Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Чижов, Алексей Владимирович

• Чижов, Алексей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чижов, Алексей Владимирович

Введение

1 Взаимодействие квантованного электромагнитного излучения с кристаллами

1.1 Квантовые корреляционные характеристики состояний бо-зонных полей.

1.2 Двухбозонная система.

1.3 Поляритонная модель

1.4 Взаимодействие фотонов с экситонами

1.5 Квантовое перепутывание двухбозонной системы.

1.6 Выводы к первой главе.

2 Квантовые корреляции мод излучения в комбинационном и бриллюэновском рассеяниях

2.1 Сжатие высших порядков стоксовой и антистоксовой мод в комбинационном рассеянии

2.2 Квантовое перепутывание стоксовой и антистоксовой мод

2.3 Сжатие высших порядков в бриллюэновском рассеянии

2.4 Выводы ко второй главе.

3 Квантовые фазовые распределения электромагнитного поля

3.1 Оператор фазы и фазовые распределения.

3.2 Фазовые распределения квазивероятности.

3.3 Фазовые свойства неклассических состояний света . 112 3.3.1 Смещенные фоковские состояния.

3.3.2 Сжатые фоковские и сжатые хаотические состояния

3.3.3 Двухмодовые сжатые фоковские состояния.

3.3.4 Квадратично-амплитудные сжатые состояния

3.4 Операциональный подход к описанию фазовых свойств электромагнитного поля

3.4.1 Фазовое представление через неотрицательные квантовые функции распределений.

3.4.2 Оптическая гомодинная томография.

3.5 Выводы к третьей главе.

4 Нелокальные квантовые корреляции импульсов электромагнитных полей в линейных диэлектриках с абсорбцией

4.1 Квантовое описание поля в линейном диэлектрике с абсорбцией

4.2 Преобразование квантовых состояний в линейных диэлектрических четырехполюсниках с абсорбцией

4.2.1 Преобразование матрицы плотности.

4.2.2 Схема замещения четырехполюсника

4.2.3 Преобразование в фазовом пространстве.

4.3 Декогеренция квантового оптического канала

4.3.1 Квантовая точность передачи состояний импульсов

4.3.2 Энтропийные меры корреляций импульсов.

4.3.3 Меры корреляций световых импульсов в диэлектрической пластине.

4.4 Квантовая телепортация состояний, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных.

4.4.1 Балансное гомодинирование.

4.4.2 Небалансное гомодинирование

4.5 Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах»

Актуальность темы

Усовершенствование техники оптических экспериментов в течение последних лет позволило наблюдать ряд новых явлений ярко выраженного квантового характера, которые не имеют объяснений с точки зрения классической физики. К их числу относятся квадратурное сжатие вакуумных флуктуаций электромагнитного поля [1]—[3], разгруппировка [4]-[6] и субпуассоновская статистика [7] фотонов, а также нарушение неравенства Коши-Шварца [8]. Подобные эксперименты открывают возможность детального изучения квантовых корреляций, теоретические основы описания которых были заложены в работах [9]-[21].

Исследования квантовых корреляций позволяют, с одной стороны, проверять предсказания квантовой электродинамики, а, с другой стороны, являются важными для развития методов прецизионных оптических измерений и создания новых систем оптической коммуникации с предельно низким уровнем шума. Кроме того, в силу известной общности бозонных систем, новые неклассические явления в оптике стимулируют поиск соответствующих аналогов в физике конденсированных сред. Это, в свою очередь, ставит задачу изучения эффектов взаимодействия неклассических состояний света с квантовыми возбуждениями в средах. Данная проблема является одной из ключевых, исследуемых в диссертации. Её решение представляется важным для создания новой элементной базы оптоэлектроники и разработки нанотехнологических устройств, таких как квантовые точки, квантовые проволоки и светодиоды [22, 23].

В настоящее время особый интерес представляет изучение различных неклассических свойств рассеянных полей и колебательных возбуждений среды в процессах комбинационного рассеяния [24]—[31]. Это, в свою очередь, ведет к генерации новых идей в методах оптической спектроскопии. С этой целью в диссертации впервые исследованы корреляции высших порядков полей рассеяния, такие как двухмодовое квадратурное сжатие второго порядка и суммарное сжатие [32]-[34]. Эти новые виды квантовых корреляций необходимы для более детального анализа квантовомеханических свойств и строения кристаллов, нанообъектов и т. д.

Следующей фундаментальной проблемой, обсуждаемой в диссертации, является концепция квантовой фазы, впервые сформулированная Дираком [35]—[44]. Возможность генерации различных неклассических состояний света обусловила новый интерес [45]—[52] к вопросу об определении понятия фазы и фазовых распределений в квантовой механике. В силу того что эрмитов оператор фазы, сопряженный оператору числа частиц, не может быть определен на бесконечном гильбертовом пространстве [36]—[38], особое внимание к определению фазы привлек не операторный формализм, а фазовые распределения, связанные с функциями квазивероятности [53]—[57], а также операциональный подход [58]-[61]. В диссертации представлены авторские методы получения фазовых распределений, основанные на функции Вигнера и на неотрицательных квантовых функциях распределений.

Использование квантовых коррелированных состояний электромагнитного поля весьма актуально и в теории квантовой информации. Именно в оптических системах были впервые выполнены эксперименты по передаче секретного кода в квантовой криптографии [62] и квантовому телепортированию фотонных состояний [63]—[65], что открывает принципиально новые перспективы в технологии оптической передачи информации. Ключевую роль в таких экспериментах играют квантовые перепутанные состояния поля, проявляющие нелокальные квантовые корреляции [66]—[71]. Однако эти состояния в значительной степени подвержены декогеренции. Причиной декогеренции в оптических схемах является наличие областей поглощения у диэлектрических материалов, из которых сделаны различные устройства: оптические волокна, светоделители, зеркала и др. Поэтому анализ влияния диэлектрических оптических устройств на квантовые свойства состояний электромагнитного поля является актуальной задачей теории квантовых оптических экспериментов.

Один из подходов к квантовому описанию электромагнитного поля в диэлектриках с учетом эффекта потерь состоит во включении в рассмотрение квантового резервуара [72, 73]. Такое описание достаточно хорошо отражает декогеренцию в бесконечных однородных средах, когда граничными эффектами можно пренебречь. Однако в задачах с пространственно неоднородными средами с заданной геометрией эффект декогеренции уже не может быть описан в рамках такого подхода. Поэтому для этого случая был развит подход к описанию поля, основанный на квантовании уравнений Максвелла для диэлектрических сред с помощью функции Грина, учитывающей пространственную неоднородность системы диэлектриков [74]—[76]. В диссертации развивается метод преобразования состояний электромагнитного поля, основанный на данном подходе, и применение этого метода к проблеме достоверной передачи квантовых состояний посредством телепортации по смешанному квантовому каналу.

Цель работы состояла в создании, развитии и приложении новых методов квантовой теории взаимодействия электромагнитного излучения с диспергирующими и абсорбирующими диэлектрическими средами. Эти методы предназначены для изучения квантовых корреляционных характеристик состояний электромагнитного поля и поляризационных возбуждений среды и анализа влияния эффектов диссипации на эти характеристики, а также для исследования способов надежной передачи квантовой оптической информации по зашумленным каналам связи.

Для реализации поставленной цели решены следующие основные задачи:

• выяснение условий возникновения неклассических состояний квантовых возбуждений кристаллов при оптических взаимодействиях и способов регистрации неклассических характеристик взаимодействующих полей;

• выявление роли диссипации в генерации высших корреляций между полями в комбинационном (бриллюэновском) рассеянии;

• анализ квантовых фазовых свойств электромагнитного поля на основе квантовых функций распределения в фазовом пространстве и описание способов детектирования фазовых распределений;

• построение преобразований квантовых состояний электромагнитного поля в неоднородных линейных диэлектриках с дисперсией и абсорбцией;

• исследование условий достоверной передачи квантовых состояний путем телепортации по квантовому каналу в диссипативных средах.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• впервые выполнен квантовый корреляционный анализ состояний поляризационных возбуждений кристаллов при распространении в них квантованного электромагнитного излучения. Данный анализ состоял в исследовании квадратурного сжатия, субпуассоновской статистики квантовых возбуждений кристаллов и их квантовой перепутанности с полем накачки в зависимости от начальных состояний и констант взаимодействия полей;

• впервые для генерации состояний суммарного сжатия и двухмодо-вого сжатия второго порядка предложено использовать вынужденное комбинационное рассеяние со стоксовой и антистоксовой модами. В этом процессе проанализированы условия возникновения таких типов сжатия и межмодовой квантовой корреляции в зависимости от начального состояния рассматриваемых мод и фононных возбуждений рассеивающей среды;

• предложен новый метод для описания фазовых распределений квантовых состояний электромагнитного поля, основанный на функции квазираспределения Вигнера. В рамках этого метода для различных состояний поля получены аналитические выражения фазовых распределений, дан анализ условий их применимости и выполнено сравнение с фазовыми распределениями других подходов, таких как операторный формализм Пегга-Барнетта и подход, связанный с функциями Хусими и Глаубера-Сударшана. Также предложено фазовое распределение, основанное на неотрицательных квантовых функциях распределения, и разработана схема генерации таких функций. На их основе предложен способ оптимального измерения фазовых распределений состояний поля;

• впервые выведены универсальные соотношения, связывающие квантовые состояния электромагнитных полей на входах и выходах линейного неоднородного диэлектрического четырехполюсника. Эти соотношения получены как для матриц плотности, так и для обобщенных функций квазивероятности и справедливы при любой пространственной и частотной зависимости коэффициента преломления четырехполюсника, включая зоны поглощения;

• развит метод достоверной квантовой телепортации состояний электромагнитного поля, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных. Метод применим для передачи состояний посредством распространения коррелированных мод по каналам связи с потерями.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в использовании созданных и разработанных методов для теоретического анализа и предсказания неклассических эффектов, возникающих при взаимодействии квантованного электромагнитного излучения со средой, а также для решения практических задач передачи, защиты и обработки квантовой информации.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах ЛТФ ОИЯИ, Политехнического института Ренсселаер (США), Физического института университета им. Ф. Шиллера г. Йена, физических факультетов университетов им. Гумболдьта г. Берлин и г. Ульм (ФРГ), г. Палермо и г. Пиза (Италия); на Международных совещаниях Международного центра теоретической физики (Триест, Италия) по конденсированному состоянию вещества, атомной и молекулярной физике (1990), по нелинейности "Шум в нелинейных системах" (1995), по квантовой информации и квантовым вычислениям (2002); на Международной школе по атомной и молекулярной спектроскопии Центра научной культуры "Этторе Майорана" (Эриче, Италия, 1991); на Международных конференциях по сжатым состояниям и соотношениям неопределенности ICSSUR (Балтимор, США, 1993; Балатонфюред, Венгрия, 1997); на Международной конференции по электронной теории и квантовой электродинамике: 100 лет спустя NATO ASI (Эдирне, Турция, 1994); на Международном семинаре по нелинейной и квантовой оптике (Познань, Польша, 1995); на Международной конференции "Интегралы по траекториям" (Дубна, 1996); на Международной конференции по квантовой оптике ICQO (Раубичи, Белоруссия, 2000); на IX Международной конференции "Методы симметрии в физике" (Ереван, 2001); на Международных коллоквиумах по интегрируемым системам и квантовым симметриям (Прага, Чехия, 2001, 2002, 2006); на Международных совещаниях по квантовой физике и коммуникациям QPC (Дубна, 2002, 2005, 2007); на IV Семинаре памяти Д. Н. Клышко (МГУ, Москва, 2005); на Минисимпозиуме "Нестандартные проблемы квантовой теории" (РУДН, Москва, 2005); на Международных школах-семинарах по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" КИФМС'2005 (Суздаль, 2005) и "Современные нанотехнология и нанофотоника для науки и производства" (Владимир, 2008); на Школе-семинаре для студентов и аспирантов "Актуальные вопросы квантовой информации" (Дубна, 2006); на XIII Международной конференции по избранным проблемам современной теоретической физики SPMTP08 (Дубна, 2008); на Тематической конференции по оптоинформатике ТМО'2008 (СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 34 работы, в том числе 25 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Личный вклад автора. Из всех работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены положения и результаты, полученные либо лично соискателем, либо при его определяющем участии в постановке задач и разработке методов их решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 185 наименований. Общий объем диссертации — 228 страниц. Диссертация содержит 58 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чижов, Алексей Владимирович

4.5 Выводы к четвертой главе

Построена теория преобразования состояний электромагнитного поля в линейных диэлектрических средах с дисперсией и абсорбцией, а также предложено применение этой теории в схемах передачи оптической информации.

Построение этой теории дано на основе операторных соотношений входа-выхода диэлектрических четырехполюсников с произвольным профилем коэффициента преломления. Полученные преобразования как для матриц плотности, так и для функций квазивероятностей позволяют описывать квантовые свойства электромагнитного поля при его прохождении через различные приборы оптических схем, такие как световоды, светоделители, интерферометры и др. Кроме того, найденный унитарный оператор преобразования состояний открывает возможность строить схемы замещения различных реальных оптических приборов в виде эквивалентных взаимосвязанных систем идеальных четырехполюсников для любых диапазонов частот.

В рамках предложенной теории выполнен анализ степени декогерент-ности квантового оптического канала, образованного двумя коррелированными световыми импульсами при их распространении по различным каналам связи с помехами за счет диэлектрических потерь. Исследования выполнены для световых импульсов, изначально находившихся в состоянии двухмодового сжатого вакуума, с использованием квантовой точности, энтропийных мер, таких как показатель корреляций и когерентной квантовой информации, и меры, определяемой логарифмической отрицательностью. Показано, что степень квантовой корреляции импульсов резко уменьшается с увеличением начального сжатия, т. е. начального перепутывания в квантовом канале.

Развит метод передачи квантовых состояний, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных, посредством квантовой телепортации с несимметричным квантовым каналом. В рамках этого метода для базовых оптических состояний, таких как когерентные и фоковские состояния, найдены условия, при которых обеспечивается их надежная телепортация как в случае балансного, так и небаланспого гомодиниро-вания на передающей станции.

Заключение

Просуммируем основные результаты диссертации.

1. Предсказаны эффекты генерации сжатых состояний и состояний с субпуассоновской статистикой для квантовых поляризационных возбуждений кристалла в процессах распространения квантованного электромагнитного излучения. Показано, что возникающее при этом квантовое перепутывание между возбуждениями кристалла и полем накачки не является монотонным во времени, а имеет сложный периодический характер, определяемый тепловыми флук-туациями кристалла.

2. Впервые доказано, что корреляции стоксовой и антистоксовой мод в вынужденном комбинационном рассеянии приводят к эффекту генерации сжатых состояний высших порядков, а также квантового перепутывания мод. Показано, что степень квантового сжатия и перепутывания мод в значительной степени определяется начальными состояниями мод и уровнем потерь в среде.

3. Развит подход к определению фазовых распределений состояний электромагнитного поля на основе квантовых функций распределения. Показано, что получаемые в этом подходе фазовые распределения для различных типов неклассических состояний поля применимы для интерпретации экспериментальных данных.

4. Предложен метод преобразования квантовых состояний электромагнитных полей линейными диэлектрическими четырехполюсниками с произвольным профилем коэффициента преломления. В рамках этого подхода установлено, что степень декогерентности квантового оптического канала, образованного двумя распространяющимися коррелированными световыми импульсами по линиям связи с помехами, существенно возрастает с ростом начальной квантовой коррелированности импульсов.

5. Развит метод квантовой телепортации состояний электромагнитного поля, зависящих от непрерывных переменных. Впервые описаны необходимые условия достоверной телепортации через квантовые каналы в диссипативных средах и показано, что уровень диссипации накладывает ограничение на выбор передаваемых состояний.

В силу вышеперечисленных результатов, разработанные в диссертации теоретические положения описания квантовых корреляционных характеристик электромагнитного поля в диссипативных средах в совокупности являются новым крупным научным достижением в области общих вопросов квантовой механики и их приложений в квантовой теории информации.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А. С. Шумовскому, открывшему ему удивительный мир квантовой оптики, что и послужило началом работы над настоящей диссертацией.

За многолетнюю совместную работу и постоянную поддержку автор глубоко благодарен своему другу и соавтору Рашиду Назмитдинову.

Автор искренне признателен своим соавторам Д.-Г. Велыну, С. И. Ви-ницкому, М. С. Зубайри, Л. Кнёллю, М. Г. А. Парису, Л. А. Севастьянову, Р. Танасю, Фам Ле Киену, Дж. В. Хаусу, В. Хмельовскому, а также Ц. Ганцогу, Б. Б. Говоркову (мл.), А. А. Гусеву, В. Де Ренци, К. С. Йонгу,

Б. К. Мурзахметову, Ш. Шеелю, Э. Шмидту, Г. Шраде и О. Штойерна-гелю за плодотворное сотрудничество.

За ценные обсуждения многих проблем, исследуемых в диссертации, автор благодарен профессорам С. М. Аракеляну, Ч. Бурдику, А. Вюнше, В. П. Гердту, В. П. Горбачеву, А. Я. Казакову, В. П. Карасеву, С. Я. Ки-лину, Г. Ю. Крючкяну, С. П. Кулику, О. В. Манько, X. Паулю, Ф. Пер-сико, О. Д. Тимофеевской, М. Хиллери, О. А. Хрусталеву и В. Шляйху.

Автор признателен своим коллегам по лаборатории Э. И. Алискенде-рову, Р. Заводны, Е. А. Кочетову, С. Е. Красавину, В. А. Москаленко, В. О. Нестеренко, Н. М. Плакиде, В. Н. Плечко, В. А. Осипову, В. Б. При-езжеву, М. А. Смондыреву, Хо Чунг Зунгу, Н. А. Черникову, А. Ю. Черному, В. И. Юкалову, В. Ю. Юшанхаю и В. С. Ярунину за интерес к работе и продуктивные дискуссии

Особая благодарность В. В. Пупышеву за критические замечания, которые содействовали улучшению рукописи данной диссертации.

За предоставление благоприятных условий для научной работы автор благодарен дирекции Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова и Объединенного института ядерных исследований.

Самые теплые слова благодарности автора предназначены его семье за понимание, терпение и поддержку на протяжение всего периода работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чижов, Алексей Владимирович, 2009 год

1. R. Е. Slusher, L. W. Hollberg, B. Yurke, J. C. Mertz, J. F. Valley. Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity. Phys. Rev. Lett. 55, pp. 2409-2412 (1985).

2. L.-A. Wu, H. J. Kimble, J. Hall, H. Wu. Generation of squeezed states by parametric down conversion. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 2520-2523 (1986).

3. Z. H. Lu, S. Bali, J. E. Thomas. Observation of squeezing in the phase-dependent fluorescence spectra of two-level atoms. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 3635-3638 (1998).

4. H. J. Kimble, M. Dagenais, L. Mandel. Photon antibunching in resonance fluorescence. Phys. Rev. Lett. 39, pp. 691-695 (1977).

5. M. Dagenais, L. Mandel. Investigation of two-time correlations in photon emissions from a single atom. Phys. Rev. A 18, pp. 2217-2228 (1978).

6. P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, A. Heidmann, S. Reynaud. Observation of photon antibunching in phase-matched multiatom resonance fluorescence. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 687-690 (1986).

7. R. Short, L. Mandel. Observation of sub-Poissonian photon statistics. Phys. Rev. A 51, pp. 384-387 (1983).

8. J. F. Clauser. Experimental distinction between the quantum and classical field-theoretic predictions for the photoelectric effect. Phys. Rev. D 9, pp. 853-860 (1974).

9. H. H. Боголюбов. К теории сверхтекучести. Известия АН СССР. Серия физическая, 77, № 1, стр. 11 (1947).

10. R. J. Glauber. The Quantum Theory of Optical Coherence. Phys. Rev. 130, pp. 2529-2539 (1963).

11. R. J. Glauber. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field. Phys. Rev. 131, pp. 2766-2788 (1963).

12. D. Stoler. Equivalence Classes of Minimum Uncertainty Packets. Phys. Rev. D 1, pp. 3217-3219 (1970).

13. E. Y. C. Lu. New coherent states of the electromagnetic field. Lett. Nuovo Cimento 2, pp. 1241-1244 (1971).

14. E. Y. C. Lu. Quantum correlations in two-photon amplification. Lett. Nuovo Cimento 3, pp. 585-588 (1972).

15. H. P. Yuen. Two-photon coherent states of the radiation field. Phys. Rev. A 13, pp. 2226-2243 (1976).

16. A. M. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения. УФН, т. 123, вып. 1, стр. 23-55 (1977).

17. J. N. Iiollenhorst. Quantum limits on resonant-mass gravitational-radiation detectors. Phys. Rev. D 19, pp. 1669-1679 (1979).

18. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man'ko. Generalized uncertainty relation and correlated coherent states. Phys. Lett. A 79, pp. 150-152 (1980).

19. С. M. Caves. Quantum-mechanical noise in an interferometer. Phys. Rev. D 23, pp. 1693-1708 (1981).

20. С. M. Caves. Quantum limits on noise in linear amplifiers. Phys. Rev. D 26, pp. 1817-1839 (1982).

21. С. М. Caves, В. L. Schumaker. New formalism for two-photon quantum optics. I. Quadrature phases and squeezed states. Phys. Rev. A 31, pp. 3068-3092 (1985).

22. L. P. Kouwenhoven, D. G. Austing, S. Tarucha. Few-electron quantum dots. Rep. Prog. Phys. 64, pp. 701-736 (2001).

23. J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. Willems van Beveren, S. Tarucha, L. M. K. Vandersypen, L. P. Kouwenhoven. Semiconductor few-electron quantum dots as spin qubits. Lecture Notes in Physics (Springer, Berlin), Vol. 667, pp. 25-95 (2005).

24. Д. H. Клышко. Фотоны и нелинейная оптика. М.: Наука, 1980.

25. Я. Перина. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений. М.: Мир, 1987.

26. М. G. Raymer, I. A. Walmsley. The quantum coherence properties of stimulated Raman scattering. Progress in Optics XXVIII, ed. E. Wolf. North-Holland, Amsterdam, Chap. 3, pp. 183-270 (1990).

27. J. Perina. Photon statistics in Raman scattering of intense coherent light. Opt. Acta 28, p. 325 (1981).

28. J. Perina. Photon statistics in Raman scattering with frequency mismatch. Opt. Acta 28, p. 1529 (1981).

29. A. Pieczonkova, J. Perina. Statistical properties of Brillouin scattering. Czech. J. Phys. В 31, pp. 837-856 (1981).

30. J. Perina, V. Perinova, J. Kodousek. On the relations of antibunching, sub-Poissonian statistics and squeezing. Opt. Commun. 49, pp. 210-214 (1984).

31. S. V. Kuznetsov, О. V. Man'ko, N. V. Tcherniega. Photon Distribution Function, Tomogramms and Entanglement in Stimulated Raman Scattering. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 5, pp. S503-S512 (2003).

32. С. K. Hong, L. Mandel. Higher-Order Squeezing of a Quantum Field. Phys. Rev. Lett. 54, pp. 323-325 (1985).

33. L. Mandel, С. К. Hong. Coherence, Cooperation and Fluctuations. Cambridge: Cambridge University Press, 1986).

34. M. Hillery. Sum and difference squeezing of the electromagnetic field. Phys. Rev. A 40, pp. 3147-3155 (1989).

35. P. A. M. Dirac. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation. Proc. R. Soc. London Ser. A 114, № 767, pp. 243-265 (1927).

36. F. London. Winkelvariable und kanonische Transformationen in der Un-dulationsmechanik. Z. Phys. 40, № 3-4, pp. 193-310 (1927).

37. L. Susskind, J. Glogower. Quantum mechanical phase and time operator. Physics 1, № 1, pp. 49-61 (1964).

38. P. Carruthers, M. M. Nieto. Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics. Rev. Mod. Phys. 40, pp. 411-440 (1968).

39. J. C. Garrison, J. Wong. Canonically Conjugate Pairs, Uncertainty Relations, and Phase Operators. J. Math. Phys. 11, pp. 2242-2249 (1970).

40. В. H. Попов, В. С. Ярунин. Об операторе фазы линейного гармонического осциллятора. Вестник Ленинградского университета, 22, стр. 7-12 (1973).

41. V. N. Popov, V. S. Yarunin. Quantum and quasi-classical states of the photon phase operator. J. Mod. Opt. 39, № 7, pp. 1525-1531 (1992).

42. J.-M. Levy-Leblond. Azimuthai quantization of angular momentum. Revista Mexicana de Fisica 22, p. 15 (1973).

43. T. S. Santhanam. Quantum mechanics in discrete space and angular momentum. Found. Phys. 7, № 1-2, pp. 121-127 (1977).

44. T. S. Santhanam, K. B. Sinha. Quantum mechanics in finite dimensions. Australian J. Phys. 31, p. 233 (1978).

45. J. Bergou, B.-G. Englert. Operators of the phase: Fundamentals. Ann. Phys. 209, № 2, pp. 479-505 (1991).

46. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Unitary Phase Operator in Quantum Mechanics. Europhys. Lett. 6, pp. 483-487 (1988).

47. S. M. Barnett, D. T. Pegg. On the Hermitian Optical Phase Operator. J. Mod. Opt. 36, № 1, pp. 7-19 (1989).

48. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Phase properties of the quantized singlemode electromagnetic field. Phys. Rev. A 39, pp. 1665-1675 (1989).

49. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Tutorial review Quantum optical phase. J. Mod. Opt. 44, № 2, pp. 225-264 (1997).

50. S. M. Barnett, D. T. Pegg. Quantum theory of optical phase correlations. Phys. Rev. A 42, pp. 6713-6720 (1990).

51. R. Tanas, Ts. Gantsog. Phase properties of fields generated in a multiphoton down-converter. Phys. Rev. A 45, pp. 5031-5038 (1992).

52. Ts. Gantsog, R. Tanas. Phase properties of the two-mode squeezed vacuum states. Phys. Lett. A 152, pp. 251-256 (1991).

53. W. Schleich, A. Bandilla, H. Paul. Phase from Q function via linear amplification. Phys. Rev. A 45, pp. 6652-6654 (1992).

54. U. Leonhardt, H. Paul. Phase measurement and Q function. Phys. Rev. A 47, pp. R2460-R2463 (1993).

55. M. Freiberger, W. Schleich. Photon counting, quantum phase, and phase-space distributions. Phys. Rev. A 47, pp. R30-R33 (1993).

56. M. Freiberger, K. Vogel, W. Schleich. From photon counts to quantum phase. Phys. Lett. A 176, pp. 41-46 (1993).

57. R. Tanas, Ts. Gantsog, A. Miranowicz, S. Kielich. Quasi-probability distribution Q(alpha, alpha*) versus phase distribution P(theta) in a description of superpositions of coherent states. J. Opt. Soc. Am. B 8, pp. 1576-1582 (1991).

58. J. W. Noh, A. Fougères, L. Mandel. Measurement of the quantum phase by photon counting. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 1426-1429 (1991).

59. J. W. Noh, A. Fougères, L. Mandel. Operational approach to the phase of a quantum field. Phys. Rev. A 45, pp. 424-442 (1992).

60. J. H. Shapiro, S. S. Wagner. Phase and amplitude uncertainties in heterodyne detection. IEEE J. Quantum Electron. 20, pp. 803-813 (1984).

61. S. L. Braunstein, C. M. Caves. Phase and homodyne statistics of generalized squeezed states. Phys. Rev. A 42, pp. 4115-4119 (1990).

62. A. K. Ekert. Quantum cryptography based on Bells theorem. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 661-663 (1991).

63. D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurtner, A. Zeilinger. Experimental quantum teleportation. Nature 390, pp. 575579 (1997).

64. D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy, S. Popescu. Experimental realization of teleporting an unknown pure quantum state via dualclassical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 80, pp. 1121-1125 (1998).

65. T. C. Ralph, P. K. Lam. Teleportation with bright squeezed light. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 5668-5671 (1998).

66. E. Schrödinger. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften 23, pp. 807-822; 823-828; 844-849 (1935).

67. J. S. Bell. On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. Physics 1, pp. 195200 (1964).

68. J. S. Bell. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. Rev. Mod. Phys. 38, pp. 447-452 (1966).

69. A. Aspect, P. Grangier, G. Roger. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities. Phys. Rev. Lett. 49, pp. 91-94 (1982).

70. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers. Phys. Rev. Lett. 49, pp. 1804-1807 (1982).

71. Z. Y. Ou, L. Mandel. Violation of Bell's inequality and classical probability in a two-photon correlation experiment. Phys. Rev. Lett. 61, pp. 50-53 (1988).

72. J. J. Hopfield. Theory of the contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals. Phys. Rev. 112, pp. 1555-1567 (1958).

73. B. Huttner, S. M. Barnett. Quantization of the electromagnetic field in dielectrics. Phys. Rev. A 46, pp. 4306-4322 (1992).

74. T. Gruner, D.-G. Welsch. Correlation of radiation-field ground-state fluctuations in a dispersive and lossy dielectric. Phys. Rev. A 51, pp. 3246-3256 (1995).

75. T. Gruner, D.-G. Welsch. Green-function approach to the radiation-field quantization for homogeneous and inhomogeneous Kramers-Kronig dielectrics. Phys. Rev. A 53, pp. 1818-1829 (1996).

76. T. Gruner, D.-G. Welsch. Quantum-optical input-output relations for dispersive and lossy multilayer dielectric plates. Phys. Rev. A 54, pp. 1661-1677 (1996).

77. L. Mandel, E. Wolf. Optical coherence and quantum optics. Cambridge Univ. Press, 1995.

78. R. Hanbury Brown, R. Q. Twiss. Correlation between Photons in two Coherent Beams of Light. Nature 177, pp. 27-29 (1956).

79. F. Davidson, L. Mandel. Correlation measurements of laser beam fluctuations near threshold. Phys. Lett. A 25, pp. 700-701 (1967).

80. R. Loudon, P. L. Knight. Squeezed light. J. Mod. Opt. 34, pp. 709-759 (1987).

81. M. C. Teich, B. E. A. Saleh. Squeezed states of light. Quantum Opt. 1, pp. 153-191 (1989).

82. S. M. Barnett, P. L. Knight. Thermofield analysis of squeezing and statistical mixtures in quantum optics. J. Opt. Soc. Am. B 2, pp. 467-479 (1985).

83. M. Hillery. Amplitude-squared squeezing of the electromagnetic field. Phys. Rev. A 36, pp. 3796-3802 (1987).

84. M. Hillery. Squeezing of the square of the field amplitude in second harmonic generation. Opt. Commun. 62, pp. 135-138 (1987).

85. E. P. Wigner. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. Rev. 40, pp. 749-759 (1932).

86. Я. П. Терлецкий. О предельном переходе квантовой механики в классическую. ЖЭТФ, т. 7, вып. 11, стр. 1290-1298 (1937).

87. D. I. Blokhintzev. The Gibbs quantum ensemble and its connection with the classical ensemble. J. Phys. USSR Vol. II, No. 1, pp. 71-74 (1940).

88. К. E. Cahill, R. J. Glauber. Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators. Phys. Rev. 177, pp. 1857-1881 (1969); Density Operators and Quasiprobability Distributions. Phys. Rev. 177, pp. 1882-1902 (1969).

89. E. C. G. Sudarshan. Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams. Phys. Rev. Lett. 10, pp. 277-279 (1963).

90. Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

91. S. М. Barnett, P. L. Knight. Squeezing in Correlated Quantum Systems. J. Mod. Opt. 34, № 6-7, pp. 841-853 (1987).

92. V. Vedral, M. B. Plenio. Entanglement measures and purification procedures. Phys. Rev. A 57, pp. 1619-1633 (1998).

93. S. M. Barnett, S. J. D. Phoenix. Entropy as a measure of quantum optical correlation. Phys. Rev. A 40, pp. 2404-2409 (1989).

94. B. Schumacher, M. Nielsen. Quantum data processing and error correction. Phys. Rev. A 54, pp. 2629-2635 (1996).

95. H. Barnum, M. A. Nielsen, B. Schumacher. Information transmission through a noisy quantum channel. Phys. Rev. A 57, pp. 4153-4175 (1998).

96. A. Peres. Separability Criterion for Density Matrices. Phys. Rev. Lett. 77, pp. 1413-1415 (1996).

97. P. Horodecki. Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition. Phys. Lett. A 232, pp. 333-339 (1997).

98. G. Vidal, R. F. Werner. Computable measure of entanglement. Phys. Rev. A 65, p. 032314 11 pages] (2002).

99. M. Kozierowski, R. Tanas. Quantum fluctuations in second-harmonic light generation. Opt. Commun. 21, pp. 229-231 (1977).

100. L. Mista, J. Perina. Anticorrelation effect in parametric amplification processes. Czech. J. Phys. В 27, pp. 831-834 (1977).

101. A. Bandilla, H. H. Ritze. Enhancement of photon antibunching by interference I. Young's interference experiment. Opt. Commun. 28, pp. 126130 (1979).

102. L. Mandel. Squeezing and photon antibunching in harmonic generation. Opt. Commun. 42, pp. 437-439 (1982).

103. L. Pitaevskii, S. Stringari. Bose-Einstein Condensation. Clarendon, Oxford, 2003.

104. А. С. Давыдов. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976.

105. V. V. Dodonov, А. В. Klimov, V. I. Man'ko. Generation of squeezed states in a resonator with a moving wall. Phys. Lett. A 149, pp. 225-228 (1990).

106. S. Sarkar. Photon statistics and moving mirrors. Quantum Opt. 4, pp. 345-353 (1992).

107. С. K. Law. Effective Hamiltonian for the radiation in a cavity with a moving mirror and a time-varying dielectric medium. Phys. Rev. A 49, pp. 433-437 (1994).

108. J. R. Klauder. The Action Option and the Feynman Quantization of Spinor Fields in Terms of Ordinary c-Numbers. Ann. Phys. 11, pp. 123168 (1960).

109. M. Hillery, M. S. Zubairy. Path-integral approach to problems in quantum optics. Phys. Rev. A 26, pp. 451-460 (1982).

110. G. A. Garret, A. G. Rojo, A. K. Sood, J. F. Whitaker, R. Merlin. Vacuum Squeezing of Solids: Macroscopic Quantum States Driven by Light Pulses. Science 275, pp. 1638-1640 (1997).

111. Y. G. Semenov, K. W. Kim. Elastic spin-relaxation processes in semiconductor quantum dots. Phys. Rev. В 75, p. 195342 21 pages] (2007).

112. А. С. Давыдов, Э. H. Мясников. О вычислении энергии молекулярных экситонов. ДАН СССР, т. 173, № 5, стр. 1040-1042 (1967).

113. У. Люиселл. Излучение и шумы в квантовой электронике. Москва, Мир, 1972.

114. D. F. Walls. Quantum theory of the Raman effect. I. Interaction with phonons. Z. Phys. 273, № 3, pp. 224-233 (1970).

115. M. J. Holland, D. F. Walls, P. Zoller. Quantum nondemolition measurements of photon number by atomic beam deflection. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 1716-1719 (1991).

116. R. Graham, M. Schlautmann, P. Zoller. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave. Phys. Rev. A 45, pp. R19-R22 (1992).

117. O. Steuernagel, H. Paul. Decoherence from spontaneous emission. Phys. Rev. A 52, pp. R905-R908 (1995).

118. D. F. Walls. A master equation approach to the Raman effect. J. Phys. A: Math., Nucl. Gen. 6, pp. 496-505 (1973).

119. W. Schleich, J. A. Wheeler. Oscillations in photon distribution of squeezed states and interference in phase space. Nature 326, pp. 574-577 (1987).

120. W. Schleich, R. J. Horowicz, S. Varro. Bifurcation in the phase probability distribution of a highly squeezed state. Phys. Rev. A 40, pp. 74057408 (1989).

121. C. K. Hong, L. Mandel. Experimental realization of a localized one-photon state. Phys. Rev. Lett. 56, pp. 58-60 (1986).

122. F. A. M. De Oliveira, M. S. Kim, P. L. Knight, V. Buzek. Properties of displaced number states. Phys. Rev. A 41, pp. 2645-2652 (1990).

123. H. P. Yuen. Two-photon coherent states of the radiation field. Phys. Rev. A 13, pp. 2226-2243 (1976).

124. M. S. Kim, F. A. M. de Oliveira, P. L. Knight. Properties of squeezed number states and squeezed thermal states. Phys. Rev. A 40, pp. 24942503 (1989).

125. P. Krai. Displaced and Squeezed Fock States. J. Mod. Opt. 37, № 5, pp. 889-917 (1990).

126. А. С. Шумовский. Каноническое преобразование Боголюбова и коллективные состояния бозе-полей. ТМФ, т. 89, № 3, стр. 438-445 (1991).

127. G. S. Agarwal. Generation of Pair Coherent States and Squeezing via the Competition of Four-Wave Mixing and Amplified Spontaneous Emission. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 827-830 (1986).

128. D. Yu, M. Hillery. Minimum uncertainty states for amplitude-squared squeezing: general solutions. Quantum Optics 6, pp. 37-56 (1994).

129. B. M. Garraway, P. L. Knight. Quantum phase distributions and qua-sidistributions. Phys. Rev. A 46, pp. R5346-R5349 (1992).

130. J. R. Torgerson, L. Mandel. Is There a Unique Operator for the Phase Difference of Two Quantum Fields? Phys. Rev. Lett. 76, pp. 3939-3942 (1996).

131. V. V. Kuryshkin. Some problems of quantum mechanics possessing a non-negative phase-space distribution function. Int. J. Theor. Phys. 7, № 6, pp. 451-466 (1973).

132. L. Cohen. Time-frequency distributions — a review. Proceedings of the IEEE 77, pp. 941-981 (1989).

133. M. G. Raymer, M. Beck, D. F. McAlister. Complex wave-field reconstruction using phase-space tomography. Phys. Rev. Lett. 72, pp. 11371140 (1994).

134. K. Vogel, H. Risken. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase. Phys. Rev. A 40, pp. 2847-2849 (1989).

135. U. Leonhardt, J. A. Vaccaro, B. Bôhmer, H. Paul. Canonical and measured phase distributions. Phys. Rev. A 51, pp. 84-95 (1995).

136. U. Leonhardt, H. Paul. Realistic measurement of phase. Physica Scripta T 48, pp. 45-48 (1993).

137. K. Mattle, M. Michler, H. Weinfurter, A. Zeilinger, M. Zukowski. Non-classical statistics at multiport beam splitters. Appl. Phys. B 60, p. Sill (1995).

138. G. Weihs, M. Reck, H. Weinfurther, A. Zeilinger. All-fiber three-path Mach-Zehnder interferometer. Opt. Lett. 21, pp. 302-304 (1996).

139. S. K. Sheem. Optical fiber interferometers with 3 x 3] directional couplers: Analysis. J. Appl. Phys. 52, pp. 3865-3872 (1981).

140. B. Yurke, S. L. McCall, J. R. Klauder. SU{2) and SU( 1,1) interferometers. Phys. Rev. A 33, pp. 4033-4054 (1986).

141. M. Reck, A. Zeilinger, H. J. Bernstein, P. Bertani. Experimental realization of any discrete unitary operator. Phys. Rev. Lett. 73, pp. 58-61 (1994).

142. U. M. Titulaer, R. J. Glauber. Density Operators for Coherent Fields. Phys. Rev. 145, pp. 1041-1050 (1966).

143. K. J. Blow, R. Loudon, S. J. D. Phoenix, T. J. Shepherd. Continuum fields in quantum optics. Phys. Rev. A 42, pp. 4102-4114 (1990).

144. L. Vaidman. Teleportation of quantum states. Phys. Rev. A 49, pp. 1473-1476 (1994).

145. S. L. Braunstein, H. J. Kimble. Teleportation of Continuous Quantum Variables. Phys. Rev. Lett. 80, pp. 869-872 (1998).

146. Д. А. Славнов. Измерения и математический аппарат квантовой физики. ЭЧАЯ, т. 38, вып. 2, стр. 295-359 (2007).

147. Д. А. Славнов. О квантовой телепортации. ТМФ, т. 157, № 1, стр. 79-98 (2008).

148. М. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York (1970).

149. P. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Квантовые флуктуации в двухмо-довой бозе-системе. ДАН СССР, т. 315, № 4, стр. 853-857 (1990).

150. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Time evolution of variances of quadrature operators in a two-mode boson system. Int. Journal of Mod. Phys. В 4, pp. 2335-2343 (1990).

151. P. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Действие сжатого света на возбуждения в кристалле. Письма в ЖЭТФ, т. 52, вып. 7, стр. 993-996 (1990).

152. В. Хмельовски, А. В. Чижов. Корреляционные свойства бозе-систем поляритонного типа. ТМФ, т. 86, № 2, стр. 285-293 (1991).

153. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov, A. S. Shumovsky. Quantum fluctuation and statistical properties of a two-mode boson system. Quantum Opt. 3, pp. 1-6 (1991).

154. R. Tanas, В. K. Murzakhmetov, Ts. Gantsog, A. V. Chizhov. Phase properties of displaced number states. Quantum Opt. 4, pp. 1-7 (1992).

155. А. V. Chizhov, В. В. Govorkov, Jr., A. S. Shumovsky. Statistical properties of phonons in polariton-like system at equilibrium. Mod. Phys. Lett. В 7, pp. 1233-1238 (1993).

156. A. V. Chizhov, Ts. Gantsog, В. K. Murzakhmetov. Phase distributions of squeezed number states and squeezed thermal states. Quantum Opt. 5, pp. 85-93 (1993).

157. A. V. Chizhov, В. K. Murzakhmetov. Photon statistics and phase properties of the two-mode squeezed number states. Phys. Lett. A 176, pp. 33-40 (1993).

158. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Сжатые фоковские состояния и детектирование гравитационных волн. Оптика и спектроскопия, т. 75, вып. 5, стр. 1035-1039 (1993).

159. A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher order squeezing in a boson coupled two-mode system. Phys. Rev. A 52, pp. 1698-17031995).

160. К. C. Yeong, J. W. Haus, A. V. Chizhov. Quantum-field coherence in a Raman amplifier. Phys. Rev. A 53, pp. 3606-3613 (1996).

161. Fam Le Kien, A. V. Chizhov. Loss of spatial coherence in atomic deflection from an off-resonant quantized standing-wave field. Phys. Rev. A 53, pp. 3675-3678 (1996).

162. А. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Q-representation of the field in a cavity with a moving mirror. Proceedings of the International Conference "Path Integrals" (Dubna, Russia, May 27-31, 1996), pp. 284-288 (1996).

163. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Проблема фазы электромагнитного поля в квантовой оптике. ЭЧАЯ, т. 27, вып. 3, стр. 747-796 (1996).

164. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Фазовые свойства квадратично-амплитудных сжатых состояний. ТМФ, т. 107, N2 2, стр. 320-328 (1996).

165. М. G. A. Paris, А. V. Chizhov, О. Steuernagel. Phase space distributions by three-port coupler. Optics Communications 134, pp. 117-1201996).

166. A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher-order squeezing in a boson-coupled three-mode system. J. Opt. Soc. Am. В 14(7), pp. 15411549 (1997).

167. Ц. Ганцог, Б. К. Мурзахметов, Р. Танась, А. В. Чижов. Фазовые распределения для смещенного фоковского и смещенного хаотического состояний. Оптика и спектроскопия, т. 82, № 2, стр. 278-2811997).

168. A. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Quantum statistics of vacuum in a cavity with a moving mirror. Phys. Lett. A 230, pp. 269-275 (1997).

169. A. V. Chizhov, V. De Renzi, M. G. A. Paris. A two-step optimized measurement for the phase shift. Phys. Lett. A 237, pp. 201-205 (1998).

170. L. Knoll, S. Scheel, E. Schmidt, D.-G. Welsch, A. V. Chizhov. Quantum state transformation by dispersive and absorbing four-port device. Phys. Rev. A 59, pp. 4716-4726 (1999).

171. A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled light pulses through dispersive and absorbing channels. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 3, pp. 77-83 (2001).

172. A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Two-pulse correlations in noisy quantum channels. Оптика и спектроскопия, т. 91, N5 3, стр. 437-441 (2001).

173. А. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled pulses: correlation measures. Czechoslovak Journal of Physics 51, № 12, pp. 1279-1284 (2001).

174. A. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Continuous-variable quantum teleportation through lossy channels. Phys. Rev. A 65, p. 022310 9 pages] (2002).

175. A. V. Chizhov. Entanglement fidelity of coherent-state teleportation with asymmetric quantum channel. Письма в ЖЭТФ, т. 80, вып. 11, стр. 839-842 (2004).

176. А. В. Чижов. Корреляционная точность телепортации по смешанному квантовому каналу. Известия РАН. Серия физическая, т. 70, № 3, стр. 403-406 (2006).

177. А. V. Chizhov. Entanglement in a Two-Boson Coupled System. Письма в ЖЭТФ, т. 85, № 1, стр. 102-105 (2007).

178. А. V. Chizhov, A. A. Gusev, L. A. Sevastianov, S. I. Vinitsky. Phase representation of quantum-optical system via the nonnegative quantum distribution function. Письма в ЭЧАЯ, т. 4, № 2(138), стр. 330-335 (2007).

179. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Entanglement control in coupled two-mode boson systems. Phys. Rev. A 78, p. 064302 4 pages] (2008).