Квантовые поправки к гравитационному дальнодействию тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кирилин, Григорий Геннадьевич

• Кирилин, Григорий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирилин, Григорий Геннадьевич

Введение

1 Структура логарифмических вкладов

1.1 Метод интегрирования по областям.

1.2 Разложение по флуктуациям.

1.3 Вычисление функциональных детерминантов.2G

1.4 Лагранжиан скалярного массивного поля

1.5 Репараметризационная инвариантность.

1.G Правила Фейнмана для гравитонов и скалярных частиц.

2 Квантовые степенные поправки в закону Ньютона

2.1 Общий анализ.

2.2 Петлевые диаграммы и классические поправки к гамильтониану

Эйнштейна-Ипфельда-Гоффмана.

I 2.3 Квантовые степенные поправки к закону Ныотона.

3 Квантовые поправки к метрике

3.1 Точная амплитуда и эффективный оператор.

3.2 Амплитуда рассеяния усредненная по спину.

3.3 Квантовые поправки к метрике Шварцшильда.

3.4 Квантовые поправки к взаимодействиям, зависящим от скоростей частиц

4 Квантовые поправки к спиновым эффектам GO

4.1 Вращающееся тело, составленное из скалярных частиц.СО

4.2 Квантовые поправки к спиновым эффектам для частицы со спином 1/2 . . G

Матричные элементы.G

Квантовые поправки к спиновым эффектам.

Последние замечания относительно эффективных операторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые поправки к гравитационному дальнодействию»

Общая теория относительности (ОТО) - теория, которая описывает гравитационное взаимодействие между телами. Так же, как у любой другой физической теории, предсказательная сила ОТО, т. е. совокупность всех явлений, которые могут быть описаны данной теорией, имеет ограниченный характер. Данные ограничения связаны с наличием "разрешенной" области возможных значений величин, характеризующих описываемое явление. Границы подобных областей обычно выражаются в физических величинах, составленных из фундаментальных констант; это связано с тем, что при построении теории мы пренебрегли некоторыми фундаментальными свойствами природы, не существенными для описываемых явлений. Таким предельным параметром для ОТО является длина Планка lp = y/Gh/c?, характеризующая расстояния, на которых становятся существенными квантовые флуктуации самого гравитационного поля.

В силу указанных выше ограничений предпринимаются многочисленные попытки создать на основе ОТО квантовую теорию гравитации, которая описывала бы явления с характерными масштабами порядка планковской длины, и, в некотором пределе, переходила бы в классическую ОТО. Если интерпретировать уравнения Эйнштейна как уравнения для компонент гравитационного поля, то ОТО будет иметь много общего с классической теорией поля. Под словом "классическая" подразумевается теория поля, к которой применим гамильтонов формализм, т. е. поле в отсутствии источников можно рассматривать как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Арновитт, Дизер и Мизнер в работах [1-3] показали возможность определения обобщенных координат и канонически сопряженных импульсов гравитационного поля. В этих переменных уравнения Эйнштейна представляют собой уравнения Гамильтона. Следовательно, гравитационное поле можно "квантовать" стандартными способами, такими как каноническое квантование или интегрирование по траекториям. С этой точки зрения имеется прямая аналогия теорией с локальной калибровочной симметрией и квантовой гравитацией [4]. Дело в том, что ОТО изначально строилась в виде теории, инвариантной относительно группы общих преобразований координат: т Qmas ,п 9тп,а е (o.i) J 9тп,а(Х) <$(х, Х>) + 9ап{х) S,m(x, х') + 9ат(х) 5>п(х, х')} С{х') ^х', легко показать, что величина в квадратных скобках является битензорной плотностью, т. е. преобразуется как ковариантный тензор в точке х и как коваринатпая векторная плотность в точке х'. В общем виде выражение (0.1) можно переписать следующим образом:

SgA = Q\(9)C, (0.2) где под индексом А мы подразумеваем десять компонент, соответствующих ковариант-ному тензору, и координату х, а под индексом а мы подразумеваем компоненты кон-травариантной векторной плотности и координату х', причем повторяющийся индекс соответствует как суммированию, так и интегрированию. Величины Q удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям

QAa,DQDb — QAb,uQDa = C°abQAc , (0.3) которые являются следствием того, что диффеоморфизмы являются группой. Здесь запятой с последующим прописным индексом мы обозначили функциональную производную по <7л> а с°аЬ являются структурными константами группы.

Так же, как локальные калибровочные преобразования в КХД, преобразования (0.2) ведут к многочисленным следствиям. Так, например, калибровочная инвариантность сильно ограничивает выбор возможных структур при построении лагранжианов уже известных нам полей во внешнем гравитационном иоле. С учетом уже разработанной техники БРСТ квантования можно ввести дополнительные поля - духи Фадеева-Попова, с тем чтобы при построении теории возмущений явно сохранять инвариантность относительно БРСТ-преобразований, что сильно облегчает вычисления по сравнению с каноническим квантованием, использующим нековариантные калибровки1.

1 Можно сказать, что само понятие духов пришло в другие калибровочные теории из квантовой гравитации (см. работы ФсГпшапа [5] и Де-Витта [0-8]), рецепт же Фадеева-Попова [9] позволил до предела упростить всю процедуру построения лагранжиана духов.

Однако сразу же после формулировки ОТО в виде релятивистской квантовой теории поля с действием Эйнштейна стало ясно, что данная теория не проходит даже стандартных тестов на перенормируемость. Эффективная константа связи в действии Эйнштейна

0.4) постоянная Ньютона G = 6.7 • 10"39ГэВ~2, имеет размерность массы в отрицательной степени, что неизменно влечет за собой возрастающие с порядком теории возмущений степени расходимости интегралов для фейпмановских диаграмм. Самым простым примером может служить поляризация флуктуаций других полей внешним гравитационным полем [10-15]. Возникающие однопетлевые контрчлены должны иметь структуру типа counter = ^ (Ci RabRab + С2 R2 + С3 К*0*Robed) , (0.5) где с - бесконечно малый параметр регуляризации, а с* - константы, конкретное значение которых зависит от типа флуктуаций, Rabcd, Rab, R ~ тензор Римана, тензор Риччи и риманова кривизна, соответственно. Член, пропорциональный квадрату тензора Римана, можно исключить из выражения (0.5), поскольку в четырехмерном пространстве имеется тождество [16], аналогичное инварианту Гаусса-Бонне: у/=д (RabcdRabcd ~ 4RabRab + R2) = полная производная, (0.6) с помощью которого можно исключить квадрат тензора Римана и переопределить константы ci и С2. Оказывается, что почти во всех разумных случаях существует связь между константами: С1/С2 = —3. Это происходит тогда, когда след недиагонального матричного элемента от пеперенормированного тензора энергии импульса флуктуирующего поля равен нулю, т. е. поле имеет конформный вид. Исходя из соотношения унитарности, легко показать, что соответствующий контрчлен будет иметь вид: counter -2ci Са С Cabcd 1 (0-7) е где Cabcd - конформный тензор Вейля (более подробно мы рассмотрим флуктуации электромагнитного поля в Приложении Б). Если же рассматривать флуктуации самого гравитационного поля [21,23], то лагранжиан контрчленов (0.5) будет обращается в ноль JdiX

16тгС2 ад на уравнениях движения Rmn = 0, следовательно, может быть исключен с помощью соответствующего переопределения полей. Однако контрчлены, возникающие при вычислениях в более высоких петлях, не будут обращаться в ноль на уравнениях движения. Так, например, в двух петлях отсутствует двойной полюс 1/е2, а контрчлены сводятся к единственной структуре [24-26]: counter — Z п(Мл

- RabcdRcdefRef ab • (0.8)

47Г zooU е

Если рассматривать ОТО как низкоэнергетический предел некоторой более фундаментальной теории, то ОТО в этом смысле уникальна, т. е. она является единственно возможной теорией, совместимой с тремя простыми требованиями: лорепц-инвариантность, дальнодействие гравитационных сил и их односторонняя направленность (притяжение), а также тот факт, что отклонение света гравитационным полем практически не зависит от частоты света и его поляризации. В работах Вайнберга [27-29], а также Боулера и Дезера [31,32] показано, что безмассовые частицы со спиральностыо ±2 должны описываться эффективной полевой теорией, удовлетворяющей принципу эквивалентности, т. е. мягкие гравитоны должны взаимодействовать с любыми частицами абсолютно универсальным образом. Эта универсальность доказывается с помощью низкоэнергетических теорем, аналогичным соответствующим теоремам для тормозного излучения при рассеянии адронов, следствием которых является тот факт, что первые два члена при разложении амплитуды рассеяния по частоте фотона выражаются через амплитуду упругого рассеяния универсальным образом, т. е. независимо от деталей электромагнитной структуры адрона (более подробно мы рассмотрим соответствующие низкоэнергетические теоремы в главе 3 в связи с упругим рассеянием гравитона на частицах с различным спином).

Дезер и Боулер показали, что эффективное действие в этом случае полностью восстанавливается из аналитических свойств ^-матрицы и совпадает с действием Эйнштейна (0.4). В общем случае к плотности лагранжиана необходимо прибавить бесконечное число слагаемых более высокого порядка но дадтп с дополнительными феноменологическими константами, перенормировке которых соответствуют контрчлены (0.7), (0.8), т.е.

Cgrav.ig) = -Ш; (Я + R2 + с2llRmnRmn + сз/;RTRXn + ■■■)■ (0-9)

Данное выражение надо понимать как операторное разложение но величине lp Е, где Е -характерная энергия гравитонов. В соответствующем континуальном интеграле присутствуют степени свободы с длинами волн только до определенного масштаба ультрафиолетового обрезания //uv (конечно, для того чтобы сохранить калибровочную инвариантность на всех этапах вычислений, мы будем пользоваться размерной регуляризацией).

Хорошо известно, что с помощью эффективного действия можно рассматривать не только древесные амплитуды, но и ведущие логарифмические поправки к ним. Простейший пример логарифмических поправок в эффективной теории мягких пионов приведен в учебнике Вайнберга [33], их гравитационный аналог - петлевые поправки к амплитуде рассеяния четырех гравитонов - рассмотрен Данбаром и Норриджем [34,35].

Данная диссертация посвящена петлевым поправкам к амплитуде рассеяния двух частиц с массами т\ и т? при малой передаче импульса q2 <§C rnf. Данная амплитуда является функцией двух кинематических переменных: s = (pi + р2)2 и t = q2. Разложим данную амплитуду в пределе малых t:

A(s, t) = + + л2(5) i0g (4//ia) + Лз(5, fi) + 0(t). (0.10)

Как видно из всего предыдущего рассмотрения, полюсной член отвечает единичному обмену гравитоном. Как мы увидим ниже, член, содержащий y/—t, является следствием древесной итерации одиогравитонного обмена, член же, пропорциональный log(—t/fi), есть первая нетривиальная петлевая поправка к амплитуде (и, как видно из предыдущего рассмотрения, единственная, ведущий коэффициент перед которой определяется только классическими измерениями, т. е. константой G). В нерелятивистском пределе s —> (mi + т2) амплитуда (0.10) соответствует борцовскому ряду:

Л(р,р') = J e-^U{v)e^dv

- 2 р

J е~*'Г1й(г1)С+(гиТ1)й(т2)е^Чг1(1г2 + . , (0.11) где тп - приведенная масса, G+(ri, г2) - запаздывающая функция Грина. Таким образом, сравнивая амплитуды (0.10) и (0.11), можно вычислить потенциал взаимодействия двух тел. Первые два члена в амплитуде (0.10) отвечают закону Ныотона и классической поправке Эйнштейна-Инфельда-Гоффмана: /

А 1

2тг)3 q d3q 1 е щг = 1 zqr

4лт ' 1

2тг)3 |q| ~ 2тг2г2 ' член, независящий от t, дает короткодействующую поправку [38] к потенциалу типа

0.12) (0.13)

0.14) коэффициент перед которой включает в себя коэффициенты С\ или с2 в эффективном действии (0.9), следовательно, не может быть определен без каких-нибудь дополнительных измерений (помимо классических величин G или т»). Фурье-образ логарифма logq2, вообще говоря, расходится при больших q, однако данная расходимость приводит лишь к перенормировке короткодействующего потенциала типа (0.14). Чтобы увидеть это, достаточно рассмотреть какое-нибудь регуляризованпое представление логарифма: log = lim log

2J

Ro—»оо По log 4 At2.

Ro

Во

0.15) (0.16)

Вычислив фурье-образ от регуляризовапного логарифма d3q (2тг)3 \ э-ЩГ log

По

До + /X2 nRo i s; c-^dR log^5(r)~ 1 fi2

0.17)

2nr3 ' видим, что логарифмически расходящийся член может быть поглощен перенормировкой коэффициента о в выражении (0.14). Оставшаяся часть выражения (0.17) соответствует ведущей степенной квантовой поправке к закону Ньютона:

Gm,\m2 lp

U[4\r) = аг у л •

0.18)

Возможность вычислить коэффициент ах была указана уже в работе Боулера и Ди-зера [32] вместе с полным набором диаграмм. Однако неоднократные попытки [39-43] вычислить этот коэффициент упирались в довольно трудоемкие вычисления, так что не только сам коэффициент ai оставался неизвестен, но даже его знак не был надежно определен.2 Так, например, в работах Донохыо [39-42] грубой ошибкой было то, что для вычисления поправки (0.18) были учтены только диаграммы с одногравитонпым промежуточным состоянием в i-канале. Дело в том, что данные диаграммы только формально являются одночастично неприводимыми - они не содержат полюса по t, а стало быть, ничем не выделены по сравнению с другими диаграммами (однако даже некоторые из учтенных диаграмм были вычислены неправильно). Как мы увидим ниже, данный набор диаграмм вообще не является репараметризационно инвариантным, следовательно, вычисления с учетом только этих диаграмм в принципе не могли совпасть с результатами работ, в которых использовались другие полевые переменные, например, Хамбера и Лыо [45]. Данная ошибка приводила к тому, что даже классическая поправка Эйнштена-Инфельда-Гоффмана была вычислена неправильно (на это было указано в статье Музинича и Вокоса [43]). В нашей работе [62] было показано, что для корректного вычисления коэффициента а\ необходимо вычислить все диаграммы, содержащие в унитарном сечении в ^-канале две безмассовые частицы. К сожалению, и в нашей работе была допущена ошибка при вычислении диаграммы (рис. 7а). Мы это обнаружили, вычислив данную поправку в других полевых переменных; в нашей следующей работе [63] данная ошибка была исправлена. Однако хронологически первой работой, в которой коэффициент aj был вычислен правильно (конечно, с использованием полного набора диаграмм), является работа Бьеррума-Бора, Донохыо и Холстейна [47].

Кроме поправок к статическому потенциалу, интересно также вычислить поправки к взаимодействиям, зависящим от скоростей и/или внутренних угловых моментов (спинов) частиц. Поправки к этим взаимодействиям рассмотрены в главах 3 и 4 данной диссертации.

После анализа поправок к закону Ныотона следующим логическим шагом является вопрос, насколько эти поправки зависят от внутренних свойств взаимодействующих частиц. Как мы увидим ниже, поправки к закону Ныотона оказываются универсальными при усреднении амплитуды по спиновым состояниям частиц. Если дополнительное взаимодействие с гравитационным полем имеет универсальный характер, то, возможно, движение в таком потенциале отвечает нерелятивистскому пределу движения частицы в некоторой метрике, которая, помимо классической, имеет квантовую часть. Как

2Например, в некоторых работах [39-42,44] даже фурье-образ (0.17) был вычислен неправильно. мы увидим ниже, это не так. Это просто можно увидеть из следующих соображений: согласно принципу эквивалентности, в приближении слабого поля пробная частица взаимодействует с "жесткой" метрикой, создаваемой массивным центральным телом, через тензор-энергии импульса: hmnTmn. Из этого следует, что импульс пробной частицы должен входить в амплитуду рассеяния полиномиальным образом. Однако среди всех диаграмм, содержащих две безмассовые частицы в f-канале, есть диаграммы имеющие унитарный разрез в s-канале, т. е. амплитуда рассеяния не может быть целой функцией от s. Тем не менее, как мы покажем в главе 3, в случае рассеяния пробной частицы на скалярной частице, можно выделить универсальный эффективный оператор, в котором все характеристики сталкивающихся частиц входят мультипликативно через произведение тензоров энергии-импульса. На основе этого оператора в главе 3 мы получим квантовые поправки к метрике Шварцшильда.

Содержательная часть диссертации будет представлена в главах 2-4. Она основывается на работах автора диссертации, выполненных совместно с его научным руководителем [62-G5], хотя стиль изложения был существенно изменен, что, по мнению автора диссертации, способствует наиболее ясной интерпретации результатов.

При анализе петлевых поправок очень удобно сохранять язык континуального интегрирования, т. е. классифицировать различные вклады в терминах интегрирования по различным модам в континуальном интеграле. Удобство данной классификации состоит в том, что она позволяет четко понять структуру петлевых поправок к амплитуде рассеяния, а также провести аналогию с петлевыми поправками к потенциалу взаимодействия двух тяжелых кварков в КХД. Данную классификацию мы будем проводить с помощью метода разлоэюения вблизи порога (или метода интегрирования по областям), предложенного в работе Бенеке и Смирнова [50]. Краткое описание данного метода и названия соответствующих мод будет дано в разделе 1.1. С помощью метода интегрирования по областям мы выделим три типа логарифмических вкладов: ультрафиолетовый, гибридный и инфракрасный. Первый тип логарифмических вкладов возникает в петлевых интегралах, не зависящих от масс взаимодействующих тел. Он соответствует интегрированию по гравитонам с виртуальностью I2 много меньше масштаба ультрафиолетового обрезания [i2v и много больше q2. Гибридный вклад соответствует интегрированию по гравитонам с виртуальностью q2 <gc I2 т2. Инфракрасный вклад возникает в диаграммах, которые содержат две безмассовые частицы в унитарном сечении в ^-канале и которые инфракрасно расходятся при интегрировании по петлевому импульсу. Инфракрасный вклад соответствует интегрированию но гравитонам с виртуальностью /i? I2 q2, где щт - масштаб инфракрасного обрезания.

Разделение логарифмических вкладов особенно просто выглядит в случае рассеяния двух скалярных частиц. В разделе 1.4 мы введем специальную калибровку, которая позволит нам разделить вклады просто по количеству пропагаторов, входящих в петлевой интеграл. Так, например, ультрафиолетовый вклад будет содержаться только в диаграммах с двумя пропагаторами безмассовых частиц (рис. 8). Гибридный вклад будет содержаться только в "треугольных" диаграммах, т. е. в диаграммах с одним массивным пропагатором и двумя безмассовыми (рис. 7). Инфракрасный вклад будет содержаться в диаграммах с двумя безмассовыми и двумя массивными пропагаторами (рис. 9).

Для вычисления ультрафиолетового вклада мы будем использовать метод, предложенный в работах 'т Хофта [22] и 'т Хофта и Вельтмана [23]. Этот метод позволяет просто вычислять однопетлевые поправки к эффективному действию и при этом избежать явного (и достаточно трудоемкого) вычисления диаграмм (раздел 2.3). Кроме того, он позволяет получать ответы сразу в ковариантном виде, что будет нам существенно необходимо для вычисления квантовых поправок к метрике Шварцшильда (раздел 3.1). Также с помощью метода 'т Хофта и Вельтмана удобно проводить репараметризацион-ные преобразования (см. раздел 1.5).

Как было отмечено в самом начале данной главы, все вычисления возможных квантовые поправок так или иначе опираются на какие-либо предположения относительно поведения фундаментальной теории (хотя, конечно, трудно представить ситуацию, в которой операторное разложение (0.9) было бы несправедливо). Справедливость тех или иных предположений может определить только эксперимент. Однако, в силу чрезвычайной малости иланковской длины, прямая экспериментальная проверка наших результатов вряд ли возможна. Результаты диссертации должны рассматриваться как методический опыт по получению замкнутых конечных результатов в неперенормиру-емой теории. Однако возможно, что результаты одпопетлевых вычислений с участием гравитонов все-таки могут быть напрямую полезны. Свидетельство тому - работа [49].

- 13В ней показано, что эффективный нелокальный оператор типа axRmn\og{n/n2)Rmn + a2R log(D//x2)fi, (0.19) речь о котором будет идти ниже, может играть роль в космологии. Также интересно рассмотреть влияние нелокальных петлевых эффектов типа (0.19) в различных моделях коллапса [20]. Возможно также, что некоторые результаты могут быть использованы в качестве вспомогательных конструкций в теориях, использующих дополнительные измерения. Например, в работе [18] было показано, что вселенная может иметь еще одно дополнительное измерение (с метрикой AdSs), так что обычная материя оказывается локализована вблизи некоторого многообразия (horosphere). В такой теории гравитационное взаимодействие также отличается от ньютоновского. Майкл Дафф и Джеймс Лю [15] (см. также [17]), используя AdS/CFT соответствие [19], показали, что степенные поправки к закону Ньютона в модели Рендал-Сандрум соответствуют квантовым поправкам от флуктуаций некоторого набора конформных нолей во внешнем гравитационном поле. Данные поправки индуцируются нелокальными операторами типа (0.19), которые соответствуют контрчленам типа (0.7).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кирилин, Григорий Геннадьевич

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы:

• Вычислены одногютлевые поправки к амплитуде рассеяния двух массивных частиц пропорциональные логарифму квадрата переданного импульса. Рассмотрен случай бесспиновых частиц и частиц со спином 1/2.

• Вычислены ведущие квантовые поправки к закону Ныотона, степенным образом спадающие с расстоянием. Также получены степенные квантовые поправки к взаимодействиям, зависящим от скоростей частиц. Доказана универсальность данных взаимодействий.

• Из полной амплитуды рассеяния двух массивных частиц выделен универсальный эффективный оператор, который, как было показано, может быть проинтерпретирован как обмен эффективным гравитоном. На основе этого оператора вычислены степенные квантовые поправки к метрике Шварцшильда.

• С помощью усреднения по коллективному вращению тел, составленных их скалярных частиц, получены поправки к взаимодействиям, зависящим от внутренних угловых моментов (спинов) тел. Также найдены аналогичные поправки для частиц со спином 1/2. Данные поправки отличаются от поправок к спиновым эффектам при взаимодействии двух вращающихся тел, составленных из скалярных частиц.

Я искренне благодарен моему научному руководителю И.Б. Хрипловичу. Почти вся содержательная часть диссертации выполнена под его руководством и при его непосредственном участии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирилин, Григорий Геннадьевич, 2006 год

1. R. Arnowitt, S. Deser, C.W. Misner, Dynamical structure and defenition of energy in general relativity, Phys. Rev. 116 (1959) 1322.

2. R. Arnowitt, S. Deser, C.W. Misner, Canonical variables for general reativity, Phys. Rev. 117 (1960) 1595.

3. R. Arnowitt, S. Deser, C.W. Misner, The Dynamics of General Relativity. In: Gravitation, an Introduction of Current Research, Louis Witten (Ed) (1963) 227.

4. R. Utiyama, Invariant theoretical interpretation of interactions, Phys. Rev. 101 (1956) 1597.

5. R.P. Feynman, Quantum theory of gravitation, Acta Phys. Polon. 24 (1963) 697.

6. B.S. DeWitt, Quantum theory of gravity. I, Phys. Rev. 160 (1967) 1113.

7. B.S. DeWitt, Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory, Phys. Rev. 162 (1967) 1195.

8. B.S. DeWitt, Quantum theory of gravity. Ill, Phys. Rev. 162 (1967) 1239.

9. L.D. Faddeev, V.N. Popov, Perturbation theory for gauge invariant fields, Phys. Lett. B25 (1967) 29.

10. R. Utiyama, B. S. DeWitt, Renormalization of a clasical gravitational field interacting with quantized matter fields, J. Math. Phys. 3 (1962) 608.

11. S. Deser, P. van Nieuwenhuizen, Nonrenormalizability of the quantized Einstein-Maxwell system, Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 245.

12. A.F. Radkowski, Some aspects of the source description of gravitation, Ann. of Phys. 56 (1970) 319.

13. D.M. Capper, M.J. Duff, L. Halpern, Photon corrections to the gravitational propagator, Phys. Rev. D10 (1974) 461.4Ь

14. D.M. Capper, M.J. Duff, The one-loop neutrino contribution the graviton propagator, Nucl. Phys. B44 (1974) 146.

15. M.J. Duff, J.T. Liu, Complementary of the Maldacena and Randall-Sundrum pictures, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 2052; hep-th/0003237.

16. S.S. Chern, Geometry of a quadratic differential form, J. Soc. Indust. Appl. Math. 10 (1962) 751.

17. S.S. Gubser, AdS/CFT and gravity, Phys. Rev. D63 (2001) 084017.

18. L. Randall, R. Sundrum, An alternative to the compactification, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690.

19. J. Maldacena, The large N limit of superconformal fields theory and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231.

20. A. Fabbri et al, Quantum corrections to the Schwarzschild spacetime: backreaction in the Boulware vacuum; hep-th/0512167

21. D.M. Capper, G. Leibbrandt, M. R. Medrano, Calculation of the graviton sef-energy using dimentional regularization, Phys. Rev. D8, 4320 (1973).

22. G. 't Hooft, An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure, Nucl. Phys. B62 (1973) 444.

23. G. 't Hooft, M. Veltman, One-loop divergencies in the theory of gravitation, Ann. Inst. H. Poincare A20 (1974) 69.

24. M. Goroff, A. Sagnotti, The ultraviolet behavior of Einstein gravity, Nucl. Phys. B266 (1986) 709.

25. M. Goroff, A. Sagnotti, Quantum gravity at two loops, Phys. Lett. B160 (1985) 81.

26. A. E. M. van de Ven, Two loop quantum gravity, Nucl. Phys. B378 (1992) 309.

27. S. Weinberg, Derivation of gauge invariance and the equivalence principle from Lorentz invariance of the S-matrix, Phys. Lett. 9 (1964) 357.

28. S. Weinberg, Photons and gravitons in S-matrix theory : derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass, Phys. Rev. B135 (1964) 1049.

29. S. Weinberg, Photons and gravitons in perturbation theory: derivation of Maxwell's and Einstein's equations, Phys. Rev. B138 (1965) 988.

30. S. Weinberg, Ultraviolet divergences in quantum theories of gravitation , in General Relativity, ed. by S. W. Howking and W. Israel (Cambrige University Press, Cambrige, 1980); 790.

31. S. Deser, Self interaction and gauge invariance, Gen. Rel. Grav. 1 (1970) 9.

32. D. G. Bouhvare, S. Deser, Classical general relativity derived form quantum gravity, Ann. Phys. 89 (1975) 193.

33. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, §19.5, (Cambridge University Press 2001).

34. D.C. Dunbar and P.S. Norridge, Calculation of graviton scattering amplitudes using string based methods, Nucl. Phys. B433 (1995) 181.

35. D.C. Dunbar and P.S. Norridge, Infinities within graviton scattering amplitudes, Class. Quant. Grav. 14 (1997) 351.

36. N. Bambilla, A. Pineda, J. Soto, A. Vairo, Effective field theories for heavy quarkoniurn, submitted to Rev. Mod. Phys.; hep-ph/0410047.

37. A. Pineda, J. Soto, Potential NRQED: The positronium case, Phys. Rev. D59 (1998) 016005.

38. S.N. Gupta, S.F. Radford, Quantum field theoretical electromagnetic and gravitational two particle potentials, Phys.Rev. 21 (1980) 2213.

39. J.F. Donoghue, Leading quantum correcion to the Newtonian potential, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 2996; gr-qc/9310024.

40. J.F. Donoghue, General relativity as an effective field theory: The leading quantum corrections, Phys. Rev. D50 (1994) 3874; gr-qc/9405057.

41. J.F. Donogliue, Introduction to the effective field theory description of gravity, in Advanced School on Effective Theories, ed. by F. Cornet and M.J. Herrero (World Scientific, Singapore, 1996); gr-qc/9512024.

42. J.F. Donoghue, Perturbative dynamics of quantum general relativity,in Proceedings of the Eighth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, ed. by Tsvi Piran and Remo Ruffini (World Scientific, Singapore, 1999); gr-qc/9712070.

43. I.J. Muzinich, S. Vokos, Long range forces in quantum gravity, Pliys. Rev. D52, 3472 (1995); hep-th/9501083.

44. A. Akhundov, S. Belucci, A. Shiekh, Gravitational interaction to one loop in effective quantum gravity, Pliys. Lett. B395, 19 (1998); gr-qc/9611018.

45. H. Hamber, S. Liu, On the quantum corrections to the Newtonian potential, Phys. Lett. B357, 51 (1995); hep-th/9505182.

46. D. Dalvit, F.D. Mazzitelli, Geodesies, gravitons and the gauge fixing problem, Phys. Rev. D56, 7779 (1997); hep-th/9708102.

47. N.E.J. Bjerruin-Bohr, J.F. Donoghue, B.R. Holstein, Quantum gravitational corrections to the nonrelativistic scattering potential of two masses, Phys. Rev. D67, (2003) 084033; hep-th/0211072.

48. N.E.J. Bjerrum-Bohr, J.F. Donoghue, B.R. Holstein, Quantum corrections to the Schwarzschild and Kerr metric, Phys. Rev. D68, (2003) 084005; hep-th/0211071.

49. D. Espriu, T. Multarnaki, E.C. Vagenas, Cosmological significance of one-loop effective gravity, Phys. Lett. B628 (2005) 197; gr-qc/0503033.

50. M. Beneke, V. A. Smirnov, Asymptotic expansion of Feynman integrals near threshold, Nucl. Phys. B522 (1998) 312, hep-ph/9711391.

51. V. A. Smirnov, E. R. Rakhmetov, The regional strategy in the asymptotic expansion of two-loop vertex Feynman integrals, Tlieor. Math. Phys. 120 (1999) 870 Theor. Mat. Fiz. 120 (1999) 64] [hep-ph/9812529].

52. V. A. Smirnov, Applied Asymptotic Expansions In Momenta And Masses, Springer Verlag, Berlin, 2002.

53. M. Beneke, T. Feldmann, Factorization of heavy to light form factors in soft collinear effective theory, Nucl. Phys. В 685 (2004) 249 hep-ph/0311335].

54. V. A. Smirnov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 135 (2004) 252, hep-ph/0406052.

55. S. Friot, D. Greynat, E. de Rafael, Asymptotic of Feynman diagrams and the Mellin-Barnes representation, Phys. Lett. B628 (2005) 73; hep-ph/0505038.

56. A. Einstein, L. Infeld, B. Hoffmann, The gravitational equations and the problem of motion, Ann. Math. 39, 65 (1938).

57. A. Eddington, G. Clark, Second order Hamiltonian in general relativity, Proc. Roy. Soc. 166, 465 (1938).

58. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, §106, (Pergamon Press, Oxford 1975).

59. B.H. Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, §10, (Издательство "Атомиздат", Москва 1976).

60. D. J. Gross, R. Jackiw, Low-energy theorem for graviton scattering, Phys. Rew. 166 (1968) 1287.

61. Y. Ivvasaki, Quantum theory of gravitation vs. classical theory, Progr. Theor. Phys. 46, 1587 (1971).

62. I.B. Khriplovich, G.G. Kirilin, Quantum power correction to the Newton law, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 109, 1139 (2002); Sov. Phys. JETP 95, 981 (2002)]; gr-qc/0207118.

63. I.B. Khriplovich, G.G. Kirilin, Quantum long-range interactions in general relativity, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 125 (2004) 1219; Sov. Phys. JETP 98 (2004) 1063 ]; gr-qc/0207118.

64. G.G. Kirilin, Quantum corrections to spin effects in general relativity, Nucl. Phys. 125 (2005) 1219.

65. G.G. Kirilin, Quantum corrections to the Schwarzschild metric and reparametrization transformations; gr-qc/0601020

66. I.B. Khriplovich, A.A. Pomeransky, Equations of motion of spinning relativistic perticle in external fields, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 113, 1537 (1998); Sov. Phys. JETP 86, 839 (1998)]; gr-qc/9710098.

67. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics , § 5.2, (John Wiley&Sons, Inc. 1999).