Магнитогидродинамическая теория геодезических акустических мод в плазме токамака тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Коновальцева, Людмила Владимировна

• Коновальцева, Людмила Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Коновальцева, Людмила Владимировна

Оглавление

Введение 4

1 МГД-модель низкочастотных волн в токамаке

с применением к расчёту спектра геодезических

акустических мод 22

1.1 Редуцированные МГД уравнения для низкочастотных волн в тока-

маке с тороидальным вращением плазмы...............22

1.2 Уравнения геодезических акустических колебаний

в статическом равновесии плазмы некруглой формы.........27

1.3 Уравнения геодезических акустических колебаний

в тороидально вращающейся плазме с круглыми

магнитными поверхностями.......................29

1.4 Резюме главы 1...............................31

2 Сплошной спектр геодезических акустических мод в токамаке некруглого сечения 33

2.1 Дисперсия ГАМ в плазме заданной формы...............33

2.2 Влияние формы поверхности плазмы на частоту локальной ГАМ . . 40

2.2.1 Зависимость от вытянутости плазмы...............40

2.2.2 Зависимость от обратного аспектного отношения установки . 41

2.2.3 Зависимость от треугольности плазмы..............42

2.2.4 Профиль частоты локальных ГАМ в некруглой плазме .... 43

2.3 Резюме главы 2...............................44

3 Глобальные геодезические акустические моды в плазме токамака 46

3.1 Уравнения глобальных ГАМ.......................46

3.2 Численный расчёт спектра ГАМ.....................49

3.3 Асимптотическое решение для равновесия с внеосевым максимумом

локальной частоты ГАМ.........................59

3.4 Точное решение для равновесия с положительным магнитным широм 65

3.4.1 Собственные моды.........................68

3.4.2 ГГАМ при наличии внеосевого максимума у профиля частоты

локальных ГАМ .........................70

3.4.3 ГГАМ для монотонно спадающего от центра к периферии профиля частоты локальных ГАМ ..................................72

3.5 Интегральные условия существования ГГАМ в тороидально враща-

ющейся плазме..............................75

3.6 Резюме главы 3...............................80

Заключение 81

Литература 85

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитогидродинамическая теория геодезических акустических мод в плазме токамака»

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке математической модели для описания низкочастотных преимущественно электростатических колебаний плазмы во внешнем магнитном поле, характеризуемом набором осесимметричных тороидально вложенных магнитных поверхностей. Магнитные конфигурации с силовыми линиями, целиком лежащими на замкнутых поверхностях и покрывающими эти поверхности, могут быть реализованы и реализуются на практике суперпозицией токов определённой симметрии: аксиальной и/или винтовой - и используются в тороидальных установках для магнитного удержания плазмы с целью реализации управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Задача УТС, т. е. удержание высокотемпературной плазмы на временах достаточных для эффективного протекания термоядерных реакций, является одной из наиболее актуальных задач современной физики плазмы и физической науки в целом. Наиболее перспективной для осуществления термоядерного синтеза является реакция слияния дейтерия и трития

Э + Т ^ 4Нё(3, 5 МэВ) + п(14,1 МэВ),

имеющая наибольшее сечение и требующая наименьшей температуры смеси ~ 10 кэВ. При такой температуре термоядерная Э — Т реакция может быть самоподдерживающейся при условии выполнения так называемого критерия Ло-усона [1]:

пт > 1014 см-3 с.

Здесь п - концентрация частиц плазмы, а т - характерное время её удержания. Иными словами, достаточно нагреть топливную Э — Т- смесь с концентрацией 1014 частиц в кубическом сантиметре, удерживая её при температуре Т около

^^ ^^тороидального поля

л-^З гхи полоидальное поле

катушки вертикального поля

Рис. 1: Принципиальная схема токамака

100 млн 0С в течение одной секунды. Эти требования объединяются в единое условие, накладываемое на так называемое "тройное произведение":

Подчеркнём, что и критерий Лоусона, и формула для тройного произведения выведены для обеспечения стационарного горения термоядерной смеси, находящейся в термодинамическом равновесии.

В настоящее время наиболее перспективными для осуществления программы УТС представляются тороидальные системы магнитного удержания плазмы типа "токамак". Магнитная конфигурация токамака создаётся суперпозицей тороидального магнитного поля специальных соленоидов - магнитных катушек, расположенных на тороидальной вакуумной камере, и поля тока, текущего непосредственно по плазме в том же тороидальном направлении (рис. 1). Для создания такого тока применяется принцип обычного трансформатора, первичной обмоткой которого служит центральный соленоид (см. рис. 1), а вторичной, од-

иТт> 1015 см-3 кэВс.

новитковой, - собственно плазма. При обрыве тока в центральном соленоиде в плазме индуцируется вихревое электрическое поле - ток смещения, стремящийся поддержать магнитный поток в сердечнике трансформатора (индукторе). Это поле и генерирует в плазме ток в тороидальном направлении, причём для более длительного протекания тока по плазме электрическую цепь сердечника не просто размыкают, а переполюсовывают. Магнитное же поле тока, текущего по плазме в тороидальном направлении, перпендикулярно направлению тока (это направление называют полоидальным, см. рис. 1). В итоге силовые линии магнитного поля образуют семейство тороидальных поверхностей, вложенных друг в друга - см. рис. 2. Показанные на рис. 1 обмотки вертикального поля топологию магнитных поверхностей не портят. Их задача заключается в усилении полоидальной составляющей магнитного поля на наружном обводе тора за счёт некоторого её ослабления на внутреннем обводе, что необходимо для контроля положения плазмы при увеличении её давления. Кроме этого, такие обмотки используются для придания определённой формы сечению плазменного шнура, что также важно в борьбе за достижение более высоких значений параметров плазмы.

Геометрию токамака принято характеризовать большим R0 и малым а радиусами, означающими соответственно расстояние от оси симметрии токамака до центра плазменного шнура и радиус самого шнура. Для токамаков некруглого сечения важны ещё вытянутость сечения к и треугольность сечения 6, которые входят в аппроксимационную формулу задания сечения магнитной поверхности в цилиндрических координатах (R, z):

R = R0 + А + r cos (0 + 6 sin 0),

z = гк sin 0.

Здесь r Е [0, а] - метка магнитной поверхности, равная просто её радиусу для

Магнитная —>■ ось

Рис. 2: Система вложенных магнитных поверхностей в токамаке

случая плазмы круглого сечения с к = 0, 5 = 0; А = Д(г) - это смещение центра магнитной поверхности r = const от магнитной оси (под магнитной осью понимают линию, в которую вырождаются магнитные поверхности при уменьшении их размера в полоидальном сечении - см. рис. 2), возникающее из-за диамагнетизма плазмы и контролируемое обмотками вертикального поля (при r = 0 также и А = 0). Величины к и 5 также могут, в свою очередь, зависеть от r, но не от полоидального угла 9.

Частица плазмы в токамаке могла бы удерживаться бесконечно долго, если бы не столкновения с другими частицами плазмы - в этом смысле полностью осесимметричный токамак служит примером идеальной магнитной ловушки. В реальности время удержания плазмы ограничивается не простейшими диффузионными или теплопроводностными процессами, связанными со столкновениями, а значительно более сложными турбулентными явлениями или стремительно развивающимися неустойчивостями плазмы и протекающего по ней тока; в последнем случае говорят о срывах тока - наиболее опасных событиях в работе

токамака. Эти и другие явления, связанные с коллективными процессами, происходящими в плазме, составляют предмет фундаментальных исследований в области физики плазмы и термоядерного синтеза. Их важность мотивируется не только задачами УТС, но и, к примеру, многочисленными космическими и астрофизическими задачами, интерес к которым тоже крайне велик.

Низкочастотные волны альфвеновского типа, такие как: BAE (от англ. "beta-induced Alfven eigenmodes" - индуцированные давлением плазмы альфвеновские собственные моды) [2-4], альфвеновские каскады [5, 6] и "чирикающие" моды (chirping modes) [7,8], BAAE (от англ. "beta-induced Alfven-acoustic eigenmodes" - индуцированные давлением плазмы альфвено-звуковые собственные моды) [9, 10], зональные течения и геодезические акустические моды (ГАМ) [11, 12] -играют весьма заметную роль в удержании плазмы в токамаке. Эти волны могут возбуждаться быстрыми ионами (ТАЕ-мода и ей подобные), а также быть связанными с различными магнитогидродинамическими (МГД) неустойчивостями плазмы - винтовыми, баллонными и др. Их значимость обусловлена, главным образом, двумя причинами. Во-первых, низкочастотные волны могут существенно влиять на рабочие режимы термоядерных установок. Они могут достигать больших амплитуд, раскачиваясь высокоэнергичными частицами, существующими в плазме токамака с дополнительным нагревом, и поэтому потенциально опасны для будущих термоядерных реакторов. Кроме того, теоретический анализ показывает, что низкочастотные волны могут играть важную роль в регулировании уровня турбулентности и аномального переноса [13, 14] в особенности в плазме со значительной долей высокоэнергичных частиц [15]. С другой стороны, сопоставление экспериментально измеренных частот таких колебаний с имеющимися аналитическими скейлингами может дать ценную информацию о равновесии плазмы. Такое использование МГД-волн для диагностических целей получило название МГД-спектроскопии [16,17]. Использование альфвеновских волн, в

частности, может предоставить уникальную возможность для диагностики профиля тока в термоядерной плазме [18]. Несмотря на то, что низкочастотные волны наблюдаются в экспериментах практически на всех крупных установках, их природа до конца не изучена, что делает их предметом пристального внимания теоретиков.

Для описания наиболее существенных характеристик низкочастотных волн естественно использовать редуцированные МГД модели, в которых быстрые маг-нитозвуковые возмущения исключены из рассмотрения априори. Модели такого рода для статических, т. е. не учитывающих вращение плазмы, равновесий берут своё начало с работ [19,20], которые в дальнейшем получили своё развитие путём учёта различных дополнительных эффектов. В настоящее время редуцированные МГД модели широко применяются не только в аналитических, но и в численных исследованиях для описания плазменных неустойчивостей и турбулентных процессов.

Вместе с тем, плазма в современных токамаках, как правило, вращается, причём скорости её тороидального вращения в экспериментах с дополнительным нагревом плазмы могут достигать значительных величин (вплоть до звуковых). Механизмы возникновения вращения плазмы в токамаках могут быть различны. Вращение может быть вызвано внешним воздействием на плазму. Так, к примеру, весьма распространена ситуация, когда тороидальное вращение плазмы в токамаке вызывается несбалансированной тангенциальной инжекцией пучков нейтральных атомов. В других же случаях причины вращения бывают совсем не очевидны, что даже привело к возникновению специального термина "спонтанное вращение плазмы", природа которого служит предметом активных обсуждений (см., например, работы [21, 22] и многочисленные приведённые в них ссылки). Известно, что вращение плазмы существенным образом влияет на различные типы волн в плазме, их дисперсионные характеристики, пороги и инкременты неустойчивостей. Сказанное напрямую относится и к низкочастотным

волнам, что, в частности, было продемонстрировано в [23] для осесимметричных мод сплошного спектра в тороидально вращающейся плазме. Позднее эффективность отделения быстрого магнитного звука и использования редуцированной модели для описания низкочастотных волн сплошного спектра была показана и для токамака с произвольным (тороидальным и полоидальным) вращением плазмы [24].

Особое место среди низкочастотных колебаний плазмы в токамаках занимают так называемые геодезические акустические моды (ГАМ) и их ещё более низкочастотная ветка - зональные течения, характеризуемые низкочастотными тороидально- и полоидально-симметричными колебаниями электростатического потенциала плазмы. Систематические исследования ГАМ проводятся или проводились в недавнее время практически на всех ведущих токамаках [25-32]. ГАМ надежно регистрируются с помощью различных методов диагностики (пучки тяжёлых ионов, допплеровская рефлектометрия, ленгмюровские зонды и др.), а интерес к ним связан с концепцией о важной роли шировых течений в регулировании турбулентного переноса [13].

Простейшее выражение для частоты локализованной ГАМ, относящейся к сплошному спектру, было получено в квазицилиндрическом приближении для плазмы круглой формы в пионерской работе [12]:

- = <*оМ = ^ (2 + ^), (1)

и именно оно служит базовой оценкой при идентификации моды на основе экспериментальных данных. Здесь еа - скорость звука, д - коэффициент запаса устойчивости, г - радиус магнитной поверхности, на которой локализована мода. Частота локальных ГАМ (1) является функцией радиуса г и изменяется, главным образом, пропорционально корню из температуры. Модификации частоты ГАМ, вызванные эффектами анизотропии давления плазмы [11], тороидально-

го и полоидального вращения плазмы [23,24,33-35], энергичных частиц [36,37], широко исследованы в литературе.

Как показывают аналитические [38-42] и численные расчёты [41,43-46], а также экспериментальные измерения ГАМ в некруглой плазме [26,27], форма плазмы, в особенности её вытянутость, является важной характеристикой, определяющей спектр ГАМ. Основное развитие теория локальных ГАМ в некруглой плазме получила в серии работ Гао и др. [38-40]. В [38] впервые были получены поправки к частоте локальной ГАМ, связанные с вытянутостью плазмы и конечным аспектным отношением токамака. Использовалась гирокинетическая модель без запертых частиц в локальном магнитогидродинамическом равновесии. При этом было получено следующее выражение для частоты моды:

_ 7 V* , 23 к2 + 1 3£2 3к2 + 1\

" V 4ЯоУ К^Л I,1 + 49д2 2 - Т2К2+2) ' (2)

где Vti - тепловая скорость ионов. Выражение (2) демонстрирует спад частоты с ростом вытянутости плазмы ~ у72/(к2 + 1) и обратного аспектного отношения £ = т/Я0 ~ (1 — 3£2/4) (при к =1); зависимость от вытянутости является преобладающей. Отметим, что разница в коэффициентах в формулах (1) и (2) даже для случая к = 1 (круглая плазма), £ = 0 обусловлена различием моделей, используемых при выводе дисперсионных уравнений. Одножидкостная МГД-модель плазмы, в рамках которой было получено выражение (1), является существенно упрощённой по сравнению с точной кинетической моделью. При этом МГД-описание плазмы может быть уточнено переходом к двухжидкостной модели на основе гидродинамики Грэда [47]. В приближении круглого сечения плазмы такой подход позволил воспроизвести точное выражение для частоты ГАМ с множителем у77/4, следующее из кинетического рассмотрения проблемы - см. [11]. В работе [39] в рамках той же модели, что и в [38], но в пределе большого аспектного отношения токамака была локально учтена слабая (вк/(2 + вк) ^ 1) радиальная

неоднородность вытянутости плазмы вк = (г/к)(к/(г, незначительно снижающая частоту моды. Там же был рассчитан электронный отклик, приводящий к появлению в дисперсионном соотношении нового параметра, пропорционального отношению электронной и ионной температур. Показано, что его учёт практически не влияет на зависимость частоты ГАМ от локального значения вытянуто-сти плазмы и лишь слабо снижает эффект от радиальной неоднородности к. В работе [40] влияние формы поверхности плазмы на частоту ГАМ было пересмотрено в пределе большой ширины дрейфовых орбит. Сравнение с предыдущими результатами не показало заметной разницы. Там же была учтена радиальная неоднородность смещения Шафранова А', как показано, приводящая к тем же эффектам, что и обратное аспектное отношение.

Несколько удивительно, но в гидродинамическом приближении теория локальных ГАМ в некруглой плазме проработана не столь подробно. Фактически исследовано влияние только вытянутости плазмы. В работе [41] на основе гидродинамических уравнений Брагинского [48] в бесстолкновительном пределе получена зависимость и ~ \/4/ (3к2 — 2к + 3), качественно подтверждающая тенденцию уменьшения частоты ГАМ с ростом вытянутости плазмы, но демонстрирующая более сильную зависимость от к. В [42] использованы уравнения одножидкостной МГД в терминах смещения плазмы. Получено выражение, модифицирующее уравнение (1),

и2 = | (2 + ? — 2(к — 1) — К2К)

для случая практически круглой плазмы (| к — 1| ^ 1).

Вместе с тем, трактовка ГАМ исключительно как мод сплошного спектра в последние годы стала предметом серьезной ревизии. Основанием для такой ревизии послужили результаты некоторых локальных экспериментальных измерений колебаний плазмы, идентифицируемых как ГАМ, которые указывают на по-

стоянство частоты колебаний в объёме плазмы токамака. Эффект постоянства частоты рассматриваемых колебаний, обнаруженный вначале в приграничной области плазменного шнура [28,29,49], был впоследствии установлен применительно ко всему объёму плазмы [50], причём для различных рабочих режимов. Это обстоятельство с очевидностью противоречит традиционному представлению о ГАМ как о локализованных (дельтаобразных) колебаниях с непрерывным спектром и указывает на их глобальность. Другими словами, вполне возможно, что ГАМ могут реализовываться в качестве собственных мод колебаний в неоднородной тороидальной плазме.

Одним из наиболее важных вопросов в теории ГАМ сегодня является вопрос о существовании собственного решения для геодезической акустической моды. Численно глобальные ГАМ (ГГАМ) были впервые обнаружены в [7,8], причём исключительно для ситуаций с внеосевым максимумом локальной частоты ГАМ иёео(г) (1) как функции магнитной поверхности. Аналитическое подтверждение существования ГГАМ в этом случае получено значительно позже в [51]. Как следует из (1), внеосевой максимум иёео может существовать либо за счёт отрицательности магнитного шира, либо за счёт немонотонности профиля температуры — обе ситуации не вполне типичны для плазмы современных токамаков и не соответствуют обычным условиям экспериментов [28,29,49].

В связи со сказанным выше, весьма важной и актуальной представляется задача разработки математической модели геодезических акустических мод в плазме токамака, пригодной для объяснения экспериментально наблюдаемых характеристик этих колебаний, как то: глобальность, зависимость от формы плазмы и её параметров.

Цель и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы являются создание математической модели низкочастотных электростатических колебаний в неоднородной тороидально вращающейся плазме, и применение данной модели для объяснения феномена геодезических акустических мод, наблюдаемых в современных системах магнитного удержания плазмы типа токамак. Исследованы две проблемы, актуальные для интерпретации экспериментов по измерению низкочастотных колебаний, идентифицируемых как ГАМ, в токамаках. Первая - определение зависимости частоты ГАМ от характеристик формы поверхности плазмы и аспектного отношения установки. Вторая - объяснение глобальных характеристик ГАМ, а именно - определение условий формирования глобальной моды, нахождение собственной частоты моды и зависимости амплитуды колебаний потенциала и давления от радиуса плазмы, демонстрация возможности существования глобальных ГАМ в типичных условиях эксперимента.

Методы исследования

Задачи рассматриваются в рамках идеальной магнитной гидродинамики. Для отыскания спектра низкочастотных МГД-колебаний применяются стандартные аналитические методы теории возмущений в терминах смещения плазмы, адаптированные для рассматриваемого случая неоднородно движущейся среды. В численных расчётах используется оригинальный компьютерный код, основанный на матричной дискретизации исследуемой системы дифференциальных уравнений и последующем решении задачи на собственные значения.

Научная новизна работы

В работах, положенных в основу диссертации, получен ряд новых научных результатов. Среди них можно отметить следующие:

• Построена редуцированная МГД-модель для описания глобальных мод низкочастотных колебаний в токамаках с тороидальным вращением плазмы. Модель основана на системе двух линейных дифференциальных уравнений на потенциал и продольное смещение плазмы, значительно более простых, чем первоначальные МГД-уравнения Фримана-Ротенберга [52]. В модели учтены эффекты кривизны магнитного поля, обусловленные вращением плазмы центробежные эффекты и эффекты Кориолиса, эффекты, отвечающие за баллонную и желобковую неустойчивости, а также и эффекты, обусловленные равновесным продольным током, приводящие к винтовой неустойчивости; полученные уравнения могут быть использованы при описании различных возмущений альфвеновского типа в тороидально-вращающейся плазме.

• На основе разработанной модели получено выражение для частоты геодезических акустических мод в токамаке с некруглым сечением плазмы, учитывающее эффекты вытянутости, треугольности и конечного аспектного отношения установки. Влияние треугольности исследовано впервые.

• Получены асимптотические решения для глобальной геодезической акустической моды (ГГАМ) для равновесий с внеосевым максимумом локальной частоты ГАМ и выражение для собственной частоты моды. Показано, что собственная частота ГГАМ превышает частоту локального спектра ГАМ, рассчитанную с учётом электромагнитных эффектов, на величину порядка отношения давления плазмы к давлению магнитного поля.

• Получено и проанализировано интегральное условие существования ГГАМ в плазме токамаков с монотонной зависимостью коэффициента запаса устойчивости от радиуса.

• Получены точные аналитические решения для ГГАМ в токамаке. Найде-

ны собственные частоты и собственные функции колебаний, зависимости возмущённого давления и потенциала плазмы от радиуса. Идентифицированы два типа глобальных мод: моды, для которых возмущения давления и электрического поля локализованы вблизи определённой магнитной поверхности, реализующиеся в ситуациях, когда локальная частота ГАМ имеет внеосевой максимум в плазме токамака, и моды с плавным распределением давления и постоянным электрическим потенциалом вплоть до центральной части плазменного шнура, реализующиеся для монотонно спадающих профилей локальной частоты ГАМ. Возможность реализации глобальных ГАМ в типичных для современных экспериментов разрядах с монотонной зависимостью коэффициента запаса устойчивости от радиуса показана впервые.

• Получены интегральные условия существования ГГАМ в тороидально вращающейся плазме. Показано, что равновесное вращение плазмы может облегчить условия реализации глобальной моды.

Научная и практическая ценность

Полученная математическая модель может быть использованы как для последующего аналитического рассмотрения низкочастотных МГД-явлений в тороидальных системах магнитного удержания плазмы, так и в численных кодах. Её применение к проблеме геодезических акустических колебаний и полученные при этом результаты имеют важное научное значение ввиду тесной связи ГАМ с ши-ровыми течениями и турбулентными переносами горячей плазмы в термоядерных магнитных ловушках, а также из-за необходимости интерпретации проводимых экспериментов по измерению колебаний электрического потенциала плазмы на токамаках. В частности,

• Полученное выражение для частоты сплошного спектра ГАМ в некруглой плазме следует использовать для расчёта частоты ГАМ в установках дивер-

торного типа и сферических токамаках.

• Найденное интегральное условие существования ГГАМ позволяет предсказывать требования к параметрам разряда, необходимые для существования глобальной моды.

• Полученное выражение для собственной частоты ГГАМ открывает возможности для МГД-спектроскопии профиля тока в тороидальной плазме.

• Полученные точные аналитические решения предсказывают структуру собственных мод геодезических акустических колебаний и область их пространственной локализации, что может быть использовано при идентификации мод на эксперименте. Эти решения также могут быть использованы для верификации численных кодов расчёта спектра МГД колебаний.

• Продемонстрированная возможность существования ГГАМ в разрядах с положительным магнитным широм имеет важное значение для интерпретации глобальных электростатических колебаний, наблюдаемых экспериментально, как ГАМ.

• Отдельное методическое и практическое значение имеет разработанный автором код для расчёта спектра низкочастотных мод в токамаке.

Публикации, апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Российском университете дружбы народов и в Национальном исследовательском центре "Курчатовский институт", а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как LII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, 2016), 18th International Congress on Plasma Physics (Kaohsiung, Taiwan, 2016), XLV Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому

термоядерному синтезу (Звенигород, 2018); в качестве объекта интеллектуальной собственности зарегистрирована программа для ЭВМ. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ [53-60], в том числе 3 статьи [53-55] в рецензируемых журналах.

Личный вклад автора

Автору принадлежит значительная доля полученных аналитических результатов и сделанных на их основе выводов. Кроме того, автором проделано большинство численных расчётов, внёсен основной вклад в подготовку публикаций.

Структура и объём работы

Перейдём к более детальному рассмотрению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы, 13 разделов, 7 параграфов и содержит 18 рисунков и список литературы из 73 наименований.

Первая глава диссертации посвящена магнитогидродинамической модели низкочастотных колебаний в токамаке. В разделе 1.1 даётся вывод общих редуцированных уравнений низкочастотных колебаний в тороидально вращающейся плазме. Рассмотрение проводится в рамках идеальной МГД-модели с уравнением состояния в виде адиабаты. Кратко обсуждается проблема равновесия плазмы со стационарным тороидальным течением. Для описания возмущений стандартным образом вводится смещение плазмы. Путём отделения характерных частот альф-веновских возмущений от быстрых (высокочастотных) магнитозвуковых волн получена искомая редуцированная система из двух связанных дифференциальных уравнений на потенциал и продольное смещение плазмы. Далее данная система уравнений применяется к проблеме геодезических акустических мод и зональных течений. В разделе 1.2 рассматривается статическое равновесие плазмы

некруглой формы, в разделе 1.3 - тороидально вращающаяся плазма с круглыми магнитными поверхностями. Краткое резюме Главы 1 представлено в разделе 1.4.

Вторая глава диссертации связана с вопросом магнитогидродинамического описания спектра локальных ГАМ в некруглой плазме. В разделе 2.1 представлен вывод закона дисперсии ГАМ с учётом эффектов формы поверхности плазмы. Общие уравнения, описывающие ГАМ в произвольном осесимметричном статическом равновесии плазмы в токамаке, полученные в разделе 1.2, применены к модельному равновесию с некруглыми магнитными поверхностями, определяемому параметрами вытянутости и треугольности, аспектным отношением и коэффициентом запаса устойчивости. Получено дисперсионное соотношение, модифицирующее выражение (1) для частоты локальной ГАМ на случай некруглой плазмы. В разделе 2.2 проанализировано влияние формы поверхности плазмы на частоту локальной ГАМ. Действие каждого из параметров формы плазмы рассмотрено в отдельности: вытянутость - параграф 2.2.1; аспектное отношение - параграф 2.2.2; треугольность - параграф 2.2.3. В параграфе 2.2.4 в качестве примера представлена зависимость частоты локальных ГАМ от радиуса плазменного шнура, рассчитанная для параметров токамака COMPASS. Демонстрируется существенная разница между результатами, рассчитанными с помощью стандартного уравнения (1) и полученного закона дисперсии, учитывающего эффекты формы поверхности плазмы. Краткое резюме Главы 2 представлено в разделе 2.3.

Третья глава диссертации посвящена вопросу теоретического описания глобальных геодезических акустических мод в плазме токамака. В разделе 3.1 сформулирована задача на отыскание собственной моды геодезических акустических колебаний. В разделе 3.2 представлен алгоритм численного решения поставленной задачи. Численно продемонстрировано существование глобальной моды в

зазоре между спектром локальных ГАМ и альфвеновским спектром. В разделе 3.3 найдено асимптотическое решение задачи для равновесия с внеосевым максимумом частоты сплошного спектра ГАМ иёео(г). Получены выражение для частоты локальных ГАМ с учётом слабых возмущений магнитного поля, а также выражение для собственной частоты ГГАМ. Показано, что частота собственной моды лежит выше частоты сплошного спектра ГАМ с учётом электромагнитных эффектов. В разделе 3.4 построены точные аналитические решения для равновесий с положительным магнитным широм. Получено и проанализировано интегральное условие существования глобальной моды. В параграфе 3.4.1 получено общее дисперсионное соотношение для частоты ГГАМ. Рассмотрены два случая: <^е0(г) с внеосевым максимумом (параграф 3.4.2) и монотонно спадающий профиль ыёео(г) (параграф 3.4.3). Представлена радиальная структура собственных функций. В разделе 3.5 получены интегральные условия существования ГГАМ в тороидально вращающейся плазме и соответствующее дисперсионное уравнение; проведён его качественный анализ. Кратко сформулированные выводы Главы 3 представлены в разделе 3.6.

Основные выводы диссертационной работы суммируются в Заключении.

Автор выносит на защиту следующие положения:

1. Редуцированную МГД-модель низкочастотных колебаний в токамаке с тороидальным вращением плазмы.

2. Выражение для частоты локальных ГАМ в некруглой плазме, учитывающее эффекты вытянутости, треугольности и конечного аспектного отношения установки.

3. Асимптотическое решение для ГГАМ в плазме токамака с немонотонной зависимостью профиля частоты сплошного спектра ГАМ от радиуса. Выражение для собственной частоты глобальной моды.

4. Интегральное условие существования ГГАМ в токамаке с монотонным профилем коэффициента запаса устойчивости.

5. Точные аналитические решения для ГГАМ в токамаке с монотонным профилем коэффициента запаса устойчивости. Собственные функции глобальных колебаний.

6. Вывод о том, что глобальные геодезические моды могут реализовывать-ся в типичных для токамаков равновесиях плазмы с монотонной зависимостью коэффициента запаса устойчивости от радиуса.

7. Интегральные условия существования ГГАМ в токамаке с тороидальным вращением плазмы.

Глава 1

МГД-модель низкочастотных волн в токамаке с применением к расчёту спектра геодезических

акустических мод

В рамках идеальной магнитной гидродинамики построена модель для описания низкочастотных возмущений в тороидально вращающейся плазме осесимметрич-ного токамака. На её основе получены редуцированные уравнения, описывающие спектр геодезических акустических мод в произвольном статическом равновесии плазмы некруглой формы и в тороидально вращающейся плазме с круглыми магнитными поверхностями.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Коновальцева, Людмила Владимировна

Заключение

В настоящей диссертационной работе получена математическая модель для описания МГД-возмущений с частотой, меньшей частоты быстрых магнитозвуко-вых волн, и с пространственным масштабом порядка размера системы в осе-симметричных токамаках с тороидальным вращением плазмы. Модель основана на системе линейных связанных уравнений (20) и (21), значительно более простых, чем первоначальные МГД-уравнения Фримана-Ротенберга [52], которые, тем не менее, содержат все существенные эффекты, необходимые для исследования возмущений альфвеновского типа в тороидально-вращающейся плазме, включая источники возникновения неустойчивостей. Эти уравнения могут быть использованы как для последующего аналитического рассмотрения низкочастотных МГД-явлений, так и в численных кодах.

Одной из проблем, на решение которых нацелена полученная модель, является проблема существования в плазме токамака геодезических акустических мод - низкочастотных тороидально- и полоидально-симметричных осцилляции электростатического потенциала, сопровождающихся колебаниями плотности плазмы. Проведено дальнейшее упрощение МГД-модели (20) и (21) применительно к данной проблеме. Выведены системы уравнений, описывающие спектр электростатических ГАМ в произвольном статическом равновесии плазмы (25), (28) и ГАМ с учётом электромагнитных эффектов в тороидально-вращающейся плазме с круглыми концентрическими магнитными поверхностями (33), (34).

Рассчитан спектр локальных ГАМ в некруглой плазме в приближениях, коррелирующих с кинетической теорией [38]. Помимо вытянутости плазмы и конечного аспектного отношения установки впервые учтена треугольность плазмы. Получено и проанализировано дисперсионное соотношение, модифицирующее выражение (1) для частоты локальной ГАМ на случай некруглой плазмы (54),

которое следует использовать для расчёта частоты ГАМ в установках дивер-торного типа и сферических токамаках. Показано, что вытянутость магнитных поверхностей значительно снижает частоты рассматриваемых мод.

В конечномодовом приближении выведена система уравнений (56)-(57), пригодная для расчёта глобальных ГАМ в тороидально-вращающейся плазме. В случае чисто электростатических возмущений (т = 0) полученная система уравнений, описывающая низкочастотные МГД-колебания, обладает лишь сингулярными решениями с известной частотой сплошного спектра локальных ГАМ (1). Учёт возмущений на второй полоидальной гармонике (т = 2) способен устранить указанные сингулярности, что позволяет рассчитывать на получение глобального решения (собственной моды).

На основе полученных уравнений разработан численный код для расчёта глобальных МГД мод в плазме токамака. Задача на отыскание собственных частот и собственных функций ГАМ путём дискретизации на двухузельной расчётной сетке сведена к обобщённой задаче на собственные значения матрицы и решена средствами вычислительной среды МЛТЬЛБ. При определенных параметрах равновесия частотный спектр, рассчитываемый кодом, помимо мод сплошного спектра ГАМ содержит и глобальную моду. Получена частота собственной моды, а также радиальная структура возмущений давления и электрического потенциала.

В статическом равновесии плазмы построены аналитические решения для глобальных ГАМ. При наличии внеосевого максимума локальной частоты ГАМ такое решение построено с помощью метода асимптотической сшивки. Полученное решение подводит аналитическую базу для численных расчётов [7,8]. Далее рассматриваются равновесия с положительным магнитным широм. Специальный выбор радиального профиля коэффициента запаса устойчивости #(г) позволяет упростить уравнение связи между основной и второй полоидальными гармони-

ками электростатического потенциала. Получены точные аналитические решения как при наличии внеосевого максимума у локальной частоты ГАМ (за счёт немонотонности профиля температуры), так и в его отсутствие. Все полученные аналитические решения хорошо соответствуют результатам численных расчётов. Найденные аналитические решения для монотонной зависимости ыёео от г демонстрируют принципиальную возможность существования ГГАМ в типичных разрядах токамака с положительным магнитным широм и монотонными профилями температуры, что является заметным прогрессом в вопросе теоретической интерпретации экспериментальных данных по измерению геодезических акустических мод [27-29,50,68,73]. Тем не менее окончательного согласия теории с результатами эксперимента пока не достигнуто. Во-первых, использованные при получении аналитического решения пологие профили д и Т более соответствуют реакторным условиям, чем типовым условиям современного эксперимента. Во-вторых, аналитически рассчитанная частота собственной моды заметно превосходит измеряемую частоту ГАМ. Отметим, что если пространственная ширина найденной собственной моды оказывается порядка ларморовского радиуса ионов, применимость рассмотренной МГД-модели может быть нарушена; в этом случае необходимо кинетическое рассмотрение. Также существенную роль могут играть и диссипативные эффекты, напротив, "размывая" прирезонансную локализацию градиента ф0.

Получено интегральное условие существования собственной моды геодезических акустический колебаний при наличии сильного тороидального вращения плазмы. Анализ этого условия свидетельствует о том, что присутствие вращения облегчает его выполнение, т. е. расширяет возможности существования глобальных ГАМ.

В заключение автор выражает благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю директору ИФИТ РУДН, д. ф.-м. н., профессору В. И. Ильгисонису за постоянную помощь и поддержку на всех этапах выполнения диссертации. Также автор благодарен сотрудникам НИЦ "Курчатовский институт" Е.А. Сорокиной и В. П. Лахину за научное сотрудничество, полезные замечания и помощь в процессе написания работы. Автор признателен всем, кто оказывал помощь и содействие при выполнении данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Коновальцева, Людмила Владимировна, 2018 год

Литература

[1] Lawson J. D. Some criteria for a power producing thermonuclear reactor // Proc. Phys. Soc. B. - 1957. - V. 70. - P. 6-10.

[2] Heidbrink W.W., Strait E. J., Chu M.S., Turnbull A. D. Observation of beta-induced Alfven eigenmodes in the DIII-D tokamak // Phys. Rev. Lett. - 1993. -V. 71. - P. 855-858.

[3] Zonca F., Chen L., Santoro R. Kinetic theory of low-frequency Alfven modes in tokamaks // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1996. - V. 38. - P. 2011-2028.

[4] Heidbrink W. W. Basic physics of Alfven instabilities driven by energetic particles in toroidally confined plasmas // Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. - P. 055501.

[5] Sharapov S.E., Testa D., Alper B. et al. MHD spectroscopy through detecting toroidal Alfven eigenmodes and Alfven wave cascades // Phys. Lett. A. - 2001.

- V. 289. - P. 127-134.

[6] Berk H. L., Borba D. N., Breizman B. N. et al. Theoretical interpretation of Alfven cascades in tokamaks with nonmonotonic q profiles // Phys. Rev. Lett. - 2001.

- V. 87. - P. 185002.

[7] Berk H. L., Boswell C. J., Borba D. et al. Explanation of the JET n = 0 chirping mode // Nucl. Fusion. - 2006. - V. 46. - P. S888-S897.

[8] Boswell C. J., Berk H. L., Borba D. N. et al. Observation and explanation of the JET n = 0 chirping mode // Phys. Lett. A. - 2006. - V. 358. - P. 154-148.

[9] Gorelenkov N.N., Berk H.L., Fredrikson E. et al. Predictions and observations of low-shear beta-induced shear Alfven - acoustic eigenmodes in toroidal plasmas // Phys. Lett. A. - 2007. - V. 37. - P. 70-77.

[10] Gorelenkov N.N., Berk H.L., Crocker N.A. et al. Predictions and observations of global beta-induced Alfven - acoustic modes in JET and NSTX // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. - V. 49. - P. B371-B383.

[11] Smolyakov A. I., Garbet X., Falchetto G., Ottaviani M. Multiple polarization of geodesic curvature induced modes // Phys. Lett. A. - 2008. - V. 372. - P. 67506756.

[12] Winsor N., Johnson J.L., Dawson J.M. Geodesic acoustic waves in hydromag-netic systems // Phys. Fluids. - 1968. -V. 11. - P. 2448-2450.

[13] Diamond P. H., Itoh S.-I., Itoh K., Hahm T. S. Zonal flows in plasma - a review // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. - V. 47. - P. R35-R161.

[14] Hallatschek K. Nonlinear three-dimensional flows in magnetized plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. - V. 49. - P. B137-B148.

[15] Zonca F., Chen L. Structures of the low frequency Alfven continuous spectrum and their consequences on MHD and microturbulence // AIP Conf. Proc. - 2008.

- V. 1069. - P. 355-360.

[16] Goedbloed J. P., Holties H. A., Poedts S. et al. MHD spectroscopy: free boundary modes (ELMs) and external excitation of TAE modes // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1993. - V. 35. - P. B277-B292.

[17] Huysmans G. T. A., Kerner W., Borba D. et al. Modeling the excitation of global Alfven modes by an external antenna in the Joint European Torus (JET) // Phys. Plasmas. - 1995. - V. 2. - P. 1605-1613.

[18] Fasoli A., Testa D., Sharapov S. et al. MHD spectroscopy // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2002. - V. 44. - P. B159-B172.

[19] Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в токамаке // ЖЭТФ. - 1973. - Т. 65. - C. 575-589.

[20] Strauss H. R. Nonlinear, three-dimensional magnetohydrodynamics of noncircu-lar tokamaks // Phys. Fluids. - 1976. - V. 19. - P. 134-140.

[21] Rice J.E., Ince-Cushman A., deGrassie J. S. et al. Inter-machine comparison of intrinsic toroidal rotation in tokamaks // Nucl. Fusion. - 2007. - V. 47. - P. 16181624.

[22] Parra F. I., Barnes M. Intrinsic rotation in tokamaks: theory // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2015. - V. 57. - P. 045002.

[23] Lakhin V. P., Ilgisonis V. I., Smolyakov A.I. Geodesic acoustic modes and zonal flows in toroidally rotating tokamak plasmas // Phys. Letters A. - 2010. - V. 374.

- P. 4872-4875.

[24] Lakhin V. P., Ilgisonis V. I. Continuum modes in rotating plasmas: General equations and continuous spectra for large aspect ratio tokamaks // Phys. Plasmas.

- 2011. -V. 18. - P. 092103.

[25] Silva C., Arnoux G., Groth M. et al. Observation of geodesic acoustic modes in the JET edge plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2013. - V. 55. P. 025001.

[26] McKee G. R., Gupta D. K., Fonck R. J. et al. Structure and scaling properties of the geodesic acoustic mode // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V. 48. -P. S123-S136.

[27] Conway G. D., Troster C., Scott B. et al. Frequency scaling and localization of geodesic acoustic modes in ASDEX Upgrade // Plasma Phys. Control. Fusion.

- 2008. - V. 50. - P. 055009.

[28] de Meijere C. A., Coda S., Huang Z. et al. Complete multi-field characterization of the geodesic acoustic mode in the TCV tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2014. - V. 56. - P. 072001.

[29] Ido T., Miura Y., Kamiya K. et al. Geodesic-acoustic-mode in JFT-2M tokamak plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V. 48. - P. S41-S50.

[30] Kramer-Flecken A., Soldatov S., Reiser D. et al. Investigation of geodesic acoustic modes and related zonal flows at TEXTOR // Plasma Phys. Control. Fusion. -2009. - V. 51. - P. 015001.

[31] Melnikov A. V., Vershkov V. A., Eliseev L. G. et al. Investigation of geodesic acoustic mode oscillations in the T-10 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion.

- 2006. -V. 48. - P. S87-S110.

[32] Yashin A. Yu., Bulanin V. V., Gusev V. K. et al. Geodesic acoustic mode observations in the Globus-M spherical tokamak // Nucl. Fusion. - 2014. - V. 54. -P. 114015.

[33] Wahlberg C. Geodesic acoustic mode induced by toroidal rotation in tokamaks // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V. 101. - P. 115003.

[34] Wahlberg C. Low-frequency magnetohydrodynamics and geodesic acoustic modes in toroidally rotating tokamak plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2009. -V. 51. - P. 085006.

[35] Ilgisonis V. I., Lakhin V. P. Smolyakov A. I., Sorokina E.A. Geodesic acoustic modes and zonal flows in rotating large-aspect-ratio tokamak plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2011. - V. 53. - P. 065008.

[36] Fu G.Y. Energetic-particle-induced geodesic acoustic mode // Phys. Rev. Lett.

- 2008. - V. 101. - P. 185002.

[37] Berk H.L., Zhou T. Fast excitation of EGAM by NBI // Nucl. Fusion. - 2010.

- V. 50. - P. 035007.

[38] Gao Z., Wang P., Sanuki H. Plasma shaping effects on the geodesic acoustic mode in toroidally axisymmetric plasmas // Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. -P. 074502.

[39] Gao Z., Peng L., Wang P. et al. Plasma elongation effects on temperature gradient driven instabilities and geodesic acoustic modes // Nucl. Fusion. - 2009. - V. 49.

- P. 045014.

[40] Gao Z. Plasma shaping effects on the geodesic acoustic mode in the large orbit drift width limit // Phys. Plasmas. - 2010. - V. 17. - P. 092503.

[41] Angelino P., Garbet X., Villard L. et al. The role of plasma elongation on the linear damping of zonal flows // Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. - P. 062306.

[42] Wahlberg C., Graves J. P. Magnetohydrodynamic theory of the global structure and magnetic components of the geodesic acoustic continuum modes in tokamaks // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2016. - V. 58. - P. 075014.

[43] Villard L., Angelino P., Bottino A. et al. Plasma shape effects on geodesic acoustic oscillations // AIP Conf. Proc. - 2006. - V. 871. - P. 424-429.

[44] Kendl A., Scott B.D. Flux-surface shaping effects on tokamak edge turbulence and flows // Phys. Plasmas. - 2006. - V. 13. - P. 012504.

[45] Hager R., Hallatschek K. Geodesic acoustic mode frequencies in experimental tokamak equilibria // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2013. - V. 55. - P. 035009.

[46] Robinson J.R., Hnat B., Thyagaraja A. et al. Global two-fluid simulations of geodesic acoustic modes in strongly shaped tight aspect ratio tokamak plasmas // Phys. Plasmas. - 2013. - V. 20. - P. 052302.

[47] Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Comm. Pure and Appl. Math.

- 1949. - V. 2. - P. 331-407.

[48] Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы. Вып. 1 / Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Госатомиздат. - 1963. - С. 183272.

[49] Мельников А. В., Елисеев Л. Г., Лысенко С.Е., и др. Радиальная однородность геодезических акустических мод в омических разрядах с низким B на токамаке Т-10 // Письма в ЖЭТФ - 2014. - Т. 100. - С. 633-638.

[50] Melnikov A. V., Eliseev L. G., Perfilov S. V. et al. The features of the global GAM in OH and ECRH plasmas in the T-10 tokamak // Nucl. Fusion. - 2015. - V. 55.

- P. 063001.

[51] Lakhin V. P., Sorokina E.A. Geodesic acoustic eigenmode for tokamak equilibrium with maximum of local GAM frequency // Phys. Lett. A. - 2014. - V. 378.

- P. 535-538.

[52] Frieman E., Rotenberg M. On hydromagnetic stability of stationary equilibria // Rev. Mod. Phys. - 1960. - V. 32. - P. 898-902.

[53] Ильгисонис В. И., Коновальцева Л. В., Лахин В. П., Сорокина Е.А. Аналитические решения для глобальных геодезических акустических мод в плазме токамака // Физика плазмы. - 2014. - Т. 40. - С. 955-966.

[54] Лахин В. П., Сорокина Е.А., Ильгисонис В. И., Коновальцева Л. В. МГД-модель низкочастотных волн в токамаке с тороидальным вразением плазмы и проблема существования глобальных геодезических акустических мод // Физика плазмы. - 2015. - Т. 41. - С. 1054-1061.

[55] Сорокина Е. А., Лахин В. П., Ильгисонис В. И., Коновальцева Л. В. Геодезические акустические моды в токамаке некруглого сечения // Физика плазмы.

- 2017. - Т. 43. - С. 51-60.

[56] Ilgisonis V. I., Konovaltseva L.V., Lakhin V. P., Sorokina E.A. Analytical solutions for geodesic acoustic eigenmodes in tokamak plasmas // International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering - 2014. - V. 8. - P. 1023-1026.

[57] Сорокина Е.А., Лахин В. П., Коновальцева Л. В. МГД-уравнения глобальных геодезических акустических мод в тороидально вращающейся плазме токамака // Тезисы LII Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, 17-19 мая 2016, С. 180-185.

[58] Sorokina E.A., Lakhin V. P., Ilgisonis V. I., Konovaltseva L.V. Reduced MHD-model for low-frequency modes in a tokamak with toroidal plasma flow // Proc. 18th International Congress on Plasma Physics, Kaohsiung, Taiwan, 27 June - 1 July 2016, PPM1-12.

[59] Сорокина Е.А., Ильгисонис В. И., Лахин В. П., Коновальцева Л. В., Мару-сов Н.А., Смоляков А. И. Геодезические акустические моды в тороидально вращающейся плазме токамака // Тезисы XLV Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС, Звенигород, 2-6 апреля 2018, C. 110.

[60] Сорокина Е. А., Подтурова О. И., Коновалов С. В., Коновальцева Л. В. Mag-Island_Tr // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ No 2018613881. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 марта 2018.

[61] Zehrfeld H.P., Green B.J. Stationary toroidal equilibria at finite beta // Nucl. Fusion. - 1972. - V. 12. - P. 569-575.

[62] Hameiri E. The equilibrium and stability of rotating plasmas // Phys. Fluids. -1983. - V. 26. - P. 230-237.

[63] Goedbloed J. P., Lifschitz A. E. Stationary symmetric magnetohydrodynamic flows // Phys. Plasmas. - 1997. - V. 4. - P. 3544-3564.

[64] van der Holst B., Belien A. J.C., Goedbloed J. P. Low frequency Alfven waves induced by toroidal flows // Phys. Plasmas. - 2000. - V. 7. - P. 4208-4222.

[65] Fesenyuk O.P., Kolesnichenko Ya. I., Wobig H., Yakovenko Yu.V. Ideal magnetohydrodynamic equations for low-frequency waves in toroidal plasmas // Phys. Plasmas. - 2002. - V. 9. - P. 1589-1595.

[66] Haverkort J. W., de Blank H. J., Koren B. The Brunt-Vaisala frequency of rotating tokamak plasmas // J. Comp. Phys. - 2012. - V. 231. - 981-1001.

[67] Miller R. L., Chu M.S., Greene J.M. et al. Noncircular, finite aspect ratio, local equilibrium model // Phys. Plasmas. - 1998. - V. 5. - P. 973-978.

[68] Seidl J., Hron M., Krbec J. et al. Electromagnetic characteristics of geodesic acoustic mode in the COMPASS tokamak // Proc. 43rd EPS Conf. on Plasma Physics, Leuven, Belgium, 4-8 July 2016, P5.004.

[69] Khalzov I.V., Ilgisonis V. I., Smolyakov A. I., Velikhov E. P. Magnetorotational instability in electrically driven flow of liquid metal: Spectral analysis of global modes // Phys. Fluids - 2006. - V. 18. - P. 124107.

[70] Сорокина Е. А. Глобальные моды желобковой неустойчивости вращающейся цилиндрической плазмы // Физика плазмы. - 2009. - Т. 35. - С. 472-481.

[71] Anderson E., Bai Z., Bischof C. et al. // LAPACK User's Guide, Third Edition, SIAM, Philadelphia, 1999.

[72] Polevoi A. R., Medvedev S.Yu., Mukhovatov V. S. et al. ITER confinement and stability modelling //J. Plasma Fusion Res. SER. - 2002. - V. 5. - P. 82-87.

[73] Wang G., Peebles W. A., Rhodes T. L. et al. Multi-field characteristics and eigenmode spatial structure of geodesic acoustic modes in DIII-D L-mode plasmas // Phys. Plasmas. - 2013. - V. 20. - P. 092501.