Локализация света в неупорядоченных дисперсных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Максименко, Владимир Викторович

• Максименко, Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Максименко, Владимир Викторович

Содержание

1 ВВЕДЕНИЕ

2 ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ОТКЛИК ИЗОЛИРОВАННОГО РАССЕИВАТЕЛЯ

2.1 Введение

2.2 Упругое рассеяние света частицей. Гамильтониан задачи, теория возмущений, диаграммная техника в пространственно неоднородных электронных системах

2.3 Поглощение света

2.4 Простейшие трехфотонные процессы на поверхности металлической частицы. Линейный механизм некоторых "нелинейных"процессов

2.5 Неупругое рассеяние света металлической частицей

2.6 Фотоэффект

2.7 Заключение

2.8 Итоги главы

3 ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В РАССЕЯНИИ И ПОГЛОЩЕНИИ СВЕТА СИСТЕМОЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОЧА-СТИЦ

3.1 Введение

3.2 Основные уравнения

3.3 Эффективная диэлектрическая проницаемость системы рассеивателей

3.4 Упругое рассеяние и поглощение

3.5 Электродинамика агрегированных частиц в далекой инфракрасной области спектра

3.6 Заключение

3.7 Приложение

4 ЛОКАЛИЗАЦИЯ СВЕТА В ФРАКТАЛЬНЫХ КЛАСТЕРАХ

4.1 Введение

4.2 Модель фрактального кластера

4.3 Перенормировка длины волны фотона и эффективная диэлектрическая проницаемость фрактального кластера

4.4 Сечение рассеяния

4.5 Агломерат фрактальных кластеров

4.6 Заключение

5 ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА "ОСТРОВЕ" ВАДЫ-БРАУЭРА И ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКИЙ

ЭФФЕКТ РЕБИНДЕРА

5.1 Введение

5.2 Эффективная диэлектрическая проницаемость системы складок границы раздела

5.3 Локализованный свет

5.4 Локализация и эффект Ребиндера

5.5 Заключение

6 ЭЛЕМЕНТЫ "КАТАСТРОФЫ ПУАНКАРЕ" ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ ФОТОНА НА ПАРЕ РЭЛЕЕВСКИХ ЧАСТИЦ

6.1 Введение

6.2 t-матрица рассеяния света на отдельной частице пары

6.3 Особенности теоретического описания локализации света

6.4 Свойства локализованного света

6.5 Обычное рэлеевское рассеяние

6.6 Возникновение эффективного фотон-фотонного взаимодействия в условиях локализации

6.7 Заключение

7 ГИГАНТСКОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ С ПОЗИЦИЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ СВЕТА

7.1 Введение

7.2 Классический механизм неупругого рассеяния

7.3 Многократное неупругое рассеяние и локализация

7.4 Локализованный свет

7.5 Сечение локализации и свойства локализованного света

7.6 Заключение

8 ПРОЯВЛЕНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ В ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССАХ

8.1 Введение

8.2 Основные уравнения. Потенциал взаимодействия

8.3 Макроскопические осцилляции концентрации

8.4 Заключение

9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализация света в неупорядоченных дисперсных средах»

1 ВВЕДЕНИЕ

Термин "локализация"получил свой современный статус после работы Андерсона 1958 года, в которой им были высказаны аргументы в пользу отсутствия диффузии в некоторых неупорядоченных решетках - каждый электрон при Т = О должен быть локализован в определенной области проводника [1]. В решетке без дефектов все состояния электрона делокализованы, волновая функция электрона проводимости - блоховская волна.

Происхождение андерсоновской локализации традиционно принято пояснять следующим примером [2]. Представим себе самолет, движущийся над горами. Если самолет движется достаточно высоко, то он не встречает препятствий. По мере снижения он оказывается ниже горных вершин. Если его маршрут строго определен (одномерное движение), то он наткнется на вершину. Если же он имеет возможность обогнуть вершину (двумерное движение), то он может оказаться ниже перевалов и после этого будет заперт. В трехмерном случае ситуация не так проста. Тем не менее, локализация не исключена и здесь. В квантовой механике частицы описываются волновой функцией, которая в принципе распространяется на бесконечное расстояние. Поэтому даже если частица летит высоко над потенциальным рельефом, то "горы"дают "эхо"в виде отраженных волн. Эти волны могут проинтерферировать так, что в результате частица окажется локализованной.

Какова природа интерференции, способной остановить электрон? Мы привыкли, что интерференция - прерогатива строго упорядоченной системы рассеивателей. Откуда она берется в неупорядоченной системе примесей? Предположим, что электрон, испытывая рассеяние на примесях, переходит из точки А в точку В. Он может при этом пройти по разным путям, неразличимым экспериментально (см. рис. 1 а). Согласно квантовой механике мы должны складывать не вероятности этих путей, а соответствующие им амплитуды вероятности. Если обозначить эти амплитуды Л*, то полная вероятность перехода из точки А в точку В равна квадрату модуля суммы всех амплитуд, т.е.

2 = + (1) г

Первое слагаемое описывает сумму вероятностей прохождения каждого пути, а второе соответствует интерференции разных амплитуд. Для большинства траекторий интерференция не важна, так как длины этих траекторий сильно отличаются, и поэтому сильно отличаются изменения фазы волновой функции на этих траекториях:

в

А<р = /Г1 J рсД, (2)

л

где р - импульс электрона. При суммировании по всем траекториям интерференционное слагаемое ввиду его осциллирующего характера обращается в нуль.

W =

А

О

а)

Ь)

Рис. I: а) Различные пути перехода из А в В; Ъ) Петля на траектории частицы

Однако, среди траекторий есть особые, для которых нельзя пренебречь интерференцией. Это траектории с самопересечениями (см. рис. 1 Ь). Каждой такой траектории в действительности соответствуют две амплитуды, отличающиеся направлением прохождения петли (по ходу вращения часовой стрелки и наоборот). Поскольку при изменении направления движения в формуле (2) происходит замена р на —р и <11 на —(11, то набег фазы Д</? при прохождении петли при этом не меняется. Две амплитуды в этом случае имеют одинаковые фазы и, следовательно, полная вероятность

оказывается в два раза больше, чем при сложении вероятностей. Таким образом, интерференционные эффекты, связанные с траекториями с самопересечениями, приводят к увеличению полной вероятности рассеяния, к увеличению сопротивления.

Причина локализации света в системе рассеивателей та же самая. Она по-прежнему связана с петлями на траектории, но уже не электрона, а фотона. Предположим, что на траектории фотона образовалась петля. Набег фазы фотона при двух альтернативных способах прохождения петли, как мы знаем, один и тот же, поэтому амплитуды вероятности, соответствующие этим двум способам, интерферируют конструктивно. Любая петля - это возврат в точку старта. Повышенная вероятность возвращения приводит к аномальному возрастанию рассеяния света в заднюю полусферу. Последнее стимулирует образование новых петель на траектории фотона и новое увеличение рассеяния света назад и т.д. Устанавливается своего рода механизм обратной связи, приводящий к тому, что фотон "увязает"в системе нетель и оказывается запертым в ограниченной области пространства, локализованным. При этом чем меньше собственное поглощение света материалом частиц, тем лучше проявляется локализация.

Критерием локализации в случае электрона является т.н. условие Иоффе-Регеля Ы < 1, где к - волновое число электрона (к = 2тг/Х - длина волны электрона, которая порядка фермиевской) и I = 1/псг - длина рассеяния ( а - сечение рассеяния, п - концентрация электронов, поглощением мы пренебрегаем)[3]. Это условие, как нетрудно показать, эквивалентно условию возможности самопересечения электронной траекто-

\Ах + л2|2 = |Л!|2 + |л2|2 + + А2Л; = 4 ¡А^

2

(3)

рии [2].

к

= * +

к

= I + * > + +

а)

Ь)

Рис. 2: а) Уравнение Бете-Солпитера в лестничном приближении; Ь) Блок веерных диаграмм

9 9 9 9 9 9

I / \ /1\ / \ / \ I

I / \ / I \ /о\ / \ I

I I \ / I \ / п I \ 1

_1—1 + л—I—Хл, + л-^—и + -

Рис. 3: Амплитуда рассеяния

Для описания локализации света используется уравнение Бете-Солпитера [4]. Это уравнение было введено для описания процесса взаимодействия двух микрочастиц: например, многократного кулоновского взаимодействия двух электронов или эффективного взаимодействия иных частиц, рассеивающихся на одних и тех же центрах. Типичный вид этого уравнения в т.н. лестничном приближении представлен на рис. 2 а). Горизонтальные линии - нропагаторы рассматриваемых частиц, пунктирные линии - потенциалы взаимодействия этих частиц с "примесями" , обозначенными точками. Блок К - амплитуда взаимодействия двух рассматриваемых частиц (т.н. неприводимая вершинная функция или четыреххвостка).

Каким образом это уравнение, описывающее совместное поведение двух частиц, оказывается востребованным для описания движения одного единственного фотона в системе рассеивателей? Дело в том, что вероятность или сечение рассеяния фотона согласно "золотому правилу" Ферми определяется усредненным квадратом модуля амплитуды рассеяния фотона Э на коллективе частиц. Типичный ряд теории возмущений для представлен на рис. 3 (волнистые линии - волновые функции падающего и рассеянного фотонов). Возведение ^ в квадрат приводит к появлению "второго этажа"у диаграмм для сечения рассеяния, и часть ряда теории возмущений для дифференциального сечения рассеяния (т.н. связные диаграммы) принимает форму уравнения Бете-Солпитера. Никакого физического смысла, вроде описания взаимодействия частиц, которое выполняет "настоящее"уравнение Бете-Солпитера, ряд теории возмущений для сечения не несет - откуда же взяться двум фотонам.

Локализация описывается т.н. веерным рядом, представленным на рис. 2 Ь). Эти

диаграммы описывают интерференцию амплитуд, соответствующих двум возможным способам прохождения замкнутой петли.

Обычно иоле (скалярное или векторное) и в системе частиц представляется в виде суммы [5-6]:

и = (и) + ипс.

Здесь (и) - среднее поле, называемое когерентным, ипс - отклонение значения поля от среднего. Оно называется флуктуационным или некогерентным. Его среднее значение (ипс) = 0. Усреднение подразумевается по пространственному распределению частиц. Квадрат амплитуды когерентного поля \{и)\2 называется когерентной интенсивностью, а средний квадрат амплитуды (|[/„с|2) - некогерентной интенсивностью. Полная интенсивность 1 является суммой когерентной и некогерентной шггенсивностей

I = (|(/|2) = (| {[/> + ипс |2) = \{и)\2 + (|[/пс|2) = 1С + 1пс.

Когерентная и некогерентная интенсивности соответствуют направленному и диффузному световым потокам. В рамках этого подхода, предложенного Фолди [7], необходимо получить уравнение для среднего ноля ({/) и средней интенсивности (|£/|2). Первое уравнение - имеет вид уравнения Дайсона:

([/) = и' + (С?°Е (С/)) ,

где иг - внешнее ноле, С0 - функция Грина соответствующего волнового уравнения, £ - т.н. массовый оператор, вид которого к сожалению приходится всякий раз ириду-мывать, исходи из особенностей задачи (впрочем, для £ существует целый ряд хорошо апробированных приближений), скобки обозначают интегрирование по внутренним координатам и суммирование по тензорным индексам, если они присутствуют. Вместо уравнения для (|/7|2) выписывают уравнение для так называемой функции когерентности (и^и^), отличающейся от первой тем, что значения нолей берутся в двух разных пространственных точках. Связано это с тем, что через функцию когерентности выражается т.н. яркость луча, широко используемая в теории переноса излучения [8-30]. Уравнение для (£/1^2) имеет структуру уравнения Бете-Солиитера

<£№*> - (щ) + т) т к (и,щ)).

Обычно предпочитают работать не с самими полями, а с соответствующими функциями Грина, и уравнение Бете-Солгштера пишется для усредненной двухфотонной функции Грина, предпочитая при этом импульсное представление. Используя это представление удается обосновать классическое уравнение переноса излучения. Введение коэффициента диффузии электромагнитной энергии представляется при таком подходе естественным шагом. Учет последовательности веерных диаграмм, ответственных

за локализацию, производится из эвристических соображений, используя принцип оптической обратимости. Их учет вызывает перенормировку коэффициента диффузии, и обращение этого коэффициента в нуль свидетельствует о наступлении локализации.

Решение уравнения переноса излучения значительно упрощается в рамках т.н. диффузионного приближения [19]. В его рамках распространение света рассматривается как диффузионный процесс, аналогичный диффузии газа. Вводится целый набор характерных длин, каждая из которых может быть определена экспериментально. Среди них т.н. длина рассеяния /.,, которая есть среднее расстояние между двумя последовательными актами рассеяния; транспортная длина определяемая как среднее расстояние, после прохождения которого распределение интенсивности света становится полностью изотропным; средняя длина неунругого рассеяния 1г - среднее расстояние, на которое проникает свет, прежде чем его интенсивность уменьшится в е раз (этот список может быть продолжен). Перенос нерассеянного или, как его еще называют, баллистического света осуществляется согласно уравнению Ламберта-Бэра:

/(г,0 = /(0,0ехр(-гД,). Диффузное распространение удовлетворяет уравнению диффузии

(^-ПА + ^Цг ,0 = 5(г,0, (4)

где I - интенсивность света, функция £ описывает источник, - т.н транспортная скорость. Коэффициент диффузии ЭМ-энергии В связан с и уе стандартным для диффузионных задач соотношением

О = ^грМ.

Этот подход неплохо описывает экспериментальные данные, что впрочем и неудивительно при таком обилие параметров.

Описанная выше схема выглядит довольно эклектичной. В процедуре введения коэффициента диффузии электромагнитной энергии вовсе нет никакой необходимости. Преимущества работы с уравнением Бете-Солнитера в импульсном представлении на самом деле обманчивы. В представленной работе удалось решить это уравнение непосредственно в координатном представлении. Это связано с тем, что упомянутая выше неприводимая четыреххвостка в веерном приближении оказывается локальной по некоторым своим аргументам, поскольку описывает движение фотона но замкнутой петле. На используемом в работе языке, есть когерентное рассеяние в направлении вперед, описываемое несвязными диаграммами для усредненного двухфотонного пропагатора, и некогерентное рассеяние, за которое ответственны связные диаграммы. Сечение рассеяния получается присоединением четырех волновых функций реальных фотонов к неприводимой четыреххвостке. Если локализация света есть, это тем или иным образом отразится на сечении рассеяния и на сечениях других электромагнитных процессов.

Коэффициенту диффузии ЭМ-энергии в рамках такого подхода просто не находится места. Поэтому отпадает вопрос о возможности его обращении в нуль. В рамках используемого подхода речь идет только об интерференционных поправках к сечениям электромагнитных п роцессов.

В литературе используются два термина: сильная и слабая локализация света [3173]. Сильной отвечает обращение коэффициента диффузии ЭМ-энергии в нуль. Слабая локализация (иначе, обратное когерентное рассеяние) - это появление очень интересного пика в направлении рассеяния строго назад при отражении света от некоторых дисперсных сред. Существует или нет сильная локализация в трехмерных системах в смысле зануления коэффициента диффузии - пока неизвестно. Мы полагаем, что нет, поскольку сама процедура введения этого коэффициента является совершенно излишней. Явление, которое мы собираемся описать, следовало бы назвать интерференционными поправками к рассеянию и поглощени, что несколько длинновато. Также уместно название: ослабленная сильная локализация или усиленная слабая локализация. Рассматриваемое явление названо просто локализацией.

В основе используемых построений лежит представление о локализованных фотонах как о типичных виртуальных частицах, аналогичных виртуальным фотонам квантовой электродинамики. Эти фотоны не связаны ни с детектором, ни с источником света. Типичный виртуальный фотон - это замкнутая петля фотонного пропагатора (свертка двух векторных потенциалов), вырастающая на линии, описывающей распространение электрона, и возникающая во втором порядке теории возмущений со стандартным электромагнитным гамильтонианом. Формально локализация связана с возникновением полюса в выражении для неприводимой четыреххвостки в ряде ТВ для усредненного двухфотонного пропагатора в системе частиц. Как известно, полюс подобного рода описывает связанные состояния пары взаимодействующих частиц, например, экситон. В задаче о распространении одного единственного фотона этот вертекс описывает эффективное взаимодействие пары виртуальных фотонов, обходящих замкнутую петлю на траектории в двух противоположных направлениях, точнее, интерференцию амплитуд, соответствующих этим двум направлениям обхода. Собственно, локализация в представлении автора есть образование связанного состояния этих двух виртуальных фотонов. Двухэтажность диаграмм для сечения рассеяния, загадка происхождения которых упоминалась выше, связана именно с эффективным взаимодействием этих фотонов.

Наше знакомство с локализацией начинается с простейшей системы - большого числа малых рэлеевских частиц, случайным образом расположенных в пространстве. Здесь много нерешенных проблем. Достаточно упомянуть об электромагнитных свойствах малых металлических частиц в далекой Р1К-СВЧ области спектра (длины волн от десятков микрон до десятков мм). Впервые с аномальными свойствами таких частиц столкнулись в 1975 году [74-85]. Пытались экспериментально проверить идею о квантовании энергетического спектра нанообьектов. Попутно выяснилось, что такие

частицы аномально сильно поглощают электромагнитное излучение в диапазоне 10 -10 мкм. Разница между экспериментальными данными и результатами расчета, основанного на классической электродинамике, составляла 5-6 порядков. Проблема сразу же привлекла к себе внимание и остается актуальной до сих пор.

Затем рассматриваются более сложные конструкции - фрактальные системы неодно-родностей: фрактальные кластеры, фрактальные границы раздела фаз и компонентов сложных сред и т.д [86-99]. Интерес к фрактальным кластерам связан со многими причинами, в частности, с появлением т.н.случайных или порошковых лазеров [100-116]. Для работы обычного лазера требуется выполнение двух условий: необходима усиливающая среда и механизм удержания света. Роль последнего выполняют два зеркала, пространство между которыми заполнено активной или усиливающей средой. Прежде чем усилиться, свет многократно проходит между ними. В случайном лазере роль зеркал играет многократно рассеивающая среда - кластеры (фрактальные в том числе) из наночастиц слабо поглощающего материала (например, 2пО). Еще один вариант случайного лазера - введение такого порошка в кювету лазера на жидких красителях. После облучения внешним источником света такой лазер обеспечивает как усиление, так и удержание света в системе за счет многократного перерассеяния. В отличие от регулярного лазера излучение случайного изотропно.

В чем особенности взаимодействия электромагнитного излучения с фрактальными системами неоднородностей? Прежде, чем ответить на этот вопрос, заметим, что физические процессы в таких системах традиционно разделяются на два типа. Это, во-первых, распространение волн или возбуждений но "фрактальной решетке когда фрактал является средой распространения (т.н. внутренние задачи). И, во-вторых, распространение возбуждений в однородной среде с погруженными в нее фрактальными неоднородностями (внешние задачи).

"Фрактальную решетку "моделируют обычно т.н. перколяционным кластером. Рассматривается некоторая правильная пространственная или плоская решетка узлов, каждый из которых соединен связями с ближайшими соседними узлами. Типичная физическая модель - соединенные в решетку электрические сопротивления [117]. Когда все сопротивления целы, каждый узел электрически связан с бесконечным числом других узлов - решетка имеет конечную проводимость. Пусть определенная доля (концентрация) 1 — р случайно расположенных связей разорвана. Тогда, если доля целых связей р мала, то равна нулю вероятность узлу быть соединенным с бесконечным числом узлов, т.е. принадлежать бесконечному кластеру. Эта вероятность будет равна нулю, пока доля целых связей р не достигнет некоторого порогового значения рс, называемого порогом перколяции. При р > рс имеется ненулевая вероятность узлу принадлежать бесконечному кластеру.

Оказывается, что этот бесконечный кластер выше порога перколяции имеет фрактальную структуру на масштабах, не превышающих некоторый масштаб На мас-

штабах больших £ система однородна. Длина £ называется корреляционной длиной перколяционного кластера. Кроме того, поведение различных величин вблизи порога перколяции является универсальным. Во-первых, доля узлов рг», принадлежащих бесконечному кластеру, выше порога перколяции универсальным образом зависит от разности концентраций целых связей и пороговой концентрации рс:

Рос ОС (р - Pcf. (5)

Или, вводя величину т = (р — рс) /рс:

Роо ост0. (6)

Показатель /3 не зависит от структуры решетки и определяется только евклидовой размерностью пространства d. Для двумерных решеток = 5/36, для трехмерных /5 = 0,4 [118].

Масштаб £ также универсальным образом зависит от т:

£ос|тГ, (7)

где показатель и также, как и /3, зависит только от размерности решетки: и = 4/3 для двумерной и и = 0,88 для трехмерной [118]. Точно на пороге перколяции масштаб £ бесконечен, концентрация связей, принадлежащих бесконечному кластеру, равна нулю и его плотность также равна нулю.

Выше порога перколяции масштаб £ конечен, и плотность кластера определяется выражением

р ос e~d, (8)

где D - фрактальная размерность кластера (на масштабах, меньших £). Соотношение (8) можно рассматривать как определение D. При г > £ плотность постоянна. Используя (7) и (8), плотность кластера можно записать в виде

рос Роо ос Г"7"- (9)

Сопоставляя это выражение с (7), находим связь D с универсальными показателями и и Р:

D = d — p/v. (10)

Фрактальная размерность, следовательно, также определяется только размерностью решетки и равна 1,89 для двумерных и 2,54 для трехмерных решеток.

Специфика внутренних задач хорошо иллюстрируется на примере фононного спектра фрактальной решетки. Как известно, плотность состояний фононного спектра кристаллической решетки определяется евклидовой размерностью пространства

г/р^оси/*-1. (11)

В фрактальном кластере, как показано в [119], эта зависимость иная:

"рИ = ^/г осш

где показатель df связан с фрактальной размерностью Б и показателем аномальной диффузии 9 соотношением

Эта величина получила название фрактонной размерности, а фононы фрактальной решетки называют фрактонами. Зависимость (12) характерна для высоких частот не ниже некоторой частоты кроссовера (ниже наблюдается обычный фононный спектр). Соотношение (13) позволяет оценить значение показателя аномальной диффузии. Существует предположение, что для 2 < (I < б значение г// = 4/3 независимо от значений £> и 0 (т.н. гипотеза Александера-Орбаха [120] или гипотеза сунеруниверсальности). Последние исследования показывают, что это не так [121], тем не менее, соотношение

следующее из (13), вполне пригодно в качестве приближенного правила.

В отличие от фононов фрактоны - сильно локализованные возбуждения. Пространственный масштаб локализации волновых функций фрактонов степенным образом зависит от частоты с показателем, равным отношению фрактальной размерности к фрак-тонной. Локализация проявляется при частотах, выше упомянутой частоты кроссовера. Локализация фрактонов приводит к специфическому поведению многих физических характеристик ФК. Как известно, в кристаллическом теле при температурах ниже десятков кельвинов теплопроводность растет благодаря переносу тепла фонолами, а затем быстро спадает вследствие возбуждения оптических фононов и снижения длины свободного пробега из-за рассеяния на них. В ФК температурная зависимость теплоемкости другая. После роста при температурах в несколько кельвинов теплопроводность выходит на плато, где практически не меняется до температур в несколько десятков кельвинов. Наличие плато связано с локализацией фрактонных мод: локализованные фрактоны сами не участвуют в переносе тепла и другим не дают, т.к. ограничивают длину свободного пробега фононов.

Особенности физики на "фрактальной решетке "иллюстрируются также задачами внутренней диффузии. Как известно, в любой однородной системе среднеквадратичное смещение диффундирующей частицы (Я2(£)) пропорционально времени

независимо от евклидовой размерности пространства. В перколяционной системе или при блуждании по фрактальной решетке для длин, меньших

9 = *-П-2,

(14)

<я2(0> ~ г

(15)

и

где величина 0 > 0 называется показателем аномальной диффузии [122]. В основе вывода соотношений типа (16) - замена обычного уравнения диффузии

^)=£>Дс(г,()

на уравнение с временной производной дробного порядка

дхс( г, г)

£>Дс(г, ¿).

где 0 < Л < 1,

3Ас(г,0 ) (г - 5)-а-1

= / с(г, 5)

¿)гА ] у ' ' Г(-Л)

(¿5

о

и Г (ж) - гамма-функция Эйлера [123-128]. Альтернативный подход к внутренней диффузии на фракталах - численное моделирование диффузии на фрактальных решетках, например на решетке Серпинского [96]. Физически замедление диффузии вызвано, например, гибелью диффундирующих частиц на т.н. "мертвых"концах ветвей фрактального кластера или зацикливанием частиц на петлеобразных фрагментах решетки. Выражение (16) можно рассматривать как описывающее диффузию в среде с переменным, зависящем от расстояния коэффициентом диффузии:

П(г)схг~°. (17)

Показатель 9 в общем случае не выражается через универсальные показатели ¡3 и и.

Теперь, вернемся к взаимодействию фракталов с излучением. Простейшее приближение, описывающее рассеяние электромагнитного излучения фрактальным кластером, использует степенное уменьшение плотности кластера к периферии. На этом основании логично предложить модель, в которой кластер моделируется многослойной сферической частицей. В дальнейшем можно использовать хорошо разработанный аппарат численного расчета оптических свойств слоистых частиц на основе теории Ми.

Второй подход к описанию оптических свойств фрактальных систем акцентирует внимание на необычных корреляциях в расположении частиц-мономеров фрактального кластера. Речь идет об особенностях т.н. структурного фактора кластера. Вспомним некоторые элементарные положения теории рассеяния света на коллективе частиц. Рассмотрим скалярную волну с волновым вектором кг, падающую на произвольную частицу, находящуюся в точке с радиус-вектором г (см. рис. 4). Падающее иоле в точке г нредставимо в виде Е(г) ~ егк,г . Поле, рассеянное частицей в направлении к/ и регистрируемое детектором, находящимся в точке с координатой К, может быть представлено как Е(И) ~ Е(г)егк/(а-г). В результате Е(П) ~ е,к'Ке*чг, где ц = к^ — к/ - т.н.

вектор рассеяния. Интенсивность рассеянной волны 1(с\) =

N

£ егчг-

¡=1

2

. Структурный

детектор

Рис. 4: Схема рассеяния

фактор определяется следующим образо

м

5(Ч) = N

-2

N £«

г=1

,гЧГ,

(18)

где N - полное число частиц. Соотношение (18) удобно переписать в эквивалентной форме

г j

Представим плотность частиц п(г) в системе в виде

N

п(г) = ЛГ1 £<5(Г - гО,

г

где <5 - дельта-функция Дирака. Тогда

N

= ЛГ / ещгп( г)с1т.

X

В результате структурный фактор 5(с}) можно представить так:

N N

= ЛГ^^е*4^-^ = п(г)п(г')е1ч(г-г,^Ыг', » з

а после замены переменных г — г' = II

5(ч) = 11 п(г)п(г - НУчКе&чШ. = / 2(11)егчК<Ж.. (19)

Величина

д(К) = у гг(г)п(г - 11)йг

называется автокорреляционной функцией плотности. Традиционно считается, что вся "фрактальность"системы рассеивателей "содержится"именно в этой функции. Действительно,

д(г) ~ И'3

где d - фрактальная размерность кластера. Из (19) следует, что S(q) — q~d. Последнее соотношение очень часто применяется для определения фрактальной размерности агломератов частиц, что безусловно является очень важной практической задачей.

Еще одна особенность электродинамики фрактальных кластеров - возможность существования в них очень сильных локальных электромагнитных полей. Как известно, отдельный атом в плотном окружении других атомов не чувствует сильных локальных полей своих соседей. Эти поля полностью компенсируют друг друга и остается плавный усредненный потенциал - т.н. поле Лоренца. Для регулярной кубической решетки частиц мы имеем ту же ситуацию. Иначе устроен фрактальный кластер. Считается, что в ФК влияние полей, окружающих выделенную частицу, также сглаживается за исключением ноля одного соседа. Выделенная частица находится в его динолыюы электрическом поле. Соответственно меняются ее электродинамические характеристики. В частности, если частица металлическая, происходит расщепление плазменного резонанса на два, соответствующих синфазным и асинфазным колебаниям электронной плотности спаренных таким образом частиц. Такого рода локальные поля обусловливают ярко выраженную нелинейность оптических характеристик фрактальных кластеров [129-155].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Максименко, Владимир Викторович, 2015 год

Список литературы

[1] Anderson P.W., Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev., 1958, v.109, p. 1492-1505.

[2 [3

И [5

[6

[7

[8 [9

[10

[П

[12

[13

[14

Абрикосов A.A., Основы теории металлов, Москва, Наука, 1987.

Ioffe A. and Regel А. , Non-crystalline, amorphous and liquid electronic semiconductors, Progress in Semiconductors, vol. 4, 1960.

Salpeter E.E., Bethe H.A., A relativistic equation for bound-state problem, Phys. Rev,, 1951, v. 84, No 6, p.1232-1242.

Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытов C.M., Татарский В.И., Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде, УФН, 1975, т.102, №1, с. 3-42.

Барабаненков Ю.Н., Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса излучения, УФН, 1975, т. 117, №1, с.49-78.

Foldy L.L., The multiple scattering of waves. 1. General theory of isotropic scattering by randomly distributed scatterers, Phys.Rev., 1945, v.67, p. 107-119.

Lax M., Multiple scattering of waves, Rev. Mod. Phys, 1951, v. 23, p.287-310.

Lax M., Multiple scattering of waves. II. The effective field in dense systems, Phys. Rev. 1952, v. 85, p.621-629.

Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, Москва, Иностранная литература, 1953.

Twersky V., Multiple scattering of waves and optical phenomena, J.Opt.Soc.Amer. 1962, v. 52, p.145-171.

Гнедин Ю.Н., Долгинов A.3., Теория многократного рассеяния, ЖЭТФ, 1963, т.45, №4, с.1136-1149.

Татарский В.И., Распространение электромагнитных волн в среде с сильными флуктуациями диэлектрической проницаемости, ЖЭТФ, 1964, т. 46, № 4, с.1399-1411.

Frish U., Wave propagation in random media. I. A theory of multiple scattering; II. Multiple scattering by N bodies, Paris, 1965.

[15] Финкельберг В.М., Распространение волн в случайно-неоднородной среде. Метод корреляционных групп, ЖЭТФ, 1967, т.53, №7, р.401-415.

[16] Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И., Введение в статистическую радиофизику, ч. II: Случайные поля, Москва, Наука, 1978.

[17] Исимару А., Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Москва, Мир, 1981, ч. 1, 2.

[18] Barabanenkov Y. N. and Ozrin V. D., Problem of light diffusion in strongly scattering media, Phys. Rev. Lett., 1992, v. 69, p. 1364-1367, .

[19] Lagendijk A., Tiggelen B.A. , Resonant multiple scattering of light, Phys. Reports, 1996, v.270, p.143-215.

[20] Sheng P., Introduction to Wave Scattering, Localization, and Mesoscopic Phenomena. Academic Press, San Diego, C.A., 1995.

[21] van Rossum M. C. W. and Nieuwenhuizen Т. M., Multiple scattering of classical waves: microscopy, mesoscopy, and diffusion, Rev. Mod. Phys., 1999, v. 71, no. 1, p. 313-371.

[22] Mishchenko M. I., Travis L. D. , and Lacis A. A., Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles, Cambridge U. Press, Cambridge, UK, 2002.

[23] Mishchenko M. I., Travis L. D., and Lacis A. A., Multiple Scattering of Light by Particles: Radiative Transfer and Coherent Backscattering, Cambridge U. Press, Cambridge, UK, 2006.

[24] Tsang L., Kong., Multiple scattering of electromagnetic waves by random distributions of discrete scatterers with coherent potential and quantum mechanical formalism, J.Appl. Phys., 1980, v. 51, No 7, p.3465-3485.

[25] Briggs J., Schwartz L., Electromagnetic wave propagation in an inhomogeneous medium: A perturbative approach, Phys. Rev. A., 1977, v. 16, p.1199-1208.

[26] Lamb W., Wood D.M., Ashcroft N.W., Long-wavelength electromagnetic propagation in heterogeneous media, Phys. Rev. B, 1980, v.21, No 6, p.2248-2266.

[27] de Vries P., van Coevorden D. V., and Lagendijk A., Point scatterers for classical waves, Reviews of modern physics, 1998, v. 70, p. 447.

[28] Kaas B. , Multiple Scattering of Waves in Anisotropic Random Media. PhD thesis, University of Twente, The Netherlands, 2008.

[29] Иванов А.П., Лойко B.A., Дик В.П., Распространение света в плотно-упакованных дисперсных средах, Минск, Наука и техника, 1988.

[30] Davis V.A.. Scwartz L., Electromagnetic propagation in close-packed disordered suspensions, Phys. Rev.B, 1985, v. 31, No 8, p.5155-5165.

[31] Барабаненков Ю.Н., О волновых поправках к уравнению переноса для направления назад, Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1973, т. 16, №1, с.88-96.

[32] John S., Electromagnetic absorption in a disordered medium near a photon mobility edge, Phys. Rev.Lett., 1984, v. 53, No 22, p.2169-2173.

[33] Albada M.P., Lagendijk A., Observation of weak localization of light in a random medium, Phys. Rev. Lett., 1985, v. 55, N 24, p.2692-2695.

[34] Wolf P.E., Maret G., Weak localization and coherent backscattering of photons in disordered media, Phys. Rev. Lett., 1985, v. 55, No 24, p.2696-2699.

[35] Akkermans E., Wolf P.E., Maynard R., Coherent backscattering of light by disordered media: analysis of peak line shape, Phys. Rev. Lett., 1986, v. 56, No 14, p.1471-1474.

[36] Kaveh M., Rosenbluh M., Edrei I. et al, Weak localization and light scattering from disordered solids, Phys. Rev. Lett., 1986, v. 57, p.2049-2052.

[37] Arya K., Su Z.B., Birman L., Anderson localization of electromagnetic waves in a dielectric medium of randomly distributed metal particles, Phys. Rev. Lett., 1986, v. 57, p.2725-2728.

[38] Stephen M.J., Cwilich G., Rayleigh scattering and weak localization, Phys. Rev. B,

1986, v. 34, No 11, p. 7564-7572.

[39] John S. , Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices, Phys. Rev. Lett., 1987, v. 58, no. 23, p. 2486, 1987.

[40] Городничев E.E., Дударев С.JI., Рогозкин Д.Б., Рязанов М.И., Когерентные эффекты при обратном рассеянии волн от среды со случайными неоднородностями, ЖЭТФ, 1987, т. 93, № 5, с.1642-1653.

[41] Kaveh М., Localization of photons in disordered systems, Philosophical Magazine B,

1987, v.56, No 6, p. 693-703.

[42] Виноградов А.Г., Гурвич А.С., Кашкаров С.С., Кравцов Ю.А., Татарский В.И., Эффект усиления обратного рассеяния, УФН, 1987, т. 152, № 4, с. 707-709.

[43] van der Mark М.В., Albada M.P., Lagendijk A. Light scattering in strongly scattering media: Multiple scattering and weak localization, Phys. Rev. B, 1988, v. 37, No 7, p. 3575-3592.

[44] Akkermans E., Wolf P., Maynard R., and Maret G., Theoretical study of the coherent backscattering of light by disordered media, J. Phys., 1988, v. 49, p. 77-98.

[45] Etemad S., Coherent backscattering of light by disordered media: the vector nature of a photon, Phys. Rev. B, 1988, v. 37, No 7, p. 3652-3653.

[46] Yosefin B.U., Bergman D., Weak localization and enhanced backscattering of light in dilute suspensions, Physica A, 1989, v. 157, p. 418-422.

[47] Drake J. M., Genack A. Z., "Observation of nonclassical optical diffusion,Phys. Rev. Lett., 1989, v. 63, p. 259-262.

[48] Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media, ed. by P. Sheng, World Scientific, Singapore, 1990.

[49] van Tiggelen B. A., Lagendijk A., Tip A., and Reiter G. F., Effect of resonant scattering on localization of waves, Europhysics Letters, 1991, v. 15, p. 535.

[50] van Albada M. P., van Tiggelen B. A., Lagendijk A., and Tip A., Speed of propagation of classical waves in strongly scattering media, Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, no. 24, p. 3132-3135.

[51] Peters K.J., Coherent-backscatter effect: A vector formulation accounting for polarization and apsorption effects and small or large scatterers, Phys. Rev. B, 1992, v. 46, No 2, p. 801-812.

[52] van Tiggelen B. A., Lagendijk A., van Albada M. P., and Tip A., Speed of light in random media, Physical Review B, 1992, v. 45, p. 12233-12243.

[53] van Tiggelen B. A., Multiple scattering and localization of light. PhD thesis, FOM Institute for Atomic and Mulecular Physiscs, 1992.

[54] Максименко В.В., Крикунов В.А., Лушников А.А., Сильная локализация света в плотноупакованной гранулированной среде, ЖЭТФ, 1992, т. 102, с. 1571-1586 .

[55] van Tiggelen В. A., Lagendijk A., and Tip A., Comment on problem of light diffusion in strongly scattering media, Physical Review Letters, 1993, v. 71, p. 1284-1287.

[56] Zhang Z.-Q. and Sheng P., Wave localization in random networks, Phys. Rev. B, 1994, v. 49, no. 1, p. 83.

[57] Sheng P., Introduction to Wave Scattering, Localization, and Mesoscopic Phenomena, Academic, San Diego, 1995.

[58] Lagendijk A., van Tiggelen B.A., Resonant Multiple Scattering of Light, Physics Reports, 1996, v. 270, p. 143-160.

[59] Sigalas M. M., Soukoulis C. M., Chan C.-T. , and Turner D., Localizaion of electromagnetic waves in two-dimensional disordered systems, "Phys. Rev. B, 1996, v. 53, no. 13, p. 8340-8348.

[60] Wiersma D. S., Bartolini P., Lagendijk A., and Righini R., Localization of light in a disordered medium, Nature, 1997, v.390, p. 671-673.

[61] de Vries P., van Coevorden D. V., Lagendijk A., Point scatterers for classical waves, Rev. Mod. Phys., 1998, v. 70, No 2, p. 447-466.

[62] van Tiggelen B. A., Localization of waves, in Wave Diffusion in Complex Media (J. P. Fouque, ed.), NATO Science, Kluver, 1998.

[63] Figotin A. and Klein A., Localization of light in lossless inhomogeneous dielectrics, J. Opt. Soc. Am., 1998, v. 15, No. 5, p. 1423-1435.

[64] SchefTold F., Lenke R., Tweer R., and Maret G., Localization or diffusion of light?, Nature, 1999, v. 398, p. 206.

[65] Wiersma D. S., Gomez-Rivas J., Bartolini P., Lagendijk A., Righini R. Reply: Localization or classical diffusion of light? Nature, 1999, v. 398, p. 207.

[66] van Rossum M. C. W., Nieuwenhuizen Th. M., Multiple scattering of classical waves: microscopy, mesoscopy, and diffusion, Rev. Mod. Phys., 1999, v. 71, No. 1, p. 314-370.

[67] van Tiggelen B. A., Lagendijk A., and Wiersma D. S., Reflection and transmission of waves near the localization threshold, Phys. Rev. Lett., 2000, v.84, no. 19, p. 4333-4336.

[68] van Tiggelen B. A., Lagendijk A., and Wiersma D. S-, Reflection and Transmission of Waves near the Localization Threshold, Physical Review Letters, 2000, v. 84, p. 4333-4336.

[69] van Tiggelen B. A., Lagendijk A., and Wiersma D. S., Radiative transfer of localized waves Proceedings of the NATO ASI "Photonic Crystals and Light Localization in the 21st century ed. C.M. Soukoulis (Kluwer, Dordrecht, 2001), p. 475-487.

[70] Wiersma D. S., Gottardo S., Sapienza R., Mujumdar S. et al., Light transport in complex photonic systems: from random lasers to photonic crystals, Proceedings of the NATO ASI "Wave Scattering in Complex Media: From Theory to Applications ed. B. van Tiggelen and S. Skipterov (Kluwer, Dordrecht, 2003), p. 3-20.

[71] Gurioli M., Bogani F., Cavigli L. et al., Weak Localization of Light in a Disordered Microcavity , Phys. Rev. Lett.,2005, v. 94, p. 183901-18904.

[72] Bertolotti J. , Vynck K., and Wiersma D. S., Multiple Scattering of Light in Superdiffusive Media, Phys. Rev. Lett.,2010, v. 105, p. 163902-163905.

[73] Burresi M., Radhalakshmi V., Savo R. et al., Weak Localization of Light in Superdiffusive Random Systems, Phys. Rev. Lett., 2012, v.108, p.110604-110608.

[74] Горьков Jl.П., Элиашберг Г.М., Мелкие металлические частицы в электромагнитном ноле, ЖЭТФ, 1965, т. 48. с. 1407- 1418.

[75] Tanner D.B., Sievers A.J., Buhrman R.A., Far-infrared absorption in small metallic particles, Phys. Rev. В., 1975, v. 11, p. 1330-1341.

[76] Granqvist C.G., Buhrman R.A., Wyns J., Sievers A.J., Far-ifrared absorption in ultfafine Al particles, Phys. Rev. Lett., 1976, v. 37, p. 625-629.

[77] Simanek E., Far-infrared absorption in ultrafine Al particles, Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, p. 1161-1163.

[78] Лушников A.A., Максименко В.В., Симонов А.Я., Поглощение низкочастотного электромагнитного излучения мелкими металлическими частицами, ФТТ, 1978, т. 20, № 2, с. 505-509.

[79] Granqvist C.G., Far-infrared absorption in ultrafine metallic particles: calculations based on classical and quantum mechanical theories, Z. Physik В, 1978, v. 30, p. 2946.

[80] Ruppin R., Far-infrared absorption in small metallic particles, Phys. Rev. B, 1979, v. 19, p. 1318-1321.

[81] Devaty R.P., Sievers A. J., Far-infrared absorption by small metal particles, Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, p. 1344-1347.

[82] Curtin W.A., Spitzer R.C., Ashcroft N.W., Sievers A.J., Effect of melting of the metallic component on the anomalous far-infrared absorption of superconducting Sn particle composites, Phys. Rev. Lett., 1985, v. 54, p. 1071-1074.

[83] Lee S.-I., Noh T.W., Cummings K. et al., Far-infrared absorption of silver-particle composites, Phys. Rev. Lett., 1985, v. 55, p. 1626-1629.

[84] Niclasson G.A., Yatsuya S., Granqvist C.G., Far-Infrared Absorption in Gas-Evaporated Al Particles: effect of a fractal structure, Solid State Comm., 1986, v. 59, p. 579-582.

[85] C. F. Bohren and D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, John Wiley Sons, 1983.

[86] Mandelbrot B.B., Fractals: Form, chance and dimension, San Francisco, Freeman, 1977.

[87] Mandelbrot B.B., The fractal geometry of nature, San Francisco, Freeman, 1983.

[88] Peitgen H.-O., Richter P.H., The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

[89] Barnsley M.F., Fractals Everywhere, Academic Press, 1988.

[90] Федер E., Фракталы, Москва, Мир, 1991.

[91] Bunde A., ed., Fractal and Disorder, North-Holland, Amsterdam, 1992.

[92] Смирнов Б.М., Фрактальные кластеры, УФН, 1986, т. 149, №2, с. 177-219.

[93] Смирнов Б.М., Аэрогели, УФН, 1987, т. 152, № 1, с. 133-157.

[94] Смирнов В.М., Физика фрактальных кластеров, Москва, Наука, 1991.

[95] Смирнов Б.М., Фрактальный клубок - новое состояние вещества, УФН, 1991, т. 161, № 8, с. 141- 153.

[96] Фракталы в физике, иод ред. Пьетронеро JI. и Тозатти Э., Москва, Мир, 1988.

[97] Кроновер P.M. , Фракталы и хаос в динамических системах, Москва, Постмаркет, 2000.

[98] Ролдугин В.И., Фрактальные структуры в дисперсных системах, Успехи химии, 2003, т. 72, с. 931-959.

[99] Ролдугин В.И., Свойства фрактальных дисперсных систем, Успехи химии, 2003, т. 72, с. 1027-1054.

[100] Letokhov V.S., Generation of light by a scattering medium with negative resonance absorption. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 1967, т. 53, с. 1442-1447; Sov. Phys. JETP, 1968, v.26, p. 835-840.

[101] Markushev V. M., Zolin V. F. Briskina Ch. M., Powder laser. Zh. Prikl. Spektrosk., 1986, v. 45, p. 847-850.

[102] Lawandy N. M., Balachandran R. M., Gomes A. S. L., Sauvain E., Laser action in strongly scattering media. Nature, 1994, v. 368, p. 436-438.

[103] Pradhan P., Kumar N., Localization of light in coherently amplifying random media. Phys. Rev. B, 1994, v.50, p. 9644-9647.

[104] Wiersma D. S., van Albada M. P., and Lagendijk A., Coherent backscattering of light from an amplifying medium, Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 1739-1742.

[105] Wiersma D. S., van Albada M. P., van Tiggelen B. A., Lagendijk A., Light diffusion with gain and random lasers. Phys. Rev. Lett., 1995, v. 74, p. 4193-4196.

[106] Wiersma D. S., van Albada M. P., Lagendijk A., Random laser? Nature, 1995, v. 373, p. 203-204.

[107] Wiersma D. S., Lagendijk A., Light diffusion with gain and random lasers. Phys. Rev. E, 1996, v. 54, p. 4256-4265.

[108] Beenakker C.W. J., Thermal radiation and amplified spontaneous emission from a random medium, Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 1829-1832.

[109] Cao H. et al. Random laser action in semiconductor powder. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 2278-2281.

[110] Jiang X. Y., Soukoulis С. M., Time dependent theory for random lasers. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 70-73.

[111] Cao H. et al. Spatial confinement of laser light in active random media. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 5584-5587.

[112] Cao H., Ling Y., Xu J. Y., Cao C. Q., Kumar P., Photon statistics of random lasers with resonant feedback. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 4524-4527.

[113] Laine R. M., Rand S. C., Hinklin Т., Williams G. R., Ultrafine powders and their use as lasing media. US Patent 6,656,588, 2003.

[114] Florescu L., John S., Photon statistics and coherence in light emission from a random laser. Phys. Rev. Lett., 2004, v. 93, p. 013602-013605.

[115] Milner V., Genack A. Z., Photon localization laser: Low-threshold lasing in a random amplifying layered medium via wave localization. Phys. Rev. Lett., 2005, v. 94, p. 073901-073904.

[116] Wiersma D. S., The physics and applications of random lasers, Nature physics, 2008, v. 4, p. 359-367.

[117] Шкловский Б.И., Эфрос А.П., Теория протекания и проводимость сильно неоднородных систем, УФН, 1975, т. 117, с. 401- 435.

[118] Зосимов В.В., Лямшев Л.М., Фракталы в волновых процессах, УФН, 1995, т. 165, №4, с. 361-401.

[119] Alexander S., Laerman С., Orbach R. et al, Fracton interpretation of vibrational properties of cross-linked polymers, glasses, and irradiated quartz, Phys. Rev. B, 1983, v. 28, p. 4615-4619.

[120] Rammal R., d'Auriac J.C.A., Benoit A., Universality of the spectral dimension of percolation clusters, Phys. Rev. B, 1984, v. 30, p. 4087-4089.

121] Aharony A., Stauffer D., Possible breakdown of the Alexander-Orbach rule at low dimensionalities, Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, p. 2368-2370.

122] Gefen Y., Aharony A., Alexander S., Anomalous diffusion on percolating clusters, Phys. Rev. Lett., 1983, v. 50, p. 77-80.

123] Nigmatulin R.R., The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Phys. Status Solidi B, 1986, v. 133, p. 425-430.

124] Wyss W., The fractional diffusion equation, J. Math. Phys., 1986, v. 27, p. 2782-2785.

125] Schneider W.R., Wyss W., Fractional diffusion and wave equations, J. Math. Phys., 1989, v. 30, p. 134-144.

126] Schneider W.R., Fractional diffusion, Lecture Notes in Physics, v. 355, Dynamics and Stochastic Processes. Theory and Applications, Berlin etc., Springer-Verlag, 1990, p. 276-286.

127] Metzler R., Glockle W.G., Nonnenmacher T.F., Fractional model equation for anomalous diffusion, Physica A, 1994, v. 211, p. 13-24.

128] Staufer D., Aharony A., Introduction to percolation theory, Taylor and Francis, 2003.

129] Shalaev V.M., Shtockman M.I., Optical properties of fractal clusters (susceptibility, surface enhanced Raman scattering by impurities), Sov.Phys.JETP, 1987, v. 65, p. 287.

130] Butenko A.V., Shalaev V.M., Shtockman M.I., Giant optical nonlinearities of impurities of fractal clusters, Sov.Phys.JETP, 1988, v. 67, p. 60.

131] Shalaev V.M., Butenko A.V., Stockman M.I., Fractals: Giant impurity nonlinearities in optics of fractal clusters, Z.Phys. D - Atoms, Molecules and Clusters, 1988, v. 10, p. 81-92.

132] Shalaev V.M., Botet R., Butenko A.V. , Localization of collective dipole excitations on fractals, Phys. Rev. B, 1993, v. 48, p. 6662-6664.

133] Shalaev V.M., Botet R., Tsai D.P. et al., Fractals: Localization of dipole excitations and giant optical polarizabilities, Physica A, 1994, v. 207, p. 197-207.

134] Markel V.A., Shalaev V.M., Stechel E.B. et al, Small-particle composites .1. Linear optical properties, Phys. Rev. B, 1996, v. 53, No 5, p. 2425-2436.

135] Shalaev V.M., Poliakov E.Y., Markel V.A., Small-particle composites.2. Nonlinear optical properties, Phys. Rev. B, 1996, v. 53, No 5, p. 2437-2449.

[136] Shalaev V.M., Electromagnetic properties of small-particle composites, Phys. Rep., 1996, v. 272, No 2-3, p. 61-137.

[137] Shalaev V.M., Poliakov E.Y., Markel V.A. et al., Surface-Enhanced Optical Nonlinearities of Nanostructured Fractal Materials, Fractals, v. 5 (suppl.), 1997, p. 63-82.

[138] Shalaev V. and Moskovits M. (Editors), Nanostructured Materials: Clusters, Composites, and Thin Films, ACS Symposium Series, 1997, v. 679, ACS Books, 1997.

[139] Shalaev V.M., Safonov V.P., Poliakov E.Y. et al. Fractal Surface Enhanced Optical Nonlinearities, Chapter 8: Nanostructured Materials: Clusters, Composites, and Thin Films, Eds; V. M. Shalaev and M. Moskovits, ACS Symposium Series v. 679, ACS Books, 1997.

[140] Botet R., Poliakov E.Y., Shalaev V.M., and Markel V.A., Fractal-Surface-Enhanced Optical Responses, in: Fractals in Engineering, Eds: J. Levy Vehel, E. Lutton and Claude Tricot, Springer-Verlag, London, 1997, p. 237.

[141] Shalaev V.M., Markel V.A., Poliakov E.Y.et al., Nonlinear Optical Phenomena in Nanostructured Fractal Materials, J. Nonlinear Optic. Phys. and Materials, 1998, v. 7, p. 131.

[142] Poliakov E.Y., Markel V.A., Shalaev V.M. et al, Nonlinear optical phenomena on rough surfaces of metal thin films, Phys. Rev. B, 1998, v. 57, No 23, p. 14901-14913.

[143] Shalaev V.M., Markel V.A., Poliakov E.Y. et al, Nonlinear optical phenomena in nanostructured fractal materials, J. Nonlinear Opt. Phys, 1998, v. 7, No 1, p. 131152.

[144] Shalaev V.M., Surface-Enhanced Optical Phenomena in Nanostructured Fractal Materials, Chapter in: Handbook of Nanostructured Materials and Nanotechnology, Volume 4: Optical Properties, Edited by H. S. Nalwa, Academic Press, 1999.

[145] Gresillon S., Rivoal J.C., Gadenne P. et al., Nanoscale Observation of Enhanced Electromagnetic Field, Phys. Stat. Sol., 1999, v. 175, p. 337.

[146] Poliakov E., Shalaev V.M., Shubin V. et al., Enhancement of nonlinear processes near rough nanometer-structured surfaces obtained by deposition of fractal colloidal sliver aggregates on a plain substrate, Phys. Rev. B, 1999, v. 60, No 15, p. 10739-10742.

[147] Sarychev A.K., Shalaev V.M., Giant high-order field moments in metal-dielectric composites, Physica A, 1999, v. 266, No 1-4, p. 115-122.

[148] Shalaev V.M., Nonlinear Optics of Random Media: Fractal Composites and Metal-Dielectric Films, Springer Tracts in Modern Physics, v.158, Springer, BerlinHeidelberg, 2000.

[149] Gadenne P., Quelin X., Ducourtieux S. et al., Direct observation of locally enhanced electromagnctic field, Physica B, 2000, v. 279, p. 52.

[150] Shalaev V.M., Electromagnetic properties of random composites. A review of basic approaches, Springer Tr. Mod. Phys., 2000, v. 158, p. 1-14.

[151] Sarychev V.K., Shalaev V.M., Electromagnetic field fluctuations and optical nonlinearities in metal-dielectric composites, Phys. Rep., 2000, v.335, No 6, p. 276371.

[152] Shalaev V.M., "Fractal Nano-Composites: Giant Local-Field Enhancement of Optical Responses,"Chapter in: Nanoscale Linear and Nonlinear Optics, eds: Bertolotti M. and Sibilia C., AIP, 2001.

[153] Shalaev V.M.(Editor), Optical Properties of Random Nanostructures, Springer Verlag, Topics in Applied Physics, v.82, Berlin Heidelberg, 2002.

[154] Sarychev A.K. and Shalaev V.M., Theory of Nonlinear Optical Responses in Metal-Dielectric Composites, Chapter in: Optical Properties of Random Nanostructures, Ed: Shalaev V.M., Springer Verlag, Topics in Applied Physics, Berlin-Heidelberg, 2002.

[155] Genov D.A., Sarychev A.K., Shalaev V.M.et al., Resonant Field Enhancement from Metal Nanoparticle Arrays, Nano Letters, 2004, v. 4, p. 153-158.

[156] Sapoval B., Gobron Th., Margolina A., Vibrations of fractal drums, Phys. Re v. Lett., 1991, v. 67, p. 2974-2977.

[157] Bunde A., Roman H.E., Russ S .et al, Vibrational excitations in percolation: Localization and multifractality, Phys.Rev.Lett., 1992, v. 69, p. 3189-3192.

[158] Petri A., Pietronero L., Multifractal nature of fractons on a percolating cluster, Phys. Rev. B, 1992, v. 45, p. 12864-12872.

[159] Alexander S., Courtens E., Vacher R., Vibrations of fractals - dynamic scaling, correlation-functions and inelastic light-scattering, Physica A, 1993, v. 195, No 3-4, p. 286-318.

[160] Claro F., Fuchs R., Collective surface modes in a fractal cluster of spheres, Phys. Rev. B, 1991, v. 44, p. 4109-4116.

[161] Ghosh K., Fuchs R., Critical behavior in the dielectric properties of random self-similar composites, Phys. Rev. B, 1991, v. 44, p. 7330-7343.

[162] Drager J., Russ S., Bunde A., Localization in random self-similar structures - universal behavior, Europhys Lett., 1995, v. 31, No 8, p. 425-430.

[163] Shalaev V.M., Moskovits M., Golubentsev A.A. et al., Scattering and localization of light on fractals, Physica A, 1992, v. 191, No 1-4, p. 352-357.

[164] Devries P., Deraedt H., Lagendijk A., Wave localization in disordered and fractal systems, Comput. Phys. Commun., 1993, v. 75, N 3, p. 298-310.

[165] Zhang Z.Q., Sheng P., Wave localization in random networks, Phys. Rev. B, 1994, v. 49, No 1, p. 83-89.

[166] Shalaev V.M., Botet R., Butenko A.V., Localization of collective dipole excitations on fractals, Phys. Rev. B, 1993, v. 48, p. 6662-6664.

[167] Zhang D.Z., Hu W., Zhang Y.L. et al, Experimental-verification of light localization for disordered multilayers in the visible-infrared spectrum, Phys. Rev. B, 1994, v. 50, No 14, p. 9810-9814.

[168] Bozhevolnyi S.I., Markel V.A., Coello V. et al., Direct observation of localized dipolar excitations on rough nanostructured surfaces, Phys. Rev. B, 1998, v. 58, No 17, p. 11441-11448.

[169] Shalaev V.M., Botet R., Tsai D.P. et al., Fractal-localization of dipole excitations and giant optical polarizabilities, Physica A, 1994, v. 207, No 1-3, p. 197-207.

[170] Shalaev V.M., Botet R., Tsai D.P. et al, Fractal-localization of dipole excitations and giant optical polarizabilities, Physica A, 1994, v. 207, No 1-3, 197-207.

[171] Gefen Y., Aharony A., Alexander S., Anomalous diffusion on percolating clusters, Phys. Rev. Lett., 1983, v. 50, p. 77-80.

[172] Aharony A. Anomalous diffusion on percolating clusters. In: Scaling phenomena in disordered systems, eds. Rynn R., Riste T., Plenum press, New York, 163-171, 1986.

[173] Sapoval B., Rosso M., Gouyet J.F., The fractal nature of a diffusion front and the relation to percolation, J. Phys. Lett., 1986, v. 46, p. L149-L156.

[174] Havlin S., Ben-Avraham D.: Diffusion in disordered media. Adv. Phys., 1987, v. 36, p. 695-798.

[175] Haus J.W., Kehr K.W.: Diffusion in regular and disordered lattices. Phys. Rep., 1987, v. 150, p. 263-406.

[176] Bouchaud J.-P., Georges A.: Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications. Phys. Rep., 1990, v. 195, p. 127-29.

[177] Gutfraind R., Sheintuch M., Anomalous scaling of diffusion and reaction processes on fractal catalysts, Chem. Eng. Sci., 1992, v. 47, N 9-11, p. 2787-2792.

[178] Coppens M.O., Froment G.F., Knudsen diffusion in porous catalysts with a fractal internal surface, Fractals, 1995, v. 3 No 4, p. 807-820.

[179] Coppens M.O., Froment G.F., Diffusion and reaction in a fractal catalyst pore .2. Diffusion and first-order reaction, Chem Eng. Sci., 1995, v. 50 No 6, p. 1027-1039.

[180] Bartelemy R, Bertolotti J., Wiersma D.: A Levy flight for light, Nature, 2008, v. 453, p. 495-498.

[181] Giona M., Adrover A., Schwalm W.A., Solution of transport schemes on fractals by means of Green function renormalization - Application to integral quantities, Fractals, 1997, v. 5, No 3, p. 473-491.

[182] Coppens M.O., The effect of fractal surface roughness on diffusion and reaction in porous catalysts - from fundamentals to practical applications, Catal. today, 1999, v. 53, No 2, p. 225-243.

[183] Максименко В.В., Загайнов В.А., Андреев Г.Б., Диффузия молекул в фрактальных кластерах атмосферы, сб. Физика атмосферного аэрозоля, Москва, 1999, р. 245-256.

[184] Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В., Введение в теорию вероятностей, Москва, Наука, 1982.

[185] 362. Максименко В.В., Загайнов В.А., Андреев Г.Б., Диффузия молекул в фрактальных кластерах атмосферы, сб. Физика атмосферного аэрозоля, Москва, 1999, р. 245-256.

[186] Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Хасанов А.А., Элементы самоорганизации при диффузии газа в системе нанонеоднородностей, Труды МФТИ, 2011, т. 3, с. 81-87.

[187] Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Замедленная диффузия полярных молекул в ансамбле проводящих наночастиц и ее влияние на чувствительность полупроводниковых сенсоров, Российские нанотехнологии, 2009, т.4, с. 134-139.

[188] Maksimenko V.V., Kupriyanov L.Yu. , Zagaynov V.A. et al., Interference Related Corrections to Classical Gas Diffusion in a System of Small Heterogeneities, Eur. Phys. J. B, 2013, v. 36, p. 555-565.

[189] Maksimenko V.V., Andreev G.B., Absence of Diffusion Through Fractal Interface, Physica A, 2001, v. 300, No 3-4, p. 339-349.

[190] Андреев Г.Б., Максименко В.В., Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред, Теоретическая и математическая физика, 2001, т. 128, № 2, с. 309-319.

[191] Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, Москва, Наука, 1962.

[192] Нозьер Д., Пайнс Ф., Теория квантовых жидкостей, Москва, Мир, 1967.

[193] Лушников А.А., Максименко В.В., Квантовая оптика металлической частицы, ЖЭТФ, 1993, т. 103, с. 1010-1044.

[194] Lushnikov A.A., Maksimenko V.V., Simonov A.J., Electromagnetic surface modes in small metallic particles, in Electromagnetic surface modes ed. by Boardman A.D., 1982, J. Wiley, Chichester, p. 305-344.

[195] Хакен X., Квантовополевая теория твердого тела, Москва, Наука, 1980.

[196] Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, Москва, Мир, 1960.

[197] Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, Физматгиз, 1962.

[198] Максименко В.В., Андреев Г.Б., Влияние формы проводящей аэрозольной частицы на ее светорассеивающие характеристики, сб. Естественные и антропогенные аэрозоли, Санкт-Петербург, 1998, с. 189-215.

[199] Boardman A.D. (Ed.), Electromagnetic surface modes, 1982, J. Wiley, Chichester.

[200] Ruppin R., Optical properties of small metal spheres. Phys. Rev. В , 1981, v. 11, 2871-2876.

[201] Агранович B.M., Гинзбург В.Л., Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов, Москва, Наука, 1979.

[202] Борен К., Хафмен Д., Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Москва, Мир, 1986.

[203] Мигдал А.Б., Качественные методы квантовой теории, Москва, Наука, 1979.

[204] Бродский A.M., Урбах М.И., Элетродинамика границы металл/электролит, Москва, Наука, 1989.

[205] Armstrong J.A., Bloembergen N., Ducuing J. et al, Interaction between light waves in a nonlinear dielectric, Phys. Rev., 1962, v. 127, p. 1918-1928.

[206] Бломберген H., Нелинейная оптика, Москва, Мир, 1966.

[207] Эритредж Дж. П., Гласс A.M., Нелинейные оптические эффекты, в сб. Гигантское комбинационное рассеяние, под ред. Ченга Р. и Фуртака Т., Москва, Мир, 1984, с.379-400.

[208] Simon H.J., Mitchell D.E., Watson J.G., Optical second harmonic generation with surface plasmons in silver films, Phys. Rev. Lett., 1974, v. 33, p. 1531-1533.

[209] Chen C.K., de Castro A.R.B., Shen Y.R., Surface enhanced second harmonic generation, Phys. Rev. Lett., 1981, v. 46, p. 145-148.

[210] Neviere M., Reinisch R., Maystre D., Surface-enhanced second-harmonic generation at a silver grating: a numerical study, Phys. Rev. B, 1985, v. 32, p. 3634-3641.

[211] Coutaz J.L., Neviere M., Pic E. et al, Experimental study of surface-enhanced second-harmonic generation on silver gratings, Phys. Rev. B, 1985, v. 32, p. 2227-2232.

[212] Акципетров О.А., Баранова И.М., Еловиков С.С. и др., Гигантская вторая гармоника и размерные эффекты в ультрамалых металлических частицах, Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41, № 12, с. 505-508.

[213] Leung К.М., Optical bistability in the scattering and absorption of light from nonlinear micropartides, Phys. Rev. B, 1986, v. 33, p. 2461-2464.

[214] Hua X.M., Gersten J.I., Theory of second-harmonic generation by small metal spheres, Phys. Rev. B, 1986, v. 33, p. 3756-3764.

[215] Corvi M., Schaich W.L., Hudrodynamic-model calculation of second-harmonic generation at a metal surface , Phys. Rev. B, 1986, v. 33, p. 3688-3695.

[216] Guyot-Sionnest P., Chen W., Shen Y.R., General considerations on optical second-harmonic generation from surfaces and interface, Phys. Rev. B, 1986, v. 33, p. 82548263.

[217] Weber M., Liebsch A., Density-functional approach to second-harmonic generation at metal surfaces, Phys. Rev. B, 1987, v. 35, p. 7411-7416.

[218] Stroud D., Hui P.M., Nonlinear susceptibilities of granular matter, Phys. Rev. B, 1988, v. 37, p. 8719-8724.

[219] Hache F., Ricard D., Girard C., Optical nonlinear response of small metal particles: A self-consistent calculation, Phys. Rev. B, 1988, v. 38, p. 7990-7996.

[220] Берестецкий В.Б., Лифшид Е.М., Питаевский Л.П., Квантовая электродинамика, М., Наука, 1980.

[221] Otto A., Surface enhanced Raman scattering, "classical"and "chemical"origins, in "Light scattering in solids v. IV, eds. Cardona M. and Guntherodt G., Springer, 1983.

[222] Гигантское комбинационное рассеяние, под ред. Ченга Р. и Фуртака Т., Москва, Мир, 1984.

[223] Metiu Н., Surface enhanced spectroscopy, Progr. in Surface Science, 1984, v. 17, p. 153-320.

[224] Moskovits M., Surface-enhanced spectroscopy, Rev. Mod. Phys., 1985, v. 57, p. 783827.

[225] Chew H., Kreibig U., Kerker M., Model for Raman and fluorescent scattering by molecules embedded in small particles, Phys. Rev. A, 1976, v. 13, p. 396-404.

[226] Kerker M., McNulty P.J., Sculley M. et al, Raman and fluorescent scattering by molecules embedded in small particles: Numerical results for incoherent optical processes, J. Opt. Soc. Am., 1978, v. 68, p. 1676-1686.

[227] Chew H., Sculley M., Kerker M. et al, Raman and fluorescent scattering by molecules embedded in small particles: Results for coherent optical processes, J. Opt. Soc. Am., 1978, v. 68, p. 1686-1689.

[228] Efrima S., Metiu H., Resonance Raman scattering by adsorbed molecules, J.Chem,Phys., 1979, v. 70, p. 1939-1950.

[229] Kerker M., Wang D.S., Chew H., Surface enhanced Raman scattering by molecules adsorbed at spherical particles, Appl. Opt., 1980, v. 19, p. 4159-4172.

[230] Gersten J.I., Weitz D.A., Gramila T.J. et al, Inelastic Mie scattering- theory and experiment, Phys. Rev. B, 1980, v. 22, p. 4562-4572.

[231] Maniv Т., Metiu H., Electron gas effects in the spectroscopy of molecules chemisorbed at a metal surface. I. Theory, J. Chem. Phys., 1980, v. 72, p. 1980-1986.

[232] Maniv Т., Metiu H., Some comments concerning the microscopic theory of Raman scattering by adsorbed molecules, Surface Science, 1980, v. 101, p. 399-406.

[233] Maniv Т., Metiu H., Electrodynamics at a metal surface with applications to the spectroscopy of adsorbed molecules. I. General theory, Phys. Rev. B, 1980, v. 22, p. 4731-4738.

[234] Gersten J.I., Nitzan A., Electromagnetic theory of enhanced Raman scattering by molecules adsorbed on rough surfaces, J.Chem.Phys., 1980, v. 73, p. 3023-3040.

[235] Otto A., Timper J., Billmann J. et al, Enhanced inelastic light scattering from metal electrodes caused by adatoms, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 46-49.

[236] Weitz D.A., Gramila T.J., Genack A.Z. et al, Anomalous low frequency Raman scattering from rough metal surfaces and the origin of surface-enhanced Raman scattering, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 355-358.

[237] Chen C.Y., Burstein E., Giant Raman scattering by molecules at metal island films, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 1287-1290.

[238] Bergman J.G., Chemla D.S., Liao P.F. et al, Relation between surface-enhanced Raman scattering and the dielectric properties of aggregated silver films, Opt. Lett., 1981, v. 6, p. 33-41.

[239] Maniv T., Raman scattering arising from reflectivity modulation by impurities loeated near the surface of a metal, Phys. Rev. B, 1982, v. 26, p. 2856-2860.

[240] Surface-Enhanced Raman Scattering -Physics and Applications, Eds. Kneipp K., Moskovits M., Kneipp H., Topics Appl. Phys., 103, 2006.

[241] Maksimenko V.V., Kupriyanov L.Yu., Zagaynov V.A., Agranovski I.E., SERS from Light Localization Positions, J. Raman spectroscopy, 2013, v.44, p. 382-392.

[242] Schmidt-Ott A., Schurtenberger P., Siegmann H.C., Enormous yield of photoelectrons from small particles, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 1284-1287.

[243] Penn D.R., Rendell R.W. Surface photoeffect in small spheres, Phys. Rev. B, 1982, v. 26, p. 3047-3067.

[244] Schwartz W.L., Schaich W.L., Multipole surface plasmons and photoemission yield spectra, Phys. Rev. B, 1984, v.30, p. 1059-1061.

[245] Ecardt W., Theory of photoemission from small metal particles, Solid State Commun., 1985, v. 54, p. 83-86.

[246] Inglesfield J.E., Photoabsorption and photoemission in small metal particles, Surf. Science, 1985, v. 156, p. 830-838.

[247] Penn D.R., Rendell R.W., Surface-enhanced photoabsorption and photoyield in small spheres, Phys. Rev. Lett., 1981, v. 47, p. 1067-1070.

[248] Jezequel G., Surface-photoelectric-yield spectrum of Indium below the plasmon energy, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 1963-1966.

[249] Maksimenko V.V., Simonov A.J., Lushnikov A.A., Far-infrared absorption in small metallic particles, Phys. Stat. Sol. B, 1977, v. 83, p. 377-382.

[250] Sarychev A.K. and Shalaev V.M. , Electrodynamics of Metamaterials, World Scientific, Singapore, 2007.

[251] Litchinitser N.M. and Shalaev V.M., Optical Metamaterials: Invisibility in Visible and Nonlinearities in Reverse, in Nonlinearities in Periodic Structures and Metamaterials: Springer Series in Optical Sciences, Vol. 150, edited by Denz C., Flach S., and Kivshar Yu.S., Springer, 2009.

[252] Litchintser N.M., Gabitov I.R., Maimistov A.I., Shalaev V.M., Negative Refractive Index Metamaterials in Optics, Progress in Optics, V. 51, Chapter 1, p. 1-68, 2008.

[253] Litchinitser N.M. and Shalaev V.M., Negative refraction, The McGraw-Hill Yearbook of Science and Technology, p. 230-233, 2008.

[254] Kildishev A.V., Klar T.A., Drachev V.P., and Shalaev V.M., Thin metal-dielectric nanocomposites with a negative index of refraction, Chapter 9 in: Nanophotonics with Surface Plasmons, ed. by Shalaev V.M. and Kawata S., Elsevier, 2007.

[255] Soucoulis C.M. (ed.), Photonic Crystals and Light Localization in the 21st Century, Kluwer Academic, Netherlands, 2001.

[256] Vollhardt D., Wolfle P.: Diagrammatic, selfconsistent treatment of the Anderson localization in d?2 dimensions. Phys. Rev. В., 1980, v.22, p. 4666-4679.

[257] Gor'kov L.P., Larkin A.L., Khmel'iiitskii D.E.: Particle conductivity in a two-dimensional random potential. JETP Lett., 1979, v. 30, p. 228-232.

[258] Lee P. A., Ramakrishnan T.V.: Disordered electronic systems. Rev. Mod. Phys., 1985, v.57, p. 287-337.

[259] Ландау Л.Д., Лнфшнц E.M., Теоретическая физика, т. VIII. Электродинамика сплошных сред, Москва, Наука, 1982.

[260] Bruggeman D., Dielectric constant and conductivity of mixtures of isotropic materials, Ann. Phys.(Leipzig), 1935, v. 24, p. 636.

[261] Stroud D., Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous medium, Phys. Rev. B, 1975, v. 12, p. 3368-3373.

[262] Granqvist C.G., Hunderi O., Optical properties of Ag-SiO cermet films: a comparison of effective-medium theories, Phys. Rev. B, 1978, v. 18, p. 2897-2906.

[263] Sheng P., Theory for the dielectric function of granular composite media, Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 60-63.

[264] Niklasson G.A., Granqvist C.G., Hunderi O., Effective medium models for the optical properties of inhomogeneous media, Appl. Opt., 1981, v. 20, p. 26-30.

[265] Hui P.M., Stroud D., Complex dielectric response of metal-particle clusters, Phys. Rev. B, 1986, v. 33, p. 2163-2169.

[266] Busch K. and Soukoulis С. M., Transport properties of random media: A new effective medium theory, Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, No 19, p. 3442.

[267] Борен К., Хафмен Д., Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Москва, Мир, 1986.

[268] Виноградов А.П., Электродинамика композитных материалов, Москва, УРСС, 2001.

[269] Landauer R., The electrical resistance of binary metallic mixtures. J. Appl. Phys., 1952, v. 23, p. 779-784.

[270] Kreibig U., von Fragstein C., The limitation of electron mean free path in small silver particles. Z. Phys., 1969, v. 224, p. 307-323.

[271] Dupree R., Smithard M.A., The electronic properties of small metal particles: the electric polarizability, J. Phys. C: Solid State Phys., 1972, v. 5, p. 408-414.

[272] Kreibig U., Electronic properties of small silver particles: the optical constants and their temperature dependence, Phys. F: Metal. Phys., 1974, v. 4, p. 999-1014.

[273] Lushnikov A.A., Simonov A.J., Surface plasmons in small metal particles, Z. Physik, 1974, v. 270, p. 17- 24.

[274] Ganiere J.-D., Rechsteiner R., Smithard M.-A., On the size dependence of the optical absorption due to small metal particles, Solid. State. Comm., 1975, v. 16, p. 113-115.

[275] Lushnikov A.A., Simonov A.J., Excitation of surface plasmons in metal particles by fast electrons and X rays, Z.Physik B, 1975, v. 21, p. 357-362.

[276] Lushnikov A.A., Maksimenko V.V., Simonov A.J., Surface plasmons in small layer metal particles, Solid state Comm., 1976, v. 20, p. 545-547.

[277] Лушников A.A., Максименко В.В., Симонов А.Я., Электромагнитные свойства малых металлических частиц, сб. Диспергированные металлические пленки, 1976, изд. АН УССР, Киев, с. 72-78.

[278] Granqvist С.G., Hunderi О., Optical properties of ultrafine gold particles. Phys. Rev. B, 1977, v. 16, p. 3513-3534.

[279] Lushnikov A.A., Maksimenko V.V., Simonov A.J., Surface plasma oscillations in layer metal particles, Z.Phyzik B, 1977, v. 27, p. 321-324.

[280] Maksimenko V.V., Simonov A.J., Lushnikov A.A., Surface plasmons in thin metal films, circular cylinders, and spherical voids, Phys. Stat. Sol. B, 1977, v. 82, p. 685693.

[281] Maksimenko V.V., Simonov A.J., Lushnikov A.A., Far-infrared absorption in small metallic particles, Phys. Stat. Sol. B, 1977, v. 83, p. 377-382.

[282] Granqvist C.G., Hunderi O., Optical absorption of ultrafine metal spheres with dielectric cores, Z. Physik B, 1978, v. 30, p. 47-51.

[283] Normann S., Andersson T., Granqvist C.G., Optical properties of discontinuous gold films, Phys. Rev. В., 1978, v. 18, p. 674-695.

[284] Granqvist C.G., Hunderi O., Selective absorption of solar energy in granular metals: The role of particle shape, Appl. Phys. Lett., 1978, v. 32, p. 798-800.

[285] Ruppin R., Optical properties of spatially dispersive dielectric spheres, J. Opt. Soc. Am., 1981, v. 6, p. 755-758.

[286] Feldcrhof B.U., Bounds for the effective dielectric constant of a suspension of uniform spheres, J. Phys. C., 1982, v.15, p. 3953-3958.

[287] Лушников А.А., Максименко В.В., Симонов А.Я., Диэлектрическая проницаемость дисперсных систем, ДАН СССР, 1984, т. 282, № 6, р. 1348- 1352.

[288] Hua Х.М., Gersten J.I., Classical theory for electromagnetic-radiation absorption by a small metallic particle, Phys. Rev. В., 1985, v. 31, p. 855-866.

[289] Лушников A.A., Максименко В.В., Симонов А.Я., Сутугин А.Г., Рассеяние электромагнитных волн заряженными частицами, Известия Вузов. Радиофизика,

1984, т. XXVII, № 6, р. 726-733.

[290] Yamaguchi T., Sakai M., Saito N., Optical properties of well-defined granular metal systems, Phys. Rev. B, 1985, v. 32, p. 2126-2132.

[291] Лушников А.А., Максименко В.В., Симонов А.Я., и др., Оптические свойства малых металлических частиц, пренр. ИТФ СО АН СССР, 1985, т. 133, р. 1-62.

[292] Kreibig U., Genzel L., Optical absorption of small metallic particles, Surface Science,

1985, v. 156, p. 678-700.

[293] Sutugin A.G., Osipov V.P., Maksimenko V.V., The resonance scattering of the electromagnetic radiation by charged particles in the atmosphere, Proceedings 8 th international conference on atmospheric electricity, 1988, Uppsala, Sweden, p. 19881997.

[294] Максименко B.B., Крикунов В.А., Лушников A.A., Потапов В.К., Поверхностные плазмон-полярнтоны в островковой металлической пленке, Поверхность. Физика, химия, механика, 1988, № 10, р. 21-28.

[295] Felderhof B.U., Jones R.B., Effective dielectric constant of dilute suspensions of spheres, Phys. Rev. B, 1989, v. 39, p. 5669-5677.

[296] Liebch A., Persson B.N.J., Optical properties of small metallic particles in a continuous dielectric medium, J.Phys.C.: Solid State Phys., 1983, v. 16, 5375-5391.

[297] Jones A.R., Scattering efficiency factors for agglomerates of small spheres, J. Phys. D: Appl. Phys., 1979, v. 12, p. 1661-1672.

[298] Bottiger J.R., Fry E.S., Thompson R.C., Phase matrix measurements for electromagnetic scattering by sphere aggregates. Ed. Shuerinan D., Light scattering by irregularly shaped particles, New York, 1980, p. 283-290.

[299] Gerardy J.M., Ausloos M., Absorption spectrum of clusters of spheres from the general solution of Maxwell's equations. II. Optical properties of aggregated metal spheres, Phys. Rev. B, 1982, v. 25, No 6, p. 4209-4229.

[300] Martin J.E., Ackerson B.J., Static and dynamic scattering from fractals, Phys. Rev. A, 1985, v. 31, p. 1180-1182.

[301] Maggipinto G., Minafra A., Tritto F., Optical spectra of amorophous carbon graines, Astrophysica and Space Science, 1985, v. 108, p. 101-111.

[302] Niclasson G.A., Granqvist C.G., Infrared-optical properties of gas-evaporated gold blacks: evidence for anomalous conduction on fractal structures, Phys. Rev. Lett., 1986, v. 56, p. 256-258.

[303] Berry M.V., Percival I., Optics of fractal clusters such as smoke, Optica Acta, 1986,v. 33, p. 571-591.

[304] Martin J.E., Hurd A.J., Scattering from fractals, J. Appl. Cryst., 1987, v. 20, p. 61-78.

[305] Niclasson G.A., Optical properties of gas-evaporated metal particles: Effect of a fractal structure, J. Appl. Phys., 1987, v. 62, p. 258-265.

[306] Niclasson G.A., Fractal aspects of the dielectric response of charge carriers in disordered materials, J. Appl. Phys., 1987, v.62, p. R1-R14.

[307] Кондратьев К.Я., Москаленко Н.И., Скворцова С.Я. и др., Моделирование оптических характеристик сажевого аэрозоля, Докл. АН СССР. Сер. Геофизика, 1987, т. 296, р. 314-317.

[308] Chen Z., Sheng P., Optical properties of aggregate clusters, Phys. Rev. B, 1988, v. 37, p. 5232-5235.

[309] Iskander M.F., Chen H.Y., Penner J.E., Optical scattering and absorption by branched chains of aerosols, Appl. Optics, 1989,v. 28, p. 3083-3091.

[310] Chen H.Y., Iskander M.F., Light scattering and absorption by fractal agglomerates and coagulations of smoke aerosols, J. Mod. Opt., 1990, v. 32, p. 171-181.

[311] Butenko A.V., Chubakov P.A., Danilova Yu.E., Karpov S.V. et al., Nonlinear optics of metal fractal clusters, Z.Phys.D- Atoms, Molecules, and Clusters, 1990, v. 17, p. 283.

[312] Markel V.A., Muratov L.S., Stockman M.I. et al, Theory and numerical-simulation of optical-properties of fractal clusters, Phys. Rev. B, 1991, v. 43, No 10, p. 8183-8195.

[313] Dobbins R.A., Megaridis C.M., Absorption and scattering of light by polydisperse aggregates, Appl. Optics., 1991, v. 30, p. 4747-4754.

[314] Shalaev V.M., Botet R., and Jullien R., Resonant light scattering by fractal clusters, Phys. Rev. B, 1991, v. 44, p. 12216.

[315] Zabel I.H., Stroud D., Metal clusters and model rocks: Electromagnetic properties of conducting fractal aggregates, Phys. Rev. B, 1992, v. 46, p. 8132-8138.

[316] Sorensen C.M., Cai J., Lu N., Light-scattering measurements of monomer size, monomers per aggregate, and fractal dimension for soot aggregates in flames, Appl. Opt., 1992, v. 31, p. 6547-6557.

[317] Кузьмин B.H., Влияние агрегации атмосферной сажи на ее оптические свойства в модели фрактального кластера, Изв. РАН ФАО, 1992, т.28, №9, с. 953-957.

[318] Chylek, P., Hallett J., Enhanced absorption of solar radiation by cloud droplets containing soot particles in their surface, Q. J. Royal. Met. Soc., 1992, v.118, p. 167172.

[319] Shalaev V.M., Stockman M.I., and Botet R., Resonant excitations and nonlinear optics of fractals, Physica A, 1992, v. 185, p. 181.

[320] Pearson A., Anderson R.W., Long-range pair correlation and its role in small-angle scattering from fractal clusters, Phys. Rev. B, 1993, v. 48, p. 5865-5885.

[321] Singham S.B., Bohren C.F., Scattering of unpolarized and polarized-light by particle aggregates of different size and fractal dimension, Langmuir, 1993, v. 9, No 5, p. 14311435.

[322] Borghese F., Denti P., Saija R., Optical properties of spheres containing several spherical inclusions, Appl. Optics, 1994, v. 33, No 3, p. 484-493.

[323] Douketis C., Haslett T.L., Shalaev V.M. et al, Fractal character and direct and indirect transitions in photoemission from silver films, Physica A, 1994, v. 207, No 1-3, p. 352359.

[324] Dobbins R.A., Mulholland G.W., Bryner N.P., Comparison of a fractal smoke optics model with light extinction measurements, Atmosph. Envir., 1994, v. 28, No 5, p. 889-897.

[325] Shalaev V., Markel V.A., Safonov V.P., Botet R., Resonant optics of fractals, Fractals, 1994, v. 2, p. 201.

[326] Fuller K.A., Scattering and absorption cross sections of compounded spheres. I. Theory for external aggregation, J. of OSA, 1994, v. 11, No 12, p. 3251-3260.

[327] Fuller K.A., Scattering and absorption cross sections of compounded spheres. II. Calculations for external aggregation, J.of OSA, 1995,v. 12, No 5, p. 881-892.

[328] Fuller K.A., Scattering and absorption cross sections of compounded spheres. III. Spheres containing arbitrary located spherical inhomogeneities, J.of OSA, 1995, v. 12, No 5, p. 893-904.

[329] Хлебцов Н.Г., Мельников А.Г., Деполяризация света при рассеянии на фрактальных кластерах частиц дымов: Приближенная анизотропная модель, Оптика и спектроскопия, 1995, т. 79, р. 605-609.

[330] Farias T.L., Carvalho M.G. et al, Computational evaluation of approximate Rayleigh-Debye-Gans. Fractal aggregate theory for the absorption and scattering properties of Soot, J. Heat. Transfer, 1995, v. 117, p. 152-159.

[331] Sanchez-Gil J.A., Garcia-Ramos J.V., Strong surface field enhancements in the scattering of p-polarized light from fractal metal surfaces, Opt. Commun., 1997, v. 134, p. 11-15.

[332] Ishii K., Iwai Т., Asakura Т., Polarization properties of the enhanced backscattering of light from the fractal aggregate of particles, Opt. Rev., 1997, v. 4, No 6, p. 643-647.

[333] Shalaev V.M., Poliakov E.Y., Markel V.A. et al, Nonlinear optics of fractal nanomaterials: Small-particle composites and self-affine thin films, Physica A, 1997, v. 241, No 1-2, p. 249-258.

[334] Максименко В.В., Особенности поглощения света фрактальным кластером, Оптика атмосферы и океана, 1997, т. 10, № 10, с. 21-28.

[335] Markel V.A., Shalaev V.M., Poliakov E.Y. et al, Numerical studies of second- and fourth-order correlation functions in cluster-cluster aggregates in application to о ptical scattering, Phys. Rev. E, 1997, v. 55, No 6, p. 7313-7333.

[33G] Markel V.A., Shalaev V.M., Poliakov E.Y. et al, Fluctuations of light scattered by fractal clusters, J. Opt. Soc. Am. A, 1997, v. 14, No 1, p. 60-69.

[337] Sanchez-Gil J.A., Garcia-Ramos J.V., Far-field intensity of electromagnetic waves scattered from random, self-affine fractal metal surfaces, Wave Random Media, 1997, v. 7, No 3, p. 285-293.

[338] Sanchez-Gil J.A., Garcia-Ramos J.V., Calculations of the direct electromagnetic enhancement in surface enhanced Raman scattering on random self-affine fractal metal surfaces, J. Chem. Phys, 1998, v. 108, N 1, p. 317-325.

[339] Vlasov Y.A., Kaliteevski M.A., Nikolaev V.V., Different regimes of light localization in a disordered photonic crystal, Phys. Rev. B, 1999, v. 60, No 3, 1555-1562.

[340] Coello V., Bozhevolnyi S.I., Near-field optical microscopy of fractal structures, Nanotechnology, 1999, v. 10, No 1, p. 108-112.

[341] Gresillon S., Rivoal J.C., Gadenne P. et al, Nanoscale observation of enhanced electromagnetic field, Phys. Status Solidi A, 1999, v. 175, No 1, p. 337-343.

[342] Mishchenko M.I., Travis L.D., Macke A., T-matrix method and its applications in light scattering by nonspherical particles: Theory, measurements, and applications. N.Y., Academic Press, 1999.

[343] Maksimenko V.V., Antoine's Localization of Photon inside Fractal Cluster, Fractal in Engineering, Delft, Netherlands, 1999, p. 355-358.

[344] Sotelo J.A., Niklasson G.A., Optical properties of quasifractal metal nanoparticle aggregates, Nanostruct. Mater., 1999, v. 12, No 1-4, p. 135-138, Part A Sp. Iss.

[345] W. Kim,V. P. Safonov,V. M. Shalaev,R. L. Armstrong, Fractals in Microcavities: Giant Coupled Multiplicative Enhancement of Optical Responses, Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 4811.

[346] Максименко В.В., Лушников А.А., Фазовый переход видимость-невидимость в фрактальном кластере, Письма в ЖЭТФ, 1993, т. 54, № 4, с. 204-209.

[347] Ducourtieux S., Gresillon S., Boccara А.С. et al, Percolation and fractal composites: Optical studies, J. Nonlinear Opt. Phys, 2000, v. 9, No 1, p. 105-116.

[348] Haudebourg V., Cabane M., Levasseur-Regourd A.C. et al, Polarization of the light by aggregated fractal particles, Cr. Acad. Sci. IV-Phys, 2000, v. 1 (4), p. 537-542.

[349] Sanchez-Gil J.A., Garcia-Ramos J.V., Mendez E.R., Near-field electromagnetic wave scattering from random self-affine fractal metal surfaces: Spectral dependence of local field enhancements and their statistics in connection with surface-enhanced Raman scattering, Phys. Rev. B, 2000, v. 62, No 15, p. 10515-10525.

[350] Karpov S.V., Bas'ko A.L., Popov A.K. et al, Optical spectra of silver colloids within the framework of fractal physics, Colloid. J., 2000, v. 62, No 6, p. 699-713.

[351] Maksimenko Y.V., Light Localization in Fractal Systems, in Biophotonics and Coherent Systems, Moscow University Press, 2000, Moscow, p. 151- 171.

[352] Sorensen C.M., Light scattering by fractal aggregates: a review, Aerosol Science and Technology, 2001, v. 35, p. 648-687.

[353] Максименко B.B., Галямов Б.Ш., Мальцев П.П., Фрактальные кластеры и микросистемная техника - I. Локализация и остановка света в системе непоглощающих наночастиц, Микросистемная техника, 2001, № 7, с. 29-35.

[354] Максименко В.В., Галямов Б.Ш., Мальцев П.П., Фрактальные кластеры и микросистемная техника - II. Диэлектрическая проницаемость фрактального кластера, Микросистемная техника, 2001, № 8, с. 25-30.

[355] Максименко В.В., Галямов Б.Ш., Мальцев П.П., Фрактальные кластеры и микросистемная техника - III. Локализация света, индуцированное излучение, "сверхпроводимость "света, "телепортация Микросистемная техника, 2001, № 9, с. 13-19.

[356] Drachev V.P., Bragg W.D., Podolskiy V.A. et al., Large Local Optical Activity in Fractal Aggregates of Nanoparticles, J. Opt. Soc. Am., 2001, v. В 19, p. 11.

[357] Kim W.T., Safonov V.P., Drachev V.P. et al., Fractal-Microcavity Composites: Giant Optical Responses, Chapter in: Optical Properties of Random Nanostructures, Ed: V.M. Shalaev, Springer Verlag, Topics in Applied Physics, Berlin Heidelberg ,2002.

[358] Shalaev V.M., Optical Properties of Fractal Composites, Chapter in: Optical Properties of Random Nanostructures, Ed: V.M. Shalaev, Springer Verlag, Topics in Applied Physics v.82, Berlin Heidelberg, 2002.

[359] Максименко В.В., Куприянов Л.Ю., Загайнов В.А., Эффективная диэлектрическая проницаемость фрактального кластера, Российские нано-технологии, 2009, т.4, с. 46- 50.

[360] Максименко В.В., Особенности линейного электромагнитного отклика коллектива наночастиц, Нанотехника, 2004, №1, с. 84.

[361 [362

[363

[364

[365 [366

[367

[368

[369

[370

[371 [372

Займан Д., Модели беспорядка, Москва, Мир, 1982.

Das В.В., Liu F., Alfano R.R., Time-resolved fluorescence and photon migration studies in biomedical and random media, Rep. Prog. Phys, 1997, v. 60, p. 227-292.

Белотелов В.И., Звездин А.К., Фотонные кристаллы и другие метаматериалы, Москва, библиотека "Квант 2006.

Rostoker W., McCaughey J.M., and Marcus H., Embrittlement by Liquid Metals, New York: Reinhold, 1960.

Горюнов Ю.В., Перцов H.B., Сумм Б.Д., Эффект Ребиндера, Москва, Наука, 1966.

Ребиндер П.А., Избранные труды. Поверхностные явления в дисперсных системах. Кн. 2. Москва, Изд-во АН СССР, 1979.

Rehbinder Effect, in Encyclopedia of Materials Science and Engineering, Pergamon Press, 1986, p. 4162-4170.

Максименко В.В., Коробко А.П., Андреев Г.Б., Индуцированный светом эффект Ребиндера в системах с эвтектикой, Журнал Физической Химии, 1998, т. 72, с. 1720-1723.

Максименко В.В., Коробко А.П., Андреев Г.Б., Жидкометаллическое охрупчива-ние фрактальной поверхности металла, Поверхность. Рентгеновские, синхротрон-ные и нейтронные исследования, 2001, № 4, с. 40- 50.

Maksimenko V.V., Liquid Metal Embrittlement of Materials (Rehbinder Effect) as Means of Effecting Military Equipment. Physics of Phenomenon, Non-Letal Weapons. New Options facing the Future. Ettlingen. Germany, 2001, p. 39-1 - 39-12.

Rehbinder P.A. and Shchukin E.D., Prog. Surf. Sci., 1972, vol. 3, p. 97.

Environment-Induced Cracking of Materials, Gangloff R.P. and Ives M.B., Eds., Houston: NACE, 1990.

[373] Malkin A.I., Regularities and mechanisms of the Ilehbinder's effect, Kolloid Journal, 2012, v. 74, Issue 2, p. 223-238.

[374 [375 [376 [377

[378

[379 [380 [381