Локальная динамика цепочек и решеток нелинейных осцилляторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бобок, Алексей Станиславович

• Бобок, Алексей Станиславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бобок, Алексей Станиславович

Оглавление

Введение

1 Локальный анализ цепочки автогенераторов с туннельным диодом

1. Постановка задачи

2. Выбор собственных решений

3. Построение нормальной формы нерезонансной системы

4. Состояния равновесия нерезонансной системы, их устойчивость

5. Классификация резонансных систем

6. Построение нормальной формы однорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость

7. Построение нормальной формы многорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость

2 Нормальная форма и асимптотики устойчивых режимов решеток автогенераторов Скотта

1. Постановка задачи

2. Выбор собственных решений

3. Построение нормальной формы нерезонансной системы

4. Состояния равновесия нерезонансной системы

5. Построение нормальной формы однорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость

6. Построение нормальной формы многорезонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость

3 Буферность в системе трех связанных в кольцо сингулярно возмущенных осцилляторов с двумя запаздываниями

1. Постановка задачи и линейный анализ

2. Метод квазинормальных форм и результаты его применения

3. Простейшие устойчивые режимы квазинормальной формы

Заключение

ОГЛАВЛЕНИЕ Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальная динамика цепочек и решеток нелинейных осцилляторов»

Введение

Решение многих задач механики, радиофизики, биологии, экологии, нелинейной оптики и ряда других областей естествознания зачастую приводит к построению математических моделей на основе нелинейных взаимодействующих осцилляторов [1]-[57]. Отсюда проистекает и интерес к исследованию динамики такого сорта систем [46]-[48], и изучению некоторых из них будет посвящена данная работа.

Среди полученных в ходе нее результатов хочется выделить те, что связаны с явлением мультистабильности, суть которого в сосущестова-нии в фазовом пространстве динамической системы устойчивых режимов с узкими областями притяжения, и ее частным проявлением - феноменом буферности. О последнем принято говорить, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и проч.). Соответствующее понятие было введено А.А.Виттом [5], а так же упоминалось в ходе значительно более поздних работ [30]-[54].

Буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных естественнонаучных областей, поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов, которых на данный момент известно три: тьюрингский и гамильтонов механизмы, а также сценарий Витта. Исследованию каждого из них посвящено довольно большое количество публикаций [8]-[44]. Наиболее распостраненным из вышеприведенных является механизм Витта. Данный сценарий заключается в следующем: представим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [5]-[54], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченный рост числа устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого

состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, вырастая по амплитуде.

В данной работе под буферностью будет пониматься феномен, возникающий в динамических системах с бесконечномерным фазовым пространством, который характеризуется ростом количества сосуществующих устойчивых инвариантных торов и размерностей аттраторов на этих торах при изменении управляющих параметров. Этот феномен очевидным образом связан со сценарием перехода к турбулентности по Ландау [36, 7] и наблюдается, например, когда при уменьшении вязкости или какого-либо другого параметра возникают все новые и новые цепочки бифуркаций инвариантных торов

Тг Т2 ----у Тм+1 -> ... (1)

на каждом из которых имеется хаотический аттрактор возрастающей с ростом N размерности. Простейшей физической системой, в которой возможна турбулентная буферность, является двумерный прямоугольный массив идентичных осцилляторов, каждый из которых взаимодействует со своими соседями, и в рамках этой работы нами будет рассмотрен пример такого сорта системы, введенный в рассмотрение английским физиком и математиком Элвином Скоттом [60, 61, 62].

Для получения результатов, представленных в рамках данной работы, использовались как аналитические [6], так и численные методы исследования. Среди примененных аналитических методов особо выделим метод нормальных форм для случая конечномерного вырождения и метод квазинормальных форм в случае бесконечномерного вырождения, которые восходят к работам Пуанкаре [58] и методу усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [3]-[56]. Но применимы же они лишь в случае, когда при критическом значении параметра в спектре устойчивости исследуемой системы оказывается конечное число точек, лежащих на мнимой оси. При исследовании же распределенных систем и уравнений с запаздыванием зачастую приходится сталкиваться с ситуацией, когда спектральная задача имеет счетное число значений на мнимой оси. Для решения данной проблемы Колесовым Ю.С. [4, 33] был предложен специальный асимптотический метод, названый впоследствии методом квазинормальных форм. К настоящему времени данный метод обоснован в ряде модельных ситуаций для параболических [54, 18, 55, 21, 49, 25], гиперболических [30, 34], краевых задач, а также для случая дифференциально-разностных уравнений второго порядка с большим запаздыванием [19, 20, 35, 26, 27, 29].

Обращаясь к практической составляющей исследуемых в данной работе математических моделей, заметим, что одной из актуальных на настоящий момент задач в кибернетике является развитие и совершенство-

вание техники анализа и проектирования «сложных» систем, то есть нелинейных систем, обладающих большим числом степеней свободы.. При попытке решения этой проблемы зачастую приходится сталкиваться с двумя противостоящими друг другу принципами: выбранная система должна быть достаточно простой с тем, чтобы была возможность её сконструировать и построить, но одновременно она должна быть достаточно сложной, чтобы представлять определенный интерес. Такого рода экспериментальная система, основанная на использовании решетки автогенераторов с полупроводниковыми туннельными диодами, и была разработана Скоттом, и частично исследована Колесовым А.Ю [36]. В ходе проводимого Скоттом опыта предполагалось, что сформированная решетка будет допускать колебания лишь на достаточно высоких частотах, которые удовлетворяли бы квазигармоническим условиям, иными словами, существенным допущением был тот факт, что смещенный поток через узловое емкостное сопротивление будет велик в сравнении с потоком проводимости через тот же узел. Опираясь на это предположение, система могла быть проанализирована в первом приближении как линейная сеть без потерь. Нелинейный поток проводимости через туннельный диод в этом случае вкючается во вторую аппроксимацию как возмущение, используя технику, введенную ван дер Полем [70] и широко развитую впоследствии Крыловым и Боголюбовым [52, 3]. Таким образом, система в первом приближении имела число колебательных режимов, равное числу узлов решетки, и её сложность заключалась в нелинейном взаимодействии между данными режимами.

Дополнительный интерес дальнейшему исследованию и разработке результатов эксперимента Скотта придает возможность их последующего практического приложения и внедрения в разнообразные промышленные, информационные и иные области производства. В частности, широкие перспективы открываются в сфере хранения информации. Данные системы используют для этого способ, включающий локализацию информации в двух пространствах: реальном (самом массиве автогенераторов) и двойственном (комбинации режимов решетки), что интересно в свете исследований методов хранения информации живыми организмами. Ещё одной областью приложения могут стать системы распознавания образов, где среди целевых проблем стоит выделить определение гештальт-характеристик или шаблонных особенностей объекта, как некоторых функций геометрии образа, не зависящих от сдвига и поворота. И, наконец, особенно стоит отметить возможности исследуемой системы при анализе так называемых «мыслительных» процессов биологического мозга в терминах характеристических отражений или состояний нелинейных колебательных систем. Режимы «поведения» и «мышления» предполагают наличие определенных отраженных состоя-

ний, и при проектирования подобных систем несомненное преимущество имели бы квазигармонические решетки в силу их идейной простоты и легкости построения.

Еще один широкий класс динамических систем со сложным поведением решений представляют собой дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Нетривиальность свойств таких уравнений обусловлена в первую очередь бесконечномерностью их фазового пространства. В задаче об устойчивости этих уравнений может наблюдаться бесконечномерное вырождение и в качестве их нормальных форм, также приходится рассматривать бесконечномерные системы специального вида. В некоторых случаях такие системы могут быть представлены в виде краевых задач (см., например, [4, 33, 20]). В настоящей работе рассматривается класс дифференциальных уравнений с двумя запаздываниями, применяемых в популяционной биологии и нейродинамике.

Исторически первой из подобных работ для моделирования активности отдельного нейрона является ставшая впоследствии классической модель Ходжкина и Хаксли [63], довольно сложная для аналититиче-ских исследований из-за большого числа входящих в неё параметров, вследствии чего были предприняты попытки ее упростить, уменьшая как количество параметров, так и число уравнений системы. Среди подобных упрощений отметим модель Морриса-Лекара [64],а также феноменологические модели ФитцХью-Нагумо [65, 66] и Хиндмарш-Роуз [67], учитывающие лишь внешнее проявление активности нейрона - изменение мембранного потенциала и генерацию спайка, и не рассматривающие внутриклеточные причины этих изменений. Все введенные выше модели были довольно хорошо изучены, и в ходе их изучения была развита универсальная техника методов исследования такого сорта задач [28].

Для рассматриваемой в диссертационной работе задачи в сингулярном случае можно построить квазинормальную форму. Для полученной квазинормальной формы доказываются утверждения о соответствии, а затем она изучается аналитическими и численными методами.

Для уравнений подобного типа большое значение имеет объединение их в какую либо ассоциацию. Отметим, что модели с минимальным количеством взаимодействующих нейронов - двумя - изучались, например, в работах [68, 69]. В радиофизических и нейробиологических приложениях такие ассоциации зачастую представляют собой однонаправленно связанные в кольцо системы. Простейшим нетривиальным кольцом из одно-направленно связанных автогенераторов следует считать систему, включающую три элемента. В целом ряде случаев рассмотрение такой системы позволяет обнаружить некоторые новые эффекты, возникающие как результат взаимодействия осцилляторов (см., например, [10, 11, 12, 22]). Среди эффектов, обнаруженных в настоящей работе, отметим наличие

у системы при подходящим образом выбранных параметрах любого наперед заданного количества сосуществующих периодических режимов, т. е. наблюдается явление буферности.

Глава 1

Локальный анализ цепочки автогенераторов с туннельным диодом

1. Постановка задачи

Прежде, чем переходить к непосредственному исследованию цепочки связанных нелинейных автогенераторов с туннельным диодом, обратимся к схеме получения ее математической модели. Алгоритмическая часть процедуры приведена в уже упоминавшейся статье [36] для бесконечномерного случая. Мы же перенесем ее на конечномерный случай описания одномерного массива длины N естественным образом предполагаем натуральным числом большим 2) с использованием разностных аппроксимаций. Узлы исследуемой цепочки имеют представленный в работах Скотта вид (см. рис. 1.1 )

Рис. 1.1: Схема ячейки цепочки Скотта.

Считаем, что центр О каждой такой ячейки связан с землей посредством параллельно подключенных конденсатора Со, индуктивности Ьо и туннельного диода с вольт-амперной характеристикой г = /(и). Сами же ячейки взаимодействуют между собой через параллельно подсоединен-

ные индуктивности L и активные сопротивления R. Все операции будем выполнять в предположении, что граничные ячейки в цепочке заземлены.

Для начала фиксируем узел с номером n, 1 < n < N и обозначим через un(t)~ напряжение в ее узле О. Первый закон Кирхгофа для этого узла приводит к равенству

Ч - г2 -¿з = 0, (1.1)

где ik,k = 1,... ,3 - соответствующие токи( см. рис. 1.1), заметим, что токи ik, k = 1,... ,2 в зависимости от расположения узла решетки могут принимать нулевые значения, ток представляет собой сумму токов, текущих через конденсатор Со, индуктивность Lq и туннельный диод и вследствии этого записывается в виде

Ч = C0un(t) + f(un(t)) + j- J undt. (1.2)

Что же касается остальных токов, то они в силу рванества Ома для участков цепи задаются равенствами

If 1

Ч = —г / (u„ - un-\)dt - —{un - Un-i),

\J ? (1-3)

¿2 = / {Un+l - Un)dt - - Un),

Приведенные соотношения (1.1)-(1.3) позволяют выписать систему, связывающую напряжения un(t), n = 1,... ,N в узлах цепочки. Действительно, подставляя формулы(1.1), (1.2), (1.3) и дифференцируя результат по t, приходим к уравнениям

j[un - 2un + un_i) + 2un + un)+

+^{un+i - 2iin + йп-i) + ¿(M„ - 2un + un) =

^ •• d ?/ \ 1 = C0un + —f{un) + —Un,

n = l,...,N.

И, наконец, дополнив эту систему соответствующими граничными условиями и проведя для удобства ряд нормировок ¿/a/Lo,*/Co,* —>■ t,x/ai —x,y/a,2 получим следующую систе-

му обыкновенных дифференцильных уравнений, исследованию которой и будет посвящена в дальнейшем эта глава

(Рщ (1щ й Т

1*-£^Г-£Рл1ик + ик = 1ик-£ик1Г' (1.5)

щ = 0, г¿JV4-1 = 0, к = 1,..., ТУ,

где Ьщ- разностный оператор вида Ьщ = 52(щ+\ — 2щ + 1^-1), малый параметр.

Обратимся к задаче (1.5). Для её исследования будем применять стандартные методы локального анализа, техническая сторона которых описана ниже.

2. Выбор собственных решений

Для выбора собственных решений рассмотрим данную краевую задачу при е = 0. Нетрудно показать, что при данном значении малого параметра задача (1.5) допускает тригонометрические решения вида

7Í7T7

Щп) = exp(±«dnt)en(j), en(j) = sin n = 1,..., N. (1.6)

Здесь j- пространственная переменная.

При этом справедливо следующее утверждение

Лемма 1. Набор векторов приведенный в (1.6), представляет

собой линейно независимую систему и образует базис в рассматриваемом нами пространстве решений.

Найдем соответствующие этим решениям частоты для чего подставим (1.6) в следующую систему

ерщ

~ + uk = Luk, u0 = 0,uN+i = 0, k = l,...,N (1.7)

и получим

/ 7Г 71

ип = + 2<52(1 - cos ^-j-j), п = 1,..., N. (1.8)

Введем понятие резонанса для исходной системы:

Определение 1. Назовем значение параметра 5 системы (1.5) резонансным (а отвечающую этому значению систему резонан-соной), если для него реализуется одновременное выполнение равенств следующего вида между собственными частотами ип:

= miwni + m2Un2 + m3wn3, n0 = ±щ ± n2 ± n3 для любого набора индексов щ, к = 0,..., 3, для любого целочисленного вектора (7711,7712,7723); |mi| + |т2| + |шз| = 3 и при любой расстановке знаков во втором соотношении. Соответствующий набор частот иПк, к = О, ...,3 будем называть резонансным набором собственных частот. В случае же, если для заданного значения параметра 5 описанные выше равенства не выполнены ни для одного набора собственных частот, то будем называть такое значение 5 и соответствующую систему нерезонансными.

Возможность выбора параметра 6 таким образом, что реализуются обе возможности, подтверждена аналитическими и численными расчетами, произведенными с помощью специализированного математического программного пакета Maple 7. Приведем здесь часть формул, с помощью которых производились вычисления:

> Eql := sqrt( 1 + 2 * А2 * (1 - cos(n * Pi/N))) -

- sqrt( 1 + 2 * A2 * (1 - cos(i * Pi/N))) + + sqrt( 1 + 2 * A2 * (1 - cos(j * Pi/N))) + + sqrt{ 1 + 2 * A2 * (1 - cos(k * Рг/iV))) :

> Eq2 := sgr/(l + 2 * Л2 * (1 - cos(n * Pi/N))) -

- sqrt( 1 + 2 * Л2 * (1 - cos(i * Pi/N))) -

- sqrt{ 1 + 2 * Л2 * (1 - cos(j * Pi/N))) + + sqrt(l + 2 * A2 * (1 - cos(& * Pi/N))) :

> Eq3 := sqrt{ 1 + 2 * Л2 * (1 - cos(n * Рг'/JV))) -

- sgri(l + 2 * A2 * (1 - cos (г * Pi/N))) -

- sqrt{ 1 + 2 * A2 * (1 - cos(j * Pi/N))) -

- sqrt( 1 + 2 * Л2 * (1 - cos (A; * Pi/N))) :

> :=n — i—j — k : Eqb := n — i — j + k : EqQ •= n — i + j + k :

> for n from 1 by 1 to N do for j from 1 by 1 to iV do for k from 1 by 1 to

N

do for i from 1 by 1 to N do X := solve(Eq2 = 0, A);

if (X <> ) then for I from 1 to nops(X) do if (Re(X[l]) <> 0 and

Im(X[l]) = 0)

then if(n = i + j 4-korn = i+j — korn = i — j — k) then print(n,г, j, k,X) end if end if end do end if end do end do end do end do:

> for n from 1 by 1 to N do for j from 1 by 1 to N do for k from 1 by 1 to N

do for i from 1 by 1 to N do X := solve(Eq2 = 0, A);

if (X <> ) then for I from 1 to nops(X) do if (Re(X[l]) <> 0 and

Im(X[l]) = 0)

then if(n = i+ j + korn = i + j — korn = i— j — k) then print(n,г, j,k,X) end if end if end do end if end do end do end do end do:

> for n from 1 by 1 to N do for j from 1 by 1 to N do for k from 1 by 1 to N do

for i from 1 by 1 to N do X := solve{Eq2 = 0, A);

if (X <> ) then for I from 1 to nops(X) do if (Re(X[l\) <> 0 and Im(X[l]) = 0)

then if(n = % + j + korn = i+j — korn = i — j — k) then print(n, i, j, k, X) end if end if end do end if end do end do end do end do;

Для дальнейшего исследования динамики краевой задачи (1.5), учитывая существование тригонометрических решений (1.6), при условии 0<£<<1,1> = const > 0 её автоколебания будем искать в виде

Uj=Uo(t,T,j)+£Ui(t,T,j) + ..., T = £t, j = l,...,JV, (1.9)

где

N

щ = Y^izn(r) exp(icdnt) + zn(r) exp(—iunt)\en(j), (1.10)

n=1

где zn- пока неизвестные подлежащие определению амплитуды.

После подстановки (1.9) в краевую задачу (1.5) приравниваем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях е, после чего на первом шаге получаем верное тождество, а на втором приходим к следующей краевой задаче для Ui(b дальнейшем все преобразования будут проходить исключительно по пространственной переменной, поэтому зависимость от! ит позволим себе опустить)

(Puiti) . /Л г d u0(j)3 du0(j) dt2 + Mj) - Lux{3) = Jt[u0(j) + рЬщ{з)--- 2-^],

^i(O) = 0, u\{N + 1) = 0, i = l,...,iV

(1.11)

Данная задача разрешима в классе периодических по t функций в том и только в том случае, если в неоднородности из (1.11) отсутствуют гармоники вида (1.6). Приравнивая коэффициенты при этих гармониках к нулю, в зависимости от того, является ли исходная система резонансной или нет,приходим к различным системам относительно неизвестных комплексных амплитуд zn.

Обратимся для начала к нерезонансному случаю.

3. Построение нормальной формы нерезонансной системы

Приравнивая коэффициенты при гармониках (1.6) к нулю, приходим к следующей системе относительно неизвестных комплексных амплитуд

н ч м

= ]Г zn\zk\\ П = 1,...,ЛГ. (1.12)

к=1,ку£п

Осуществим переход к новым координатам, произведя замену Хп = рп ехр г(рп. Новая система будет иметь вид

3 н

2рп = {1-у{ш2п-1))рп--р1-рп Ы2

к=1,кфп

2^ = 0, п =

В дальнейшем дело будем иметь лишь с первым из этих уравнений

2рп = (1-у(ш2п-1))рп--р1-рп £ |рк\2. (1.13)

к=1,кфп

Опираясь на теорему о соответствии [54], [45], можем утверждать, что исходная система (1.5), демонстрирует динамику сходную с той, что показывает система (1.13): любому состоянию равновесия системы (1.13), с ровно р ненулевыми частотами, экспоненциально устойчивому или ди-хотомичному, в исходной задаче (1.5) при всех достаточно малых £ > О соответствует р-мерный инвариантный тор той же устойчивости.

4. Состояния равновесия нерезонансной системы, их устойчивость

4.1.

Рассмотрим нулевое состояние равновесия системы (1.13) (Ръ ■ • • > Ры) = (0,..., 0). Матрица линеаризованной на этом состоянии равновесия системы имеет вид

А =

( 1 - - 1) О

О 1 - у(ш% - 1) ...

О О

\

V

(1.14)

О ... О 1 - -1) /

Вид матрицы (1.14) легко позволяет выписать её собственные значе-

ния

п

Лп = 1 - у{ш2п - 1).

При этом выполнено следующее соотношение на собственные частоты ш,

Ш1 < и)2 < • • ■ < Шн ,

что позволяет выписать необходимое и достаточное условие устойчивости нулевого состояния равновесия для (1.13)

1 + ^

и)\ >

V

4.2.

Обратимся теперь к состояниям равновесия ровно с одной ненулевой координатой Рк ф 0, р{ = 0, г = 1,..., ТУ, г ф к. Легко вычисляется значение данной компоненты

и выписывается с учетом этого матрица линеаризованной системы

ам = 1 - »{и2 - 1) - |(1 - и{и2к - 1)), г ф к,

ак,к = 1-»(и2к-1), (1.15)

ац — 0, гф з, i = l1...iN1 э =

Аналогично предыдущему случаю здесь также легко формулируется необходимое и достаточное условие устойчивости данного состояния равновесия

<4 <

1 + 1/

V

1 - 1/(07? - 1) < р

и(со2- 1)), 2 = 1...^, гфк.

(1.16)

В исходной задаче (1.5) данному состоянию равновесия будет соответствовать орбитно асимптотически устойчивый цикл. Сформулируем соответствующую теорему

Теорема 1. Пусть для краевой нерезонансной задачи (1.5) выполнено условие (1.16), edecji, задаются равенством (1.8), тогда существует такое £о > 0, что для всех 0 < £ < £о задача (1.5) имеет орбиталъно асимптотически устойчивый цикл, асимптотика которого задается следующей формулой

u(t,j) = (ukt + сpk) sin-^Y + 0(e). (1.17)

Заметим, что возможно одновременное сосуществование большого числа подобного сорта устойчивых однокомпонентных режимов, так, например, при выполнении условия

2 1 + V

wfr <-,

V

1 — v(lú\ — 1) < ^(1 — — 1)),

их количество максимально и равно N.

Теорема 2. Пусть для краевой нерезонансной задачи (1.5) выполнено условие (1.18), где coi, uj^ задаются равенством (1.8), тогда существует такое Eq > 0, что для всех 0 < £ < Eq задача (1.5) имеет ровно N сосуществующих орбиталъно асимптотически устойчивых циклов, асимптотика которых задается следующей формулой

4-у/З / Ttij

Ui(tJ) = —g—у 1 - КЧ2 - !)cos (iVit + (pi) sin N l + 0(e),

i = 1,..., N. (1.19)

4.3.

Рассмотрим состояния равновесия с ровно m ненулевыми положительными координатами

Рп ,ь Рп,2, ■ • •, Рп,т, 2 < m < N

(остальные компоненты полагаются нулевыми). Для них справедливы равенства

(1.18)

о ™

к=1,кф1

3

(1.20)

(1 - ^«ГП - 1)) - ~/n,m - Ц Р2п,к = 0-

к=1,кфтп

Переобозначим

ak = (1 - у(и2щк - 1)), рк = p2nk, к = 1,..., и перепишем равенства (1.20) в виде

Pl=Pm~ 4(dl - <Jm)

m

Pm-1 =Pm- 4(<Jm_i - (Tm) (1.21)

3 TO_1 0"m - jPm ~ y^Pfc = 0.

k=l

Отсюда находим

= Vk = 4( ^ - *k(k - 5/4))/(Ä; - 1/4), k=l,... ,m.

Перепишем с целью упрощения исходную систему так, чтобы первые m уравнений соответствовали ненулевым координатам Pn,k, к = 1,... ,7тг, а оставшиеся N — ттг- нулевым. После этого переобозначим рк = рщк, к = 1,..., 771 и выпишем покоординатно матрицу А [N х iV] соответствующей линеаризованной системы:

771

ам = <7i - 9/4pJfi - <fc = -3/2^fi,

ai,j = ~2Pn,iPn,ji i 7^ Ji (1.22)

i = 1,... ,m, j = l,...,m,

aitj = 0, i Ф j,

¿ = 1, ...,m, j = 771 + 1,..., TV,

а также

= 0, г ф j г = m + 1,..., JV, j = 1,...,7V.

(1.23)

Таким образом, из соотношения (1.23) мы немедленно получаем N — т собственных чисел матрицы А[ЛГ х ЛГ]

А*- = °к- Е7=ифк Ы2> к = т + 1,..., ЛГ,.

Оставшиеся га собственных значений совпадают с собственными числами матрицы А*[га х т], задаваемой равенствами (1.22). Найдем их; для этого выпишем характеристический многочлен, соответствующий матрице А*[т х га],

ДА) = а0Ат + а1Лт"1 + ... + ат_!Л + ат = 0 (1.24)

и вычислим её определитель

Нетрудно заметить, что данный определитель отрицателен вне зависимости от значения га.

С тем, чтобы продолжить исследование устойчивости описанного состояния равновесия, необходимо выделить два возможных случая:

1) Пусть га- четное, тогда для характеристического многочлена коэффициент ао = 1 > 0, а ат = |А*| < 0. Таким образом, нарушается гурвицевость матрицы А*, что говорит нам о неустойчивости соответствующего состояния равновесия.

2)га- нечетное.

В этом случае ао = — 1? поделим /(А) на ао и переобозначим

* аг

а* = —, г = 0,..., га. ао

Характеристический полином перепишем в виде

/*(А) = а*0\т + а\\т~1 + ... + а*т_гА + а*т = 0.

Имеем

а*0 = 1>0, а; = 3/2Е^1^>0-

Вычислим а^:

что меньше 0, так как тп по нашему предположению нечетное. Но, следуя критерию Рауса-Гурвица, все а* должны быть больше 0, чтобы все корни характеристического многочлена /*(А) были отрицательны. Таким образом, и для 771 нечетного выбранное состояние равновесия также неустойчиво. Отсюда все режимы задачи (1.13), а, стало быть, и исходной задачи (1.5) с числом ненулевых компонент большим единицы неустойчивы

Теорема 3. Все состояния исходной нерезонансной системы с числом ненулевых компонент большим либо равным 2 неустойчивы.

5. Классификация резонансных систем

Для исследования динамики резонансных систем нам потребуется ввести их классификацию по числу резонансных наборов.

Определение 2. Назовем систему (1.5) г-резонансной, г £ N, если среди ее собственных частот максимально можно выделить ровно г резонансных наборов.

Также введем классификацию систем по характеру присутствующего в них резонанса.

Определение 3. Будем называть систему (1.5) системой с чистым резонансом тогда, когда все амплитуды, соответстующие собственным частотам, не входящим ни в один резонансный набор, равны нулю.

Определение 4. Будем называть систему (1.5)системой со смешанным резонансом тогда, когда в системе имеются ненулевые амплитуды, соответсвующие собственным частотам, не входящими ни в один резонансный набор.

Определение 5. Будем называть систему (1.5) системой с разделенным резонансом тогда, когда для любого резонансного набора системы все резонансные частоты, входящие в этот набор, не входят ни в один другой резонансный набор.

Определение 6. Будем называть систему (1.5) системой с пересекающимся резонансом тогда, когда существуют резонансный набор такой, что хотя бы одна из частот, входящих в этот набор, также принадлежит другому резонансному набору.

Введем также понятие вырожденного резонансного набора

Определение 7. Вырожденным будем называть резонансный набор собственных частот, хотя бы для одной из которых соответствующая ей амплитуда равна 0. Если все резонансные наборы системы являются вырожденными, то такую систему будем называть системой с вырожденным резонансом.

Дальнейшее исследование резонансных систем будем вести в терминах приведенной классификации.

Следующий параграф будет посвящен описанию динамики однорезо-нансных систем

6. Построение нормальной формы одноре-зонансной системы, состояния равновесия, их устойчивость

6.1.

Рассмотрим краевую задачу (1-И) в предположении, что все резонансные частоты различны, т.е. существует набор индексов пк,к = 0,..., 3:

иП0 = ± иП2 ± ипз, щ = ±П1 ±п2± п3, ф шП1 ф иП2 ф шПз.

6.1.1 Условие разрешимости для задачи (1.11) в этом случае примет вид:

йх м

2-^ = {1-и(и2п-1))гп-А2п\гп\2-В ^ гп\гк\2,

к=1,кфп

= (1 - „(^ - х))^ - AzJzno|2~

N

В ^ ^ 2П() 1| С2П12П2ХПз,

к=1,к^по

= (1 - " 1Ж " А^Кр-

N

В ^ ^ 1 -^А:| С2По2П22Пз,

к=\,кфп\

= (1 - - 1))^ - АгМ2-

N

к=1,к^=П2

Ахг* ¿т

N

к=\,к=£пз

= (1 " " 1)Кз - А*пзЫ2-

(1.25)

3 1

где А = Б = 1, С = -,

п : {п £ 1,..., -/V, п ф щ ф щ ф щ ф пз}. Здесь нерезонансные амплитуды,

£ {^пз^пз}- амплитуды, отвечающие резонансным частотам.

Для начала обратимся к случаю чистого резонанса. Заметим, что для исследования устойчивости состояний равновесия системы (1.25) достаточно рассмотреть лишь резонансные уравнения. Осуществим для них переход к новым координатам, произведя замену Х{ = рг ехр г = По,..., П3. Новая система будет иметь вид

N

2рП0 = (1 - у{и2По - 1 ))рП0 - Ар3По - ВрПо \Рк\2~

к=\,кфпо

- СрП1рП2рПзсоз((рП0 ± (рП1 ± (рП2 ± (рПз), . . . ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бобок, Алексей Станиславович, 2013 год

Литература

[1] Анищенко, В. С. Сложные колебания в простых системах /

B. С. Анищенко. — М.: Наука, 1990.

[2] Анищенко, В. С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, А. Б. Нейман, Г. И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

[3] Боголюбов, H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский //,Наука, М., 1974.

[4] Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А.Б. Васильева, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов // Мат. сб. - 1986. — Т. 130, № 4. - С. 488 - 499.

[5] Витт, A.A. Распределенные автоколебательные системы / A.A. Витт // Журн. технич. физики. - 1934. - Т. 4, № 1. - С. 144 - 157.

[6] Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем /

C. Д. Глызин, А.Ю. Колесов. — Учебн. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. — 92 с.

[7] Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. X. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158, № 2. С. 291 - 310.

[8] Глызин, С.Д. Хаотическая буферность в цепочке связанных осцилляторов / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов //Дифференц. уравнения.—2005.—Т. 41, К0- 1—С. 41-49.

[9] Глызин, С.Д. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы/ С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов, Ж. вычисл. матем. и матем. физ—2006 —Т. 46, № 9—С. 1582—1593.

[10] Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. X. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1809 - 1821.

[11] Глызин С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов // Моделирование и анализ информационных систем. 2006. Т. 13, №1. С. 49 - 57.

[12] Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н.Х. Об одной математической модели хаотической буферности // ДАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 604 -609.

[13] Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 - 42.

[14] Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 - 89.

[15] Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684-701.

[16] Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86-105.

[17] Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 - 172.

[18] Кащенко, С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией / С. А. Кащенко // Докл. АН СССР.

- 1988. - Т. 299, №5. - С. 1049-1052.

[19] Кащенко, С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С. А. Кащенко // Диф. уравнения. — 1982.

- Т. 25, № 8. - С. 1448 - 1451.

[20] Кащенко, С.А. Уравнения Гинзбурга-Ландау- нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с

большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, № 3. — С. 457 - 465.

[21] Кащенко, И'.С. Квазинормальные формы для параболических систем с сильной нелинейностью и малой диффузией / И. С. Кащенко, С.А. Кащенко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2012. — Т. 52, № 8. - С. 1482 - 1491.

[22] Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S.A., Mayorov V. V. Modell volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dorn «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)

[23] Кащенко, С.А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями / С.А. Кащенко // Фундамент, и прикл. матем. — 1999. — Т. 5, № 4. - С. 1027 - 1060.

[24] Кащенко, С.А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями / С.А. Кащенко, В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин // Матем. моделирование. — 1995. — Т. 7, № 12. - С. 3 — 18.

[25] Кащенко, С.А. Асимптотика периодических решений автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии / С.А. Кащенко, A.C. Полетьянов // Модел. и анализ информ. систем — 2012. - Т. 19, № 1. - С. 7 - 23.

[26] Кащенко, С.А. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием / С.А. Кащенко, A.C. Полетьянов // Модел. и анализ информ. систем — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 55 — 60.

[27] Кащенко, С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т. 40, № 3. - С. 567 - 572.

[28] Кащенко, С.А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С.А. Кащенко,

B.В. Майоров // Матем. моделирование. — 1993. — Т. 5, № 12. —

C. 13 - 25.

[29] Кащенко, С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / С.А. Кащенко // Дифф. уравнения. - 1999. - Т. 35, № 10. - С. 1343 - 1355.

[30] Колесов, А.1Р. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. — М., 1998 (Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т. 222).

[31] Колесов, А. Ю. Явление буферности в резонансных системах гиперболических уравнений / А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов // УМН. 2000. - Т. 55. - Вып. 2 (332). - С. 95 - 120.

[32] Колесов, А. Ю. Явление буферности в распределенных механических системах / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // ПММ. — 2001. — Т. 65, Вып. 2. - С. 183 - 198.

[33] Колесов, Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией / Ю.С. Колесов // Укр. матем. журн. — 1987. — Т. 39, № 1. - С. 28 -34.

[34] Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 2004.

[35] Колесов, Ю.С. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии / А. Ю. Колесов - Изв. РАН. Сер. матем.-2001. - Т. 65:4. - С. 111132.

[36] Колесов, А.Ю. Математические аспекты теории развития турбулентности по Ландау / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов, В. А. Садовничий.,/ УМН, 63:2(380) (2008), - С. 21-84.

[37] Колесов, А.Ю. Явление буферности в нелинейной физике / Е.Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Тр.МИАН им.В.А.Стеклова.—2005.—Т. 250-С. 112-182.

[38] Колесов, А. Ю. Явление буферности в ЫСЬС-автогенераторе: теоретический анализ и результаты эксперимента/ Колесов А. Ю., Розов Н. X., Тр. МИАН.-2001.-Т. 233—С. 153-207.

[39] Колесов, А.Ю. Явление буферности в пространственно одномерном уравнении Свифта-Хоэнберга/А Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов,Тр. МИАН.-2010.-Т. 268-С. 137-154.

[40] Колесов, А.Ю. О природе явления буферности в слабо диссипатив-ных системах/Л. Ю. Колесов, Н. X. Розов, ТМФ—2006.—Т. 146, № 3-С. 447-466.

[41] Колесов, А.Ю. Явление буферности в математической модели генератора ван дер Поля с распределенными параметрами/Л. Ю. Колесов, Н. X. Розов, Изв. РАН. Сер. матем.-2001.-Т. 65, № 3-С. 67-84.

[42] Колесов, А.Ю. Параметрическая буферность в сингулярно возмущенном телеграфном уравнении с маятниковой нелинейностью/Л. Ю. Колесов, Н. X. Розов, Матем. заметки.—2001.—Т. 69, № 6— С. 866-875

[43] Колесов, А.Ю. Феномен буферности в нелинейной физике /

A.Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Тр. МИАН. — 2005.

- Т. 250. - С. 112 - 182.

[44] Колесов, А.Ю. К вопросу о теоретическом объяснении явления диффузионной буферности / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44, № 11. - С. 2020 - 2040.

[45] Колесов, А.Ю. Аттракторы типа жесткой турбулентности в релаксационных системах / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов //Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, № 12-С. 1596-1605.

[46] Колесов, А.Ю. Многочастотные автоколебания в двухмерных решетках связанных осцилляторов/Л. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов, Тр. ИММ УрО РАН.—2010.—Т. 16, № 5-С. 82-94.

[47] Колесов, А.Ю. Многочастотные автоколебания в двумерных решетках связанных осцилляторов /А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н.

X. Розов, Изв. РАН. Сер. матем.-2011.-Т. 75, № 3-С. 97-126 >

[48] Колесов, А.Ю. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / А.Ю. Колесов, Ю.С. Колесов. — М., 1993 (Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т. 199).

[49] Колесов, А.Ю. Теорема Тьюринга-Пригожина для систем параболических уравнений с малой диффузией / А. Ю. Колесов, Н. X. Розов,

B. А. Садовничий.,/ —М., Тр. семинара, Книжный дом.—2001—Т. 2

- С. 9 - 41.

[50] Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Анализ и особенности. Часть 2, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН. Т. 259. М.: Наука, 2007. С. 106-133.

Крылов, Н. М. Новые методы нелинейной механики / Н. М. Крылов, П. П. Боголюбов. - M.,JI.: ОНТИ, 1934.

Крылов, Н.М. Введение в нелинейную механику/ Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов //,Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. — М.: Наука, 1997. - 496 с.

Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией •/ Е.Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н. X. Розов— М., 2005, Физматлит.

Мищенко, Е. Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 1995.

Митрополъский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике ¡Ю.А. Митрополъский, О. Б. Лыкова, — М.: Наука, 1973.

Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. — М.: Наука, 1987.

Пуанкаре, А. Избранные труды в трех томах. Том I. Новые методы небесной механики / А. Пуанкаре. — М.: Наука, 1971.

Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д.В. Сандуляк, Дифференциальные уравнения.—2009.—Т. 45, № 14—С. 1664-1666.

Scott, С.A. Tunnel Diode Arrays for Information Processing and Storage/ C.A. Scott //IEEE Trans. Syst.,Man, Cybern.,SMC-1:3(1971)-P. 267-275.

Scott, C.A. Distributed Multimode Oscillators of One and Two Spatial Dimensions,/ C.A. Scott //, IEEE Trans, on circuit theory, CT-17:1 (1970)-P. 55 - 80.

Скотт, Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур / Э. Скотт!I Физматлит, М., 2007.

Hodgkin, A.L. A quantitative description of membrane current and application to conduction and excitation in nerve I A.L. Hodgkin, A. F. Huxley // Journal Physiol. - 1952. - V. 117. - P. 500 - 544.

Morris, C. Voltage oscillation in barnacle giant muscle fiber / C.Morris, H.Lecar // Biophys. J. - 1981. - V. 35. - P. 199 - 213.

[65] FitzHugh, R. Threshold and plateaus in the Hodgkin-Huxley nerve equations / R.FitzHugh // The Journal of Generical Physiology. — 1960. - V. 43. - P. 867 - 896.

[66] Nagumo, J. An active pulse transmission line simulating nerve axon / J.Nagumo, S.Arimoto, S.Youshizawa // Proc IRE. — 1962. — V. 50. — P. 2061 - 2070.

[67] Hindmarsh, J.L. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations / J. L. Hindmarsh, R. M. Rose // Proc. R. Soc. London. Ser. - 1984. - V. 221. - P. 87 - 102.

[68] Belykh, V.N. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems / V. N. Belykh, I. V. Belykh, M.Easier // Phys. Rev. E - 2000. - V. 62. - P. 6332 -6345.

[69] Huerta, R. Spike-train bifurcation scaling in two coupled chaotic neurons / R.Huerta, M. I. Rabinovich, H. D.I. Abarbanel, M.Bazhenov 11 Physical Review E. - 1997. - V. 55(N3 PTA). - P. 2108 - 2110.

[70] van der Pol, B. The nonlinear theory of electric oscillations, / B. van der Pol//, Proc. IRE, vol.22, 1934, - P. 1051 - 1086.