Лавинообразная динамика магнитного потока и самоорганизация критического состояния в дискретных сверхпроводниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Савицкая, Наталья Евгеньевна

• Савицкая, Наталья Евгеньевна
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Савицкая, Наталья Евгеньевна

Введение ^ б

1 Дискретные сверхпроводники и модель кучи песка

1.1 Одноконтактный СКВИД.

1.2 Абелева модель кучи песка.

1.3 Двумерный многоконтактный СКВИД.

1.4 Самоорганизация критического состояния в двумерном многоконтактном СКВИДе.

1.5 Итоги Главы 1.

2 Модель одномерного дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, помещенного во внешнее магнитное поле

2.1 Основные уравнения

2.2 Модель кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью

2.3 Возникновение самоорганизации критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе как следствие случайного расположения контактов

2.4 Итоги Главы 2.

3 Критическое состояние одномерного многоконтактного

СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, при различных значениях основного параметра системы

3.1 Структура критического состояния одномерного многоконтактного СКВИДа при различных значениях параметра V.

3.2 Структура лавин в критическом состоянии в одномерном дискретном сверхпроводнике.

3.3 Статистика размеров лавин в критическом состоянии в одномерном дискретном сверхпроводнике и самоорганизованная критичность.

3.4 Итоги Главы

4 Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике с внутренней пространственной стохастичностью

4.1 Основные уравнения.

4.2 Статистика размеров лавин магнитного потока в критическом состоянии.

4.3 Статистика різменений внешнего магнитного поля

4.4 Независимость размера лавины от изменения внешнего поля, ее вызвавшего.

4.5 Итоги Главы 4.

5 Природа самоорганизации критического состояния в дискретных сверхпроводниках

5.1 "Возвратные" лавины, "ловушки" и "скользящие" конфигурации в модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью.

5.2 Итог Главы 5.

6 Самоорганизация критического состояния в потенциальных и непотенциальных системах

6.1 Новый класс моделей кучи песка.

6.2 Потенциальные системы

6.3 Непотенциальные системы.

6.4 Итоги Главы 6.

7 Самоорганизация критического состояния в физических системах, описываемых дифференциальными уравнениями

7.1 Самоорганизация критического состояния в асимметричной системе.

7.2 Самоорганизация критического состояния в "двухмасштаб-ной" системе.

7.3 Итоги Главы 7.

8 Самоорганизация и 1//-шум

8.1 Модель и результаты компьютерного моделирования

8.2 Итоги Главы 8.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Лавинообразная динамика магнитного потока и самоорганизация критического состояния в дискретных сверхпроводниках»

Около трех десятилетий назад Чарльзом Бином была предложена модель критического состояния жесткого сверхпроводника второго рода [1], сверхпроводящей системы с искусственными или естественными дефектами (центрами пиннинга), способными останавливать движение магнитных вихрей, вызванное силой магнитного давления, возникающей в результате внешнего воздействия на систему. Вихрь представляет собой такое распределение магнитного поля, при котором оно максимально в центре вихря и убывает по мере удаления от него. С каждым из таких вихрей связан квант потока магнитного поля Фо- Согласно модели Ч. Бина, в результате уравновешивания сил магнитного давления и пиннинга, действующих на вихрь, в образце возникает критическое состояние, в котором плотность вихрей максимальна у краев образца и линейно спадает к его центру.

Вскоре после построения данной модели, Поль Де Жен [2] заметил сходство картины поведения магнитного поля в сверхпроводнике с динамикой кучи песка. Тогда же он высказал утверждение, что, как при превышении наклоном кучи критического значения песок начинает соскальзывать вниз, образуя лавины, так и в жестких сверхпроводниках второго рода в надкритическом состоянии, когда сила магнитного давления, стремящаяся сорвать вихри с центров пиннинга, превысит силу пиннинга, должны возникать связки, состоящие из десятков и сотен вихрей, движущихся с поверхности сверхпроводника к центру образца. Однако эксперименты по обнаружению лавин в сверхпроводниках и изучению распределения их размеров появились лишь в последние годы благодаря развитию новых экспериментальных методик. В ряде экспериментов по изучению критического состояния жестких сверхпроводников второго рода, а также дискретных сверхпроводников (многоконтактных СКВИДов), действительно, была обнаружена лавинообразная динамика магнитного потока [3]—[5].

Первые работы по экспериментальному изучению лавин магнитного потока были сделаны С. Филдом [3] с соавторами. В этих экспериментах полый цилиндр из сплава NbTi помещался во внешнее магнр1тное поле, приложенное вдоль его оси, на внутренней поверхности цилиндра была помещена измерительная катушка. Внешнее магнитное поле изменялось со скоростью 5 э/с внутри некоторого интервала величин. Напряжение, возникающее при этом в катушке, регистрировалось компьютером. Эксперимент проводился для трех различных интервалов изменения внешнего поля. Во всех случаях наблюдались лавины магнитного потока, размеры которых демонстрировали степенное распределение (рисунок 1). Размер лавины определялся как s rî /Ф, где I — это размер участка трубки, на котором было зарегистрировано "вытекание" вихрей (лавина), а Ф — величина "вытекшего" потока, которая определялась из зарегистрированного напряжения: U = n(dQ/dt), где п — IN/L — число витков, в которых регистрировалось напряжение, N — полное число витков в обмотке, L — длина обмотки. Тогда s = (L/N)fUdt. к»

JÔ о. s 0 01 тсо mua îooso s = Number of Vortices in Avafonche

Рисунок 1: Функция распределения размеров лавин, полученная в работе [3]. Лавины демонстрируют степенное распределение, что может свидетельствовать о реализации в системе самоорганизованного критического состояния. На врезке изображена схема экспериментальной установки

Непосредственное измерение размера лавины с учетом каждого вовлеченного в нее вихря было сделано в экспериментах с применением датчиков Холла [6]—[9]. Лавинообразный процесс проявлялся в этом случае как ступенька в холловском сигнале. Изменение числа вихрей в области под холловским датчиком и определяло размер лавины с точностью до одиночного вихря. Наиболее представительными являются данные, полученные таким методом Е. Альтшулером с соавторами, которые также провели точный количественный анализ размеров лавин, возникающих в ниобиевой фольге [9], помещенной в медленно увеличивающееся внешнее магнитное поле. В этих экспериментах были зарегистрированы лавины очень малых размеров и показано, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение (рисунок 2).

Кроме опр1санных экспериментов, исследования лавинообразной ди

Та

1 Nî^.

МЫ! Tube

-".a 5

П 2.25 kG N? о

О 5.33 kG Ni

• 7.55 kG N

20000

Applied field (Oe)

Рисунок 2: Изменение числа вихрей в области под датчиком Холла при увеличении внешнего магнитного поля (рисунок из работы [9]). На нижней врезке показан увеличенный фрагмент кривой, а на верхней — функция распределения размеров лавин, измеряемых как число вихрей, вовлеченных в каждую лавину. Четко видна лавинообразная динамика магнитного потока в системе, размеры лавин распределены степенным образом намики магнитного потока в сверхпроводниках были проведены также с помощью магнитооптических методов. Так, с использованием этой техники в работах С. Аегертера с соавторами было изучено поведение магнитного потока в тонких пленках УВаСиО [4]. Эксперименты были поставлены в условиях, когда внешнее поле менялось скачкообразно, каждый раз на величину 0.5 э, после каждого изменения поле оставалось постоянным в течение 10 секунд, за которые образец приходил в равновесное состояние. В результате была получена четкая картина лавинообразного изменения потока в образце. После каждого изменения поля магнитный поток менялся скачкообразно, величины возникающих скачков были различны (рисунок 3).

Лавины магнитного потока также наблюдались в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов [5]. На рис. 4 представлена петля гистерезиса для полного магнитного момента в решетке при медленном изменении внешнего магнитного поля. Как мы видим, изменения магнитного момента имеют различную величину, достигающую иногда сотен квантов потока. На рисунке приведены несколько наложенных друг на друга петель гистерезиса, полученных в одних и тех же условиях. Несовпадение значений полного магнитного момента для различных петель при одном и том же значении внешнего магнитного поля означает, что скачки магнитного момента случайны во времени.

Несколько раньше, чем начали проводиться интенсивные исследования лавин в сверхпроводниках, в 1987 году, возникла и начала разви

Рисунок 3: Изменение магнитного потока внутри образца УВаСиО как функция времени, представленное в работе [4]. Данные взяты из девяти серий экспериментов, данные от разных серий разделены стрелками. Четко видны случайные по времени изменения магнитного потока, различные по величине

Н (тОе)

Рисунок 4: Петли гистерезиса для полного магнитного момента в двумерной решетке джо-зефсоновских контактов, рассмотренной в [5] ваться концепция самоорганизации критического состояния, которая, по замыслу ее авторов, должна была объяснить общие особенности в поведении гигантских диссипативных динамических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих друг с другом элементов [10]. Примерами таких систем могут служить и земная кора, и рынки акций, и гигантские популяции. Неотъемлемой частью их динамики являются цепные реакции любых масштабов: от малых, незначительных событий до катастроф, охватывающих всю систему (сходы снежных лавин, финансовые кризисы, землетрясения и т. п.).

Согласно концепции самоорганизованной критичности (СОК), гигант/ ские динамические системы, накапливая малые возмущения, естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, которое в дальнейшем является самоподдерживающимся, то.есть не требует для своего существования точной подстройки внешних параметров. По своей структуре это критическое состояние является набором большого числа метастабильных критических состояний, по которым блуждает система. Очередное малое внешнее воздействие выводит систему из одного метастабильного критического состояния и порождает в ней динамический процесс ("лавину"), по окончании которого система оказывается в другом метастабильном критическом состоянии. Лавины могут быть как малыми, так и гигантскими, охватывающими всю систему, но и те и другие порождаются одинаково малыми возмущениями. Именно такой тип поведения и был назван самоорганизованной критичностью. Находящаяся в самоорганизованном критическом состояниии система теряет характерные масштабы как длины, так и времени, и ее корреляционные функции имеют степенные асимптотики. В частности, математическим критерием наличия в системе СОК является степенное распределение размеров лавин.

Наиболее простой моделью для наблюдения СОК является обычная песчаная куча. При насыпании кучи, она сначала растет до тех пор пока ее наклон не достигнет некоторого критического значения, а затем при очередном добавлении песчинки, песок начинает соскальзывать со склонов, возникает "лавина". После остановки "лавины" оказывается, что часть песка осыпалась с кучи, а остальной перераспределился так, что наклон кучи остается критическим, хотя она и находится уже в другом метастабильном состоянии. По аналогичному сценарию развиваются и многие другие природные и социальные процессы, например, землятресения. В случае, когда напряжение в земной коре, постепенно незначительно увеличиваясь, превысит некий порог, появляется излом. В результате происходит переход в новое метастабильное состояние, и процесс повторяется. Тому же закону подчиняются и экономические, и многие биологические системы.

В работе [11] была предложена математическая модель для такого типа поведения — модель кучи песка, а затем была предложена ее модификация, названная Абелевой моделью кучи песка [12], которая активно исследовалась теоретически (см., например, [12]—[15]) и методом машинного моделирования (см., например, [16]—[22]). Помимо этой модели был предложен и изучен целый ряд математических моделей, которые демонстрируют СОК. Это не только модели типа кучи песка ([23]—[25]), но и модель лесных пожаров ([26, 27]), игра "Жизнь" ([28, 29]), модели землетрясений ([30] — [33]), модель "рисовой кучи" ([34]), модель развития популяций ([35]), Eulerian Walker model ([36]), ряд одномерных моделей ([37]-[40]) и другие (см., например, [41]—[43])-Кроме того, были проведены эксперименты по изучению самоорганизованного критического состояния на реальной куче песка [44]. Наиболее подробно и популярно процесс развития этой интереснейшей концепции и ее применений описан в книге "отца" теории, Пера Бака [45]. Однако необходимо отметить, что, несмотря на бурное теоретическое развитие данной концепции, ее практическое применение для объяснения конкретных физических явлений до сих пор весьма ограничено ([46]—[49]).

Как видно даже на уровне такого краткого описания, имеется сходство явлений, возникающих в критическом состоянии жестких сверхпроводников второго рода и в системах с самоорганизацией, вплоть до того, что и то и другое сравнивается с динамикой кучи песка. Физически, в обоих случаях мы имеем дело с самоподдерживающимся критическим состоянием, возникающим в результате малых внешних воздействий, без точной подстройки параметров. Кроме того, неотъемлемой частью динамики систем и в случае сверхпроводников, и в случае самоорганизации являются лавины. Поэтому возникает естественный вопрос, не является ли наблюдаемая экспериментально лавинообразная динамика магнитного потока в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках результатом реализации в них явления самоорганизованной критичности.

Здесь необходимо отметить одну трудность, которая возникала практически во всех экспериментах по обнаружению лавинообразной динамики в жестких сверхпроводниках второго рода. Дело в том, что во многих экспериментах в образцах возникали термомагнитные неустойчивости, которые приводили к гигантским скачкам магнитного потока, скрывающим другие динамические явления в системах,.в частности, малые лавины, вызванные изменением внешнего магнитного поля (динамически управляемые лавины). Динамически управляемые лавины включают относительно небольшое количество отдельных вихрей и не разрушают критическое состояние в образце, в то время как гигантские скачки магнитного потока, которые возникали в результате термоактивации при слишком быстром изменении внешнего магнитного поля (термически управляемые лавины), вызывают разрушение критического состояния. Исходя из этого, на объяснение лавинообразной динамики магнитного потока в сверхпроводниках с помощью концепции СОК можно рассчитывать только, если считать, что лавина возникает за счет изменения внешнего магнитного поля. Поскольку концепция СОК не учитывает влияния температурных факторов на поведение системы, то она неприменима для объяснения природы гигантских лавин, возникающих за счет термомагнитных неустойчиво-стей, которые подробно изучались экспериментально, например, в [50]. В настоящей работе мы будем рассматривать только лавины, возникающие за счет изменения внешнего магнитного поля.

Привлечение концепции самоорганизованной критичности к объяснению лавинообразной динамики потока в жестких сверхпроводниках второго рода привело к созданию математической модели движения вихрей в такой системе [51, 52]. Однако, как указывают сами авторы данной модели, она является феноменологической, представляя движение вихря в жестком сверхпроводнике как результат суммарного воздействия на него сил магнитного давления, которые увеличиваются по мере того, как все больше вихрей проникало в образец, и сил пиннинга, учитывая, таким образом, лишь основные особенности вихревой динамики, не рассматривая всех деталей явления в целом.

Таким образом, проблема создания модели, адекватно описывающей лавинообразную динамику магнитного потока в жестких сверхпроводниках второго рода и учитывающей все особенности этого явления, до настоящего времени так и не имела полноценного решения. Это связано со сложностью точного математического описания процессов, происходящих в жестких сверхпроводниках второго рода.

В то же время, с момента открытия высокотемпературной сверхпроводимости активно изучаются магнитные свойства таких систем, как гранулированные сверхпроводники. Эти дискретные системы представляют собой так называемую джозефсоновскую среду [53] - отдельные сверхпроводящие гранулы, соединенные джозефсоновскими переходами. Будучи помещенной в магнитное поле, величина которого меньше первого критического поля гранул, такая дискретная система

-1ЯЗей

Рисунок 5: Фрагмент дискретного сверхпроводника в модели, используемой в работах [55, 56] ведет себя как жесткий сверхпроводник второго рода [54]. В этом случае дискретный сверхпроводник хорошо воспроизводит все магнитные свойства жестких сверхпроводников второго рода.

В работах [55, 56] это утверждение было проверено теоретически и методом компьютерного моделирования для таких моделей дискретных сверхпроводников, как решетки джозефсоновских контактов (многоконтактные СКВИДы) (рис. 5).

В работах [55, 56] было обнаружено, что малые внешние поля не проникают в образец, при увеличении лее поля оно начинает проникать в систему в виде вихрей. Вихрь в данной системе представляет собой такое распределение поля внутри образца, при котором магнитное поле максимально в центре вихря, то есть в области размером а, равном постоянной решетки, и далее убывает на расстоянии Л/ от центра (Л/ = а/л/У, У ~ ]саъ/Фо, ]с — плотность критического тока контактов, Фо — квант потока магнитного поля). С каждым из таких вихрей связан квант потока магнитного поля Фд. Было также показано, что после сбрасывания внешнего магнитного поля, часть внутреннего поля в образце остается, то есть в системе имеется пиннинг.

Кроме того, в работах Чена и Вольфа было теоретически показано, что магнитные свойства дискретных сверхпроводников сильно зависят от основного параметра системы V [55, 56]. Согласно приведенному выше определению, этот параметр можно трактовать как соотношение размера вихря, проникающего в сверхпроводник, и характерного размера решетки а. В случае, когда V <С 1, система может рассматриваться как сверхпроводник без пиннинга. Если же условие V <С 1 не со/ у' блюдено, то гранулированный сверхпроводник, благодаря дискретности своей структуры,, обладает свойством внутреннего пиннига. Если V < 1, то вихри пиннингуются группами ячеек, и профиль магнитного потока в образце представляет собой набор вихрей, распределенных по ячейкам. В случае же V 1, мы имеем систему с сильным пиннин-гом, каждая ячейка системы может удерживать большое число квантов магнитного потока, и критическое состояние в ней может быть описано моделью Бина (смотри рис. 6).

Это наводит на мысль, что основные магнитные свойства дискретных сверхпроводников в критическом состоянии аналогичны свойствам жестких сверхпроводников второго рода, где роль длины когерентности £ играет параметр решетки а, а глубина проникновения равна А/. Однако, если в жестких сверхпроводниках второго рода необходимо искусственно создавать дефекты для закрепления вихревых нитей, то в

Рисунок 6: Профили магнитного потока в дискретном сверхпроводнике при V < 1 из работы [56] (вверху) и V > 1 из работы[55] (внизу) дискретных сверхпроводниках "зацепление" вихрей происходит благодаря дискретности системы, то есть они обладают собственным или внутренним (intrinsic) пиннингом.

Более того, динамические свойства дискретного сверхпроводника описываются системой дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантной разности фаз на контактах системы [55]. Данные уравнения выводятся непосредственно из уравнений Максвелла и соотношений Джозефсона, поэтому математическая модель дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа) учитывает все особенности критического поведения физической системы. Это и является основным преимуществом модели, которой мы будем пользоваться в данной работе для описания магнитных свойств дискретного сверхпроводника, по сравнению, например, с феноменологической моделью сверхпроводника второго рода [51]. Кроме того, описывающие модель уравнения достаточно просты для анализа.

Таким образом, своей основной задачей мы считаем теоретическое и численное изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа), помещенного во внешнее магнитное поле. Главная цель данного исследования — теоретически показать, что динамика магнитного потока в критическом состоянии дискретного сверхпроводника носит лавинообразный характер, и это объясняется реализацией в системе явления самоорганизованной критичности. Это означает, что критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавины характеризуется изменениями магнитного потока в системе, и эти изменения демонстрируют степенное распределение.

Основываясь на предположении об универсальности критического поведения для жестких сверхпроводников второго рода и дискретных сверхпроводников, мы надеемся, что результаты, полученные нами для дискретной системы, могут быть также применены для объяснения и описания критической лавинообразной динамики вихрей, которая наблюдалась в экспериментах, не только в искуственно созданных решетках джозефсоновских контактов [5] и гранулированных сверхпроводниках [4], но и в случае жестких сверхпроводников второго рода [3]:

Изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках в последние годы становится очень актуальным в связи с проблемой создания и, в дальнейшем, полномасштабного промышленного производства сверхпроводящих материалов, способных нести ток большой величины (сильноточные материалы). Однако, как известно, движение магнитного потока, проникающего в сверхпроводник в виде вихрей, уменьшает его токонесущую способность. Поэтому подробное изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках представляется интересным не только с теоретической точки зрения, но также важно с точки зрения создания и практического применения новых сверхпроводящих материалов.

Так, создаваемые в настоящее время сверхпроводящие провода второго поколения из иттриевой керамики (УВСО), являющейся дискретным сверхпроводником, при охлаждении жидким азотом могут нести ток примерно в 150 раз больший, чем медные провода тех же размеров. В перспективе, новые провода могут использоваться для передачи электроэнергии, питания электромоторов, в регуляторах мощности и ограничителях тока короткого замыкания, а также в силовых кабелях поездов на магнитной подвеске. Промышленные интересы России требуют энергичного развития и использования сверхпроводниковых технологий как в электроэнергетике, так и в других отраслях. Это связано с тем, что уже в ближайшие годы предстоит увеличить выработку электроэнергии в связи с ростом промышленного производства. При этом в ближайшие годы необходимо произвести замену значительной доли (более 70 %) практически выработавшего свой ресурс электроэнергетического оборудования. Предстоит обновить или реконструировать действующие станции и сети, построить новые. Колоссальный объем предстоящих работ требует, чтобы была максимально снижена, в частности, стоимость транспортировки электроэнергии по сравнению с традиционными линиями электропередач. Решать этот сложный комплекс проблем можно только на базе новых технологий, которые обеспечат повышение эффективности оборудования, приемлемую его стоимость, соблюдение режима энерго и ресурсосбережения при минимальной нагрузке на окружающую среду. К их числу, прежде всего, относятся сверхпроводниковые технологии нового поколения, превосходящие по всем параметрам традиционные [57].

Структура настоящей работы следующая.

В первой главе подробно анализируются особенности поведения дискретных сверхпроводников в критическом состоянии, которые делают эти системы кандидатами на обнаружение в них явления самоорганизации критического состояния.

В разделе 1.1 мы рассматриваем простейший пример дискретного сверхпроводника — одноконтактный СКВИД. Мы показываем, что параметр V является определяющим для магнитных свойств одноконтактного СКВИДа. Одноконтактный СКВИД при V >> 1 представляет собой пороговый элемент, обладающий большим числом метастабильных состояний. Кроме того, при F > 1 в системе реализуется явле ние квантования магнитного потока внутри кольца СКВИДа, что позволяет свести дифференциальные уравнения, описывающие СКВИД к алгоритму для безразмерного тока. Полученный алгоритм подобен тем, в которых формулируется одна из математических моделей СОК — Абелева модель кучи песка. Это и есть первая причина, по которой можно предположить, что в системе, состоящей из большого числа подобных элементов, можно ожидать возникновения СОК.

В разделе 1.2 дается подробное описание Абелевой модели кучи песка.

В разделе 1.3 мы рассматриваем одну из возможных реализаций дискретного сверхпроводника — двумерный многоконтактный СКВИД. Мы показываем, что свойства такой системы зависят от величины СКВИД-параметра V. При V 1 СКВИД обладает большим числом метастабильных состояний, что позволяет рассматривать его, как систему, в которой возможна реализация самоорганизованного критического состояния. Это выражается в том, что при таком условии, уравнения, описывающие многоконтактный СКВИД, могут быть сведены к системам отображений, полностью аналогичным алгоритмам, описывающим классическую модель системы с самоорганизацией — абелеву модель кучи песка. Возмущение системы в этом случае производится путем инжекции в нее тока, а роль высоты кучи играет безразмерный ток в контакте.

В разделе 1.4 изучается критическое состояние двумерного многоконтактного СКВИДа. Мы показываем, что при том режиме, в котором обычно изучаются системы с самоорганизацией, критическое состояние рассматриваемого двумерного многоконтактного СКВИДа является самоорганизованным. Оно представляет собой набор мета-стабршьных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, возникающих после локального внешнего возмущения системы. Лавины обнаруживают себя, как всплески напряжения на контактах. Прямым аналогом размера лавины, как он определен для случая кучи песка, является усредненный интеграл от возникшего в системе напряжения за время лавины. Эта величина демонстрирует степенное распределение.

Параллельно с исходной системой, описываемой дифференциальными уравнениями, изучается упрощенная модель, описываемая системой отображений. Показано, что поведение основной характеристики системы (размера лавины) для обоих способов описания системы одинаково. Следовательно, введенные упрощения не изменяют основных физических свойств системы.

В конце главы обозначаются основные проблемы, для решения которых необходима корректировка модели дискретного сверхпроводника, которая заключается в том, что, во-первых, модель необходимо скорректировать с учетом всех особенностей строения реальных дискретных сверхпроводников, а, во-вторых, возникает задача перехода к другому определению размера лавины и изучения статистики этой величины.

Во второй главе мы представляем модель дискретного сверхпроводника, учитывающую особенности строения реальных сверхпровод/ ников, а именно внутреннюю пространственную стохастичность таких систем, то есть некоторый разброс межконтактных расстояний. Мы рассматриваем наиболее простой случай — одномерный дискретный сверхпроводник (многоконтактный СКВИД) (рисунок 11). На этом примере мы показываем, каким образом введение внутренней пространственной стохастичности изменяет уравнения, описывающие динамику системы. Также мы рассматриваем упрощенную модель пространственно разупорядоченной системы, которая является новой моделью типа "кучи песка" для изучения самоорганизации критического состояния. Мы показываем, что внутренняя пространственная стохастичность играет решающую роль в возникновении самоорганизованного критического состояния в системе даже в тех условиях, в которых ранее самоорганизации не наблюдалось.

В разделе 2.1 подробно анализируется система дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантных фаз на контактах описывающая такой одномерный многоконтактный СКВИД, помещенный во внешнее магнитное поле Нех1 •

В разделе 2.2, используя физические особенности поведения дискретных сверхпроводников при V 1, мы строим упрощенную модель одномерного многококонтактного СКВИДа, которая является одномерной моделью кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью.

В разделе 2.3 мы изучаем критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, пользуясь для описания системы как системой дифференциальных уравнений, так и построенной нами моделью кучи песка. Мы показываем, что даже незначительного разброса межконтактных расстояний достаточно, чтобы критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа стало самоорганизованным в условиях, которые близки к экспериментальным, но в которых ранее самоорганизации не наблюдалось.

В третьей главе критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, рассматривается при различных значениях основного параметра системы V.

В разделе 3.1 подробно обсуждается влияние внутренней пространственной стохастичности на структуру критического состояния системы. Показано, что при введении внутренней пространственной стохастичности у системы появляется большое количество возможных ме-тастабильных критических состояний, переход между которыми осуществляется посредством лавинообразных процессов, сопровождаемых изменением полного магнитного потока в системе.

Рассматривается структура критического состояния не только при большом значении параметра V 1, но также и при переходном V ~ 1 и малом V < 1 его значениях. Показано, что при этом меняется профиль магнитного поля внутри системы, но лавинообразная динамика потока сохраняется. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментально наблюдаемой картиной.

В разделе 3.2 рассматривается структура лавин, возникающих в критическом состоянии разупорядоченной системы. Изучается процесс / прохождения лавины через систему при различных значениях параме^ тра V.

В разделе 3.3 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе. Далее приводятся функции распределения размеров лавин в критическом состоянии. Система рассматривается при различных значениях параметра V. Показано, что участок степенного поведения в функции распределения размеров лавин имеется для всех рассмотренных значений параметра V, что говорит о реализации в системе самоорганизованного критического состояния.

Четвертая глава посвящена изучению динамики магнитного потока в критическом состоянии двумерного дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле, которое изменяется "нестационарным" образом, то есть очередное изменение поля происходит лишь после того, как все динамические процессы, вызванные предшествующим изменением, остановились. Такой метод возмущения системы эквивалентен ступенчатому возрастанию внешнего магнитного поля, применяемому в экспериментах и описанному, например, в работе [4]. Дискретный сверхпроводник, рассмотренный в данной главе имеет структуру, отличную от той, что рассматривалась в первой главе. В настоящей главе мы рассматриваем двумерную систему, имеющую вид решетки из сверхпроводящих ребер, на которых расположены джозефсоновские контакты. Такой вид системы больше соответствует экспериментально изучаемым дискретным сверхпроводникам.

Раздел 4.1 посвящен анализу дифференциальных уравнений для ка-либровочно-инвариантных фаз на контактах описывающих изучаемую систему, помещенную во внешнее магнитное поле Hext.

В разделе 4.2 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе АФ. Показано, что в этом случае в системе реализуется самоорганизованное критическое состояние, то есть критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение. Проводится сравнение полученных результатов с результатами экспериментов.

В разделе 4.3 мы рассматриваем возможность существования такого минимального изменения внешнего магнитного поля при котором в дискретном сверхпроводнике не возникают лавины. Мы изучаем статистику изменений внешнего магнитного поля порождающих лавины. Мы показываем, что в рассмотренных нами пределах даже минимальное изменение внешнего магнитного поля порождает лавины.

В разделе 4.4 рассматривая совместную плотность вероятности размеров лавин и изменений внешнего магнитного поля, их порождающих, мы показываем, что размер лавины не зависит от величины изменения внешнего магнитного поля, вызвавшего эту лавину.

Пятая глава посвящена изучению причин возникновения самоогра-низованного критического состояния в моделях дискретных сверхпроводников с внутренней пространственной стохастичностью на примере одномерной модели.

В разделе 5.1 мы обсуждаем механизмы возникновения ячеек-"ловушек" и "возвратных" лавин в модели при различных способах возмущения системы. Ячейки-"ловушки" — это такие ячейки системы, высота в которых такова, что даже после осыпания соседних ячеек наклон в со-тветствующих узлах не превышает критический, это приводит к ограничению области распространения лавины, эффективно уменьшая ее размер. "Возвратные" лавины, т.е. динамические процессы, распространяющиеся по решетке как в прямом, так и в обратном направлении, наоборот, увеличивают число ячеек, вовлеченных в лавину.

Мы показываем, что наличие внутренней пространст'венной стоха-стичности приводит к точно таким же последствиям, что и наличие разницы в добавляемых и осыпающихся песчинках, а также случайное возмущение в одномерных моделях, исследованных в [39]. Это позволяет сделать вывод, что механизм возникновения самоорганизации в модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью и в классической одномерной модели кучи песка одинаков.

В шестой главе представлен класс одномерных систем, в которых самоорганизованное критическое состояние возникает благодаря свойству внутренней пространственной стохастичности. Математически данные системы описываются моделями типа "кучи песка", построенными на основе уравнений, описывающих физическую систему — одномерный многоконтактный СКВИД со случайным расположением контактов.

В разделе 6.1 показано, что класс систем с внутренней пространственной стохастичностью делится на два основных подкласса: потенциальные и непотенциальные системы. Примером потенциальной системы служит изученный авторами ранее одномерный многоконтактный СКВИД.

Далее, в разделах 6.2 и 6.3 мы рассматриваем статистику размеров лавин в потенциальных и непотенциальных системах, для систем боль- -шого размера. Мы показываем, что самоорганизация в таких системах возникает при ничтожно малой степени стохастичности системы, а также, что критическое состояние в непотенциальных системах становится самоорганизованным при меньшей степени стохастичности системы.

Также показано, что в таких системах самоорганизация возникает даже в случае полностью детерминированного возмущения, чего не наблюдалось в ранее исследованных моделях кучи песка.

В седьмой главе мы рассматриваем наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, которые описывают систему с самоорганизацией критического состояния. Результаты, полученные в этой главе, открывают возможность обнаружения новых реальных физических систем, в которых возможна реализация самоорганизованного критического состояния.

В разделах 7.1 и 7.2 рассматривается два физически важных обобщения системы дифференциальных уравнений, описывающих многокон тактный СКВИД. Первое из них представляет собой обобщение данной системы на случай асимметричного потенциала и может быть использована для описания так называемых храповиков. Второе содержит двухмасштабную периодическую функцию и может описывать, к примеру, многослойные системы. Мы показали, что критическое состояние в этих системах действительно является самоорганизованным.

Восьмая глава посвящена рассмотрению вопроса о связи таких явлений как самоорганизованная критичность и 1//-шум на примере модели дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле. Показано, что в спектрах среднего тока систем различных размеров имеется широкая область 1 //-шума, ограниченная лишь размерами системы. Однако сосуществование 1 //-шума и самоорганизации критического состояния наблюдалось лишь в единственной системе в двумерном случае.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Исходя из первых принципов, в работе построена модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастич-ностью, которая достаточно проста для анализа, учитывает специфику строения реальных сверхпроводящих систем, а также адекватно описывает все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников.

2. Обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов), помещенных в медленно меняющееся внешнее магнитное поле, лавинообразная динамика магнитного потока в критическом состоянии объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния. Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор ме-тастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение.

3. Решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках, помещенных в возрастающее внешнее магнитное поле, самоорганизованного критического состояния играет внутренняя пространственная стохастичность (разупорядоченность) системы.

4. В дискретных сверхпроводниках в самоорганизованном критическом состоянии размер возникающей лавины и величина вызвавшего ее изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами. Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля.

5. Самоорганизованное критическое состояние в одномерном дискретном сверхпроводнике реализуется, как при больших значениях основного параметра V, так и при переходном и малом значении этого параметра, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.

6. Путем упрощения и обобщения построенной модели дискретного сверхпроводника, построен новый класс математических моделей типа "кучи песка", демонстрирующих самоорганизованное поведение — модели с внутренней пространственной стохастичностью. Данный класс разделяется на два подкласса: потенциальные (примером является дискретный сверхпроводник) и непотенциальные системы. В обоих подклассах системы демонстрируют самоорганизованное поведение, но в случае непотенциальных систем для этого требуется гораздо меньшая степень стохастичности, чем в случае потенциальных.

7. Получены новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния, а) Получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно -моделировать явление самоорганизованной критичности, б) Показано, что сосуществование в одной системе ткаих явлений, как 1//-шум и самоорганизация крайне неустойчиво к изменению внешних условий.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Савицкая, Наталья Евгеньевна, 2007 год

1. С.P. Bean, "Magnetization of High-Field Superconductors", Rev. Mod. Phys. 36 (1964) 31-39.

2. П. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, "Мир", Москва, 1968, 280 стр.

3. S. Field, J. Witt, F. Nori, X. Ling, "Superconducting Vortex AvalanchesPhys. Rev. Lett. 74 (1995) 1206-1209.

4. C.M. Aegerter, M.S. Welling, R.J. Wijngaarden, "Self-organized crot-icality in Bean State in УВа2Сиз07х thin films",Europhys. Lett. 65 (2004) 753-759.

5. C.M. Ишикаев, Э.В. Матизен, B.B. Рязанов, В.А. Обознов, А.В. Веретенников, "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока", Письма в ЖЭТФ 72 (2000) 39-43.

6. G.T. Seidler, C.S. Carillo, T.F. Rosenbaum, U. Welp, G.W. Grabtree, V.M. Vinokur, "Vanishing magnitization relaxation in the high field quantum limit in УВагСизОу-^",Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2814-2817.

7. E.R. Nowak, O.W. Taylor, L. Liu, H.M. Jaeger, T.J. Selinder, "Magnetic flux instabilities in superconducting niobium rings: Tuning the avalanche behaviour", Phys. Rev. В 55 (1997)11702-11705.

8. K. Behnia, C. Capan, D. Mailly, B. Etienne, "Internal avalanches in a pile of superconducting vortices", Phys. Rev. B 61 (2000) R3815-R3818.

9. E. Altshuler, T.H. Johansen, Y. Paltiel, P. Jin, O. Ramos, K.E. Bassler, G. Reiter, E. Zeldov, C.W. Chu, uVortex avalanches with robust statistics observed in superconducting niobium ", Phys. Rev. B 70 (2004) 140505.

10. P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, "Self-organized criticality: An Explanation ofl/f Noise", Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 381-384.

11. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, "Self-organized criticality", Phys. Rev. A 38 (1988) 364-374.

12. D. Dhar, "Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 1613-1616.

13. D. Dhar and S.N. Majumdar, "Abelian sandpile model on the Bethe lattice", J. Phys. A 23 (1990) 4333-4350.

14. D. Dhar, S.N. Majumdar, "Height correlations in the Abelian Sandpile model", J. Phys. A 24 (1990) L357-L362.

15. V.B. Priezzhev, "Structure of 2D sandpile. Height Probabilities", J. Stat. Phys 74 (1994) 955-979.

16. S.S. Manna and J. Kertesz, "Correlations and scaling in the outflow statistics of a sandpile automaton", Physica A 173 (1991) 49-59.

17. S.S. Manna, "Large-Scale Simulation of Avalanche Cluster Distribution in Sand Pile Model", J. Stat. Phys. 59 (1990) 509-521.

18. S.S. Manna, "Critical exponents of the sand pile models in two dimensionsPhysica A 179 (1991) 249-268.

19. H.J. Jensen, K. Christensen, H.C. Fogedby, "1/f noise, distribution of lifetime and a pile of sand", Phys. Rev. B 40 (1989) 7425-7427.

20. K. Christensen, H.C. Fogedby, H.J. Jensen, uDynamical and Spatial Aspects of sandpile Cellular Automata", J. Stat. Phys. 63 (1991) 653684.

21. J.K. Kertesz and L.B. Kiss, "The noise spectrum in the model of self-organized criticality", J. Phys. A 23 (1990) L433-L438.

22. P. Grassberger and S.S. Manna, "Some more sandpile", J. de Physique 51 (1990) 1077-1085.

23. C. Tang and P. Bak, "Critical exponents and Scaling Relation for Self-organized critical phenomena", Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 2347-2350.

24. C. Tang and P. Bak, "Mean Field Theory of Self-Organized Critical Phenomena", J. Stat. Phys. 51 (1988) 797-802.

25. P. Bak, "Self-organized criticality in non-conservative models", Physica A 191 (1992) 41-44.

26. B. Drossel and F. Schwabl, "Self-organized critical forest fire model", Phys. Rev. Lett 69 (1992) 1629-1632.

27. B. Drossel, S. Clar, F. Schwabl, "Exact results for one-dimensional critical forest fire model", Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3739-3742.

28. P. Bak, T. Chen, D. Creutz, "Self-organized criticality in the "Game of Life", Nature 342 (1989) 780-781.

29. P. Alstrom, J. Leao, uS elf-organized criticality in the "Game of Life", Phys. Rev. E 49 (1994) R2507-R2508.

30. Z. Olami, H.J.S. Feder, and K. Christensen, "Self-organized criticality in a continuous Nonconservative Cellular Automaton Modelling Earthquakes", Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 1244-1247.

31. K. Christensen, Z. Olami, and P. Bak, "Deterministic 1/f Noise in Nonconservative Models of S elf-organized Criticality", Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 2417-2420.

32. J.M. Carlson and J.S. Langer, "Properties of Earthquakes Generated by Fault Dynamics", Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 2632-6635.

33. H. Feder and J. Feder, "Self-organized criticality in a stick-slip processPhys. Rev. Lett. 66 (1991) 2669-2672; 67 (1991) 283(E).

34. V. Frette, K. Christensen, A. Malthe-S0renssen, J. Feder, T. J0ssang, P. Meakin, "Avalanche dynamics in a pile of rice", Nature 379 (1996) 49-51.

35. P. Bak and K. Sneppen, "Punctuated Equilibrium and Criticality in Simple Model of Evolution", Phys. Rev. Lett 71 (1993) 4083-4086.

36. V.B. Priezzhev, D. Dhar, A. Dhar, S. Krishnamurty, "Eulerian Walker as a model of SOC", Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 5079-5082.

37. Y.-C. Zhang, "Scaling theory of self-organized criticality", Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 470-473.

38. L. Kadanoff, S.R. Nagel, L. Wu, S.-m. Zhou, "Scaling and universality in avalanches", Phys. Rev. A 39 (1989) 6524-6537.

39. S.T.R. Pinho, C.P.C. Prado, S.R. Salinas, "Complex behavior in one-dimensional sandpile models", Phys. Rev. E 55 (1997) 2159-2165.

40. A.B. Chhabra, M.J. Feigenbaum, L.P. Kadanoff, A.J. Kolan, I. Procac-cia, "Sandpiles, avalanches, and the statistical mechanics of nonequi-librium stationary states", Phys. Rev. E 47 (1993) 3099-3121.

41. V. Frette, "Sandpile models with dynamically varying Critical Slope", Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2762-2765.

42. J. Suzuki and K. Kaneko, "Imitation games", Physica D 75 (1994) 328-342.

43. A. Papa and C. Tsallis, "Imitation games: Power-law sensitivity to initial conditions and nonextensivity", Phys. Rev. E 57 (1998) 39233927.

44. G.A. Held, D.H. Solina, D.T. Keane, W.G. Hang, P.M. Horn, G. Grin-stein, "Experimental study of critical-mass fluctuations in an evolving sandpile", Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 1120-1123.

45. P. Bale, "How nature works", Oxford University press, 1997, 212 pp.

46. K. Chen, P. Bak, S.P. Obukhov uSelf-organized criticality in crack-propagation model of earthquakes", Phys. Rev. A 43 (1990) 625-630.

47. H.-H. St0lum, "Fluctuations at self-organized critical state", Phys. Rev. E, 56 (1997) 6710-6718.

48. E.V. Albano, "Self-Organized Collective Displacement of Self-Driven Individuals", Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2129-2132.

49. N. Miranda and D. Hermann "Self-organized criticality with disoder and fluctuation", Physica A 175 (1991) 339-344.

50. D.V. Shantsev, A.V. Bobyl, Y.M. Galperin, T.H. Johansen, S.I. Lee, "Size of flux jumps on superconducting films", Phys. Rev. B 72 (2005) 024541.

51. K.E. Bassler and M. Paczuski, "Simple Model of Superconducting vortex avalanches" Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3761-3764.

52. K.E. Bassler, M. Paczuski, E. Altshuler, "Simple model for plastic dynamics of a disordered flux-line lattice",Phys. Rev. B, 64 (2001) 224517.

53. J.R. Clem, "Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica C 153—155 (1988) 50-55.

54. S.L. Ginzburg, V.P. Khavronin, G.Yu. Logvinova, I.D. Lusyanin et al, "Low-field electrodynamics ofhigh-Tc superconductors theory and experiment", Physica С 174 (1991) 109-116.

55. D.-X. Chen, J.J. Moreno, A. Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys. Rev. В 53 (1996) 6579-6584.

56. A. Manjhofer, T. Wolf, W. Dieterich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistively shunted tunnel junctions", Phys. Rev. В 44 (1991) 9634-9638.

57. H.A. Черноплеков, "Сверхпроводниковые технологии:современное состояние и перспективы практического примененияВестник РАН 71 (4) (2001) 303-319.

58. С.Л. Гинзбург, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках и решетках джозефсоновских контактов", ЖЭТФ 106 (1994) 607-626.

59. С.Л. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках", ЖЭТФ, 117, (2000), 227-241.

60. К.К. Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва, 1985, 320 стр.

61. О.И. Кулик, И.К. Янсон, Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Наука, М.,1970, 272 стр.

62. S.L. Ginzburg, М.А. Pustovoit, N.E. Savitskaya, "Interavalanche correlations in self-organized critical state of multijunction SQUID", Phys. Rev. E 57 (1998) 1319-1326.

63. S.S. Manna, "Two-state model of self-organized criticality", J. Phys. A 24 (1992) L363.

64. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya, "Self-organization of the critical state in granular superconductors Jornal of Low Temperature Physics 130, No. 3/4 (2003) 333-346.

65. C.JI. Гинзбург, H.E. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в многоконтактном СКВИДе при закрытых граничных условияхПисьма в ЖЭТФ 69 (1999) 119-121.

66. S.L. Ginzburg, A.V. Nakin, N.E. Savitskaya, "The magnetic flux dynamics in the critical state of one-dimensional discrete superconductor», Physica С 436/1 (2006) 7-13.

67. С.JI. Гинзбург, А.В. Накин, Н.Е. Савицкая, "Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике", ЖЭТФ 130 (2006) 862-872.

68. С.Л. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, аВозникновение самоорганизации критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе как следствие случайного расположения контактов", Письма в ЖЭТФ 73 (2001) 163-166.

69. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya, "Granular Superconductors and Sandpile Model with Intrinsic Spatial Randomness",Phys. Rev. E 66 (2002) 026128.

70. С.Л.Гинзбург, Н.Е.Савицкая, "Лавины магнитного потока и самоорганизованная критичность в дискретных сверхпроводниках", Изд-во ПИЯФ РАН (2007) 156 стр.

71. A. Afsar and D. Dhar, "Breakdown of simple scaling in Abelian sand-pile model in one dimension", Phys. Rev. E 51 (1995) R2705-R2708.

72. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya "Self-organization of the critical state in the physical systems described by differential equations", Acta Physica Slovaca, 52 (6) (2002) 597-601.

73. C.JI. Гинзбург, H.E. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИДов Письма в ЖЭТФ 68 (1998) 688694.

74. C.JI. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, "Самоорганизация и l/f-шум в гранулированных сверхпроводникахПисьма в ЖЭТФ73 (2001) 243-247.

75. S. Maslov, С. Tang, Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett, "1/f noise in Bah-Tang-Wiesenfeld Models on narrow stripes", 83 (1999) 2449-2452.

76. P. De Los Rios and Y.-C. Zhang, "Universal 1/f Noise fron dissipative Self-Organized Criricality Model", Phys. Rev. Lett.82 (1999) 472-475.

77. Дж. Бендат, А. Пирсол, Прикладной анализ случайных данных, "Мир", Москва, 1989, 540 стр.

78. Т. Vicsek, "Complexity: The bigger picture", Nature 418 (2002) 131.

79. S. Strogatz, "Exploring complex networksNature 410 (2001) 268-276.