Квазиклассическое описание процессов динамического туннелирования в многомерной квантовой механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Панин, Александр Григорьевич

• Панин, Александр Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панин, Александр Григорьевич

Введение

Глава 1. Туннелирование с образованием сфалерона

1.1 Пример квантовомеханической модели

1.2 Зависимость вероятности перехода от квазиклассического параметра

1.3 Эксклюзивные туннельные переходы

1.4 Время туннелирования

Глава 2. Квазиклассическое описание туннелирования с образованием сфалерона

2.1 Вычисление полной вероятности перехода.

2.1.1 Метод комплексных траекторий.

2.1.2 Модифицированный метод.

2.2 Однородное приближение.

2.3 Эксклюзивные переходы

2.3.1 Эксклюзивные траектории.

2.3.2 Вероятность эксклюзивных переходов.

Глава 3. Туннелирование из начальных состояний с малыми значениями квантовых чисел

Глава 4. Квазиклассическое вычисление среднего времени перехода

4.1 Распределение вероятности по временам перехода.

4.2 Одномерные процессы активации

4.3 Поведение функции распределения вероятности при больших временах перехода.

4.4 Временные характеристики процессов туннелирования с образованием сфалерона

Глава 5. Квазиклассическое описание процесса хаотического туннелирования

5.1 Двумерная квантовомеханическая модель.

5.2 Классические отражения.

5.3 Надбарьерные отражения.

5.4 Точные квантовомеханические вычисления.

Глава 6. Пример системы с немонотонной зависимостью вероятности перехода от энергии

6.1 Описание модели.

6.2 Классические отражения.

6.3 Надбарьерные отражения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассическое описание процессов динамического туннелирования в многомерной квантовой механике»

Одним из наиболее распространенных непертурбативных процессов в квантовой физике является процесс туннельного перехода между состояниями, разделенными потенциальным барьером. Феномен туннелирования был открыт в 1928 году Г. А. Гамовым [1], который впервые получил решение уравнения Шредингера, описывающее переход частицы через энергетический барьер. Несмотря на то, что эффект туннелирования был открыт более 80 лет назад, туннельные процессы, в особенности процессы многомерного туннелирования, остаются чрезвычайно богатой темой для исследований [2—4].

Недавние исследования показали, что характеристики многомерных туннельных переходов существенно зависят от свойств, точнее, от степени «регулярности» классической динамики системы. В частности, выражения для туннельного расщепления энергетических уровней качественно различны в интегрируемых [5-9] и почти интегрируемых [10-16] моделях. Другим примером являются процессы туннелирования в нерегулярных (хаотических и смешанных) системах, которые в последние несколько десятилетий активно изучались как теоретически [17-32], так и экспериментально [33-39]. В перечисленных работах демонстрируется ряд свойств туннельных процессов в нерегулярных системах, которые не имеют «регулярных» аналогов.

Наиболее яркой особенностью туннельных процессов в системах с несколькими степенями свободы является наличие эффекта «динамического туннелирования» [40-42]. Данный эффект непосредственно связан с многомерной классической динамикой и отражает тот факт, что переходы могут быть классически запрещены даже в том случае, когда полная энергия системы превышает высоту эффективного потенциального барьера между начальными и конечными областями фазового пространства. На квантовом уровне вероятность таких переходов экспоненциально мала. Ясно, что процессы динамического туннелирования не имеют одномерных аналогов. Туннельные переходы при энергиях, не превышающих высоту потенциального барьера, мы будем называть «потенциальным туниелированием».

Именно динамическое туннелирование является предметом рассмотрения настоящей диссертации. Пожалуй, наиболее эффективным методом описания таких процессов является квазиклассический метод комплексных траекторий. С помощью этого метода задачу о вычислении вероятности туннели-рования можно свести к задаче нахождения комплексной траектории — комплексного решения классических уравнений движения в комплексном времени [10, 12, 13, 40, 43, 44]. Форма временного контура, а также граничные условия, накладываемые на комплексную траекторию в асимптотических прошлом и будущем, зависят от квантовых чисел начального и конечного состояний. Вероятность перехода имеет вид

V = А(д) е"^2 , (1) где д обозначает квазиклассический параметр — безразмерную комбинацию параметров системы, пропорциональную постоянной Планка. Величины F и А в выражении для вероятности туннелирования будем называть экспо-нентой подавления и предэкспоненциальным фактором соответственно. Экспонента подавления F вычисляется с помощью нахождения классического действия системы на комплексной траектории. Предэкспоненциальный множитель А вычисляется путем анализа линейных возмущений на фоне комплексной траектории.

Одним из достоинств метода комплексных траекторий является его широкая область применимости. Как правило, наиболее интересными являются задачи описания туннельных переходов в многомерных системах с нелинейным взаимодействием между степенями свободы. При этом особенно сложная ситуация возникает при рассмотрении систем, квантовые числа которых сильно меняются в процессе перехода. Методы, основанные на адиабатическом разложении вблизи действительной туннельной траектории в таком случае не работают, в отличие от метода комплексных траекторий, который позволяет получить правильный результат.

Вариант метода комплексных траекторий, пригодный для вычисления амплитуд рассеяния, был сформулирован и проверен численно в работах1 [4648], см. также обзор [40]. Дальнейшие исследования [10, 13, 14, 49-51] показали, что метод может быть применен также для вычисления волновых функций в классически запрещенных областях, вероятностей туннелирова-ния, расщеплений уровней в двухъямных потенциалах, а также вероятностей распада метастабильных состояний.

Метод комплексных траекторий непосредственно обобщается на системы с большим или даже бесконечным (теория поля) числом степеней свободы, в отличие, например, от методов, использующих решения уравнений Гамильтона - Якоби [12, 52]. Вариант метода комплексных траекторий, пригодный для описания туннельных процессов в квантовой теории поля, можно найти в работах [53, 54].

В недавних работах [28, 55-58] был обнаружен новый механизм динамического туннелирования. Данный механизм проявляется в несепарабельных системах с несколькими степенями свободы при энергиях, превышающих некоторую критическую энергию Ес. Значение критической энергии Ес зависит от деталей динамики рассматриваемой системы, однако оно всегда превышает высоту потенциального барьера между начальным и конечным состояниями. По-видимому, новый механизм туннелирования является общим для многомерных систем. При энергиях Е > Ес этот механизм имеет место в моделях с регулярной [56, 59, 60] и нерегулярной [28, 31, 55] динамикой, для переходов через одномерные потенциальные барьеры, зависящие от времени [57, 58, 61, 62], а также в случаях хаотического туннелирования2 [21-23, 63].

1 Отметим, что подобные методы применялись уже в 30-х Л.Д. Ландау для вычилсения квазиклассических матричных элементов [45].

2В хаотическом случае новый механизм туннелирования приводит к аномально слабому спаду волновой функции частицы в классически запрещенной области, что соответствует аномально большой вероятности туннелирования.

В моделях квантовой теории поля новый механизм является определяющим для туннельных процессов, индуцированных столкновениями высокоэнерге-тичных частиц [64-66].

Комплексные траектории, описывающие туннельный процесс при энергиях Е > Ес, обладают качественно новым свойством. Вместо того, чтобы интерполировать между начальными и конечными областями фазового пространства, они стремятся к нестабильной периодической орбите, лежащей на границе между начальной и конечной областями. В простейшем случае системы с двумя степенями свободы данная орбита описывает осцилляции вокруг седловой точки потенциального барьера. Следуя терминологии теории поля [67], будем называть эту орбиту сфалероном3 (или просто нестабильной периодической орбитой). В системах с более чем двумя степенями свободы граница между начальной и конечной областями образует ортогональное инвариантное гиперболическое многообразие (ОИГН) [3]. Термин ОИГН в настоящей диссертации не используется.

Таким образом, туннельный процесс при Е > Ес можно условно разбить на две стадии. На первой стадии образуется сфалеронное «состояние». На второй стадии сфалерон классически распадается в конечное состояние с вероятностью порядка единицы. Вероятность полного перехода остается экспоненциально малой, поскольку первая стадия процесса экспоненциально подавлена. Механизм туннелирования с образованием промежуточного нестабильного состояния будем называть туннелированием с образованием сфалеропа или сфалеронным туннелированием.

Целью диссертации является изучение механизма сфалеронного туннелирования, а также в разработка новых квазиклассических методов, применимых для описания сложных процессов многомерного туннелирования.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Панин, Александр Григорьевич

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Показано, что в случае, когда квазиклассические траектории, описывающие туннельный переход, нестабильны, туннельная вероятность подавлена дополнительным множителем д по сравнению с вероятностью в стандартном случае стабильных траекторий. Здесь д — квазиклассический параметр. Это позволяет говорить о физически новом механизме сфалеронного туннелирования, связанным с нестабильностью квазиклассических траекторий. Новая зависимость вероятности туннелирования от квазиклассического параметра — отличительная особенность нового туннельного механизма.

2. Приведен последовательный вывод квазиклассического метода е - регуляризации, применимого для описания процессов сфалеронного туннелирования. В этом случае получено выражение для вероятности туннелирования. С целью проверки метода проведено явное сравнение квазиклассической вероятности туннелирования с «точной» вероятностью, полученной с помощью численного решения уравнения Шредингера в модельном потенциале. Совпадение результатов подтверждает правильность метода.

3. Получены общие квазиклассические выражения для вероятности туннелирования, применимые в окрестности критической энергии Ес, соответствующей смене режимов потенциального туннелирования и туннелирования с образованием сфалерона. С целью проверки выражений проведено явное сравнение квазиклассической вероятности туннелирования при Е ж Ес с точной вероятностью, полученной с помощью численного решения уравнения Шредингера в модельном потенциале. Квазиклассический результат совпадает с точным.

4. На примере двумерной квантовомеханической модели проведен квазиклассический расчет экспонент подавления эксклюзивных переходов. Показано, что в режиме сфалеронного туннелирования существует область квантовых чисел конечного состояния, в которой экспонента подавления постоянна. Данное поведение экспоненты подавления является одной из отличительных характеристик нового туннельного механизма. Квазиклассическое выражение подтверждено явным сравнением экспоненты подавления с точным значением, полученным с помощью численного решения уравнения Шредингера в модельном потенциале. Показано, что предэкспоненциальные множители вероятностей потенциального и сфалеронного туннелирования пропорциональны д2 и д4 соответственно.

5. Получено квазиклассическое выражение для вероятности туннелирования, применимое при малых значениях квантовых чисел начального состояния. Показано, что вероятность туннелирования из состояний с малыми значениями квантовых чисел может быть получена как определенный предел от вероятности туннелирования из квазиклассических состояний. В модельной системе проведено явное сравнение квазиклассических и точных результатов для вероятности туннелирования из низ-колежащих состояний. Совпадение результатов подтверждает правильность квазиклассического метода.

6. Получено общее квазиклассическое выражение для функции распределения вероятности по времени туннельного перехода. Показано, что функция распределения является гауссовой если туннельный процесс описывается стабильной квазиклассической траекторией, и имеет асимметричную форму в случае, когда траектория нестабильна. В последнем случае распределение быстро достигает максимального значения, а затем медленно спадает в области больших времен перехода. Показано, что среднее время перехода и дисперсия времени масштабируются при изменении квазиклассического параметра д следующим образом: г) ос д°, а2 ос д2 в случае стабильных траекторий; (г) ос |lng|, а2 > д° в случае нестабильных траекторий. Эти зависимости подтверждены с помощью явного вычисления в двумерной квантовомеханической модели.

7. Исследована функция распределения по временам туннелирования в задаче о переходе волновых пакетов через одномерный потенциальный барьер. Показано, что в случае активационных процессов перехода, происходящих за счет ненулевой дисперсии импульса в начальном состоянии, функция распределения имеет универсальную форму распределения Гумбеля I рода. Квазиклассические результаты для распределения подтверждены прямым сравнением с точными в модельном потенциале.

8. Изучены туннельные переходы в двумерной квантовомеханической системе с хаотической динамикой на классическом уровне. Показано, что хаотичность системы приводит к бесконечному числу ветвей квазиклассических траекторий, описывающих переходы. Предложен метод классификации траекторий, а также эвристический метод выбора траектории, отвечающей минимальному значению экспоненты подавления. Проведено явное сравнение квазиклассической экспоненты подавления с точной экспонентой, полученной с помощью численного решения уравнения Шредингера в данной модели. Получено совпадение квазиклассических и точных результатов.

9. Построена двумерная квантовомеханическая модель, в которой экспонента подавления надбарьерного отражения ведет себя немонотонно, а именно, осциллирует как функция полной энергии.

В заключение автор хотел бы выразить искреннюю благодарность научным руководителям В. А. Рубакову и Д. Г. Левкову за постоянное внимание к работе и критические замечания. Автор благодарен Ф. Л. Безрукову и С. М. Сибирякову за плодотворное сотрудничество и ценные обсуждения на разных этапах работы, а также всем сотрудникам и аспирантам ИЯИ РАН за творческую атмосферу и доброжелательность. I

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панин, Александр Григорьевич, 2010 год

1. Г. А. Гамов. Очерк развития учения о строении атомного ядра. Теория радиоактивного распада // -УФН. -1930. -10. -у.531.

2. В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений классической механики. -М: Наука, 1976.

3. S. С. Creagh. Tunneling in complex systems. -World Scientiffic, Singapore, 1998.

4. S. Tomsovic. Tunneling and chaos // -Physica Scripta. -2001. -T190. -p. 162.

5. W. H. Miller. Semiclassical treatment of multiple turning-point problems — phase shifts and eigenvalues // -J. Chem. Phys. -1968. -48. -p.1651.

6. E. L. Sibert, J. T. Hynes, W. P. Reinhard. Quantum mechanics of local mode aba triatomic molecules // -J. Chem. Phys. -1982. -77. -p.3595.

7. R. E. Meyer. On Exponential Asymptotics for Nonseparable Wave Equations I: Complex Geometrical Optics and Connection // -SIAM J. Appl. Math. -1991. -51. -p.1585.

8. R. E. Meyer. On exponential asymptotics for nonseparable wave equations II: EBK quantization // -SIAM J. Appl. Math. -1991. -51. -p. 1602.

9. S. C. Creagh. Tunnelling in multidimensional systems // -J. Phys. -1994. -A27. -p.4969.

10. M. Wilkinson. Tunneling between tori in phase space // -Physica. -1986. -D21. -p.341.

11. M. Wilkinson. Narrowly Avoided Crossings // -J. Phys. -1987. -A20. -p.635.

12. S. Takada, H. Nakamura. Wentzel-Kramers-Brillouin theory of multidimensional tunneling: General theory for energy splitting / / J. Chem. Phys. -1994. -100. -p.98.

13. S. Takada, P. N. Walker, M. Wilkinson. Transfer-matrix approach to tunneling between Kolmogorov- Arnold- Moser tori // -Phys. Rev. -1995. -A52. -p.3546.

14. S. Takada. Multidimensional tunneling in terms of complex classical mechanics: Wave functions, energy splittings, and decay rates of nonintegrable systems // -J. Chem. Phys. -1996. -104. -p.3742.

15. S. C. Creagh, M. D. Finn. Evanescent coupling between discs: a model for near-integrable tunnelling // -J. Phys. -2001. -A34. -p.3791.

16. G. C. Smith, S. C. Creagh. Tunnelling in near-integrable systems // -J. Phys. -2006. -A39. -p.8283.

17. S. Adachi. Semiclassical approximations in wave mechanics // -Ann. Phys. -1989. -195. -p.45.

18. O. Bohigas, S. Tomsovic, D. Ullmo. Manifestations of classical phase space structures in quantum mechanics // -Phys. Rep. -1993. -223. -p.43.

19. E. Doron, S. D. Frischat. Semiclassical Description of Tunneling in Mixed Systems: Case of the Annular Billiard // -Phys. Rev. Lett. -1995. -75. -p.3661.

20. S. D. Frischat, E. Doron. Dynamical tunneling in mixed systems // -Phys. Rev. -1998. -E57. -p.1421.

21. A. Shudo, K. S. Ikeda. Complex Classical Trajectories and Chaotic Tunneling // -Phys. Rev. Lett. -1995. -74. -p.682.

22. A. Shudo, K. S. Ikeda. Semiclassical approximations in wave mechanics // -Phys. Rev. Lett. -1996. -76. -p.4151.

23. A. Shudo, K. S. Ikeda. Chaotic tunneling: A remarkable manifestation of complex classical dynamics in non-integrable quantum phenomena // -Physica. -1998. -D115. -p.234.

24. S. C. Creagh, N. D. Whelan. Complex Periodic Orbits and Tunneling in Chaotic Potentials // -Phys. Rev. Lett. -1996. -77. -p.4975.

25. S. C. Creagh, N. D. Whelan. Complex Periodic Orbits and Tunneling in Chaotic Potentials // -Phys. Rev. Lett. -1999. -82. -p.5237.

26. A. Mouchet, С. Miniatura, R. Kaiser, В. Gremaund, D. Delande. Chaos-assisted tunneling with cold atoms // -Phys. Rev. -2001. -E64. -p.016221.

27. A. Shudo, Y. Ishii, K. S. Ikeda. Julia set describes quantum tunnelling in the presence of chaos // -J. Phys. -2002. -A35. -p.L225.

28. T. Onishi, A. Shudo, K. S. Ikeda, K. Takahashi. Semiclassical study on tunneling processes via complex-domain chaos // -Phys. Rev. -2003. -E68. -p.056211.

29. A. D. Ribeiro, M. A. M. de Aguialer, M. Baranger. Semiclassical approximations based on complex trajectories // -Phys. Rev. -2004. -E69. -p.066204.

30. F. Parisio, M. A. M. de Aguilar. Semiclassical approximations based on complex trajectories // -J. Phys. -2005. -A38. -p.9317.

31. D. G. Levkov, A. G. Panin, S. M. Sibiryakov. Complex trajectories in chaotic dynamical tunneling // -Phys. Rev. -2007. -E76. -p.046209.

32. A. Backer, R. Ketzmerick, S. Lock, L. Schilling. Regular-to-Chaotic Tunneling Rates Using a Fictitious Integrable System // -Phys. Rev. Lett. -2008. -100. -p.104101.

33. C. Dembovski at al. First Experimental Evidence for Chaos-Assisted Tunneling in a Microwave Annular Billiard // -Phys. Rev. Lett. -2000. -84. -p.867.

34. R. Hofferbert at al. Experimental investigations of chaos-assisted tunneling in a microwave annular billiard // -Phys. Rev. -2005. -E71. -p.046201.

35. W. K. Hensinger at al. Dynamical tunnelling of ultracold atoms // -Nature. -2001. -412. -p.52.

36. W. K. Hensinger at al. Analysis of dynamical tunneling experiments with a Bose-Einstein condensate // -Phys. Rev. -2004. -A70. -p.013408.

37. D. A. Steck, W. H. Oskay, M. G. Raizen. Observation of Chaos-Assisted Tunneling between Islands of Stability // -Science. -2001. -293. -p.274.

38. D. A. Steck, W. H. Oskay, M. G. Raizen. Fluctuations and Decoherence in Chaos-Assisted Tunneling // -Phys. Rev. Lett. -2002. -88. -p.120406.

39. A. Backer at al. Dynamical Tunneling in Mushroom Billiards // -Phys. Rev. Lett. -2008. -100. -p.174103.

40. W. H. Miller. Classical-limit quantum mechanics and the theory of molecular collisions // -Adv. Chem. Phys. -1974. -25. -p.69.

41. M. J. Devis, E. J. Heller. Multidimensional wave functions from classical trajectories // J. Chem. Phys. -1981. -75. -p.246.

42. E. J. Heller, M. J. Devis. Quantum dynamical tunneling in large molecules. A plausible conjecture // -J. Phys. Chem. -1981. -85. -p.307.

43. A. M. Переломов, В. С. Попов, М. В. Терентьев. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // -ЖЭТФ. -1966. -50. -у. 1393.

44. В. С. Попов, В. Т. Кузнецов, А. М. Переломов. Квазиклассическое приближение для нестационарных задач // -ЖЭТФ. -1967. -53. -у.331.

45. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. -М.: Наука, 1989.

46. W. Miller. Classical S-matrix: Numerical application to inelastic collisions // -J. Chem. Phys. -1970. -53. -p.3578.

47. W. Miller, T. George. Semiclassical Theory of Electronic Transitions in Low Energy Atomic and Molecular Collisions Involving Several Nuclear Degrees of Freedom // -J. Chem. Phys. -1972. -56. -p.5637.

48. T. George, W. Miller. Classical S-matrix Theory of Reactive Tunneling: Linear H + H2 Collisions // -J. Chem. Phys. -1972. -57. -p.2458.

49. M. Wilkinson, J. Hannay. Multidimensional tunneling between excited states // -Physica. -1987. -27D. -p.201.

50. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. Tunneling of bound systems at finite energies: Complex paths through potential barriers // -quant-ph/9901062.

51. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. The semiclassical description of tunneling in scattering with multiple degrees of freedom // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.076004.

52. Z. Huang, T. Feuchtwang, P. Cutler, E. Kazes. Wentzel-Kramers-Brillouin method in multidimentional tunneling // -Phys. Rev. -1990. -A41. -p.32.

53. V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Towards the semiclassical calculability of high-energy instanton cross-sections // -Phys. Lett. -1992. -B279. -p.165-168.

54. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. False vacuum decay induced by particle collisions // -Phys. Rev. -1997. -D56. -p. 1156-1169.

55. T. Onishi, A. Shudo, K. S. Ikeda, K. Takahashi. Tunneling mechanism due to chaos in a complex phase space // -Phys. Rev. -2001. -E64. -p.025201.

56. F. Bezrukov, D. Levkov. Dynamical tunneling of bound systems through a potential barrier: complex way to the top // -ЖЭТФ. -2004. -125. -y.938-955.

57. K. Takahashi, K. S. Ikeda. Complex-classical mechanism of the tunnelling process in strongly coupled 1.5-dimensional barrier systems // -J. Phys. -2003. -A36. -p.7953.

58. K. Takahashi, K. S. Ikeda. An intrinsic multi-dimensional mechanism of barrier tunneling // -Europhys. Lett. -2005. -71. -p.193.

59. D. G. Levkov, A. G. Panin, S. M. Sibiryakov. Overbarrier reflection in quantum mechanics with multiple degrees of freedom // -Phys. Rev. -2007. -A76. -p.032114.

60. D. G. Levkov, A. G. Panin, S. M. Sibiryakov. Unstable Semiclassical Trajectories in Tunneling // -Phys. Rev. Lett. -2007. -99. -p.170407.

61. K. Takahashi, K. S. Ikeda. Anomalously Long Passage through a Rounded-Off-Step Potential due to a New Mechanism of Multidimensional Tunneling // -Phys. Rev. Lett. -2006. -97. -p.240403.

62. К. Takahashi, К. S. Ikeda. A plateau structure in the tunnelling spectrum as a manifestation of a new tunnelling mechanism in multi-dimensional barrier systems // J. Phys. -2008. -A41. -p.095101.

63. A. Shudo, Y. Ishii, K. S. Ikeda. Chaos attracts tunneling trajectories: A universal mechanism of chaotic tunneling // -Europhys. Lett. -2008. -81. -p.50003.

64. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Semiclassical study of baryon and lepton number violation in high-energy electroweak collisions // -Phys. Rev. -2003. -D68. -p.036005.

65. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Suppression of baryon number violation in electroweak collisions: Numerical results // -Phys. Lett. -2003. -B574. -p.75-81.

66. D. Levkov, S. Sibiryakov. Real-time instantons and suppression of collision-induced tunneling // -Письма в ЖЭТФ. -2005. -81. -у.60-64.

67. F. R. Klinkhamer, N. S. Manton. A saddle-point solution in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev. -1984. -D30. -p.2212.

68. D. G. Levkov, A. G. Panin, S. M. Sibiryakov. Signatures of unstable semiclassical trajectories in tunneling // -J. Phys. -2009. -A42. -p.205102.

69. D. G. Levkov, A. G. Panin, S. M. Sibiryakov. Long quantum transitions due to unstable semiclassical dynamics // -Phys. Rev. -2009. -A80. -p.052110.

70. E. H. Hauge, G. A. Stovneng. Tunneling times: a critical review // -Rev. Mod. Phys. -1989. -61. -p.917.

71. R. Landauer, T. Martin. Barrier interaction time in tunneling // -Rev. Mod. Phys. -1994. -66. -p.217.

72. D. Bohm. Quantum Theory. -Prentice-Hall, New York, 1951.

73. E. P. Wigner. Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift // -Phys. Rev. -1955. -98. -p. 145.

74. С. R. Leavens, G. С. Aers. Tunneling current density within Tersoff and hamann's theory of the scanning tunneling microscope // -Phys. Rev. -1989. -B39. -p.1202.

75. V. S. Olkhovsky, E. Recami. Tunneling Times and "Superlumi-nal" Tunneling: A brief Review // -Phys. Rep. -1992. -214. -p.339.

76. V. S. Olkhovsky, E. Recami, F. Raciti, A. K. Zaichenko. More about Tunnelling Times, the Dwell Time and the Hartman Effect // -J. de Physique-I. -1995. -5. -p.1351.

77. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov. Classical boundary value problem for instanton transitions at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B287. -p.342.

78. M. P. Mattis. The Riddle of high-energy baryon number violation // -Phys. Rep. -1992. -214. -p.159.

79. P. G. Tinyakov. Instanton-like transitions in high energy collisions // -Int. J. Mod. Phys. -1993. -A8. -p.1823.

80. V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Electroweak baryon number non-conservation in the early universe and in high-energy collisions // -Usp. Fiz. Nauk. -1996. -166. -p.493-537.

81. M. V. Berry, К. E. Mount. Semiclassical approximations in wave mechanics // -Rep. Prog. Phys. -1972. -35. -p.315.

82. Т. V. Voorhis, E. J. Heller. Nearly real trajectories in complex semiclassical dynamics // -Phys. Rev. -2002. -A66. -p.050501.

83. B. Eckhardt, C. Jung. Regular and irregular potential scattering // J. Phys. -1986. -A19. -p.L829.

84. B. Eckhardt. Irregular scattering // -Physica. -1988. -D33. -p.89.

85. P. Gaspard, S. A. Rice. Exact quantization of the scattering from a classically chaotic repellor // -J. Chem. Phys. -1988. -90. -p.2225.

86. A. S. Ioselevich, E. I. Rashba. Theory of rate of nonradiative trapping // -JETP. -1986. -64. -p.1137.

87. М. В. Voloshin. Catalyzed decay of false vacuum in four-dimensions // -Phys. Rev. -1994. -D49. -p.2014-2018.

88. M. Buttiker. Larmor precession and the traversal time for tunneling // -Phys. Rev. -1983. -B27. -p.6178.

89. D. Sokolovski, L. M. Baskin. Traversal time in quantum scattering // -Phys. Rev. -1987. -A36. -p.4604.

90. P. Sokolovski, J. N. L. Connor. Quantum interference and determination of the traversal time // -Phys. Rev. -1993. -A47. -p.4677.

91. M. Buttiker, R. Landauer. Traversal Time for Tunneling // -Phys. Rev. Lett. -1982. -49. -p.1739.

92. Т. E. Hartman. Tunneling of a wave packet // -J. Appl. Phys. -1962. -33. -p.3427.

93. H. G. Winful. Tunneling time, the hartman effect, and superluminality: a proposed resolution of an old paradox // -Phys. Rep. -2006. -436. -p.l.

94. T. Ohmura. Wave Packet Theory of Scattering. Time Delay and Spread. // -Prog. Theor. Phys. Suppl. -1964. -29. -p. 108.

95. W. Jaworsky, D. M. Wardlaw. Time delay in tunneling: Transmission and reflection time delays // -Phys. Rev. -1988. -A37. -p.2843.

96. C. Anastopoulos, N. Savvidou. Timc-of-arrival probabilities and quantum measurements // -J. Math. Phys. -2006. -47. -p.122106.

97. C. Anastopoulos, N. Savvidou. Time-of-arrival probabilities and quantum measurements. II. Application to tunneling times // -J. Math. Phys. -2008. -49. -p.022101.

98. A. M. Steinberg, P. G. Kwiat, R. Y. Chiao. Measurement of the single-photon tunneling time // -Phys. Rev. Lett. -1993. -71. -p.708.

99. E. H. Hauge, J. P. Falck, T. A. Fjeldly. Transmission and reflection times for scattering of wave packets off tunneling barriers // -Phys. Rev. -1987. -B36. -p.4203.

100. I. Affleck. On constrained instantons // -Nucl. Phys. -1981. -B191. -p.429.

101. E. J. Gumbel. Statistics of extremes. -Columbia University Press, New York, 1958.

102. П. В. Елютин, В.Д. Кривченков. Квантовая механика с задачами. -Физматлит, Москва, 2001.