Линейно-выпуклые задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гомоюнов Михаил Игоревич

• Гомоюнов Михаил Игоревич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Гомоюнов Михаил Игоревич

Введение

I Вспомогательные сведения из теории позиционных диф-

ференциальных игр

1. Дифференциальная игра

2. Метод выпуклых сверху оболочек

II Оптимизации гарантии при запаздывании в управлении

3. Постановка задачи

4. Вспомогательная дифференциальная игра

5. Приближенное решение задачи

6. Пример

III Случай позиционного показателя качества

7. Позиционный показатель качества

8. Каскад вспомогательных дифференциальных игр

9. Разрешающая процедура

10. Примеры

IV Редукция разрешающей процедуры

11. Предварительные построения

12. Редуцированная процедура

13. Связь между процедурами

14. Вспомогательные утверждения

15. Доказательство теоремы

16. Примеры

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейно-выпуклые задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении»

Введение

Реальные процессы управления протекают обычно в условиях неопределенности, неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или же под влиянием сознательного противодействия. Целью управления часто является достижение некоторого качества процесса, которое во многих случаях удобно описывать с помощью подходящего показателя. Возникают задачи о формировании такого управления, которое обеспечивает показателю качества оптимальный гарантированный результат. Математической теорией, в рамках которой формализуются такие задачи, является теория дифференциальных игр.

Теория дифференциальных игр активно развивается с начала 1960-х годов. Становление этой теории в первую очередь связано с именами Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеничного, R.Isaacs, W.H.Fleming и A.Friedman (см., например, [1,24,25,28,52-55,92-94,102]). Свой вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э.Г.Альбрехт, В.Д.Батухтин, В.И.Жуковский, А.Ф.Клейменов,

A.Н.Красовский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов,

B.И.Максимов, А.А.Меликян, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, Е.С.Половинкин,

A.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Тарасьев, В.Е.Третьяков,

B.И.Ухоботов, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий,

C.В.Чистяков, M.Bardi, E.N.Barron, T.Basar, L.D.Berkovitz, P.Bernhard, A.Blaquiere, A.Bryson, P.Cardaliaguet, R.J.Elliot, L.C.Evans, M.Falcone, Y.C.Ho, H.Ishii, N.J.Kalton, G.Leitmann, J.Lewin, J.Lin, P.-L.Lions, M.Quincampoix, E.Roxin, P.Saint-Pierre, P.E.Souganidis, P.Varaiya, и этот список далеко не полный (см., например, работы [2, 4, 11, 13, 15, 17, 21, 22, 26,28-31,33-38,40-49, 51,57-67, 71-74,78-80,82,83,85, 87,89,90,98,102, 104,105,107,108,110,116-118] и библиографию к ним). В результате этих исследований были сформулированы основные теоретические положения строгой математической формализации рассматриваемых задач, изучены характеристические свойства функции цены игры (величины оптимального гарантированного результата), определена структура оптимальных стратегий, намечены основные способы их построения. В том числе, в ра-

ботах Н.Н.Красовского и его учеников (см., например, [25,28,60,102,117]) была предложена и развита концепция позиционных дифференциальных игр, в рамках которой выполнена данная диссертация.

В диссертации рассматривается следующая задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом. Движение динамической системы, подверженной воздействиям полезного управления и неконтролируемой помехи, описывается линейными по фазовому вектору дифференциальными уравнениями. Воздействия управления и помехи стеснены известными геометрическими ограничениями. Промежуток времени процесса управления зафиксирован. Целью управления является минимизация значения показателя качества, включающего в себя оценку нормы совокупности отклонений движения системы в заранее заданные моменты времени от заданных целевых точек. Такая по существу нетерминальная структура показателя качества, то есть присутствие в нем оценки состояния динамической системы не только в конечный, но и в промежуточные моменты времени, составляет первую особенность рассматриваемой задачи. Вторая особенность заключается в наличии в системе запаздывания в управлении.

Нетерминальные показатели упомянутой структуры используются для оценки качества во многих реальных процессах управления (см., например, [5-7]). Позиционные дифференциальные игры с такими показателями качества изучались Н.Н.Красовским и А.Н.Красовским (см. монографию [102] и приведенную в ней библиографию). Ими были заложены теоретические основы исследования этих задач. Были выделены различные типы показателей качества и для каждого из них указаны подходящие классы позиционных стратегий игроков, в которых соответствующие дифференциальные игры имеют цену и седловую точку. Отдельно были изучены показатели качества, имеющие так называемую позиционную структуру [102, р. 41]. Типичными примерами таких показателей являются, например, суммарное или максимальное отклонение движения системы в заданные моменты времени от заданных целевых точек, а также евклидова норма совокупности таких отклонений. Были намечены основные подходы к приближенному решению рассматриваемых задач.

Эффект запаздывания в управлении характерен для многих приклад-

ных задач. Этот эффект может быть обусловлен различными задержками в каналах цепи обратной связи, а также временными затратами, необходимыми для формирования оптимального управления. Присутствие в динамической системе запаздывания в управлении наделяет ее рядом существенных особенностей как по сравнению с системами без запаздывания, так и по сравнению с системами с запаздыванием по состоянию. Наиболее сильно эти особенности проявляются как раз для задач управления в условиях неконтролируемых помех. Системы с запаздыванием в управлении активно исследуются начиная с 1960-х годов по настоящее время (см., например, работы [3,8,16,39,44,45,50,56,68,69,75-77,81,86,88,91,95-97,99-101,103,106,109,111-115,119,120] и библиографию к ним). В основном, эти исследования посвящены задачам об устойчивости и стабилизации, управляемости и наблюдаемости таких систем, задачам оптимального управления и синтеза с выходом к соответствующим уравнениям Гамильтона-Якоби-Беллмана. В результате сложились следующие два основных подхода к решению задач управления при запаздывании в управлении. Первый подход, которому идейно следует настоящая диссертация, основан на их сведении к подходящим вспомогательным задачам управления конечномерными системами без запаздывания (см, например, работу [75] и библиографию в ней). Согласно второму подходу системы с запаздыванием в управлении трактуются как по сути бесконечномерные системы в подходящем функциональном пространстве состояний (см., например, работу [88] и библиографию в ней). Дифференциальные игры в системах с запаздыванием в управлении изучались в работах Ю.С.Осипова и В.Г.Пименова [44,45,50]. В частности, в этих работах был получен соответствующий аналог теоремы об альтернативе, доказано существование цены и седловой точки в дифференциальных играх с терминальной платой.

В диссертации конструкции теории позиционных дифференциальных игр [25,28,44,45,50,102] развиваются применительно к задачам оптимизации гарантии, в которых присутствует запаздывание в управлении, и в то же время оптимизируемый показатель качества является по существу нетерминальным. При этом основной упор делается на разработку конструктивных методов решения таких задач.

Несмотря на то, что задачи оптимизации гарантии и дифференциаль-

ные игры имеют широкий круг приложений, возможности применения теоретических методов исследования во многом ограничены их принципиальной сложностью и трудоемкостью в реализации. Выписать решения в явном виде удается крайне редко, поэтому продвижение в этом направлении связано с развитием численных методов, ориентированных на использование современной высокопроизводительной вычислительной техники. В настоящее время имеется достаточно большое количество численных методов решения дифференциальных игр. Большинство из них так или иначе опираются на попятные рекуррентные конструкции, восходящие к работам [25,28,52-55,92,94]. Среди них весьма условно можно выделить методы, основанные на аппроксимации множества позиций разрешимости дифференциальной игры (множества уровня функции цены) (см., например, [9, 10, 15, 40, 46, 51, 66, 67, 104]), и методы, в которых приближенно строится функция цены игры как обобщенное (минимаксное, вязкостное) решение соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана (см., например, [12,63,64,78,84]). Отдельное место занимают также методы, основанные на итерационных процедурах (см., например, [71,74,85]).

Разрабатываемые в диссертации конструкции приближенного решения линейно-выпуклых задач оптимизации гарантии в системах с запаздыванием в управлении и нетерминальными показателями качества относятся ко второй группе и восходят к методу выпуклых сверху оболочек [22,26,35,102]. Ядро этого метода составляет процедура рекуррентного попятного построения выпуклых сверху (вогнутых) оболочек вспомогательных программных функций, которая для линейно-выпуклого случая реализует идеи стохастического программного синтеза [18,25,27,29] и тесно связана с известными в теории дифференциальных игр попятными максиминными конструкциями (см., например, [25,92,94]). Результатом работы метода является репрезентативная формула для приближения функции цены игры. Эта формула позволяет достаточно просто построить оптимальные законы управления методом экстремального сдвига на сопутствующие точки (см., например, [25, 102]), что составляет одну из главных особенностей метода.

Метод выпуклых сверху оболочек был впервые предложен в работе [22]

для решения линейно-выпуклых дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управляющие воздействия игроков и терминальными показателями качества. Для случая интегрально-квадратичных ограничений на реализации управлений игроков он был модифицирован в работе [32], для смешанного случая геометрических и дополнительных интегрально-импульсных ограничений — в работе [34]. В [26, 102] этот метод был развит для ряда типичных нетерминальных показателей качества, содержащих оценки движения в промежуточные моменты времени.

Самой трудоемкой частью метода является построение выпуклых сверху оболочек функций, а эффективность такой операции определяется прежде всего размерностью множества их определения. Из-за наличия в показателе качества оценок движения в промежуточные моменты времени эта размерность, вообще говоря, может быть весьма большой даже при малой размерности фазового вектора системы. Однако, во многих случаях эта размерность может быть понижена. Например, как показано в [35,36] для задач без запаздывания, в случае позиционного показателя качества конструкции метода всегда можно редуцировать так, чтобы размерность переменных, по которым требуется проводить овыпукление, совпадала с размерностью фазового вектора системы. Такая редуцируемость обуславливает эффективность метода и составляет другую важную его особенность. Одной из основных задач диссертации является разработка подобных редуцированных конструкций для решения линейно-выпуклых задач оптимизации гарантии с учетом запаздывания в управлении.

Следует также подчеркнуть, что, несмотря на имеющуюся трудоемкость и ресурсоемкость метода выпуклых сверху оболочек в реализации, современный уровень развития вычислительной техники и технологий позволяет использовать его для численного решения достаточно широкого круга линейно-выпуклых задач управления и дифференциальных игр. За последнее время была установлена [134] устойчивость редуцированной процедуры [35] к вычислительным и информационным погрешностям, была дана и протестирована [19] численная реализация этой процедуры, основанная на «пиксельной» аппроксимации областей определения овыпукляемых функций и приближенного построения выпуклой сверху оболочки функции как нижней огибающей конечного набора опорных ги-

перплоскостей к ее подграфику, была доказана [128] сходимость получаемого численного метода. Была обоснована возможность применения метода выпуклых сверху оболочек для решения линейно-выпуклых дифференциальных игр в случае, когда не выполнено условие седловой точки в маленькой игре [25, с. 79] или, в другой терминологии, условие Айзекса [1, с. 54], при формализации как в классах «стратегии-контрстратегии» [127], так и в классах смешанных стратегий игроков [20]. Эти исследования последних лет и проведенные численные эксперименты подтвердили работоспособность метода выпуклых сверху оболочек, поэтому в диссертации этот метод и был выбран в качестве основы для построения приближенного решения линейно-выпуклых задач оптимизации гарантии при запаздывании в управлении.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав, объединяющих шестнадцать разделов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, библиографический список включает 139 наименований, иллюстративный материал насчитывает 8 рисунков. Нумерация разделов сквозная. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер раздела, в котором приведена формула, во второй — порядковый номер формулы в этом разделе. Такая же нумерация принята для утверждений, лемм, теорем, следствий и рисунков. Все используемые обозначения объяснены в тексте работы там, где впервые встречаются.

Глава I носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения из теории позиционных дифференциальных игр, на которые опирается изложение последующих глав. Глава I состоит из двух разделов. В разделе 1 дается постановка линейно-выпуклой задачи оптимизации гарантированного результата для динамической системы без запаздывания при показателе качества в виде суммы нормы отклонения движения системы в терминальный момент времени от заданной целевой точки и интегральной оценки реализаций управления и помехи. Задача вкладывается в антагонистическую позиционную дифференциальную игру двух лиц. Приводится теорема о существовании цены и седловой точки в этой игре. В разделе 2 для приближенного вычисления цены и построения оптимальных законов управления игроков в рассматриваемой

дифференциальной игре применяется метод выпуклых сверху оболочек. Указываются свойства разрешающих конструкций. Материал главы I написан по результатам работ [25-27,102].

Следующие разделы 3-6 объединены в главу II. В разделе 3 рассматривается задача об управлении в условиях помех движением линейной динамической системы с запаздыванием в управлении при показателе качества в виде суммы нормы совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целевых точек и интегральной оценки реализаций управления и помехи. В рамках теоретико-игрового подхода [25,28,102] ставится задача об оптимизации гарантированного результата управления, вводятся понятия оптимальной минимаксной стратегии и оптимального закона управления. При этом информацией, доступной стратегии для назначения управляющего воздействия, являются текущий момент времени, история управления длины запаздывания и история движения системы, сформировавшиеся к этому моменту. Дополнительно формулируется задача о формировании самых неблагоприятных с точки зрения целей управления (контроптимальных) воздействий помехи. Симметричным образом определяются величина контроптимального гарантированного результата, оптимальная максиминная стратегия и оптимальный закон формирования помехи. В разделе 4 на основе функциональной трактовки процесса управления, близкой [26] и восходящей к функциональному подходу, предложенному для систем с запаздыванием по состоянию в [23], исходная задача оптимизации гарантии сводится к вспомогательной линейно-выпуклой дифференциальной игре без запаздывания и с терминальной оценкой движения в показателе качества. При этом устанавливается равенство оптимального и контроптимального гарантированных результатов, а также существование оптимальных стратегий управления и формирования помехи. Структура вспомогательной дифференциальной игры определяется при помощи своеобразных прогнозов движения системы на каждый из оценочных моментов времени в исходном показателе качества. Поэтому размерность фазового вектора вспомогательной игры пропорциональна числу этих моментов и может быть весьма большой даже при малой размерности фазового вектора исходной системы. В разделе 5 на основе применения метода выпуклых

сверху оболочек во вспомогательной дифференциальной игре для приближенного решения задачи предлагается рекуррентная процедура попятного построения выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций. Однако многоразмерность вспомогательной игры приводит к многоразмер-ности множества определения этих функций, что во многом ограничивает использование процедуры при численном построении требуемых выпуклых оболочек. В разделе 6 описывается один нетривиальный класс задач, в которых эти оболочки удается выписать в явном виде, и предложенные конструкции приводят к эффективному решению. Рассматривается модельный пример, приводятся результаты численных экспериментов.

Третья глава посвящена дальнейшему развитию предложенного подхода к решению задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении в случае, когда показатель качества является позиционным. Глава III состоит из разделов 7-10. В разделе 7 описываются дополнительные предположения относительно структуры показателя качества, которые обеспечивают его позиционность. С учетом этих предположений в разделе 8 задача оптимизации гарантии сводится к каскаду вспомогательных линейно-выпуклых дифференциальных игр уменьшающейся размерности. При этом доказывается существование таких оптимальных стратегий, которые из всей истории движения, сформировавшейся к текущему моменту времени, используют только текущее значение фазового вектора. Каждая из вспомогательных игр каскада отвечает своему оценочному моменту времени из показателя качества и определяется при помощи прогнозов движения системы только на этот и последующие оценочные моменты времени. Подходящий показатель качества извлекается из позиционной структуры исходного показателя. В разделе 9 на основе применения метода выпуклых сверху оболочек в каждой из вспомогательных игр каскада приближенное решение задачи оптимизации гарантии сводится к соответствующей процедуре попятного построения выпуклых сверху оболочек подходящих вспомогательных функций. При этом уменьшающаяся размерность дифференциальных игр каскада влечет уменьшающуюся размерность множеств определения этих функций, что повышает эффективность процедуры по сравнению с разрешающими конструкциями из главы II. Однако более существенным является тот факт, что эта

процедура допускает дальнейшую редукцию, еще сильнее понижающую размерность переменных, по которым требуется проводить овыпукление. Описанию и обоснованию этой редукции посвящена следующая глава. В разделе 10 работоспособность предложенной в главе III процедуры иллюстрируется на двух модельных примерах. В первом примере нужные выпуклые оболочки удается выписать в явном виде. Во втором примере в динамической системе отсутствуют помехи, что гарантирует вогнутость вспомогательных функций, поэтому их выпуклые сверху оболочки строить не требуется. Приводятся результаты численного моделирования.

Как отмечалось выше, для задач без запаздывания при позиционном показателе качества разрешающую процедуру построения выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций можно редуцировать так, чтобы размерность множеств определения этих функций совпадала с размерностью фазового вектора системы и, стало быть, не зависела от числа оценочных моментов времени из показателя качества. В главе IV предлагается аналог такой редукции для задач с запаздыванием в управлении. Глава IV состоит из разделов 11-16. В разделе 11 выделяются некоторые характерные особенности исходной задачи и каскада вспомогательных дифференциальных игр, обуславливающие возможность редукции разрешающей процедуры из главы III. Сама редукция, понижающая размерность областей определения овыпукляемых функций, описывается в разделе 12. В разделе 13 устанавливается связь получаемой редуцированной процедуры с исходной процедурой из главы III. Разделы 14 и 15 посвящены обоснованию применимости редуцированной процедуры для приближенного решения рассматриваемой задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении и позиционном показателе качества. Следует отметить, что, в отличие от задач без запаздывания в управлении, здесь размерность областей определения овыпукляемых функций, в общем случае, не удается свести к какой-либо постоянной величине: она зависит от связи расположения оценочных моментов времени из показателя качества и величины запаздывания в управлении. Тем не менее, во многих типичных случаях эта размерность по-прежнему не зависит от числа оценочных моментов времени. В диссертации приводится пример, когда обсуждаемая размерность совпадает с удвоенной размерностью фа-

зового вектора исходной системы. Пониженная размерность редуцированных конструкций позволяет использовать их для эффективного решения исходной задачи оптимизации гарантии и при численном построении требуемых выпуклых оболочек. Два соответствующих примера приведены в разделе 16.

В заключение вынесены краткие формулировки полученных в диссертации основных результатов.

Результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения РАН и представлялись в докладах на 42-ой, 43-ей и 44-ой Всероссийских молодежных школах-конференциях «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011, 2012 и 2013), 5-ой и 6-ой Международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011, 2013), Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2011), Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012), 10-th IFAC Workshop on Time Delay Systems (Boston, USA, 2012), 15-th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (Rimini, Italy, 2012), XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2014), 19-th IFAC World Congress (Cape Town, South Africa, 2014), Международной конференции «Динамика систем и процессы управления» (Екатеринбург, 2014).

Основной материал диссертации опубликован в работах [121-126,129— 132,136—139]. Работы автора [127,128,133—135] не вошли в диссертацию, но имеют к ней непосредственное отношение.

Автор благодарит Д.В.Корнева за помощь в проведении численных экспериментов.

Работа выполнена при поддержке Программ Президиума РАН «Математическая теория управления» (проект 09-П-1-1015) и «Динамические системы и теория управления» (проект 12-П-1-1002), грантов РФФИ (проекты 09-01-00313-а, 12-01-00290-а, 12-01-31300-мол_а), а также гранта Президента РФ в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-5927.2012.1).

Глава I

Вспомогательные сведения из теории позиционных дифференциальных игр

В этой главе рассматривается задача об управлении в условиях помех движением динамической системы при показателе качества в виде суммы нормы отклонения движения системы в терминальный момент времени от заданной целевой точки и интегральной оценки реализаций управления и помехи. В рамках теоретико-игрового подхода задача формализуется как антагонистическая позиционная дифференциальная игра двух лиц в классах чистых стратегий. Приводится теорема о существовании цены и седловой точки в этой игре. Для приближенного вычисления цены и построения оптимальных законов управления игроков применяется метод выпуклых сверху оболочек. Указываются свойства разрешающих конструкций. Материал главы написан по результатам работ [25-27,102].

1. Дифференциальная игра

Договоримся о следующих обозначениях. Пусть К — множество действительных чисел, — евклидово пространство п-мерных векторов со стандартным скалярным произведением (•, •) и нормой || • \\. При этом, как обычно, полагаем К1 = К. Пусть t1,t2 £ К, ¿1 ^ ¿2, Г С и зафиксирована функция I : [¿1, ¿2] ^ Г. Следуя [25], для этой функции будем использовать следующее обозначение:

I[ьт = {I(¿) £ г, ¿1 ^ t ^ ¿2}.

По аналогии, функцию I : \Ь1,Ь2) ^ Г будем обозначать через

I[ЬШ = {I(¿) £ Г, ¿1 ^ ¿<¿2}.

Рассмотрим динамическую систему, движение которой описывается дифференциальным уравнением

¿ъ^)/^ = ВШиШ + Ш)у(¿), ¿0 < Ь <§,

н (1.1)

ъ £ и £ Р С , V £ Q С ^.

Здесь ъ — фазовый вектор, t — текущий момент времени, и — вектор управления, V — вектор помехи; и § — начальный и терминальный

моменты времени соответственно; Р и Q — заданные компактные множества; В(Ь) и С(Ь) — кусочно непрерывные на [Ь0,Щ\ матрицы-функции, непрерывные в точках разрыва справа.

Позицией системы (1.1) называется пара (Ь, ъ) Е [Ь0,Щ\ х Пусть заданы позиция (Ь*, ъ*) Е [Ь0,Щ\ х и момент времени Ь* Е [Ь*,Щ]. Допустимыми реализациями управления и помехи считаем измеримые по Бо-релю функции и[Ь*[\Ь*) = {и(Ь) е Р, ь* < ь < ь*} и у[ь*[\ь*) = {у(Ь) Е Q, Ь* ^ Ь < Ь*} соответственно. Из позиции (Ь*, ъ*) такие реализации единственным образом порождают движение системы (1.1) — абсолютно непрерывную функцию ъ[Ь*[-]Ь*\ = {ъ(Ь) Е , Ь* ^ Ь ^ Ь*}, которая удовлетворяет условию ъ(Ь*) = ъ* и почти всюду на [Ь*,Ь*] вместе с и(Ь) и у(Ь) удовлетворяет уравнению (1.1).

Предположим, что из позиции (Ь*, ъ*) Е [Ь0,Щ\ х при действии допустимых реализаций управления и[Ь*[^]Щ) и помехи у[Ь*[^]Щ) сформировалось движение ъ[Ь*[-\Щ\ системы (1.1). Качество процесса управления оценивается показателем

7 = 7 (ъ[Ь*[Щ,и[Ь* [•\Щ),^[Ь*[^\Щ))

г (1.2)

= ц(ъ(Щ) - с)+ (а(Ь,и(Ь)) + в(Ь,у(Ь)))<1Ь.

Здесь с Е ц(1) Е К, 1 Е , — норма; а(Ь, и) Е К, (Ь, и) Е [Ь0, Щ\ х Р, и в(Ь,у) Е К, (Ь,у) Е [Ь0,Щ\ х Q, — непрерывные функции.

Задача управления состоит в том, чтобы доставить показателю 7 как можно меньшее значение. При этом действия помехи неизвестны и, в частности, могут быть нацелены на максимизацию

В рамках теоретико-игрового подхода эта задача вкладывается в антагонистическую позиционную дифференциальную игру двух лиц. Первый игрок, распоряжающийся воздействиями управления и(Ь), стремится минимизировать показатель второй игрок, распоряжающийся воздействиями помехи у(Ь), — максимизировать. Эту дифференциальную игру формализуем следующим образом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гомоюнов Михаил Игоревич, 2015 год

Литература

1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Альбрехт Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6, № 1. С. 27-38.

3. Арутюнов А.В., Марданов М.Дж. К теории принципа максимума в задачах с запаздыванием // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 12. С. 2048-2058.

4. Батухтин В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения // Докл. АН СССР, 1972. Т. 207, № 1. С. 11-14.

5. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательной оптимизации без декомпозиции во времени // Кибернетика, 1987. № 4. С. 32-35.

6. Бердышев Ю.И. Об одной задаче последовательного сближения нелинейной управляемой системы третьего порядка с группой движущихся точек // Прикл. математика и механика, 2002. Т. 66, вып. 5. С. 742-752.

7. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления // Кибернетика, 1986. № 1. С. 59-64.

8. Вежбицки А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления // Автомат. и телемех., 1970. № 10. С. 13-20.

9. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунова Н.В., Силин Д.Б. и др. Методы решения дифференциальных игр // Математическое моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 296-316.

10. Двуреченский П.Е., Иванов Г.Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 2014. Т. 54, № 2. С. 224-255.

11. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова думка, 1994. 241 с.

12. Иванов Г.Е., Казеев В.А. Минимаксный алгоритм построения оптимальной стратегии управления в дифференциальной игре с липши-цевой платой // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 2011. Т. 51, № 4. С. 594-619.

13. Иванов Г.Е., Половинкин Е.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения, 1995. Т. 31, № 10. С. 1641-1648.

14. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

15. Исакова Е.А., Логунова Г.В., Пацко В.С. Построение стабильных мостов в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. С. 127-158.

16. Ким А.В., Волканин Л.С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах // Известия Уральского государственного университета, 2003. № 26. С. 81-86.

17. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

18. Коврижных А.Ю. К задаче конфликтного управления с квазипозиционным функционалом // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6, № 2. С. 394-412.

19. Корнев Д.В. О численном решении позиционных дифференциальных игр с нетерминальной платой // Автомат. и телемех., 2012. № 11. С. 60-75.

20. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении дифференциальных игр с нетерминальной платой в классах смешанных стратегий // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2013. № 3. С. 34-48.

21. Красовский А.Н. О позиционном минимаксном управлении // При-кл. математика и механика, 1980. Т. 44, вып. 4. С. 602-610.

22. Красовский А.Н. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. математика и механика, 1987. Т. 51, вып. 2. С. 186-192.

23. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

24. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

25. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 с.

26. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // Прикл. математика и механика, 1996. Т. 60, вып. 6. С. 885-900.

27. Красовский Н.Н., Решетова Т.Н. О программном синтезе гарантирующего управления // Проблемы управления и теории информации, 1988. Т. 17, № 6. С. 1-11.

28. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

29. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР, 1981. Т. 259, № 1. С. 24-27.

30. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР, 1978. Т. 239, № 4. С. 779782.

31. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

32. Локшин М.Д. О дифференциальных играх с интегральными ограничениями на управляющие воздействия // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 11. С. 1952-1961.

33. Лукоянов Н.Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества // Дифференц. уравнения, 1994. Т. 30, № 11. С. 1905-1913.

34. Лукоянов Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях // Прикл. математика и механика, 1995. Т. 59, вып. 6. С. 955-964.

35. Лукоянов Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // Прикл. математика и механика, 1998. Т. 62, вып. 2. С. 188-198.

36. Лукоянов Н.Ю. О построении цены позиционной дифференциальной игры // Дифференц. уравнения, 2001. Т. 37, № 1. С. 18-26.

37. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2011. 243 с.

38. Максимов В.И. О существовании седловой точки в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения // Прикл. математика и механика, 1978. Т. 42, вып. 1. С. 15-22.

39. Марченко В.М. Модальное управление в системах с последействием // Автомат. и телемех., 1988. № 11. С. 73-84.

40. Михалев Д.К., Ушаков В.Н. О двух алгоритмах приближенного построения множества позиционного поглощения в игровой задаче сближения // Автомат. и телемех., 2007. № 11. С. 178-194.

41. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

42. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина в дифференциальных играх. М.: Изд-во МГУ, 1984. 65 с.

43. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры для систем с последействием // Докл. АН СССР, 1971. Т. 196, № 4. С. 779-782.

44. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикл. математика и механика, 1978. Т. 42, вып. 6. С. 969-977.

45. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. О позиционном управлении при последействии в управляющих силах // Прикл. математика и механика, 1981. Т. 45, вып. 2. С. 223-229.

46. Пацко В.С., Турова В.Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 77 с.

47. Петров Н.Н. О существовании значения игры преследования // Докл. АН СССР, 1970. Т. 190, № 6. С. 621-624.

48. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих // Автомат. и телемех., 1996. № 6. С. 48-54.

49. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского госуниверситета, 1977. 222 с.

50. Пименов В.Г. Дифференциальная игра с фиксированным временем окончания для систем с последействием в управлении // Задачи позиционного моделирования. Свердловск, 1986. С. 103-118.

51. Половинкин Е.С., Иванов Г.Е., Балашов М.В., Константинов Р.В. и др. Алгоритмы численного решения линейных дифференциальных игр // Мат. сб, 2001. Т. 192, № 10. С. 95-122.

52. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1; 2. // Докл. АН СССР, 1967. Т. 174, № 6. С. 1278-1280; Т. 175, № 4. С. 764-766.

53. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб, 1980. Т. 112, № 3. С. 307-330.

54. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР, 1969. Т. 184, № 2. С. 285-187.

55. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика, 1970. № 2. С. 54-63.

56. Солодушкин С.И. Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2008. Т. 14, № 4. С. 143-158.

57. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР, 1980. Т. 254, № 2. С. 293-297.

58. Субботин А.И., Субботина Н.Н. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикл. математика и механика, 1982. Т. 46, вып. 2. С. 204-211.

59. Субботин А.И., Тарасьев А.М. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР, 1985. Т. 283, № 3. С. 559-564.

60. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

61. Субботина Н.Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 11. С. 1890-1896.

62. Субботина Н.Н. Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в динамической оптимизации // Современная математика и ее приложения, 2004. Т. 20, № 10. С. 3-132.

63. Тарасьев А.М. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикл. математика и механика, 1994. Т. 58, вып. 2. С. 22-36.

64. Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173-185.

65. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математика и механика, 1977. Т. 41, вып. 2. С. 358-361.

66. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1980. № 4. С. 29-36.

67. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // Прикл. математика и механика, 1997. Т. 61, вып. 3. С. 413-421.

68. Харатишвили Г.Л., Тадумадзе Т.А. Нелинейная задача оптимального управления с переменными запаздываниями, нефиксированным начальным моментом и кусочно непрерывной предысторией // Тр. Математического института им. В.А.Стеклова, 1998. Т. 220. С. 236-255.

69. Хартовский В.Е. Задачи идентификации и управления выходом для систем с запаздываниями // Автомат. и телемех., 2011. № 5. С. 1731.

70. Фань-Цзы. Теоремы о минимаксе // Бесконечные антагонистические игры. М.: Физматгиз, 1963. С. 31-39.

71. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб, 1976. Т. 99, № 3. С. 394-420.

72. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

73. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992. 384 с.

74. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика, 1977. Т. 41, вып. 5. С. 825-832.

75. Artstein Z. Linear systems with delayed controls: a reduction // IEEE Trans. Autom. Contr, 1982. Vol. 27, № 4. P. 869-879.

76. Banks H.T. A maximum principle for optimal control problems with functional differential systems // Bull. Amer. Math. Soc, 1969. Vol. 75. P. 158-161.

77. Banks H.T., Jakobs M.Q., Latina M.R. The synthesis of optimal controls for linear, time-optimal problems with retarded controls // J. Optim. Theor. Appl, 1971. Vol. 8, №. 5. P. 319-366.

78. Bardi M., Falcone M., Soravia P. Numerical methods for pursuit-evasion games via viscosity solutions // Stochastic and Differential Games. Boston: Birkhaiiser, 1999. P. 105-175.

79. Barron E.N. Differential games with maximum cost // Nonlinear Anal., 1990. Vol. 14, № 11. P. 971-989.

80. Basar T., Bernhard P. H-infinity optimal control and related minimax design problems: a dynamic game approach. Boston: Birkhaiiser, 1995. 428 p.

81. Basin M. New trends in optimal filtering and control for polynomial and time-delay systems. Berlin: Springer, 2008. 228 p.

82. Berkovitz L.D. Characterization of the values of differential games // Appl. Math. Optim., 1998. Vol. 17. P. 177-183.

83. Blaquiere A., Gerard F., Leitmann G. Quantitative and qualitative games. New York etc.: Academic Press, 1969. 172 p.

84. Botkin N.D., Hoffmann K.-H., Turova V.L. Stable numerical schemes for solving Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equations // SIAM J. Sci. Comput, 2011. Vol. 33, № 2. P. 992-1007.

85. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Stochastic and differential games. Boston: Birkhaiiser, 1999. P. 177-247.

86. Chen W.H., Zheng W.X. On improved robust stabilization of uncertain systems with unknown input delay // Automatica, 2006. Vol. 42, № 6. P. 1067-1072.

87. Chernousko F.L., Ananievski I.M., Reshmin S.A. Control of Nonlinear Dynamical Systems. Methods and Applications. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. 396 p.

88. Delfour M.C., Karrakchou J. State space theory of linear time invariant systems with delays in state, control, and observation variables, I; II // J. Math. Anal. Appl, 1987. Vol. 125, № 2. P. 361-399; P. 400-450.

89. Elliot R.J., Kalton N.J. The Existence of Value for Differential Games. American Mathematical Soc., 1972. 67 p.

90. Evans L.C., Ishii H. Differential games and nonlinear first order PDE on bounded domains // Manuscripta Math., 1984. Vol. 49, № 2. P. 109-139.

91. Federico S., Tacconi E. Dynamic programming for optimal control problems with delays in the control variable // SIAM J. Control Optim., 2014. Vol. 52, № 2. P. 1203-1236.

92. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal. Appl, 1961. № 3. P. 102-116.

93. Fleming W.H. The convergence problem for differential games, II // Annals of Math. Study, 1964. Vol. 52. P. 195-210.

94. Friedman A. Differential Games. New York: Wiley Interscience, 1971. 368 p.

95. Glizer V.Y. Cheap quadratic control of linear systems with state and control delays // Dynamics of Continuous, Discrete, and Impulsive Systems, Series B: Applications and Algorithms, 2012. Vol. 19. P. 277301.

96. Gollmann L., Kern D., Maurer H. Optimal control problems with delays in state and control variables subject to mixed control-state constraints // Optim. Control Appl. Meth, 2009. Vol. 30, № 4. P. 341365.

97. Halanay A. Optimal controls for systems with time lag // SIAM J. Control, 1968. Vol. 6, № 2. P. 215-234.

98. Ho Y.C., Bryson A., Baron S. Differential games and optimal pursuitevasion strategies // IEEE Trans. Autom. Contr., 1965. Vol. 10, № 4. P. 385-389.

99. Ichikawa A. Quadratic control of evolution equations with delays in control // SIAM J. Control Optim, 1982. Vol. 20, № 5. P. 645-668.

100. Kharatishvili G.L. A maximum principle in external problems with delays // Mathematical Theory on Control. New York: Academic Press, 1967. P. 26-34.

101. Klamka J. Relative controllability and minimum energy control of linear systems with distributed delays in control // IEEE Trans. Autom. Contr., 1976. Vol. 21, № 4. P. 594-595.

102. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995. 322 p.

103. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems. Boston etc.: Birkhauser, 2010. 466 p.

104. Kumkov S.S., Patsko V.S. Construction of singular surfaces in linear differential games // Annals of the Intern. Soc. of Dynamic Games: Adv. in Dynamic Games and Applications, 2001. Vol. 6. P. 185-202.

105. Kurzhanski A.B., Valyi I. Elipsoidal Calculus for Estimation and Control. Laxenburg, Boston: Birkhauser, 1997. 321 p.

106. Kwon W., Pearson A. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Contr., 1980. Vol. 25, № 2. P. 266-269.

107. Lewin J. Differential Games: Theory and Methods for Solving Game Problems with Singular Surfaces. New York: Springer-Verlag, 1994. 242 p.

108. Lions P.-L., Souganidis P.E. Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs' equations // SIAM J. Control Optim, 1985. Vol. 23, № 4. P. 566-583.

109. Manitius A., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment problem for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Contr., 1979. Vol. 24, № 4. P. 541-552.

110. Melikyan A.A. Generalaized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Birkhäuser, 1998. 310 p.

111. Mirkin L., Tadmor G. H^ control of system with I/O delay: a review of some problem-oriented methods // IMA J. Math. Control & Information, 2002. Vol. 19. P. 185-199.

112. Nam P.T., Phat V.N. Robust stabilization of linear systems with delayed state and control // J. Optim. Theor. Appl., 2009. Vol. 140, № 2. P. 287299.

113. Olbrot A.W. Stabilizability, detectability, and spectrum assignment for linear autonomous systems with general time delays // IEEE Trans. Autom. Contr, 1978. Vol. 23, № 5. P. 887-890.

114. Pandolfi L. Dynamic stabilization of systems with input delays // Automatica, 1991. Vol. 27, № 6. P. 1047-1050.

115. Pritchard A.J., Salamon D. The linear-quadratic control problem for retarded systems with delays in control and observation // IMA J. Math. Control & Information, 1985. Vol. 2. P. 335-362.

116. Roxin E. Axiomatic approach in differential games // J. Optim. Theor. Appl, 1969. Vol. 3, № 3. P. 153-163.

117. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First-Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Boston etc.: Birkhäuser, 1995. 312 p.

118. Varaiya P., Lin J. Existence of saddle points in differential games // SIAM J. Control Optim, 1969. Vol. 7, № 1. P. 141-157.

119. Vinter R.B., Kwong R.H. The infinite time quadratic control problem for linear systems with state and control delays: an evolution equation approach // SIAM J. Control and Optim., 1981. Vol. 19. № 1. P. 139-153.

120. Zhang H., Xie L. Control and Estimation of Systems with Input/Output Delays. Berlin: Springer, 2007. 214 p.

121. Гомоюнов М.И. К задаче оптимизации гарантии в системе с запаздыванием по управлению // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2011. № 3. С. 21-36.

122. Гомоюнов М.И. Об оптимизации гарантии при запаздывании по управлению // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки, 2011. Т. 16, вып. 4. С. 1059-1060.

123. Гомоюнов М.И. Об одной задаче оптимизации гарантии в системе с запаздыванием по управлению // Соврем. проблемы математики: Тез. 42 Всеросс. молодежной школы-конф. Екатеринбург, 2011. С. 23-25.

124. Гомоюнов М.И. Об одной задаче управления системой с последействием // Соврем. проблемы математики: Тез. Междунар. (43 Всеросс.) молодежной школы-конф. Екатеринбург, 2012. С. 124-126.

125. Гомоюнов М.И. Об оптимизации гарантированного результата при запаздывании в управлении // Прикл. математика и механика, 2013. Т. 77, вып. 5. С. 643-656.

126. Гомоюнов М.И. Два подхода к решению одной задачи управления в системах с запаздыванием // Соврем. проблемы математики: Тез. Междунар. (44 Всеросс.) молодежной школы-конф. Екатеринбург, 2013. С. 92-95.

127. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры в классе контрстратегий // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2013. Т. 19, № 1. С. 59-68.

128. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. О численном решении задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2014. Т. 20, № 3. С. 58-75.

129. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче позиционной оптимизации гарантии при запаздывании в управлении // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). Москва, 2014. С. 1268-1279.

130. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об одной задаче динамической оптимизации гарантии при последействии в управлении // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Международ. конф., посвящен. памяти В.К.Иванова. Екатеринбург, 2011. С. 215.

131. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Оптимизация гарантии в функционально-дифференциальных системах с последействием по управлению // Прикл. математика и механика, 2012. Т. 76, вып. 4. С. 515-525.

132. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Вычисление оптимального гарантированного результата в системах с запаздыванием в управлении // Известия Института математики и информатики УдГУ, 2012. Вып. 1. С. 38-39.

133. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об устойчивости одной процедуры управления с оптимальной гарантией результата // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки, 2013. Т. 18, вып. 5-2. С. 2485-2487.

134. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об устойчивости одной процедуры решения задачи управления на минимакс позиционного функционала // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2014. Т. 20, № 1. С. 68-82.

135. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Численное решение задач управления на минимакс-максимин позиционного функционала // Тез. докл. Международ. конф. «Динамика систем и процессы управления», посвящен. 90-летию со дня рождения ак. Н.Н.Красовского. Екатеринбург, 2014. С. 54.

136. Gomoyunov M. Guarantee optimization in functional differential systems with control delays // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 10-th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Boston, USA, 2012. P. 209214.

137. Gomoyunov M. Solution procedure for a problem of dynamical optimization with control delays // IFAC PapersOnLine, Proceedings of

the 19-th IFAC World Congress. Cape Town, South Africa, 2014. P. 633638.

138. Gomoyunov M., Kornev D. and Lukoyanov N. Game theory applications to guarantee optimization in dynamical systems with control delays // International Game Theory Review, 2014. Vol. 16, № 2. P. 1440010-11440010-19.

139. Gomoyunov M., Lukoyanov N. Dynamical optimization of systems with control delays // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 15-th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization. Rimini, Italy, 2012. P. 100-105.