Квантовый расчет методом волновых пакетов диссоциации димера Na2 + при столкновении с атомом He тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Бабиков, Дмитрий Анатольевич

• Бабиков, Дмитрий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бабиков, Дмитрий Анатольевич

Введение

Глава 1: Квазиклассическое описание неадиабатических процессов

§1. Уравнения движения.

§2. Разложение по колебательному базису.

§3. Метод связанных волновых пакетов.

§4. Приближение быстрого столкновения.

§5. Анализ конечных волновых пакетов.

§6. Дифференциальное сечение диссоциации.

§7. Метод учета фазы.

§8. Начальное колебательное возбуждение. Выводы

Глава 2: Расчет поверхностей потенциальной энергии и взаимодействий Часть 1: Теория. Часть 2: Результаты расчета.

§1. Основное электронное состояние.

§2. Возбужденные электронные состояния.

§3. Взаимодействия.

§4. Предварительный анализ процессов электронного возбуждения.

Глава 3: Применение квазиклассического метода связанных волновых пакетов Часть 1: Примеры динамики волновых пакетов

§1. Реализация метода.

§2. Примеры.

§3. Импульсный и электронный механизмы диссоциации. Часть 2: Временная зависимость заселенности электронных состояний

§1. Заселенность электронных состояний.

§2. Реализация приближения быстрого столкновения. Выводы

Глава 4: Детальное исследование диссоциации димера 1Яа\

Часть 1: Колебательно холодные димеры

§1. Диссоциация в основном электронном состоянии.

§2. Диссоциативное электронное возбуждение.

§3. Сравнение механизмов диссоциации.

§4. Дифференциальное сечение диссоциации. Часть 2: Колебательно возбужденные димеры

§1. Модель колебательного распределения.

§2. Дифференциальное сечение диссоциации. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовый расчет методом волновых пакетов диссоциации димера Na2 + при столкновении с атомом He»

Кластеры, это соединения некоторого числа атомов по размеру промежуточные между молекулами и объектами большими уже достаточно, чтобы называться твердое тело. Наука о кластерах стремительно развивается в последние годы, что обусловлено как теоретическим, так и прикладным интересом.

По размеру кластеры условно разделяются на малые, средние и большие [1]. «Малыми» кластерами называют, как правило, образования, свойства и форма которых кардинально зависят от числа составляющих их атомов. Если кластер велик настолько, что с изменением количества атомов его свойства изменяются довольно плавно, то говорят о кластерах « среднего » размера. Если свойства кластера приближаются к свойствам твердого тела, то этот кластер «большой». Большие кластеры имеют размер порядка нескольких нанометров. Чем же отличаются кластеры от молекул и от твердого тела?

Малые и средние кластеры отличаются от твердого тела существенно по крайней мере по двум причинам. Во-первых, большая доля их атомов находится на поверхности. Так, например, в кластере из 55 атомов натрия как минимум 32 находятся, в определенном смысле, на поверхности. Другое важное отличие состоит в том, что расстояния между электронными уровнями малых кластеров недостаточно мало, чтобы уровни могли быть объединены в зону проводимости. Уровни малых и средних кластеров напоминают молекулярные термы. Даже в довольно крупных кластерах и наноструктурах проявляются квантовые эффекты.

Чем же тогда отличаются кластеры от молекул? От молекул кластеры отличаются тем, что большинство молекул имеют строгое количество атомов и определенную форму, в то время как кластеры могут быть составлены из разного числа атомов и иметь множество устойчивых геометрий [2].

Кластеры являются исключительным объектом для теоретических исследований. Так, для малых кластеров можно пытаться применить различные методы молекулярной физики, начиная с подробных квантовомеханических ab initio расчетов электронной структуры, проходя через более приближенные методы функционалов плотности, и заканчивая уже значительно упрощенными методами эффективных потенциалов. Очевидно, однако, что для описания больших кластеров больше подходят методы физики твердого тела. Для таких объектов, например, уже могут быть введены понятия зоны проводимости и температуры, рассматриваться процессы испарения и конденсации. Один из важных вопросов физики кластеров и состоит в том, чтобы понять, где лежит граница между молекулой и твердым телом. Понятно, однако, что по этому поводу невозможно сформулировать однозначного утверждения, справедливого для всего многообразия существующих форм и составов кластеров.

Наши теоретические исследования были стимулированы проводящимися в последнее время экспериментальными исследованиями в области изучения фрагментации малых металлических кластеров в столкновениях с атомными частицами. Детальные исследования в этой области проводятся рядом экспериментальных групп, в том числе и в лаборатории LCAM*. Они были начаты в 1996 году с изучения диссоциации пучка димеров Nal в столкновениях с мишенью холодного газа атомов Не. За этой пионерской работой последовали эксперименты по фрагментации более сложных кластерных ионов: до Nal • Результаты этих исследований опубликованы в ряде статей [3,4,5].

Работа, изложенная в диссертации, является первым шагом теоретического изучения вышеуказанных процессов и посвящена теоретическому описанию диссоциации димеров NaJ, имеющих в лабораторной системе координат энергию Е^ = 1 keV, в столкновениях с атомами Не:

IkeV

Na¡ + Не => Na+ + Na + Не . (1)

Этот простейший случай является идеальным примером для понимания происходящих при фрагментации процессов. Случай диссоциации димера Nal важен еще и как основа для разработки методов описания более сложных систем. Кратко остановимся на результатах эксперимента.

Экспериментальное изучение заключалось в определении скорости и направления движения фрагментов кластера, что позволяло полностью восстановить механическую картину столкновения. Схема процесса в системе отсчета центра масс Не-Na?, изображена на рис. 1. Энергия

IkeV налетающего иона Nal в лабораторной системе отсчета соответствует энергии столкновения в системе центра масс Есм = 80 е V.

Процесс столкновения сопровождается диссоциацией димера Na\ и рассеянием частиц. Относительная энергия фрагментов £ и угол рассеяния X являются важными характеристиками процесса. Laboratoire des Collisions Atomiques et Moléculaires, Université Paris-Sud, France.

Ест = 80 е\/ /

Рис. 1. Схема процесса диссоциации димера Иа^ в столкновении с атомом Не в системе отсчета центра масс (ст)

Экспериментальный результат, представленный в виде дифференциального (по углу рассеяния и по энергии фрагментов) сечения диссоциации а(е,%), приведен на рис. 2.

На (е,х) диаграмме сечения диссоциации хорошо различаются три основные структуры. Здесь доминирует структура «I» в области больших значений угла рассеяния % • Она проходит вдоль всего представленного на графике диапазона энергии фрагментов е. Две другие структуры «II» и «III» расположены в области малых углов рассеяния и достаточно локализованы по диапазону значений е. Как можно объяснить такую картину? структура «I» экспериментального сечения является проявлением такого механизма.

Структуры «II» и «III», однако, лежат в области очень слабого рассеяния, где передаваемый импульс пренебрежимо мал. Понятно, что диссоциация посредством упругой передачи импульса здесь невозможна. Но тем не менее димер может диссоциировать и даже, в случае структуры «II», с довольно значительной энергией относительного движения осколков: е ~ 0.9 е V. Как же объяснить наблюдаемое экспериментально поведение?

Не исключено, что столкновения со слабым рассеянием могут тем не менее возбудить электронную структуру димера Nа\ в диссоциативное состояние. Такой неадиабатический процесс повлечет за собой диссоциацию димера в возбужденном электронном состоянии.

Подобное качественное объяснение зависимостей, демонстрируемых рис. 2, было предложено экспериментальной группой ЬСАМ в ряде публикаций [3,4,5]. Оно, разумеется, нуждается в серьёзном обосновании и подтверждении теоретическими расчетами.

Известно, однако, что детальное квантовомеханическое описание процессов передачи энергии поступательного движения во вращения и колебания является далеко нетривиальной задачей в реальных столкновительных системах атом-молекула. Проблема усложняется значительно, когда диссоциация и электронные переходы по отдельности или вместе начинают играть заметную роль. Поэтому важное практическое значение имеют приближенные квазиклассические методы, позволяющие описывать часть координат системы квантово, а часть классически.

Так известно, что использование классического или квазиклассического приближений устраняет многие трудности, обеспечивая разумное описание динамики тяжелых частиц в многоатомных системах. Это является основой так называемого приближения квазиклассической траектории [6,7,8] известного еще как метод адиабатической молекулярной динамики [9]. В этом методе все тяжелые частицы движутся согласно классическим законам движения под действием сил определяемых единой поверхностью потенциальной энергии*, обычно являющейся поверхностью основного электронного состояния исходящего из принципа Борна-Оппенгеймера [И]. Понятно, однако, что для описания неадиабатических столкновений, сопровождающихся электронным возбуждением, что является существенно квантовым явлением, этот метод должен быть модифицирован.

Уже довольно давно был предложен квазиклассический метод обобщенной траектории [12-13], в котором тяжелые частицы движутся по классическим траекториям, в то время как динамика электронов описывается уравнением Шредингера. Тогда, временная зависимость электронной части задачи (возбуждение электронных состояний) вносится классическим движением ядер. Но так как система находится одновременно на нескольких электронных уровнях, то единый потенциал, определяющий классическое движение ядер, не существует в принципе. Наряду с другими предложениями [7,9] была высказана идея о том, что наблюдаемое значение электронного гамильтониана, вычисляемое с использованием текущей когерентной суперпозиции заселенных электронных состояний, дает средний, достаточно реальный, единый потенциал. Интерес этого предложения заключается в том, что оно обеспечивает сохранение в среднем полной энергии системы, обеспечивая тем самым обмен энергией между квантовыми и классическими степенями свободы. Реализация подобного подхода в методе Саг-Рагте11о [10] широко используется в расчетах взаимодействия атомов и молекул с поверхностью твердого тела.

Подобный подход позволил достигнуть некоторого успеха в вычислениях интегральных сечений электронных переходов. Вместе с тем оказалось [9], что он плохо применим для расчета дифференциальных по энергии фрагментов сечений. Это является следствием допущения, что движение тяжелых частиц не зависит от того, в каком конкретно электронном состоянии находится система. Классическая часть задачи «знает» лишь среднее состояние квантовой части. Этот недостаток является серьезной проблемой при изучении энергетического спектра фрагментов диссоциации.

Для строгого описания энергетического спектра фрагментов диссоциативное движение ядер должно описываться с учетом того, в каком электронном состоянии находится система. Это может быть сделано привлечением квантового метода связанных волновых пакетов [14]. Он уже был успешно применен для описания многих проблем неадиабатической молекулярной динамики при довольно низких энергиях [15-20].

В Главе 1 диссертации, описывается квазиклассический метод, сочетающий в себе метод волновых пакетов, обеспечивающий строгое квантовое описание диссоциативного движения, и квазиклассический метод обобщенной траектории, привлеченный для описания относительного столкновительного движения. Метод излагается применительно к описанию диссоциации димеров Na\, в столкновениях с атомами Не. Основываясь на особенностях рассматриваемой задачи, вводятся предположения «замороженных» в течение столкновения колебаний и вращений димера.

В Главе 2 диссертации описывается вычисление диабатических поверхностей потенциальной энергии и взаимодействий для электронных состояний системы Не-Ná^ с помощью программы GAMES S.

В Главе 3 описывается практическая реализация квазиклассического метода волновых пакетов. С его использованием изучается временная зависимость заселенности возбужденных электронных состояний для нескольких конкретных столкновительных ситуаций в системе Не - N0^. Анализируется диссоциативная динамика в терминах волновых пакетов.

В Главе 4 представлены результаты детального исследования процесса диссоциации в рассматриваемой системе, вычисляется дифференциальное сечение диссоциации, проводится сравнение с экспериментом. Дополнительно рассматривается влияние начального колебательного возбуждения димера А1а\ на процесс диссоциации.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Бабиков, Дмитрий Анатольевич

Выводы

Подробный анализ процесса диссоциации, проведенный в этой главе, позволил идентифицировать различные структуры, наблюдаемые экспериментально на (е,%) диаграмме дифференциального сечения диссоциации. Так получено, что возбуждение диссоциативных Х^Зя и Х„3р состояний влечет за собой образование структуры расположенной в о области £ -0.9 еУ. Структура, расположенная в области (е ~0) является следствием диссоциации в слабосвязанном состоянии Пм3р. Процесс в основном электронном состоянии формирует типично импульсную структуру сечения диссоциации. Электронные процессы диссоциации проявляются при малых углах рассеяния <10°) а импульсный процесс лежит в области сильного рассеяния (х > 20°).

Было вычислено сечение диссоциации суммарное по всем электронным состояниям и среднее по всевозможным ориентациям димера. Получено хорошее согласие с экспериментом.

Оказалось, что процесс диссоциации довольно чувствителен к начальному колебательному возбуждению димера. Учет начального распределения димеров Ыа^ по колебательным состояниям позволил улучшить согласие с экспериментом.

Заключение

Данная работа является теоретическим описанием диссоциации димеров N0,2, имеющих энергию в лабораторной системе отсчета Еыв = 1 кеУ, в столкновениях с атомами Не, процесса, который был объектом детального экспериментального исследования в работах [3,4,5]. Анализ экспериментальных данных показал, что диссоциация димера Ыа^ происходит, возможно, по двум различным схемам: это либо упругая передача энергии столкновительного движения в энергию относительного движения атомов N0, (импульсный механизм), либо возбуждение димера в диссоциативное электронное состояние (электронный механизм). Поэтому теоретическое исследование процесса диссоциации проводилось в рамках неадиабатической молекулярной динамики.

Для этого был применен квазиклассический метод связанных

N у волновых пакетов [15-20], известный как наиболее развитая теория такого типа. Этот метод сочетает в себе квантовый метод волновых пакетов [14], позволяющий описывать электронное и колебательное (не важно, связанное или диссоциативное) движение квантово, и квазиклассический метод обобщенной траектории [12,13], позволяющий описывать столкновительное движение и вращение димера классически.

Опишем кратко иерархию приближений, необходимых для осуществления предлагаемой теоретической трактовки. Во-первых, мы следовали приближению Борна-Оппенгеймера о медленности движения ядер по сравнению с движением электронов. Это, приближение, обычное для молекулярной физики, позволило решать раздельно задачи для электронной подсистемы и для движения ядер.

Далее мы предположили, что заполненные электронные оболочки атомов А1а и атома Не остаются пассивными при столкновении. Это приближение хорошо выполняется в рассматриваемом диапазоне энергий Еыв = 1 кеУ и позволяет свести решение электронной задачи к описанию состояний одного внешнего не спаренного электрона димера Ыа2 в эффективном поле ионных остатков Иа+.

Далее было сделано квазиклассическое приближение для быстрого движения легкого атома Не, позволившее описывать классически относительное столкновительное движение системы Не - Иа2 ■ Справедливость этого утверждения была проверена оценкой длины волны атома Не при рассматриваемой энергии столкновения.

Следуя диабатическому построению, мы пренебрегли членами динамической связи в уравнении Шредингера. Справедливость этого предположения оправдана выводами более ранних работ по описанию подобных молекулярных систем в подобных столкновительных условиях.

Мы ограничили число вовлеченных в рассмотрение состояний, построив диабатический базис из 14 нижних адиабатических электронных состояний димера Ыа2. Справедливость этого приближения подтвердилась дальнейшими расчетами, показавшими, что даже из этих состояний реально участвуют в процессах электронного возбуждения лишь несколько нижних.

Было найдено, что за время столкновения димер не успевает значительно изменить свое положение. На основании этого было сделано приближение замороженных во время столкновения колебаний и вращений димера Ыа^, что позволило значительно снизить вычислительные затраты.

Основной целью работы было подробное изучение проявления импульсного и электронного механизмов фрагментации малых кластеров щелочных металлов на примере диссоциации димера Иа^. Наши результаты показывают, что импульсный механизм диссоциации (столкновительная диссоциация) реализуется в основном электронном состоянии. По существу он является процессом типа «атом-атом»: второй атом димера Ыа^ выступает пассивным наблюдателем в таком процессе. Так как столкновения с передачей значительного импульса сопровождаются значительным отклонением траектории, то импульсный механизм имеет место при больших углах рассеяния: % > 20°. В таких столкновениях не происходит электронного возбуждения, так как область димера, где возможны электронные переходы, находится достаточно далеко от области сильного рассеяния.

Электронный механизм диссоциации (диссоциативное электронное возбуждение) возможен при возбуждении димера в диссоциативное электронное состояние. Он реализуется в таких столкновениях, когда атом

Не проходит между ионами димера Ыа^. Этот процесс сопровождается слабым рассеянием (% < 10°), так как при этом траектория проходит вдали от ионов Ыа+.

Промежуточные случаи, реализуются редко. Они проявляются как импульсные «хвосты» электронных структур на диаграмме дифференциального сечения диссоциации. Такие столкновения состоят в возбуждении димера Ыа+ в диссоциативное электронное состояние с дополнительной упругой передачей импульса одному из ионов Na+. Эти процессы интересны с теоретической точки зрения, но важен тот факт, что их доля в общем явлении мала. Можно утверждать, что условия реализации импульсного и электронного механизмов диссоциации очень различны в рассматриваемой системе Не - Na\, эти два механизма существенно разные и протекают независимо.

Мы нашли, что в рассматриваемых столкновительных условиях лишь три возбужденных электронных состояния димера заселяются интенсивно. Это два строго диссоциативных состояния Lu3s и Zg3р и слабосвязанное состояние Пи3р. Свойства симметрии электронных облаков находят отражение в сечении диссоциации.

Результаты нашей работы позволили идентифицировать электронные структуры на {£,%) диаграмме дифференциального сечения диссоциации (Рис. 2). Так, структура «II» в области £ ~ 0.9 eV является следствием диссоциации в £и3s и Е^Зр возбужденных электронных состояниях, а структура «III» в области (е ~0,% ~0) образуется при диссоциации в слабосвязанном состоянии Tiu3p. Доминирующая импульсная структура «I» является исключительно результатом диссоциации в основном электронном состоянии Lg 3s.

В работе было исследовано влияние начального колебательного возбуждения димера Na% на процесс диссоциации и кроме очевидного прямого влияния наличия начальной колебательной энергии на импульсный механизм диссоциации, был найден далеко не очевидный квантовый эффект. Обнаружено, что начальное колебательное возбуждение имеет существенное влияние на диссоциативный спектр электронного механизма: с увеличением начального колебательного возбуждения энергия фрагментов диссоциации падает. Это явление объясняется зависимостью положения зоны вертикального перехода от вида начальной колебательной волновой функции.

Вопрос начального колебательного возбуждения так же был одной из задач, интересных для теоретического описания, так как начальный колебательный спектр пучка димеров Na2 не был доступен из эксперимента. Мы рассчитали теоретически колебательный спектр и получили усредненное по спектру сечение диссоциации. Хорошее согласие с экспериментом позволяет утверждать, что в эксперименте [3] димеры

Na2 были гораздо «холоднее», чем предполагалось ранее авторами работы

5].

Хорошее согласие наших результатов с детальным экспериментом [3] не только количественно обосновывает справедливость предложенной экспериментальной группой качественной трактовки результатов измерений, но и является свидетельством корректности наших теоретических построений.

Детально изученный механизм диссоциации димера Na2 является надежной отправной точкой для исследования фрагментации более сложных систем. Так, нами уже начата работа по теоретическому исследованию многоканальной фрагментации тримера Na$ экспериментально изученной в работе [4]. Электронные состояния этой системы были рассчитаны методом DIM (diatomics in molecul). Поверхность потенциальной энергии основного состояния системы

Не - Na¿ показана на рис. 34.

Эта система значительно сложнее изученной. Так, фрагментация может происходить здесь по многим каналам:

N&2 => Nü2 + Na Na¿ =Ф Na2 + Na+ Na¿ => Na+ +Na + Na

Кроме теоретических трудностей, эта задача гораздо сложнее в вычислительном плане в связи с увеличивающимся драматически количеством степеней свободы. Тем не менее нами уже получены убедительные подтверждения того, что многие принципиальные закономерности изученной фрагментации димера Ná^ остаются справедливы и для системы Nal. Эта тенденция доказывает важность описанной в диссертации работы как надежной основы для решения актуальных проблем физики кластеров.

Защищаемые положения

1. Результаты численного расчета электронной структуры системы Не - Ыа2, поверхностей потенциальной энергии и взаимодействий.

2. Квазиклассический метод связанных волновых пакетов применительно к исследованию диссоциации димера Ыа2 при столкновении с энергией Еыв = 1 ке¥ с атомом Не. Результаты численного исследования a) колебательной и диссоциативной динамики димера Ата2 при столкновении; b) зависимости заселенностей электронных состояний димера Ыа2 от времени при столкновении; c) проявления импульсного и электронного механизмов диссоциации димера Иа2 .

3. Эффективный метод анализа конечных волновых пакетов, основанный на использовании приближения «замороженных» во время столкновения колебаний и вращений димера.

4. Модель возникновения начального колебательного возбуждения димеров Ыа2 в условиях эксперимента и полученное на ее основании распределение димеров по колебательным уровням.

5. Результаты численного расчета двойного дифференциального (по углу рассеяния и по энергии фрагментов) сечения диссоциации димеров

Иа2. Идентификация наблюдаемых экспериментально каналов диссоциации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бабиков, Дмитрий Анатольевич, 1998 год

1. Haberland Н. Clusters of Atoms and Molecules. 1994.

2. Structures and Dynamics of Clusters. Universal Academy Press, Tokyo, Japan, 1995.

3. J. C. Brenot, H. Dunet, J. A. Fayeton, M. Barat and M. Winter. Phys. Rev. Let. 77, 1246(1997).

4. M. Barat, J.C. Brenot, H. Dunet, J.A. Fayeton. Z. Phys. D. 40, 323 (1997).

5. J. A. Fayeton, M. Barat, J. C. Brenot, H. Dunet, Y. J. Picard, U. Saalman andR. Schmidt. Phys. Rev. A 57, 1058 (1998).

6. D. G. Truhlar and J. T. Mucklaerman. Atom-Molecule Collision Theory. Ed. R. B. Bernstein Plenum Press, New York (1979), p.505.

7. V. Sidis. Adv. Atom. Mol. Opt. Phys. 26, 161 (1990) и ссылки в этой работе.

8. G.D. Billing. Classical Pass Approach to Inelastic and Reactive

9. Scattering// Supercomputer Algorithms for Reactivity, Dynamics and Kinetics of Small Molecules. Edited by A. Lagana, NATO ASI Series, Series C: Mathematical and Physical Sciences Vol. 227, page 333, 1989 Kluwer Academic Publishers, Norwell.

10. U. Saalman and R. Schmidt. Z. Phys. D. 38, 153 (1996).

11. R. Car andM. Parinello. Phys. Rev. Lett. 55, 2471 (1985).

12. Давыдов А. С. Квантовая механика, 1963.

13. V. Sidis. J. Phys. Chem. 93, 8128 (1989) и ссылки в этой работе.

14. Никитин Е.Е., Смирнов Б. М. Медленные атомные столкновения. М.: Энергоатомиздат, 1990.-254 с.

15. R. Kosloff. Time-Dependent Quantum-Mechanical Methodes for Molecular Dinamics// J. Phys. Chem., 1988, 92, 2087.

16. F. Aguillon, V. Sidis, J. P. Gauyacq. J. Chem. Phys. 95, 1020 (1991)

17. F. Aguillon. Chem. Phys. Let. 222, 69 (1994).

18. F. Aguillon. J. Chem. Phys. (в печати).

19. F. Aguillon, V. Sidis, and J. P. Gauyacq. Mol. Phys. 81, 169 (1994).

20. M. Sizun, F. Aguillon. Chem. Phys. 177, 157 (1993).

21. F. Aguillon, M. Sizun, V. Sidis, G. D. Billing and N. Marcovic. J. Chem. Phys. 104, 4530 (1996).

22. В. И. Лендьел и др. Введение в теорию атомных столкновений. -Киев, «Вища школа», 1986.

23. F. Т. Smith. Phys. Rev. 179,111 (1969).

24. М. Baer. Chem. Phys. Let. 35, 112 (1975).

25. M. Baer. Chem. Phys. 15, 49 (1976).

26. V. Sidis. Advances in Chemical Physics 82, 13 5 (1992).

27. C. Courbin-Gaussorgues, P. Wahnon and M. Barat. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 12, 3047 (1979).

28. C. Courbin-Gaussorgues and V. Sidis. J. Phys. B: At. Mol. Phys. 18, 699(1985).

29. A. E. de Pristo. J. Chem. Phys. 79, 1741 (1983).

30. Herzberg G. Molecular Spectra and Molecular Structure. 1989.

31. J. P. Hay, W. R. Wadt. J. Chem. Phys. 82, 270 (1985).

32. У. Флайгер. Строение и динамика молекул. М.: Мир, 1982.

33. Magnier S., F. Masnou-Seeuws. Mol. Phys. 89, 711 (1996).

34. Schaefer H. F. The Electronic Structure of Atomes and Molecules. 1972.

35. M. W. Schmidt, К. K. Baldridge, J. A. Boatz et. al. J. Comput. Chem. 14, 1347 (1993).

36. Демков Ю. H Перезарядка при малом дефекте резонанса//ЖЭТФ 1963, т. 45, стр. 195.

37. Nikitin Е. Е. The Theory of Non-Adiabatic Transitions: Resent Development with Exponential Models// Advances Quant. Chem., 1970, 5, p. 135.

38. Никитин Е. Е., Уманский С. Я. Неадиабатические переходы при медленных атомных столкновениях. М.: Атомиздат, 1972. - 272с.

39. Nikitin Е. Е. and Umanski S. Ya. Theory of Slow Atomic Collisions. -Springer Series in Chemical Physics, v. 30, Springer Verlag, Berlin, 1984.

40. C. Laforestier et. al. J. Сотр. Phys., 94, 59-80, 1991.

41. Nussbaumer H. J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. 2nd ed., Springer Verlag, Berlin, 1982.

42. Carl de Boor. A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New York, 1978.

43. Carl de Boor. Efficient Computer Manipulation of Tensor Products. -ACM translation on mathematical software 5, 173 (1979).

44. Numerical Recipes. Cambridge University Press, 1989.

45. Babikov D., F. Aguillon, M. Sizun, V. Sidis. Fragmentation of Na^ dimer ions in kilo-electron-Volt collision with He: A coupled wavepacket study// Phys. Rev. А. (в печати).

46. D. A. Babikov, F. Aguillon, M. Sizun et V. Sidis. Etude theorique de la fragmentation de petits agrégats de sodium par une methode de paquets d'onde couples// 5eme colloque DIAM. Reims, France, Juillet 1998.

47. D. A. Babikov, F. Aguillon, M. Sizun and V. Sidis. Coupled wave packet study of collision induced fragmentation of small sodium clusters// ECAMP VI. EPS Conference on Atomic and Molecular Physics. Siena, Italy, July 1998.

48. D. A. Babikov, F. Aguillon, M. Sizun and V. Sidis. Coupled wave packet study of collision induced fragmentation of small sodium clusters// MOLEC XII. European Conference on Dinamics of Molecular Collisions. Bristol, UK, September 1998.

49. N. F. Mott, H. S. W. Massey. The Theory of Atomic Collisions. Oxford University Press 1965, p. 103.