Линейная и нелинейная теория ρ-адических обобщенных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Шелкович, Владимир Михайлович

• Шелкович, Владимир Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шелкович, Владимир Михайлович

Глава 1. Введение

1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика

1.2. Содержание диссертации и ее основные результаты

1.3. Библиографический обзор

Глава 2. Вспомогательные факты из р-адического анализа

2.1. Введение

2.2. р-Адическая норма и р-адические числа.

2.3. р-Адические функции

2.4. р-Адическое интегрирование

2.5. р-Адические распределения

Глава 3. Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений (вещественный и р-адический случаи)

3.1. Введение

3.2. Анализ определения присоединенного однородного распределения.

3.3. Симметрия класса распределений

3.4. Вещественные квази-присоединенные однородные распределения

3.5. Вещественные многомерные квази-присоединенные однородные распределения

3.6. Преобразование Фурье вещественных квази-присоединенных однородных распределений

3.7. Новый тип вещественных Г-функций

3.8. р-Адические однородные распределения

3.9. р-Адические квази-присоединенные однородные распределения

3.10. Преобразование Фурье р-адических квази-присоединенных однородных распределений

3.11. Новый тип р-адических Г-функций

Глава 4. р-Адические пространства Лизоркина основных функций и распределений

4.1. Введение

4.2. Вещественный случай пространств Лизоркина

4.3. р-Адические пространства Лизоркина

4.4. Плотность пространств Лизоркина в

Глава 5. Теория р-адических всплесков

5.1. Введение

5.2. р-Адический кратномасштабный анализ (одномерный случай)

5.3. Построение р-адического хааровского кратномасштабного анализа

5.4. Описание одномерных 2-адических хааровских базисов всплесков

5.5. Описание одномерных р-адических хааровских базисов всплесков

5.6. р-Адические масштабирующие функции и кратномасштабный анализ

5.7. р-Адический сепарабельный многомерный КМА

5.8. Многомерные р-адические базисы всплесков Хаара

5.9. Один нехааровский базис всплесков в £2(QP)

5.10. Одно бесконечное семейство нехааровских базисов всплесков в £2(Qp)

5.11. Многомерные нехааровские р-адические всплески

5.12. р-Адическая теорема Шеннона-Котельникова

5.13. р-Адические пространства Лизоркина и всплески

Глава 6. р-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах

Лизоркина

6.1. Введение

6.2. р-Адические многомерные дробные операторы

6.3. Один класс р-адических псевдодифференциальных операторов

6.4. Спектральная теория псевдодифференциальных операторов

Глава 7. р-Адические псевдодифференциальные уравнения

7.1. Введение

7.2. Простейшие псевдодифференциальные уравнения

7.3. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения первого порядка по t

7.4. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения второго и более высокого) порядка по t

7.5. Полулинейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения

Глава 8. Асимптотики распределений и р-адические тауберовы теоремы

8.1. Введение

8.2. Асимптотические оценки р-адических распределений

8.3. Квази-асимптотики р-адических распределений

8.4. Тауберовы теоремы по отношению к асимптотикам

8.5. Тауберовы теоремы по отношению к квази-асимптотикам

Глава 9. Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье

9.1. Введение

9.2. Результаты об асимптотиках сингулярных интегралов Фурье в вещественном случае

9.3. Асимптотические разложения р-адических распределений

9.4. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (^(х) = 1)

9.5. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (7Г1 (х) ф 1)

9.6. р-Адическая версия леммы Эрдейи

Глава 10. Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и р-адический случаи)

10.1. Введение

10.2. Нелинейные теории распределений (вещественный случай)

10.3. Новые версии алгебр Коломбо (вещественный случай)

10.4. Сингулярные решения квазилинейных систем законов сохранения вещественный случай)

10.5. Произведения распределений в контексте решения задачи Коши для квазилинейных систем законов сохранения (вещественный случай)

10.6. Построение р-адической алгебры Коломбо-Егорова

10.7. Свойства обобщенных функций Коломбо-Егорова

10.8. Дробные операторы в алгебрах Коломбо-Егорова

10.9. Ассоциативная алгебра р-адических асимптотических распределений

10.10. Л* как подалгебра алгебры Коломбо-Егорова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейная и нелинейная теория ρ-адических обобщенных функций»

1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика

В течение нескольких сотен лет теоретическая физика развивалась на основе действительных (а затем и комплексных) чисел. Эта математическая модель физического мира сохранилась даже в процессе перехода от классической к квантовой физике, где комплексные числа стали играть даже несколько большую роль, чем вещественные числа. Ранее комплексные числа начали использоваться в Фурье анализе, который применялся в классической электродинамике и акустике. Однако последние 20 лет поле р-адических чисел Qp (как и его алгебраические расширения, включая поле так называемых комплексных р-адических чисел Ср) интенсивно использовалось в теоретической и математической физике (см. [9]- [12], [21], [26], [28], [33], [34], [41], [63]-[65], [76], [81], [103]-[110], [112], [113], [50], [51], [1]-[3], [116], ] 140], [141], [145], [159], [183], [227]- [232] и другие ссылки в этих работах). Таким образом, несмотря на то, что р-адические числа были открыты К. Гензелем в 1899 году, теория р-адических чисел уже успела найти применение в нескольких областях математики и прикладных исследованиях.

Говоря о р-адическом анализе и его приложениях, всегда следует уточнять, какой именно тип р-адической модели мы рассматриваем. Есть два основных типа таких моделей: один связан с отображениями из Qp в С, где С - поле комплексных чисел, другой - с отображениями из Qp в Qp. Первый этап развития р-адической физики для моделей с С-значными отображениями, а также соответствующий анализ представлен в книге B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Е.И. Зеленова [227], которая интенсивно использовалась физиками, работающих с р-адическими моделями, а также математиками, ищущими новые задачи. Также можно упомянуть книгу А.Н. Кочубея [140], которая в своей основе связана с приложениями, в частности, с стохастическими задачами. Физические, когнитивные и психологические модели, связанные с Qp-значными отображениями, и соответствующий им анализ (которого эти модели требуют) были описаны в ряде монографий А. Ю. Хренникова [ЮЗ]- [105]. Последние модели описаны гораздо лучше на уровне монографий, чем модели, основанные на отображениях из Qp в С.

В настоящее время различные разделы р-адической математической физики интенсивно развиваются и находят новые приложения. Однако, в силу того, что р-адический анализ - молодая наука, в нем имеется много неразработанных областей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шелкович, Владимир Михайлович, 2010 год

1. Albeverio, R. Gianci and A. Yu. Khrcnnikov, On the spectrum of the p-adic position operator, J. Physics A: Math, and General, 30, (1997), 881-889.

2. С. А. Альбеверио, А. Ю. Хренников, P. Чанчи, Представление гамильтониана квантового поля в р-адическом гильбертовом пространстве, ТМФ, 112, (1997), по. 3, 355-374.

3. S. Albeverio, R. Cianci and A. Yu. Khrcnnikov, On the Fourier transform and the spectral properties of the p-adic momentum and Schrddinger operators, J. Physics A, Math, and General, 30, ( 1997), 5767-5784.

4. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis and wavelet frames, Принята к печати в Journal of Fourier Analysis and Applications, (2010), Preprint at the url: http: / /arxiv.org/abs/0802.1079vl

5. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis, (2008), http: //arxiv ,org/abs/0810.1147vl

6. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic non-orthogonal wavelet bases, Труды Математического института ин. В. А. Стеклова, т. 265, Москва, 2009, 1—12.

7. S. Albeverio, Z. Haba, F. Russo, Trivial solutions for a non-linear two-space-dimensional wave equation perturbed by space-time white noise, Stochastics Stochastics Rep. 56, (1996), no. 1-2, 127— 160.

8. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh Krohn, and H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics. New York-Berlin-Heidelberg-London-Paris-Tokyo, Springer, 1988.

9. S. Albeverio, E. I. Gordon, A. Yu. and Khrennikov, Finite-dimensional approximations of operators in the Hilbert spaces of functions on locally compact abelian groups, Acta Appl.Math., 64, no. 1, (2000), 33-73.

10. S. Albeverio, W. Karwowski, A random walk on p-adics, the generator and its spectrum, Stochastic Process Appl., 53, (1994), 1-22.

11. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, Representation of the Weyl group in spaces of square integrable functions with respect to p-adic valued Gaussian distributions, J. of Phys. A, 29, (1996), 5515-5527.

12. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, p-adic Hilbert space representation of quantum systems with an infinite number of degrees of freedom, Int. J. of Modern Phys. B, 10, (1996), 1665-1673.

13. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl., 313, (2006), 64-83.

14. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкопич, Присоединенные однородные р-адические обобщенные функции, Докл. РАН, 393, по. 3, (2003), 300-303.

15. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, and V. М. Shelkovich, p-adic Colombeau-Egorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichten, 278, no. 1—2, (2005), 3-16.

16. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкович, Ассоциативные алгебры р-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 245, 2004, Москва, 29-41.

17. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные сингулярные проблемы р-адического анализа: ассоциативные алгебры р-адических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, по. 2, 2005, 3-44.

18. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкович, р-Адические полулинейные эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространствах Лизоркина, Докл. РАН, 415, по. 3, (2007), 295-299.

19. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, and В. Tirozzi, p-Adic neutral networks, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 9 (9), (1999), 1417-1437.

20. S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Multidimensional ultrametric pseudodifferential equations, Proc. Steklov Inst. Math., v. 265, Moscow, 2009, 13-29.

21. S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Frames of p-adic wavelets and orbits of the affine group, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 1, (2009), 18-33.

22. S. Albeverio, P. Kurasov, Singular perturbations of differential operators. Cambridge University Press, 1999.

23. S. Albeverio, S. Kuzhel, and S. Torba, p-Adic Schrodinger-type operator with point interactions, J. Math. Anal. Appl., 338, (2008), 1267-1281;

24. D. Aldous, and S. N. Evans, Dirichlet forms on totally disconnected spaces and bipartite Markov chains, J. Theoret. Probab., 12, no. 3, (1999), 839-857.

25. V. Anashin and A. Yu. Khrennikov, Applied algebraic dynamics, De Gruyter, Berlin, New York, 2009.

26. I. Ya. Arefeva, B. G. Dragovic, and I. V. Volovich On the adelic string amplitudes, Phys. Lett. B, 209, no. 4, (1998), 445-450.

27. I. Ya. Aref'eva, B. Dragovich, P. H. Frampton and I. V. Volovich, Wave function of the Universe and p-adic gravity Int. J. Mod. Phys. A6 (1991), 4341-2307.

28. I. Ya. Aref'eva, P. H. Frampton, Beyond Planck energy to nonarchimedean geometry, Mod. Phys. Lett. A, 6 (1991), 313-316.

29. V. Arnold, S. Gusein-Zade, A. Varchenko, Singularities of Differentiable Maps, Vol. II. Birkhiiuser, Boston Basel Berlin, 1988.

30. V. A. Avetisov, A. II. Bikulov, S. V. Kozyrev, Application of p-adic analysis to models of spontaneous breaking of replica symmetry, J. Phys. A: Math. Gen., 32, no. 50, (1999), 8785-8791.

31. V. A. Avetisov, A. H. Bikulov, S. V. Kozyrev, and V. A. Osipov, p-Adic models of ultrametric diffusion constrained by hierarchical eneigy landscupes, Л. Phys. A: Math. Gen., 35, no. 2, (2002), 177-189.

32. V. A. Avetisov, A. H. Bikulov, and V. A. Osipov, p-Adic description of characteristic relaxation in complex systems, J. Phys. A: Math. Gen., 36, no. 15, (2003), 4239-4246.

33. J. J. Benedetto, A. I. Zayed (eds.), Sampling, wavelets, and tomography, Birkhâuser Boston, Basel, Berlin, 2004.

34. R. L. Benedetto, Examples of wavelets for local fields, Wavelets, Frames, and operator Theory, (College Park, MD, 2003), Am. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 27-47.

35. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев, Замечание об уравнении Шредипгера с сингулярнылг потенциалом, ДАН СССР, 137, по. 5, 1961, 1011-1014.

36. А. X. Бикулов, И. В. Волович, р-адическое броуновское движение, Изв. РАН. Сер. матем., 61, по. 3, (1997), 75-90.

37. С. de Boor, R. DeVore, A. Ron, On construction of multivariate (pre) wavelets, Constr. Approx., V. 9 (1993), 123-166.

38. H. Bremermann, Distributions, Complex Variables, and Fourier Transforms, Addison-Wesley Publ.Comp, Reading, Massachusetts, 1965.

39. Ю. А. Брычков, Асимптотические разложения обобщенных функций. I, ТМФ, 5, (1970), . по. 1, 98-109.

40. Ю. А. Брычкоп, Об асимптотических ра:июженинх обобщенных функций, Математические заметки, 12, (1972), по. 2, 131-138.

41. Ю. А. Брычков, 10. М. Широков, О некоторых предельных формулах для обобщенных функций, Математические заметки, 2, (1967), по. 1, 81—91.

42. P. Чанчи, and А. Ю. Хренников, Энергетические уровени соответствующие р-адическим квантовым состояниям, ДАН, 342, (1995), по. 5, 603-606.

43. R. D. Carmichael, n-dimensional Cauchy integral of tempered distributions, J. Elisha Mitchell Sci. Soc., 93, (1977), no. 3, 115-135.

44. J. F. Colombeau, Elementary introduction to new . generalized functions. North-Holland Mathematics Studies 113, North-Holland, Amsteradm 1985.

45. G. Dal Maso, P. G. Le Floch, and F. Murat, Definition and weak stability of nonconseruative products, J. Math. Pures Appl., 74, (1995), 483-548.

46. V. G. Danilov, V. M. Shelkovich, Generalized solutions of nonlinear differential equations and the Maslov algebras of distributions, Integral Transformations and Special Functions, 6, (1997), no. 1-4, 137-146.

47. В. Г. Данилов, В. П. Маслов, В. M. Шелкович, Алгебры особенностей сингулярных решении квазилинейных строго гиперболических систем первого порядка, ТМФ, 114, по. 1, (1998), 3-55.

48. V. G. Danilov and V. M. Shelkovich, Propagation and interaction of shock waves of quasilinear equation, Nonlinear Studies, v. 8, no. 1, (2001), 135-170.

49. V. G. Danilov, G. Л. Omel'yanov, V. M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), "Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems", Amer. Math. Soc. Trans]., Ser. 2, 208, 2003, 33-165.

50. I. Daubechies, Ten Lectures on wavelets, CBMS-NSR Series in Appl. Math., SIAM, 1992.

51. Branko G. Dragovic On signature change inp-adic space-times Mod. Phys. Lett., A6 (1991), 23012307.

52. B. Dragovich, A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, and I. V. Volovich, On p-adic mathematical physics p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 1, (2009), 1-17.

53. B. Dragovich, Lj. Nesic, On p-adic numbers in gravity, Balkan Physics Letters 6, (1998), 78-81.

54. Ю. H. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Квазиасимптотика обобщенных функций и тауберовы теоремы в комплексной области, Матем. сб., 102 (144), (1977), по. 3, 372—390.

55. Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функции со значениями в банаховых пространствах, Матем. сб., 194, (2003), по. 11, 17-64.

56. Ю. В. Егоров, К теории обобщенных функций, УМН, 45, вып. 5, 1990, 3-40.

57. S. D. Eidelman, and А. N. Kochubei, Cauchy problem for fractional diffusion -equations, Journal of Differential Equations, 199, (2004), 211-255.

58. S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, and A. N. Kochubei, Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type, Birkhauser, Basel, 2004.

59. A. Erdelyi, Asymptotic representations of Fourier integrals and the method of stationary phase, J. Soc. Indust. Appl. Math., 3, (1955), 17-27.

60. A. Erdelyi, Asymptotic expansions of Fourier integrals invoicing logarithmic singularities, J. Soc. Indust. Appl. Math., 4, (1956), 38-47.

61. R. Estrada, R. P. Kanwal, Asymptotic analysis: A distributional approach. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.

62. R. Estrada, R. P. Kanwal, A distributional approach to asymptotics: Theory and applications. Second edition. Birkhauser Boston, Inc., Boston, 2002.

63. JI. К. Эванс, Уравнения с частными производньши, Новосибирск. Тамара Рожковская. Университетская серия, т. 7, 1998.

64. S. N. Evans, p-Adic white noise, chaos expansions, and stochastic integration, Probability measures on groups and related structures, XI, (Oberwolfach, 1994), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, (1995), pp. 102-115.

65. C.A. Евдокимов, M.A. Сконина, 2-Адические базисы всплесков, Труды Института математики и механики Уральского отделения Российской кадемип наук, т. 15, no. 1, (2009), 135-146.

66. В. Ю. Протасов, Ю. А. Фарков, Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой, Матем. сб., 197, по. 10, (2006), 129-160;

67. М. В. Федорюк, Асимптотика: Интегралы и ряды, Москва, Наука, 1987.

68. P. G. O. Freund, and E. Witten, Adelic string amplitudes, Phys. Lett. B, 199, (1987), 191-195.

69. Olaf von Grudzinski, Quasihomogeneous distributions. Amsterdam, New York: North-Holland, Elsevier Science Pub. Co., 1991.

70. A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69, (1910), 331-371.

71. D. B. Heifetz, p-Adic oscillatory integrals and wave front sets, Pacific Journal of Mathematics, 116, (1985), 285-305.

72. E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, v. I and II, Springer 1963.

73. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том I. Теория распределений и анализ Фурье. М.: "Мир 1986.

74. J. Igusa, Complex powers and asymptotic expansions. I, J. Reine Angew. Math., 268/269, (1974), 110-130.

75. J. Igusa, A stationary phase formula for p-adic integrals and its applications, In: C. L. Bajaj (ed,), "Algebraic Geometry and Its Applications Springer, New York, 1994, pp. 175-194.

76. В. К. Иванов, Асимптотическое приближение к произведению обобщенных функций, Известия ВУЗов, Математика, no. 1, 1981, 19-26.

77. D. S. Jones, Generalized Functions. McGraw-Hill, 1966.

78. В. А. Какичев, В. M. Шелкович, Обумножении распределений умеренного роста из <S'(Rn), п > 2, Манускрипт по. 1224-75, депонирован в ВИНИТИ, (1975).

79. В. А. Какичев, В. М. Шелкович, Задача Римана для р-конуса в алгебрах Владимирова, Матем. заметки, 27, (1980), по. 6, 899-911.

80. Ram P. Kanwal, Generalized Functions: Theory and technique, Birkhàuser Boston-Basel-Berlin,. 1998.

81. I. Karamata, Sur un mode de croissance régulière des fonctions, Matematica (Gluj), 4, (1930), 38-53.

82. G. Kaiser, A friendly guide to wavelets, Birkhàuser Boston, 1994.

83. S. Katok, p-Adic analysis compared with real, American Mathematical Society, 2007.

84. B. L. Keyfitz, Conservation laws, delta-shocks ans singular shocks, In: Grosser, M., Ilorman, G., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M. (eds) Nonlinear theory of generalized functions. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC press, (1999), 99-111.

85. А. Ю. Хренников, Фундаментальные решения над полем р-адических чисел, Алгебра и анализ (St. Petersburg Math. J.), 4, no. 3, 1993, 248-266.

86. A. Yu. Klirennikov, p-Adic valued distributions in mathematical physics, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1994.

87. A. Yu. Khrennikov, Non-archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1997.

88. A. Yu. Khrennikov, Information dynamics in cognitive, psychological, social and anomalous phenomena, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2004.

89. A. Yu. Khrennikov, p-Adic discrete dynamical systems and their applications in physics and cognitive science, Russian journal of mathematical physics, 11, no. 1, (2004), 45-70.

90. А. Ю. Хренников, Математические методы неархимедовой физики, УМН, 45:4(274), (1990), 79-110.108| Л. Ю. Хренников, Квантовая механика над jмсширениями Галуа числовых полей, Доклады АН СССР, Физика, 315, (1990), по. 4, 860-864.

91. Л. Yu. Khrennikov. p-Adic quantum mechanics with p-adic valued functions, J. Math. Phys., 32, (1991), 932-937.

92. А. Ю. Хренников, Вещественно-неархимедова структура пространства-времени, ТМФ, 86, (1991), по. 2, 177-190.

93. A. Yu. Khrennikov, Interpretations of Probability, De Gruyter, Berlin, New York, 2009, second edition.

94. A. Yu. Khrennikov, Description of cxperimentb detecting p-adic statistics in quantum diffraction experiments, Russian Doklady Mathematics, 58, (1998), no. 3, 478-480.

95. A. Yu. Khrennikov, Ultrametric Hilbert space representation of quantum mechanics with a finite exactness, Found. Physics, 26, (1996), no. 8, 1033-1054.

96. A. Yu. Khrennikov, and S. V. Kozyrev, Wavelets on ultrametric spaces, Applied and Computational Harmonic Analysis, 19, (2005), 61-76.

97. С. В. Козырев, А. Ю. Хренников, Псевдодифференциальные операторы на ультраметрических пространствах и ультраметрические всплески, Изв. РАН. Сер. матем., 69, по. 5, (2005) , 133-148.

98. С. В. Козырев, А. Ю. Хренников, Пространственная локализация для свободной частицы в ультраметрической квантовой механике, Докл. РАН, 411 по. 3 (2006) 319—322.

99. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Ultrametric random field, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Vol. 9, no. 2 (2006), P.199-213.

100. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space I: replica matrices and functionals, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 359, (2006), 222-240.

101. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space II: RSB solutions and the n —> 0 limit, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 359,2006), 241-266.

102. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space III: The case of general measuir., Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 378, no. 2,2007), 283-298.

103. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141-147.

104. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Distributional asymptotics and p-adic Tauberian and Shannon-Кotelnikov theorems, Asymptotical Analysis, 46 (2), (2006), 163-187.

105. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, p-Adic multidimensional wavelets and their application to p-adic pseudo-differential operators, (2006), Preprint at the url: http://arxiv.org/abs/math-ph/0612049

106. A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudodifferential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1-23.(2009).

107. А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нехааровские р-адические всплески и псевдодифференциальные операторы, Докл. РАН, 418, по. 2, (2008), 167-170.

108. A. Yu. Khrennikov, V. М. Shelkovich, Asymptotical behavior- of one class of p-adic singular Fourier integrals, J. Math. An. Appl., 350, Issue 1, (2009), 170-183.

109. A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, .Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226—238.

110. О. Г. Смолянов, A. IO. Хренников, В. M. Шелкович, Мультипликативные структуры в линейном пространстве векторнозначных распределений, Докл. РАН, 383, по. 1, (2002) 28—31.

111. A. Yu. Khrennikov, V. М. Shelkovich, and О. G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite-Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1-20.

112. E. J. King, Wavelet and frame theory: frame bound gaps, generalized shearlets, Grassmannian fusion frames, and p-adic wavelets, Dissertation, University of Maryland (College Park, Md.), 2009.

113. N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 58. Springer-Verlag, New York, 1984.

114. A. H. Кочубей, Параболические уравнения над полем р-адических чисел, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55, по. 6 (1991), 1312-1330.

115. А. II. Кочубей, Операторы типа Шрёдингера над полем р-адических чисел, ТМФ, 86, (1991), 323-333.

116. А. Н. Кочубей, Оператор дифференцирования на подмножествах поля р-адических чисел, Изв. РАН. Сер. матем., 56, (1992), по. 5, 1021-1039.

117. A. N. Kochubei, Pseudo-differential equations and stochastics over non-archimedean fields, Marcel Dekker. Inc. New York, Basel, 2001.

118. A. H. Кочубей, Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с р-адическими квадратичными формами, Изв. РАН. Сер. матем., 62, (1998), по. 6, 103-124.

119. А. N. Kochubei, A non-Archimedean wave equation, Pacific Journal of Mathematics, 235, (2008), no. 2, 245-261.

120. Bang-He and Li Ya-Qing, On the harmonic and analytic representations of distributions, Acta scientia sinica, 28, (1985), no. 9, 923-937.

121. П. И. Лизоркин, Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы дифференцируемых функций, Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 117, (1972), 212-243.

122. Е. Mayerhofer, On the characterrization ofp-adic Colombeau-Egorou generalized functions by their point values, Mathematische Nachrichten, 280, no. 11, (2007), 1297-1301.

123. S. Mallat, Multiresolution representation and wavelets, Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA. 1988.

124. S. Mallat, An efficient image representation for multiscale analysis, In: Proc. of Machine Vision Conference, Lake Taho. 1987.

125. Y. Meyer, Ondelettes and fonctions splines, Séminaire EDP. Paris. December 1986.

126. Y. Meyer, Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algèbres d'opérateurs, Séminaire N. Bourbaki, 1985-1986, exp. no. 662, p.209-223.

127. D. Nikolic-Despotovié, S. Pilipovic, The quasiasymptotic expansion at the origin. Abelian-type results for Laplace and Stieltjes transform, Math. Nachr. 174, (1995), 231-238.

128. И. Я. Новиков , В. Ю. Протасов, M. А. Скопина, Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2005.

129. М. Oberguggenberger, Generalized functions in nonlinear models a survey, Nonlinear Analysis, 47 (2001), 5029-5040.

130. M. Oberguggenberger, Multiplication of distributions and applications to partial differential equations. Longman, Harlow, U.K., 1992.

131. M. Oberguggenberger and F. Russo, Nonlinear SPDEs: Colombeau solutions and pathwise limits. In: L. Decreusefond, J. Gjerde, B. Oksendal, and A. S. Ustiinel (eds.), Stochastic Analysis and Related Topics, VI, Birkhaeuser, Boston, 1998, pp. 319-332. . .

132. M. Oberguggenberger, M. Kunzinger, Characterization of Colombeau generalized functions by their pointvalues, Math. Nachr., 203, (1999), 147-157.

133. M. Oberguggenberger, S. Pilipovic, D. Scarpalezos, Local properties of Colombeau generalized functions, Math. Nachr., 256, 2003, 88-99.

134. E. Yu. Panov, V. M. Shelkovich, 5'-Shock waves as a new type of solutions to systems of conservation laws, Journal of Differential Equations, 228 , (2006), 49-86.

135. E. Ю. Панов, В. M. Шелкович, 5'-Ударные волны как новый тип сингулярных решений гиперболических систем законов сохранения, Докл. РАН, 407, по. 5, (2006), 595-599.

136. G. Parisi, p-Adic functional integral, Mod. Phys. Lett., A, 4, (1988), 369-374.

137. G. Parisi, N. Sourlas, p-adic numbers and replica symmetry breaking, The European Physical Journal B, 14, (2000), 535-542.

138. И.Г. Петровский, Лекции no теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва, Наука, 1970.

139. F. Pham, Singularités des processus de diffusion multiple, Annales de l'Institut Henry Poincaré, Section A., Physique Théorique, Vol. VI, no. 2, 1967, 89-204.

140. E. M. Радыно, Я. В. Радыно, Распределения и мнемофункции на аделях. Преобразование Фурье, Тр. МИАН, т. 245, 2004, 228-240

141. Hans Reiter, Jan D. Stegeman, Classical Harmonie Analysis and Locally Compact Groups, Oxford University Press; Second Edition edition, 2000.

142. A. M. Robert, A course in p-adic analysis, Graduate Texts in Math., vol. 198, Springer-Verlag, New York, 2000.

143. J. J. Rodri'guez-Vega and W. A. Zuniga-Galindo, Taibleson operators, p-adic parabolic equations and ultrametric diffusion, Pacific Journal of Mathematics, 237, (2008), no. 2, , 327-347.

144. B. G. Rubin, Fractional integrals and potentials, Addison Wesley Longman Limited, Edinburg Gate, Harlow Essex, 1996.V

145. W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, N.-Y., St. Louis, San Francisco, Sydney, Toronto, 1973.

146. С. Г. Самко, Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции, Мат. заметки, 21, по. 5, (1977), 677-689.

147. С. Г. Самко, О плотности в Lp(Rn) пространства Фу типа Лизоркина, Мат. заметки, 31, по. 6, (1982), 855-865.

148. S. G. Samko, Hypersingular integrals and their applications. Taylor & Francis, London, 2002.

149. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые из приложения, Минск: Наука и техника, 1987.

150. W. H. Schikhof, Ultrametric calculus. An introduction to p-adic analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

151. C. Schmieden, D. Laugwitz, Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Math. Z. 69 (1958), 1-39.

152. L. Schwartz, Sur limpossibilite de la multiplication des distributions, C.R. Acad. Sci: Paris, 239, (1954), 847-848.

153. E. Seneta, Regulary varying functions, Lecture Notes in Math., vol. 508, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

154. В. M. Шелкович, Одна ассоциативная алгебра распределений и мультипликаторов, ДАН СССР, 314, (1990), по. 1, 159-164.

155. В. М. Шелкович, А. П. Южаков, Структура одного класса асилттотических распределений В. К. Иванова, Известия ВУЗов, Математика, (1991), по. 4, 70-73.

156. В. M. Шелкович, Ассоциативно-коммутативная алгебра распределений, включающая мультипликаторы, и обобщенные решения нелинейных уравнений, Матем. заметки, 57, вып. 5, 1995, 765-783.

157. В. М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использующая гармонические регу-ляршшции, Матем. заметки, 63, по. 2, 1998, 313-316.

158. V. М. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11,2005, 1-23.

159. V. M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions (generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48-70.

160. V. M. Shelkovich, Delta-shock waves of a class of hyperbolic systems of conservation laws, in A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.), "Patterns and Waves", Akadem Print, St. Petersburg, 2003, 155-168.

161. В. M. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения типа 5- и 5'-ударных воли и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73-146.

162. V. M. Shelkovich, Delta-shocks, the Rankine-IIugoniot conditions, and singular superposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on Difraction'2004, June 29- July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175-196.

163. V. M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366-393.

164. Yu. AI. Shirokov, On microcovariance and microcausality. Nucl. Phys. 46 (1963), 617-638.

165. V. A. Smirnov, Renormalization inp-adic quantum mechanics, Modern Phys. Lett. A 6(15), (1991), 1421-1427.

166. M. H. Taibleson, Harmonic analysis on n-dimensional vector spaces over local fields. I. Basic results on fractional integration, Math. Annalen, 176, (1968), 191-207.

167. M. H. Taibleson, Fourier analysis on local fields. Princeton University Press, Princeton, 1975.

168. H. G. Tillman, Darstellung der Schwartzschen Distributionen durch analytische Funktionen, Math. Zeitschr., 77, (1961), 106-124.

169. H. Я. Виленкин, Обобщенные функции, в книге "Функциональный анализ" (Справочная Математическая Библиотека), под ред. С. Г. Крейна, М.: Наука, 1972, гл.Х.

170. В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, Москва, Наука, 1979.

171. В. С. Владимиров, О спектрах некоторых псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел, Алгебра и анализ, 2, по. 6, 1990, 107—124.

172. V. S. Vladimirov, p-Adic analysis and p-adic quantum mechanics, Ann. of the NY Ac. Sci.: Symposium in Frontiers of Math., 1988.

173. В. С. Владимиров, Обобщенные функции над полем р-адических чисел, Успехи Мат. Наук, 43, по. 3, 1988, 17-53.

174. В. С. Владимиров, Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций, Москва, Наука, 1986.

175. В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов, р-Адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. .

176. V. S. Vladimirov and I. V. Volovicli, p-Adic quantum mechanics, Commun. Math. Phys., 123, (1989), 659-676.

177. V. S. Vladimirov and I.V. Volovich, p-Adic Schrddinger-type equation, Lett. Math. Phys., 18, (1989), 43-53.

178. V. S. Vladimirov, and T. M. Zapuzhak, Adelic formulas for string amplitudes in fields of algebraic numbers, Lett. Math. Phys., 37, (1996), 232-242.

179. И. В. Волович, р-Адическое пространство-время и теория струн, ТМФ, 71, по. 3, 1987, 337340.

180. I. V. Volovich, p-Adic string, Class. Quant. Grav., 4, (1987), L83-L87.

181. А. И. Вольперт, Пространства BV и квазилинейные уравнения, Матем. Сборник, 73, (1967), 225-267.

182. A. JI. Якымив, Вероятностные приложения тауберовых теорем, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

183. A. I. Zaslavsky, Multidimensional analogue of Erdelyi lemma and the Radon transform, In E. Quinot, M. Cheney, P. Kuchment (Eds.), Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry. Lecture in Applied Mathematics, Vol. 30, 1994.

184. A. I. Zayed, Advances in Shannon's Sampling Theory. CRC Press, Boca Raton, 1993.

185. W. A. Zuniga-Galindo, Pseudo-differential equations connected with p-adic forms and local zeta functions, Bull. Austral. Math. Soc., 70, no. 1, (2004), 73-86.

186. W. A. Zuniga-Galindo, Fundamental solutions of pseudo-differential operators over p-adie fields. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 109, (2003), 241-245.

187. W. A. Zuniga-Galindo, p-Adie oscillatory integrals and Newton polyheAra, Rev. Acad. Colombiana Cienc. Exact. Fis. Natur. 28, (2004), no. 106, 95-99.