Липшицевы свойства реализаций случайных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Шерматов, Азамжон Абдурахмонович

• Шерматов, Азамжон Абдурахмонович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шерматов, Азамжон Абдурахмонович

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. ПРОСТРАНСТВА ЛИПШИЦА.

§ 2. УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА.

§ 3. ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА.

§ 4. ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ СТАЦИОНАРНЫХ

ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ.

§ 5. УСЛОВИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПРОСТРАНСТВАМ ЛИПШИЦА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

§ б. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА.

§ 7. УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Липшицевы свойства реализаций случайных процессов»

Локальные свойства траекторий случайных процессов представляют собой интенсивно развивающуюся область в теории случайных процессов. Основная задача, возникающая здесь, заключается в выяснении условий (необходимых, достаточных, или тех и других одновременно), при которых реализации случайных процессов принадлежат определенным функциональным пространствам. Такая задача представляет интерес и для теории меры в бесконечномерных пространствах, поскольку самым непосредственным образом связана с вопросом о продолжении меры с б"-алгебры цилиндрических множеств до б"-алгебры борелевских множеств.

Изучение локальных свойств случайных рядов Фурье восходит к работам Р,Дэли, А.Зигмунда, Н.Винера. Начиная с классической теоремы А.Н.Колмогорова значительное число работ было посвящено ис -следованию непрерывности почти всех траекторий различных классов случайных процессов и полей. При решении этой задачи в работах Ю,К.Беляева [ 3,4 ] , В.Н.Рудакова [47 ], Р.Дадли &б,5б],Л.Дель-порта С 55 ], К.Ферника [ 50 3 были созданы новые методы исследования, позволившие в конечном счете установить критерий непрерывности стационарных гауссовских процессов (полей).

Изучению различных аспектов локального поведения траекторий случайных процессов и полей посвящено большое количество работ, среди которых (помимо уже указанных) наиболее близкими к теме диссертации являются работы Г.Ханта [48 ], Ж.П.Кахана [ 24 ] , М.Й.Ядренко 151, 52 3, И.А.Ибрагимова £^223, Ю.В.Козаченко£26,28],

В.В.Булдыгина [5,7 В.И.Питербарга [43 ], Н.Джейна и М.Маркуса С 581» М.Маркуса и Г.Пизьера [ 67,68 1» И.К.Мацака [ 38 ], М.Акбарова и М.А.Мирзахмедова С 2 ], В.А.Дмитровского Ci8,193и ряда других математиков. Отметим, что щпробный обзор результатов и обширная библиография имеются в работах Р.Дадли [16], К.Ферника [50 1, В.И.Питербарга [ 42, 431, а также в известной книге Г.Крамера и М.Лидбеттера (с дополнением Ю.К.Беляева) [ 33 ].

По сравнению с условиями непрерывности менее изученным является вопрос о более тонких локальных свойствах траекторий случайных процессов и, в первую очередь, свойство липшицевоети. Известные результаты Ю.К.Беляева [4,53]дают в спектральных терминах достаточные условия того, что почти все реализации стационарного гауссовского процесса удовлетворяют условию Липшица. В терминах моментов приращений обобщением условия А.Н.Колмогорова на случай липшицевоети являются условия М.И.Ядренко [51 ], И.А.Ибрагимова[21, 22 ], Ю.В.Козаченко [28]. Изучению свойства липшицевоети случайных процессов и полей посвящены также работы [29,54,64,66, 69 ]. Однако, до сих пор даже для стационарных гауссовских процессов не известен критерий принадлежности почти всех траекторий пространствам Липшица. (В диссертационной работе в определенной мере устраняется этот пробел).

Исследование локальных свойств случайных процессов тесно связано с изучением условий плотности семейств вероятностных мер в функциональных метрических пространствах. Последние же, согласно классической теоремы Ю.В.Прохорова С 41 ] играют важную роль при изучении предельных теорем для различных классов функционалов от реализаций случайных процессов. Условие (типа условия Колмогорова) плотности семейства вероятностных мер в пространстве непрерывных функций широко известно и установлено в работе Ю.В.Прохорова [ 41](см. также книгу Л.Биллингсли С12 ])• Расширение класса функционалов, для которых можно устанавливать предельные теоремы, приводит к необходимости изучения плотности семейств рас -пределений в пространствах Липшица. Среди таких функционалов, например, можно выделить сингулярные интегралы типа интеграла Коши, возникающие в различных теоретических и прикладных задачах. Условия плотности семейства вероятностных мер в пространствах Липшица рассматривались в работах Дж.Ламперти [ 60,61 ],А.А.Бо-ровкова [10 ], В.М.Бородихина [ II ].

Изучению свойств липшицевости и условий плотности семейств распределений случайных процессов в пространствах Липшица и уточнению некоторых известных в этом направлении результатов посвящена диссертационная работа. Целью работы является установление достаточных условий плотности семейств вероятностных распределений в пространствах Липшица (и некоторые их модификации), связанных с различными модулями непрерывности и ориентированных на широкие классы случайных процессов и полей; исследование вопросов дробного интегрирования и дифференцирования реализаций стационарных гауссовских процессов; описание необходимых и достаточных условий принадлежности почти всех реализаций стационарных гауссовских процессов пространствам Липшица; исследование характера сходимости разложений в ряд Фурье стационарных гауссовских процессов в нормах Липшица.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Мы не будем повторять определения некоторых понятий, указывая в соответствующих местах номер страницы, на которой они приведены. Кроме того, опущен ряд утверждений и следствий, играющих вспомогательную или второстепенную роль, а некоторые утверждения формулируются в несколько измененном виде.

В § I вводятся различные модификации пространств Липшица.

Это пространства A^S) , связанные с модулем непрерывности f и состоящие из функций, определенных на метрическом компакте сS,cL) с. 18 ); пространства A°$(S) (c.jg ); пространства Липшица A^CS) порядка ol(oie (o,i)) (с. 19); пространства Xip^CS) (с. 24 ).

Кроме того, если не является компактом, то рассматривало с (.ос ются пространства A^ (S) , (S) (с. 26/50. Даются определения этих пространств при S = JR и оС>{ (с. 27). Введение прост -ранств A°f(S) и gipJS) связано с тем, что пространство Aj.CS), будучи банаховым,не является сепарабельным, в то время, как пространство А°р(S) является сепарабельным банаховым подпространством пространства A^CS") . Кроме того, имеет место (лемма I.I) аналог теоремы Асколи-Арцела, дающий простой критерий относительной компактности подмножеств в A^CS") . Пространство -пространство функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка р для всех jbe(0,cC) . Это пространство (более широкое, чем пространство A^(S) ) является пространством Фреше и, как показано в лемме 1.2, при естественных ограничениях на параметрическое множество Sc Rm оно является сепарабельным. Пара пространств А° CS), оL tflp^CS) аппроксимирует пространство A^CS) в том смысле, что

A°JS)<=Ad(S)<= gip^S) и функции, принадлежащие пространствам A^CS) » Kip^S) близки по своим локальным свойствам к функциям из пространства A^CSV Выделение пространств A^YJO » $£ip^C(JR) связано с тем, что при изучении локальных свойств стационарных гауссовских процессов по ряду соображений их удобно рассматривать на всей числовой прямой.

Подробно о пространствах Липшица см. [10,15,20,23,34 ].

В § 2 изучаются условия принадлежности почти всех реализаций случайных процессов пространствам CS) и условия плотности семейств распределений в этих пространствах. Методы, применяемые в этом параграфе, традиционные и связаны с установлением подходящих оценок для вероятностей г | £ (f) - £ (s) 1 чс1

Р { sup f(dcs,t)) у L s,teS оЫО,в)<Б

Большинство из указанных в списке литературы работ посвящено, в той или иной мере, оценкам для указанных вероятностей. Предварительно (лемма 2.1) приводится критерий плотности семейства распределений в пространстве aJ(S) • Отметим, что если семейство распределений плотно в пространстве aJ(S)» то оно будет плотным и в пространстве . Такой подход к изучению плотности семейств распределений по-существу применялся в работе А.А.Боровкова [ ю! и является более эффективным, чем подход Дж.Ламперти [ 60 ^основанный для.пространств A^(S). на изучении условий равномерной концентрации мер на шарах в пространстве a^cs") с использованием затем свойства компактного вложения пространства А^СS) в пространство A^CS") при /Ь>сС .

На основании оценок И.А.Ибрагимова [22 ] получено следующее утверждение.

Теорема 2.1. Цусть se S^nH,- последовательность центрированных сепарабельных случайных полей, заданных на замкнутом ограниченном поданожестве Sb , | . клидова норма в JR^ ; р£(0,со) ; o£€(0,D. Тогда, если

I) ( Зб £ S ) sup м | £ (s)|p < «з, п» 1 л

2) lm sup S^f о и p i p где cp Ш) = sup M (SV^C^ I , то для каждого пи lt-slw<a реализации случайного поля £ с вероятностью единица принадле

О ^ жат пространству У\(S)h семейство распределений случайных полей о плотно в пространстве Далее установлены общие условия (лемма 2.2), выраженные в терминах энтропийных характеристик, при которых семейство распределений случайных процессов плотно в пространствах , где модуль f удовлетворяет условию: оо

-(п. + к у

2 f (2 ) sap 0- < оо . и>А иг'*)

Используя лемму 2.2 для субгауссовских случайных полей доказаны следующие теоремы. Отметим, что понятие субгауссовских процессов (с. 40 ) было введено в работе Ю.В.Козаченко [26 ], и локальные свойства субгауссовских процессов изучались в ряце работ (см., например, [8,9,19,26]).

Теорема 2.2. Пусть - последовательность сепарабельных субгауссовских случайных полей, заданных на S= [О,О , (т»1) , еС €(0Д). Если

I) ( 3 s £ s) lim sup Р ( > С} = 0 ,

Wt \ где V^isftz'cC^CD-Zfi))- штандарт приращения - , то для каждого реализации случайного поля принадлежат с вероятностью единица пространству л° (S) и семейство распредеоС лений полей плотно в пространстве A^CS).

Если поля (.п>,1) являются центрированными гауссовскими полями, то условие 2) теоремы 2.2 имеет следующий вид р8 sup Ml^-V^-C-i^

It-Sl^d

Если в теореме 2.2 положить » ив условии 2) заменить о на 0, то согласно утверждению Ю.В.Козаченко [26 ], полученное условие будет достаточным условием принадлежности почти всех реализаций субгауссовского поля £ пространству д (S). Такое условие Л является неулучшаемым даже в классе всех гауссовских полей (см. Ю.К.Беляев [4 ]), что иллюстрирует точность условий теоремы 2.2.

Теорема 2.3. Пусть (S,d) - метрический компакт; ®п\>{ ~ последовательность сепарабельных субгауссовских случайных полей, заданных на $ ; <UoC(s,t)=supt (s,t)(lseS); f- модуль nyi к непрерывности такой, что k=i kd J ' Если полуметрика too непрерывна относительно метрики d , выполнено условие I) теоремы 2.2 и

Ь- uil2 ч

Ьууь sup -г—-du = о , h-o n>,i £ tcu) где Н«т- с$,и) - энтропия S относительно полуметрики Т , то

IX» для любого почти все реализации поля ^принадлежат пространству aJ(S) и семейство распределений случайных полей

0 С ч плотно в пространстве Л^ ( о, Г^).

Отметим, что ограничения на модуль непрерывности f , приведенные в теореме 2.3, менее жесткие,чем соответствующее ограничение в лемме 2.2. Утверждение сформулированной теоремы согласуется с теоремой Р.Дадли [16 1о непрерывности гауссовского поля, утверждениями В.В.Булдыгина и Ю.В.Козаченко [ 8 1'о непрерывности субгауссовского поля и утверждением В.В.Булдыгина [7 ] о плотности семейства распределений субгауссовских полей в пространстве непрерывных функций.

Для того, чтобы получать необходимые и достаточные условия принадлежности реализаций случайных процессов пространствам A (S), оL сузим класс рассматриваемых процессов до стационарных гауссовских процессов. Основной метод исследования, применяемый в дальнейшей части работы,существенно опирается на понятие дробных интегралов и производных и теоремы вложения типа теорем Г.Харди и Дж.Литтл-вуда. Отметим, что в известной работе Г.Ханта С 48 1 были исполь~ зованы методы, по-существу, основанные на введении дробных интегралов и производных от стационарных гауссовских (и даже более общих) процессов. Кроме того, дробные интегралы и производные в среднеквадратическом смысле рассматривались в работе А.М.Секре-тарева [441

В § 3 приводятся определения и необходмые для дальнейшего свойства дробных интегралов и производных, определенных на подмножествах числовой оси. Хорошо известны классические интегралы и производные дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и Г.Вейля [20,35,57,71 ]. Дробные интегралы Римана-Лиувилля определяются для функций, заданных на ограниченных промежутках,и существенно зависят от выбора начала интегрирования. Поэтому в теории тригонометрических рядов используются дробные интегралы в смысле Вей-ля, которые определены для периодических функций, заданных на всей числовой оси. Интегралы Вейля обладают рядом примечательных свойств. В частности, имеет место теорема вложения Г.Харди, Дж.Литтлвуда [20,573: если периодическая функция х = (xct), te JR^e £ то дробный интеграл Вейля s^k^fyteJlOeA^ (110, оС+ji<l • Теоремы вложения Харди-Литтлвуда оказываются эффективными при изучении условий принадлежности пространствам Липшица периодических функций. Однако требование периодичности в задачах, которые мы будем рассматривать,оказывается излишне жестким. Поэтому в § 3 рассматриваются дробные интегралы и производные Рима-на-Лиувилля, определенные для функций, заданных на интервалах JR^C-^Ct] , и быстро убывающих на-00 . Для таких интегралов и производных устанавливаются аналоги теорем вложения Харди-Литтлвуда. Из утверждений, приведенных в этом параграфе, отметим леммы 3.1, 3.4Б, 3.5-3.9. Отметим также, что различные модификации дробных интегралов и производных изучались в работах [25,46,62,63 1 .

В § 4 рассматриваются дробные интегралы и производные от реализаций процессов, являющихся простыми преобразованиями от стационарных гауссовских процессов. Пусть £ = (£С£),t£JO - стационарный комплекснозначный гауссовский процесс со спектральной функцией (РШ, децО . Для б>0 рассмотрим процесс £<ё>= (e^Ztt), teJR4). Процесс не является стационарным, однако, его локальные свойства такие же,как у процесса . Кроме того, принадлежит п.н. классу быстро убывающих на - со функций и для опреб 6 делены дробные интегралы Ц >и дробные производные D, 4< > . оL

Устанавливается вид корреляционных функций дробных интегралов и р производных от процессов £><0> . Например, справедливо такое утверждение .

Лемма 4.7. Пусть £ - стационарный гауссовский процесс с ограниченным спектром (т.е. dP(A) = Q для всех|д|>д >oV д 0 '

6>Q ; сСе(0,О . Тогда для любого 6>0 процесс ((D^ >)(t>,teJP) является центрированным гауссовским процессом с корреляционной функцией r ' Ci,s) = е J (о + я ) е dFm.

В § 5 установлены необходимые и достаточные условия принадлежности почти всех реализаций стационарного гауссовского про -цесса пространствам , (IR).

Пусть £ = teJR) - сепарабельный стационарный комплекс-нозначный гауссовский процесс со спектральной функцией FCA") Для р?0 положим оо {fe

0 (k) = ( f 1Д|2рб«и2 -^-dFOo) .

I оо

Рассмотрим условия со I со г '/2 К

2 В

Ul dF(A) < со , (I) bL (u)du < со , (2) о

I5 где Я- метрическая энтропия интервала [0,1] относительно Р полуметрики б^ . Известная теорема Дадли-Ферника [ 16,50] утверждает, что при |Ъ=0 условия (I), (2) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы почти все реализации процесса £ были непрерывными. При jb=i эти же условия, согласно утверждению И.К.Мацака С38 3, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы почти все реализации процесса £ принадлежали пространству непрерывно дифференцируемых функций или, что в рассматриваемой ситуации эквивалентно, пространству Л^ос (R) . Промежуточной между этими утверждениями является теорема 5.1, которая является центральным утверждением работы.

Теорема 5.1. Для того, чтобы почти все реализации toe процесса 4 принадлежали пространству Л^ (00 (0<ы.<{)^ достаточно, чтобы при |ЗгоС, и необходимо, чтобы при всех p,<cL выполнялись условия (I) и (2).

Доказательство этой теоремы опирается (кроме теоремы Дадли-Ферника) на теоремы вложения для интегралов и производных дробного порядка, установленных в § 3,и некоторые утверждения о характере сходимости функциональных рядов с независимыми слагаемыми (В.В.Булдыгин [ 5 ]).

В теореме 5.1 необходимые и достаточные условия не совпадают между собой. Приводятся примеры, показывающие, что для пространств ff^CR4) этот зазор устранить нельзя. Однако, для прост -ранств имеется следующий критерий.

Теорема 5.2. Для того, чтобы почти все реализации процесса £ принадлежали пространству необходимо и достаточно, чтобы условия (I), (2) выполнялись при всех |2>е(о,°0.

Опираясь на утверждения Н.Джейна и М.Маркуса С 58, 66 ] энтропийные условия в теоремах 5.1 и 5.2 можно переформулировать непосредственно в терминах спектральной функции F . В частности, имеет место такое утверждение.

Следствие 5.5. Пусть ( f(;0, НПО спектральная плотность процесса £ » которая убывает при достаточно больших

IAI . Тогда для того, чтобы почти все реализации процесса £ toe. принадлежали пространству Ж СоСеС0,1У),необходимо и достаточно, чтобы для всех |Ь£(ОД) выполнялось условие с>о р (^иЛшя) /р Ni 12 du <С°-м u(Uu)

Утверждения следствий 5.2-5.5 вполне согласуются с результатами Ю.К.Беляева [ 4 1 и Г.Ханта [4 8] о липшицевых модулях стационарных гауссовских процессов. Отметим, что все утверждения § 5 справедливы и при любом оС > 0 .

В § б приведены условия плотности семейства распределений ioc. стационарных гауссовских процессов в пространствах А . (R). При об доказательстве используются методы, развитые при доказательстве

Ioc теоремы 5.1,и непрерывность оператора : CAR) А^ (Л?") (лемма 6.1).

Теорема 6.1. Дусть e~ последовательность сепарабельных стационарных гауссовских процессов со спектральными функциями (Р^Ш, AeJJO^i ' Дусть обе (ОД) и

ОО J

II2

Если

У и

I) sup j ш dFllm ft Я - с*э , fk -I Ь к —0 я>Л оо к

2) Im sup J H^(n)cu)du = 0,

3) C3t€jR) lint sup P{U (t)\>c} = a

0 c^oo n>i * 0 то для каждого n i почти все реализации процесса £ принадле * жат пространству А be плотно в СЮinr жат пространству A CR) и семейство распределений процессов (£) . ioc ^ лли

В § 7 изучается сходимость случайных рядов Фурье в пространствах Липшица.Следует отметить, что характер сходимости рядов Фурье с независимыми коэффициентами остается предметом интенсивного исследования. Наиболее существенные результаты здесь в последнее время были получены в работах Ж.Кахана [24], Н.Джейна и М.Маркуса 058 ], М.Маркуса и Г.Пизьера [67,68 ]. Следующие утверждения дополняют эти исследования.

Цусть j ~ последовательность независимых NiO, i)- распределенных случайных величин, (Д^)^ э ~ последовательности вещественных чисел. Положим

6* (к) = I a2 U,|2/bsin2^ .

Р Ы k 2

Теорема 7.1. Для того, чтобы ряд

I О) k=1 ы сходился с вероятностью единица в топологии пространства л^. GR), достаточно, чтобы при jb=oC,и необходимо, чтобы при всех |Ъ£(0,оО выполнялись условия :

4) f HJ/2 (и) du < ~ • (5) о

Теорема 7.2. Цусть oL£(0,i) . Следующие утверждения эквивалентны:

1) условия (4), (5) выполнены при всех (О,«О;

2) ряд (3) сходится в топологии пространства «2/р ■ СЮ п.н.; со <*■

Z. аt < 00 и почти все реализации процесса £, , опредеk=0 Inn ленного рядом (3), принадлежат пространству

Если стационарный гауссовский процесс £, периодический (с периодом 2 Я ), то его ряд Фурье представим в виде оо

J:

ЫЬ = I (6) где - последовательность независимых центрированных гауссовс-ких случайных величин. В этом случае теоремы 7.1 и 7.2 дают достаточно подробную информацию о сходимости п.н. ряда (6) в пространствах Липшица. Если £ ~ непериодический, то случайные величины уже не будут, вообще говоря, независимыми. Тогда (так же, как и в случае сходимости по вероятности в пространстве непрерывных функций (см. В.В.Булдыгин [7 ])),удается доказать утверждение о сходимости по вероятности в норме пространства А ([а,6]) cL для любого С а,61 с •

Теорема 7.3. Пусть - вещественный сепарабельный гауссовский стационарный процесс, S^ частичные суммы ряда Фурье процесса £ на [-5ГД]. Тогда, если выполнены условия оо I A2cLdF(\)<°о, J Н^2 (и) du < ,

О О oL то ряд (6) сходится по вероятности в норме пространства Л^([а,6]), для любого [а,6] с (-3[,!К).

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по теории случайных процессов в Институте математики АН УССР и Киевского госуниверситета им.Т.Г.Шевченко, на конференциях молодых ученых Института математики АН УССР (1982,1984гг.) и на всесоюзной конференции по предельным теоремам (Фергана,1983г.).

Основные результаты опубликованы в работах [72-74].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валерию Владимировичу Булдыгину за постановку задачи, поддержку и помощь при выполнении настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шерматов, Азамжон Абдурахмонович, 1984 год

1. Акбаров М., Булдыгин В.В. О локальных свойствах случайных функций на компакте в метрических пространствах.- Ташкент: Изв.АН УзССР, сер.физ.-мат.наук, 1974. (депонировано в ВИНИТИ 1974, № 2318-74).

2. Акбаров М., Мирзахмедов М.А. О локальных свойствах некоторых случайных функций. Докл. АН УзССР, №6, 1975, с. 3-4.

3. Беляев Ю.К. Аналитические случайные процессы. Теория веро-ятност. и ее примен., 1959, 4, № 4, с. 437-444.

4. Беляев Ю.К. Локальные свойства выборочных функций стационарных гауссовских процессов. Теория вероятн. и ее применения, I960, 5, № I, с. I28-131.

5. Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах. Киев: Наук.думка, 1980. - 240 с.

6. Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в бесконечномерных пространствах и представления случайных процессов и полей. Диссератция на соиск.ученой степени доктора физ.-мат.наук. Киев, 1982. - 305 с.

7. Булдыгин В.В.О сходимости разложения гауссовского поля.- Укр. мат.журн., 1982, 34, № 2, с. 137-143.

8. Булдыгин В.В., Козаченко Ю.В. О субгауссовских случайных величинах. Укр.мат.журн., 1980, 32, № 6, с. 723-730.

9. Булдыгин В.В., Козаченко Ю.В. О локальных свойствах реализаций некоторых случайных процессов и полей. Теория вероятн. и мат.статистика, 1974, вып.10, с. 39-47.

10. Боровков А.А. Сходимость мер и случайных процессов. Успехи мат.наук, 1976, 31, № 2, с. 3-68.

11. Бородихин В.М. Условия компактности семейства мер на некоторых метрических пространствах. Теория вероятн. и мат.статистика, 1970, вып.З, с. 16-28.

12. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.-М.:Наука,1977.-252 с.

13. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи.- М.: Наука, 1970. 379 с.

14. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. T.I. М.: Наука, 1971. - 664 с.

15. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука,1980.- 414 с.

16. Дадли P.M. Выборочные функции гауссовского процесса.- В сб.: Математика. Сер. "Новое в зарубежной науке", № 10.Случайные процессы. М.: Мир, 1978, с. 7-62.

17. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ, 1962. 895 с.

18. Дмитровский В.А. Условие ограниченности и оценки распределения максимума случайных полей на произвольном множестве.-Докл.АН СССР, 1980, 253, № 2, с. 271-274.

19. Дмитровский В.А. Исследование свойств выборочных функций случайных процессов и полей.- Автореферат дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат.наук. М., 1981. 14 с.

20. Зишувд А. Тригонометрические ряды. М.: ИЛ, 1939.-324 с.

21. Ибрагимов И.А. Свойства реализаций случайных процессов и теоремы вложения. Теория вероятн. и ее применения, 1973, 18, № 3, с. 468-480.

22. Ибрагимов И.А. Об условиях гладкости траекторий случайных процессов.-Теория вероятн.и ее применения, 1983, 282, с.229-250.

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. - 744 с.

24. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.- 302 с.

25. Киприянов И.А. 0 пространствах дробно дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, I960,24, с. 865-882.

26. Козаченко Ю.В. Локальные свойства траекторий некоторых случайных функций. Укр.мат.журн., 1967, 19, № 2, с. I09-II6.

27. Козаченко Ю.В. Локальные свойства сумм некоторых случайных рядов. Математ.заметки, 1968, 3, № 3, с. 261-269.

28. Козаченко Ю.В. Локальные свойства выборочных функций одного класса случайных процессов. Теория вероятн. и мат.статистика, 1970, вып. I, с. I09-II7.

29. Козаченко Ю.В. , Ядренко М.И. Локальные свойства выборочных функций случайных полей.- 1,П.- Теория вероятн. и мат.статистика, I, 1976, вып.14, с.53-66; П, 1976, вып.15, с.82-87.

30. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. £-энтропия и ^-емкость множеств в функциональных пространствах. Успехи мат.наук, 1959, 14, № 2, с. 3-86.

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

32. Коновалов В.М. Аппраксимационные характеристики типа теорем Вейерштрасса функций многих переменных. -Докл.АН УССР, 1975, 12, с.I074-1076.

33. Крамер Г., Лидбеттер М.Р. Стационарные случайные процессы.- М.: Мир, 1969. 398 с.

34. Крейн С.Г., Петунин Ю.Й., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

35. Летников А.В. Исследования,относящиеся к теории интеграловвида J(x-и) f(u)duТеория дифференцирования с произвольным ауказателем.-Мат.сб.,1868, №3, вып,1,с.1-68; 1874,№7, вып.1, с. 7-108.

36. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. - 720 с.

37. Малевич Т.Л. Некоторые оценки для вероятностей событий, порождаемых гауссовскими процессами и полями и применение к вопросам пересечения уровня.- Теория вероятн. и ее применения, 1974, 19, вып. I, с. I40-151.

38. Мацак И.К. Дифференцируемость и условия Липшица гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и мат.статистика, 1976, вып.' 15, с. 131-135.

39. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. - 798 с.

41. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее применения, 1956, I, № 2, с. 177-238.

42. Питербарг В.И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций. В кн.:Математика, Сер. "Новое в зарубежной науке", № 10. Случайные процессы.-М.: Мир, 1978, с. 258-280.

43. Питербарг В.И. Гауссовские случайные процессы. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т.19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ). М.,1981,с.155-199.

44. Секретарев A.M. 0 существовании среднеквадратических производных дробного порядка для гильбертовых случайных функций.-Теория вероятн. и мат.статистика, 1982, вып. 27, с Л26-130.

45. Скороход А.В. Замечание о гауссовских мерах в банаховых пространствах. -Теория вероятн. и ее применение,1970,15,№3,с.519-520.

46. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 342 с.

47. Судаков В.Н. Гауссовские случайные процессы и меры телесных углов в гильбертовом пространстве.- ДАН СССР, 1971, 197, №1, с. 43-45.

48. Хант Г.А. Случайные преобразования Фурье. Математика,1958, 2:6, с. 87-114.

49. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: ИЛ, 1962. 829 с.

50. Ферник К. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций. В кн.: Математика. Случайные процессы. М.: Мир, 1978, с. 63-132.

51. Ядренко М.Й. Локальн1 властивост1 виб1ркових пол1в.-В1сник Ки1вського Ун1верситету. Сер.матем. та мех., 1967, № 9,с. I03-II2 .

52. Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей.- Киев:Вища. школа, 1980. 208 с. 53# Beljaev J.K. Continuity and Holder conditions for samplefunctions of stationary Gaussian process.- Proc. 4-th Berkeley Symp., v. 2, 1961, p. 23-33.

53. Ciesielski Z. Holder condition for realization of Gaussian processes.- Trans.Amer.Math.Soc., 1961,99,N3, p.403-413.

54. Delport 1. Ponctions aleotoit*es presque surement continues surun intervalle ferme.- Ann.Inst.Henri Poincare, 1964, v.1, p. 111-215.

55. Dudley R.M. The sizeB of compact subsets of Hilbert space andcontinuity of Caussian processes.J.Punc.Anal.,1967,v.1, N2, p. 290-330.

56. Hardy G.H. and Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals.I. Math.Z., 1928,27, p. 565-606.

57. Jain N.C., Markus M.B. Sufficient conditions for the continuity of stationary Gaussian processes and applications to random series of functions.-Ann.Inst.Fourier, 1974,24,112,p. 117-141.л

58. Kawata Т, Continuity of stochastic processes on metric spaces.-Proc.Jap., 1970, 46, N 7, p. 784-788.

59. Lamper&i J. On convergence of stochastic processes.- Trans. Amer.Math.Soc., 1962, 104, N 3, p. 430-435.

60. Lamperti J. Ол limit theorems for Gaussian processes.- Ann.Math, Statist, 1965, 36, p. 304-360.

61. Love E.R. Fractional integration and almost periodic functions, Proc. London Math.Soc., 1938, 44, N 5, p. 363-397.

62. Love E.R., Vong L.C. On fractional integration by parts.-Proc. London Math. Soc., 1938, 44, N 1, p. 1-35.

63. Marcus M.B. Holder conditions forGaussian processes with stationary increments.Trans. Amer.Math.Soc., 1968, 134, N1, p. 29-62.

64. Marcus M.B. Holder conditions for continuous Gaussian processes.- Osaka.J.Math., 1970,7, N 2, p. 483-493.

65. Marcus M.B. Continuity of Gaussian processes and random Fourier series.- Ann. of Probability, 1973, N1,p.968-981.

66. Marcus M.B., Pisier G. Necessary and sufficient conditios for the uniform convergence of random trigonometric series. Lect.-Notes.Ser.Math, in Aurhus univ., 1977-78, v.50.- 38 p.L

67. Marcus M.B., Pisier G. Random Fourier series with applications to harmonic analysis.- Ann.Math.Stud., 1981, 101,p. 150.

68. Nobelis Ph. Fonctions aleatoires lipschitziennes.»- Lect.Notes. Math., 1981, N 850, p. 38-43.

69. Paley R.E.A.C., Winer N., Zigmund A. Notes on random functions. Math.Zeitschrift, 1932, 37, p. 647-668.

70. Tamarkin J.D. On integrable solutions of Abel'vs integral equation Ann.Math, 1930, 31, N2, p. 219-^228.

71. Шерматов А. А. О плотности вероятностных распределений в пространствах Липшица. В кн.: Вероятностный бесконечномерный анализ. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981,с. I08-115.

72. Булдыгин В.В., Шерматов А.А. О дробном дифференцировании и принадлежности пространствам Липшица реализаций стационарных гауссовских процессов. В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983,с. 9-25.

73. Шерматов А.А. О плотности распределений стационарных гауссовских процессов в пространствах Липшица. В кн.:Некоторые вопросы теории случайных процессов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 113—117.