Линеаризация W-алгебр и интегрируемые дискретные и непрерывные иерархии с расширенной суперсимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Сорин, Александр Савельевич

• Сорин, Александр Савельевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сорин, Александр Савельевич

Введение

1 Конформная линеаризация нелинейных \¥-(супер)алгебр

1.1 Линеаризующиеся W(sl(N+2), sl(2)) и W(sl(N|2), sl(2)) (супер) алгебры

1.2 Вторичная линеаризация алгебр W(sl(N+2),H) 1.3 Линеаризующие алгебры для Wдг.

1.3.1 Линеаризующая алгебра для W3.

1.3.2 Линеаризующая алгебра для W4.

1.4 Линеаризующие алгебры для W(sl(N+2),sl(3)).

1.4.1 Реализации алгебры W3 по модулю нулевых полей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линеаризация W-алгебр и интегрируемые дискретные и непрерывные иерархии с расширенной суперсимметрией»

Тема представленных в диссертации исследований в значительной степени обусловлена многочисленными свидетельствами, возникающими из широкого круга полевых теорий и статистических моделей, что знание мощного формализма интегрируемых иерархий оказывается решающим для получения решений и восприятия новых идей, следующих из струнных и калибровочных теорий. Главной целью диссертации является развитие методов построения и исследования суперсимметричных интегрируемых моделей, нахождение их решений и линеаризации IV-(супер) алгебр.

Имеется несколько причин, стимулирующих изучение суперсимметричных иерархий с различным числом суперсимметрий N > 1, которые обобщают чисто бозонные (N = 0) интегрируемые иерархии. В настоящее время бозонные иерархии достаточно хорошо изучены, и их связь с физическими моделями (например, двумерной (2D) гравитацией и топологическими полевыми теориями) хорошо установлена. Напротив, имеющееся знание суперсимметричных интегрируемых иерархий пока еще достаточно скудно; в этом отношении ситуация весьма отличается от ситуации в конформных полевых теориях, где большое внимание уделялось суперсимметричным расширениям с JV > 1. Можно надеяться, что, как только понимание суперсимметричных интегрируемых иерархий станет удовлетворительным, это поможет прояснить их связь с физическими моделями, например с нетвистованными N = 2 конформными полевыми теориями, подобно связи, имеющей место между бозонными интегрируемыми иерархиями и топологическими полевыми теориями. Еще одна причина заключается в том, что этот предмет сам по себе представляет математическую проблему, которая полна интригующих неожиданностей типа, например, существования трех разных N = 2 суперсимметричных семейств интегрируемых иерархий с одной и той же супералгеброй N = 2 Wn в качестве их второй гамильтоновой структуры. Эта проблема оставалась загадкой в течение длительного времени. Другим источником интереса к расширенным суперсимметричным иерархиям является также и то, что они могли бы объединять известные бозонные иерархии.

Существует соответствие между аффинными и конформными W- (супер) алгебрами и иерархиями интегрируемых уравнений типа Кортевега-де Фриза (КдФ), нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и Кадомце-ва-Петвиашвили (КП), для которых эти (супер)алгебры обеспечивают вторые гамильтоновы структуры. Изучение таких иерархий позволяет проникать глубже в их математику и, следовательно, в структуру соответствующих теорий протяженных объектов, включая те, которые в настоящее время рассматриваются как кандидаты на предельную М-теорию. К универсальному классу 2D моделей, который естественным образом включает эти локальные симметрии и дает ключ для понимания взаимосвязей между ними (например, посредством гамильтоновой редукции), принадлежат модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и связанные с ними Тодовские системы. Должна существовать глубокая связь (которая все еще не до конца исследована) между этим важным классом интегрируемых 2D моделей (связанных, в свою очередь, со струнными теориями) и (супер)иерархиями типа КдФ, НУШ и КП.

Бозонные иерархии играют важную роль во многих физических теориях. Кажутся разумными попытки построения суперсимметричных аналогов таких физических теорий начиная именно с построения суперсимметричных расширений соответствующих бозонных иерархий. Например, давно поставленной и все еще не решенной проблемой является проблема построения суперсимметричных матричных моделей, чье критическое поведение описывало бы 2D суперконформную материю, взаимодействующую с квантовой супергравитацией. Перспективный подход состоит в эксплуатации суперсимметричных расширений интегрируемых иерархий, содержащихся, например, в эрмитовых матричных моделях, которые допускали бы реконструкцию для описания в терминах собственных значений. Так, известно, что тау функция полубесконечной бозонной иерархии Тоды (ограниченной Вирасоровскими связями) воспроизводит статистическую сумму одноматричной модели, которая описывает двумерную минимальную конформную материю, взаимодействующую с двумерной квантовой гравитацией (см. [1, 2] и приведенные там ссылки). Поэтому кажется разумным найти сначала нетривиальные суперсимметричные расширения иерархии Тоды, которая характеризует одноматричную модель, а затем на ее основе реконструировать соответствующую суперсимметричную модель собственных значений. Матричная формулировка таких моделей могла бы дать новое понимание проблемы квантования 2D супергравитации.

В последние годы проводились активные исследования интегрируемых иерархий с расширенной суперсимметрией, и существенный прогресс был достигнут в понимании общей структуры этих иерархий, взаимосвязи между ними и их связей с другими физическими и математическими концепциями и проблемами. Сейчас мы кратко опишем достигнутый прогресс.

Широкий класс решеточных уравнений Тоды, связанных с супералгебрами Ли, впервые рассматривался в пионерских работах [3, 4, 5, 6]. (см. также [7] и приведенные там ссылки). Затем было обнаружено несколько нетривиальных суперсимметричных расширений решеточной иерархии

Тоды [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], которые предлагают путь для построения соответствующих суперсимметричных моделей собственных значений. Эти иерархии могут быть важными для исследования старой и все еще нерешенной проблемы построения нетривиальной суперсимметричной матричной модели и/или модели собственных значений. В действительности, это было одним из мотивов для исследования в диссертации различных суперсимметризаций решеточной иерархии Тоды. Фактически, пока сделан только первый шаг в этом направлении.

Интегрируемое N = (1|1) суперсимметричное обобщение решеточной двумерной бозонной иерархии Тоды (2DTL иерархии) [20] было предложено в работах [8, 9]. Оно представляет собой бесконечную систему эволюционных (по двум бозонным и двум фермионным бесконечным "башням" времен) уравнений (потоков) для бесконечного набора решеточных бозонных и фермионных полей и содержит как подсистему N = (1|1) суперконформное интегрируемое обобщение 2DTL уравнения - N = (1|1) 2DTL уравнение. Позднее в работах [10, 11, 15, 17] были построены две новые бесконечные серии фермионных потоков N = (1|1) 2DTL иерархии и, как следствие, было установлено, что эта иерархия в действительности обладает более высокой симметрией, а именно N = (2|2) суперсимметрией [16, 17]. Эти потоки, совместно с ранее известными бозонными потоками N = (1|1) 2DTL иерархии, являются симметриями N — (2|2) 2DTL уравнения [10, 11, 15, 17].

Затем в работе [18] была решена проблема построения квазиклассического предела N = (1|1) 2DTL иерархии — N = (1|1) суперсимметричной бездисперсионной иерархии Тоды. Кроме чисто академического значения этой проблемы, интерес к ее решению связан с рядом важных физических и математических приложений. Речь идет, в частности, о квазиклассическом пределе бозонного прообраза N = (1|1) 2DTL иерархии — бездисперсионной 2DTL иерархии [21], представляющей собой объединение потоков 2DTL иерархии, возникающих в лидирующем приближении квазиклассического разложения, построенном в работе [22] (см. также обзор [23]). В качестве иллюстрации можно привести перечень возможных приложений бездисперсионной 2DTL иерархии:

1) построение ряда самодуальных вакуумных метрик и метрик Э йнштейна-Вей л я;

2) теория твисторов;

3) двумерная конформная и топологическая теория поля;

4) двумерная теория струн см., например, работы [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35] и приведенные там ссылки). Имея в виду глубокую связь между 2DTL и N = (1|1) 2DTL иерархиями, представляется естественным полагать, что и бездисперсионная N = (1|1) суперсимметричная: 2DTL иерархия найдет аналогичные приложения в суперсимметричных обобщениях перечисленных выше теорий. Последнее обстоятельство явилось немаловажным стимулом для построения бездисперсионной N — (1|1) 2DTL иерархии. Она может быть также значима и в контексте проблемы поиска интегрируемой структуры, лежащей в основе суперсимметричной полевой теории струн, подобно тому, как это имеет место для бозонной бездисперсионной иерархии Тоды по отношению к Виттеновской полевой теории струн [37], что было обнаружено совсем недавно в работе [36].

В работе [14] было предложено новое N = (0|2) суперконформное 2DTL уравнение, затем соответствующая ему иерархия интегрируемых высших потоков (N = (0|2) 2DTL иерархия) была построена в [17]. В действительности, ранее была получена и изучалась одномерная редукция этого уравнения [12, 38, 39, 40], обладающая N — 2 суперсимметрией, и построена соответствующая ей N = 2 1DTL иерархия [13]. Общие решения N=(2|2) и N=(0|2) 2DTL и 1DTL уравнений для случая одного или двух фиксированных концов были построены в работах [12, 38, 14, 15].

Существование трех различных семейств N — 2 иерархий с N = 2 супер Wn алгебрами в качестве их вторых гамильтоновых структур было установленно на примере N = 2 супер W2, W3 и W4 алгебр [41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. Одно из исследований было направлено на решение проблемы объяснения этого интригующего факта для N = 2 супер Wn алгебр с произвольным п и полного описания этих бесконечных семейств. Эта проблема была решена совсем недавно в серии работ [49, 50, 51, 52, 53, 54]. Сначала возможные бозонные пределы вышеупомянутых иерархий были проанализированы в [49], и как результат были получены три различных семейства соответствующих бозонных иерархий и их операторы Лакса. Затем полное описание в терминах супероператоров Лакса для двух из трех этих семейств было предложено в [50, 51], где их обобщение на матричный случай также было рассмотрено. И, наконец, наиболее сложное из трех этих семейств N = 2 иерархий (N = 2 суперсимметричные (1, s)-KdV иерархии), представляющее собой суперсимметризацию бозонных (l,s)-KdV иерархий, было построено в [52, 53] и затем получило дальнейшее развитие в [54].

Явно суперсимметричным способом работы с суперсимметричными моделями является их рассмотрение в терминах суперполей. Этот подход зарекомендовал себя как очень эффективный и при работе с интегрируемыми иерархиями с расширенной суперсимметрией. Такой подход был использован для изучения N = 2 расширений аффинных супералгебр sl(n\n — 1) в работе [55], где был развит метод гамильтоновой редукции в явно N = 2 суперсимметричной суперполевой форме и на его основе получен ряд новых N = 2 W-супералгебр. Подобно бозонному случаю, N = 2 суперсимметричная гамильтонова редукция является эффективным методом для построения и анализа конформных супералгебр типа N = 2W и соответствующих им иерархий.

Начиная с пионерской работы Замолодчикова [56], множество расширенных нелинейных конформных (супер)алгебр (И/Г-(супер)алгебр) было построено и изучено (см., например, [57] и приведенные там ссылки). Неослабевающий интерес к этому предмету в значительной степени мотивирован многими интересными применениями нелинейных (супер)алгебр в теории струн и интегрируемых системах. Однако присущая W-(супер) алгебрам нелинейность делает довольно трудным делом применение к их изучению стандартного арсенала методов, используемых в случае линейных (супер)алгебр при построении, например, их полевых реализаций.

Один из возможных путей преодоления этой трудности был предложен в серии работ [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65]. Так, там было обнаружено, что во многих случаях данная нелинейная W- (супер) алгебра с конечным числом токов может быть вложена в некоторую линейную конформную (супер)алгебру - линеаризующую алгебру, которая, как и исходная ТУ-(супер)алгебра, обладает конечным набором токов и содержит ее как подалгебру в некотором специальном нелинейном базисе. При этом важно, что токи исходной нелинейной ^-(супер)алгебры, определенным образом расширенные конечным набором новых токов, связаны обратимым преобразованием с токами линеаризующей алгебры, и, тем самым, большинство свойств нелинейной алгебры, а также свойств соответствующих теорий, построенных на основе последней, могут быть изучены более простым и эффективным способом исходя из ее линейного аналога. Соответствующая линейная конформная алгебра была названа линеаризующей алгеброй для исходной нелинейной И/Г-(супер)алгебры, а процедура построения линеаризующих алгебр - линеаризацией нелинейных W- (супер) алгебр.

Идея связать нелинейные И^-алгебры и линейные алгебры Ли рассматривалась также в работе [66], однако в альтернативном подходе к этой проблеме, развитом в работах [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], есть принципиальное отличие: рассмотренные там линеаризующие алгебры конформны, то есть они содержат алгебру Вирасоро как подалгебру. Более того, все токи линеаризующих алгебр примарны относительно Вирасо-ровского тока. Чтобы подчеркнуть это весьма примечательное свойство предложенной там линеаризационной процедуры, она получила название конформной линеаризации.

Здесь следует отметить, что впоследствии альтернативный подход к конформной линеаризации развивался в работах [67, 68] в рамках квантовой вторичной гамильтоновой редукции. Однако линеаризация (су-пер)алгебр W(sl(N),sl(2)) и W(sl(N|2), sl(2)) там не рассматривалась, поскольку используемый метод не позволял рассматривать токи с отрицательными конформными весами, что необходимо для данного случал.

Следует также отметить, что явное построение конформной линеаризации было выполнено на примерах многих нелинейных (супер)алгебр [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 65], и во всех изученных случаях конформные линеаризующие алгебры более экономны, то есть содержат меньше токов по сравнению с соответствующими алгебрами работы [66]. Помимо того, что конформные линеаризующие алгебры весьма эффективны для того, чтобы с их помощью получать более широкий класс полевых реализаций нелинейных алгебр [58, 60, 63, 64, 65], они также обеспечивают подходящую основу как для построения новых струнных теорий, так и для изучения вложения Вирасоровской струны в струны 1У-типа [69, 70, 71, 72].

1У-супералгебры естественным образом генерируют суперсимметричные иерархии интегрируемых уравнений, для которых они обеспечивают вторую гамильтонову структуру, и тесно связанная проблема состоит в построении и изучении новых систем подобного типа. Основные новые результаты, полученные на этом пути, следующие.

N = 1 суперсимметричная КП иерархия Манина-Радула [73] является N = 1 суперсимметричным обобщением бозонной иерархии КП, и N = 1 суперсимметричная КдФ иерархия возникает в результате ее редукции. Начиная с самого начального момента появления этих двух иерархий, они привлекали постоянное внимание исследователей как по чисто формальным причинам, так и благодаря существованию множества приложений. В течение последних лет были предложены несколько обобщений суперсимметричной иерархии КП Манина-Радула [74, 75, 76]. Кроме бозонных симметрий, они обладают также рядом новых фермионных симметрий. Недавно широкий класс различных новых редукций N = 1 КП иерархии Манина-Радула был предложен в [77] и [78, 79], где были построены новые бозонные и фермионные потоки иерархии, совместные с исходной алгебраической структурой N = 1 КП иерархии. Эти редукции являются суперсимметричными аналогами редукций обычной бозонной иерархии КП. Обеспечение совместности этих редукций с фермионными изоспектраль-ными потоками Манина-Радула потребовало нетривиальной модификации последних при сохранении их алгебраической структуры. В отличие от случая нередуцированной иерархии, преобразования Дарбу-Бэклунда сохраняют фермионные изоспектральные потоки редуцированных иерархий. Поэтому, описание в терминах орбит Дарбу-Бэклунда было использовано существенным образом. Как результат, были найдены явные Бе-резинианные решения для супер тау функций (суперсолитоны) этих моделей. Систематическое описание всех суперсолитонов этих моделей и более полное понимание их особенностей является интересной открытой проблемой.

Построение интегрируемых систем, обладающих высшими N > 3 су-персимметриями, представляет собой очень сложную задачу. Так, до недавнего времени были известны лишь несколько интегрируемых иерархий типа КдФ, обладающих N = 4 суперсимметрией [80, 81, 82, 83]. Недавно в работах [84, 85, 86, 87, 88] была предложена комплексифици-рованная N = 4 суперсимметричная иерархия КП в N = 2 суперпространстве, и широкий класс ее N = 4 редукций был описан в Лаксов-ском формализме. Это примечательное достижение было инспирировано главным образом важной работой [77], где проблема фермионных потоков впервые рассматривалась на основе симметрий Дарбу-Бэклунда и Лаксовских представлений. Примечательно, что суперсимметричная КП иерархия в N = 2 суперпространстве в действительности является N — 4 суперсимметричной. Удвоение числа суперсимметрий также происходит и в N = 1 суперпространстве, где суперсимметричная КП иерархия фактически является N = 2 суперсимметричной [78, 79].

В серии работ [89, 90, 49, 51, 91, 92] в рамках псевдодифференциального и супералгебраического подходов был предложен и изучен новый бесконечный класс интегрируемых N = 2 неограниченных суперсимметричных матричных иерархий обобщенных нелинейных уравнений Шредингера (МОНУШ). Для этого класса были построены рекурсионные операторы, а также изучены его киральные редукции, допускающие би-гамильтоново описание, и их дискретные симметрии.

Настоящая диссертация состоит из шести глав и заключения и может быть условно разделена на три части. Глава 1 посвящена изложению метода конформной линеаризации нелинейных W-(супер)алгебр. Главы 2, 3 и 6 посвящены исследованию дифференциальных (непрерывных) интегрируемых иерархий с расширенными суперсимметриями, возникающими в результате различных редукций суперсимметричной иерархии КП в N = 2 суперпространстве. Главы 4 и 5 посвящены исследованию дискретных интегрируемых иерархий Тодовского типа с расширенными суперсимметриями и изучению их квазиклассического (непрерывного) предела. Несмотря на внешние различия, эти три части, тем не менее, взаимосвязаны между собой и в значительной степени дополняют друг друга. Так, как это уже было отмечено выше, нелинейные (су-пер)алгебры являются гамильтоновыми структурами для соответствующих интегрируемых иерархий, в то время как первые потоки дискретных интегрируемых иерархий Тодовского типа как правило представляют собой дискретные симметрии для соответствующих дифференциальных (непрерывных) интегрируемых иерархий. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 36, 38, 39, 40, 49, 51, 52, 53, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94].

В Главе 1 разработан метод конформной линеаризации нелинейных W- (супер) алге бр.

В разделе 1.1 мы строим конформные линеаризующие (супер)алгебры для (супер)алгебр W{sl(N + 2), sl(2)) и W(sl(N\2), sl(2)) (u(N)~суперконформной).

В разделе 1.2 развивается метод конформной линеаризации нелинейных W-(супер)алгебр, в рамках которого найдены общие формулы для токов конформных линеаризующих алгебр для нелинейных алгебр серии W(sl(N),H) (Hcsl(N)).

В разделах 1.3 и 1.4 общий подход раздела 1.2 применен к сериям нелинейных алгебр W{sl(N), sl(N)) {WN [102]) и W(sl(N), sl(3)) соответственно, а также строятся новые реализации для алгебр Ws, W4 и W(sl(N), sl(3)), включая реализации по модулю нуль-полей для алгебры

Wz.

В разделе 1.5 суммированы основные результаты, полученные в этой главе.

Глава 2 посвящена описанию нового семейства N — 2 суперсимметричных интегрируемых иерархий (N = 2 суперсимметричных неограниченных матричных (&|п, т) иерархий обобщенных нелинейных уравнений Шредингера (МОНУШ)), представляющего собой суперсимметричное обобщение бозонной матричной иерархии обобщенных нелинейных уравнений Шредингера.

В разделе 2.1 это достигается путем задания матричных псевдодифференциальных операторов Лакса в N = 2 суперпространстве в терминах N = 2 неограниченных матрично-значных суперполей. Затем, в рамках псевдодифференциального подхода, для этого семейства строятся гамильтонианы и вещественные формы в действительном N — 2 суперпространстве.

В разделе 2.2 мы устанавливаем супералгебраическое описание этого семейства в терминах супералгебры sl(2k + п\2к + т), и на этой основе строим его бозонные и фермионные симметрии, их супералгебру, а также рекурсионный оператор, связывающий все эволюционные уравнения, принадлежащие семейству.

В разделе 2.3 мы описываем несколько нетривиальных редукций этого семейства, одна из которых есть семейство N = 2 суперсимметричных киральных (к\п, т)-МОНУШ иерархий, для которого мы строим би-га-мильтоново описание и описываем его дискретные симметрии, представляющие собой решеточные уравнения Тодовского типа. Далее установлена редуция N = 2 (1|1,0)-МОНУШ иерархии в N = 2 а = 1 КдФ иерархию и на этой основе построен рекурсионный оператор и би-га-мильтонова формулировка для последней.

Исходя из матричных псевдодифференциальных операторов Лакса, параметризованных N = 2 неограниченными матрично-значными суперполями в N = 2 суперпространстве, в Главе 3 мы изучаем различные редукции N = 2 суперсимметричной матричной КП иерархии, характеризуемые конечным и бесконечным числом полей.

Мы приходим к этим редукциям в разделе 3.1 из анализа возможных бозонных пределов для семейства скалярных N = 2 суперсимметричных иерархий с N = 2 супер Wn алгебрами в качестве их вторых гамиль-тоновых структур. В результате анализа мы получаем три различные семейства соответствующих бозонных иерархий и их операторы Лакса.

Затем, в разделе 3.2 мы предлагаем их описание в терминах супероператоров Лакса, тем самым решая давнюю проблему описания трех семейств N = 2 суперсимметричных иерархий с N = 2 супер Wn вторыми гамильтоновыми структурами, существование которых являлось интригующим фактом в течении долгого времени. Примечательным свойством N ~ 2 суперсимметричной матричной КП иерархии является то, что она допускает несколько редукций, характеризуемых бесконечным числом полей, одну из которых мы называем киральной N = 2 суперсимметричной КП иерархией.

Глава 4 посвящена построению решений уравнений симметрий для N = (0|0), N = (2|2) и N = (0|2) суперсимметричных 2DTL уравнений, исследованию их одномерных редукций, а также нахождению их решений.

В разделах 4.1 и 4.2 развивается алгоритм построения бозонных и фермионных симметрий решеточного двумерного бозонного уравнения Тоды (2DTL) и N = (1|1) суперсимметричного 2DTL уравнения соответственно, исходящий из знания соответствующих этим уравнениям интегрируемых иерархий - 2DTL [20] и N = (1|1) 2DTL (STL) [8] иерархий соответственно. Эти иерархии представляют собой бесконечную систему эволюционных уравнений (потоков) для бесконечного набора решеточных бозонных и фермионных полей, содержащих как подсистемы уравнения 2DTL и N = (1|1) 2DTL соответственно. Более того, мы также устанавливаем алгебры этих симметрий и показываем, что N = (1|1) 2DTL иерархия в действительности обладает более высокой симметрией, а именно N = (2|2) суперсимметрией, и поэтому может называться N. = (1(1) 2DTL иерархией.

Далее, в разделе 4.3 мы решаем проблему построения решений уравнения симметрии, соответствующего новому интегрируемому суперсимметричному уравнению (N = (0|2) суперсимметричному 2DTL уравнению), предлагаемому в диссертации. Так, сначала мы предлагаем новую N = (0|2) суперсимметричную 2DTL иерархию, которая содержит N = (0|2) 2DTL уравнение как подсистему, а затем, в рамках ранее развитой схемы, строим его бозонные и фермионные симметрии, их алгебру, а также обсуждаем N = (0|2) суперполевую формулировку N = (0|2) 2DTL иерархии и в качестве иллюстрации явно представляем новое N = (0|2) суперсимметричное обобщение уравнения Давье-Стевартсона [95], являющееся вторым бозонным потоком этой иерархии. В N = (0|2) суперполевом представлении мы также демонстрируем, что N = (0|2) 2DTL уравнение обладает N = (0,2) суперконформной симметрией.

Раздел 4.4 посвящен обобщению: мы предлагаем широкий класс новых суперсимметричных интегрируемых иерархий, первый представитель которых —N = (0|2) 2DTL иерархия.

В разделе 4.5 мы обсуждаем одномерную редукцию N = (0|2) 2DTL иерархии - N=2 1DTL иерархию, и строим ее би-гамильтонову структуру и рекурсионный оператор.

Раздел 4.6 посвящен построению общих решений для N=(2|2) и N=(0|2) 2DTL уравнений в случае одного или двух фиксированных концов.

Главы 5 посвящена изучению квазиклассического (непрерывного) предела N = (1|1) 2DTL иерархии.

В параграфе 5.1 мы предлагаем новую обобщенную градуированную скобочную операцию на пространстве градуированных операторов с инволюцией, обобщающую градуированный коммутатор для супералгебр, описываем ее свойства и приводим соответствующие обобщенные тождества Якоби. Затем мы переписываем представление Лакса N = (ljl) 2DTL иерархии, а также все основные определяющие его соотношения в терминах обобщенной градуированной скобки.

В параграфе 5.2 определяется квазиклассический предел N = (1|1) 2DTL иерархии и постулируется соответствующее асимптотическое поведение фермионных и бозонных полей, параметризующих операторы Лакса. Затем, с помощью этих данных мы вычисляем асимптотическое поведение всех композитных операторов, входящих в представление Лакса, и соответствующие ему полевые эволюционные уравнения, являющиеся, по определению, потоками бездисперсионной N = (1|1) 2DTL иерархии. Следующий шаг — моделирование суперскобки Пуассона на фазовом суперпространстве, представляющем собой фазовое пространство бездисперсионной 2DTL иерархии, расширенное одной Грассмано-вой координатой. И наконец, заменяя операторы Лакса на их символы, а обобщенную градуированную скобку на указанную суперскобку Пуассона в представлении Лакса для N = (1|1) 2DTL иерархии и во всех определяющих его соотношениях, мы получаем представление Лакса бездисперсионной N = (1|1) 2DTL иерархии.

В Главе 6 предложена комплексифицированная N = 4 суперсимметричная матричная иерархия КП и описан широкий класс ее редукций, характеризующихся конечным числом полей. Этот класс включает одномерную редукцию двумерной N = (2|2) суперсимметричной решеточной иерархии Тоды, обладающей вещественной N = 4 суперсимметрией (jV = 4 иерархию Тоды), которая может быть важной в контексте проблемы построения суперсимметричных матричных моделей.

В разделе 6.1 мы развиваем псевдодифференциальные методы для описания интегрируемых систем с N — 4 суперсимметрией. Так, в рамках подхода одевания, исходя из комплексифицированной суперсимметричной иерархии КП в N = 2 суперпространстве, мы демонстрируем, что она в действительности обладает N = 4 суперсимметрией. Затем, исходя из представления нулевой кривизны для уравнения N = (2j2) суперконформной решетки Тоды, мы получаем оператор Лакса, генерирующий бозонные потоки суперсимметричной иерархии Тоды.

Используя этот оператор Лакса, в разделе 6.2 мы строим непротиворечивые редукции для всех потоков N = 4 суперсимметричной иерархии КП, сохраняя алгебраическую структуру последней, ее различные вещественные формы и показываем, что редуцированная иерархия (N — 4 иерархия Тоды) обладает N = 4 суперсимметрией. Затем мы устанавливаем ее связь с N = 4 суперсимметричной иерархией КдФ, обсуждаем ее вторичную редукцию в N = 2 а = —2 суперсимметричную иерархию КдФ и предлагаем широкий класс ее матричных Л^ = 4 обобщений.

В разделе 6.3 мы строим представление Лакса в N = 4 суперпространстве для бозонных и фермионных потоков этой иерархии, вещественные формы в действительном iV = 2 и N = 4 суперпространствах (одна из них обладает вещественной N=4 суперсимметрией), локальные и нелокальные гамильтонианы, конечные и бесконечные дискретные симметрии, первые две гамильтоновы структуры и рекурсионный оператор, связывающий все эволюционные уравнения и гамильтоновы структуры N = 4 иерархии Тоды.

В Заключении суммированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, ФИРАН (Москва), ИФВЭ (Протвино), на семинарах в Университетах и Физических институтах гг. Харьков (Украина), Берлин, Бремен, Ганновер, Мюнхен, Бонн и Падеборн (Германия), Твенте (Голландия), Лече, Милан, Падуя, Пиза, Триест, Турин и Фраскати (Италия), Вроцлав (Польша), Лион, Монтпелье, Орсэй и Париж (Франция), ЦЕРН (Женева), были представлены на Международных совещаниях "Quantum groups. Formalism and applications" (Карпач, Польша, 1994), "New symmetries and integrable models" (Карпач, Польша, 1999), "Проблемы квантовой теории поля" (Алушта, 1996), "Theory of elementary particles" (Буков, Германия, 1996), "Finite dimensional integrable systems" (Дубна, 1994),

Квантовая гравитация" (Москва, 1995), "Superstrings and Quantum Gravity" (Дубна, 1999, 2000, 2001), "Supersymmetry and Quantum symmetries" (Дубна, 1994,1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000), "Group Theoretical Methods in Physics" (Дубна, 1996, 1998, 2000), "Integrable Hierarchies and Modern Physical Theories" (Чикаго, США, 2000), "Integrable Field Theories, Solitons and Duality" (Сан Паулу, Бразилия, 2002), "Classical and quantum Integrable Systems" (Протвино, 2000, 2003).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сорин, Александр Савельевич

Заключение

Кратко подведем основные итоги диссертации.

Предложен метод конформной линеаризации широкого класса нелинейных Ж-(супер)алгебр. Он основан на наблюдении, что во многих случаях данная нелинейная W-(супер)алгебра с конечным числом токов может быть вложена в некоторую линейную конформную (супер)алгебру - линеаризующую алгебру, которая, как и исходная Ж-(супер)алгебра, обладает конечным набором токов и содержит ее как подалгебру в некотором специальном базисе. При этом важно, что токи исходной нелинейной W-(супер)алгебры, определенным образом расширенные конечным набором новых токов, связаны обратимым преобразованием с токами линеаризующей алгебры, и, тем самым, большинство свойств нелинейной алгебры, а также свойств соответствующих теорий, построенных на основе последней, могут быть изучены более простым и эффективным способом, исходя из ее линейного аналога. Помимо того, что конформные линеаризующие алгебры весьма эффективны для получения более широкого класса полевых реализаций нелинейных алгебр, они также обеспечивают подходящую основу как для построения новых струнных теорий, так и для изучения вложения Вирасоровской струны в струны ТУ-типа.

Найден широкий класс N = 2 и N = 4 суперсимметризаций обобщенных матричных иерархий КП, КдФ, НУШ и Тоды. Существенный прогресс достигнут в понимании общей структуры этих иерархий, взаимосвязи между ними и их связей с другими физическими и математическими концепциями и проблемами. Эти иерархии могут быть важны для исследования старой и все еще не решенной проблемы построения нетривиальной суперсимметричной матричной модели и/или модели собственных значений, что было одним из немаловажных стимулов для их построения.

Построен N = 4 суперполевой базис для N = 4 суперсимметричной иерархии Тоды, в котором потоки локальны, и найдено его вложение в N = 4 0(4) суперконформный суперток, что может быть важным в связи с давней нерешенной проблемой построения N = 4 0(4) суперконформной иерархии КдФ (если существует).

Решена проблема построения квазиклассического предела N = (1|1) 2DTL иерархии — А^ = (1|1) суперсимметричной бездисперсионной иерархии Тоды. Кроме чисто академического значения этой иерархии, интерес к ней связан с рядом возможных важных физических и математических приложений, аналогичных приложениям ее бозонного прообраза — бездисперсионной 2DTL иерархии, например, для построения ряда самодуальных вакуумных метрик и метрик Эйнштейна-Вейля, теории тви-сторов, двумерной конформной и топологической теории поля, двумерной теории струн. Имея в виду глубокую связь между 2DTL и N = (1|1) 2DTL иерархиями, представляется естественным полагать, что и бездисперсионная N = (1|1) суперсимметричная 2DTL иерархия найдет аналогичные приложения в суперсимметричных обобщениях перечисленных выше теорий. Она может быть также значима и в контексте проблемы поиска интегрируемой структуры, лежащей в основе суперсимметричной полевой теории струн, подобно тому, как это имеет место для бозонной бездисперсионной иерархии Тоды по отношению к Виттеновской полевой теории струн, что было обнаружено нами совсем недавно.

Предложена новая обобщенная градуированная скобочная операция на пространстве градуированных операторов с инволюцией, которая определена в достаточно общих терминах, чтобы иметь широкий спектр приложений. Одним из мотивов для ее введения послужила проблема построения квазиклассического (непрерывного) предела N = (1|1) 2DTL иерархии, в решении которой эта скобочная операция сыграла ключевую роль.

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Разработан метод конформной линеаризации нелинейных W (супер) алгебр. На основе этого метода получены линеаризующие конформные алгебры для широкого класса W-(супер)алгебр и построены их новые полевые реализации.

• Решена проблема Лаксового описания трех различных бесконечных семейств интегрируемых N = 2 суперсимметричных иерархий с N = 2 супер Wn алгебрами в качестве их вторых гамильтоновых структур.

• Описан широкий класс редукций матричной суперсимметричной иерархии КП в N = 2 суперпространстве, характеризуемых конечным и бесконечным числом полей.

• Предложен бесконечный класс интегрируемых N = 2 неограниченных суперсимметричных матричных иерархий обобщенных нелинейных уравнений Шредингера — N = 2 (к\п, т)-МОНУШ. Найдено его псевдодифференциальное и супералгебраическое описания, построены рекурсионные операторы, а также изучены его кираль-ные редукции, допускающие би-гамильтоново описание, и их дискретные симметрии, представляющие собой решеточные суперсимметричные уравнения Тодовского типа. Установлена редуция иерархии N = 2 (1|1, 0)-МОНУШ в иерархию N = 2 а = I КдФ и построен рекурсионный оператор и би-гамильтонова формулировка для последней.

Предложена новая интегрируемая N = (0|2) суперсимметричная решеточная иерархия Тоды, а также широкий класс ее интегрируемых обобщений. Новые N = (0|2) суперсимметичные уравнения — N = (0|2) суперконформное 2DTL уравнение и N = (0|2) уравнение Давье-Стевартсона — являются ее первыми нетривиальными подсистемами.

Построены бозонные и фермионные решения уравнений симметрий, соответствующих двумерным N = (0|0), N = (0|2) и TV = (2|2) суперконформным решеточным уравнениям Тоды, и найдена их максимальная суперполевая формулировка.

Построены общие решения двумерных N = (0|2) и N = (2|2) суперконформных решеточных уравнений Тоды в случае одного или двух фиксированных концов.

Предложена новая градуированная скобочная операция на пространстве градуированных операторов с инволюцией, обобщающая градуированный коммутатор для супералгебр.

Получена новая форма представления Лакса для суперсимметричных решеточных иерархий Тоды в терминах обобщенной градуированной скобки, что важно для построения их квазиклассических асимптотик.

Построена бездисперсионная (непрерывная) N = (1|1) суперсимметричная иерархия Тоды, которая может быть значима в контексте проблемы поиска интегрируемой структуры, лежащей в основе суперсимметричной полевой теории струн.

Предложен широкий класс комплексифицированных N = 4 суперсимметричных интегрируемых иерархий.

• Предложено Лаксово и би-гамильтоново описание N = 4 суперсимметричной иерархии Тоды BiV = 2niV = 4 суперпространствах, получены ее бозонные и фермионные симметрии, вещественные формы и установлена ее связь с иерархией N = 4 КдФ. Построен N = 4 суперполевой базис, в котором потоки локальны, и найдено его вложение в N = 4 0(4) суперконформный суперток, что может быть важным в связи с давней нерешенной проблемой построения N = 4 О(4) суперконформной иерархии КдФ (если существует) .

В заключение хочу выразить глубокую признательность моим коллегам Ч. Ану, С. Беллуччи, Л. Боноре, Ф. Дельдуку, В.Б. Дерягину, Е.А. Иванову, В.Г. Кадышевскому, П. Керстену, С.О. Кривоносу, А.Н. Лез-нову и О. Лехтенфельду, в сотрудничестве с которыми выполнен ряд вошедших в диссертацию работ.

Я сердечно благодарен X. Аратин, И.А. Бандосу, А.А. Белавину, Л.В. Богданову, М.А. Васильеву, Ф. Гомес, А.С. Горскому, Г.М. Зиновьеву, Б.М. Зупнику, В.И. Иноземцеву, А.П. Исаеву, В.А. Казакову, Б.Г. Коно-пельченко, Е.А. Кочетову, И.С. Красильщику, П.П. Кулишу, Е. Лукер-скому, Ф. Магри, А.В. Маршакову, П. Менотти, А.Д. Миронову, А.Ю. Морозову, А.П. Нерсессяну, М.А. Ольшанецкому, С.З. Пакуляку, А.И. Пашневу, 3. Поповичу, А.В. Разумову, A.M. Семихатову, В.В. Соколову, Д.П. Сорокину, М. Тонину, Ф. Топпану, В.Я. Файнбергу, В.А. Фатееву, А.Т. Филиппову, Б. Фухштейнеру, П. Фрэ, А.Х. Цимерману, С. Шуто за полезные обсуждения на разных этапах работы над диссертацией.

Я также глубоко признателен руководству Лаборатории теоретической физики имени Н.Н. Боголюбова в лице А.Т. Филиппова и Д.В. Шир-кова, а также центральной дирекции Объединенного Института Ядерных Исследований в лице В.Г. Кадышевского и А.Н. Сисакяна, без поддержки которых эта работа не могла бы быть успешной.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сорин, Александр Савельевич, 2003 год

1. А. Морозов,Интегрируемость и матричные модели, УФН 37 (1994) 1; Matrix models as integrable systems, hep-th/9502091.

2. H. Aratyn, E. Nissimov and S. Pacheva, Constrained KP hierarchies: additional symmetries, Darboux-Backlund solutions and relations to multi-matrix models, Int. J. Mod. Phys. A12 (1997) 1265.

3. M.A. Olshanetsky, Supersymmetric two-dimensional Toda lattice, Commnn. Math. Phys. 88 (1983) 63.

4. D.A. Leites, M.V. Saveliev and V.V. Serganova, Embeddings o/osp(l|2) and the associated nonlinear supersymmetric equations, in: Group theoretical methods in physics, Vol. I (Ynrmala, 1985), pp. 255-297, VNU Sci. Press, Utrecht, 1986.

5. V.A. Andreev, Supersymmetric generalized Toda lattice, in: Group theoretical methods in physics, Vol. 1 (Yurmala, 1985), pp. 315-321, VNU Sci. Press, Utrecht, 1986.

6. B.A. Андреев, Нечетные базисы супералгебр Ли и интегрируемые уравнения, ТМФ 72 (1987) 112.

7. J. Evans and Т. Hollowood, Supersymmetric Toda field theories, Nucl. Phys. B352 (1991) 723; Erratnm-ibid. B382 (1992) 662.

8. K. Ikeda, A supersymmetric extension of the Toda lattice hierarchy, Lett. Math. Phys. 14 (1987) 321;

9. The super-Toda lattice hierarchy, RIMS 25 (1989) 829.

10. К. Takasaki, Differential algebras and D-modules in super Toda lattice hierarchy, Lett. Math. Phys. 19 (1990) 229.

11. A.N. Leznov and A.S. Sorin, Two-dimensional superintegrable mappings and integrable hierarchies in the (2|2) superspace,

12. Phys. Lett. B389 (1996) 494.

13. A.N. Leznov and A.S. Sorin, Integrable mappings and hierarchies in the (2|2) superspace, Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) B56 (1997) 258.

14. A.N. Leznov and A. Sorin, The solution of the N = 2 supersymmetric f-Toda chain with fixed ends, Phys. Lett. B402 (1997) 87.

15. L. Bonora and A. Sorin, The N=2 supersymmetric Toda lattice, Nucl. Phys. B521 (1998) 444.

16. V.B. Derjagin, A.N. Leznov and A. Sorin, The solution of the N — (0|2) superconformal f-Toda lattice, Nucl. Phys. B527 (1998) 643.

17. O. Lechtenfeld and A. Sorin, Fermionic flows and tau function of the N — (1|1) superconformal Toda lattice hierarchy, Nucl. Phys. B557 (1999) 535.

18. O. Lechtenfeld and A. Sorin, Hidden N = (2|2) supersymmetry of the N = (1|1) supersymmetric Toda lattice hierarchy, J. Nonlinear Math. Phys. 8 (2001) 183.

19. V.G. Kadyshevsky and A.S. Sorin, Supersymmetric Toda lattice hierarchies, in Integrable Hierarchies and Modern Physical Theories (Eds. H. Aratyn and A.S. Sorin), Kluwer Acad. Publ., Dordrecht/Boston/London, (2001) 289-316, nlin.SI/0011009.

20. В.Г. Кадышевский и А.С. Сорин, N = (l|l) супер симметричная бездисперсионная решеточная иерархия Тоды, ТМФ 132 (2002) 222.

21. V.G. Kadyshevsky and A.S. Sorin, "Continuum limit of the N = (1|1) supersymmetric Toda lattice hierarchy", JHEP Proceedings, PrHEP un-esp2002, Workshop on Integrable Theories, Solitons and Duality, 1-6 July 2002, Sao Paulo, Brazil.20