М-членное тригонометрическое приближение классов Lφβ,p функций многих переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Консевич, Наталия Николаевна

  • Консевич, Наталия Николаевна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2001, Киев
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 118
Консевич, Наталия Николаевна. М-членное тригонометрическое приближение классов Lφβ,p функций многих переменных: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Киев. 2001. 118 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Консевич, Наталия Николаевна

Глава

I. Обзор литературы

1.1. Основные задачи теории приближения

1.2. М-членное тригонометрическое приближение

Глава

II. Наилучшие тригонометрические классов Lpp в пространстве Lq

2.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения

2.2. Оценки величин eM{Lpp)q при <р q оо, g

2.3. Оценки величин ем{Ьр)д при р q

2.4. Оценки величин ем{Ьрр)д при д р с ч э прибли»сения

2.5. Приближение классов Lp тригонометрическими полиномами в равномерной метрике

Глава

III. Наилучп1ие ортогональные тригонометрические приближения и тригонометрические поперечники классов L в пространстве Lq

3.1. Оценки величин e]((L,)g, I p,q оо

3.2. Поведение величин c?(Lp,Lg)

Глава

IV. Приближение классов Lj в метрике Lq, q оо

4.1. Приближение функций Вф{х0)

4.2. Оценки величин En{Lpi)q,

Выводы

Список использованных источников q оо

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «М-членное тригонометрическое приближение классов Lφβ,p функций многих переменных»

Данная работа является продолжением исследования приближения функциональных классов М-членными тригонометрическими полиномами. Изучается приближение классов (2/,/?)-дифференцируемых периодических функций многих переменных, которые в одномерном случае были введены А.И. Степанцом [1] (см. также [2; 3, гл. I, § 7]). Актуальность темы. В настоящее время в области теории аппроксимации разработано много методов приближения тригонометрическими полиномами в пространствах периодических функций, среди которых существуют как линейные методы, построенные на базе сумм Фурье (методы Фейера, Валле-Пуссена, Рогозинского, и так далее), так и нелинейные методы. В последнее время наибольшего распространения приобретает метод М-членного тригонометрического приближения, то есть приближение классов периодических функций с помощью полиномов вида м Р(0л/;а:)=с,-е(), 3=1 где 0л/ {к}-1 набор векторов У с целочисленной решетки Z а Cj произвольные коэффициенты. Аппроксимативные свойства этого метода относительно классов периодических функций многих переменных W Нр (определение классов см., например, в [4, с. 31]), Вр (см. [5, с. 159]) исследовались в работах В.Н. Темлякова [6, 4, 7], Э.С. Белинского [8 10], Б.С. Кашина и В.Н. Темлякова [11], А.С. Романюка [12 15] и других. В 1983 г. А.И. Степанцом была предложена новая классификация периодических функций одной переменной [1] (см. также [2, 3]). Вследствие этого были введены классы Lt которые при фиксированных значениях определяющих их параметров совпадают с классами ВейляНадя Wp В настоящее время известно много результатов, связанных с решением важных экстремальных задач теории аппроксимации для классов bt периодических функций одной переменной. В некоторой в многомерном степени развита тематика приближений классов Lt случае, которой посвящены работы А.С. Романюка [16 19], А.И. Степанца и Н.Л. Пачулиа [20], П.В. Задерея [21]. В частности, остаются открытыми вопросы М-членного тригонометрического приближения классов Ьр Это определенным образом связано с тем, что многомерная тригонометрическая аппроксимация отличается от одномерной существованием различных способов выбора "номеров" гармоник для построения приближающих полиномов. Ведь при построении тригонометрических полиномов, приближающих периодическую функцию одной переменной, система экспонент {е*}, к О 1 упорядочивается по возрастанию "номеров", то есть 1, е, е, е, А в многомерном случае построение тригонометрических полиномов может происходить по произвольным ограниченным областям пространства R. Таким образом, ми не имеем оснований для того, чтобы заблаговременно отдать предпочтение определенному способу упорядочивания системы {е*!-""*}, kj 0 1 j l,d, где индексы к {ki,... ,kd) будем называть "номерами" гармоник или "номерами" экспонент е(*). Отметим, что изучение вопроса приближения классов Lp полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов" проводилось А.С. Романюком в работах [16 19], Ввиду выше указанного является актуальным исследование метода М-членного тригонометрического приближения на классах Lt сравнение его эффективности с методом приближения этих классов тригонометрическими полиномами, построенными по "ступенчатым гиперболическим крестам". Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнена в отделе теории функций Института математики НАН Украины согласно научно-исследовательской теме: "Структурные и аппроксимационные свойства функциональных множеств", номер государственной регистрации 0198 U 001990, Цель и задачи исследования. Целью работы является распространение известных результатов по М-членному приближению с классов дифференцируемых функций Wg на классы {ф,/3)- дифференцируемых функций Lt Прежде чем сформулировать задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, определим объект и предмет исследования. Объектом исследования периодических являются функций классы многих (ФР)переменных дифференцируемых Пусть Lp{7Td), 1 Р оо, пространство 27Г-периодических по каждой переменной суммируемых в степени р на с?-мерном кубе тга Yl [—7г; 7г] функций f{x) f{xi,.., равенством ,Xd), в котором норма определяется ll/IU,M ll/llp= ижУI \/{х)\чЛ Loo{d)i p oo пространство 27Г-периодических существенно ограниченных функций f{x) с нормой ll/IUcoM II/IU esssup„Jf{x)\. G Ьр(7Г), В дальнейшем всюду предполагаем, что для функций f{x) 1 р оо, выполнено условие f{x)dxj 0, j l,d. 7Г Приведем определение класса Lt Пусть е Li{7Td) и к ее ряд Фурье, где коэффициенты Фурье функции f{x), к= {ki,...,kd), kj е Z, j l,d, (k,x) kixi kdXd. Далее, пусть ф]{-) т О, j l,d, произвольные функции натурального аргумента и j3j фиксированные действительные числа. Если является рядом Фурье некоторой функции из Li{7Td), то ее называют (,/3)-производной функции f(x) и обозначают ft{x). Множество Если числами Cj в (В.1) служат коэффициенты Фурье функции /(л:), то есть 2j с,- {27r)-lfit)e-Ut, то предметом исследования будут величины м которые называются наилучшими М-членными ортогональными тригонометрическими приближениями классов Lt в пространстве Lg. Очевидно, что величины (В.1) и (В.2) связаны соотношением M(Lpp)g ем(Ьрр)д. Отметим также, что величина ем{ЩЛд не превышает величины тригонометрического поперечника (i(L,Lg) порядка М класса Ь., которая определяется следующим образом м 4(<p,b,)t/ inf sup inf ||/w-X:c,-e(ll., Теперь сформулируем задачи исследования. (B.3) 1. Найти порядковые оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов Lt в пространстве Lq при разных соотношениях параметров р и q: 1 р со, I q со. Сравнить эти результаты с соответствующими результатами для величин наилучшего приближения классов Lt тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатого гиперболического креста". 2, Исследовать поведение наилучших М-членных ортогональных тригонометрических приближений классов Lt 1 p,q оо. в пространстве Lq при Установлены порядковые оценки наилучших приближений классов Lj в метрике Lq, 1 q со, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов". Практическое значение полученных результатов. Результаты работы имеют теоретический характер. Они, а также методика их получения, могут быть использованы в дальнейшем изучении вопросов приближения функций многих переменных. В частности, результаты по наилучшему М-членному тригонометрическому приближению классов L можно применить при исследовании вопроса приближения функций многих переменных этих классов с помощью линейных комбинаций произведений функций меньшего числа переменных. Личный вклад соискателя. Определение направления исследования, а также постановка задач принадлежит научному руководителю доктору физ.-мат. наук А.С. Романюку. Все результаты получено соискателем самостоятельно. Апробация результатов диссертации. докладывались на: семинарах отдела теории функций (Институт математики НАН Украины, руководитель семинара: член-корреспондент НАН Украины А.И. Степанец); объединенном семинаре по теории функций (Институт математики НАН Украины, руководители семинара: академик НАН Украины Н.П. Корнейчук, член-корреспондент НАН Украины А.И. Степанец, профессор П.М. Тамразов); Международной конференции по теории приближений функций и ее применении, посвяшенной памяти В.К. Дзядыка (Киев, 1999 г.); Результаты работы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения М.А. Лаврентьева (Киев, 2000 г.). Публикации, в работах [23 29]. Перейдем к изложению основных результатов работы. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, четырех

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Консевич, Наталия Николаевна

Основные результаты работы:

1. Получены порядковые оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов Ь^р в пространстве Ьд при 1 < р < оо, 1 < д < оо. Показано, что оценки сверху величин лучше соответствующих оценок наилучших приближений классов Ьр в метрике Ьд, 1 < р < д < оо, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов".

2. Найдены порядковые оценки наилучших М-членных ортогональных тригонометрических приближений классов Ьрр в пространстве Ьд, 1 < р,д < оо.

3. Получены порядковые оценки тригонометрических поперечников классов Ьрр в пространстве Ьд при 1<р<2<д<

4. Установлены порядковые оценки наилучших приближений классов Ь^д в метрике Ьд, 1 < д < оо, тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Консевич, Наталия Николаевна, 2001 год

1. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. Киев, 1983. - 57 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.10).

2. Степанец А.И. Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье // Изв. АН. СССР. Сер. мат.- 1986. 50, N1. - С. 101-136.

3. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наук, думка, 1987. - 268 с.

4. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. - 178. - 112с.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

6. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН. СССР. Сер. мат. 1985.- 49, N5. С. 986-1030.

7. Temlyakov V.N. Approximation of Periodic Function: Nova Science Publichers, Inc. 1993. 419 p.

8. Белинский Э. С. Приближение периодических функций многих переменных "плавающей" системой экспонент и тригонометрические поперечники // Докл. АН СССР. 1985. - 284, N6. - С. 1294-1297.

9. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонент на классах периодических гладких функций // Тр. МИАН СССР.- 1987. 180. - С. 46-47.

10. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: Яросл.ун-т, 1988. С. 16-33.

11. Кашин Б. С., Темляков В.Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве L\ // Мат. заметки.- 1994. 56, N5. - С. 57-86.

12. Романюк A.C. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из классов Вр0. I // Укр. мат. журн. 1992. - 44, N11. - С. 1535-1547.

13. Романюк A.C. О наилучших тригонометрических приближениях и колмогоровских поперечниках классов Бесова функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1993. - 45, N5. - С. 663-675.

14. Романюк A.C. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения функций многих переменных из классов Врв. II // Укр. мат. журн. 1993. - 45, N10. - С. 1411-1423.

15. Романюк A.C. О наилучшей тригонометрической и билинейной аппроксимации классов Бесова функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1995. - 47, N8. - С. 1097-1111.

16. Романюк A.C. Приближение периодических функций многих переменных в метрике Ья // Приближение периодических функцийв метрике пространства Lp. Киев, 1987. - С. 42-58 - (Препринт /АН УССР. Ин-т математики; 87.47).

17. Романюк А.С. Неравенства для Lp-норм (^,/?)-производных и поперечников по Колмогорову классов функций многих переменных Vpp // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 92-105.

18. Романюк А.С. Неравенство типа Бора-Фавара и наилучшие М-членные приближения классов Ь^р в пространстве Lq // Некоторые вопросы теории приближения функций и их приложения: Сб. науч.тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. - С. 98-108.

19. Стпепанец А.И., Пачулиа H.JI. Кратные суммы Фурье на множествах (^,/?)-дифференцируемых функций // Укр. мат. журн. -1991. 43, N4. - С. 545-555.

20. Зад ер ей П.В. Приближение (^>,/?)-дифференцируемых периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1993. -45, N3. - С. 367-377.

21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. -М.: Наука, 1976. 320 с.

22. Консевич Н.М. Найкрапц М-членш тригонометричш наближення клас1в Lßp у npoeropi Lq // Kpanoßi задач1 для диференщальних р1внянь: 36. наук. пр. Кшв: 1н-т математики HAH УкраТни, 1998. - Вип. 3. - С. 204-219.

23. Консевич Н.М. Найкрапц М-членш тригонометричш наближення клашв Lßp у npocTopi Lq // М1жнародна конференция з теори наближення функцш та Ii застосувань, присвячена пам'ят1 В.К. Дзя-дика: Тез. доп. Кшв: 1н-т математики HAH УкраУни, 1999. - С. 41.

24. Консевич Н.М. Ощнки найкращих М-членних тригонометричних наближень клас1в Üßp перюдичних функцш багатьох змшних у npocTopi Lq Ц Укр. мат. журн. 2000. - 52, N7. - С. 898-907.

25. Консевич Н.М. Наближення клас1в функцш багатьох змшних Lßp тригонометричними полшомами в piBHOMipmft метрищ // Teopifl наближення функцш та ii застосування. Пращ IM HAH Украши. К.: 1н-т математики HAH УкраУни, 2000. - Т 31. - С. 260-268.

26. Консевич Н.М. Найкрагщ ортогональш тригонометричш наближення клаав функцш багатьох змшних Lßp // Укр. мат. журн. -2001. 53, N1. - С. 23-29.

27. Консевич Н.М. Тригонометричш поперечники клаав Lpp функцш багатьох змшних // Укр. мат. журн. 2001. -53, N9. - С. 1292-1296.

28. Федоренко А. С. Наилучшие ш-членные тригонометрические приближения функций классов L^p // Ряди Фур'е: теор1я i застосу-вання: Пращ IM НАН Украши. Т 20 К.: 1н-т математики НАН Укршни, 1998. - С. 356-364.

29. Федоренко А.С. О наилучших ш-членных тригонометрических приближениях классов (^>,/?)-дифференцируемых функций одной переменной // Крайов1 задач! для диференщальних ргвнянь: 36. наук. пр. Ки1в: 1н-т математики НАН УкраТни, 1998. - Вип. 3. - С. 250-258.

30. Федоренко О.С. Найкрапц m-членш тригонометричн1 i ортого-нальн1 тригонометричн1 наближення функщй клаав // До-noBifli НАН Укра'ши. 2000. - N7. - С. 27-32.

31. Belinski E.S. Approximation of functions of several variables by trigonometric polynomials with given number of harmonics, and estimates of ¿-entropy // Analysis mathematica. 1989. - 15, N2. - P. 67-74.

32. Романюк А.С. Приближение классов Вр в периодических функций многих переменных частными суммами Фурье с произвольным выбором гармоник // Ряды Фурье: теория и приложение. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. - С. 112-118.

33. Федоренко О.С. Про тригонометричш поперечники функщй

34. K.iaciB Lßp // Teopin наближення функцш та ii застосування. Пращ IM HAH УкраТни. К.: 1н-т математики HAH Укра'ши, 2000. - Т 31. - С. 128-134.

35. Романюк A.C. Тригонометрические поперечники классов Вр0 функций многих переменных // Укр. мат. журн. 1998. - 50, N8. - С. 1089-1097.

36. Бугров Я. С. Приближение класса функций с доминирующей производной. Мат. сб., 1964, 64 (106). - С. 410-418.

37. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством полиномов данной степени. М.: Изд-во АН СССР, 1952. - Т 1. - С. 8-105.

38. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funftionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung, Diss. Göttingen, 1911.

39. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. - Т 1. -615 с; Т 2. - 537 с.

40. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Моск. ун-т, 1976. - 304 с.

41. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения. -М.: Наука, 1977. 510 с.

42. Степанец Л.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наук, думка, 1981. - 340 с.

43. Колмогоров А. H. Uber die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann of Math. 1936. - 37. - S. 107-110.

44. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1955. - 102, N1. - С. 37-40.

45. Осколков К. И. Аппроксимационные свойства суммируемых функций на множествах полной меры // Мат. сб. 1977. - 103, N4. -С. 563-589.

46. Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН СССР. 1978. - 243, N5. - С. 1127-1130.

47. Майоров В.Е. Тригонометрические гг-поперечники класса W в пространстве Lq // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория операторов в линейных пространствах. М.: ЦЭМИ. 1976. - С. 199-208.

48. Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств // Мат. сб. 1980. -113(165), N3(11). - С. 437-463.

49. Makovoz G.I. On trigonometric n-widths and their generalization // J. Approxim. Theory. 1984. - 41, N4. - P. 361-366.

50. Кашин B.C. Об аппроксимационных свойствах полных ортонор-мированных систем // Тр. МИАН СССР. 1985. - 172. - С. 187-191.

51. Белинский Э.С. Приближение "плавающей" системой экспонентна классах гладких периодических функций // Мат. сб. 1987. -132, N1. - С. 20-27.

52. Темляков В.Н. О приближении периодических функций многих переменных // ДАН СССР. 1984. - 279, N2. - С. 301-305.

53. Бабенко К. И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР. 1960. - 132, N2. - С. 247-250.

54. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР. 1960. - 132, N5. - С. 982-985.

55. Митягин Б.С. Приближение функций в пространстве hp и С на торе // Мат. сб. 1962. - 58, N4. - С. 397-414.

56. Теляковский С. А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами // Мат. сб. 1964. - 63 (105), N3. - С. 426-444.

57. Никольская И. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. мат. журн. 1974. - 15, N2. - С. 395-412.

58. Майоров В.Е. О наилучшем приближении классов W{(IS) в пространстве Ьоо(Р) // Мат. заметки. 1976. - 19, N5. - С. 699-706.

59. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1980. - 156. - С. 233-260.

60. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН СССР. 1988. - 189. - С. 138-168.

61. Романюк А. С. Приближение классов функций многих переменных их ортогональными проекциями на подпространства тригонометрических полиномов // Укр. мат. журн. 1996. - 48, N1. - С. 80-89.

62. Романюк А.С. Наилучшие ортогональные тригонометрические приближения классов Врв // Ряди Фур'е: теор1я i застосування: Пращ 1нституту математики НАН УкраТни. Т. 20 К.: 1н-т математики НАН УкраТни, 1998. - С. 218-227.

63. Исмагилое Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. 1974. - 29, N3. - С. 161-178.

64. DeVore R.A., Temlyakov V.N. Some remarks on Greedy Algorithms 11 Adv. Comput. Maht. 1995. - 5. - P. 173-187.

65. Temlyakov V.N. Greedy algorithm and m-term trigonometric approximation // Const. Approx. 1998. - 14. - P. 569-587.

66. Temlyakov V.N. The best m-term approximation and greedy algorithms 11 Adv. Comput. Math. 1998. - 8. - P. 249-265.

67. Степанец А.И. Аппроксимационные характеристики пространств SJ Киев, 2000. - 52 с. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2000.2).

68. Галеев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а-ядра Дирихле в смешанной норме // Мат сб. -1982. 117(159) - С. 32-43.

69. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. - 495с.

70. Темляков В.Н. Оценки асимтотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН СССР. 1989. - 189. - С. 138-168.

71. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - 456 с.

72. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. - 424 с.

73. Белинский Э.С., Галеев Э.М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник // Вест. Моск. ун-та. Математика и механика. 1991. - N2. - С. 3-7.

74. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 479 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.