достижимости Gu и Gv

20

10

40

10

-20

Рисунок 3.4.2. Поведение управления их и иъ на 10 секундах

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболевская, Ирина Николаевна, 2003 год

1. Александров В.В. и др., Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. //М.: Изд—во МГУ, 1995- 160 с.

2. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений. // «Вестник Московского университета». Математика, механика. Вып. 3, 1997 77-84 с.

3. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. //М.: Изд-во МГУ, 2000 .- 304 с.

4. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова А.В. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. // «Вестник Московского университета». Математика, механика. 1999 77-84 с.

5. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников Н.А. Введение в динамику управляемых систем. //М.: Изд. МГУ, 1993 — 196 с.

6. Александров В.В., Лемак С.С., Соболевская И.Н. Жесткое тестирование линейного алгоритма робастной стабилизации. // Сборник Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы, 2002», М. «МГУ», 2002 г., с. 190-198

7. Александров В. В., Соболевская И.Н. Максиминное тестирование точности стабилизации трехколесного мобильного робота. // Сборник «Мобильные роботы и мехатронные системы». Изд-во МГУ, 2001.-5-13 с.

8. Атанс М, Фалб П. Оптимальное управление. //М.: «Машиностроение», 1968. 764 с.

9. Барбашин Б.А. Функции Ляпунова. //М.: «Наука», 1970 г. 240 с.

10. Гермеер Ю.Б., Игры с непротивоположными интересами. //М.: «Наука», 1972.-576 с.

11. Демьянов В.Ф., Малоземов В.М. Введение в минимакс. // М.: «Наука», 1972.-346 с.

12. Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. Под ред. В.В. Александрова. //М.: Изд-во МГУ, 1993 -144 с.

13. Зеликин М.И., Тынянский Н.Т. Детерминированные дифференциальные игры. // Успехи математических наук. 1965, т. 20. 54-66 сс.

14. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. //М.: «Мир», 1971. 400 е.,

15. Карманов В.Г. Математическое программирование. //М.: «Наука», 1975 г. 272 с.

16. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. //М.: «Мир», 1977.-650 с.

17. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по малому параметру. //М.: «Наука», 1985.-248 с.

18. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. //М. «Наука», 1985.-520 с.

19. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. //М.: «Наука», ., 1974 .— 456 с.

20. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра в регулярно возмущенной задаче Коши. //М.: Изд-во МГУ. 1991 88 с.

21. Ли Э.Б., Л. Маркус. Основы теории оптимального управления. //М.: «Наука», 1972 .-576 с.

22. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. //М: Изд-во МГУ, 1992 .-76 с.

23. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде //М: Изд—во МГУ, 1986 — 86 с.

24. Маркеев А.П. Теоретическая механика. //Ижевск.: «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

25. Партхасарати Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. //М. : «Мир», 1974. -298 с.

26. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. //М.: «Высшая школа», 1998 -304 с.

27. Полоцкий В.Н. О накоплении возмущений в линейных системах по нескольким координатам. //«Вестник Московского университета», № 2, 1978 .- с. 106-117.

28. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. //М.: «Наука», 1971. 395 с.

29. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всех диапазонах углов атаки. //М., труды ЦАГИ, вып. 1621, 1974 .

30. Трифонова А.В. Анализ устойчивости нестационарных управляемых систем в первом приближении. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ—мат. наук, мех-мат МГУ, каф. Прикл.мех. и управления. 2001.

31. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. //М.: «Физматлит», 2002.-304 с.

32. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. //М.: «Наука», 1966 624 с.

33. Формальский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости. //ПММ 1983, с. 121-132

34. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. //М.: «Наука», 1974 —368с.

35. Якубович В.А. Сингулярная задача оптимального управления линейной стационарной системой с квадратичным функционалом. //«Сибирский математический журнал», XXVI, 1, 1985 —с. 189-200.

36. Alexandrov V.V., Guerra L., Sobolevskaya I.N., Trifonova A.V., Vargas H. Optimization and computeraid testing of sprecision //Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems.-2001,-pp. 49-61

37. Alexandrov V.V., Salazar H., Guerra L., Sobolevskaya I.N., Trifonova A.V. Stabilization of Relative Positions of Stewart Platforms.

38. Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems.-2001.- pp. 71-83

39. Guerra L. M. Calculo De Parametros Optimos Para La Estabiliza De Un Segmento Del Gran Telescopio Milimetrico. Tesis que para obtener el Titulo De: Maestra En Ciencis De La Computacion, H. //Puebla de Zaragoza, 1996. p. 86.

40. Kalman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control. //Bulletin of the Mexican Mathematic Society, 1960. pp. 102-119.

41. Prandtl L., Betz A., Ergebnisse der aerodinamischen Versuchsastalt zu Gottingen.

42. Schittcowski K. Nonlinear Programming Codes: Informatoin, Test, Performance. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 183, 1980. Springer-Verlag, p.

43. Schittcowski K. The Nonlinear Programming Method of Wilson, Han and Powell with an Augmented Lagrangian Type Line Search Function. -Numerishe Mathematic, Vol. 38, 1980 , Springer-Verlag. pp. 83-114.

44. Stewart D. A Platform with Six Degrees of Freedom. //Proc., Inst. Mech. Eng.-Vol. 180, pt. 1. 1965-1966. - pp. 371-386.