Lp-значные случайные меры и стохастические уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Лебедев, Владимир Александрович
- Специальность ВАК РФ01.01.05
- Количество страниц 288
Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лебедев, Владимир Александрович
Введение
Глава 1. Мартингалы и стохастические интегралы
§1.1. Фильтрации, мартингалы и случайные меры
§ 1.2. Проекции случайных процессов и мер на сг-алгебры, порождаемые стохастическими интервалами
§1.3. Семимартингалы и стохастические интегралы
Глава 2. а-конечные £р-значные случайные меры
§2.1. Основные свойства 1/р-значных случайных мер
§2.2. 1Азначные случайные меры, порождаемые семимар-тингалами и целочисленными случайными мерами
§ 2.3. Расширение фильтрации и связанные с ним понятия
§2.4. Поведение £р-значных случайных мер при замене фильтрации
§2.5. Зависимость стохастических интегралов по £р-знач-ным случайным мерам от параметра
Глава 3. Некоторые свойства слабой и слабо-сильной сходимости вероятностных мер
§3.1. Слабо-сильная сходимость вероятностных мер и применение к ней теоремы Скорохода
§3.2. Пространство Скорохода и его основные свойства
§3.3. Критерии относительной компактности семейств распределений на пространстве Скорохода
§ 3.4. Плотное мажорирование скачков для последовательности случайных процессов
Глава 4. Стохастические дифференциальные уравнения с £р-значными случайными мерами
§4.1. Сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений
§4.2. Существование слабого решения стохастического дифференциального уравнения с 1/р-значной случайной мерой
§4.3. Условия отсутствия взрыва решения стохастического дифференциального уравнения с £р-значной случайной мерой
§4.4. Условия потраекторной единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ¿Азначной случайной мерой
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.05 шифр ВАК
Меры, порождаемые диффузиями на группах токов2016 год, кандидат наук Калиниченко Артем Александрович
Принцип умеренно больших уклонений для решений стохастических уравнений2015 год, кандидат наук Логачёв, Артём Васильевич
Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости2008 год, кандидат физико-математических наук Колодий, Наталья Александровна
Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений2002 год, доктор физико-математических наук Кузнецов, Дмитрий Феликсович
Исследования по теории стохастических дифференциальных уравнений в частных производных1983 год, доктор физико-математических наук Розовский, Борис Львович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Lp-значные случайные меры и стохастические уравнения»
За всю вторую половину XX века получила большое развитие теория мартингалов и основанного на ней стохастического интегрирования. Первое систематическое изложение основ теории мартингалов проведено ещё Дубом и Мейером в 50-е-60-е годы. Она в значительной мере базируется на т.н. общей теории случайных процессов, основными объектами которой являются фильтрации (потоки сг-алгебр), моменты остановки и связанные с ними понятия и основы которой были заложены в те же годы Дубом, Чжуном и Мейером и в дальнейшем развиты группой страсбург-ских математиков, в частности, Деллашери. Сама же теория мартингалов получила своё дальнейшее развитие в б0-е-70-е годы в работах Деллашери, Куниты, Ватанабэ и других математиков. С другой стороны, стохастический интеграл по винеровскому процессу был введён ещё в 40-е-50-е годы Винером и Ито (последним — и по пуассоновской мере), и дальнейшее развитие теория стохастического интегрирования по мартингалам и мартингальным случайным мерам получила в 70-е годы в работах упомянутых выше математиков, а также Жакода, Ширяева и других. В качестве одной из наиболее общих ведущих систем для стохастического интегрирования, к которой может быть сведено подавляющее большинство рассмотренных ранее частных случаев стохастических интегралов, Бихтелер и Жакод [7] ввели понятие сг-конечной 2/р-значной случайной меры. В этой статье не только приведены основополагающие результаты для теории таких мер, но также продемонстрирована возможность сведения к этому понятию большинства известных случаев стохастического интегрирования, как конечномерных, так и бесконечномерных.
На этой основе развивалась и теория стохастических дифференциальных уравнений как уравнений с приращениями стохастических интегралов на бесконечно малых промежутках времени. Такие уравнения со стохастическими интегралами по винеровскому процессу и пуассоновской мере изучались ещё Ито в 50-е годы. В дальнейшем теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в разных направлениях. Во-первых, стали рассматриваться решения таких уравнений не только сильные, допускающие построение на исходном стохастическом базисе, но и, начиная со Скорохода [79], слабые, требующие использования с сохранением соответствующего вероятностного смысла другого стохастического базиса, что в достаточно широком классе случаев сводится к расширению исходного стохастического базиса. Во-вторых, можно рассматривать уравнения, коэффициенты которых зависят в каждый момент времени не только от левого предела (или просто значения в непрерывном случае) траектории решающего процесса, но и от прошлых значений этой траектории, начиная с Ито и Нисио [89] и других работ 60-х годов. В-третьих, широко рассматривались уравнения, включающие всё более общие стохастические интегралы, как, например, в работах Жако да и Мемэна [21-22] и автора [35-37], [45] и [50].
В свете вышеизложенного представляется актуальным дальнейшее развитие заложенной Бихтелером и Жакодом теории Ьр-значных случайных мер с результатами, дающими важные выводы в применении к частным случаям таких мер, что представляет собой новое для отечественной науки направление научных исследований. В этом развитии, в свою очередь, представляются приоритетными те его аспекты, на основе которых строится теория стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами.
Основными целями диссертации являются: 1) определение понятия продолжения Ьр-значной случайной меры на более широкий стохастический базис и изучение его основных свойств, что важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами; 2) получение для стохастических дифференциальных уравнений общих достаточных условий существования слабого решения, отсутствия взрыва слабого решения уравнения, для которого условия существования выполнены в каждой ограниченной по фазовой траектории области, и потраекторной единственности слабого решения, из которой, в свою очередь, вытекает существование сильного решения.
В диссертации используются главным образом классические методы теории мартингалов, а при построении слабых решений стохастических дифференциальных уравнений — также методы теории слабой сходимости вероятностных мер на метрических пространствах и, в частности, на пространстве Скорохода сас!^ непрерывных справа и имеющих пределы слева) функций.
Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В частности, впервые предложен систематический подход к изучению стохастических дифференциальных уравнений с ¿р-значными случайными мерами.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.
1. На стохастическом базисе (П,^7, Р) для Ь2-значной случайной меры в смысле Бихтелера и Жакода на (О х К.+ с!+= [0, оо[, предсказуемой ст-алгеброй V на О х и измеримым пространством (Е, Е) в случае сепарабельной сг-алгебры £ доказано существование ортогонального мартингального разложения, в этом же случае для £°-значной меры — существование минимальной доминирующей конечной неотрицательной меры, а также продемонстрирована возможность предлокального сведения Ь°-значной случайной меры к £2-значной. Всё это находит широкое применение в доказательстве последующих результатов. '
2. Для целочисленной случайной меры её дуальной предсказуемой проекции и и их разности /л — г/ охарактеризовано пространство Ь° и на этой основе расширены классические определения стохастических интегралов по этим мерам, что придаёт теории стохастического интегрирования по этим мерам законченный вид аналогично интегрированию по конечномерным семимартин-галам.
3. Дано определение продолжения £р-значной случайной меры на более широкий стохастический базис, доказаны единственность такого продолжения, его существование в случае хорошего относительно данной меры расширения стохастического базиса, что является одной из основных целей диссертации, а в общем случае охарактеризованы свойства продолжений £°-значных случайных мер, порождаемых мерами V и ¡л — и.
4. Для процесса стохастического интеграла по ХАзначной случайной мере с подынтегральной функцией, измеримым образом зависящей от параметра, доказывается его измеримость по параметру и устанавливается аналог теоремы Фубини для интегрирования стохастического интеграла по этому параметру, что находит применение, например, при изучении стохастических уравнений типа Вольтерра с такими мерами.
5. Для последовательности случайных процессов с сас!^ траекториями, заданных на едином вероятностном пространстве, определено свойство плотного мажорирования скачков, выполнение которого позволяет ослабить условия существования слабого решения стохастического дифференциального уравнения, и установлены для него необходимые и достаточные условия.
6. Для стохастического дифференциального уравнения с Ьр-значной случайной мерой получены достаточные условия существования его слабого решения и для последнего — условия отсутствия взрыва и потраекторной единственности. Всё это также является одной из основных целей диссертации.
Работа имеет теоретический характер. Её результаты могут быть применены как для получения более частных результатов с 1Лзначными случайными мерами конкретного вида, так и для построения универсальных моделей целого ряда приложений теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений (финансовой математики, динамических систем со случайными возмущениями и т.п.).
Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разделённых на параграфы. Нумерация параграфов двойная, первая цифра указывает главу. Нумерация утверждений (теорем, определений и т.п.) сплошная и тройная, первые две цифры указывают параграф, а формул — четверная, первые три цифры указывают утверждение, к которому относится формула. Номера формул, относящихся к введению, состоят из цифры 0 и порядкового номера. Общий объём диссертации — 288 страниц. Список литературы включает 89 наименований.
Похожие диссертационные работы по специальности «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.05 шифр ВАК
Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО2002 год, доктор физико-математических наук Павлов, Игорь Викторович
Оптимальные стратегии управляемых в слабом смысле стохастических систем с полной информацией2001 год, доктор физико-математических наук Хаметов, Владимир Минирович
Спектральный метод анализа и статистического моделирования непрерывных стохастических систем2024 год, доктор наук Рыбаков Константин Александрович
Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1, А) и с генератором К-конволюционной полугруппы2006 год, кандидат физико-математических наук Здобнова, Светлана Владимировна
Сравнение траекторий моделей, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями2019 год, кандидат наук Асылгареев Артур Салаватович
Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лебедев, Владимир Александрович, 2006 год
1. А л ь д у с (Aldous D.). Stopping times and tightness. — Ann. Prob., 1978, v. 6, №2, p. 335-340.
2. Банах, Мазур (Banach S., Mazur S.). Zur Theorie der linearen Dimension. — Studia Math., 1933, v. 4, p. 100-112.
3. Б a p л о у (Barlow M. Т.). One-dimensional stochastic differential equations with no strong solution. — J. London Math. Soc., 1982, ser.2, v. 26, №2, p. 335-347.
4. Б а ф и к о (Bafico R.). Una estensione del teorema di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1979, ser.2, v.26, №2, p. 134-153.
5. БиллингслиП. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977, 352 с.
6. Бихтелер (Bichteler К.). Stochastic integration and Lp-theory of semimartingales. — Ann. Probab., 1981, v. 9, № 1, p. 46-89.
7. Бихтелер, Жакод (Bichteler К., Jacod J.). Random measures and stochastic integration. — Lect. Notes Control Inform. Sci., 1983, v.49, p. 1-18.
8. Блэквелл, Дубине (Blackwell D., Dubins L.E.). An extension of Skorokhod's almost sure representation theorem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1983, v. 89, №4, p. 691-692.
9. ВарадарайнС. Меры на топологических пространствах. — Матем. сб., 1961, т. 55, № 1, с. 35-100.
10. ГальчукЛ.И. О формуле замены переменных. — Матем. заметки, 1978, т. 26, №4, с. 633-641.
11. ГальчукЛ.И. Семимартингалы от процессов с независимыми приращениями и расширения фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1993, т. 38, в. 3, с. 491-502.
12. ГирсановИ.В. Пример неединственности решения стохастического уравнения К, Ито. — Теория вероятн. и её примен., 1962, т. 7, в. 3, с. 336-341.
13. ГихманИ. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982, 612 с.
14. ГригелионисБ. И., Лебедев В. А. Новые критерии относительной компактности последовательностей вероятностных мер. — Успехи матем. наук, 1982, т. 37, в. 6, с. 29-37.
15. ДеллашериК. Ёмкости и случайные процессы. — М.: Мир, 1975, 192 с.
16. Деллашери, Мейер (Dellacherie С., Meyer P. A.). Probabilities and potential, vv. A-B. — Amsterdam: North-Holland, 1978-82, 200+464 p.
17. Деллашери, Стрикер (Dellacherie С., Strieker С.). Changements de temps et intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1977, v. 581, p. 365-375.
18. Дзандзотто (Zanzotto P.A.). Soluzioni deboli per equazioni stocastiche del tipo di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1985, ser. 6, v.4-B, №1, p. 75-111.
19. Жакод (Jacod J.). Calcul stochastique et problèmes de martingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.714, 540 p.
20. Жакод (Jacod J.). Intégrales stochastiques par rapport à une semi-martingale vectorielle et changements de filtration. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 171-191.
21. Жакод, Мемэн (Jacod J., Mémin J.). Existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving semimartingales. — Stochastics, 1980, v. 4, № 1, p. 23-38.
22. Жакод, Мемэн (Jacod J., Mémin J.). Weak and strong solutions of stochastic differential equations: existence and stability. — Lect. Notes Math., 1981, v. 851, p. 169-212.
23. Жакод, Мемэн, Метивье (Jacod J., Mémin J., Métivier M.). On tightness and stopping times. — Stoch. Processes and Appl., 1983, v.4, №2, p. 100-146.
24. Жакод Ж., Ш и p я e в A. H. Предельные теоремы для случайных процессов, тт. 1-2. — М.: Физматлит, 1994, 544+368 с.
25. И о p (Yor M.). Quelques interactions entre mesures vectorielles et intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1979, v. 713, p.264-285.
26. Каллианпур, Стрибел (Kallianpur G., Striebel C.). Stochastic differential equations occurring in the situation of continuous parameter stochastic processes. — Теория вероятн. и её примен., 1969, т. 14, в. 4, с. 597-622.
27. К о м а ц у (Komatsu Т.). Markov processes associated with certain integro-differential operators. — Osaka J. Math., 1973, v. 10, №2,p. 289-319.
28. К о н в e й (Conway Е. D.). Differential equations with discontinuous drift. — Trans. Amer. Math. Soc., 1971, v. 157, № 1, p. 235-245.
29. КуратовскийК. Топология, тт. 1-2. M.: Мир, 1966-69, 596+624 с.
30. Лебедев В. А. Условие слабой компактности для семи-мартингалов. — ДАН СССР, 1980, т. 254, №1, с. 36-39.
31. Лебедев В.А. Об относительной компактности семейств распределений семимартингалов. — Теория вероятн. и её при-мен., 1981, т. 26, в. 1, с. 143-151.
32. Л е б е д е в В. А. О потраекторной единственности решения стохастического уравнения. — Третья международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике (тезисы докладов), т. II. Вильнюс, 1981, с. 7-8.
33. Л е б е д е в В. А. О слабой компактности семейств распределений семимартингалов общего вида. — Теория вероятн. и её примен., 1982, т. 27, в. 1, с. 15-23.
34. Лебедев (Lebedev V. A.). On the non-explosion for a solution of a stochastic equation. — IV USSR-Japan symposium on probability theory and mathematical statistics (abstracts of communications), v. II. Tbilisi: Metsniereba, 1982, p. 62-63.
35. Лебедев (Lebedev V. A.). On the existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving martingales and random measures. — Stochastics, 1983, v. 9, W1-2, p. 37-76.
36. Лебедев (Lebedev V. A.). On non-explosion for the solution of a stochastic differential equation. — Stochastics, 1984, v. 11, №3-4, p.301-314.
37. Лебедев B.A. О единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ведущими мартингалом и случайной мерой. — Теория вероятн. и её примен., 1985, т. 30, в. 1, с. 152-156.
38. Лебедев (Lebedev V. A.). On infinite-dimensional stochastic integrals. — Statistics and Control of Stochastic Processes, Trans. Ser. Math. Eng., Steklov Seminar 1984. New York: Optimization Software, 1985, p. 277-304.
39. Лебедев B.A. Условия плотного мажорирования скачков для последовательностей случайных процессов. — В сб.: Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ. М.: изд-во МГУ, 1985, с. 32-35.
40. Лебедев В.А. О последовательностях случайных процессов с плотным мажорированием скачков. — Теория вероятн. и её примен., 1986, т. 31, в.З, с. 602-605.
41. Лебедев В. А. Продолжение Ьр-значных случайных мер.Первый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (тезисы), т. II. М.: Наука, 1986, с. 734.
42. Лебедев В.А. Стохастические интегралы по семимартин-гальным случайным мерам. — В сб.: Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989, с. 112-114.
43. Лебедев В.А. Стохастическое интегрирование по семи-мартингальным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1989, т. 34, в. 4, с. 792-794.
44. Лебедев (Lebedev V. A.). Stochastic integrals with respect to semimartingale measures and change of the filtration. — Probability Theory and Mathematical Statistics (Proceedings of the Fifth Vilnius Conference), v. II. Vilnius: Mokslas, 1990, p. 70-78.
45. Лебедев В.А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решения стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого.Известия ВУЗов. Математика, 1990, №12, с. 44-55.
46. Лебедев В.А. Измеримость стохастического интеграла по параметру. — Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа (тезисы докладов). М.: ТВП, 1994, с. 66-67.
47. Л е б е д е в В. А. Теорема Фубини для зависящих от параметра стохастических интегралов по £°-значным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 2, с. 313323.
48. Лебедев В.А. Поведение случайных мер при замене фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 4, с. 754-763.
49. Л е б е д е в В. А. 1/р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1995, с. 87-88.
50. Лебедев В. А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и стохастические уравнения. — М.: изд-во МАИ, 1996, 348 с.
51. Л е б е д е в В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и хорошие расширения стохастического базиса. — Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1996, с. 102-103.
52. Лебедев В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и замена вероятностной меры. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1997, т. 4, №3, с. 272-273.
53. Лебедев В. А. Ь°-значные случайные меры и стохастические дифференциальные уравнения. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1999, т. 6, № 1, с. 168-169.
54. Лебедев В.А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с £2-значными случайными мерами. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2000, т. 7, № 2, с. 505-507.
55. Л е б е д е в В. А. £р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Теория вероятн. и её при-мен., 2001, т. 46, в.З, с. 563-572.
56. Лебедев В.А. Об одном контрпримере, связанном с заменой фильтрации по отношению к целочисленным случайным мерам. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2001, т. 8, №2, с. 786-787.
57. Л е б е д е в В. А. Об условиях отсутствия взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с Ь°-значными случайными мерами. —-Вестник МГУ (сер. Мат.Мех.), 2002, №2, с. 7-15.
58. Л е б е д е в В. А. Процессы с независимыми приращениями и расширение фильтрации. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2002, т. 9, № 1, с. 125-126.
59. JI е-К а м JI. Сходимость по распределению случайных процессов. — Математика (сб. переводов), 1960, т.4, №1, с. 107— 142.
60. Ленгляр, Лепэнгль, Прателли (Lenglart Е., Lépingle D., Pratelli M.). Présentation unifiée de certaines inégalités de la théorie des martingales. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 26-48.
61. Линдвалл (Lindvall T.). Weak convergence of probability measures and random functions in the function space £)0, oo. — J. Appl. Probab., 1973, v. 10, № 2, p. 109-121.
62. Липцер P. Ш., Ширяев A. H. Теория мартингалов. — M.: Наука, 1986, 512 с.
63. Лось, Марчевский (Los J., Marczewski Е.). Extensions of measure. — Fund. Math., 1949, v. 36, p. 267-276.
64. Майкл (Michael E.). Continuous selection in Banach space. — Studia Math., Ser. Specjalna, 1963, № 1, p. 75-76.
65. Марчевский (Marczewski(Szpilrajn) E.). The characteristic function of a sequence of sets and some of its applications. — Fund. Math., 1938, v. 31, p. 207-223.
66. M e й e p П. А. Вероятность и потенциалы. — M.: Мир, 1973, 328 с.
67. M е й e р (Meyer P. A.). Un cours sur les intégrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1976, v. 511, p. 245-400.
68. Метивье (Métivier M.). Une "lemme de Gronwall" "stochastique" et application à un theorème de stabilité pour équations différentielles stochastiques. — C. R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1979, v.289, №4, p. 287-290.
69. Метивье (Métivier M.). Semimartingales. — Berlin a.o.: De Gruyter, 1982, 288 p.
70. МикулявичюсР. О слабой сходимости мер. — Литовский матем. сб., 1985, т. 25, № 1, с. 110-116.
71. Окабэ, Симидзу (Okabe Y., Shimizu A.). On the pathwiseuniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1975, v. 15, №2, p. 455-466.
72. Прайс (Preiss D.). Metric space in which Prohorov's theorem is not valid. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1973, v. 27, № 2, p. 109-116.
73. Проттер (Protter P.). Volterra equations driven by semimartin-gales. — Ann. Probab., 1985, v. 13, №2, p. 514-530.
74. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.
75. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. — Киев: Вища школа, 1974, 320 с.
76. СкороходА.В. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289319.
77. СкороходА. В. Исследования по теории случайных процессов. — Киев: изд-во КГУ, 1961, 216 с.
78. Стоун (Stone С.). Weak convergence of stochastic processes defined on a semiinfinite time interval. — Proc. Amer. Math. Soc., 1963, v. 14, №5, p. 694-696.
79. Стрикер (Strieker C.). Quasimartingales, martingales locales, semimartingales et filtration. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1977, v. 39, №1, p. 55-63.
80. С т p у к Д. В., В а р а д а н С. Р. С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами. — Математика (сб. переводов), 1971, т. 15, № 6, с. 66-113; 1972, т. 16, № 1, с. 100-142.
81. Струк, Варадан (Stroock D. W., Varadhan S. R. S.). Multidimensional diffusion processes. — Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1979, 340 p.
82. Хасьминский P. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — М.: Наука, 1969, 368 с.
83. Цирельсон B.C. Один пример стохастического дифференциального уравнения, не имеющего сильного решения. — Теория вероятн. и её примен., 1975, т. 20, в. 2, с. 427-430.
84. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. — М.: Мир, 1986, 352 с.
85. Эмери (Eméry M.). Une topologie sur l'espace des semimartingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.721, p. 260-280.
86. Ямада, Ватанабэ (Yamada T., Watanabe S.). On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1971, v. 11, № 1, p. 155-167; 1971, v. 11, №3, p. 553-563.
87. ИтоК, НисиоМ. Стандартные решения стохастического дифференциального уравнения. — Математика (сб. переводов), 1967, т. 11, №5, с. 117-175.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.