Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Сучков, Сергей Владимирович

• Сучков, Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сучков, Сергей Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. РТ- симметрия

1.2. Оптические системы, обладающие свойством РТ-симметрии

1.3. Дискретные РТ- симметричные структуры

1.4. Выводы к первой главе. Постановка задачи исследования

Глава 2. Линейные РТ-симметричные модели

2.1. Система волноводов, включающая РТ-каплер

2.2. Рассеяние линейных волн на РТ-симметричном каплере

2.3. Определение порога нарушения РТ-симметрии системы оптических волноводов с РТ-каплером

2.4. Цепочка РТ-симметричных оптических каплеров

Глава 3. Нелинейные РТ- симметричные модели

3.1. Рассеяние солитонов на РТ-симметричном дефекте

3.2. Нелинейная модель взаимосвязанных РТ-симметричных каплеров

3.3. Бризеры в модели плоского РТ-симметричного каплера

Глава 4. Дискретная РТ-симметричная модель без потенциала Пайерлса-Набарро

4.1. Описание модели

4.2. Взаимодействие солитонов

Заключение

Цитированная литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

В настоящее время вопросам математического описания распространения света в нелинейных средах уделяется большое внимание, в частности, в связи с необходимостью совершенствования оптических систем передачи и обработки информации. Интерес к нелинейным оптическим системам начал расти в первой половине 20 века, и их свойства были описаны во многих трудах, например [1,2]. Такие системы обладают существенным преимуществом над электронными аналогами, поскольку они позволяют существенно повысить скорость передачи данных. Современное развитие технологий еще не позволяет осуществлять активное управление оптическими сигналами без помощи электронных устройств. Это делает необходимым неоднократное преобразование оптического сигнала в электрический и обратно. Электрические контроллеры снижают скорость передачи данных на несколько порядков, поэтому возникла идея разработки их оптических аналогов, обладающих большим быстродействием. В качестве таких контроллеров могут выступать оптические системы с областями усиления и потерь, которые распределены в пространстве определенным симметричным образом. Возникает необходимость теоретического анализа подобных систем.

Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые параметры системы должны описываться вещественными величинами. Однако недавно было показано, что физические системы, описываемые неэрмитовыми гамильтонианами, могут обладать полностью вещественным спектром собственных значений, если они удовлетворяют условию ТТ- симметрии [3]. В работе [4] было показано, что необходимым условием 'РТ- симметрии системы является следующее свойство потенциала, связанного с данной системой: У{х) = У*(—х). В оптике роль такого потенциала может играть комплексный показатель преломления. Таким образом, фотонные структуры с областями усиления и потерь, распо-

ложенными специальным образом, могут обладать свойством РТ- симметрии, что дает принципиально новые возможности управления оптическими импульсами по сравнению с консервативными структурами [5]. Уникальные отличительные особенности РТ- симметричных систем обусловлены нетривиальной интерференцией волн и возможностью переключения режима от устойчивого к неустойчивому, связанному с нарушением РТ- симметрии [6, 7].

Простейшим РТ- симметричным оптическим элементом является пара волноводов с потерями в одном из них и усилением в другом. Такой элемент принято называть РТ-каплером. Недавно опубликованные результаты [9] показывают, что РТ-каплеры могут использоваться для усиления линейных и нелинейных волн в оптических системах, в качестве переключателей режимов системы, а так же в качестве фильтров сигналов. Дизайн и теоретический анализ свойств оптических систем, включающих РТ- каплеры или состоящих из них, является актуальной задачей, решение которой поможет осуществить переход к технологиям хранения и передачи информации, использующим только оптические системы, и обладающим на порядки большим быстродействием, чем электронные системы.

Целью диссертационной работы являлось теоретическое изучение распространения линейных и нелинейных оптических сигналов в системах, содержащих РТ- каплеры или состоящих из них, и выяснение перспектив использования таких систем для фильтрации, усиления или ослабления сигналов. Для достижения данной цели решались следующие задачи:

1. Разработка математических моделей, описывающих распространение световых сигналов в системах оптических волноводов с РТ- каплерами.

2. Исследование устойчивости полученных математических моделей по отношению к линейным волнам, иными словами, определение порога нарушения РТ- симметрии.

3. Изучение рассеяния линейных волн на дефектах периодичности систем

оптических волноводов с Т>Т- каплерами. Построение линейных решений, локализованных на дефектах.

4. Математическое описание нелинейных мод в рассматриваемых системах. Изучение устойчивости, определение порога нарушения РТ-симметрии.

5. Численное исследование рассеяния оптических солитонов друг на друге и на дефектах периодичности рассматриваемых систем.

Методы исследования. Для линейных систем использовались аналитические методы исследования. При анализе устойчивости систем решались задачи на нахождение собственных значений и собственных векторов соответствующей спектральной задачи.

Для систем, описываемых дискретными нелинейными уравнениями Шре-дингера, аналитическими методами были построены приближенные солитон-ные решения, проведен анализ устойчивости некоторых нелинейных мод. Численные методы применялись для изучения распространения и взаимодействия волн солитонного типа. Расчеты проводились с помощью неявной, безусловно устойчивой схемы Кранка-Николсона четвертого порядка.

Научная новизна

• В работе впервые предложен и проанализирован ряд оптических систем, включающих Т*Т- каплеры, описываемых системой дискретных нелинейных уравнений Шредингера. Значительным элементом новизны данной работы является рассмотрение дискретных нелинейных оптических систем, в то время как в большинстве опубликованных к настоящему времени работ изучались континуальные ТТ- симметричные модели.

• Для рассмотренных систем показана возможность гибкого управления распространением света. В частности, продемонстрировано, что в оптических системах с ТТ- каплерами можно добиться усиления или ослабления световых сигналов. Показано, что дефекты периодичности рассматриваемых дискретных систем могут быть использованы для фильтрации сигналов, а также для пере-

ключения режимов системы.

• Обнаружены новые эффекты, не свойственные консервативным оптическим системам, например, выявлен нелокальный характер влияния типа граничных условий на устойчивостьсистемы, а так же описано нетривиальное рассеяние волн на дефекте типа доменной стенки.

Практическая значимость

К настоящему моменту экспериментально были изучены лишь несколько линейных РТ- симметричных моделей. В тоже время, при распространении оптических сигналов большой интенсивности начинают проявляться эффекты нелинейности в данных средах, связанные с зависимостью показателя преломления среды от интенсивности светового сигнала. Поэтому теоретическое исследование нелинейных РТ- симметричных оптических систем является важным шагом, предваряющим постановку соответствующих экспериментов. Результаты данного диссертационного исследования могут быть использованы при разработке РТ- симметричных оптических контроллеров, которые заменят существующие электронные аналоги, что позволит повысить скорость передачи данных на несколько порядков.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Дискретные нелинейные модели, описывающие распространение оптических сигналов в системах волноводов с РТ- каплерами.

2. Результаты моделирования рассеяния линейных и нелинейных волн на дефекте, представляющем собой РТ-каплер, внедренный в массив консервативных оптических волноводов.

3. Результаты исследования влияния РТ- каплера, внедренного в массив консервативных оптических волноводов, на устойчивость системы по отношению к блоховским волнам.

4. Результаты изучения рассеяния линейных волн на дефекте в виде доменной стенки в модели взаимосвязанных VT- каплеров.

5. Построение и анализ приближенных решений, описывающих локализованные нелинейные моды, распространяющиеся в цепочке VT- каплеров. Изучение взаимодействия солитонных решений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: CLEO/Europe EQEC Conference (2011, Munich); International workshop "Nonlinear Photonics: Theory, Materials, Applications" (Saint-Petersburg 2011); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2011); "Дни дифракции 2012" (Санкт-Петербург 2012); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2012); International workshop "Tacona photonics"(2012, Bad Honnef, Germany); МЕТА 2013, the 4th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2013, Sharjah, Emirates).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них б статей в журналах из списка ВАК и 4 тезиса докладов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Все численные эксперименты были проведены лично автором, также как и большинство аналитических рассуждений. Также автор принимал непосредственное участие в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами, причем, вклад диссертанта был определяющим для большинства из них. Все представленные в диссертации результаты получены автором в сотрудничестве с соавторами

опубликованных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех основных глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 125 страниц, включая 43 рисунка. Библиография включает 101 наименование.

Глава 1 Обзор литературы

1.1. РТ-симметрия

Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые величины должны описываться действительными переменными. Для этого достаточно, чтобы система обладала эрмитовым гамильтонианом, что обеспечивает полностью действительный спектр этого гамильтониана. Однако, были обнаружены частные случаи систем с неэрмитовыми гамильтонианами (например Н = р2 + х2 + гхъ), обладающие полностью действительным спектром собственных значений. Чуть позднее, в работе [3], было показано, что такое свойство характерно для систем, обладающих РТ-симметрией. Отметим, что РТ- это оператор, в котором оператор V отвечает за пространственное преобразование р —» — р и х —> —х, а оператор Т за преобразование времени р —> — р и х —> х, % -Л —г. Гамильтониан системы Н, который в квантовой механике также является оператором, может быть не инвариантен относительно каждого из преобразований V, либо Т, однако он будет обладать полностью вещественным положительным спектром, если будет инвариантен относительно преобразования ТТ. В работе [3] исследовался класс гамильтонианов типа

Н = р2 гп2х2 — (гх)м,

где N - вещественный параметр. В зависимости от параметров N и т2 были обнаружены различные фазовые состояния с точками переходов, в которых спектр переставал быть полностью вещественным. Случай, когда гамильтониан инвариантен относительно преобразований ТТ, но его спектр не является полностью вещественным, называется спонтанным нарушениемРТ-симметрии.

Считается, что с момента выхода работы [3], "РХ-симметричные системы,

которые раньше рассматривались только как математическая абстракция, начали активно привлекать внимание ученых из различных областей знаний.

Чуть позднее, в работе [10], было введено более широкое понятие СТТ-симметрии. Оказывается, если в системе условие "РТ-симметрии не нарушено, то можно построить скрытую С симметрию такой системы. Тогда условие СРТ-симметрии будет обобщением условия эрмитовости гамильтониана, и все наблюдаемые величины в такой системе будут инвариантны относительно СРТпреобразования.

Также, наряду с упомянутыми выше работами, вопрос Т*Т-симметрии системы и природы этого явления исследовался в работах [11-13].

Следующим этапом изучения ТТ-симметрии стало изучение свойств частных моделей в различных областях физики [14-18]. Стоит отметить, что "РТ-симметричные модели нашли широкое применение в оптике и фотонике. Обзор работ по этой теме будет приведен ниже.

В заключение отметим, что разработанная теория не является простой абстракцией. Существует множество приложений неэрмитовыхРТ-инвариантных гамильтонианов в физике. Неэрмитовые гамильтонианы, в случае мнимого внешнего поля, были недавно представлены для делокализации переходов в конденсированных средах, таких как линии вихревого потока в сверхпроводниках второго рода, в алгебре Ли [19], для комплексных кристаллов [20] и даже для изучения биологических популяций.

1.2. Оптические системы, обладающие свойством ТТ- симметрии

Как было отмечено ранее, "РГ-симметричные системы нашли широкое применение в оптике и фотонике.

Распространение света через проводящую среду (оптический волновод)

описывается уравнением, формально совпадающим с уравнением Шрединге-ра [21-27]. Поэтому теория, разработанная для квантовой физики, может быть применена и к оптическим системам.

В работах [28, 29] было отмечено, что необходимым условием РТ-сим-метрии системы является следующее свойство потенциала этой системы

У(х) = У*{-х).

Действительная часть потенциала является четной функцией, в то время как мнимая часть является нечетной функцией координат. Условие, накладываемое на потенциал, следует из того факта, что гамильтониан системы Н должен быть инвариантен относительно преобразования РТ, т.е.

НГТ = ГТН = Н.

В оптике в качестве такого потенциала может выступать комплексный показатель преломления среды п(х). Тогда условие на п(х) имеет вид

п(х) = п*{—х).

Тот факт, что показатель преломления среды является комплекснозначным, означает наличие потерь и/или усиления в системе. Таким образом, если в оптической системе области с усилением и потерями расположены специальным симметричным образом, такая система может обладать РТ-симметрией, что будет означать сохранение энергии (мощности) светового сигнала, распространяющегося через данную оптическую среду. Однако, благодаря нетривиальной волновой интерференции и фазовым переходам, в подобных структурах здесь могут наблюдаться эффекты, не проявляющиеся в консервативных системах.

Очевидно, наиболее простой является РТ-симметричная структура, состоящая из двух взаимосвязанных волноводов, в одном из которых происходит усиление сигнала, а во втором потеря мощности. В условиях сбалансированных по-

терь и усиления, такую структуру называют "РТ-симметричным каплером. Было опубликовано множество работ, посвященных изучению РТ-симметричного каплера, как теоретических, так и экспериментальных [8, 30-37]. Рассмотрим более подробно данные работы.

Как было отмечено выше, характерным свойством "РТ- симметричных систем является наличие точки бифуркации, переходя через которую спектр перестает быть полностью вещественным. В работе [30] было экспериментально показано спонтанное нарушение условия РТ-симметрии при изменении параметра интенсивности потерь и усиления. Для описания динамики распространения света в данной работе использовалось уравнение Шредингера

'к = Яф- <и>

где оптический гамильтониан определяется выражением

где к = кощ, ко = 27г/Ао, Ао - длина волны света в вакууме, щ постоянный (фоновый) показатель преломления среды, У{х) - потенциал системы.

Отметим, что эта работа является одной из первых работ, в которых было продемонстрировано экспериментальное создание РТ-симметричной структуры. Сложность задачи заключается в том, что добиться точного баланса между усилением и потерями на практике весьма затруднительно. Также сложно добиться того, чтобы усиление в системе было пропорционально мощности сигнала. Однако, если рассматривать линейную модель, описывающую ТТ- симметричную систему, то можно воспользоваться приемом, описанным в приведенной работе. Если в исследуемой модели произвести специальную замену переменных, то можно получить новую модель аналогичную исходной, в которой будут присутствовать только оптические потери (либо только усиление). Полученная система, конечно, не будет являться "РТ-симметричной в строгом

понимании этого определения, однако все решения этой системы будут отличаться от решений исходной системы на известную величину (или функцию), а реализовать такую систему на практике значительно легче. На Рисунке 1.1 представлено распределение интенсивности света в системе в зависимости от выбора параметра потерь и усиления. На (а) условие "РТ-симметрии сохраняется, и поле распределено равномерно между обоими волноводами. На (б) условие РТ-симметрии нарушено, и поле сосредоточено в волноводе, в котором отсутствуют потери. На Рисунке 1.2 показана система, сконструированная для экс-

у(цт)

у (11т)

Х(цт)

Х(цт)

3.267

_ 3.2668 &

и

ас 3.2666

3 2664

- - 12>

(В)

10 20 30 Ьоэв/Сат (ст1)

40

в

■а

40 -1|> - 12>

20

0

-20

40 (г)

0 10 20 30 40

1.охч/Оат (ст ')

Рисунок 1.1. Распределение интенсивности света между волноводами и спектр системы в зависимости от выбора параметра потерь и усиления. На (а) условие "РТ-симметрии выполнено, на (б) условие ТТ-симметрии нарушено. На (в) и (г) поведение действительной и мнимой частей спектра в зависимости от величины параметра усиления и потерь. При прохождении точки бифуркации мнимая часть спектра раздваивается и условие РТ-симметрии нарушается.

перимента. На один из волноводов была нанесена металлическая микрополоса, ширина которой определяла интенсивность потерь в системе. Таким образом, в

Рисунок 1.2. Схема (а) и изображение разработанного диссипативного устройства (б), полученное с помощью электронного микроскопа. На (в) сравнение экспериментальных данных с теоретическими.

работе [30] было показано, как можно экспериментально исследовать поведение РТ-симметричной системы. Отметим однако, что такой метод подходит только для линейных систем.

В другой работе [32] была представлена экспериментальная установка, позволяющая производить накачку энергии в систему. В работе рассматривалось два проводящих канала (волновода), в одном из которых присутствуют потери мощности, а в другом как потери, так и усиление. Представленная система описывалась уравнениями:

+ = 0, (1.3)

+ г^Ег + кЕг = 0. аг 2

Здесь Е\,2 представляет амплитудные поля в каналах 1 и 2, к = п/(2Ьс) константа взаимодействия с длиной взаимосвязи Ьс и 7сей' = 7с ~ 7ь _ эффек-

п(Сг)=4.272+4.9251

тивный коэффициент усиления. Для того, чтобы условие РТ-симметрии было выполнено в системе необходимо, чтобы 7сег = 7ь- Таким образом, была

Intensity/phase distribution

CCD camera

Figure 2 | Experimental set-up. An Ar+ laser beam (wavelength 514.5 nm) is coupled into the arms of the structure fabricated on a photorefractive LiNbOj substrate. An amplitude mask blocks the pump beam from entering channel 2, thus enabling two-wave mixing gain only in channel 1. A CCD camera is used to monitor both the intensity and phases at the output.

Рисунок 1.3. Экспериментальная установка, моделирующая динамику в VT-симметричной системе. Подкачка энергии происходит сверху. Амплитудная маска блокирует подачу энергии в один из волноводов.

представлена экспериментальная система, в которой наряду с потерями присутствует и усиление сигнала. В данной работе также было получено хорошее согласование экспериментальных данных с теорией.

Также отметим работу [31], в которой РТ-симметричная система была реализована с помощью электронного устройства, изображенного на Рисунке1.4. Данная работа показывает, что РТ-симметричные системы могут быть реализованы различными способами. Для этого достаточно, чтобы спектр системы имел характерные точки бифуркации соответствующие нарушению условия VT-симметрии. Тогда можно ожидать, что система будет проявлять и другие свойства РТ-симметричных систем.

Представленные экспериментальные работы спровоцировали рост интереса к РТ-симметричным системам, поскольку они показали реальные перспективы использования таких систем в оптике.

Одним из способов использования РТ-симметричных систем на практике

Reference beam

\ Beam splitter

Pump beam

Lithium niubate

Waveguides

Signal beam /

\ Objective lens

9 V

R

С L

M

Gain

Loss

Рисунок 1.4. Схема электронного устройства, проявляющего свойства РТ-симметрии. Две катушки индуктивности имитируют взаимодействующие волноводы.

является их внедрение в системы передачи информации. Для этого необходимо изучить распространение сигналов в таких системах. Поскольку распространение света в проводящих средах описывается уравнением Шрёдингера, то одним из основных видов решений являются волны солитонного типа.

Впервые понятие солитона было введено в 1965 году Н. Забуски и М. Кру-скалом. Однако, впервые данный объект упоминается Джоном Скоттом Расселом, когда он наблюдал за движением лодки в узком канале. После того, как лодка остановилась, образовалась уединенная волна, которая стала распространяться по каналу. После этого Рассел неоднократно возвращался к изучению данного объекта, поскольку он считал, что данное явление играет важную роль в различных областях физики. Так, он установил, что данный объект двигается практически с постоянной скоростью и сохраняет свою форму. Он так же обратил внимание на такие явления, как распад одной большой волны на несколько более мелких волн, экспериментальное наблюдение только волн возвышения (светлые солитоны), упругое взаимодействие солитонов.

Солитоны и волны солитонного типа хорошо изучены в различных нелинейных моделях. Поскольку солитоны являются локализованными объектами то, для того, чтобы они распространялись без потери формы, в среде должна отсутствовать дисперсия, либо данная дисперсия должна быть скомпенсирована нелинейностью среды [38-42]. Свойства солитонов хорошо изучены и описаны в работах [43-49]. Также есть отдельные работы по оптическим солитонам [22, 50], в которых тщательно изучаются свойства солитонов в оптических средах и исследуются закономерности распространения таких мод.

Прежде чем говорить о нелинейных РТ-симметричных оптических средах, необходимо уточнить понятие РТ-симметрии в нелинейной системе. В классическом понимании, свойством РТ-симметрии могут обладать только линейные системы. Для нелинейных систем под РТ-симметрией подразумевают свойство потенциала системы У{х) = У*(—х). При выполнении этого свойства можно рассчитывать, что некоторые моды системы будут сохраняться свою энергию (в среднем вдоль направления распространения). Поэтому для нелинейных систем имеет смысл говорить также о РТ-симметрии отдельно взятой моды. Тогда нарушение РТ-симметрии будет относится не к системе в целом, а к определенным рассматриваемым модам.

Изучение солитонов в оптических РТ-симметричных моделях является важным и необходимым шагом на пути к пониманию явления РТ-симметрии. В работах [29, 51-54] изучаются солитоны в различных РТ-симметричных системах. В частности, исследуются такие свойства как устойчивость, подвижность солитонов в системе и динамика распространения солитонов. Так, в работе [54] рассматривается модель плоского РТ-симметричного каплера схематично изображенного на Рисунке 1.5 (а). Данная модель описывается с помощью двух

(а

Рисунок 1.5. (а) Плоский РТ-симметричный каплер, (б) одномерный РТ-симметричный кап-лер. В верхнем волноводе происходит усиление светового сигнала, в нижнем присутствуют потери мощности.

связанных нелинейных уравнений Шредингера

Здесь и и V - огибающие электрического поля в волноводах с усилением и потерями соответственно, 7 - коэффициент усиления и потерь. Световой импульс распространяется в направлении t и подвержен действию дисперсии в направлении х.

В модели плоского РТ-каплера были построены солитонные решения. Показано, что система поддерживает два типа солитонных решений: один всегда неустойчив, другой устойчив при

где А - амплитуда солитона. Здесь было отмечено, что нарушение представленного условия устойчивости солитона приводит к нарушению РТ-симметрии этого солитона, т.е. безграничному росту интенсивности в волноводе с усилением. В то время как для неустойчивого солитона, при небольших значениях амплитуды и параметра 7, неустойчивость не эквивалентна нарушению ТТ-симметрии солитона.

1 10

гщ + ихх + 21^1 и = —V 4- ¿7и,

. . о

гг>£ + ухх + 2|г>| V = —и — ¿7и.

(1.4)

Развитие неустойчивой динамики солитона представлено на Рисунке 1.6. Интересно, что в результате неустойчивого распада солитона, могут образовы-

Рисунок 1.6. Развитие неустойчивой динамики солитона с параметрами А = 0.9, у = 0.1.

ваться бризериые решения - решения с периодически меняющейся вдоль£ общей энергией моды. Такие объекты характерны для исследуемой модели и играют важную роль при изучении транспортных свойств подобных систем.

1.3. Дискретные РТ- симметричные структуры

Следующим шагом развития РТ-симметричных систем является изучение более сложных структур, которые либо содержат РТ-симметричные элементы, либо состоят из таких элементов.

По-видимому, простейшим РТ-симметричным элементом является дискретный РТ-симметричный каплер. Дискретность в данном случае понимается в том смысле, что в каждом волноводе значение поля не изменяется в попереч-

30

0 -30

ном направлении. В работе [8] изучается нелинейная модель РТ-симметричного каплера. Динамика света в такой модели описывалась с помощью уравнений

г^ + ipa\ + Са2 + G(|ai|2)ai = 0, az

г^ - ipai + Сах + G(\a2\2)a2 = 0, (1.5)

где 2 - координата вдоль волновода, а\ и а2 - огибающие поля, р - коэффициент усиления и потерь, С - константа взаимосвязи между модами в двух волноводах. Данная система исследована на устойчивость в зависимости от интенсивности усиления и ослабления. Для различных значений параметров модели приведены области начальных условий устойчивых решений. Показана динамика в зависимости от выбора начальных условий.

Используя описанный РТ-каплер, можно создать структуры, состоящие из большого числа таких элементов.

Необходимо отметить, каким образом свет может переходить от одного волновода к другому в таким системах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сучков, Сергей Владимирович, 2013 год

Цитированная литература

1. Ахманов, С. А. Проблемы нелинейной оптики: Электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах/С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов,-Москва: ВИНИТИ, 1964.-298 с.

2. Сухоруков, А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике/А.П. Сухоруков- Москва: Наука, 1988 - 664 с.

3. Bender, С. М. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT symmetry/ С. M. Bender, S. Boettcher // Phys. Rev. Lett - 1998 - Vol. 80, no. 24-P. 5243-5246.

4. El-Ganainy, R. Theory of coupled optical PT-symmetric structures/ R. El-Ganainy, K. G. Makris, D. N. Christodoulides, Z. H. Musslimani // Opt. Lett.-2007.- Vol. 32.- P. 2632-2634.

5. Klaiman, S. Visualization of branch points in PT-symmetric waveguides/ S. Klaiman, U. Guenther, N. Moiseyev // Phys. Rev. Lett- 2008- Vol. 101-P. 080402-4.

6. Longhi, S. Bloch oscillations in complex crystals with PT symmetry/ S. Longhi // Phys. Rev. Lett.- 2009 - Vol. 103.- P. 123601-4.

7. Zheng, M. C. PT optical lattices and universality in beam dynamics/ M. C. Zheng, D. N. Christodoulides, R. Fleischmann, T. Kottos // Phys. Rev. A-2010.- Vol. 82.- P. 010103-4.

8. Sukhorukov, A. A. Nonlinear suppression of time reversals in PT-symmetric optical couplers/ A. A. Sukhorukov, Z. Y. Xu, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A.- 2010.- Vol. 82.- P. 043818-5.

9. Dmitriev, S. V. Binary parity-time-symmetric nonlinear lattices with balanced gain and loss/ S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // Opt. Lett.-2010.- Vol. 35.- no. 17.- P. 2976-2978.

10. Bender, С. M. Complex extension of quantum mechanics/ С. M. Bender, D. C. Brody, H. F. Jones // Phys. Rev. Lett.- 2002 - Vol. 89.- no. 27.- P. 270401-4.

11. Mostafazadeh, A. Pseudo-Hermiticity versus PT symmetry. The necessary condition for the reality of the spectrum/ A. Mostafazadeh //J. Math. Phys-2002.- Vol. 43.- P. 205-214.

12. Bender, C. M. Must a Hamiltonian be Hermitian?/ C. M. Bender, D. C. Brody, H. F. Jones // Am. J. Phys - 2003.- Vol. 71, no. 11.- P. 1095.

13. Mostafazadeh, A. Physical Aspects of Pseudo-Hermitian and PT -Symmetric Quantum Mechanics/ A. Mostafazadeh, A. Batal //J. Phys. A.- 2004.-Vol. 37.- P. 11645—11680.

14. Dorey, P. Spectral equivalences, Beth ansatz eqations, and reality properties in PT-symmetric quantum mechanics/ P. Dorey, C. Dunning, R. Tateo //J. Phys. A.- 2001- Vol. 34.- P. 5679-15704.

15. Bender, C. M. Faster then Hermitian Quantum Mechanics/ C. M. Bender,

D. C. Brody, H. F. Jones, B. K. Meister // Phys. Rev. Lett.- 2007.- Vol. 98.-P. 040403.

16. Graefe, E. M. Mean-Field Dynamics of a Non-Hermitian Bose-Hubbard Dimer/

E. M. Graefe, H. J. Korsch, A. E. Niederle // Phys. Rev. Lett.- 2008.- Vol. 101.- P. 150408.

17. Bender, C. M. No-Ghost Theorem for the Fourth-Order Derivative Pais-Uhlen-beck Oscillator Model/ C. M. Bender, P. D. Mannheim // Phys. Rev. Lett-2008.- Vol. 100.- P. 110402.

18. Graefe, E. M. A non-Hermitian "PTsymmetric Bose-Hubbard model: eigenvalue rings from unfolding higher-order exceptional points/ E. M. Graefe, U. Gunther, H. J. Korsch, A. E. Niederle // J. Phys. A.- 2008 - Vol. 41.- P. 255206.

19. Bagchi, В. 5/(2, С) As a Complex Lie Algebra and the Associated Non-Hermi-tian Hamiltonians With Real Eigenvalues/ B. Bagchi, S. Quesne // Phys. Let. A.- 2000.- Vol. 273.- P. 285-292.

20. Znojil, M. PT-symmetric square well/ M. Znojil // Phys. Let. A- 2001 -Vol. 285.- P. 7.

21. Ландсберг, Г. С. Оптика: учебн. пособие для вузов/ Г.С.Ландсберг.-Москва: Физматлит, 2003- 848 с.

22. Кившарь, Ю. С. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов/ Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал - Москва: Физматлит, 2005.- 648 с.

23. Шен, И. Пришципы нелинейной оптики/ И. Шен.- Москва: Мир, 1989.560 с.

24. Дмитриев, В. Г. Прикладная нелинейная оптика/ В. Г. Дмитриев, Л. В. Тарасов - Москва: Физматилит, 2004.- 512 с.

25. Беспалов, В. И. Нелинейная оптика/ В. И. Беспалов, Г. А. Пасманик.-Москва: Наука, 1980 - 282 с.

26. Унгер, X. Планарные и волоконные оптические волноводы/ X. Унгер.-Москва: Мир, 1980.- 312 с.

27. Бейли, Д. Волоконная оптика: теория и практика/ Д. Бейли, Э.Райт-Москва: Кудиц-Пресс, 2008 - 320 с.

28. Makris, К. G. Beam Dynamics in РТ Symmetric Optical Lattices/ К. G. Makris, R. El-Ganainy, D. N. Chistodoulides, Z. H. Musslimani // Phys. Rev. Lett.- 2008.- Vol. 100.- P. 103904-4.

29. Musslimani, Z. H. Optical solitons in PT periodic potentials/ Z. H. Musslimani, K. G. Makris, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. Lett - 2008-Vol. 100.- P. 030402-4.

30. Guo, A. Observation of PT-symmetry breaking in complex optical potentials/ A. Guo, G. Salamo, D. Duchesne, R. Morandotti, M. Volatier-Ravat, V. Aimez, G.A. Siviloglou, D.N. Cristodoulides // Phys. Rev. Lett.- 2011.- Vol. 103-P. 093902-4.

31. Schindler, J. Experimental study of active LRC circuits with PT symmetries/ J. Schindler, A. Li, M. Zheng, F.M. Ellis, T. Kottos // Phys. Rev. A.- 2010-Vol. 84.- P. 040101-5.

32. Ruter, C. E. Observation of parity-time symmetry in optics/ C. E. Ruter, K. G. Makris, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides, M. Segev, D. Kip // Nature Physics - 2010.- Vol. 6.- P. 192-195.

33. Ruschhaupt, A. Physical realization of PT symmetric potential scattering in a planar slab waveguide/ A. Ruschhaupt, F. Delgado, J. G. Muga //J. Phys. A - 2005.- Vol. 38.- P. L171-L176.

34. Miroshnichenko, A. E. Nonlinearly PT-symmetric systems: Spontaneous symmetry breaking and transmission resonances/ A. E. Miroshnichenko, B. A. Malomed, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A.- 2011.- Vol. 84.- P. 012123-4.

35. Longhi, S. Spectral singularities and Bragg scattering in complex crystals/ S. Longhi // Phys. Rev. A.- 2010.- Vol. 81 - P. 022102-6.

36. Zhou, K. Y. Defect modes in defective parity-time symmetric periodic complex potentials/ K. Y. Zhou, Z. Y. Guo, J. C. Wang, S. T. Liu // Opt. Lett - 2010-Vol. 35.- no. 17 - P. 2928-2930.

37. Ramezani, H. Unidirectional nonlinear PT-symmetric optical structures/ H. Ramezani, S. Kottos, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. A-2010.- Vol. 82,- P. 043803.

38. Шуберт, M. Введеие в нелинейную оптику.4.1/ М. Шуберт, Б. Вильгель-ми - Москва: Мир, 1973 - 245 с.

39. Шуберт, М. Введеие в нелинейную оптику.Ч.2/ М. Шуберт, Б. Вильгель-ми - Москва: Мир, 1979 - 512 с.

40. Сухоруков, А. П. Дифракция световых пучков в нелинейных средах/ А.П. Сухоруков // Соросовский образовательный журнал.- 1997.- С. 94-99.

41. Карпман, В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах/ В. И. Кар-пман - Москва: Наука, 1973.- 215 с.

42. Цернике, Ф. Прикладная нелинейная оптика/ Ф. Цернике, Д. Мидвинтер.-Москва: Мир, 1976.- 262 с.

43. Silberberg, Y. Rotating vector solitary waves in isotropic fibers/ Y. Silberberg, Y. Barad // Opt. Lett.- 1995.- Vol. 20.- no. 3.- P. 246-248.

44. Кудряшов, H. А. Нелинейные волны и солитоны/ H. А. Кудряшов // Соросовский Образовательный Журнал - 1997.- Т. 2.- С. 85-91.

45. Абловиц, А. Солитоны и метод обратной задачи/ А. Абловиц, X. Сигур.-Москва: Мир, 1987.- 480 с.

46. Захаров, В. Е. Теория солитонов/ В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, J1. П. Питаевский.- Москва: Наука, 1980.- 319 с.

47. Филиппов, А. Т. Многоликий солитон/ А. Т. Филиппов - Москва: Наука, 1986.- 223 с.

48. Ньюэлл, А. Солитоны в математической физике/ А. Ньюэлл- Москва: Наука, 1983.- 325 с.

49. Маневич, JI. И. Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам/ Л. И. Маневич // Соросовский образовательный журнал.- 1996 - С. 86-93.

50. Маймистов, А. И. Оптические солитоны/ А. И. Маймистов // Соросовский об- разовательный журнал.- 1999.- Т. 11- С. 97-102.

51. Abdullaev, F. К. Dissipative periodic waves, solitons, and breathers of the nonlinear Schrodinger equation with complex potentials/ F. K. Abdullaev, V. V. Konotop, M. Salerno, A. V. Yulin // Phys. Rev. E - 2010.- Vol. 82.- P. 056606.

52. Driben, R. Dynamics of higher-order solitons in regular and VT -symmetric nonlinear couplers/ R. Driben, B. A. Malomed // EPL (Europhysics Letters).-

2012.- Vol. 99.- no. 5.- P. 54001.

53. Driben, R. Stability of solitons in parity-time-symmetric couplers/ R. Driben, B. A. Malomed // Opt. Lett - 2011.- Vol. 36.- no. 22.- P. 4323-4325.

54. Alexeeva, N. V. Optical solitons in PT-symmetric nonlinear couplers with gain and loss/ N. V. Alexeeva, I. V. Barashenkov, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A.- 2012.- Vol. 85.- P. 063837-13.

55. Zeng, S. Size dependence of Au NP-enhanced surface plasmon resonance based on differential phase measurement/ S. Zeng, X. Yu, W.-C. Law, Y. Zhang, R. Hu, X.-Q. Dinh, H.-P. Ho, K.-T. Yong // Sensors and Actuators B: Chemical.-

2013.- Vol. 176.- P. 1128 - 1133.

56. Yulin, A. V. Transition radiation by matter-wave solitons in optical lattices/

А. V. Yulin, D. V. Skryabin, S. J. P. Russel // Phys. Rev. Lett- 2003.-Vol. 91- no. 26.- P. 260402-4.

57. Barashenkov, I. V. VT-symmetry breaking in a necklace of coupled optical waveguides/ I. V. Barashenkov, L. Baker, N. V. Alexeeva // Phys. Rev. A-2013.- Vol. 87.- P. 033819.

58. D'Ambroise, J. Asymmetric wave propagation through nonlinear PT-symmetric oligomers/ J. D'Ambroise, P. G. Kevrekidis, S. Lepri // arXiv:1202.4483vl.- 2012.

59. Bendix, O. Exponentially fragile PT symmetry in lattices with localized eigen-modes/ O. Bendix, R. Fleischmann, T. Kottos, B. Shapiro // Phys. Rev. Lett.-2009.- Vol. 103.- no. 3.- P. 030402-4.

60. West, S. T. PT-symmetric wave chaos/ S. T. West, T. Kottos, T. Prosen // Phys. Rev. Lett - 2010.- Vol. 104.- no. 5.- P. 054102-4.

61. Ramezani, H. Exceptional-point dynamics in photonic honeycomb lattices with PT symmetry/ H. Ramezani, T. Kottos, V. Kovanis, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. A.- 2012.- Vol. 85.- P. 013818-6.

62. Longhi, S. Spontaneous VT symmetry breaking in Dirac-Kronig-Penney crystals/ S. Longhi, F. Cannata, A. Ventura // Phys. Rev. В.- 2011- Vol. 84.-P. 235131-8.

63. Berry, M. V. Optical lattices with PT symmetry are not transparent/ M. V. Berry // J. Phys. A.- 2008.- Vol. 41- P. 244007-7.

64. Петоров, M. П. Световолокна для оптических линий связи. 4.1/ М. П. Петоров // Соросовский образовательный журнал.- 1996.- С. 101-108.

65. Петоров, М. П. Световолокна для оптических линий связи 4.2/ М. П. Петоров // Соросовский образовательный журнал,- 1997.- С. 100-105.

66. Чео, П. Волоконная оптика. Приборы и системы/ П. Чео.- Москва: Энер-гоатомиздат, 1998.- 279 с.

67. Булгакова, С. А. Нелинейно-оптические устройства обработки информации/ С. А. Булгакова, A. JI. Дмитриев - Санкт-Петербург: СПбГУИТМО, 2009.- 56 с.

68. Sukhorukov, A. A. Nonlocality in "PT-symmetric waveguide arrays with gain and loss/ A. Sukhorukov, S. Dmitriev, S. Suchkov, Yu. Kivshar // Opt. Lett.-2012.- Vol. 37,- no. 11.- P. 2148-2150.

69. Dmitriev, S. V. Scattering of solitons in nonlinear waveguide arrays on a pair of PT-symmetric waveguides with balanced gain and loss/ S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A.- 2011.- Vol. 84.-P. 013833-5.

70. Suchkov, S. V. Solitons in a chain of parity-time-invariant dimers/ S. V. Suchkov, B. A. Malomed, S. V. Dmitriev, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. E.-2011.- Vol. 84,- P. 046609-8.

71. Suchkov S. V., Dmitriev S., Malomed В., Kivshar Y. Wave scattering on a domain wall in a chain of PT-symmetric couplers/ S. V. Suchkov, S. Dmitriev, B. Malomed, Yu. Kivshar // Phys. Rev. A.- 2012.- Vol. 85.- P. 033825-6.

72. Kivshar,Yu. S. Optical solitons. From fiber to photonic crystals/Yu. S. Kivshar, G. P. Agrawal //.- San Diego: Academic Press, 2003 - C. 1-168.

73. Kivshar, Y. S. Resonant soliton-impurity interactions/ Y. S. Kivshar, Z. Fei, L. Vazquez // Phys. Rev. Lett.- 1991.- Vol. 67.- no. 10.- P. 1177-1180.

74. Forinash К., Peyrard M., Malomed В. Interaction of discrete breathers with impurity modes/ K. Forinash, M. Peyrard, B. Malomed // Phys. Rev. E-1994.- Vol. 49.- P. 3400-3411.

75. Wright E. M. Solitary-wave decay and symmetry-breaking instabilities in two-mode fibers/ E. M. Wright, G. I. Stegeman, S. Wabnitz // Phys. Rev. A-1989.- Vol. 40.- P. 4455-4466.

76. Herring, G. Symmetry breaking in linearly coupled dynamical lattices/ G. Herring, P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, R. Carretero-González, D. J. Frantzeskakis // Phys. Rev. E.- 2007.- Vol. 76.- P. 066606.

77. Dmitriev, S. V. Anti-Fermi-Pasta-Ulam energy recursion in diatomic lattices at low energy densities/ S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, A. I. Pshenichnyuk, L. Z. Khadeeva, A. M. Iskandarov, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. В.- 2009-Vol. 80.- P. 094302.

78. Дмитриев, С. В. Динамические длиннопериодические наноразмерные состояния в решетчатой структуре/ С. В. Дмитриев , А. А. Назаров, А. И. Потекаев, А. И. Пшеничнюк, JI. 3. Хадеева // Известия ВВУЗов. Физика.-2009.- Т. 52.- № 2.- С. 132.

79. Efremidis,N. К. Discrete Ginzburg-Landau solitons/ N. К. Efremidis, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. E - 2003.- Vol. 67.- P. 026606.

80. Kevrekidis, P. G. The Discrete Nonlinear Shrodinger Equation: Mathematical Analysis, Numerical Computations, and Physical Perspective/ P. G. Kevrekidis - Berlin: Springer, 2009 - P. 416.

81. Yang, J. Some properties of nonlinear wave systems/ J. Yang, D. J. Benney // Stud. Appl. Math.- 1996.- Vol. 96.- P. 111-139.

82. Yang, J. Classification of the solitary waves in coupled nonlinear Schrodinger equations/ J. Yang // Physica D: Nonlinear Phenomena- 1997.- Vol. 108-P. 92 - 112.

83. Yang, J. Vector Solitons and Their Internal Oscilliations in Birefringent Nonlinear Optical Fibers/ J. Yang // Studies in Applied Mathematics.- 1997.-Vol. 98,- P. 61.

84. Yang, J. Interactions of vector solitons/ J. Yang // Phys. Rev. E- 2001.-Vol. 64.- P. 026607.

85. Tan, Y. Complexity and regularity of vector-soliton collisions/ Y. Tan, J. Yang // Phys. Rev. E - 2001.- Vol. 64.- P. 056616.

86. Barashenkov, I. V. Breathers in "PT-symmetric optical couplers/ I. V. Barashenkov, S. V. Suchkov, A. A. Sukhorukov et al. // Phys. Rev. A - 2012-Vol. 86.- P. 053809.

87. Dmitriev,S. V. Exact static solutions to a translationally invariant discrete model/ S. V. Dmitriev, P. G. Kevrekidis, A. Khare, A. Saxena //J. Phys. A.-2007.- Vol. 40.- P. 6267.

88. Dmitriev, S. V. Standard nearest neighbor discretizations of Klein-Gordon models cannot preserve both energy and linear momentum/ S. V. Dmitriev, N. Yoshikawa, P. G. Kevrekidis // J. Phys. A.- 2006.- Vol. 39.- P. 7217.

89. Roy, I. Comparative study of different discretizations of the^»4 model/ I. Roy, S. V. Dmitriev, P. G. Kevrekidis, A. Saxena // Phys. Rev. E.- 2007.- Vol. 76.-P. 026601.

90. Dmitriev, S. V. Discrete nonlinear Schrodinger equations free of the

Peierls-Nabarro potential/ S. V. Dmitriev, P. G. Kevrekidis, A. A. Sukho-rukov, N. Yoshikawa, S. Takeno // Phys. Lett. A.- 2006.- Vol. 356 - P. 324.

91. Kevrekidis, P. G. On a class of spatial discretizations of equations of the nonlinear Schrodinger type/ P. G. Kevrekidis, S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov // Mathematics and Computers in Simulation - 2007 - Vol. 74 - P. 343.

92. Шабат, А. Б. Обратная задача рассеяния для системы дифференциальных уравнений/ А. Б. Шабат // Функц. анализ и его прил..- 1975.- Т. 9.- С. 75-78.

93. Захаров, В. Е. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния/ В. Е. Захаров, А. Б. Шабат // II Функц. анализ и его прил..- 1979 - Т. 13 - С. 13-22.

94. Dmitriev S. V. Short-lived two-soliton bound states in weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation/ S. V. Dmitriev, T. Shigenari // Chaos.- 2002.-Vol. 12.- P. 324.

95. Dmitriev, S. V. Fractal structures and multiparticle effects in soliton scattering/ S. V. Dmitriev, Yu. S. Kivshar, T. Shigenari // Phys. Rev. E- 2001 -Vol. 64.- P. 056613.

96. Dmitriev, S. V. Two-soliton collisions in a near-integrable lattice system/ S. V. Dmitriev, P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, D. J. Frantzeskakis // Phys. Rev. E.- 2003.- Vol. 68.- P. 056603.

97. Dmitriev, S. V. Radiationless energy exchange in three-soliton collisions/ S. V. Dmitriev, P. G. Kevrekidis, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E.- 2008,- Vol. 78.-P. 046604.

98. Dmitriev, S. V. Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation/ S. V. Dmitriev, D. A. Semagin, A. A. Sukhorukov, T. Shigenari // Phys. Rev. E - 2002.- Vol. 66.- P. 046609.

99. Sukhorukov, A. A. Time-reversal and nonlocal effects in PT-symmetric nonlinear lattices with balanced gain and loss/ A. A. Sukhorukov, Z. Xu , S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, Yu. S. Kivshar // SPIE.- 2011,- Vol. Active Photonic Materials IV.- P. 8095N-8.

100. Сучков, С. В. Взаимодействие солитонов в дискретных РТ-симметричных системах без потенциала Пайрлса-Набарро/ С. В. Сучков, А. Кхаре // Письма о материалах - 2011- Т. 1- С. 222-225.

101. Suchkov, S. V. Wave scattering on a domain wall in a chain of PT-symmetric couplers/ S. V. Suchkov, A. A. Sukhorukov, S. Dmitriev, Yu. Kivshar // Eu-rophysics Letters.- 2012.- Vol. 100.- P. 033825-1-033825-6.