Линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сороговец, Иван Борисович

• Сороговец, Иван Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сороговец, Иван Борисович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Особые точки линейных однородных дифференциальных матричных уравнений второго порядка

§1.1. Основные обозначения и сокращения

§1.2. Структура решений в окрестности особой точки

§1.3. Регулярная особая точка

§1.4. Линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка с иррегулярной особой точкой

ГЛАВА П. Матричные аналоги дифференциального гипергеометрического уравнения

§2.1. Вывод системы определяющих уравнений

§2.2. Необходимые и достаточные условия разрешимости системы определяющих уравнений

§2.3. Матричное гипергеометрическое уравнение с различными собственными числами главных матриц

§2.4. Системы дифференциальных уравнений, связанные с представлениями группы

ГЛАВА Ш. Построение и исследование решений матричных гипергеометрических уравнений

§3.1. Матричные аналоги гипергеометрических рядов

§3.2. "Ортогональные" системы матриц

§3.3. Дифференциальные операторы, порожденные

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами»

В диссертации рассматриваются системы И линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами. Основное внимание уделено системам класса Фукса с тремя особыми точками, которые линейным преобразованием приводятся к матричным аналогам дифференциального гипергеометрического уравнения. Собственные функции дифференциального оператора, порожденного матричным гипергеометрическим выражением и естественными граничными условиями, являются матричными многочленами, сходными по свойствам с классическими ортогональными многочленами Якоби. Они образуют, в определенном смысле, ортогональную замкнутую систему матриц. Полученные результаты дают возможность исследования матричных элементов неприводимых унитарных представлений групп вращений евклидовых и псевдоевклидовых пространств методами теории дифференциальных уравнений.

Линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с аналитическими коэффициентами и связанным с ними специальным функциям в скалярном случае посвящено огромное количество исследований. Это связано, в первую очередь, с тем, что специальные функции широко применяются при решении задач из различных областей естествознания: теории колебаний, теории упругости, теории теплопроводности, электродинамики, газовой динамики, теории дифракции, квантовой механики и др. Чаще всего они возникают при решении уравнений с частными производными методами разделения переменных [27,33, 46, 48, 52, 57, 61, 64, 74, 76-78, 79, 81, 84] .

К теории специальных функций обращались крупнейшие математики прошлого: П.Л. Чебышев, A.M. Лежандр, Ф.В. Бессель, Б. Ри-ман, К. Гаусс и многие другие. Исследования продолжаются и по сей день. Библиография в этой области анализа настолько обширна, что перечислить все исследования практически невозможно. Укажем лишь монографии [7-9, 15, 33, 35, 46-48, 52, 61, 64, 74, 76-81, 83, 84], изданные на русском языке и содержащие основные сведения по специальным функциям и их приложениям. Наиболее полным по охвату материала можно считать трехтомник Г. Бейтмена и А. Эрдейи "Высшие трансцендентные функции".

Кроме специальных функций, ставших уже классическими, появились и интенсивно изучаются их различные обобщения: гипергеометрические функции нескольких переменных [104, 105] , бессе-левы и гипергеометрические функции матричного аргумента [96, Юз] , специальные матричнозначные функции [106, .

При исследовании специальных функций появилось большое количество методов и различных частных приемов. Развитие теории представлений групп за последние десятилетия дало возможность охватить теорию многих классов специальных функций с единой точки зрения. Теоретико-групповой трактовке поддается гипергеометрическая функция и ее различные частные и вырожденные случаи: функции Бесселя, функции Лежандра, ортогональные многочлены Якоби, Чебышева, Лагерра, Эрмита.

Связь между специальными функциями и представлениями групп была впервые открыта Э. Картаном [92J . Построение теории многочленов Лежандра на базе теории представлений групп дано И.М. Гельфандом и З.Я. Шапиро [26, 27] . В этих же работах введены и изучены функции » близкие к многочленам Якоби.

Теоретико-групповое истолкование функций Лежандра дано Баргманом (Вагдтотп V, ) [93^ .

Н.Я. Виленкиным получена теоретико-групповая трактовка гипергеометрической функции и функций Уиттекера [ 20-22^ . Построение некоторых разделов теории бесселевых функций с помощью представлений груш содержится в работах [17, 21, 95] .

Построению и систематическому изложению теории специальных функций с теоретико-групповой точки зрения посвящена монография [21] Н.Я. Виленкина.

Теоретико-групповое истолкование приводит к новым соотношениям для известных специальных функций и порождает их различные естественные обобщения [17-23, 26-28, 34, 53-56, 66-70, 89-91, 93-95, 97, 98, 105-107, 109, По] . В частности, изучение матричных элементов неприводимых унитарных представлений групп вращений Д -мерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств при Я > 4 [ 34 , 53-56 , 67 , 69 , 70 , 89-91] приводит к появлению вектор-функций и матриц-функций, близких к специальным функциям гипергеометрического типа. Н.Я. Виленкиным в монографии [21! предположено, что "здесь, по-видимому, появляются ортогональные вектор-функции с многочленными элементами".

Один из методов изучения специальных функций [7,8,15,6^/] состоит в исследовании дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют. Так, функции Лежандра, многочлены Якоби и их частные случаи (многочлены Лежандра, Чебышева, Гегенбауэра) можно определить как решения некоторых классов гипергеометрического уравнения, удовлетворяющие естественным граничным условиям.

В работах ["67, 69, 70, 34] получены системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют матричные элементы неприводимых унитарных представлений групп вращений Г( -мерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств ( 4). Цутем надлежащей замены независимой переменной такие системы можно записать в виде л« ялд/в| в2. „ с1 ь, и А т где , Я% ,В1 *В1 » С± - постоянные квадратные матрицы, (А {%) - матричная функция (вектор-функция), составленная определенным образом из матричных элементов представлений, Д - постоянная матрица (число), С точки зрения аналитической теории дифференциальных уравнений, (I) относится к системе класса фукса с тремя регулярными особыми точками.

Рассмотрение матричных элементов группы движений Ц -мерного пространства при П.%.3 С66, 68, 69, 56] приводит к системам дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой.

Следует отметить, что уравнения вида (I) и более общие дифференциальные матричные уравнения второго порядка подробно никем не рассматривались. В теории представлений групп изучались только вектор-решения некоторых классов уравнений вида (I), с помощью которых строятся матричные элементы представлений [18, 19, 23, 34, 53-55, 91, 107] . Эти вектор-функции получали, в основном, не путем решения уравнений (I), а на основании их теоретико-групповых свойств. Таким образом, актуальными являются задачи построения фундаментальных систем решений уравнений вида (I) и более общих дифференциальных матричных уравнений второго порядка. Кроме того, известные решения изучены недостаточно. В некоторых случаях для них найдены выражения в виде аналога формулы Родрига, в других - интегральные представления. Как отмечено в монографии [112, с.188] , "еще не скоро для математиков и физиков эти представления и их разложения станут столь же привычными, как функции дХР(сП.{) на окружности и €ХР(Ч<И) на прямой". Естественно ожидать, что детальное исследование решений уравнений (I) приведет, как и в случае групп зош.яои,1), вит). к ортогональным системам вектор-функций (матриц-функций), удобных для разложения по ним более сложных векторных (тензорных) полей. Этими причинами и обусловлено появление данной работы.

Целью диссертации являются:

- изучение структуры фундаментальных систем решений линейных однородных дифференциальных матричных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами в окрестности особой точки;

- получение условий приводимости линейных дифференциальных матричных уравнений второго пордцка класса Фукса с тремя особыми точками к матричным аналогам гипергеометрического уравнения;

- построение решений матричных гипергеометрических уравнений в окрестностях особых точек;

- построение и исследование собственных функций дифференциальных операторов, порожденных дифференциальными матричными гипергеометрическими выражениями;

- исследование матричных элементов неприводимых унитарных представлений групп вращений И -мерных евклидовых пространств.

Охарактеризуем кратко ее содержание.

В главе I изучается поведение решений линейных однородных дифференциальных матричных уравнений второго порядка вида

Y"+ Р(а) Y1 + Gi(z)Y = 0, (2) где £ - комплексная переменная, и &(%) - (Пх п. ^матрицы, представимые рядами Лорана в окрестности особой точки. Один из методов исследования таких уравнений состоит в переходе к линейной системе

Х' = Л<х)Х (з) порядка Хи . Однако, такой переход не всегда оправдан. Как отмечено Н.П. Еругиным [40, 42*] , уравнение (2) является более общим, чем система (3). Это связано с тем, что при переходе от (2) к (3) регулярные особые точки уравнения (2) становятся, вообще говоря, особыми точками второго рода для системы (3). Их изучение, например, с точки зрения построения решений, сопряжено со значительными трудностями. В связи с этим уравнение (2) мы рассматриваем, в основном, без перехода к системе (3).

В § 1.1 приводится список используемых обозначений и сокращений.

В § 1.2 устанавливается структура фундаментальной системы решений уравнения (2) в окрестности особой точки.

В § 1.3 указаны достаточные условия регулярности особой точки и фуксовости уравнения (2). Они сходны по форме с соответствующими условиями для скалярных уравнений второго порядка (в этом случае они являются и необходимыми [77"] ).

В § 1.4 рассматривается уравнение вида (2) с иррегулярной особой точкой = . Соответствующую систему (3) берем в виде ЯЮХ, (4) где , ДМ - сходящийся при Ь>[\>0 ряд.

До появления работы [ 38] Н.П. Еругина решения систем (4) строились в виде асимптотических рядов. В Гзв]) был предложен метод последовательных приближений для построения решений приводимых систем. В.В. Хорошиловым и Л.И. Донской [зб, 86-88^] были построены по этому методу решения систем вида (4), в виде равномерно сходящихся рядов. В [86*] рассмотрен случай, когда характеристические числа матрицы Д0 имеют различные вещественные части. В £87, 88] и [зб] исследованы системы второго и третьего порядков соответственно без ограничений на Л о •

В работах В.П. Басова метод Н.П. Еругина получил дальнейшее развитие и обобщение. Были исследованы системы содержащие, как частный случай, системы

5)

В работе [пзЗ по методу Н.П. Еругина найдена фундаментальная матрица системы (5) в виде равномерно сходящегося ряда, помноженного на нормальный инвариант Биркгофа.

В данной работе по методу Н.П. Еругина строится фундаментальная матрица системы (4) для случая, когда имеет простую структуру. В связи с аналитичностью указанной в (4) матрицы ли), получаемые результаты более конкретизированы, чем в [з-6J . Они применяются для исследования системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы движений П -мерного пространства. С помощью полученного выражения фундаментальной матрицы найдены также достаточные условия приводимости по Ляпунову для системы (4) в случае простой структуры матрицы Д0 .

В главе II рассматриваются линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка класса Фукса с тремя особыми точками вида (I). Если . А ,В< .Вг, С,, Л - числа, т.е. в скалярном случае, каждое уравнение (I) преобразованием приводится к каноническому виду -.гипергеометрическому уравнению

У и)

Г- ы&)У' -увУ^Г'Л .

6)

При этом числа О и ё являются решениями квадратных уравнений которые называются определяющими уравнениями в особых точках О и I [77] . В случае матричного уравнения (I) задача о приводимости (I) к (6) с постоянными матрицами о( , ^/3 , !Г усложняется. Будем осущесвлять этот переход линейным преобразованием ит= у(я)у(*).

Легко видеть, что матрица \Лй) должна удовлетворять системе

ДА),,' (В 1 В* С, v. v.j3 v И Г W V * Чм* = Ш)'

1 г и-*) V '= Vir-t г) - {л^г +А tt-D) V.

7)

Если предположить, что Jli , ^¿численно кратны единичной матрице J , а Т и d перестановочны, то решением второго из уравнений

Т Т

7) будет матрица \/(Х) = С X '(1-Х) 1 (= 71 -77) .

На основании проведенных рассуздений уравнение (I) во второй главе рассматривается при нижеследующих ограничениях. а). Матрицы^ , fix t Ct численно кратны единичной матрице.

77 72 б). Преобразованием Uit)= Cx-(i'X) -YСХ) , где Т/ТГ"

1-77 , deJt С ф О , уравнение (I) приводится к (6).

В § 2.1 показано, что условия а), б) эквивалентны разрешимости системы матричных уравнений т/ + {Я,-1)ТК * вк = в«тк -тк-вк, ^ (8) m ■ относительно Ti и Tz . Как видно, первые два из уравнений (8) являются самостоятельными и аналогичны по форме определяющим уравнениям в особых точках. Квадратные матричные уравнения рассматривались в £l08, IIlJ . Однако применить известные результаты к исследованию разрешимости системы (8) не представилось возможным, так как 1¡ и 1г связаны второй парой уравнений (8).

В § 2.2 при дополнительном предположении, что В i » Bi симметричны, получены необходимые и достаточные условия разрешимости системы (8), накладываемые на Bi hBi . Существенную роль при выводе этих условий сыграли понятия неприводимости множества матриц, лемма Щтра [ю, 16, 65^ и результаты f 10, 24 J о решении матричного уравнения JJX =■ XВ .

В § 2.3 при условии симметрии В i , B¿ ив случае различных характеристических чисел хотя бы одной из этих матриц в явном виде найдены уравнения (I), удовлетворяющие условиям а), б).

В § 2.4 показано, что семейство систем дифференциальных уравнений для матричных элементов неприводимых унитарных представлений групп 30(п) и SОСп, 1) можно записать в виде счетного множества уравнений (I), удовлетворяющих условиям а) и б). При этом существует неособая матрица Н такая, что матрицы

Н4в«н (К- {;Z) симметричны.

В третьей главе рассматриваются вопросы построения и исследования решений уравнений вида (6), которые мы называем матричными аналогами гипергеометрического уравнения.

В § 3.1 при .А- 0 строятся фундаментальные системы решений уравнения (6) в окрестностях особых точек О, I, .В окрестности особой точки &0= О основным решением мы считаем матричный гипергеометрический ряд кч

В случае, когда характеристические числа матрицы 7Г в (6) не являются целыми числами, обе матрицы фундаментальной системы решений уравнения (6) выражаются в явном виде через ряд (9). В других случаях одна из матриц выражается через ряд (9), а для построения другой найдены алгоритмы. Отметим, что при замене уравнения (6) при 0 системой (3) мы имели бы только алгоритмы построения решений в окрестностях особых точек [24, 371 .

В § 3.2 введено понятие "скалярного" произведения матриц

X <*), Уг (I) > = / У£Ь) • И/Г2) М м . (Ю) о

Рассмотрены ортогональные относительно скалярного произведения (10) системы матричных многочленов. Полученные результаты применяются в дальнейшем для нахождения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, связанных с левой частью уравнения (6).

В § 3.3 решается задача на собственные значения и собственные функции дифференциального оператора Ь , порожденного дифференциальным выражением, стоящим в левой части уравнения (6) и естественными краевыми условиями ограниченности решений в особых точках 0 и I. Краевым задачам и задачам на собственные значения для линейных дифференциальных операторов, особенно сингулярных, посвящено большое количество исследований. Зцесь в первую оче-следует отметить основополагающие работы Г. Вейля 99, 100 ], статьи [31, 32, 7з] а также монографии [2, 44, 48, 59, 63, 78, 82, 85] . Дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением (6), является сингулярным оператором в пространстве вектор-функций (матриц-функций). Как отмечено в [63] , такие операторы подробно никем не рассматривались. Различные вопросы, связанные с дифференциальными операторами в пространстве вектор-функций и в банаховых пространствах изучались в [I, 12, 13 , 49-51, 63 , 71, 72, 85, 101, 102] .

Отметим теперь результаты, полученные для введенного выше дифференциального оператора ¿, . Оказывается, что при определенном выборе матрицы IV Гя) , оператор Ь является симметричным относительно скалярного произведения (10). Его собственными функциями являются матричные многочлены, образующие ортогональную относительно скалярного произведения (10) и замкнутую на отрезке [ О, I ] систему.

В § 3.4 полученные выше результаты применяются к исследованию представлений группы 30(4) . Матрицы, составленные определенным образом из матричных элементов неприводимых унитарных представлений группы 30 (а) , выражаются через построенные в §3.3 ортогональные матричные многочлены. Этим доказано сформулированное выше предположение Н.Я. Виленкина.

Основные результаты диссертации докладывались на:

- I, II, III, 1У, У1, УП, УП1, IX научно-технических конференциях по итогам научно-исследовательских работ Новополоцкого политехнического института (г. Новополоцк, 1974, 1975, 1976, 1978, 1979, 1980$ 1981, 1982);

- 1У Республиканской конференции математиков Белоруссии "Проблемы развития прикладных математических исследований" (г. Минск,1975);

- научном семинаре по дифференциальным уравнениям при лаборатории дифференциальных уравнений института математики АН БССР (г. Минск, 1980);

- у Республиканской конференции математиков Белоруссии (г. Гродно, 1980);

- Республиканском научном семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям (г. Минск, 1982, 1983).

По теме диссертации опубликовано V работ — {2,0~] ♦ Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Кавдая глава состоит из четырех параграфов. Нумерация параграфов, формул, теорем, лемм и замечаний снабжена двумя цифрами: первая из них указывает главу, а вторая

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сороговец, Иван Борисович, 1984 год

1. Авдеев А.Д. О матричных дифференциальных уравнениях второго порядка. - Дифференц. уравнения, 1977, т. Ш1, № 4, с. 579 - 591.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М, Теория линейных операторов.- М.: Наука, 1966. 543 с.

3. Басов В.П. Построение решений одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. Прикладная математика и механика, 1954, т. 18, вып. 3, с. 313 - 328.

4. Басов В.П. Поведение решений систем линейных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки типа иррегулярной. Математический сборник, 1956, 40(82), вып.З, с. 339 -390.

5. Басов В.П. Об асимптотическом поведении решений систем линейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1956, 106,8, с. 951 954.

6. Басов В.П. Исследование поведения решений систем линейных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки типа иррегулярной. Укр. матем. журнал, 1956, № 8, с. 97 - 109.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. I. М.: Наука, 1973. - 296.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. М.: Наука, 1974. - 296.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 3. М.: Наука, 1967.- - 282.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1966.-368 с.

11. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышэйшая школа, 1977. 240 с.

12. Брук В.М. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка в пространстве вектор-функций. Мат. заметки, 1974, т. 15, вып. 6, с. 945 - 954.

13. Брук В.М. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов второго порядка с переменным неограниченным операторным коэффициентом. Мат. заметки, 1974, т. 16, вып. 5, с. 813 - 822.

14. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

15. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. I. М.: ИЛ, 1947. - 799 с.

16. Вейль Г. Классические группы. М.: ИЛ, 1947. - 408 с.

17. Виленкин Н.Я. Бесселевы функции и представления группы евклидовых движений. УМЙ, 1956, 11:3 (69), с. 69 - 112.

18. Виленкин Н.Я. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы вещественных ортогональных матриц и группы движения ( П -1)-мерного евклидова пространства. ДАН СССР, 1957, т. ИЗ, № I, с. 16 - 19.

19. Виленкин Н.Я. Специальные функции, связанные с представлениями класса I групп движений пространств постоянной кривизны. Труды Моск. матем. общества, 1963, 12, с. 185 - 257.

20. Виленкин Н.Я. Гипергеометрическая функция и представления группы вещественных матриц второго порядка. Математ. сборник, 1964, 64 (106):4, с. 497 - 520.

21. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. - 588 с.

22. Виленкин Н.Я. Функции Уиттекера и представления группы треугольных матриц третьего порядка. Ученые записки Моск. гос. заочн. пед. института, 1971, в. 30, с. 225 - 233.

23. Виленкин Н.Я. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы U(tl) и обобщенные многочлены Якоби. -Сборник научных трудов. Моск. гос. заочн. пед. институт, 1974, вып. 39, с. 77 90.

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967.- 576 с.

25. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.: Гостехиздат, 1950. - 360 с.

26. Гельфанд И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и их применения. УШ, 1952, 7:1 (47), с. 3 -117.

27. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: Физматгиз, 1958.- 368 с.

28. Гельфанд И.М., Граев Ы. Представления группы матриц 2-го порядка с элементами из локально-компактного поля и специальные функции на локально-компактных полях. УМН, 1963, 18:4 (112), с. 29 - 99.

29. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. Конечномерные представления группы ортогональных матриц. ДАН СССР, 1950, т. 71, № 5, с. 1017 - 1020.

30. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

31. Глазман И.М. Об индексе дефекта дифференциальных опе^-раторов. ДАН СССР, 1949, т. 64, № I, с. 151 - 154.

32. Глазман И.М. К теории сингулярных дифференциальных операторов. У?®, 1950, 5:6 (40), с. 102 - 135.

33. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. - 476 с.

34. Голодец В.Я. Матричные элементы неприводимых унитарных и спинорных представлений собственной группы Лоренца. Известия АН Белорусской ССР, сер. физ.-техн. наук, 1961, Jê I, с. 19 28.

35. Джексон Д. Рдцы Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948. - 260 с.

36. Донская Л.И. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки. ДАН СССР, 1951, т. 80, № 3, с. 321 - 324.

37. Донская Л.И. О структуре решений системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точкиЬ z Вестник Ленингр. университета, 1954, №8, с. 55 64.

38. Еругин Н.П. Приводимые системы. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова, 13. ГЛ.: Изд. АН СССР, 1946. - 56 с.

39. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд. АН БССР, 1963. - 272 с.

40. Еругин Н.П. Цроблема Римана. I. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, № 5, с. 771 - 781.

41. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.- 662 с.

42. Еругин Н.П. О поведении решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.-Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, të II, с. 1950 1959.

43. Збойчик И.Н. О представлении решения системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки.- Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, JI4, с. 601 618.

44. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972. - 496 с.

45. Кодцингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

46. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции.- М.:ИЛ, 1976.- 466 с.

47. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ, 1963, 466 с.

48. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. I. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. - 476 с.

49. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в баноховом пространстве,

50. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, $3, с 382 - 390.

51. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Корректность граничных задач для дифференциального уравнения в банаховом пространстве, 2. -Дифференц. уравнения, 1966, т.2, №7, с. 910 926.

52. Коган В.И., Рофе-Бекетов Ф.С. Об индексах дефекта дифференциальных операторов нечетного порядка с матричными коэффициентами.- В сб.: Материалы Научно-техн. конф. по итогам научных работ. Харьк. политех, институт, в.7, Харьков, 1970, с. 93 95.

53. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

54. Ламбина E.H. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы Кц ортогональных матриц четырехмерного евклидова пространства.- ДАН БССР, 1962, т.6, МО, с.613 615.

55. Ламбина E.H. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы /С/? ортогональных матриц t\ -мерного евклидова пространства.- ДАН БССР, 1965, т.9, №2, с. 77 81.

56. Ламбина E.H. Разложение матричных элементов неприводимых унитарных представлений группы $0(4) вращений четырехмерного пространства по тригонометрическим функциям. ДАН БССР, 1973, т. 17, № 4, с. 303 - 305.

57. Ламбина E.H. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы М№) движений четырехмерного евклидова пространства. ДАН БССР£ 1970, т. 14, №9, с. 786 - 789.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.:Наука, 1972. 368 с.

59. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1957. - 456 с.

60. Левитан Б.М., Саргсян И.О. Введение в спектральную тео риго. М.: Наука, 1970. - 672 с.

61. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 572 с.

62. Морс Ф.М., фешбах Г. Методы математической физики, т.1. М.: ИЛ, 1958. - 932 с.

63. Никольский С.М. Курс математического анализа, т. 2. -М.: Наука, 1973. 386 с.

64. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969. 528 с.

65. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. - 304 с.

66. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.- М.: Наука, 1973. -520 с.

67. Родов A.M., Ламбина E.H., Янович Л.А. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы N (Ъ) движений трехмерного евклидова пространства. ДАН БССР, 1970, т. 14, № 7, с. 591 - 593.

68. Розенблюм Л.В. Дифференциальные уравнения для матричных элементов неприводимых унитарных представлений груш вращений IX -мерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств. -УМН, 1974, 29:5 (179) , с. 235 236.

69. Розенблюм Л.В., Розенблюм A.B. О матричных элементах неприводимых унитарных представлений группы М (II) движенийН -мерного евклидова пространства. УМН, 1974 , 29:4 (178) , с. 179 - 180.

70. Розенблюм Л.Б. Дифференциальные уравнения для матричных элементов представлений групп движений пространств постоянной кривизны. Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1975, № I, с. 17 - 24.

71. Рудаковская С.Я. Дифференциальные уравнения матричных элементов неприводимых унитарных представлений группы вращений четырехмерного пространства. Известия АН БССР. Сер. физ.-тех. наук, I960, № 4, с. 22 - 28.

72. Рофе-Бекетов §?.С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. ДАН СССР, 1969, т. 184, № 5, с. 1034 - 1037.

73. Рофе-Бекетов Ф.С., Холькин A.M. О связи между спектральными и осцилляционными свойствами матричной задачи Штурма- ' Лиувилля. Матем. сборник, 1974, т. 102, вып. 3, с. 401 - 424.

74. Буднев Ю.В. Уравнение Штурма-Лиувилля с особенностями.-Ученые записки Московского университа, 1964, математика, вып. сотый, т.1, с. ИЗ 126.

75. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

76. Смирнов Б.И. Курс высшей математики, т.1. М.: Наука, 1974. - 480 с.

77. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2. М.: Наука, 1974. - 672 с.

78. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.З, часть вторая. М.: Наука, 1969. -672 с.

79. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.4. М.: Физ-матгиз, 1953. - 804 с.

80. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.:Гостехиздат, 1954. 444 с.

81. Сонин Н.Я. Исследования о цилиндрических функциях испециальных полиномах,- М.: Гостехиздат, 1954. 244 с.

82. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724 с.

83. Титчмарш З.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.1. -М.: ИЛ, I960. 324 с.

84. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа,4.1, М.: fизматгиз, 1933. - 336 с.

85. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н, Курс современного анализа,

86. М.: Физматгиз, 1934. - 468 с.

87. Хартман С'. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М,: Мир, 1970. 720 с.

88. Хорошилов В.В. О решениях системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Ученые записки Ленингр. у-та, сер. матем., 1950, в.19, с. 180 - 197.

89. Хорошилов В.В. 0 решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Прикладная математика и механика, 1951, тД6, вып. I, с. 37 - 54.

90. Хорошилов В.В. 0 решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. ДАН СССР, 1950, т.72, вып. 2, с. 241 - 242.

91. Цукерман В.В. К теории представлений группы S0 СП) .-У1Ж, 1967 , 22:1 fl33) , с. 176 178.

92. Цукерман В.В. К теории представлений группы SН(п) .-УМН, 1968, 23:2 (140) , с. 201 202.

93. Цукерман В.В. Об одном классе специальных функций, связанных с представлениями группы S 0 (ft) . Изв. высших учебных заведений. Математика, 1974, ¡!- 9, с. 86 - 89.

94. CoitmE. Sut Íq diiitmination d'un Systeme oilkocjonot comp ¿tí dorns un espact de Riemann sí-meitiyue dos-fhnd. Cite. Hat Pahtmo, {913,53,W-152.93 . Bqtcjinam V. ItteduciUe unliaty teptesen-taicons Oj tke ¿or.en.tz $toup. -Jim. of Math., 19W,

95. Inonu E., Wignez £ R On thJL contuction oj and their upteseniationsPzoc. Afat. tfccrd.Set. US/!} 1953,39, y6, srto-szy.

96. Otikota Besse? Functions ano! the euclide-Ctn molion (jtoup. TchoKu Math. X, 1961, ß,M7 66- M.

97. Hetz CS ßessel junetions of rnatxix ateju -menir ßtin, of Mctth.} 1955, bt, J/3, ¿/M-523.

98. WtytH. ¿feiet (jzvrokn¿¿che Dttfeittiétct&jtu-chjunt/tn mil Sinket ¿oúteiten und die xu^höxigen EntwccK-luncjcn vrMnutäthet FunctionenrMath./Inn., 1910, b8, izz

99. Sim^cj h.A. Ort fajpexejtomeHic functions OS matrix argument Butt, math. Joe, Sei. math., mi, tt, 113-W.

100. Хьюит Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, т. 2. М.: Мир, 1975. - 904 с.

101. Товбис А.И. О методе Еругина построения решения в окрестности иррегулярной особой точки. Рукопись представлена Воронежским лесотехн. институтом, деп. в ВИНИТИ I июля 1983 г., № 2921 - 83 Деп. - 18с.

102. Сороговец И.Б. Функция Грина дифференциального уравнения обобщенных сферических функций. ДАН БССР, 1973, т. 17,Л 4, с. 306 308.

103. Сороговец И.Б. Векторные аналоги многочленов Якоби. -Тезисы докладов 1у Республиканской конференции математиков Белоруссии "Проблемы развития прикладных математических исследований", ч.2, 1975, с. 33.

104. Сороговец И.Б. О матрице Грина дифференциального уравнения четырехмерных обобщенных сферических функций. В кн.: Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, ТПИ, 1980, с. 95 - 99.

105. Сороговец И.Б. О приведении одной дифференциальной системы класса Фукса к уравнению Гаусса. Тезисы докладов У Республиканской конференции математиков Белоруссии, ч.2, Гродно, ИУ, 1980, с. 72.

106. Сороговец И.Б. Функция Грина оператора Лапласа на группе 5Ы (Я . В кн.: Некоторые вопросы дифференциальныхуравнений в решении прикладных задач. Тула, ТЛИ, 1981,с. 27 29.

107. Сороговец И. Б. Класс дифференциальных матричных уравнений с тремя особыми точками. В кн.: Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, ТЛИ, 1982, с. 39 - 46.

108. Сороговец И.Б. О решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой.- Дифференц.уравнения, 1984, т. 20, № 5, с. 786 792.