Линейная кинетическая модель взаимодействия резонансных магнитных возмущений с плазмой токамака тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Иванов, Иван Борисович

• Иванов, Иван Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Иван Борисович

Благодарности

1 Введение

1.1 Актуальность темы.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Основные результаты и структура работы.

2 Оператор проводимости плазмы в токамаке

2.1 Введение.

2.2 Плотность тока плазмы в линейном приближении.

2.3 Решение кинетического уравнения в переменных действие-угол

2.4 Однородное разложение плотности тока по ларморовскому радиусу и его свойства.

2.5 Переменные действие-угол в цилиндрической геометрии

2.6 Плотность тока в цилиндрической геометрии.

2.7 Структура плотности тока и число независимых ветвей колебаний

2.8 Ковариантность плотности тока относительно преобразований Галилея

2.9 Поглощаемая мощность электромагнитного поля.

3 Численная модель распространения возмущений в цилиндрической геометрии

3.1 Введение.

3.2 Вычисление оператора проводимости

3.3 Равновесие плазмы и вычисление параметров функции распределения.,

3.4 Система уравнений проникновения возмущений в плазму

3.5 Граничные условия и сшивка решений на антенне.

3.6 Численный метод решения системы.

3.7 Тестирование решений уравнения дисперсии.

3.8 Предел идеальной МГД.

4 Влияние возмущений на профили параметров плазмы

4.1 Введение.

4.2 Связь поглощаемой мощности, крутящего момента и силы Лоренца.

4.3 Поглощаемая мощность в низшем порядке разложения

4.4 Квазилинейное уравнение для плотности.

4.5 Изменение скорости тороидального вращения плазмы

5 Моделирование проникновения возмущений в плазму токамака TEXTOR

1 5.1 Плотность тока антенны ДЭД

5.2 Равновесные параметры плазмы и поля.

5.3 Результаты моделирования.

6 Моделирование проникновения возмущений в плазму токамака DIII-D

6.1 Равновесные параметры плазмы и поля.

6.2 Результаты моделирования. Сравнение с дрейфовой МГД.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейная кинетическая модель взаимодействия резонансных магнитных возмущений с плазмой токамака»

Настоящая диссертация посвящена построению линейной кинетической модели взаимодействия резонансных магнитных возмущений с плазмой токамака в цилиндрической геометрии с использованием т-приближения для описания столкновений частиц, а также её применению для интерпретации результатов экспериментов по исследованию воздействия внешних низкочастотных резонансных магнитных возмущений на плазму в токамаках TEXTOR (Jtilich, Germany) и DIII-D (San Diego, USA).

1.1 Актуальность темы

Проблема взаимодействия внешних низкочастотных аксиально несимметричных возмущений магнитного поля с плазмой является важной задачей в проблеме управляемого термоядерного синтеза. В токамаках такие возмущения создаются либо специально, как в случае экспериментов с эргодическими диверторами или с катушками контроля МГД неустойчивостей, либо возникают из-за неизбежных малых нарушений осевой симметрии основной магнитной системы.

Резонансным магнитным возмущением называется такое возмущение магнитного поля, фаза которого постоянна вдоль любой магнитной силовой линии на соответствующей рациональной магнитной поверхности, также называемой резонансной. Под действием такого возмущения резонансная поверхность разрушается, и вместо нее образуется система новых магнитных поверхностей с другой топологией - магнитных островов. В то же время, под действием нерезонансных возмущений, например, возмущений, возникающих из-за дискретности катушек тороидального магнитного поля, происходит только деформация магнитных поверхностей. В случае, когда имеется два или более резонансных возмущения, таких, что образуемые ими магнитные острова перекрываются, на этом месте образуется область с хаотическим поведением линий магнитного поля, или эргодический слой. В пределах этого слоя вследствие быстрого продольного переноса электронов и ионов возникает усиление радиального переноса тепла и частиц (в особенности, тепла электронов). Отдельные резонансные возмущения, проникающие в плазму, так же могут оказывать заметное влияние на её тороидальное вращение, которое является существенным фактором для удержания плазмы.

Одним из первых токамаков, на котором исследовалось влияние внешних резонансных магнитных возмущений на плазму, был токамак PULSATOR, где наблюдалось подавление МГД-неустойчивостей и увеличение времени удержания плазмы при включённых катушках возмущений [1].

Концепция эргодического дивертора (лимитера) была предложена в работах [2, 3, 4] и реализована на нескольких установках, например, TEXT [5, 6], Tore-Supra [7, 8], JFT-2M [9], CSTN-II [10], HYBTOK-II [11] и других. В данном методе контроля процессов на краю плазмы при помощи внешних резонансных магнитных возмущений создаётся слой эргодического магнитного поля, в результате чего происходит усиление радиального переноса частиц на стенку, возникает экранировка примесей, вылетающих со стенок, а также ряд других эффектов. Наиболее существенные результаты по улучшению параметров эргодических ди-верторов и пониманию процессов в эргодическом слое были достигнуты в результате экспериментов на токамаке Tore-Supra [12]. К сожалению, не оправдалось одно из главных ожиданий от применения эргодическо-го дивертора, а именно, что поток энергии и частиц на стенку, который является сильно локализованным в обычных диверторах, станет относительно равномерным за счёт эргодичности магнитного поля на краю плазмы.

Концепция эргодического дивертора получила развитие на установках CSTN-III [10], CSTN-IV [13], HYBTOK-II [14], а также токамаке TEXTOR с Динамическим Эргодическим Дивертором (ДЭД) [15, 16], на которых проводятся исследования взаимодействия плазмы с вращающимися резонансными магнитными возмущениями и, в частности, их влияния на вращение плазмы и стабильность МГД неустойчивостей. В частности, практический эффект использования вращающегося поля возмущения состоит в равномерном распределении усреднённой по времени плотности тепловой нагрузки по поверхности пластин эргодического дивертора.

В теоретических исследованиях и моделировании переноса тепла и частиц в эргодических диверторах используется, как правило, модель магнитного поля в виде суперпозиции равновесного аксиально симметричного магнитного поля в токамаке и поля возмущения в вакууме [17, 18, 19]. При таком рассмотрении пренебрегается обратным воздействием токов отклика плазмы на резонансные магнитные возмущения. Это воздействие, в особенности, для переменных во времени возмущений, может быть весьма значительным [20, 21, 22], и поэтому его следует принимать во внимание при моделировании.

В приложении к динамическому эргодическому дивертору, установленному на токамаке TEXTOR, проблема проникновения вращающихся резонансных магнитных возмущений в плазму исследовалась различными методами, в частности, с помощью простой резистивной модели [23], различных линейных [24, 25] и нелинейных МГД моделей [26, 27]. В то же время, в горячей плазме могут быть существенны кинетические эффекты [28], в особенности, если резонансная магнитная поверхность находится в центральной области, где плазма является существенно бесстолкно-вительной. Такой вариант возможен в случае создания катушками ДЭД возмущений с низкими полоидальными волновыми числами, магнитное поле которых проникает глубоко в плазму.

Результаты первых экспериментальных измерений вращения плазмы, вызванного полем возмущения ДЭД [29, 30], оказались отличными от теоретических предсказаний упрощённых моделей, в которых направление ускорения плазмы ожидалось в направлении вращения поля возмущения. В частности, на частотах поля до 1 кГц, при которых проводились эксперименты, генерация тороидального вращения плазмы полем ДЭД происходила в направлении тока плазмы и не зависела от направления вращения магнитного поля ДЭД. Боле того, даже статическое поле ДЭД создавало вращение плазмы в том же направлении. В результате авторы экспериментов сделали вывод, что в наблюдаемом явлении ".присутствует эффект, отличный от прямого резонансного взаимодействия между полем и плазмой", и для интерпретации экспериментов был предложен другой механизм, связанный с формированием на периферии плазмы под действием возмущения слоя эргодического магнитного поля [29, 30]. В таком магнитном поле из-за усиления переноса электронов по радиусу создается положительное электрическое поле, которое и приводит к изменению вращения плазмы даже для статических возмущений. Причиной расхождения теории и эксперимента являлось использование в упрощённых моделях простого закона Ома не учитывающего градиент давления электронов.

Резонансные магнитные возмущения, создаваемые внешними катушками, могут оказывать воздействие на различные МГД неустойчивости плазмы [31]. Одним из наиболее актуальных таких приложений резонансных магнитных возмущений в токамаках с полоидальным дивер-тором является подавление неустойчивости на границе плазмы первого типа (ELM type I), которая в реакторе ИТЭР будет приводить к недопустимой импульсной тепловой нагрузке на стенку и быстрому её износу. Этот метод был предложен и успешно реализован на токамаке DIII-D, где в режиме редких соударений недавно было достигнуто полное подавление ELM'ob под действием резонансных магнитных возмущений малой амплитуды [32, 33]. Было обнаружено, что за счет эргодизации магнитных силовых линий происходит падение плотности электронов и ионов, и градиент давления плазмы в области пьедестала уменьшается ниже порога возбуждения ELM'ob [34]. При этом не происходит значительного ухудшения параметров удержания плазмы в Н-моде, в частности, удерживаемая энергия плазмы уменьшается всего на 10%.

В теоретических исследованиях эргодизации магнитного поля и вызываемого ею усиленного переноса тепла в токамаке DIII-D [35, 36, 37, 38] использовалось вакуумное поле возмущения. В этих работах было показано, что топология магнитного поля сильно меняется под действием внешних возмущений [35. 36, 37]. Пространственное перераспределение потока тепла на диверторе под действием этих возмущений, наблюдавшееся экспериментально, находится в качественном согласии с рассчитанным трехмерным распределением температуры вне сепаратрисы [37, 38]. В то же время, моделирование переноса тепла с помощью кодов TRIP3D и E3D [39], проведённое в [37, 38], показало значительный эффект возмущений на температуру как в области пьедестала, так и в центральной области плазмы. Однако, в экспериментах такого влияния возмущений на центральную область плазмы обнаружено не было. Наиболее вероятным объяснением этого факта может служить эффект экранировки поля возмущения токами плазмы, возникающими под действием этого возмущения.

Экспериментальные и теоретические исследования низкочастотных магнитных резонансных возмущений также важны для понимания влияния на удержание плазмы полей ошибок, которые неизбежно присутствуют в реальных установках. Такие возмущения могут существенно ухудшить удержание энергии, вызывая образование магнитных островов в результате пересоединения магнитных силовых линий. Обычно такое пересоединение сильно подавлено естественным тороидальным вращением плазмы в токамаке [40]. Однако, если амплитуда полей ошибок превосходит некоторое значение, то происходит внезапная остановка вращения и сильное проникновение поля в плазму с разрушением конфайнмен-та [21, 41].

Теоретическое описание проникновения резонансных магнитных возмущений в плазму обычно основывается на одно- или двух-жидкостной магнитной гидродинамике [42, 43, 21, 44, 40, 45, 22, 41]. В этих работах в большинстве случаев использовались геометрия плоского слоя, а также либо простой, либо обобщённый закона Ома, в котором учитывался градиент давления электронов [20, 22, 41]. Использование обобщённого закона Ома при рассмотрении неустойчивости тиринг моды позволяет получить результаты, наиболее близкие к результатам кинетической теории тиринг моды [46, 47]. Поэтому следует ожидать, что результаты работ [20, 22, 41], использующих обобщённый закон Ома, будут достаточно адекватно описывать проникновение резонансных магнитных возмущений в плазму. Тем не менее, если температура ионов не предполагается малой по сравнению с температурой электронов, даже двух-жидкостная гидродинамика выходит за рамки своей применимости [48], поскольку предсказывает радиальный масштаб изменения возмущённых параметров вблизи резонансной магнитной поверхности (в резонансном слое) значительно меньший, чем ларморовский радиус ионов. Поэтому в современных токамаках необходимо рассматривать проникновение резонансных магнитных возмущений в плазму в рамках кинетической теории.

Таким образом, разработка кинетической модели для описания проникновения резонансных магнитных возмущений в плазму токамака в настоящее время является актуальной темой.

1.2 Постановка задачи

Целью настоящей работы является построение линейной кинетической модели взаимодействия резонансных магнитных возмущений с плазмой токамака. Основной задачей моделирования является расчет распределения электромагнитного поля низкочастотных магнитных возмущений в плазме, а также вычисление крутящих моментов сил, воздействующих на плазму со стороны поля возмущения. С помощью этих результатов необходимо исследовать влияние возмущений на топологию магнитного поля и вращение плазмы для интерпретации результатов экспериментов по изучению воздействия внешних резонансных магнитных возмущений на плазму в токамаках TEXTOR (Jtilich, Germany) и DIII-D (San Diego, USA).

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Иванов, Иван Борисович

Основные результаты работы:

1. В рамках линейной кинетической теории с использованием переменных действие-угол и т-приближения для учёта столкновений частиц вычислен нелокальный дифференциальный оператор проводимости плазмы токамака методом разложения по ларморовскому радиусу, а в тороидальном случае и по периодическому отклонению радиальной переменной дрейфовой орбиты от среднего значения. Полученный оператор проводимости для произвольного порядка разложения удовлетворяет условиям неотрицательности поглощаемой мощности электромагнитного поля в плазме с термодинамически равновесной функцией распределения Больцмана, а также ковариантности резонансной части плотности тока по отношению к преобразованиям Галилея в движущуюся систему отсчета (в бесстолкно-вительном случае).

2. Разработана численная математическая модель, описывающая проникновение внешних резонансных магнитных возмущений в плазму токамака в приближении прямого периодического неоднородного плазменного цилиндра с вращательным преобразованием магнитного поля, и использующая в уравнениях Максвелла плотность тока плазмы, вычисленную в первом порядке разложения по ларморовскому радиусу.

3. Аналитически, а также в численном моделировании взаимодействия вращающегося магнитного поля Динамического Эргодического Дивертора (ДЭД) с плазмой токамака TEXTOR показано, что наблюдаемое в экспериментах отсутствие зависимости направления ускорения плазмы от направления вращения поля ДЭД (ускорение всегда направлено в сторону равновесного тока плазмы) связано с тем, что использованные частоты и вращения поля ДЭД не превосходили частоты ujr при которой крутящий момент, приложенный к плазме со стороны поля возмущения, изменяет знак.

4. В кинетическом рассмотрении получено, что изменение знака крутящих моментов, действующих на плазму со стороны поля возмущения, происходит не точно на нулевой частоте поля в системе покоя электронной компоненты, как предсказывается МГД моделями, а на частоте шг, сдвинутой в общем случае на величину, пропорциональную радиальному градиенту электронной температуры.

5. Показано, что различные объяснения наблюдаемого в экспериментах ускорения вращения плазмы как (1) результата резонансного поглощения плазмой импульса возмущающего поля и как (2) результата изменения радиального электрического поля, вызванного эргодизацией магнитного поля и соответствующим усилением радиального переноса электронов, не противоречат друг другу и являются различными интерпретациями одного и того же явления. Как следствие, для ускорения плазмы не требуется создание слоя эрго-дического магнитного поля и достаточно возмущения поля в виде одной пространственной гармоники, приводящей к образованию отдельной цепочки островов.

6. В результате численного моделирования проникновения магнитного поля возмущения I-катушек в плазму токамака DIII-D для реальных параметров плазмы и магнитного поля в разрядах с большой длиной свободного пробега частиц в области пьедестала показано, что из-за эффекта экранировки токами плазмы влияние возмущения на магнитные поверхности и, как следствие, на перенос тепла и частиц в центральной области плазмы мало (ширина островов, образуемых такими экранированными возмущениями, уменьшается в 10 раз по сравнению с шириной островов для вакуумного поля возмущения).

В результате, в отличие от вакуумного приближения, образование слоя эргодического магнитного поля ограничено областью шириной порядка одного сантиметра вблизи невозмущённой сепаратриссы.

Заключение

В настоящей диссертационной работе построена линейная кинетическая модель проникновения резонансных магнитных возмущений в плазму токамака в цилиндрической геометрии с учётом столкновений частиц в т-приближении. В области низких частот такие возмущения создаются либо специально, как в случае экспериментов с эргодическими диверто-рами или с катушками контроля МГД неустойчивостей, либо возникают из-за неизбежных малых нарушений осевой симметрии основной магнитной системы. Необходимость данной модели была обусловлена тем, что в современных токамаках, а тем более в реакторе ИТЭР, температура плазмы достаточно велика, и приближения магнитной гидродинамики, включая двух-жидкостную модель, нарушаются.

В рамках кинетической теории в переменных действие-угол методом разложения по ларморовскому радиусу, а в тороидальном случае и по периодическому отклонению радиальной переменной дрейфовой орбиты от среднего значения, получено общее выражение для нелокальной плотности тока отклика плазмы на электромагнитное поле возмущения. Плотность тока является результатом действия дифференциального оператора проводимости на электрическое поле возмущения. Полученная плотность тока плазмы вследствие применения специального разложения обеспечивает неотрицательность поглощаемой мощности поля для термодинамически равновесной больцмановской функции распределения частиц, а её резонансная часть является ковариантной по отношению к преобразованиям Галилея в движущуюся систему отсчёта (в бесстолкновительном случае). Данные свойства оператора проводимости плазмы необходимы для корректного моделирования проникновения поля возмущения в плазму в области низких частот. Кроме того, в этих выражениях корректно учитываются градиенты параметров плазмы и магнитного поля, учет большинства из которых не нужен в диапазоне высоких частот. Это приводит к громоздким выражениям оператора проводимости.

Для численного решения уравнений Максвелла плотность тока плазмы вычислялась в приближении цилиндрической неоднородной плазмы в неоднородных электрическом и магнитном полях в произвольном порядке разложения по ларморовскому радиусу. Для этого был реализован код на языке компьютерной системы автоматических аналитических вычислений MAPLE, позволяющий минимизировать вероятность ошибок при вычислении громоздких выражений для плотности тока и автоматически генерирующий численные процедуры вычисления матриц проводимости на языке FORTRAN. Разработанный метод может быть непосредственно использован для создания линейной двумерной численной модели проникновения поля возмущения в плазму токамака в тороидальной геометрии.

Для расчёта проникновения поля возмущения катушек в плазму разработан численный код решения жёсткой системы уравнений Максвелла, использующий плотность тока плазмы в произвольном порядке разложения по ларморовскому радиусу в приближении прямого периодического неоднородного плазменного цилиндра с вращательным преобразованием магнитного поля. Данный код с использованием первого порядка разложения применён для исследования взаимодействия резонансных магнитных возмущений с плазмой в токамаках TEXTOR и DIII-D.

В моделировании [86, 63] проникновения поля динамического эр-годического дивертора (ДЭД) в плазму токамака TEXTOR с учётом градиента давления плазмы были объяснены результаты экспериментов [30, 29] по исследованию влияния поля возмущения катушек ДЭД на вращение плазмы. В этих экспериментах при использовании поля возмущения с частотой до 1 кГц было обнаружено отсутствие зависимости изменения скорости вращения плазмы от направления вращения поля возмущения (плазма ускорялась в направлении равновесного тока). В нашей работе показано, что если частота поля возмущения не превышает некоторую частоту ur ^ (к± - поперечное волновое число, Ve± - поперечная скорость электронной компоненты), то крутящий момент, действующий на плазму, направлен в сторону равновесного тока плазмы, что выполнялось в условиях эксперимента. Крутящие моменты, действующие на плазму со стороны поля возмущения, всегда направлены так, что стремятся привести электронную компоненту плазмы в состояние покоя относительно вращающегося поля возмущения. В окрестности частоты иг, при которой крутящие моменты, действующие на плазму, обращаются в ноль, проникновение поля возмущения в плазму имеет максимум.

Эти результаты согласуются с предсказаниями МГД теории, хотя значение частоты шг несколько отличается от МГД результата при условии наличия в плазме градиента температуры электронов. Так же, на основе решения квазилинейного уравнения плотности было показано [78, 79], что различные объяснения наблюдаемого в экспериментах ускорения вращения плазмы в направлении плазменного тока как (1) результата резонансного поглощения плазмой импульса возмущающего поля и как (2) результата изменения радиального электрического поля, вызванного эргодизацией магнитного поля и соответствующим усилением радиального переноса электронов, не противоречат друг друг и являются различными интерпретациями одного и того же явления. (Второе объяснение было предложено авторами экспериментов как альтернатива первому объяснению.) В проведённых расчетах было обнаружено, что характерный радиальный масштаб возмущений в плазме имеет порядок ларморовского радиуса ионов, что означает актуальность кинетического моделирования с использованием второго и высших порядков разложения по ларморовскому радиусу.

Моделирование проникновения возмущений I-катушек в плазму то-камака DIII-D для типичного разряда 126006 с большой длиной свободного пробега частиц в области пьедестала показало, что для большинства винтовых мод из-за эффекта экранировки токами плазмы влияние возмущений на магнитные поверхности и, как следствие, на перенос энергии и частиц в центральной области плазмы пренебрежимо мало, поскольку возмущения в плазме ослабляются на два и более порядка величины по сравнению с возмущениями в вакууме. В результате ширина островов, образуемых такими возмущениями, уменьшается в 10 раз по сравнению с шириной островов для вакуумного поля возмущения. Этот вывод согласуется с результатами экспериментов, в которых не было обнаружено влияния магнитных возмущений на перенос частиц и тепла в центральной области плазмы, что является одним из требований для возможности применения резонансных магнитных возмущений в реакторе ИТЭР. Показано, что образование слоя эргодического магнитного поля начинается на самом краю плазмы в области с шириной порядка сантиметра, что также согласуется с наблюдаемым изменением переноса частиц и тепла под действием магнитных возмущений.

В данном моделировании также было проведено детальное сравнение результатов кинетической и дрейфовой МГД [22, 41] моделей. Результаты обоих моделей согласуются по порядку величины для большинства резонансных мод, за исключением тех, которые находятся в областях с высокой перпендикулярной скоростью электронной компоненты плазмы, где частота волны в системе покоя электронов значительно превосходит электронную частоту столкновений. Отметим, что в данном случае частота возмущений в системе отсчета, в которой радиальное электрическое поле в резонансной зоне отсутствует, оказывается сравнимой с частотой столкновений электронов и значительно превосходит частоту столкновений ионов. Это означает, что помимо столкновительных механизмов существенную роль играет затухание Ландау. Также следует отметить, что ширина резонансного слоя, вычисленного в рамках МГД модели, оказывается более чем на порядок меньше ларморовского радиуса ионов почти во всём объеме плазмы. В то же время, в кинетическом расчете ширина резонансного слоя оказывается порядка ларморовского радиуса ионов. Таким образом, применимость двух-жидкостной МГД в условиях современных экспериментов формально нарушается, что делает актуальным дальнейшее развитие и применение кинетической модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Иван Борисович, 2008 год

1. 1.fluence of resonant helical fields on tokamak dischargese / F. Karger, H. Wobig, S. Corti et al. // Proc. 5th IAEA Int. Conf. on Plasma Phys. Control. Fusion (Tokyo, 1974). — Vienna: IAEA, 1975. — Pp. 207-213.

2. Engelhardt, W. Influence of an ergodic magnetic limiter on the impurity content in a tokamak / W. Engelhardt, W. Feneberg // J. Nucl. Mater. — 1978. Vol. 76-77. - Pp. 518-520.

3. Feneberg, W. A helical magnetic limiter for boundary layer control in large tokamaks / W. Feneberg, G. H. Wolf // Nucl. Fusion. — 1981.— Vol. 21.-Pp. 669-676.

4. Samain, A. Plasma motion and purification in an ergodic divertor / A. Samain, A. Grosman, W. Feneberg // J. Nucl. Mater.— 1982.— Vol. 111-112.- Pp. 408-412.

5. Gentle, K. W. The texas experimental tokamak (text) facility / K. W. Gentle // Nucl. Technol. Fusion. — 1982. Vol. 1. - P. 479.

6. Particle transport studies with the applied resonant fields on text / S. C. McCool, A. J. Wootton, M. Kotschenreuther et al. // Nuclear Fusion. 1990. - Vol. 30. - Pp. 167-173.

7. An ergodic divertor for tore supra / A. Samain, A. Grosman, T. Blenski et al. // J. Nucl. Mater. — 1990. Vol. 128-129.- Pp. 395-399.

8. Samain, A. Theory of the ergodic divertor / A. Samain, T. Blenski, P. Ghendrih // Contrib. to Plasma Physics.— 1990.— Vol. 30.— Pp. 157-165.

9. Shoji, Т. Effects of ergodization on plasma confinement in jft-2m / T. Shoji, H. Tamai, Y. Miura // J. Nucl. Mater. 1992,- Vol. 196198. - Pp. 296-300.

10. Takamura, S. Control of the tokamak edge plasma by static and rotating helical magnetic limiters / S. Takamura, H. Yamada, T. Okuda // Nuclear Fusion. — 1988. — Vol. 28. — Pp. 183-191.

11. Ergodic magnetic limiter experiments in the hybtok-ii tokamak / Y. Shen, M. Miyake, S. Takamura et al. // J. Nucl Mater. — 1988.— Vol. 168. Pp. 295-303.

12. Progress in ergodic divertor operation on tore supra / P. Ghendrih, M. Becoulet, L. Colas et al. // Nuclear Fusion. — 2002.— Vol. 42.— Pp. 1221—1250.

13. Interaction of externally applied rotating helical field with tokamak plasma / M. Kobayashi, T. Tuda, K. Tashiro et al. // Nuclear Fusion. — 2000. Vol. 40. - Pp. 181-193.

14. Direct observation of tokamak plasma responses to the externally applied rotating helical magnetic field in the small tokamak hybtok-ii / Y. Kikuchi, Y. Uesugi, S. Takamura, A. G. Elfimov // Nuclear Fusion. — 2000. Vol. 44. - Pp. S28-S36.

15. A scheme for a dynamic ergodic divertor in textor / К. H. Finken, G. Fuchs, B. Giesen et al. //J. Nucl Mater. — 2000. — Vol. 220-222.— Pp. 448-451.

16. Overview of experiments with the dynamic ergodic divertor on textor / К. H. Finken, S. Abdullaev, W. Biel et al. // Contribution to Plasma Physics. 2000. - Vol. 46. - Pp. 515-526.

17. Ghendrih, P. Theoretical and experimental investigations of stochastic boundaries in tokamaks / P. Ghendrih, A. Grossman, H. Capes // Plasma Phys. Control Fusion. — 1996. — Vol. 38. — Pp. 1653-1724.

18. Overview of magnetic structure induced by the TEXTOR-DED and the related transport / S. S. Abdullaev, К. H. Finken, M. W. Jakubowski et al. // Nuclear Fusion. — 2003. — Vol. 43. — Pp. 299-313.

19. Monte Carlo study of heat conductivity in stochastic boundaries: Application to the TEXTOR ergodic divertor / A. Runov, D. Reiter, S. V. Kasilov et al. // Physics of Plasmas. — 2001.— Vol. 8, no. 3.— Pp. 916-930.

20. Fitzpatrick, R. The interaction of resonant magnetic perturbations with rotating plasmas / R. Fitzpatrick, Т. C. Hender // Phys. Fluids В.— 1991.-Vol. 3, no. 3.- Pp. 644-673.

21. Fitzpatrick, R. Bifurcated states of a rotating tokamak plasma in the presence of a static error-field / R. Fitzpatrick // Phys. Plasmas. — 1998.- Vol. 5, no. 9.- Pp. 3325-3341.

22. Waelbroeck, F. L. Shielding of resonant magnetic perturbations in the long mean-free path regime / F. L. Waelbroeck // Phys. Plasmas.— 2003. Vol. 10, no. 10. - Pp. 4040-4047.

23. Finken, К. H. Perturbation field pennetration into the textor tokamak and the resulting torque / К. H. Finken // Nuclear Fusion. — 1999. — Vol. 39, no. 6. Pp. 707-723.

24. Modelling of the field line penetration and force transfer by the dynamic ergodic divertor of textor / К. H. Finken, S. S. Abdullaev, M. Jakubowski et al. // Nuclear Fusion. — 2004.— Vol. 44, no. 5.— Pp. S55-S63.

25. The comparison of the penetration of running and standing waves into a plasma with resonance surface / V. Zhukov, H. de Blank, M. Kobayashi, I. Schwab // Phys. Plasmas. — 2004. Vol. 11, no. 4. — Pp. 1459-1468.

26. Zhukov, V. P. The interaction of the ded magnetic field with a tokamak plasma / V. P. Zhukov, К. H. Finken // Nuclear Fusion.— 2004.— Vol. 44, no. 5. Pp. S44-S54.

27. Faulconer, D. W. Penetration of the rotating magnetic field into the plasma / D. W. Faulconer, R. Koch // Fusion Eng. Des.— 1997.— Vol. 37, no. 3. Pp. 437-409.

28. Toroidal plasma rotation induced by the dynamic ergodic divertor in the textor tokamak / К. H. Finken, S. S. Abdullaev, M. F. M. de Bock et al. // Phys. Rev. Letters. 2005. - Vol. 94. — P. 015003.

29. The dynamic ergodic divertor in the textor tokamak: plasma response to dynamic helical magnetic field perturbatios / К. H. Finken, S. S. Abdullaev, W. Biel et al. // Plasma Phys. Control. Fusion.— 2004. Vol. 46. - Pp. B143-B155.

30. Effect of the dynamic ergodic divertor in the textor tokamak on mhd stability, plasma rotation and transport / R. C. Wolf, W. Biel, M. F. M. de Bock et al. // Nuclear Fusion.— 2005.- Vol. 45.-Pp. 1700-1707.

31. Suppression of large edge-localized modes in high-confinement diii-d plasmas with a stochastic magnetic boundary / Т. E. Evans, R. A. Moyer, P. R. Thomas et al. // Phys. Rev. Letters.— 2004.— Vol. 92, no. 23. Pp. 235003-1-4.

32. Edge stability and transport control with resonant magnetic perturbations in collisionless tokamak plasmas / Т. E. Evans, R. A. Moyer, К. H. Burrell et al. // Nature Phys.— 2006.— Vol. 2, no. 6.- Pp. 419-423.

33. Elm suppression in low edge collisionality h-mode discharges using n = 3 magnetic perturbations / К. H. Burrell, Т. E. Evans, E. J. Doyle et al. // Plasma Phys. Control Fusion. — 2005. — Vol. 47, no. 1. — Pp. B37-B52.

34. Evans, Т. Е. Modeling of stochastic magnetic flux loss from the edge of a poloidally diverted tokamak / Т. E. Evans, R. A. Moyer, P. Monat // Phys. Plasmas. — 2002. Vol. 9, no. 12. - Pp. 4957-4967.

35. Experimental and numerical studies of separatrix splitting and magnetic footprints in diii-d / Т. E. Evans, I. Joseph, R. A. Moyer et al. // Journ. of Nuclear Materials. — 2007. — Vol. 363-365. — Pp. 570-574.

36. Stochastic transport modeling of resonant magnetic perturbations in diii-d / I. Joseph, R. A. Moyer, Т. E. Evans et al. // Journ. of Nuclear Materials. 2007. — Vol. 363-365. — Pp. 591-595.

37. Monte carlo study of heat conductivity in stochastic boundaries: Application to the textor ergodic divertor / A. M. Runov, D. Reiter, S. V. Kasilov et al. // Phys. Plasmas. — 2001. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 916930.

38. Boozer, A. H. Shielding of resonant magnetic perturbations by rotation / A. H. Boozer // Phys. Plasmas. — 1996. — Vol. 3, no. 12. — Pp. 4620— 4627.

39. Cole, A. Drift-magnetohydrodynamical model of error-field penetration in tokamak plasmas / A. Cole, R. Fitzpatrick // Phys. Plasmas. — 2006.- Vol. 13, no. 3.- P. 032503.

40. Jensen, Т. H. A simple model for driven islands in tokamaks / Т. H. Jensen, A. W. Leonard, A. W. Hyatt // Phys. Fluids B. 1993. — Vol. 5, no. 4.- Pp. 1239-1247.

41. Fitzpatrick, F. L. Effect of a static external magnetic perturbation on resistive mode stability in tokamaks / F. L. Fitzpatrick, Т. C. Hender // Phys. Plasmas. — 1994. —Vol. 1, no. 10. — Pp. 3337-3355.

42. Hurricane, О. A. Two-dimensional magnetohydrodynamic simulation of a flowing plasma interacting with an externally imposed magnetic field / O. A. Hurricane, Т. H. Jensen, A. B. Hassam // Physics of Plasmas.— 1995.- Vol. 2, no. 6.- Pp. 1976-1981.

43. Boozer, A. H. Error field amplification and rotation damping in tokamak plasmas / A. H. Boozer // Phys. Rev. Letters.— 2001.— Vol. 86, no. 22. — Pp. 5059-5061.

44. Drake, J. F. Kinetic theory of m=l internal instabilities / J. F. Drake // Phys. Fluids.- 1978.- Vol. 21, no. 10.- Pp. 1777-1789.

45. Unified theory of tearing modes / S. M. Mahajan, R. D. Hazeltine, H. R. Strauss, D. W. Ross // Phys. Fluids. 1978. - Vol. 22, no. 11. -Pp. 2147-2156.

46. Scott, B. Two-dimensional fast reconnection in a fluid drift model / B. Scott, F. Porcelli // Phys. Plasmas.— 2004.- Vol. 11, no. 12.— Pp. 5468-5474.

47. Taylor, J. B. Equilibrium and stability of plasma in arbitrary mirror fields / J. B. Taylor // Phys. Fluids. 1964. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 767773.

48. Kaufman, A. N. Quasilinear diffusion of an axisymmetric toroidal plasma / A. N. Kaufman // Phys. Fluids. — 1972.— Vol. 15, no. 6.— Pp. 1063-1069.

49. Mynick, H. E. The generalized balescu-lenard collision operator / H. E. Mynick 11 Journ. Plasma Phys.— 1988.— Vol. 39, no. 2.— Pp. 303-317.

50. Gambier, D. J. Variational theory of ion cyclotron resonance heating in tokamak plasmas / D. J. Gambier, A. Samain // Nuclear Fusion. — 1985.- Vol. 25, no. 3.- Pp. 283-297.

51. Vaclavik, J. Theory of plasma heating by low frequency waves: magnetic pumping and alfven resonance heating / J. Vaclavik, K. Appert // Nuclear Fusion. 1991. - Vol. 31, no. 10. — Pp. 1945-1997.

52. Brambilla, M. The high-frequency constitutive relation of axisymmetric toroidal plasmas / M. Brambilla // Plasma Phys. Control. Fusion.— 1999. Vol. 41. - Pp. 775-800.

53. Brambilla, M. Kinetic wave equations for drift and shear alfven waves in axisymmetric toroidal plasmas / M. Brambilla // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2001. — Vol. 43. Pp. 483-506.

54. Brunner, S. Dielectric tensor operator of hot plasmas in toroidal axisymmetric systems / S. Brunner, J. Vaclavik // Phys. Fluids B.— 1993.- Vol. 5, no. 6.- Pp. 1695-1705.

55. Lamalle, P. U. On the radiofrequency response of tokamak plasmas / P. U. Lamalle // Plasma Phys. Control. Fusion.— 1997.— Vol. 39, no. 9. Pp. 1409-1460.

56. Van Eester, D. Modelling rf heating in toroidal geometry: on the discrete bounce spectrum and the continuous bounce average / D. Van Eester // J. Plasma Physics. — 1998. — Vol. 60, no. 3. — Pp. 627-671.

57. Flux Coordinates and Magnetic Field Structure / W. D. D'haeseleer, W. N. G. Hitchon, J. D. Callen, J. L. Shonet. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.- P. 241.

58. Maple 9 Advanced Programming Guide / M. B. Monagan, К. O. Geddes, К. M. Heal et al. — Waterloo, ON, Canada N2L 6C2: Maplesoft, 2003. — Pp. x + 444.

59. Plasma Electrodynamics / A. I. Akhiezer, I. A. Akhiezer, R. V. Polovin et al. — New York: Pergamon Press, 1975. — P. 10.

60. Kinetic modeling of the interaction of rotating magnetic fields with a radially inhomogeneous plasma / M. F. Heyn, I. B. Ivanov, S. V. Kasilov, W. Kernbichler // Nuclear Fusion. — 2006. — Vol. 46, no. 3. — Pp. S159-S169.

61. Лихтпенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лих-тенберг, М. Либерман. — М.: Наука, 1984.— С. 34.

62. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. — 2-е, испр. изд. — М.: Наука, 1988. — Т. I. Механика. — С. 187.

63. Gross, Е. P. Model for collision processes in gases: Small-amplitude oscillations of charged two-component systems / E. P. Gross, M. Krook // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 102, no. 3.- Pp. 593-604.

64. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. — 2-е, испр. изд. — М.: Наука, 1988. — Т. I. Механика. — С. 210.

65. Mahajan, S. М. Plasma kinetic theory in action-angle variables / S. M. Mahajan, C. Y. Chen // Phys. Fluids. 1985. - Vol. 28, no. 12. -Pp. 3538-3545.

66. Plasma Electrodynamics / A. I. Akhiezer, I. A. Akhiezer, R. V. Polovin et al. — New York: Pergamon Press, 1975. — P. 231.

67. Morozov, A. I. Motion of charged particles in electromagnetic fields / A. I. Morozov, L. S. Solov'ev // Reviews of Plasma Physics.— New York: Consultants Bureau, 1966. Vol. 2. — P. 224.

68. Swanson, D. Plasma Waves / D. Swanson. — London: Academic Press, Inc, 1989.-P. 13.

69. Goldstein, H. Classical Mechanics / H. Goldstein. — Cambridge, MA: Addison Wesley, 1950. P. 316.

70. Лихтпенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лих-тенберг, М. Либерман. — М.: Наука, 1984.— С. 90.

71. Kinetic model for the interaction of the rotating magnetic field with the tokamak plasma / C. Eherer, M. F. Heyn, S. V. Kasilov, W. Kernbichler // Biennial Workshop "Stochasticity in Fusion Plasmas October 6-8 2003, Jiilich, Germany. — 2003.

72. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-шиц. — 2-е, испр. изд.— М.: Наука, 1988.— Т. II. Теория поля.— С. 90.

73. Владимиров, В. Обощённые функции в математической физике / В. Владимиров. — М.: Наука, 1979. — С. 33.

74. Furth, Н. P. Tearing mode in the cylindrical tokamak / H. P. Furth, P. H. Rutherford, H. Selberg // Phys. Fluids. 1973. - Vol. 16, no. 7. -Pp. 1054-1063.

75. О связи вращения плазмы под действием низкочастотных резонансных магнитных возмущений с переносом в эргодических магнитных полях / И. Б. Иванов, С. В. Касилов, W. Kernbichler, М. Heyn // Письма в ЖЭТФ. 2007. - Т. 86, № 6. - С. 420-423.

76. Electron dynamics associated with stochastic magnetic and ambipolar electric field / R. W. Harwey, M. G. McCoy, J. Y. Hsu, A. A. Mirin // Phys. Rev. Letters.- 1981.- Vol. 47, no. 2.- Pp. 102-105.

77. Fitzpatrick, R. Interaction of tearing modes with external structures in cylindrical geometry / R. Fitzpatrick // Nuclear Fusion. — 1993. — Vol. 33, no. 7. Pp. 1049-1084.

78. Rozhansky, V. Plasma rotation in tokamaks / V. Rozhansky, M. Tendler // Reviews of Plasma Physics.— New York: Consultants Bureau, 1996. Vol. 19. - P. 256.

79. Stringer, Т. E. Non-ambipolar neoclassical transport / Т. E. Stringer // Nuclear Fusion. — 1995. — Vol. 35, no. 8. — Pp. 1008-1011.

80. Kinetic estimate of the shielding of resonant magnetic field perturbations by the plasma in diii-d / M. F. Heyn, I. B. Ivanov, S. V. Kasilov, W. Kernbichler // submitted to Nuclear Fusion.

81. Evaluation of 1/v neoclassical transport in stellarators / V. V. Nemov, S. V. Kasilov, W. Kernbichler, M. F. Heyn // Phys. Plasmas.— 1999.— Vol. 6, no. 12. Pp. 4622-4632.

82. The structure of magnetic field in the TEXTOR-DED / К. H. Finken, S. S. Abdullaev, M. Jakubowski et al. — Forschungszentrum Juelich GmbH, 2005.- P. 7. http://nbn-resolving.de/resol ver.pl?urn= urn:nbn:de:0001-00312.

83. Huba, J. D. NRL PLASMA FORMULARY / J. D. Huba. Washington, DC 20375: Naval Research Laboratory, 2006. — P. 33.

84. Waelbroeck, F. L. Shielding of resonant magnetic perturbations in the long mean-free path regime / F. L. Waelbroeck // Phys. Plasmas. — 2003.- Vol. 10, no. 10.- Pp. 4040-4047.

85. Mhd equilibrium reconstruction in the diii-d tokamak / L. L. Lao, H. E. St. John, Q. Peng et al. // Fusion Science and Technology. — 2005.- Vol. 48, no. 2,- Pp. 968-977.

86. Reconstruction of current profile parameters and plasma shapes in tokamaks / L. L. Lao, H. S. John, R. D. Strambaugh et al. // Nuclear Fusion. — 1985. Vol. 25, no. 11. — Pp. 1611-1622.

87. Linear analysis of the interaction of rotating helical magnetic perturbations with tokamak plasmas based on the reduced two-fluid model / Y. Kikuchi, K. Finken, M. Jakubowski et al. // Contrib. Plasma Phys. — 2007. Vol. 46, no. 7-9. — Pp. 539-544.

88. Boozer, A. H. Evaluation of the structure of ergodic fields / A. H. Boozer // Phys. Fluids.— 1983.— Vol. 26, no. 5.— Pp. 12881291.

89. Rutherford, P. H. Nonlinear growth of the tearing mode / P. H. Rutherford // Phys. Fluids. — 1973. Vol. 16, no. 11. - Pp. 19031908.