Квантовые двумерные осцилляторы с полиномиальными потенциалами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Семёнов, Евгений Александрович

• Семёнов, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семёнов, Евгений Александрович

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Квантовые волноводы.

1.2. Квантовые двумерные осцилляторы.

1.3. Модели квантового туннелирования.

1.4. Классические и квантовые осцилляторы Дуффинга.

Глава 2. Квантовые гармонические осцилляторы со связью, тун-нелирование.

2.1. Основные уравнения и допущения.

2.2. Изо- и анизотропные осцилляторы

2.3. Туннелирование и свободное движение в волноводах

2.4. Квантовый осциллятор Паллена-Эдмондса.

2.5. Квантовый анизотропный осциллятор Паллена-Эдмондса

Глава 3. Квантовые двумерные осцилляторы Дуффинга

3.1. Примеры физических систем, описываемых потенциалом Дуффинга

3.2. Двухъямпый и гармонический осцилляторы со связью

3.3. Одно- и двухъямпый осцилляторы Дуффинга со связью

3.4. Двумерный двухъямпый осциллятор Дуффинга.

3.5. Анизотропный осциллятор Дуффинга

3.6. Влияние шума на колебания

Глава 4. Численное интегрирование и контроль точности решений нестационарного двумерного уравнения Шредингера . 115 4.1. Методы численного решения уравнений параболического типа

4.2. Конечно-элементное решение стационарного уравнения Шредингера.

4.3. Контроль точности результатов

4.4. Проверка принципа соответствия и инверсии эволюции.

4.5. Обоснованность и достоверность положений и выводов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые двумерные осцилляторы с полиномиальными потенциалами»

Актуальность работы. В течение последних десятилетий проблема квантовых динамических свойств в осцилляторах и волноводных системах приобрела особое значение. С одной стороны, это объясняется успехами в точных технологиях, материаловедении и достижениями измерительной техники. С другой, это открыло новые возможности в экспериментальном изучении законов движения микрочастицы в физике, химии, объектах наиометро-вых масштабов, в отдельных молекулах и атомах. Фундаментальное значение как теоретических, так и экспериментальных исследований состоит в том, что они являются базой для создания нового поколения электронных приборов, в том числе квантовых компьютеров.

В настоящее время квантовые волново-пакетные динамические закономерности тщательно изучены для наиболее простых потенциальных систем: с бесконечными стенками, в форме бильярдов, прямоугольных ям и барьеров. Квантовый гармонический осциллятор, являющийся простой и точно решаемой задачей, сыграл фундаментальную роль в моделировании множества явлений в различных областях физики и химии. Однако, во многих ситуациях он не может обеспечить описания квантовых систем, так как появилась необходимость в описании систем с полиномиальными потенциалами высоких степеней. Квантовый осциллятор стал ангармоническим, и динамика ангармонических осцилляторов стала занимать достойное положение в исследованиях. Здесь следует отметить исследования квантовой динамики электрона в двухъ-ямном полиномиальном потенциале молекул, который в классической механике называется потенциалом Дуффинга. Классические нелинейные задачи с осциллятором Дуффинга послужили основой в формулировке квантовых осцилляторов Дуффинга и открыли новые возможности в объяснении динамических свойств. Например, паномеханические осцилляторы с потенциалом Дуффинга при понижении температуры переходят в квантовый режим функционирования. Характерные частоты колебаний таких осцилляторов находятся в диапазоне СВЧ, вплоть до нескольких гигагерц. Одномерные квантовые системы стали недостаточными и пришлось обобщить их па два измерения. Квантовые двумерные системы с полиномиальными потенциалами Паллена-Эдмондса, Хенона-Хейлеса и некоторые другие также интенсивно исследовались в течение последних десятилетий. Несмотря на это, в научной литературе отмечается недостаток информации о свойствах квантовых двумерных систем, высказывается точка зрения, что для реализации рабочих элементов квантового компьютера и других приборов необходим более широкий фронт исследований, включая компьютерное моделирование. Рассматриваемые динамические системы, квантовые осцилляторы и волноводы, могут обладать сложными динамическими свойствами. Одна из проблем—исследование квантовых систем, которые в классическом пределе характеризуются хаотическим динамическим поведением.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена исследованиям квантовых двумерных осцилляторов со связью между степенями свободы движения. С одной стороны, она может рассматриваться как продолжение существующих известных исследований в научной литературе, их развитие. Однако, с другой стороны, в пей обобщаются модели классических осцилляторов, формулируются их квантовые аналоги и проводятся исследования их свойств. Такие исследования мотивируются необходимостью развития теории квантовых осцилляторов со связью между степенями свободы движения и имеют прикладное значение. В этой связи проведенные в диссертации исследования являются несомненно актуальными.

Цели и задачи исследования состоят в развитии теории квантовых двумерных осцилляторов с полиномиальными потенциалами методами численного моделирования. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Анизотропный гармонический осциллятор со связью между степенями свободы движения, пропорциональной произведению координат.

2. Одномерный двухъямпый осциллятор с туннелированием вдоль одной координаты и свободное движение вдоль другой.

3. Квантовый изотропный осциллятор Паллена-Эдмондса.

4. Квантовый анизотропный осциллятор с потенциалом Паллена-Эдмондса.

5. Двухъямпый осциллятор Дуффинга, связанный с гармоническим осциллятором.

6. Одно- и двухъямный осциллятор Дуффинга со связью.

7. Двумерный двухъямный осциллятор Дуффинга.

8. Неидентичные осцилляторы Дуффинга или анизотропный осциллятор Дуффинга.

9. Влияние шума на колебания в двумерном анизотропном осцилляторе Дуффинга.

В этих исследованиях необходимо проанализировать эволюцию волново-пакет-ных решений в двумерных системах с полиномиальными потенциалами при помощи средних значений координат, скоростей, частотных спектров временных реализаций, произведений неопределенностей. Необходимо установить области параметров, при которых в процессе эволюции волновые пакеты остаются локализованными и произведение неопределённостей остается близким к минимизированному значению или, наоборот, происходит делокали-зация, а колебания средних величин усложняются по форме и частотному спектру; при этом произведение неопределенностей существенно превышает минимальное. Одной из задач является проверка корректности полученных решений, а так же контроль их точности.

Научная новизна.

1. С единых позиций в рамках нестационарного двумерного уравнения Шредингера проведены обширные количественные исследования динамики квантовых двумерных осцилляторов с полиномиальными потенциалами. Они представляли собой численные расчеты временных реализаций для средних значений координат и скоростей волновых пакетов, их частотных спектров, произведений неопределенностей, автокорреляторов, сечений Пуанкаре, анализ квантово-классического соответствия, обратимости эволюции, а также, в отдельных задачах, учет влияиия шума.

2. Предложена модель квантового анизотропного гармонического осциллятора со связью между степенями свободы, пропорциональной произведению координат. Расчеты проводились для начальных условий: в форме гауссова пакета и основного состояния. Гауссов пакет был отклонен от состояния равновесия по обеим координатам на одинаковые расстояния (много меньше размеров системы), начальные скорости пакета равны нулю. Во втором случае система возбуждается из основного состояния под действием импульса силы вдоль одной из координат. Изучены частотные спектры и передача спектральных компонент из одной степени свободы в другую при импульсном возбуждении.

3. В контексте двухъямного полиномиального потенциала, зависящего от одной из координат, и свободного движения волнового пакета вдоль другой, изучена система из двух каналов и туннелирование между ними. Прототипом такой модели является система с прямоугольными каналами и барьером, изученная в рамках стационарного уравнения Шредин-гера. В диссертации изучены динамические закономерности, включающие временные масштабы туннелирования и свободного движения. В дополнение к этому, рассматривается введение связи между степенями свободы, а так же внешнее воздействие в виде отдельного короткого импульса.

4. Для двумерного осциллятора с потенциалом Паллеиа-Эдмондса, характеризующим связь между квантовыми гармоническими осцилляторами, проведены исследования режимов колебаний, ранее не изучавшихся в литературе. В том случае, когда осциллятор изотропный, параметры и начальные условия по обеим координатам одинаковы, изучен режим синхронных колебаний, а также влияние связи на частотные спектры колебаний. В отличие от существующих работ детально исследован анизотропный осциллятор Паллена-Эдмондса при слабой анизотропии и разных парциальных частотах. Режим колебаний при одинаковых начальных условиях по обеим координатам и соотношении частот, равном двум, при связи между степенями свободы характеризуется смещением и расщеплением характеристических частот гармонических осцилляторов. В отличие от параметрического резонанса, когда сигнал на удвоенной частоте передает энергию колебаниям па частоте в два раза меньшей, здесь происходит обратный процесс. Он состоит в усилении сигнала на удвоенной частоте. Несмотря на расстройку, соотношение амплитуд соответствующих спектральных компонент равно отношению начальных отклонений.

5. Предложена динамическая модель двухъямного осциллятора Дуффин-га, связанного с гармоническим при помощи потенциала, пропорционального произведению координат. Исследованы временные реализации и частотные спектры средней координаты, проведено сравнение с частотами перехода между состояниями стационарной задачи. Показано влияние высоковозбужденных состояний на тунпелирование, выражающееся в высокочастотной модуляции низкочастотного перехода волнового пакета из одного крайнего положения в другое и обратно. Установлена зависимость этого перехода от потенциала связи, выражающаяся в уменьшении частоты туннелирования при увеличении коэффициента связи.

6. В качестве следующего шага были исследованы связанные квантовые осцилляторы Дуффинга—двухъямный и одноямный. Переход от гармонического осциллятора к одноямному осциллятору Дуффинга, потенциал которого имеет слагаемое, пропорциональное четвертой степени координаты, приводит к качественным изменениям в системе. При разных коэффициентах потенциала связи изучены частотные спектры и взаимное влияние осцилляторов друг на друга.

7. Разработана модель квантового двумерного двухъямного осциллятора Дуффинга как изотропного, так и анизотропного. Она является обобщением классической модели двумерного двухъямного осциллятора Дуффинга. Наряду с известными квантовыми двумерными осцилляторами Хенона-Хейлеса, Паллена-Эдмондса, предложенная модель может рассматриваться как развитие теории двумерных квантовых осцилляторов, имеющее фундаментальное значение для разных приложений в физике конденсированного состояния, наноэлектронике и квантовых устройствах. Для изотропного осциллятора изучены синхронные колебания при слабой связи между степенями свободы движения. Для анизотропного осциллятора (или двух неидентичных) детально изучены свойства временных реализаций и их частотных спектров. Как и в большинстве других режимов, процесс является квазипериодическим.

8. Для двумерного анизотропного осциллятора (или двух связанных одномерных неидентичных осцилляторов) проведено исследование влияния шума вдоль одной из координат на связанные колебания. Частотные спектры являются широкополосными. При относительно слабом шуме в частотных спектрах имеется много совпадающих частот и происходит передача сигнала из одной степени свободы в другую. При увеличении шума характер процесса изменяется, спектр частот сильно обогащается. Колебания средних координат уменьшаются по амплитуде относительно нулевых значений.

Практическая значимость. Теоретические исследования квантовых двумерных осцилляторов, проведенные методом компьютерного моделирования, визуализация расчетов формируют научные представления и базу знаний, необходимых в разработках квантовых приборов и компьютеров, в нано-электронике, физике конденсированного состояния и других областях науки. Практически значимыми динамическая модель квантового волновода с тун-нельно связанными каналами и квантовый двумерный осциллятор Дуффинга как обобщение классического, в том числе наномеханического, осциллятора Дуффинга. Апробированный программный продукт может быть использован для последующих исследований динамики микрочастицы в квантовых системах с полиномиальными потенциалами, а также в учебных целях.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Частотные спектры квантового анизотропного осциллятора с квадратичным потенциалом и связью при гауссовом начальном условии или импульсном возбуждении одной из степеней свободы.

2. Режимы регулярных колебаний квантового осциллятора Паллена- Эд-мондса при разных парциальных частотах.

3. Передача спектральной компоненты на частоте тунпелирования от двухъ-ямного осциллятора к гармоническому при слабой связи между степенями свободы.

4. Квантовая модель классического двумерного двухъямного осциллятора Дуффинга и численный анализ её свойств при одинаковых параметрах и анизотропии.

Апробация работы Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. XIV, XV Всероссийские конференции «Фундаментальные исследования и инновации в национальных исследовательских университетах» (Санкт-Петербург, 2010, 2011).

2. 9-я Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2010)» (Саратов, 2010).

3. Международные конференции «Лазеры. Измерения. Информация.» (Санкт-Петербург, 2010, 2011).

4. XVIII, XIX Международные семинары «Нелинейные явления в сложных системах» (Беларусь, г. Минск, 2011, 2012).

5. Российско-белорусский семинар «Нелинейные явления в сложных системах» (Санкт-Петербург, 2011)

6. Семинары кафедры теоретической физики СПбГПУ.

Публикации. По результатам исследований, вошедших в диссертацию, опубликовано 12 научных работ. Из них 5 статей в журналах из списка ВАК, 1 тезис в электронном архиве, 2 тезиса и 2 статьи в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора Соискатель выполнил все численные расчеты, принимал участие в анализе результатов, а также в постановке ряда задач. Критически изучил методы численного решения квантовых динамических уравнений и адаптировал их реализацию для использования на компьютерах общего назначения.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 143 страницы, включая 81 рисунок. Библиография включает 107 наименований на 12 страницах.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Семёнов, Евгений Александрович

Заключение

В настоящей работе были исследованы квантовые двумерные динамические системы со связью между степенями движения. Эти системы представляют собой квантовые двумерные осцилляторы. Последовательно были изучены анизотропный гармонический осциллятор с потенциалом связи, пропорциональным произведению координат. В классическом пределе такую систему называют осциллятором с линейной связью. Для квантового анизотропного гармонического осциллятора проиллюстрированы частотные спектры колебаний по обеим координатам и квантово-классическое соответствие свойств. При импульсном воздействии вдоль одной из координат происходит передача спектральных компонент из одной степени свободы колебаний в другую.

Предложена модель квантового волновода, в которой две ямы и барьер между ними описываются двухъямным полиномиальным потенциалом в зависимости от одной из координат, а вдоль другой координаты потенциал постоянен и движение ограничено лишь внешними стенками. Эта модель дополняет существующую с прямоугольным профилем ям и барьера. В рамках этой модели изучены туннелирование и колебание вдоль обеих координат. Также обсуждается влияние связи между степенями свободы.

Классический осциллятор Паллена-Эдмондса представляет собой суперпозицию гармонических осцилляторов с нелинейным потенциалом связи, который пропорционален квадрату произведения координат. В диссертации исследован квантовый осциллятор Паллена-Эдмондса как изотропный, так и анизотропный. В отличие от существующих работ, изучены квазипериодические режимы колебаний при близких и отличающихся парциальных частотах. При одинаковых параметрах и начальных условиях исследованы синхронные колебания и передача частотных спектров из одной степени свободы в другую при разных параметрах и начальных условиях. В области регулярных решений полученные режимы соответствовали ожидаемым с точки зрения классических представлений. Однако, автору не удалось подобрать набор параметров, который обеспечивал бы хаотизацию колебаний волнового пакета в случае, когда классический аналог системы демонстрирует таковую. Если движение вдоль одной из координат обусловлено двухъямным полиномиальным потенциалом, а вдоль другой—квадратичным, то мы имеем более сложный тип осциллятора. Такая система была рассмотрена в работе при линейном потенциале связи с различными значениями коэффициента связи. Для временных реализаций средних координат и их частотных спектров показано, что наиболее эффективная спектральная Фурье-компонента имеет место на частоте туннелирования. Увеличение коэффициента связи приводит к уменьшению частоты туннелирования. Другие частоты спектра являются более высокими, а соответствующие им Фурье-компоненты-более слабыми. Взаимная передача частотных спектров из одной степени свободы в другую иллюстрируется при разных значениях коэффициента связи. Коэффициент связи в данной системе может рассматриваться как управляющий параметр.

Классические наномеханические осцилляторы могут быть описаны на основе потенциала Дуффинга. При низких температурах они проявляют квантовые свойства. Поэтому возникает необходимость в разработке квантовой модели двумерного двухъямного осциллятора Дуффинга. В диссертации представлен простой вариант модели квантового двумерного двухъямного осциллятора Дуффинга. Карты уровней потенциала демонстрируют наличие четырех особых точек: двух седловых, минимума и максимума при отсутствии связи и усложнение рельефа потенциала при наличии связи. Изучены режимы колебаний для изотропного и анизотропного осцилляторов, включая синхронные колебания, туннелирование, влияние шума.

В процессе подготовки диссертации была проделана значительная работа по систематизации и классификации различных режимов колебаний в квантовой динамике. Данная работа является лишь первым шагом на пути построения квантовой теории колебаний. С этим связана кажущаяся простота исследуемых моделей. Для того, чтобы получить многообразие решений уравнений движения, предоставляемое классической теорией, в волново-пакетной динамике необходимо начинать с простейших типов потенциала. Представленные вычисления, однако же, показывают, что даже в простейших потенциалах реализуется целое семейство разнообразных типов колебаний.

Также следует отметить способ численного решения поставленных задач. Использование модифицированной схемы Кранка-Никольсона для решения двумерных нестационарных задач типа уравнения Шредингера с существенно нелинейным потенциалом показало себя вполне оправданным с точки зрения точности и быстродействия (Глава 4). К ценным результатам следует отнести также предложенные методы контроля точности решений при численном расчете: если проверка неизменности решения при уменьшающемся шаге пространственной и временной сеток является общеупотребительным методом контроля качества решения, то рассмотрение задачи в контексте обратимости уравнения Шрёдингера (переход от волновой функции в конечный момент времени к волновой функции в начальный момент времени) является новым подходом к анализу достоверности полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семёнов, Евгений Александрович, 2012 год

1. Wang J.-Q., Yuan S.-Q., Gu B.-Y., Yang G.-Z. Guided electron waves in coupled deep quantum wells // Phys.Rev. B. 1991. Vol. 44, no. 24. P. 13618-13625.

2. Bagraev N., Gehlhoff W., Ivanov V. et al. Charge carrier interference in modulated quantum wires // Semiconductors. 2000. Vol. 34, no. 4. P. 462-472.

3. Bagraev N., Ivanov V., Klyachkin L. et al. Ballistic conductance of a quantum wire at finite temperatures // Semiconductors. 2000. Vol. 34, no. 6. P. 712-716.

4. Bagraev N., Gehlhoff W., Ivanov V. et al. Interference of Ballistic Carriers in Modulated Quantum Wires // Phys.Low-Dim.Struct. 2000. Vol. 1, no. 2. P. 37-48.

5. Bagraev N., Bouravleuv A., Klyachkin L. et al. Quantized conductance in silicon quantum wires // Semiconductors. 2002. Vol. 36. P. 439-460.

6. Bagraev N., Shelykh I., Ivanov V., Klyachkin L. Spin depolarization in quantum wires polarized spontaneously in zero magnetic field // Phys.Rev.B. 2004. Vol. 70. P. 155315.

7. Novoselov K., Geim A., Morozov S. et al. Electric field effect in atomically thin carbon films // Science. 2004. no. 306. P. 666.

8. Zhang, Fan-Ming, He Y., Chen X. Guided modes in graphene waveguides // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 94, no. 21. P. 212105.

9. Garg S., Sinha R., Deori K. Modeling of a bistable current switch in electron waveguides //J. Microwave and Optoelectronics (Brazil). 2002. Vol. 2, no. 5. P. 45-51.

10. Arnold A., Schulte M. Transparent boundary conditions for quantum waveguide simulations // Preprint submited to Elsevier. 2008.

11. Jillek M. Straight Quantum Waveguide with Robin Boundary Conditions // SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications). 2007. no. 3. P. 108-120.

12. Wang J., Midgley S. Electron Transport in Quantum Waveguides // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. 2007. Vol. 4, no. 3. P. 408-432.

13. Exner P., Vugalter S. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window // Ann. Inst. H. Poincare. 1996. Vol. 65, no. 1. P. 109-123.

14. Мельничук О., Попов И. Квантовые волноводы, связанные через периодическую систему малых отверстий: оценка запрещенной зоны // ПЖТФ. 2002. Т. 28, № 8. С. 69-73.

15. Трифанова Е. Резонансные эффекты в искривленных квантовых волноводах, связанных через отверстия // ПЖТФ. Т. 35, № 4. С. 60-65.

16. Frolov S., Popov I. Resonances for laterally coupled quantum waveguides // J. Math. Phys. 2000. Vol. 41, no. 7. P. 4391-4405.

17. Popov Y., Frolov S. Three laterally coupled quantum waveguides: breakingof symmetry and resonance asymptotics //J. Phys. A: Math. Gen. 2003. Vol. 36. P. 1655.

18. Григорькин А., Дунаевский С. Электронный спектр и баллистический транспорт спиральных нанотрубок // ФТТ. 2007. Т. 49, JY5 3. С. 557-561.

19. Soltani М., Morsa Е. Study of energy eigenvalues of three dimensional quantum wires with variable cross section // Agv. Studies Theor Phys. 2009. Vol. 3, no. 5. P. 213-220.

20. Sandev Т., Petreska I. Selection rules for two-dimensional harmonic oscillator // Bulletin of the Chemics and Technologists of Macedonia. 2005. Vol. 24, no. 2. P. 143-146.

21. Groh G., Korsch H., Schweizer W. Phase space entropies and global quantum phase space organization: a two-dimensional anharmonic system // J.Phys.A:Math Gen. 1998. Vol. 31. P. 6897-6910.

22. Moshinsy M. Boundary conditions and time-dependent states // Phys.Rev. 1951. Vol. 84, no. 3. P. 525-533.

23. Елютин П. Проблема квантового хаоса // УФН. 1988. Т. 155, № 3. С. 398-437.

24. Elyutin P., Rubtsov A. Energy diffusion in strongly driven quantum chaotic systems. Role of correlations of the matrix elements // arXiv:nlin. 2006. Vol. 1, no. 0612062.

25. Neetu G., Deb B. Does the classically chaotic Henon-Heiles oscillator exhibit quantum chaos under intense laser fields? // Pramana-Journal of Physics. 2006. Vol. 67, no. 6. P. 1055-1071.

26. Чеканов Н., Шевченко Е. Свойства спектра двумерного многоямного симметричного гамильтониана // Известия ТулГУ. Серия Физика. 2006. Т. 6. С. 20-32.

27. Лукьяненко А., Чеканов Н. Классические и квантовые двумерные модели систем с пятиямным потенциалом // Проблемы атомной науки и техники. Серия 1 Теоретическая и прикладная физика. 2009. Т. 2. С. 14-26.

28. Chung N., Chew L. Two-step approach to the dynamics of coupled anhar-monic oscillators // Phys.Rev.A. 2009. Vol. 80. P. 012103.

29. Novaes M., de Aguiar M., Harrison J. Generalized coherent states for the double-well potential // J.Phys.A:Math.Gen. 2003. Vol. 36. P. 5773-5786.

30. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. УРСС, 2000. С. 320.

31. Novaes М. Semiclassical approach to universality in quantum chaotic transport // arXiv. 2012.

32. Ballentine L. Quantum Mechanics. A Modern Development. Simon Fraser University, 2000. P. 651.

33. Stomphorst R. Transmission and reflection in a double potential well: doing in a Bohmian way // Phys.Lett.A. 2002. Vol. 292. P. 213-221.

34. Song D.-Y. Tunneling and energy-spliting in an asymmetric double-well potential // arXiv:0803.311. 2008. Vol. 1.

35. Kuvshinov V., Kuzmin A., Piatrou V. Chaotic Instantons and Ground Quasienergy Splitting in Kicked Double-well System with Time-reversal

36. Symmetry // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2010. Vol. 3, no. 3. P. 325-335.

37. Igarashi A., Yamada H. S. Quantum dynamics and decoherence in coherently driven one-dimensional double-well system // arXiv cond-mat/preprint. 2005. P. 0508483.

38. Shatzer L., Weigert S. Solvable three-state model of a driven double-well potential and coherrent destruction of tunneling // Phys-Rev. A. 1998. Vol. 57, no. 1. P. 69-78.

39. Plastino A., Casas M. Bohmian quantum theory of motion for particles with position-dependent effective mass // Phys.Letters A. 2001. Vol. 281. P. 209-304.

40. Holland P. The quantum theory of motion. Cambridge University Press, 1993.

41. Bohm D., Hiley B. Non-locality and locality in the stochastic interpretation of quantum mechanics // Physics Report. 1989. Vol. 172, no. 3. P. 93-122.

42. Sanz A. A Bohmian approach to quantum fractals // J.Phys.A: Math.Gen. 2005. Vol. 38. P. 319.

43. Ciann-Dong Y. Quantum Hamilton mechanics: Hamilton equations of quantum motion, origin of quantum operators, and proof of quantization axiom // Annals of Physics. 2006. Vol. 321. P. 2876-2926.

44. Бом Д. Квантовая механикаюсновы и приложения. Мир, 1990.

45. Санин А. Уравнения Маделунга и Максвелл а-Лоренца для электрона с переменной эффективной массой // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80, № 4. С. 540-543.

46. Wyatt R. Quantum dynamics with trajectories. New York: Springer, 2005.

47. Maddox J., Bittner E. Quantum dissipation in unbounded systems // Phys.Rev.E: Stat., Nonlinear, Soft Matter Phys. 2002. Vol. 65, no. 2. P. 026143/1-10.

48. Chattaraj P., Sengupta S., Poddar A. Quantum signature of the classical chaos in the field induced barrier in a quadratic potential // Current Science. 1999. Vol. 76, no. 10. P. 1371-1376.

49. Xin-Xin W., Bao. A scheme for information Erasure in a Double-Well Potential // Chin.Phys.Lett. 2010. Vol. 27, no. 2. P. 0.02508.

50. Буц А. Супердиффузия и динамическое «туннелирование» при циклотронных резонансах // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. Т. 12, № 4. С. 54-59.

51. Donso A., Greaig С., Martens. Quantum tunneling using entangled classical trajectories // Phys.Rev.Lett. 2001. Vol. 87, no. 22. P. 223202(1-4).

52. Auerbach A., Arovas D., Ghosh S. Quantum tunneling of vortices in two-dimensional condensates // Phys.Rev.B. 2006. Vol. 71. P. 064511(1-15).

53. Ankerhold, Joqchin. Quantum tunneling complex systems // Springer. 2007. Vol. 224. P. 210.

54. Fischer C., Burghard M., Roth S., Klitzing K. Organic quantum wells: molecular rectification and single-electron tunneling // Europhysics Lett. 1994. Vol. 28, no. 2. P. 129-134.

55. Devoret M., Schoelkepf R. Amplifying quantum signals with the single-electron transister // Nature. 2000. Vol. 406. P. 1039-1046.

56. Hayakava R., Hiroshiba N., Chikyow T., Wakayama Y. Single-electron tunneling through molecular quantum dots in a metal-insulator-semiconductor structure // Advanced functional materials. 2011. Vol. 21, no. 15. P. 2933-2937.

57. Mar J. a. a. Voltage-controlled electron tunneling from a single self-assembled quantum dot embeded in a two-dimensional electron-gas-based photovoltaic cell // J.Appl.Phys. 2011. Vol. 110. P. 053110(1-9).

58. Bakers E. a. a. Shell-tunneling spectroscopy of the single-particle energy lvels of insulating quantum dots // Nano letters. 2001. Vol. 1, no. 10. P. 551-556.

59. Likharev K. Single-electron devices and their applications // Proc.IEEE.1999. Vol. 87. P. 606-632.

60. Tokura Y. a. a. Single-electron tunneling through two vertically coupled quantum dots // Physica E: Low-dimensional systems and nanostructures.2000. Vol. 6. P. 676-679.

61. Bludov Y., Konotop V., Salerno M. Matter waves and quantum tunneling engineered by time-dependent interaction // Phys.Rev.A. 2010. Vol. 81. P. 053614.

62. Горяченко В. Элементы теории колебаний. Издательство Красноярского университета, 2005. С. 429.

63. Рабинович М., Трубецков Д. Введение в теорию колебаний. Наука, 1984. С. 432.

64. Naz R., Naeem I., Mahomed F. First integrals for two lineary coupled nonlinear Dufing oscillators // Mathmatical Problems in Engineering. 2011. Vol. 2011. P. 831647.

65. Viguie R., Peeters M., Kerschen G., Golinval J.-C. Energy Transfer and Dissipation in a Duffing // Journal of Computation and Nonlinear dynamics. 2009. Vol. 4. P. 0410121-0410126.

66. Wei X., Randrianandrasana M., Ward M., Lowe D. Nonlinear dynamics of a periodically driven Duffing Resonator Coupled to a Van der Pol oscillator // Mathmatical Problems in Engineering. 2011. Vol. 2011. P. 248328.

67. Буц А., Чурюмов Г. Регулярная и хаотическая динамика осциллятора Дюффинга // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 9, № 7. С. 54-64.

68. Vincent U., Kentack A. Synchronization and bifurcation structures in coupled periodically forced non-identical Duffing oscillators // Phys. Scr. 2008. Vol. 77. P. 0450055.

69. Savi M., Pacheco P. Chaos in a two-degrees of freedom Duffin oscillator // Journ, Brazil Society of Mechanical Sciences. 2002. Vol. 24, no. 2.

70. Papadakis K., Katsiaris G., Coudas C. Approximate general solution of the two-dimensional Duffing dynamical systems // Astrophysics and Space Science. 2005. Vol. 300. P. 297-328.

71. Chung N., Chew L. Energy eigenvalues and squeezing properties of general systems of coupled quantum anharmonic oscillators // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 76. P. 032113.

72. Sanin A., Smirnovsky A. Oscillatory motion in confined potential systemswith dissipation in the context of the Shrodinger-Langevin-Kostin equation // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 372, no. 1. P. 21-27.

73. Ota Y., Ohba I. Crossover from classical to Quantum Behavior in Duffing Oscillator through "Pseudo-Lyapunov Exponent-// J.Phys.Soc.Jpn. 2003. Vol. 72. P. 119-122.

74. Serban I., Dykman M., Wilhelm F. Relaxation of a qubit measured by a driven Duffing oscillator // arXiv:0907.5181. 2010. Vol. 2.

75. Mai H., Zhang W., Zhao Y. Slave system dimension expansion approach for robust synchronization of chaotic systems with unknown phase difference // Journal of Control Science and Engineering. 2011. Vol. 2011. P. 524602.

76. Marchi A., Bertoni A., Reggiani S., Rudan M. Investigation on single-electron dynamics in coupled GaAs-AlGaAs quantum wires // Nanotechnology, IEEE Transactions. 2004. Vol. 3, no. 1. P. 129-133.

77. Kataoka M. e. a. Coherent time evolution of a single-electron wave function // Phys.Rev.Lett. 2009. Vol. 102. P. 156801.

78. Grouseilles N., Hervieux P.-A., Manfredi G. Quantum hydrodinamic model for the nonlinear electron dynamics in thin metal films // Phys.Rev.B. 2005. Vol. 72. P. 155421.

79. Mahe A., Parmentier F., Feve G. et al. Subnanosecond single electron Source in time-domain // J Low Temp Phys. 2008. Vol. 153. P. 339-349.

80. Rodrigues D., Imbers J., Armour A. Quantum dynamics of a resonator driven by a superconducting single-electron transister: a solid-state analogues of the micromaster // Phys.Rev.Lett. 2007. Vol. 98, no. 6. P. 067204.

81. Korotkov A., Paalonen N. Charge sensivity of radio frequency single-electron transistor // Appl.Phys.Lett. 1999. Vol. 74. P. 4052-4054.

82. Korotkov A., Averin K., D. Likharev, Vasenko S. In single-electron tunneling in mesoscopic physics. Springer, 1992. P. 45-59.

83. Shields A. Quantum electronics: new light on quantum tunneling // Nature Photon. 2012. Vol. 6. P. 348-349.

84. Ganzhorn M., Wernsdorfer W. Dynamics and dissipation induced by single-electron tunneling in carbon nano-tube nanoelectromechanical systems // Phys.Rev.Lett. 2012. Vol. 108. P. 17502(1-4).

85. Gustavson S. e. a. Time-resolved detection of single-electron interference // Nano letters. 2008. Vol. 8, no. 8. P. 2547-2550.

86. Xiao Z. e. a. Dynamic electronic response of a quantum dot driven by time-dependent voltage // The Journal Chemical Physics. 2008. Vol. 129. P. 184112(1-10).

87. Heidenreich A. e. a. Simulations of extreme ionizations and electron dynamics in ultraintence laser-cluster interactions // Israel J.Chem. 2007. Vol. 47. P. 89-98.

88. Цуканов А. Передача квантовой информации через транспорт отдельного электрона в полупроводниковой наноструктуре // Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. 2010. Т. 10, № 1. С. 3-19.

89. Chorley S. Single electron transport in a free-standing quantum dot // J.Microelectronics. 2008. Vol. 39, no. 3-4. P. 314-317.

90. Reimann S., Manninen M. Electronic structure of quantum dots // Rev.Mod.Phys. 2002. Vol. 74. P. 1283-1342.

91. Yeuping N. Attosecond photoionization // Phys.Rev.A. 2009. Vol. 80, no. 6. P. 063403.

92. Астапенко В., Ромадановский. Возбуждение осциллятора Морзе сверхкоротким чирпированным импульсом // ЖЭТФ. 2010. Т. 137, № 3. С. 429-436.

93. Демиховский А., Малышев А. Квантовая диффузия в канале с гофрированной границей в присутствии переменного электрического поля // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12, № 5. С. 3.

94. Малышев А. Слабый квантовый хаос в наноструктурах: диффузия Арнольда // Автореферат диссертации. Нижний Новгород. 2006.

95. Arnold A., Ehrhardt, Sofronov I. Discrete transparent boundary conditions for the Shrodinger equation: Fast calculation, approximation and stability // Commun.Math.Sci. 2003. Vol. 1. P. 501-556.

96. Sanin A., Semyonov E. Two-dimensional oscillations in a quantum well with polynomial potential // Nonlinear phenomena in complex systems. 2011. Vol. 14, no. 6. P. 411-416.

97. Санин А., Семенов E. Свободные и связанные колебания электрона в двумерной квантовой системе с распределенным потенциалом и лазерным импульсом // Научно-технические ведомости СпбГПУ, физико-математические науки. 2010. Т. 3, № 104. С. 156-163.

98. Robinett R. Visualizing the collapse and revival of wave packet in the infinite square well using expectation values // Am.J.Phys. 2000. Vol. 68, no. 5. P. 410-420.

99. Sanin A., Semyonov E. Quantum Duffing oscillators // Nonlinear phenomena in complex systems. 2012. Vol. 15, no. 3. P. 274-282.

100. Санин А., Семенов E. Квантовые связанные осцилляторы в двумерной системе с полиномиальным потенциалом // Электромагнитные волны и электронные системы. 2012. Т. 17, № 8. С. 8-13.

101. Санин А., Семенов Е. Свободные и связанные квантовые осцилляторы Дуффинга, влияние шума // Научно-технические ведомости СпбГПУ, физико-математические науки. 2012. Т. 3, № 153. С. 171-181.

102. Peano V., Thorwart М., Kasper А., Egger R. Nanoscale atomic waveguides with suspended carbon nanotubes // Appl.Phys.B. 2005. Vol. 81. P. 1075-1080.

103. Kolkiran A., Agarwal G. Amplitude noise reduction in a nano-mechanical oscillator // Mathematical and Computational Applications. 2011. Vol. 16, no. 1. P. 290-300.

104. Fulling S., Gunturk K. Exploring of the propagator of a particle in a box // American J.Phys. 2003. Vol. 71, no. 1. P. 55-63.

105. Fassbinder P., Schweizer W., Uzer T. Numerical simulations of electronic wavepacket evolution // Phys.Rev.A. 1997. Vol. 56. P. 3626-3629.

106. Schweizer W. Numerical quantum dynamics progress in theoretical chemistry and physics. Dordecht, Boston Kluwer Academic Publisher, 2001.

107. Волков E. Численные методы. Наука, 1987. С. 248.