Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ольга Александровна

• Кузнецова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ольга Александровна

Оглавление

Введение

1 Символьные вычисления ляпуновских величин и малые предельные циклы

1.1 Введение

1.2 Ляпуновские величины

1.3 Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова

1.3.1 Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве

1.3.2 Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве

1.4 Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области

1.5 Символьные выражения ляпуновских величин

1.5.1 Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем

1.5.2 Метод сведения квадратичных систем к системам Льенара

1.5.3 Ляпуновские величины для систем Льенара

1.5.4 Ляпуновские величины для квадратичных систем

1.6 Ляпуновские величины и малые предельные циклы

2 Исследование больших предельных циклов

2.1 Введение

2.2 Один и два больших предельных цикла квадратичных систем

2.2.1 Метод асимптотического интегрирования траекторий

2.2.2 Критерии существования предельных циклов

2.2.3 Визуализация области параметров, соответствующих

существованию одного и двух больших предельных

циклов

2.3 Три и четыре больших предельных цикла квадратичных

систем

2.3.1 Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем

2.3.2 Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ляпуновские величины и предельные циклы двумерных динамических систем»

Введение

Исследование предельных циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими задачами (16-я проблема Гильберта, задача центра и фокуса /Davies & James, 1966/, /Петровский, 1970, Амелькин и др., 1982, Амелькин к, Садовский, 1982, Arnold, 1983, Christopher, Lloyd &; Pearson, 1995, Anosov et al.,1997/, /Садовский, 1997, Andrianova, 1998, Chavarriga & Grau, 2003/, /Андреев, 2003, Yu, 2005, Gine, 2007/), так и многими прикладными задачами /Андронов & Леонтович, 1956, Андронов и др., 1959/, /Андронов и др., 1966, Strogatz, 1994, Chicone, 1999, Mark Kot, 2001/, /Shilnikov et al, 2001, Anishchenko et al, 2002, Murray, 2003/, /Rockwood, 2006, Kuznetsov, 2008, Leonov et al, 2009, Jones et al, 2010/.

Так, к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных популяционных моделей в биологии /Колмогоров, 1972, May, 1976, Murray, 2003/ (например, модели "хищник - жертва" Лотка-Вольтерра), а уравнение Льенара описывает динамику различных механических и электронных систем /Леонов, 2006/. В таких моделях важную роль играют предельные циклы /Strogatz, 1994/.

Заметим также, что с вычислением ляпуновских величин (используемых в работе для изучения "малых" предельных циклов) тесно связан важный в инженерной механике вопрос о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости

/Баутин, 1939, Баутин, 1952, Marsden & McCracken, 1976/. Так, в случае двух комплексно-сопряженных характеристических корней двумерной системы в окрестности стационарной точки (критический случай) при пересечении границы устойчивости от отрицательных значений действительной части корней к положительным, если первая неравная нулю ля-пуновская величина отрицательна, граница является "безопасной". Напротив, если первая неравная нулю ляпуновская величина положительна, граница является "опасной", то есть при малых изменениях траектория может отойти бесконечно далеко от состояния равновесия.

В 1901 году Гильберт в своей знаменитой 16-й проблеме сформулировал задачу анализа взаимного расположения и числа предельных циклов двумерных полиномиальных систем. В настоящее время, по прошествии более ста лет, в рамках исследования этой задачи было получено большое количество теоретических и численных результатов (см. список литературы в обзорах /Ye, 1986, Lloyd, 1988, Reyn, 1994/). Но задача все еще далека от решения даже для класса квадратичных систем /Арнольд, 2005/.

Задача исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем может быть условно разделена на исследование "малых" предельных циклов (локальная шестнадцатая проблема Гильберта) и изучение "больших" предельных циклов, то есть циклов, которые могут быть получены при помощи численных процедур /Регко, 1990/.

В работах Баутина /Баутин, 1949, Баутин, 1952/ с помощью метода ляпуновских величин и малых возмущений показано, что в квадратичных системах вокруг одного состояния равновесия может быть построено

3 "малых" предельных цикла.

Затем в работах /Chen к Wang, 1979, Shi, 1980/ был найден класс квадратичных систем с 3 "малыми" предельными циклами в окрестности одного состояния равновесия и одним "большим" предельным циклом вокруг другого состояния равновесия. А в работах /Artes et al, 2006, Леонов, 2009/ приведены квадратичные системы с двумя "большими" предельными циклами.

Многочисленные публикации также посвящены развитию методов глобального анализа, вычислению ляпуновских величин и поиску максимального числа предельных циклов для различных классов двумерных полиномиальных систем (см., например, /Петровский к Ландис, 1957/, /Петровский к Ландис, 1959, Cesari, 1959, Черкас, 1973/, /Баутин & Леонтович, 1976, Shi, 1981, Ильяшенко, 1985/, /Виноградов к Осипов, 1987, Lloyd к Pearson, 1990, Perko, 1991/, /Zhang et al, 1992, Blows к Rousseau, 1993, Arnold et al, 1994/, /Blows к Perko, 1994, Gaiko, 1997, Lloyd к Pearson, 1997, Alwash, 1998/, /Roussarie, 1998, Lynch, 2001, Chavarriga к Grau, 2003, Li, 2003/, /Cherkas et al, 2003, Yu к Han, 2005, Artes et al, 2006, Gine, 2007/ и многие другие).

Изучаемая в работе проблема исследования предельных циклов остается актуальной и по сей день, что подтверждается тем фактом, что каждый год выходят в свет сотни научных работ (книг и статей), посвященных данной проблеме. Ниже приведено число публикаций по данной тематике за последние пять лет, иллюстрирующее растущий интерес к проблеме исследования предельных циклов (информация взята с сайта

www.scien.cedirect.com):

2005 год - 634 публ.

2006 год - 693 публ.

2007 год - 848 публ.

2008 год - 789 публ.

2009 год - 1067 публ.

Таким образом, рассмотренные в работе проблемы вычисления ля-пуновских величин и исследования предельных циклов являются актуальными проблемами, имеющими большое значение как в математике, так и во многих других областях.

В данной работе рассматриваются различные методы вычисления ляпуновских величин, получены символьные выражения первых семи ляпуновских величин для общего вида системы Льенара, используемые для исследования "малых" предельных циклов. Следуя работе /Леонов, 2009/, для системы Льенара с разрывной правой частью описан метод асимптотического интегрирования, позволяющий локализовывать "большие" предельные циклы. С помощью процедуры сведения к виду системы Льенара /Черкас, 1976, Ьеопоу, 1998/ и метода асимптотического интегрирования в работе приведены простые условия существования одного и двух "больших" предельных циклов квадратичных систем.

Метод возмущения ляпуновских величин вместе с методом асимптотического интегрирования позволяют получить условия существования четырех предельных циклов квадратичных систем: двух "больших" предельных циклов в случае слабого фокуса второго порядка и одного "большого" предельного цикла в случае слабого фокуса третьего порядка.

Полученные здесь условия имеют очень простой вид и обобщают широко известную теорему Ши /Shi, 1980/.

Развитие метода асимптотического интегрирования траекторий позволило впервые получить новые конфигурации "больших" предельных циклов для квадратичных систем: двух - вокруг одного состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка) и одного - вокруг другого состояния равновесия, а также трех - вокруг одного состояния равновесия и одного - вокруг другого состояния равновесия. Кроме того, в работе проведено исследование так называемого "танца циклов" (то есть преобразования конфигурации циклов в процессе постепенного изменения одного или нескольких коэффициентов системы).

1. Символьные вычисления ляпуновских величин и

малые предельные циклы

1.1. Введение

Первая часть работы посвящена символьным вычислениям ляпуновских величин. Метод вычисления ляпуновских величин (называемых также иногда фокусными величинами и константами Пуанкаре-Ляпунова) был предложен в конце 19-го века в классических работах А. Пуанкаре /Poincare, 1885/ и A.M. Ляпунова /Ляпунов, 1892/. Заметим, что знак ляпуновской величины характеризует закрутку/раскрутку решений системы в малой окрестности состояния равновесия и устойчивость/неустойчивость критического состояния равновесия.

Как было замечено выше, развитие методов вычисления и анализа ляпуновских величин стимулировалось как чисто математическими проблемами (такими, как задача различения центра и фокуса, задача определения цикличности фокуса, анализ устойчивости динамических систем, а также знаменитая 16-ая проблема Гильберта), так и прикладными инженерными задачами (такими, как исследование границ области устойчивости и возбуждения колебаний).

Заметим, что задачей символьного вычисления ляпуновских величин, то есть поиском символьных выражений ляпуновских величин в терминах

коэффициентов правых частей рассматриваемой динамической системы, ученые начали заниматься еще в первой половине прошлого века. Однако, существенное продвижение в изучении ляпуновских величин стало возможным только в последнее десятилетие благодаря применению современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений. Так, символьные выражения для первой и второй ляпуновских величин были получены в 40-50 - е годы прошлого века /Баутин, 1949/, /Серебрякова, 1959/, в то время, как выражение для третьей ляпуновской величины в общем виде было впервые вычислено только в 2008 году /Леонов и др., 2008/, а выражение для четвертой ляпуновской величины - в 2009 году автором данной работы. Получение выражений для третьей и четвертой величин стало возможным благодаря развитию аналитических методов вычисления ляпуновских величин, реализации эффективных алгоритмов на их основе и применению современных методов компьютерных вычислений.

В настоящее время существует несколько методов нахождения ляпуновских величин и их компьютерных реализаций, которые позволяют определять ляпуновские величины в виде символьных выражений, зависящих от коэффициентов разложения правых частей уравнений системы. Эти методы различаются по сложности реализации алгоритмов, пространству, в котором проводятся вычисления, и компактности получаемых символьных выражений /Малкин, 1966, Chow к, Hale, 1982/, /Gasuli & Prohens, 1997, Li, 2003, Chavarriga к Grau, 2003/, /Lynch, 2005, Dumortier et al, 2006, Christopher & Li, 2007, Gine, 2007/, /Yu & Chen, 2008/.

Первый метод нахождения ляпуновских величин был предложен в работах /Ротсаге, 1885/ и /Ляпунов, 1892/. Этот метод основывается на последовательном построении функции Ляпунова на основе интеграла линейной части системы. Он изложен ниже (см. "Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова").

В дальнейшем были разработаны различные методы вычисления ляпуновских величин, использующие приведение системы к нормальным формам /Уи, 1998,1л, 2003/. Однако при реализации этих методов возникают сложности, связанные с неоднозначностью процесса построения нормальной формы системы.

Другой подход к вычислению ляпуновских величин связан с нахождением приближений решения системы. Так, в работе /Ляпунов, 1892/ используется переход к полярным координатам и процедура последовательного построения приближений решения.

В работах /Kuznetsov & Ьеопоу, 20081, Кигпе180У & Ьеопоу, 20082, Ьеопоу а1, 2008/ был предложен новый метод вычисления ляпуновских величин, основанный на построении приближений решения (в виде конечной суммы по степеням начального данного) в исходной евклидовой системе координат и во временной области. Преимуществом данного метода является идеологическая простота и наглядность. Этот подход также может применяться для решения задачи определения изохронного центра /БаБаМт & СЬауап^а, 1999/, так как позволяет найти приближение времени "оборота" траектории в зависимости от начальных данных. Этот метод изложен ниже (см. "Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области").

Часто для упрощения алгоритма вычисления и конечных выражений ляпуновских величин используются различные модификации рассмотренных выше методов, связанные с преобразованием системы к комплексным переменным /Щуко, 1968, Gasull et ah, 1997, Li, 2003/, /Yu & Chen, 2008/. Так, на основе модификации для комплексной области метода построения функции Ляпунова в 1968 году была разработана, по-видимому, первая компьютерная программа вычисления ляпуновских величин /Щуко, 1968/.

Отметим, что вычисление символьных выражений ляпуновских величин может быть также сведено к применению рекуррентных формул /Lynch, 2005/, использованию алгебраических методов построения и исследования специальных полиномов /Romanovskii, 1996/.

1.2. Ляпуновские величины

Рассмотрим достаточно гладкую двумерную систему

^ = ^ = (1.1)

где ^(0, 0) = бг(0, 0) = 0 (т.е. точка (0, 0) является стационарной точкой системы). Запишем систему (1.1) в виде

% №

— = д10х + д01у + д{х, у),

где разложение функций / и д начинается с членов не ниже второго порядка.

Будем предполагать, что в открытой окрестности и радиуса Яц точки (х,у) = (0,0) правая часть системы имеет непрерывные частные производные п-го порядка

/(•,•),<?(•,•): К х Ж Ж еСп(и) (1.3)

и выполнено представление

п

Нх,у)= £ 1к^кУ3 + о((\х\ + \у\Т)=и(х,у) + о((\х\ + \у\Г),

кТ (1.4)

д(х,у) = ^ 9к^У* + о{(\х\ + \у\)п)=дп(х,у) + о((\х\ + \у\)п).

к+з=2

Рассмотрим матрицу первого приближения системы в нулевой стационарной точке

^(0,0)

^ fio foi ^ дю goi )

(1.5)

и, введя обозначения

о = ТгЛ(0)0) = fio + 0оъ д = det A{0fl) = f1Qg01 - /01^10, запишем ее собственные числа

а . а2

Ai'2 = _2±VT~A'

Пусть матрица А(0,о) первого приближения системы имеет два чисто мнимых собственных числа (т.е. <т = 0иД>0).В этом случае, не умаляя общности (т.е. существует неособая линейная замена переменных), можно считать, что

fio = 0, /oí = -1, дю = 1, 001 = 0

Ь,2к+1 . /I 2к+К

кИ +о(И )

Рис. 1.1. а) Центр Ь) Фокус: определение ляпуновской величины.

и рассматривать систему

И/г

= х + д(х,у). Здесь в системе первого приближения

й-у

(Iх <И

(1.6)

с1х

-У,

(й

х

(1.7)

системы (1.6) собственные числа матрицы правой части равны ±г и все траектории системы первого приближения являются замкнутыми, а стационарная точка (0, 0) называется центром (Рис. 1.1, а). Для исследования влияния нелинейных членов /(гг, у) и д(х,у) на поведение траекторий системы (1.6) в малой окрестности стационарной точки рассмотрим, следуя методу Пуанкаре, пересечение траектории системы (1.6) с прямой х = 0.

Выпустим в момент времени £ = 0 из точки (0, К) (к - достаточно

малое) траекторию К), у(Ь, К))

(х(0,к),у(0,к)) = (0, /г) (1.8)

и обозначим через Т(К) время оборота траектории — время до следующего пересечения траектории с прямой х = 0 (для достаточно малых /г такое время существует и конечно, так как правые части систем (1.6) и (1.7) отличаются на о(|ж| + \у\) в окрестности нуля). Тогда

х{Т{Н),Ь) = О,

а у(Т(Ь),К) можно последовательно приближать отрезком ряда по степеням К

у(Т(Ь),Ь) = к + Ь2к2 + Ь3к3 + ... (1.9)

Здесь первый ненулевой коэффициент Ьт называется ляпуновской величиной, определяет устойчивость или неустойчивость стационарной точки и характеризует закрутку/раскрутку траектории (Рис. 1.1, Ь). Можно показать /Ляпунов, 1892/, что первый ненулевой коэффициент будет обязательно иметь нечетный номер т = (2&+1). Значение Ь2к+\ называют к-ой ляпуновской величиной

= 1>2к+11

а состояние равновесия — слабым фокусом к-то порядка.

Аналогично вводится понятие ляпуновской величины и для комплексных собственных чисел матрицы первого приближения (1.5) в случае а т^ 0. В этом случае вводится понятие нулевой ляпуновской величины Ьо = Ь\

у{Т(Ь),Ь) = {1 + Ъ1)Ь, + о{Ь),

которая характеризует экспоненциальный рост решений системы (аналогично ляпуновским экспонентам или характеристическим показателям, см. /Демидович, 1967, Демидович, 1969, Leonov & Kuznetsov, 2007/), обусловленный вещественными частями собственных чисел.

Отметим, что, следуя работе A.M. Ляпунова /Ляпунов, 1892/, аналогичную процедуру исследования устойчивости можно проводить и для систем большей размерности (в случае, когда у линейной системы два чисто мнимых корня и остальные отрицательные). Некоторые результаты по вычислению ляпуновских величин для систем большей размерности, содержатся, например, в /Баутин, 1949/.

1.3. Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова

Следуя классическим работам /Poincare, 1885, Ляпунов, 1892/, рассмотрим метод вычисления ляпуновских величин, основанный на построении функции Ляпунова V(x,y) для системы (1.6). Ниже представлены 2 модификации этого метода (в исходном (евклидовом) пространстве и в комплексном пространстве).

1.3.1. Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве

Будем искать в окрестности нулевого состояния функцию Ляпунова У(х,у) в виде

т2 -4- 112

У(х, у) = —р- + Щх, у) + ... + Уп+1(х, у), (1.10)

з? + у2

где У2{х^у) =-и Ук(х,у) — однородные полиномы

Ук(х,у) = УихУ, /с = 3,..., п + 1

с неизвестными коэффициентами ¿^о- Заметим, что 2/)

является интегралом первого приближения системы

с1х ¿у

~г — -V, ~г — дьЬ У' &

так как

ЩХ,У) = д-^(-у) + ^Х = *(-„) + у, = 0. Для производной У(х,у) в силу системы (1.6) имеем

к+з=2 ^ А; 4-^=2

+ 0((М + МГ1).

Обозначая в получившемся выражении однородные члены порядка к через ]¥к(х,у) и учитывая, что

у) = х/{х, у) + уд(х, у) = о((|ж| + \у\)2),

получим

У{х, у) = 1У3(х,у) + ... + \¥п+1(х, у) + о((\х\ + |у|Г+1) =

= ^(х, у) + о((\х\ + \у\)п+1) ■

Здесь выражение Ws(x, у) зависит только от неизвестных коэффициентов формы V3 и притом линейно. Следуя работе /Ляпунов, 1892/, из равенства

W3(x,y)= 0

всегда можно выразить коэффициенты формы V3 через коэффициенты разложения функций / и д. А приравняв W4(x, у) полиному w4(x2 + у2)2, где ги4 - неизвестный коэффициент:

W4{x,y) = w4(x2 + y2)2,

через коэффициенты функций / и д всегда могут быть выражены коэффициенты формы V4 и w4. При этом, если w4 = 0, продолжаем указанную процедуру для к = 5,... , решая последовательно уравнения Wk(x, у) = 0 для к = 2р + 1 и Wk(x, у) = Wk(x2 + y2)v для к = 2р. Если для некоторого к = 2р* < п + 1 выполнено Wk{x,y) ф 0, то величина 2irw2p* в точности равна (р* — 1)-ой ляпуновской величине /Frommer, 1928/ системы (1.6).

В Приложении 1 приведены вычислительный алгоритм, основанный на выше описанном методе определения ляпуновских величин, и программный код, позволяющий реализовать необходимые вычисления.

1.3.2. Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве

Известной модификацией описанного выше метода является переход к комплексным переменным /Щуко, 1968/. В этом случае сначала делает-

ся замена вещественных переменных (х, у) комплексными переменными (и, у). После чего метод практически повторяет описанный выше. Надо заметить, однако, что при работе с комплексными переменными часто возможна работа с более простыми символьными выражениями, чем в случае исходных переменных, что может сократить время, необходимое для вычисления ляпуновских величин.

В системе (1.6) сделаем следующую замену переменных:

х + гу х-гу

(1-И)

тогда система примет вид

&и ?/ \

— = ги + 1{и,у),

(1У .

— = -1у + д(щу)

с гладкими комплекснозначными функциями / и д вида

п

к+]=2 п

к+]=2

(1.12)

(1.13)

Будем искать в окрестности нулевого состояния функцию Ляпунова У(и, у) в виде

У(и, у)=иу + У3(щ у) + ... + Уп+1(и, у), (1.14)

где Ук{и,у) — однородные полиномы

Ук{и,у) = Ц,зи1ь3, к = 3, ...,п+ 1

с неизвестными коэффициентами {Уг,]}г+з=к, ¿,^>0 £ С.

Заметим, что uv является интегралом первого приближения системы

du dv

так как

d(uv] d(uv)

ОuvУ = —тг— (iu) + (~iv) = v(iu) + u(-iv) = 0. ¿ra ov

Для производной V(u,v) в силу системы (1.12) имеем + o((M + M)"+1).

Обозначая в получившемся выражении однородные члены порядка /с через W^w, г») и учитывая, что (ш;)' = vf(u, v) + ug(ií, г>) = o((M + |г>|)2), получим

V{u,v) = Wz(u, v) + ... + Wn+l{u,v) + o((M + M)n+1) = = V{u,v) + o({\u\ + \v\)n+l).

Здесь выражение W3(и, v) зависит только от неизвестных коэффициентов формы V¡ и притом линейно. Следуя работе /Щуко, 1968/, из равенства

W3(u,v) = 0

всегда можно выразить коэффициенты формы V3 через коэффициенты разложения функций / и д. А приравняв W±{u,v) полиному w^iuv)2, где w4 - неизвестный коэффициент:

W±(u,v) = W4 (uv)2,

через коэффициенты функций / и д всегда могут быть выражены коэффициенты формы V4 и w4.

Далее алгоритм полностью повторяет описанный выше (для метода Пуанкаре-Ляпунова в исходных координатах). Если для некоторого к = 2р* < п + 1 Wk(x,y) ф 0, величина 2irw2P* равна (р* — 1)-ой ляпуновской величине /Frommer, 1928/ системы (1.12), а значит, и системы (1.6).

Заметим, что вид W±(u,v) (а также Wq,Ws, ...) аналогичен тому, который был рассмотрен ранее при описании метода Пуанкаре-Ляпунова в исходных координатах, так как в силу (1.11) имеем

х2 + у2 = uv.

В Приложении 2 приведены вычислительный алгоритм, основанный на выше описанном методе определения ляпуновских величин, и программный код, позволяющий реализовать необходимые вычисления.

1.4. Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области

Следуя работе /Леонов и др., 2008/, вместо выполнения условия (1.3) потребуем усиленного условия

/(.,•),£(•, оес^ао, (1.15)

где II - открытая окрестность радиуса Яи точки (х, у) = (0, 0).

Для достаточно малых /г решение системы может быть представлено

в виде

п

х{г,К) = ял» (£,/&) +о(/гп) = ^2хНк(г)1ък + о(кп),

(1-16)

К) = уНп(г, К) + о{Нп) = £ + о(кп),

к=1

где о(/гп) — равномерно ограниченная по £ функция в для достаточно малых Н. Здесь для определения коэффициентов Х},к (£). у^к (/;) необходимо подставить рассмотренное представление решения в систему, и последовательно проинтегрировать получившиеся дифференциальные уравнения при соответствующих степенях Н.

Время Т(К) первого пересечения решения (х{Ь, /г), /г.)) с полупрямой {ж = 0, у > 0} может быть представлено в виде

Т{К) = 2тг +ДГ(/г),

где АТ(Н) = £ Г*Л* + о(Л») иТ^

/с—1

Рассматривая (1.16) при Ь = Т{К) можно последовательно определить коэффициенты Т^ из равенства

х(Т(К),Ь) = 0. (1.17)

Определив время пересечения Т{К) и рассматривая представление

п

З/(Т(Л),Л) = ^зль/1* + 0(Лп).

к=1

можно последовательно определить коэффициенты у к.

Если Ук = 0 для к = 2,.., 2т, то г/2т+1 является ш-ой ляпуновской величиной Ьт.

В Приложении 3 приведены вычислительный алгоритм, основанный на выше описанном методе определения ляпуновских величин, и программный код, позволяющий реализовать необходимые вычисления.

1.5. Символьные выражения ляпуновских величин

Выше описаны основные методы вычисления символьных выражений ляпуновских величин. Заметим, что, несмотря на существование эффективных алгоритмов, вычисляющих эти выражения, задача определения ляпуновских величин далека от решения в общем случае. Здесь необходимо отметить как вычислительную сложность определения ляпуновских величин для систем высоких порядков, так и проблему независимого зануления п первых ляпуновских величин (см., например, /Romanovskii, 1993/), необходимого для определения (п+1)-ой величины.

Ниже приведены некоторые выражения ляпуновских величин (для общего вида полиномиальных систем, для систем Льенара и квадратичных систем), полученные в работе. Заметим, что вычисление этих величин двумя различными методами (классическим методом Пуанкаре-Ляпунова и методом вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области) с привлечением современных программных средств символьных вычислений позволяет убедиться в правильности полученных здесь формул.

1.5.1. Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем

В работе были повторены результаты для символьных выражений Li и L2, полученных в общем виде в 40-50 -е годы прошлого века соответственно H.H. Баутиным /Баутин, 1949/ и H.H. Серебряковой /Серебрякова, 1959/. А также был повторен результат для символьного

выражения L3, полученного в 2008 году /Kuznetsov к Leonov, 20081/, /Kuznetsov & Leonov, 20082, Leonov et ah, 2008/ и занимающего 3 страницы.

В рамках данной работы для системы вида (1.6) с помощью алгоритмов, основанных на методе Пуанкаре-Ляпунова и на методе вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области, а также с помощью вычислительного пакета "Matlab" была вычислена четвертая ляпуновская величина в общем виде

U = ^^(106920g3ogo2fn92o9i3 + - - 42525/зо/то + 78975/3O0i6),

выражение для которой занимает более 45 страниц, поэтому не приведено

в работе (полное выражение см. в интернете по адресу

http : //sites.google.com/site/okuznetsovamath/home/4lyapqu.pdf).

1.5.2. Метод сведения квадратичных систем к системам Лье-нара

Оказывается, что большой класс полиномиальных систем (включающий квадратичные системы) может быть сведен к виду систем Льенара (определяется ниже), изучение ляпуновских величин для которых оказывается более простой задачей /Чжан, 1958, Blows к Lloyd, 19842/, /Christopher к Lloyd, 1996, Dumortier к Li, 1996/, /Christopher к Lynch, 1999, Han, 1999, Lynch, 2005/.

Ниже описана процедура, позволяющая привести квадратичную систему к системе Льенара. Затем будут приведены символьные выражения ляпуновских величин, полученные в терминах системы Льенара, а также

выписаны выражения трех ляиуновских величин в терминах исходной квадратичной системы.

Двумерная квадратичная система может быть записана в виде

^ = а\х2 + Ъ\ху + сху2 + а\х + (Згу, % (1Д8>

— = а2х2 + Ь2ху + с2у2 + а2х + (32у, аЬ

где а^, bj,Cj, а^ вещественные числа.

Система (1.18) может быть сведена к более удобному виду. Используем для этого следующие простые утверждения.

Предположение 1. Не умаляя общности, можно считать, что с\ = 0.

Для доказательства этого предположения представим линейную замену переменных х —> х + иу, у —> у. Здесь V - вещественное решение уравнения

-а2и* + (аг - Ь2)1у2 + (¿1 - с2)р + сх = 0. (1.19)

Заметим, что уравнение всегда имеет вещественное решение, если а2 ф 0.

Если а2 — 0, после замены переменных х —» у, у —» х получим с\ = 0, утверждение предположения доказано.

Предположение 2. Пусть с\ = 0, ¡3\ ф 0. Тогда, не умаляя общности, можно считать, что а\ = 0.

Доказательство утверждения основано на использовании следующей линейной замены переменных: х —» х, у у — а\х/(3\.

Предположение 3. Пусть с\ — 0, а\ = 0, а\ ф 0, Ъ\ф 0, (5\ Ф 0. Тогда, не умаляя общности, можно считать, что с\ = а\ = 0, а\ = Ъ\ = ¡3\ = 1.

Доказательство утверждения основано на линейной замене переменных

Pi aiPi &i

Ж —X, у -»• -Гп-У, t -z-t. b\ of а\р\

Будем предполагать в дальнейшем, что ci = ai = 0, ai = bi= (3i = 1, с2 ф 0, с2 ф -1, с2 ф Ъ2 - а2.

Тогда вместо системы (1.18) будем рассматривать систему

doc о

— = х +ху + у,

dy (L20)

— = а2х2 + b2xy + с2у2 + + fay-at

Докажем теперь следующее Предположение 4. Полуплоскость

Г = {ж > -1, у G Я1} положительно инвариантна относительно системы (1.20).

Это утверждение вытекает из того факта, что для x(t) = — 1 выпол-

LLJ^ I L> J / \0 -л

нено условие — x(t) = 1.

Учитывая данные выше предположения, можно утверждать, что, с помощью следующей замены переменных

2

X

(у + —гт)\х + 1\я^у, х^х, q = —с2, (1.21)

ж + 1

система (1.20) может быть сведена к системе Льенара /Черкас, 1976, Leonov, 1997, Leonov, 1998/

f = y, § = -/(*)»-,(*) (1.22)

с функциями

¡(х) = (А1х2 + А2х + А3)\х^1^~2,

I м

д{х) = {ВгхА + В2х3 + В3х2 + ВАху з .

Здесь для коэффициентов А{,В{ имеем

Ах = -&2 + 2С2 - 1, А2 — —2 — Ъ2 — /32, А3 = -(32, =-а2 + 62-с2, 52 = -2а2 + 62 - а2 + /?2, = -а2 - 2а2 + В4 = -а2.

Легко увидеть, что система, полученная в результате преобразования системы (1.22) обратного к преобразованию (1.21) представима в виде

Согласно Предположению 4, эта система эквивалентна системе (1.20) слева и справа от прямой {х = —1}. Исследование качественного поведения решений системы (1.22) позволяет получить условия существования предельных циклов системы (1.20).

1.5.3. Ляпуновские величины для систем Льенара

В работе повторены результаты, полученные для выражений первых четырех ляпуновских величин системы Льенара /Леонов и др., 2008, Кузнецова, 2010/, а также впервые получены значения для пятой, шестой и седьмой ляпуновских величин системы Льенара, символьные выражения которых и алгоритмы вычисления в пакете "МаШЬ" приведены ниже.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кузнецова, Ольга Александровна

Выводы. Таким образом, были проверены все возможные отклонения от набора коэффициентов а2 = —10, Ь2 = 2, с2 = 0.4, а2 = —1950, (32 = 0.13. по каждому из пяти коэффициентов при фиксации остальных коэффициентов. а1 =1 ;Ы =1 ;с1 =0;сс1=0;Р1=1; а2=-10;Ь2=1.96;с2=0.4;а2=-1950;Р2=0.13 а1=1;Ы=1;с1=0;а1=0;Р1=1;а2=-10;Ь2=1.97;с2=0.4даг=-1950;Рг=0.13 а1=1;Ы=1;о1=0;а =0;Р =1;а2=-10;Ь2=2.01;с2=0.4да2=-1950;Рг=0.13

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 а1=1;Ь1=1 ;с1 =0;а1=0;|31=1; а2=-10;Ь2=2.02;с2=0.4;а2=-1950;Р2=0.13

600

-50 0 50 100 150 200 250

Рис. 2.21. "Танец циклов" при изменении коэффициента Ь2.

Рис. 2.22. "Танец циклов" при изменении коэффициента

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ольга Александровна, 2010 год

Литература

[Амелькин и др., 1982] Амелькин В.В., Лукашевич H.A., Садовский А.П. [1982] Нелинейные колебания в системах второго порядка// Минск. Изд-во Белорус, ун-та.

[Амелькин & Садовский, 1982] Амелькин В.В., Садовский А.П. [1982] Математические модели и дифференциальные уравнения// Минск. Изд-во "Вышэйшая школа".

[Андреев, 2003] Андреев А.Ф. [2003] Введение в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений// С-Петербург. Изд-во С.-Петербургского ун-та.

[Андронов и др., 1959] Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин, С. Е. [1959] Теория колебаний// Москва. Физматгиз.

[Андронов & Леонтович, 1956] Андронов А. А., Леонтович Е. А. [1956] Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла// Математический сборник. № 40(82). С. 179-224.

[Андронов и др., 1966] Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. [1966] Качественная теория динамических систем второго порядка// Москва. Наука.

[Арнольд, 2005] Арнольд В.И. [2005] Экспериментальная математика// Москва. Фазиис.

[Баутин, 1939] Баутин H.H. [1939] Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл// ЖТФ. № 9.

[Баутин, 1949] Баутин H.H. [1949] Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивостию// Ленинград. ОГИЗ: Гос-техиздат.

[Баутин, 1952] Баутин H.H. [1952] О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр// Мат. Сборник (Н.С.) Т. 30(72). Вып. 1. С. 181-196.

[Баутин к, Леонтович, 1976] Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. [1976] Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости// Москва. Наука.

[Виноградов & Осипов, 1987] Виноградов В.В., Осипов A.B. [1987] О предельных циклах одной двумерной системы// Ред. журн. "Вести. Ленингр. ун-та". Деп. в ВИНИТИ. № 11160-В87.

[Демидович, 1967] Демидович Б. П. [1967] Лекции по математической теории устойчивости// Москва. Наука.

[Демидович, 1969] Демидович В. Б. [1969] Об одном признаке устойчивости разностных уравнений// Дифференциальные уравнения. № 5(7). С. 1247-1255.

[Ильяшенко, 1985] Ильяшенко Ю.С. [1985] Мемуар Дюлака "О предельных цклах" и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. Т. 40. Вып. 6. С. 41-78.

[Колмогоров, 1972] Колмогоров А.Н. [1972] Качественное изучение математических моделей динамики популяций// Проблемы кибернетики. Вып. 25. С. 100-106.

[Кузнецова, 2010] Кузнецова O.A. [2010] Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара// Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 10. Вып. 4. С. 25-29.

[Кузнецова, 2010] Кузнецова O.A. [2010] Вычисление ляпуновских величин и существование предельных циклов// Труды XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. С. 229.

[Леонов, 2006] Леонов Г.А [2006] Теория управления// СПб. Изд-во Санкт-Петерб. ун-та.

[Леонов и др., 2008] Леонов Г.А, Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В. [2008] Циклы двумерных систем. Компьютерные вычисления, доказательства, эксперименты// Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1. № 3. С. 25-61.

[Леонов, 2009] Леонов Г. А. [2009] Предельные циклы уравнения Льенара с разрывными коэффициентами// Доклады Академии наук. Серия "Механика". № 426(1). С. 47-50.

[Леонов & Кузнецова, 2009] Леонов Г.А., Кузнецова O.A. [2009] Вычисление первых пяти ляпуновских величин для системы Льенара// Доклады академии наук. Том 425. JYa 1. С. 45-47.

[Леонов, 20103] Леонов Г. А. [2010] Необходимые и достаточные условия ограниченности решений двумерных квадратичных систем в положительно инвариантной полуплоскости// Доклады академии наук. Серия "Математика". № 430(2). С. 157-159.

[Ляпунов, 1892] Ляпунов A.M. [1892] Общая задача об устойчивости движения// Харьков.

[Малкин, 1966] Малкин И.Г. [1966] Теория устойчивости движения// Москва. Наука.

[Петровский, 1970] Петровский И.Г. [1970] Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений// Москва. Наука.

[Петровский & Ландис, 1957] Петровский И.Г., Ландис Е.М. [1957] О числе предельных циклов уравнения dy/dx = Р (х, y)/Q(x, у), где Р и Q - полиномы// Матем. сб. № 43(85). С. 149-168.

[Петровский к, Ландис, 1959] Петровский И.Г., Ландис Е.М. [1959] Поправки к статьям "О числе предельных циклов уравнения dy/dx = Р (х, y)/Q(x, у), где Р и Q - полиномы// Матем. сб. № 48(90). С. 255-263.

[Садовский, 1997] Садовский А.П. [1997] Решение проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний// Дифферент уравнения. Т. 33. № 2. С. 236-244.

[Серебрякова, 1959] Серебрякова, H.H. [1959] О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где "безопасная" граница переходит в "опасную"// Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. № 2. С. 178182.

[Черкас, 1973] Черкас JI.A. [1973] О циклах уравнения у' = Q2{x) у)/Р2(х. у)// Дифференциальные уравнения. Т. 9. JYS 3. С. 1422-1437.

[Черкас, 1976] Черкасс JI. А. [1976] Число предельных циклов автономной системы второго порядка// Дифференциальные уравнения. № 5. С. 666-668.

[Чжан, 1958] Чжан Чжи-Фэн [1958] Условие единственности предельного цикла для уравнения Льенара// Докл. АН СССР. Т. 119. Вып. 4. С. 659-663.

[Щуко, 1968] Щуко С. Д. [1968] Вычисление ляпуновских величин на ЭВЦМ// Труды Горьковского инст. инж. водного транспорта. JYe 94. С. 97-109.

[Alwash, 1998] Alwash М.А.М [1998] Computing the Poincare-Liapunov constants// Diff. Eqns. Dyn. Syst. 1998. № 6(3). P. 349-361.

[Andrianova, 1998] Adrianova L.Ya. [1998] Introduction to Linear systems of Differential Equations// American Mathematical Society. Providence. Rhode Island.

[Anishchenko et al., 2002] Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadivasova T.E. & Schimansky-Geier L. [2002] Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems// Springer. New York.

[Anosov et al.,1997] Anosov D. V., Aranson S. Kh., Arnold V. I., Bronshtein I. U., Grines V. Z., and Il'yashenko Yu. S. [1997]. Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems// Springer. New York.

[Arnold, 1983] Arnold V.I. [1983] Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations// Springer. New York.

[Arnold et al., 1994] Arnold V.I., Afraimovich V.S., Ilyashenko Yu.S. & Shilnikov L.P. [1994] Bifurcation Theory// Dynamical Systems. Vol. 5. NY. Springer-Verlag.

[Artes & Llibre, 1997] Artes J. C., Llibre J. [1997] Quadratic Vector Fields with a Weak Focus of Third Order// Publications Mathématiques. № 41. P. 7-39.

[Artes et al., 2006] Artes J. C., Llibre J., Schlomiuk D.[2006]. The geometry of quadratic differential systems with a weak focus of second order// International Journal of Bifurcation and Chaos. Na 16(11). P. 3127-3194.

[Blows & Lloyd, 19841] Blows T.R. k Lloyd N.G. [1984] The number of limit cycles of certain polynomial differential equations// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect, № A98. P. 215-239.

[Blows k Lloyd, 19842] Blows T.R. k Lloyd N.G. [1984] The number of small-amplitude limit cycles of Lienard equations// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. № 95. P. 359-366.

[Blows & Rousseau, 1993] Blows T. R. and Rousseau C. [1993] Bifurcation at infinity in polynomial vector fields// J. Differen. Eqn. № 104. P. 215242.

[Blows & Perko, 1994] Blows T. R. and Perko L. M. [1994]. Bifurcation of limit cycles from centers and separatrix cycles of planar analytic systems// SIAM review. № 36(3). P. 341-376.

[Cesari, 1959] Cesari L. [1959] Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations// Springer. Berlin.

[Chavarriga &; Grau, 2003] Chavarriga J., Grau M. [2003] Some open problems related to 16th Hilbert problem// Sci. Ser. A Math. Sci. N.S. № 9. P. 1-26.

[Chen & Wang, 1979] Chen L. S. and Wang M. S. [1979] The relative position and number of limit cycles of the quadratic differential systems// Acta Math. Sinica. № 22. P. 751-758.

[Cherkas et al, 2003] Cherkas L. A., Artes J. C., and Llibre J. [2003] Quadratic systems with limit cycles of normal size// Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. № 41(1). P. 3146.

[Chicone, 1999] Chicone C. [1999] Ordinary Differential Equations with Applications// Springer-Verlag. NY.

[Chow & Hale, 1982] Chow S.N. & Hale J.K. [1982] Methods of Bifurcation Theory// Springer-Verlag. NY.

[Christopher k Li, 2007] Christopher C. k Li Ch. [2007] Limit cycles of differential equations. Advanced Courses in Mathematics// Birkhauser Verlag. CRM Barcelona. Basel.

[Christopher, Lloyd k Pearson, 1995] Christopher C.J., Lloyd N.G., Pearson J.M. [1995] On Cherkas's method for centre conditions// Nonlinear World. № 2. P. 459-469.

[Christopher k Lloyd, 1996] Christopher C., Lloyd N. [1996] Small-amplitude limit cycles in polynomial Lienard systems// NoDEA : Nonlinear Differential Equations and Applications. Vol. 3. № 2. P. 183190.

[Christopher k Lynch, 1999] Christopher C.J. k Lynch S. [1999] Small-amplitude limit cycles bifurcations for Lienard systems with quadratic or cubic damping or restoring forces //Nonlinearity. № 12. P. 1099-1112.

[Davies k James, 1966] Davies, T.V. k James, E.M. [1966] Nonlinear differential equations// Addison-Wesley.

[Dumortier k Li, 1996] Dumortier F. k Li C. [1996] On the uniqueness of limit cycles surrounding one or more singularities for Lienard equations// Nonlinearity. № 9. P. 1489-1500.

[Dumortier et al, 2006] Dumortier F., Llibre J., and Artes J. [2006)] Qualitative Theory of Planar Differential Systems// Springer.

[Frommer, 1928] Frommer M. [1928] Die Integralkurven einer gewonlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen // Math Annalen. Bd. № 99. P. 222-272.

[Gaiko, 1997] Gaiko V.A. [1997] Qualitative theory of two-dimensional polynomial dynamical systems: problem, approaches, conjectures// Nonlin. Anal. 1997. № 30. P. 1385-1394.

[Gasull et al, 1997] Gasull A., Guillamon A., and Manosa V. [1997] An explicit expression of the first Liapunov and period constants with applications// J. Math. Anal. Appl. № 211. P. 190-212.

[Gasull k Prohens, 1997] Gasull A. k Prohens R. [1997] Effective computation of the first Liapunov quantities for a planar differential equation// Appl. Math. № 24(3). P. 243-250.

[Gine, 2007] Gine J. [2007] On some problems in planar differential systems and Hilbert's 16th problem// Chaos, Solutions and Fractals. Vol. 31. P. 1118-1134.

[Han, 1999] Han M. [1999] Liapunov constants and Hopf cyclicity of Lienard systems// Ann. Diff. Eqns. № 15(2). P. 113-126.

[Jones et al., 2010] Jones D.S., Plank M.J., Sleeman B.D. [2010] Differential Equations And Mathematical Biology// CRC Press. London.

[Kudryashova et al., 2008] Kudryashova E.V., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmaki P. [2008] Large cycles in a series of computer experiments// Abstracts of Int. conference "Space, astronomy and programming". P. 81.

[Kuznetsova k Leonov, 20101] Kuznetsova O. A., Leonov G. A. [2010] Localization of limit cycles in two-dimensional dynamical systems//

Proceedings of the Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control. Hangzhou. P. 249-250.

[Kuznetsova &; Leonov, 20102] Kuznetsova O.A., Leonov G.A. [2010] Computation of Lyapunov quantities and limit cycles// Proceedings of IFAC Workshop "Periodic Control Systems". Antalya. P. 8.

[Kuznetsov, 2008] Kuznetsov N. V. [2008]. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory and Applications// Jyvaskyla University Printing House.

[Kuznetsov & Leonov, 20081] Kuznetsov N. V. and Leonov G. A. [2008] Computation of Lyapunov quantities// 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference. http://lib.physcon.ru/?item=1802.

[Kuznetsov k Leonov, 20082] Kuznetsov N. V. and Leonov G. A. [2008] Lyapunov quantities, limit cycles and strange behavior of trajectories in two-dimensional quadratic systems// Journal of Vibroengineering. № 10(4). P. 460-467.

[Lefschetz, 1957] Lefschetz S. [1957] Differential Equations: Geometric Theory// Interscience Publishers. New York.

[Leonov, 1997] Leonov G.A. [1997] Two-Dimensional Quadratic Systems as a Lienard Equation // Differential Equations and Dynamical Systems. Vol. 5. № 3/4. P. 289-297.

[Leonov, 1998] Leonov G. A. [1998] The problem of estimation of the number of cycles of two-dimensional quadratic systems from nonlinear mechanics point of view// Ukr. Math. J. № 50(1). P. 48-57.

[Leonov & Kuznetsov, 2007] Leonov G.A. and Kuznetsov N.V. [2007] Time-Varying Linearization and Perron effects// International journal of bifurcation and chaos. Vol. 17. Iss. 4. P. 1-29.

[Leonov et al., 2008] G. Leonov, S. Seledzhi, A. Fyodorov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova [2008] Analytical-Numerical analysis methods of control systems //Proceedings of the 23rd IAR workshop on advanced control and diagnosis. P. 287-291.

[Leonov et al., 2009] G. Leonov, S. Seledzhi, O. Kuznetsova, A. Fyodorov, E. Kudryashova [2009] Periodical oscillations of control systems. Analytical and numerical approach. //Proceedings MATHMOD 09. Vienna. P. 416-427.

[Leonov, 20101] Leonov G. A. [2010] Effective methods for investigation of limit cycles in dynamical systems// Applied Mathematics and Mechanics. № 74(1). P. 37-73.

[Leonov, 20102] Leonov G. A. [2010] The criteria of four cycles existence in quadratic systems// Applied Mathematics and Mechanics. № 74(2). P. 191-202.

[Leonov, 20102] Leonov G. A., Kuznetsova O. A. [2010] Lyapunov Quantities and Limit Cycles of Two-dimensional Dynamical Systems. Analytical Methods and Symbolic Computation// Regular and Chaotic Dynamics. Vol. 15. № 2-3. P. 356-379.

[Li, 2003] Li J. [2003] Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector fields// Int. J. Bifurcation Chaos. JV^ 13. P. 47-106.

[Lloyd, 1988] Lloyd N. G. [1988] Limit cycles of polynomial systems - some recent developments// New Direction in Dynamical Systems. Cambridge University Press. P. 192-234.

[Lloyd & Pearson, 1990] Lloyd N.G. & Pearson J. [1990] Reduce and the bifurcation of limit cycles// Journal of Symbolic Computation. Vol. 9. Is. 2. P. 215-224.

[Lloyd & Pearson, 1997] Lloyd N. G., Pearson J. [1997] Five limit cycles for a simple cubic system// Publicacions Matem'atiques. № 41. P. 199-208.

[Lynch, 2001] Lynch S. [2001] Dynamical Systems with Applications Using MAPLE// Springer.

[Lynch, 2005] Lynch S. [2005] Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem// Chapter in the book Differential Equations with Symbolic Computations. P. 1-26.

[Mark Kot, 2001] Mark Kot [2001] Elements of Mathematical Ecology// Cambridge University Press.

[Marsden & McCracken, 1976] Marsden J. and McCracken M. [1976] Hopf bifurcation and its applications// Springer. New York.

[May, 1976] May R.M. [1976] Simple mathematical models with very complicated dynamics// Journal of Theoretical Biology. JV2 51. P. 511524.

[Murray, 2003] Murray J.D. [2003] Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications// Springer-Verlag. New York. LLC.

[Perko, 1990] Perko L.M. [1990] Global families of limit cycles of planar analytic systems// Amer. Math. Soc. Vol. 322. P. 627-656.

[Perko, 1991] Perko L.M. [1991] Differential Equations and Dynamical Systems// Springer-Verlag. NY.

[Poincare, 1885] Poincare H. [1885] Memoire sur les courbes definies par lesequations diffeentielles// J. de. Mathematiques Pures et Appliquees. № 4. Vol. 1. P. 167-244.

[Reyn, 1994] Reyn J. W. [1994]. A bibliography of the qualitative theory of quadratic systems of differential equations in the plane. Third edition// Report 94-02. Delft University of Technology.

[Rockwood, 2006] Rockwood L.L. [2006] Introduction to Population Ecology// Blackwell Publishing Ltd.

[Romanovskii, 1993] Romanovskii V.G. [1993] On a calculation of Liapunov focus quantities in the case of two imaginary roots// Diff. Eqns. 1993. №29. P. 782-787.

[Romanovskii, 1996] Romanovskii V.G. [1996] Grobner Basis Theory for Monoidal Rings and 16-th Hilbert Problem// Mat.-Report № 1996-08. Depart, of Math. Technical Univ. of Denmark.

[Roussarie, 1998] Roussarie R. [1998] Bifurcations of planar vector fields and Hilbert's sixteenth problem. Progress in mathematics// Birkhauser. Vol. 164. Basel-Boston-Berlin.

[Rousseau, 1993] Rousseau C. [1993] Bifurcation methods in polynomial systems// Bifurcations and Periodic Orbits of Vector Fields//

Schlomiuk. D. NATO ASI Series C. Vol. 408. P. 383-428. London: Kluwer Academic.

[Sabatini & Chavarriga, 1999] Sabatini M. and Chavarriga J. [1999] A survey of isochronous centers// Qualitative Theory of Dynamical Systems. № 1. P. 1-70.

[Shi, 1980] Shi S. L. [1980] A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems// Sci. Sinica. № 23. P. 153-158.

[Shi, 1981] Shi S.L. [1981] A method of constructing cycles without contact around a weak focus// Journal of Differential Equations. Vol. 41. P. 301312.

[Shilnikov et al, 2001] Shilnikov L., Turaev D., and Chua L. [2001] Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 2// World Scientific.

[Strogatz, 1994] Strogatz H. Steven [1994] Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering// West view Press.

[Ye, 1986] Ye Yian-Qian [1986] Theory of Limit Cycles// Translations of. Math. Monograqphs. 66 Amer. Math. Soc. Providence.

[Yu, 1998] Yu P. [1998] Computation of normal forms via a perturbation technique// J. Sound Vibr. № 211. P. 19-38.

[Yu, 2005] Yu P. [2005] Bifurcation of limit cycles and Hilbert's 16th problem// Jinhua. China.

[Yu & Chen, 2008] Yu P. and Chen G. [2008] Computation of focus values with applications// Nonlinear Dynamics. № 51(3). P. 409-427.

[Yu & Han, 2005] Yu P., Han M. [2005] Twelve limit cycles in a cubic case of the 16th Hilbert problem// Int. J. Bifurcations and Chaos. № 15(7). P. 2191-2205.

[Zhang et al, 1992] Zhang Zhi-Fen, Ding Tong-Ren, Huang Wen-zao, Dong Zhen-xi [1992] Qualitative theory of differential equations// AMS. Providence. Rhode Island.