Квантовая метрология на основе детектирования запутанных состояний туннельносвязанных светлых солитонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Царёв Дмитрий Владимирович

• Царёв Дмитрий Владимирович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Царёв Дмитрий Владимирович

Реферат

БупорБуБ

Введение

Глава 1 Аналитический обзор литературы

1.1 Квантовая метрология: основные цели, методы и подходы

1.1.1 Стандартный квантовый предел измерений фазовых параметров в лазерной физике и квантовой оптике

1.1.2 Метрология с атомными конденсатами

1.2. Проблема повышения точности измерений

1.2.1. Информация Фишера и различные стратегии оценки метрологических параметров

1.2.2. Предельная оценка фазовых параметров в линейной и нелинейной метрологии

1.2.3 Приготовление оптических максимально-запутанных N00^-состояний

1.3 Лазерные методы получения и управления конденсатами Бозе-Эйнштейна для задач квантовой метрологии

1.3.1 Полуклассическое описание БЭК. Атомный лазер

1.3.2 Квантовая теория БЭК

1.3.3. Одномодовое приближение квантового описания БЭК

1.3.4. Квантовые материальные солитоны и методы их получения

1.4 Выводы по главе

Глава 2 Предельная метрология с макроскопическими материально-волновыми солитонами

2.1 Одномодовое приближение для квантовых светлых солитонов

2.2 Квантовая теория связанных материально-волновых солитонов в двумодовом приближении

2.2.1. Связанные БЭК в магнитооптической ловушке

2.2.2 Двумодовая модель связанных гауссовых БЭК

2.2.3 Двумодовая модель связанных светлых солитонов

2.3 Макроскопические суперпозиционные состояния солитонов для квантовой метрологии

2.4 Выводы по главе

Глава 3 Приготовление квантовых мезоскопических состояний связанных солитонов для задач метрологии

3.1 Квантование эффективных Гамильтонианов

3.2 Квантовый фазовый переход «сверхтекучее состояние - изолятор Мотта»

3.3 Многочастичная запутанность и планарное спиновое сжатие для связанных солитонов

3.4 Выводы по главе

Глава 4 Квантовая метрология в схемах с потерей частиц

4.1 Моделирование диссипации в модели квантовых связанных солитонов

4.1.1 Оценка потерь частиц и способы ее компенсации в атомном лазере

4.1.2 Квантовый подход к описанию потерь частиц. Метод фиктивных делителей пучков

4.2 Точность квантовой оценки фазы в условиях диссипации частиц

4.2.1 Точность квантовой оценки фазы с детектированием потерянных частиц

4.2.2 Оценка точности метрологии в условиях диссипации неизвестного числа частиц

4.2.3 Квантовая информация Фишера. Оптимальные состояния

4.3 Перспективные методы получения и детектирования мезоскопических состояний света в лазерной физике для квантовой метрологии

4.3.1 Экситонные поляритоны как платформа для формирования солитонов методами лазерной физики

4.3.2. Интерферометр Маха-Цендера с детектированием четности числа фотонов

4.3.3 Детектор одиночных фотонов для квантовой метрологии

4.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А тексты основных публикаций

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы

Высокоточные измерения и сенсорика лежат в основе многих современных высоких технологий, окружающих нас каждый день. Из наиболее значимых можно выделить технологии позиционирования и навигации (GPS, ГЛОНАС), мобильную связь, телекоммуникации. Метрология и сенсорика играют также важную роль в промышленности, науке, медицине и других областях человеческой деятельности. С повышением требований к функциональным характеристикам этих технологий повышаются и требования к точности и единству измерений различных физических величин, что является одной из задач метрологии как науки.

В мире классических физических явлений, лежащих в основе современной метрологии, точность измерений на фундаментальном уровне ограничивается шумами, обусловленными неидеальностью технических средств измерения, которые, по крайней мере в теории, могут быть полностью подавлены. В результате повышение точности измерений упирается в вопрос текущего уровня развития измерительной техники и технологии. В дальнейшем мы будем называть такие шумы классическими (в лазерной физике, например, это уровень дробового шума детектора). В отличие от них квантовые шумы связаны с разного рода соотношениями неопределенности, накладывающими ограничения на точность квантовых измерений, в результате чего они даже гипотетически никогда не могут быть полностью подавлены. Тем не менее, уже сегодня квантовая метрология предлагает ряд методов и подходов по улучшению точности измерений, в основе которых лежит управление этими соотношениями неопределенностей в ходе измерительного процесса.

В рамках квантово-информационного подхода к процессу измерений существует так называемая квантовая граница Крамера-Рао, ограничивающая

точность оценки произвольного физического параметра х как Ах >

где ^ - квантовая информация Фишера, V - число повторов измерения [1]. В квантовой оптике, например, существует стандартный квантовый предел (СКП) точности измерения (он же предел дробового шума), А/СКП =

который может

быть достигнут с помощью лазерных (когерентных) источников светового излучения; N - среднее число фотонов, участвующих в измерении. Таким образом, проведение измерений на уровне СКП, а также за ним является основной задачей квантовой метрологии.

Сегодня лазерные методы и подходы квантовой метрологии успешно применяются для детектирования гравитационных волн, разработки квантовых стандартов частоты, квантовой литографии и во многих других областях науки и техники. Преодоление СКП при измерении малых фазовых сдвигов было предсказано теоретически и продемонстрировано экспериментально для различных оптических систем, содержащих две эффективно взаимодействующие (интерферирующие) моды и использующих неклассические сжатые или коррелированные квантовые состояния светового поля в качестве исходных; речь идет о таких системах как интерферометры Маха-Цендера (ИМЦ) и Майкельсона (ИМ), гироскопы (интерферометры Саньяка), литографы, лидары.

В рамках линейной квантовой метрологии точность измерения разности фаз в плечах интерферометра (линейно зависящей от числа фотонов, участвующих в измерении) ограничена «снизу» минимальным значением квантовой границы Крамера-Рао известной как предел Гейзенберга (ПГ) А/ПГ = 1 /И. Показано, что ПГ достигается с помощью изначально приготовленного максимально запутанного по пространству ^-частичного квантового состояния, известного как ^00^-состояние. Такие состояния были получены в нелинейной оптике для небольшого числа

фотонов (микроскопические ^00^-состояния с N < 5) с помощью спонтанной параметрической конверсии частоты накачки вниз, см., например, [2].

Применение ^00^-состояний в реальном эксперименте затруднено не только получением максимально-запутанных квантовых состояний с N > 5, но также их чрезвычайной чувствительностью к потерям частиц. Эта проблема стоит очень остро в оптике, поскольку потери фотонов становятся более значительными для больших чисел N (макроскопические ^00^-состояния с N > 103). Таким образом, одной из наиболее актуальных проблем квантовой метрологии является получение мезоскопических ^00^-состояний, или близких к ним по своим физическим свойствам, и относительно устойчивых к потерям нескольких частиц. Получение и применение таких состояний для задач квантовой метрологии - весьма непростая задача как в теории, так и эксперименте.

В диссертационной работе предлагается новый подход к получению мезоскопических ^00^-состояний на основе светлых туннельно-связанных квантовых солитонов Бозе-Эйнштейновского конденсата (БЭК) в атомной оптике. Феномен Бозе-конденсации известен достаточно давно; в последние десятилетия БЭК неоднократно наблюдался экспериментально. Сверхтекучие свойства БЭК, проявляющиеся вследствие взаимодействия частиц конденсата, позволяют в течение некоторого времени поддерживать когерентность макроскопической системы даже в присутствии слабой диссипации. В этом отношении атомные конденсаты Бозе-Эйнштейна полностью аналогичны лазерному источнику когерентных фотонов. В свою очередь, квантовые солитоны хорошо изучены в оптике. Известны также солитоны с относительно небольшим числом фотонов (несколько сотен), образующиеся в поляритонике при формировании так называемых Брэгговских солитонов в периодических полупроводниковых микроструктурах [3]. Однако, влияние температурных эффектов в таких системах достаточно ощутимо. В диссертационной работе, чтобы более явно выделить сугубо квантовые эффекты и

ограничения, имеющие место в результате предлагаемых схем измерений, рассмотрены атомные светлые солитоны БЭК, образующиеся при достаточно низких температурах (до десятков микроКельвин) в средах со слабым межчастичным притяжением частиц (отрицательной длиной межчастичного рассеяния, формирующего керровскую нелинейность среды). Такие солитоны были получены экспериментально в конденсатах, содержащих мезоскопическое число частиц (от нескольких десятков до тысяч) при температурах существенно ниже критических. Кроме того, солитоны атомных конденсатов удобны с точки зрения возможности управления нелинейностью среды с помощью техники резонанса Фешбаха [4,5]. Таким образом, солитоны БЭК могут быть рассмотрены квантово-механически и являются подходящей платформой для изучения фундаментальных ограничений квантовых измерений и требуемых (мезоскопических) ^00^-состояний. Важно заметить, что с физической точки зрения предлагаемые в работе схемы высокоточных измерений с атомными солитонами являются достаточно универсальными и основаны на принципах интерферометрии, известных из лазерной физики. Таким образом, полученные в работе результаты могут быть легко адаптированы в лазерной физике и поляритонике, с учетом создания керровских материалов и сред, способных создавать нелинейный отклик на небольшое число фотонов, на многие порядки превышающие отклик существующих нелинейных кристаллов [6].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая метрология на основе детектирования запутанных состояний туннельносвязанных светлых солитонов»

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка интерферометрических схем, методов и подходов квантовой метрологии для измерения и оценки неизвестных фазовых параметров на уровне ограничений, установленных пределом Гейзенберга, а также за ним.

Задачи работы

В соответствии с целью работы были решены следующие задачи:

1) Разработка и анализ новых схем квантовой метрологии на основе запутанных состояний светлых атомных солитонов.

2) Выявление фундаментальных квантовых ограничений на измерение и оценку фазовых набегов в задачах как линейной, так и нелинейной квантовой метрологии со светлыми солитонами.

3) Разработка квантовой модели солитонных джозефсоновских контактов (СДК), обеспечивающей формирование максимально пространственно-запутанных состояний солитонов БЭК.

4) Исследование предельной точности измерения и оценки неизвестных фазовых параметров в схемах квантовой метрологии с потерями небольшого числа частиц.

Научная новизна работы

1) Разработана ab initio квантовая модель запутанных атомных солитонов, демонстрирующая нелинейный квантовый эффект самоподстройки туннелирования частиц, на основе которого в среде происходит квантовый фазовый переход по типу Мотта, и заключающийся в формировании многочастичных запутанных состояний Фока.

2) Впервые предсказан квантовый предел Ах к N-5/2 для погрешности оценки фазового параметра керровской нелинейности в интерферометре Маха-Цендера на основе когерентных светлых солитонов.

3) Впервые предсказан минимально возможный в средах с кубичной нелинейностью предел Ах к N-3 для погрешности оценки фазового параметра керровской нелинейности, выполненной на основе максимально запутанных NOON-состояний солитонов.

4) Впервые выявлены новые квантовые ограничения (по числу частиц) как для линейной, так и нелинейной метрологий различных фазовых параметров в условиях диссипации частиц.

Теоретическая и практическая значимость работы

Полученные в работе результаты и разработки могут быть востребованы для новых технологий квантовой метрологии и сенсорики, оценки малых смещений, фазовых сдвигов, для устройств стандартов частоты и времени. Выявленные фундаментальные квантовые ограничения на оценку физических параметров, с другой стороны, могут найти свое применение в лазерных интерферометрических схемах с детектированием гравитационных волн.

Положения, выносимые на защиту

1) В системе квантовых светлых солитонов, туннельно-связанных в латеральной (к распространению солитонов) плоскости, выявлен нелинейный эффект самоподстройки эффективного параметра туннелирования частиц БЭК. Он заключается в том, что в условиях максимальной разности населенностей, эффективное туннелирование частиц между солитонами резко самоблокируется. В другом пределе, когда населенности конденсатов выравниваются, туннелирование частиц максимально и обеспечивает режим Раби осцилляций для разности населенности числа частиц солитонов.

2) В системе квантовых туннельно-связанных светлых солитонов в отсутствие потерь имеет место квантовый фазовый переход по типу «сверхтекучее состояние - изолятор Мотта». При этом формируется многочастичное запутанное состояние Фока с сильно выраженной N00^-компонентой, обусловленной мезоскопическим заполнением «краевых» (по числу частиц) квантовых состояний с числами заполнения п = 0 и п = N.

3) В отсутствие потерь частиц в интерферометре Маха-Цендера предельная величина погрешности оценки и измерения параметра керровской нелинейности среды ограничена снизу значениями 1/Ы5/2 и 1/Ы3 для когерентных и запутанных квантовых светлых солитонов на входе

интерферометра, соответственно; N —общее число частиц, участвующих в измерении.

4) В условиях потерь частиц в схемах измерения и оценки фазовых

параметров в плечах интерферометра Маха-Цендера в рамках как

нелинейной, так и нелинейной квантовых метрологий на основе

солитонов, существует максимально допустимое значение параметра

_2к

потерь Утах = 1 — е N, ниже которого N00N-состояние является оптимальным для оценки неизвестного набега фазы в плечах интерферометра, обеспечивая точность на уровне квантовых ограничений, обусловленных Гейзенберговским (1/N для схемы линейной метрологии c к = 1) и супер-Гейзенберговским (1/N3 для схемы нелинейной метрологии c к = 3) пределами. В противном случае более высокую точность оценки обеспечивают запутанные состояния солитонов, образующиеся в области квантового фазового перехода между когерентным и N00N- состояниями солитонов.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались на университетских, всероссийских и международных конференциях, форумах и научных школах, в том числе следующих:

1) XVIII Международная конференция «Laser Optics», Санкт-Петербург, 2018.

2) XXVI Международная конференция «Ломоносов», МГУ, Москва, 2019

3) XI Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики», Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 2019

4) XXIII Международная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия", Академия наук республики Татарстан, Казань, 2019

5) XII Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики», Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 2020

6) XIX Международная конференция «Laser Optics», Санкт-Петербург, 2020.

7) V Всероссийский форум «Наука будущего - наука молодых»; Москва, 2020.

8) I Всероссийская конференция «Енисейская фотоника»; Красноярск, Россия, 2020.

9) XXVII Международная конференция «Ломоносов», МГУ, Москва, 2020

10) 29 ежегодный международный семинар Laser Physics Workshop (LPHYS'21), онлайн, 2021

11) Международная конференция «ФизикА.СПБ», ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, 2021

12) XXVIII Международная конференция «Ломоносов», МГУ, Москва, 2021

Достоверность научных достижений подтверждается использованием общепринятых методов теоретического исследования, а также общей согласованностью с экспериментальными и теоретическими результатами, полученными в работах других авторов.

Личный вклад автора

Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего направления исследований и принципиальная постановка рассматриваемых задач осуществлялись совместно с научным руководителем. Интерпретация полученных результатов производились совместно с научным руководителем, а также с соавторами опубликованных статей.

Внедрение результатов работы

Результаты работы в части разработки моделей и схем получения запутанных состояний и их применения для задач квантовой метрологии использовались в ходе выполнения научно-исследовательских работ по темам «Машинное обучение для гибридной квантовой обработки информации и метрологии»; «Разработка модели квантового сенсора для прецизионной интерферометрии с разрешающей способностью, превышающей стандартный квантовый предел»; «Изучение формирования и декогеренции максимально-запутанных состояний диссипативных материально-волновых солитонов для задач квантовой метрологии». Исследования выполнялись при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ) грант № 19-52-52012 МНТ_а и Комитета по Науке и Высшей Школе (КНВШ) гранты для студентов вузов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов, отраслевых и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга в 2019 и 2020 годах. Результаты работы в части детектирования частиц использовались в ходе выполнения научно-исследовательских работ по теме «Исследование фундаментальных процессов генерации и детектирования одиночных фотонов» при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, проект тематики научных исследований № 2019-1442.

Публикации

Основные материалы диссертации опубликованы в 5 работах в изданиях из перечня ВАК или приравненных к перечню ВАК.

1) Tsarev D.V., Arakelyan S.M., Chuang Y., Lee R.-K., Alodjants A.P. Quantum metrology beyond Heisenberg limit with entangled matter wave solitons // Optics Express. - 2018. - Т. 26. - №15. - С. 19583

2) Tsarev D.V., Lee R.-K., Alodjants A.P. Quantum metrology beyond Heisenberg limit with entangled matter wave solitons // Proceedings -International Conference Laser Optics 2018. - ICLO 2018. - С. 328

3) Tsarev D., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Mesoscopic quantum superposition states of weakly-coupled matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2020. - Т. 22. - №11. - С.113016

4) Tsarev D.V., Vinh N., Alodjants A.P. Beating Heisenberg limit with moving matter-wave solitons // Proceedings - International Conference Laser Optics 2020. - ICLO 2020. - С. 9285804

5) Царёв Д.В., Нго Т., Алоджанц А.П. Запутанные состояния материальных солитонов для квантовой метрологии // Известия Российской Академии наук. Серия физическая. - 2020. - Т. 84. - № 3. - С. 332

Дополнительные публикации по материалам диссертации:

1) Khrennikov A., Alodjants A., Trofimova A., Tsarev, D. On interpretational questions for quantum-Like modeling of social lasing // Entropy. - 2018. - Т. 20. - №. 12. - С. 921.

2) Лачина А.А., Немировский Д.Ю., Царёв Д.В., Давыдов Н.Н. Аппаратно-программные средства реализации комплекса виртуального управления информационно-технологическим лазерным оборудованием // Проектирование и технология электронных средств. - 2018. - №. 4. - С. 37-43.

3) Tsarev D.V., Ngo T.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Nonlinear quantum metrology with moving matter-wave solitons // New Journal of Physics. -2019. - Т. 21. - №. 8. - С. 083041.

4) Алоджанц А.П., Царёв Д.В., Нго Т.В. Квантовая метрология: как и что измерять за пределом Гейзенберга //XIII международные чтения по квантовой оптике (IWQO-2019). - 2019. - С. 43-46.

5) Царёв Д.В., Алоджанц А.П. Квантовая метрология с материальными солитонами за пределом Гейзенберга // ЛОМОНОСОВ-2019: Материалы XXVI международного молодежного научного форума [Электронное издание]. - Режим доступа: https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2019/data/section_33_16295.htm. - 2019. - С. 1

6) Царёв Д.В., Алоджанц А.П. Запутанные состояния материальных солитонов для квантовой метрологии // XXIII Всероссийская молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". -2019. - С. 142

7) Царёв Д.В., Нго Т. Максимально запутанные состояния материально-волновых солитонов для квантовой метрологии // Сборник трудов VIII конгресса молодых ученых. - 2019. - Т. 1. - С. 223

8) Царёв Д.В., Нго Т., Алоджанц А.П. Формирование NOON-сосотояний связанных солитонов в W-потенциале // Сборник трудов XI Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики-2020». - 2020. - С. 50

9) Нго В.Т., Царёв Д.В., Алоджанц А.П. Динамика слабосвязанных солитонов БЭК в сильно асимметричной ловушке // Фундаментальные проблемы оптики-2020. - 2020. - С. 82.

10) Царёв Д.В. Мезоскопические квантовые суперпозиционные состояния солитонов конденсата Бозе-Эйнштейна для квантовой метрологии // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. [Электронное издание]. Режим доступа: https://kmu.itmo.ru/digests/article/4136. - 2020

11) Tsarev D.V., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Enhanced nonlinear quantum metrology with weakly coupled solitons and particle losses // arXiv preprint tarXiv:2108.03408

12) Ngo T.V., Tsarev D.V., Alodjants A.P. Coupled solitons for quantum communication and metrology in the presence of particle dissipation // Journal of Russian Laser Research. - 2021. - Т. 42. - С. 523.

Структура и объем диссертации.

Объем диссертации - 295 страниц, включая 2 таблицы и 51 рисунок. Она состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка литературы, содержащего 113 наименований.

Содержание работы

Введение диссертационной работы содержит обоснование ее актуальности. Здесь сформулирована цель работы и решаемые задачи, обсуждается научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приведены основные защищаемые положения, а также дается краткая характеристика содержания диссертации.

Глава 1 «Аналитический обзор литературы»

Первая глава посвящена обзору основных работ по теме исследования. В ней формулируются основные подходы и методы, используемые в работе, описывается текущее состояние теории и экспериментов, на которых основана данная диссертационная работа.

С позиций квантовой теории информации оценка некоторого параметра х основана на проведении v последовательных его измерений с последующим усреднением результатов. При этом погрешность оценки Лх ограничена так называемой квантовой границей Крамера-Рао [1]:

1

(1)

где Fq - квантовая информация Фишера, связанная с определенной процедурой измерения числа частиц. Можно также считать, что Fq представляет собой

количество информации, извлекаемой об интересующем нас фазовом параметре х = ф, получаемой в ходе одного измерения. Чем больше эта величина, тем точнее мы можем измерить ф, и тем меньше погрешность Аф. Такой сценарий с V последовательными, независимыми измерениями не использует каких-либо чисто квантовых эффектов ни на этапе приготовления пробного состояния, ни на этапе детектирования. Примером такого сценария можно назвать оптическую схему с интерферометром Маха-Цендера (ИМЦ), изображенную на рисунке 1(а), а также с атомным интерферометром Рамси, изображенную на рисунке 1(б). В эту категорию также можно отнести любое измерение с помощью сепарабельных ^-частичных состояний, при этом каждая частица может быть рассмотрена как независимый «зонд».

В случае, если число частиц достаточно велико в приближении Хартри (приближении среднего поля), можно рассмотреть основное состояние ^-частичного ансамбля в виде произведения N одночастичных состояний = 1Ф) ® 1Ф) ® ■■■ ® \Ф), где 1ф) = аЦ0) + £10,1), [7]. Таким образом,

1 г л.

1^)= — [аа-+рЬ-] |0), (2)

где а- и - бозонные операторы рождения частиц (атомов, или фотонов) в состоянии 1а) и |Ь), соответственно; а и р - комплексные амплитуды, такие что 1а12 + 1Р12 = 1. Формализм операторов рождения и уничтожения позволяет отобразить задачу интерферометрии параметра ф на сферу Блоха, где все процессы, происходящие в интерферометре, эквивалентны вращению коллективного спина, см. рисунок 1(в). При этом операторы проекций спина на различные оси определены в виде

1 ^ ^ 1 ^ ^ 1 __

1х=-(а-Ь + Ь-а); ¡у = -(&Ь-ЬЩ ]2 = -(аЧ - Ь-Ь), (3)

Рисунок 1 - Сравнение схем (а) оптического интерферометра Маха-Цендера (ИМЦ) и (б) атомного интерферометра Рамси; (в) эквивалентное представление интерферометров через вращения углового момента на сфере Блоха

а точность интерферометрии с измерением разности интенсивностей выходных пучков может быть оценена с помощью формулы набега ошибки [1,8]:

Аф =

А,

А}х

д<1'2) / /дф

(4)

где

(Ар2)2 = соз2[ф] (АЬ)2Нп + 8т2[ф] (А!х)21ы - 2 81п[0] соз[ф] соу[!2,Ц.п (5)

- дисперсия оператора ]2 в состоянии на выходе из интерферометра (аналогично (¡')

л 2 л2

- среднее от оператора по состоянию на выходе). В (5) (А1])^ = $^ы - 0¡Уы -дисперсия оператора проекции спина (у = X, У, 2) в состоянии на входе

г л л "1

интерферометра, а соч[]г,]х\\1п - параметр ковариантности операторов ]2 и ]х, определяемый как

1

СОУ[Ь,1х\Нп =^((Ых + 1хЬ))т - (12)ы(1х)ы. (6)

В (5) и (6) усреднение проводится по состоянию на входе интерферометра; именно от этого состояния зависит фундаментальная (предельная) точность оценки ф. Так, в случае оптического (Глауберовского) когерентного состояния = 1а)а10)ь, либо атомно-когерентного состояния (2), точность метрологии ограничена стандартным квантовым пределом (СКП), так же известным в лазерной физике как предел дробового шума:

1

Аф=:м (7)

С другой стороны, сжатые, либо запутанные состояния, полученные с применением сугубо квантовых эффектов, и используемые в качестве входных состояний интерферометра, позволяют преодолеть СКП (7) и приблизиться к пределу Гейзенберга

аФ4 (8)

Целью прецизионной интерферометрии является измерение физически малого фазового сдвига в плечах интерферометра, который может быть описан унитарным

преобразованием Иф = . Оператор называется генератором

преобразования Иф, х(Ф) есть некоторая функция от ф (без потери общности можно

положить, что х(Ф) не зависит от среднего числа частиц N = (Ы)). В случае, если к = 1, говорят о линейной квантовой метрологии, при этом предельной точностью измерения является СКП (7) для «классических» сценариев измерения, либо предел Гейзенберга (8) при использовании существенно неклассических состояний на входе интерферометра. Обобщением данных пределов на случай к ^ 1 являются выражения

АФ =Я-Е (9)

и

Аф=±-к, (Ю)

соответственно [9]. Измерение фазовых сдвигов, описываемых генераторами с к > 1 лежит в области нелинейной квантовой метрологии. Сравнивая (7) и (9), а также (8) и (10), можно видеть, что нелинейная метрология обеспечивает существенно лучшую точность. Проблема заключается в том, что использование сугубо нелинейных сред, формирующих соответствующие фазовые параметры в общем случае сопряжено с увеличением шумов, диссипацией, тепловыми флуктуациями и иными эффектами, ухудшающими точность метрологии. Применение квантовых метрологических схем, включающих в своей основе сильно нелинейные среды должно быть физически обосновано в каждом отдельном случае.

Особый интерес для квантовой метрологии представляют двумодовые ^-частичные максимально запутанные (по пространству) N00N-состояния, которые

позволяют достичь предел Гейзенберга (8) на любых двумодовых устройствах, таких как интерферометры, гироскопы, литографы. N00 N-состояние имеет вид

1

т = — (1Юа10)ь + е^ШЮъ). (11)

Применение N00 N-состояний (11) осложнено двумя факторами.

Во-первых, данные состояния трудно получить физически в эксперименте с числом частиц N > 5 [10].

Во-вторых, N 00 N-состояния весьма чувствительны к потерям даже небольшого числа частиц. Микроскопические N00N-состояния (Ы « 102) не представляют интереса для квантовой метрологии, с другой стороны в случае макроскопических состояний ( N » 103) весьма затруднительно избежать потерь частиц на временах, достаточных для проведения измерения.

Таким образом, основной интерес заключается в получении мезоскопических (Ы « 102 — 103) N00N-состояний или подобных им квантовых состояний, устойчивых к потерям небольшого числа частиц и обеспечивающих точность линейной метрологии на уровне предела Гейзенберга.

Материально-волновые солитоны Бозе-Эйнштейновского конденсата (БЭК), являясь существенно нелинейными объектами, представляют особый интерес с точки зрения формирования максимально-запутанных ^00^-состояний. Такие солитоны экспериментально получены в работе [4], где исследовался Бозе-конденсат лития. Удобство БЭК в качестве платформы для получения и изучения N00N-состояний основано на следующих соображениях. Во-первых, на сегодняшний день хорошо отработана технология получения БЭК при температурах существенно ниже критических температур Бозе-конденсации, что позволяет рассматривать их (на конечных временах) как идеальные, пренебрегая температурными эффектами [4,5]. Во-вторых, конденсаты пониженной размерности, в особенности одномерные, обеспечивают весьма высокое значение кубичной нелинейности, что не достижимо

сегодня в оптических экспериментах. Это позволяет получать светлые квантовые солитоны БЭК с мезоскопическим числом атомов и удерживать их в течение десятков миллисекунд [4,5].

Глава 2 «Предельная метрология с макроскопическими материально-волновыми солитонами»

Глава посвящена модели солитонных джозефсоновских контактов (СДК), рассматриваемой полуклассически, в макроскопическом пределе. Параллельно рассматривается известная из литературы модель бозонных джозефсоновских контактов (БДК) в качестве наглядного образца для сравнения результатов.

Первая часть главы посвящена одномодовому приближению, когда рассматривается БЭК атомов, помещенных в вытянутый сигарообразный потенциал, см. рисунок 2 (а), и формируют светлый солитон. Потенциал такого вида описывается выражением

Рисунок 2 - (а) Схема идеального сигарообразного БЭК в гармоническом потенциале магнитооптической ловушки; (б) Схема распределения плотности вероятности |^|2 одиночного конденсата в зависимости от пространственных координат X и Y

У(г) =-тш2±(у2х2+у2 + г2), (12)

2

где ш± - гармоническая частота ловушки в радиальном направлении: = = ш±. Коэффициент ух описывает асимметрию потенциала как отношение гармонических частот вдоль оси X и в радиальном направлении: ух = ых/ш± « 1.

Для лучшего понимания сути системы на рисунке 2(б) приведено распределение плотности вероятности конденсата, |^|2 = 1х¥(г±,х^)12, в проекции на плоскость (Х0У). Конфигурация удерживающего потенциала в равной мере ограничивает конденсат в направлении осей У и 7, обеспечивая Гауссово распределение волновой функции БЭК в соответствующих измерениях. В то же время распределение конденсата вдоль оси X существенно зависит от свойств исследуемой среды. В режиме сильной нелинейности среды в ловушке, когда энергия нелинейного взаимодействия иЫ » V, вдоль оси X конденсат имеет распределение

-ф(х, £) = sech 2

иЫ

х

е1и2м2г/81 (13)

2

описывающее светлый материально-волновой солитон, изображенный на рисунке 2(б). Эффективный квантовый Гамильтониан такого солитона может быть записан в виде

ц(ст = -Шзцз, (14)

где

и2

™3=-, (15)

N = а+а - оператор числа частиц. Здесь предполагается, что все частицы солитона заполняют одну квантовую бозонную моду конденсата. Для сравнения, эффективный Гамильтониан квазиодномерного конденсата с Гауссовой волновой функцией 'ф(х), относящийся к модели БДК, имеет вид

н(БгДК) = ппьй — ПП2Й2, (16)

где

1 д2 и

Г 1 д2 и Л

ППЬ = ] dxr(x)\---^ + Vtr(x)+-|lP(x)|2)ф(x);

(17)

и

ЬП2=~] dx|lP(x)|4. (18)

Таким образом, можно видеть, что структура солитонного поля обеспечивает гораздо большую степень кубичной (по числу частиц Ы) нелинейности. Из (16) следует, что предельная точность измерения эффективной собственной энергии конденсата х = ЬП1, составляет

^Х = 1, (19)

что соответствует пределу Гейзенберга (8). В то же время точное измерение параметра керровской нелинейности х = — и согласно его определению (18) предполагает максимальное масштабирование

Ах = ± (20)

Наконец, из (14) следует, что аналогичное измерение с использованием светлых солитонов обеспечивает максимальное масштабирование

Ах = ^- (21)

Более того, согласно (9), даже при использовании когерентных зондов, измеряя нелинейный фазовый сдвиг пропорциональный Ш3, возможно преодолеть предел Гейзенберга (8) и достичь

А Х = (22)

АХ ы5^

см. [9].

Вторая часть главы посвящена формулированию квантовой теории связанных материально-волновых солитонов в двумодовом приближении. По аналогии с рисунком 2, исследуемая двумодовая система схематически изображена на рисунке 3. На рисунке 3(а) изображен '-потенциал, сформированный двумя близко расположенными сигарообразными ловушками. В ловушках формируются солитоны с распределениями ^(х, €), аналогичными (13), но с более сложной зависимостью от времени, поскольку туннелирование частиц между ловушками обуславливает сложную динамику, не имеющую аналитического решения в общем случае.

Для определенности здесь и далее рассматриваются только атомные конденсаты, состоящие из притягивающихся частиц при температурах существенно ниже критических. Любые потери на данном этапе опускаются. Выбранные геометрия и физические условия позволяют также рассмотреть известную из

Рисунок 3 - (а) Схема двух идеальных сигарообразных БЭК, помещенных в сильно

асимметричный '-потенциал магнитооптической ловушки; (б) Схема распределения плотности вероятности |^|2 связанных конденсатов в зависимости

от пространственных координат X и Y

а)

б)

литературы модель БДК и сравнить результаты, полученные для двух моделей. В случае БДК распределение |^|2 будет иметь похожий вид, однако вместо гиперболического секанса вдоль оси X имеем гауссово распределение.

Классические Гамильтоновы функции двух моделей имеют вид

Я

Нбдк = (23)

и

Нсдк = квГГЫ (-^г2 -^1-z2cos[в]]), (24)

где х = (Ыъ — Ма)/М - разность населенностей, и в - разность фаз двух конденсатов (солитонов для СДК); к - скорость туннелирования частиц между ямами,

= к(1 — 0.21г 2)^1 — г2 (25)

- эффективная скорость туннелирования частиц для модели СДК. Наконец, для двух моделей введены ключевые параметры, отвечающие за различные режимы динамики г и в:

^уиЫ и2Ы2 Л и2Ы2 Я ^ ЛеП =—-=-;-; Л = (26)

где и - параметр (керровской) нелинейности, зависящей от длины атом-атомного рассеяния частиц конденсата; V - параметр асимметрии ловушек вдоль оси X (для сферических ловушек V = 1, для сигарообразных, необходимых для СДК - V « 1).

Сравнивая Гамильтонианы (23) и (24), можно заметить, что они различаются ключевыми параметрами Я а иЫ и Л а и2И2, а также скоростями туннелирования к и . В случае СДК скорость туннелирования нелинейно зависит от разности населенностей 2. Нелинейные эффекты в процессе туннелирования исчезают при 22 « 1. В этом пределе две модели идентичны. Однако, при г2 ^ 1 эффективная скорость туннелирования стремится к нулю и эффективный параметр

может существенно возрастать. Таким образом, наблюдается эффект самонастройки эффективной скорости туннелирования , которая устанавливает различные режимы взаимодействия солитонов.

Третий раздел главы посвящен получению макроскопических суперпозиционных состояний солитонов.

При исследовании Гамильтониана СДК (24) в макроскопическом пределе и приближении Хартри были обнаружены два стационарных состояния системы СДК. Первое состояние характеризуется параметрами разности населенностей и разности фаз солитонов

г± = ±1; (27а)

Л

^[в] =

1.58

(27б)

и средней энергией

1

ЕМооы = -

В свою очередь, второе состояние характеризуется параметрами

(28)

г± = ±

N

1 ( Л\

1.21--)

0.42 . 2/

^[в] = 1

(29а) (29б)

и реализуется при средней энергии

ЕКШ = кЫ(0.30Л2 - 1.44Л + 0.74). (30)

Как можно видеть из (27а) и (29а), оба стационарных состояния характеризуются разностями населенностей, определенными с точностью до знака, т.е. являются вырожденными. Однако, в квантовом случае такие состояния могут существовать в суперпозиции, формируя для (27) ^00^-состояние, а для (29) - его

более общую версию, известную как состояние Кота Шрёдингера (КШ). Данные полуклассические состояния могут существовать лишь при 0 < Л < 1.58 для ИввИ-состояния и при 1.58 < Л < 2.42 для КШ-состояния, что обусловлено ограниченностью областей значений для г и соз[0]. Значение Л = 1.58 является переходным; в этой точке состояния эквивалентны друг другу и неразличимы, обладая значениями основных параметров солитонов г2 = 1 и 0 = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Царёв Дмитрий Владимирович, 2021 год

Список литературы

1. Demkowicz-Dobrzanski R., Jarzyna M., Kolodynski J. Quantum Limits in Optical

Interferometry // Progress in Optics. 2015. Vol. 60. P. 345-435.

2. Kim H., Park H.S., Choi S.-K. Three-photon N00N states generated by photon subtraction from double photon pairs // Opt. Express. 2009. Vol. 17, № 22. P. 19720.

3. Schneider C. et al. Exciton-polariton trapping and potential landscape engineering // Reports Prog. Phys. 2017. Vol. 80, № 1.

4. Khaykovich L. et al. Formation of a matter-wave bright soliton // Science. 2002. Vol. 296, № 5571. P. 1290-1293.

5. Nguyen J.H.V. et al. Collisions of matter-wave solitons // Nat. Phys. 2014. Vol. 10, № 12. P. 918-922.

6. Dowling J.P. Quantum optical metrology - The lowdown on high-N00N states // Contemp. Phys. Taylor & Francis , 2008. Vol. 49, № 2. P. 125-143.

7. Cirac J.I. et al. Quantum superposition states of Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 1998. Vol. 57, № 2. P. 1208-1218.

8. Helstrom C.W. Quantum detection and estimation theory. New York: Academic Press, 1976. 309 p.

9. Luis A. Quantum limits, nonseparable transformations, and nonlinear optics // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 2007. Vol. 76, № 3.

10. Dowling J.P. Quantum optical metrology - The lowdown on high-N00N states // Contemp. Phys. 2008. Vol. 49, № 2. P. 125-143.

11. He Q.Y. et al. Planar quantum squeezing and atom interferometry // Phys. Rev. A -At. Mol. Opt. Phys. 2011. Vol. 84, № 2.

12. Moerdijk A.J., Boesten H.M.J.M., Verhaar B.J. Decay of trapped ultracold alkali atoms by recombination // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 1996. Vol. 53, № 2. P. 916-920.

13. Rem B.S. et al. Lifetime of the Bose gas with resonant interactions // Phys. Rev. Lett.

2013. Vol. 110, № 16.

14. Demkowicz-Dobrzanski R. et al. Quantum phase estimation with lossy interferometers // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 2009. Vol. 80, № 1.

15. Dorner U. et al. Optimal quantum phase estimation // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102, № 4.

16. Walker P.M. et al. Ultra-low-power hybrid light-matter solitons // Nat. Commun. Nature Publishing Group, 2015. Vol. 6, № 1. P. 1-7.

17. Lebedev M.E. et al. Exciton-polariton Josephson junctions at finite temperatures // Sci. Rep. 2017. Vol. 7, № 1.

18. Gebhard T. et al. InGaAs/InGaAlAs/InAs/InP very selective quantum dot infrared photodetector for 12 ^m // Conf. Proc. - Lasers Electro-Optics Soc. Annu. Meet. 2009. P. 170-171.

Synopsys

Topic relevance

High-precision measurements and sensing are at the heart of many modern high technologies with positioning and navigation technologies (GPS, GLONAS), mobile communications, and telecommunications being the most significant. Metrology and sensorics also play an important role in industry, science, and medicine. The increasing of requirements for the functional characteristics of these technologies leads to increasing of requirements for the accuracy and uniformity of measurements of various physical quantities, which is one of the tasks of metrology as a science.

In the world of classical physical phenomena that underlie modern metrology, the imperfection of technical measuring instruments limits the measurement accuracy at the fundamental level; this noise, at least in theory, can be completely suppressed. As a result, the increase in the measurements accuracy rests on the issue of the current measuring equipment and technology level. Further, we will regard such noises as classical (in laser physics, for example, this is the level of detector shot noise). In contrast, quantum noise is associated with various kinds of uncertainty relations that impose restrictions on the quantum measurements accuracy; thus, even hypothetically, they can never be completely suppressed. Nevertheless, even today, quantum metrology offers a number of methods and approaches to improve the measurement accuracy, which are based on the management of these uncertainty relations during the measurement process.

Within the framework of the quantum information approach to the measurement process, there exists the so-called quantum Cramer-Rao boundary, which limits the

accuracy of estimating an arbitrary physical parameter x as Ax >^=, where FQ is the

Quantum Fisher Information, v is the number of measurement repetitions [1]. In quantum optics, for example, the Standard Quantum Limit (SQL) of measurement accuracy (aka shot noise limit), Axsql = 1 /VN, corresponds to the quantum Cramer-Rao boundary and can be

achieved using laser (coherent) light sources; N is the average number of photons participating in the measurement. Thus, making measurements at the SQL level and beyond is the main task of quantum metrology.

Today, the methods and approaches of quantum metrology are successfully implemented for gravitational waves detection, development of quantum frequency standards, quantum lithography, and in many other fields of science and technology. Overcoming the SQL when measuring small phase shifts was theoretically predicted and experimentally demonstrated for various systems containing two effectively interacting (interfering) modes and using nonclassical squeezed or correlated quantum states as initial ones. For example, such systems as Mach-Zehnder (MZI) and Michelson (MI) interferometers, gyroscopes (Sagnac interferometers), lithographs, lidars.

Within the framework of linear quantum metrology, the accuracy of measuring the phase difference in interferometer arms (linearly depending on the number of photons participating in the measurement) is limited by the minimum value of the quantum Cramer-Rao boundary known as the Heisenberg limit (HL) Axhl = 1/N. It was demonstrated that the HL is achieved using the initially prepared maximally-path-entangled N-particle quantum state, known as the N00N-state. Such states were obtained in nonlinear optics for a small number of photons (microscopic N00N-states with N < 5) using spontaneous parametric down-conversion, for example, see [2].

Applying N00N-states in a real-world experiment is difficult not only because of the preparation of maximally entangled quantum states with N > 5, but also because of their extreme sensitivity to particle losses. This problem is very acute in optics, since the loss of particles becomes more significant for large N (macroscopic N00N-states with N > 103). Thus, one of the most actual problems of quantum metrology is obtaining mesoscopic N00N-states, or those close to them in their physical properties, and relatively robust against losses of several particles. Obtaining and applying such states for problems in quantum metrology is a complicated task both in theory and in experiment.

This thesis proposes a new approach to obtaining mesoscopic N00N-states based on bright weakly tunnel-coupled quantum Bose-Einstein condensate (BEC) solitons in atomic optics. The Bose-condensation phenomenon has been known for a long time; in recent decades, BEC has been observed experimentally. The superfluid properties of BEC, resulted from the interaction of condensate particles, allow maintaining the coherence of the macroscopic system for some time even in the presence of weak dissipation.

In turn, quantum solitons are well studied in optics. Also, the solitons with a relatively small number of photons (several hundred) form in polaritonics known as the so-called Bragg solitons in periodic semiconductor microstructures [3]. However, the temperature effects in such systems are quite significant. In this thesis, to highlight the purely quantum effects and limitations that occur as a result of the proposed measurement schemes, the atomic bright BEC solitons are examined at sufficiently low temperatures (up to tens of microKelvins) in media with a weak interparticle attraction, which is described by the negative interparticle scattering length forming the Kerr nonlinearity of the medium. Such solitons were obtained experimentally in condensates containing a mesoscopic number of particles (from several tens to thousands) at temperatures significantly below the critical. In addition, solitons of atomic condensates are convenient as they allow controlling the nonlinearity of a medium using the Feshbach resonance technique [4,5]. Thus, BEC solitons can be considered quantum-mechanically and provide a suitable platform for studying the fundamental limitations of quantum measurements and required (mesoscopic) N00N-states. Notably, the proposed high-precision measurement schemes with atomic solitons are universal from a physical point of view and based on the interferometry principles known from laser physics. Thus, the results obtained in this work can be easily adapted in laser physics and polaritonics, taking into account the creation of Kerr materials and media capable of producing a nonlinear response to a small number of photons, many orders of magnitude higher than the response of existing nonlinear crystals [6].

Purpose

The thesis aims to develop interferometric schemes, methods and quantum metrology

approaches for measurement and estimation the unknown phase parameters at the precision

level of the Heisenberg limit and beyond.

Objectives

In accordance with the purpose of the work, the following tasks were solved:

1. Development and analysis of new quantum metrology schemes based on entangled states of bright atomic solitons;

2. Reveal of the fundamental quantum limits on the phase-shift measurement and estimation both in linear and nonlinear quantum metrology with bright solitons;

3. Development of a quantum model of soliton Josephson Junctions (SJJ) providing the formation of the maximally-path-entangled states of BEC solitons;

4. Investigation of the phase parameters measurement and estimation limiting accuracy in quantum metrology schemes with losses of a small number of particles.

Novelty

1. An ab initio quantum model of entangled atomic solitons has been developed, which demonstrates the nonlinear quantum effect of the particle tunneling self-tuning, which provides a quantum phase transition of the Mott type, and consists of the formation of many-particle entangled Fock states.

2. The quantum limit accuracy of Kerr nonlinearity phase parameter estimation, Ax & N-s/2, based on a Mach-Zehnder interferometer with coherent bright solitons has been predicted for the first time.

3. The ultimate accuracy of Kerr nonlinearity phase parameter estimation Ax & N-3 has been predicted for the first time for the cubic-nonlinear media and based on the maximally entangled N00N-states of solitons.

4. New quantum limits (on the number of particles) have been revealed for the first time in the framework of linear and nonlinear metrologies of various phase parameters in the presence of particle dissipation.

Theoretical and practical significance

The results obtained in this work are relevant for new quantum metrology and sensorics technologies, for evaluating small displacements, phase shifts, for devices of frequency and time standards. The revealed fundamental quantum limits on the physical parameters estimation, on the other hand, can find their application in laser interferometric schemes with gravitational waves detection.

Principal statements of the thesis

1. In a system of quantum bright solitons, which are tunnelly-coupled in the lateral (to the solitons propagation direction) plane, a self-tuning nonlinear effect for the effective BEC particle tunneling parameter has been revealed. The effect implies that the effective tunneling of particles between solitons is abruptly self-blocked under conditions of the maximum population imbalance. In the other limit, when the populations of condensates are equal, tunneling of particles is maximal and provides the Rabi oscillations for the population difference.

2. In a system of tunnelly-coupled quantum bright solitons in the absence of losses, the quantum phase transition of the «superfluid state - Mott insulator» type occurs. In this case, a superposition of multiparticle entangled Fock states with a strongly pronounced N00N-component forms due to the mesoscopic occupation of the «edge» (in the number of particles) quantum states with occupation numbers n = 0 and n = N.

3. In the absence of particle losses in Mach-Zender interferometer, the ultimate error of Kerr nonlinearity parameter estimation and measurement is limited by 1/N5/2 and 1/N3 for the coherent and entangled states of the quantum bright solitons at the interferometer input, respectively; N is the total number of particles involved in the measurement.

4. In the presence of particle losses in Mach-Zender interferometer, which purposes phase parameters measurement and estimation within the frameworks of both linear and

nonlinear soliton-based quantum metrologies, there exists a maximum value of the loss

_2k

parameterymax = 1 — e n . Below this value the N00N-state is optimal for estimating the unknown phase shift in a Mach-Zehnder interferometer arms, providing accuracy at the level of Heisenberg (1/N for linear metrology scheme with k = 1) and superHeisenberg (1/N3 for schemes of nonlinear metrology with k = 3) limits. Otherwise, a better estimation accuracy is provided by the entangled states of solitons formed in the vicinity of the quantum phase transition between the coherent and N00N- states of the solitons. Results approbation

The materials of the thesis were reported at university, national, and international conferences, forums and scientific schools, including the following:

1. XVIII International conference «Laser Optics», Saint Petersburg, 2018

2. XXVI International conference «Lomonosov», MSU, Moscow, 2019

3. XI International conference «Fundamental Problems of Optics», ITMO University, Saint Petersburg, 2019

4. XXIII National scientific school «Coherent optics and spectroscopy», Academy of Tatarstan republic, Kazan, 2019

5. XII International conference «Fundamental Problems of Optics», ITMO University, Saint Petersburg, 2020

6. XIX International conference «Laser Optics», Saint Petersburg, 2020

7. V National forum «Future science is the youth science »; Moscow, 2020

8. I National conference «Yenisey photonics»; Krasnoyarsk, 2020.

9. XXVII International conference «Lomonosov», MSU, Moscow, 2020 10.29-th annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'21), online, 2021 11. International conference «PhusicA.SPB», Ioffe PhTU, Saint Petersburg, 2021

12. XXVIII International conference «Lomonosov», MSU, Moscow, 2021

The reliability of the results is ensured by the usage of generally accepted methods of theoretical research, as well as by general agreement with the experimental and theoretical results obtained in the works by other authors.

Author's personal contribution

The author obtained the results presented in the thesis personally; the choice of the general research direction and the formulation of the problems under consideration were made jointly with the scientific advisor. The interpretation of the results obtained was performed jointly with the scientific advisor, as well as with the co-authors of the published articles.

Implementation of thesis results

The results of the thesis in the development of models and schemes for the entangled states preparation and their application for quantum metrology problems were used in research works on the topics «Machine learning for hybrid quantum information processing and metrology», «Development of a model of a quantum sensor for precision interferometry with a resolution exceeding the standard quantum limit», and «Study of the formation and decoherence of maximally entangled states of dissipative material-wave solitons for quantum metrology problems». The research was supported by the Russian Foundation for Basic Research (RFBR) grant No. 19-52-52012 MNT_a and the Committee for Science and Higher School (KNVSH) grants for students of universities located in St. Petersburg in 2019 and 2020. The results of thesis in terms of particle detection were used in research works on the topic «Investigation of fundamental processes of generation and detection of single photons» supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, research project no. 2019-1442.

Publications

The main thesis materials were published in four papers in the journals of the Higher

Attestation Commission list or equivalent to the ones of the Higher Attestation Commission

list.

1. Tsarev D.V., Arakelyan S.M., Chuang Y., Lee R.-K., Alodjants A.P. Quantum metrology beyond Heisenberg limit with entangled matter wave solitons // Optics Express. - 2018. - V. 26. - №15. - P. 19583

2. Tsarev D.V., Lee R.-K., Alodjants A.P. Quantum metrology beyond Heisenberg limit with entangled matter wave solitons // Proceedings - International Conference Laser Optics 2018. - ICLO 2018. - P. 328

3. Tsarev D., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Mesoscopic quantum superposition states of weakly-coupled matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2020. - V. 22. - №11. - P.113016

4. Tsarev D.V., Vinh N., Alodjants A.P. Beating Heisenberg limit with moving matter-wave solitons // Proceedings - International Conference Laser Optics 2020. - ICLO 2020. - P. 9285804

5. Tsarev D.V., Ngo V.T., Alodjants A.P. Entangled States of Atomic Solitons for Quantum Metrology //Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2020. -V. 84. - №. 3. - P. 254-257.

The main thesis materials were also used for the following publications:

1. Khrennikov A., Alodjants A., Trofimova A., Tsarev, D. On interpretational questions for quantum-Like modeling of social lasing // Entropy. - 2018. - V. 20. - №. 12. - P. 921.

2. Lachina A.A., Nemirovskii D.Yu, Tsarev D.V., Davydov N.N. Hardware and software tools for the implementation of a virtual control complex for information technology laser equipment // Electronic design and technology. - 2018. - №. 4. - P. 37-43.

3. Tsarev D.V., Ngo T.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Nonlinear quantum metrology with moving matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2019. - V. 21. - №. 8. - P. 083041.

4. Alodjants A.P., Tsarev D.V., Ngo V.T., Quantum metrology: how and what to measure beyond the Heisenberg limit // XIII international workshop on quantum optics (IWQO-2019). - 2019. - P. 43-46.

5. Tsarev D.V., Alodjants A.P. Quantum metrology with matter-wave solitons beyond the Heisenberg limit // L0M0N0S0V-2019: Proceedings of the XXVI International Conference: https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2019/data/section_33_16295.htm. - 2019. - P. 1

6. Tsarev D.V., Alodjants A.P. Entangled matter-wave soliton states for quantum metrology // Proceedings of the XXIII National scientific school «Coherent optics and spectroscopy». - 2019. - C. 142

7. Tsarev D.V., Ngo T.V. Maximally entangled states of matter-wave solitons for quantum metrology // Proceedings of the VIII Young Scientist Workshop. - 2019. - V. 1. - P. 223

8. Tsarev D.V., Ngo T.V., Alodjants A.P. Formation of N00N-states of coupled solitons in a double-well potential // Proceedings of the XI International Conference « Fundamental Problems of 0ptics-2020». - 2020. - P. 50

9. Ngo T.V., Tsarev D.V., Alodjants A.P. Dynamics of weakly-coupled BEC solitons in a highly asymmetric potential trap // Proceedings of the XI International Conference « Fundamental Problems of 0ptics-2020». - 2020. - P. 82.

10.Tsarev D.V., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Enhanced nonlinear quantum metrology with weakly coupled solitons and particle losses // arXiv preprintarXiv:2108.03408

11.Tsarev D.V., Mesoscopic quantum superposition states of Bose-Einstein condensate solitons for quantum metrology // Proceedings of the IX Young Scientist Workshop 2020: https://kmu.itmo.ru/digests/article/4136. - 2020

12.Ngo T.V., Tsarev D.V., Alodjants A.P. Coupled solitons for quantum communication and metrology in the presence of particle dissipation // Journal of Russian Laser Research. - 2021. - V. 42. - P. 523.

Thesis structure and scope

The dissertation consists of 295 pages, including 2 tables, and 51 figures. It includes Introduction, four Chapters, Conclusion, and Bibliography containing 113 titles.

Thesis content

Introduction of the thesis contains a rationale for its relevance. Here, the purpose of the work and the tasks to be solved are formulated, the scientific novelty and the practical significance of the results obtained are discussed. The main provisions to defend are given, as well as a brief description of the thesis content.

Chapter 1 «Literature review»

The first Chapter overviews the essential literature relevant to the topic under consideration. It formulates the key approaches and methods used in the research, describes the current state of the art in both theory and experiments, which makes the basis of this thesis.

From the quantum information theory point of view, the estimation of a certain parameter x is based on performing v subsequent measurements and then averaging the results. In this case, the error of estimation, A/, is limited by the so-called quantum Cramer-Rao bound [1]:

1

(1)

where FQ is the quantum Fisher information associated with a certain procedure for measuring the number of particles. We can also assume that FQ is the amount of the information about the phase parameter / E0 of our interest, obtained by a single measurement. The larger this value is, the more accurately we can measure 0, and the

smaller the error A0 is. Such a scenario with v sequential, independent measurements use purely quantum effects neither at the stage of preparation of the test state no at the stage of detection. An example of such a scenario is the scheme with the Mach-Zehnder interferometer (MZI), shown in Figure 1(a), as well as with the Ramsey atomic interferometer, shown in Figure 1(b). Any measurement using separable ^-particle states

Figure 1 - Comparison of schemes of (a) the Mach-Zehnder interferometer (MZI) and (b) the Ramsey atomic interferometer; (c) equivalent representation of booth interferometers in terms of angular momentum rotations on the Bloch sphere

can also be classified in this category, and each particle can be considered as an independent «probe».

If the number of particles is large enough in the Hartree approximation (the mean field approximation), we can consider the ground state lWN) as an N-particle ensemble in the form of a product of N single-particle states l^), lWN) = l^) ® l^) ® ... ® l^), where = al1,0) + Pl0,1), [7]. Thus,

lVN)=-^[aa^+№]NI0), (2)

where a^ and b^ are the bosonic creation operators of a particle in the state la) and lb), respectively; a and ft are complex amplitudes such that lal2 + lftl2 = 1. The formalism of the creation and annihilation operators allows mapping the interferometry problem for the parameter 0 onto the Bloch sphere, where all processes occurring in the interferometer are equivalent to the rotation of the collective spin; see Figure 1(c). In this case, the operators of the spin projections on different axes are defined in the form

111 ¡x=-(^b + b^a); JY=-(atb-bta); Jz =-(&*& —tfb), (3)

and the accuracy of interferometry with measuring the difference in the intensities of the output beams can be estimated using the error propagation formula [1,8]:

A.

A$ = &

d{J'z) / /d<P

(4)

where

(aJ'z)2 = cos2[$] (Ajz)2lin + sin2[0] (Ajx)2lin — 2 sin[0] cos[$] cov[jzjx\in (5)

is the variance of operator Jz in the state at the input of the interferometer (similarly, {J'z) is

2 ,i2.

the average of the operator in the state at the output). In (5) (AJj) = (jf )in — {])„ is the

variance of the spin projection operator (j = X, Y,Z) in the input state, and cov[jz,Jx\is the covariance of operators Jz and Jx, defined as

1

COv[lz,Jx]lin = ^((JzJx + lxlz))in - (Jzhndxhn. (6)

In (5) and (6), averaging is performed over the input state; it is the state that determines the fundamental (limiting) accuracy of the 0 estimation. Thus, for coherent state |¥) = |a)a|0)fe, or an atomic-coherent state (2), the metrology accuracy is limited by the standard quantum limit (SQL), also known in laser physics as the shot noise limit:

1

(7)

On the other hand, squeezed or entangled states obtained with using purely quantum effects and taken as input states of the interferometer make it possible to overcome the SQL (7) and approach the Heisenberg limit

w=I (8)

The aim of precision interferometry is to measure the physically small phase shift in the arms of the interferometer, which can be described by the unitary transformation

Uq = e-lx(^k. Operator Nk is called the generator of transformation U^, x($) is some function of 0 (without loss of generality, we can assume that does not depend on the average particle number N = (N)). If k = 1, this is the case of linear quantum metrology, and the limiting measurement accuracy is the SQL (7) for «classical» measurement scenarios, or the Heisenberg limit (8) when using essentially non-classical input states. The generalizations of these limits to the case k^1 are

^ = ^=05 (9)

and

respectively [9]. Measurement of phase shifts described by generators with k > 1 lies in the field of the nonlinear quantum metrology. Comparing (7) and (9), as well as (8) and (10), one can see that the nonlinear metrology provides significantly better accuracy. The problem is that the usage of purely nonlinear media forming the corresponding phase parameters in the general case is associated with an increase in noise, dissipation, thermal fluctuations, and other effects that destroy the metrology accuracy. Using quantum metrological schemes, which include strongly nonlinear media, must be physically justified in each individual case.

Two-mode ^-particle maximally-path-entangled N00N-states are of particular interest for quantum metrology as they allow reaching the Heisenberg limit (8) on any two-mode devices, such as interferometers, gyroscopes, lithographs. The N00N-state has the form

However, exploiting the N00N-states (11) is complicated by two factors.

First, these states are difficult to prepare physically in an experiment with the number of particles N> 5 [10].

Second, the N00N-states are very sensitive to losses of even a small number of particles. Microscopic N00N-states (with N « 102) have no interest for quantum metrology; on the other hand, in the case of macroscopic states (with N » 103), it is very difficult to avoid the loss of particles at times sufficient for measurements.

Thus, the main interest lies in obtaining mesoscopic (with N « 102 — 103) N00N-states or similar quantum states robust against losses of a small number of particles and providing the accuracy of linear metrology at the Heisenberg limit.

1

m= — (lN)aI0)b + ei*NI0)aIN)b).

(11)

Matter-wave Bose-Einstein condensate (BEC) solitons being essentially nonlinear objects are of particular interest from the point of view of the N00N-state formation. Such solitons were experimentally obtained in [4], where the Bose condensate of lithium was studied. The convenience of BEC as a platform for preparing and studying N00N-states is based on the following considerations. First, to date, the technology for producing BECs at temperatures significantly below the critical temperature of Bose-condensation has been well developed, which makes it possible to consider them (at finite times) as ideal, neglecting temperature effects [4,5]. Second, condensates of reduced dimensionality, especially one-dimensional BECs, provide a very high value of cubic nonlinearity, which is not achievable today in optical experiments. This makes it possible to obtain bright quantum BEC solitons with a mesoscopic number of particles and to keep them for tens of milliseconds [4,5].

Chapter 2 «Ultimate metrology with macroscopic mater-wave solitons»

The Chapter considers the model of soliton Josephson junctions (SJJ), considered semiclassically, in the macroscopic limit. In parallel, the model of bosonic Josephson junctions (BJJ) known from the literature is considered as an illustrative example for comparing the results.

The first part of the Chapter is devoted to the single-mode approximation, when the BEC of atoms trapped in an elongated cigar-shaped potential, see Figure 2 (a), and form a bright soliton. A potential of this kind is described by the expression

1

V(r)=-mul(vlx2 +y2 + z2), (12)

2

where is harmonic frequency of the trap in the radial direction: = ^z = The vx coefficient describes the potential asymmetry as the ratio of harmonic frequencies along the X axis and in the radial direction: vx = « 1.

For a better understanding of the system, Figure 2(b) shows the probability density distribution of the condensate, l^l2 = lW(r±,x,t)l2, in projection onto the plane (X0Y).

The confining potential configuration equally constrains the condensate in the Y and Z directions, providing a Gaussian distribution of the BEC wave function in the corresponding dimensions. At the same time, the distribution of condensate along the X-axis substantially depends on the properties of the medium. In the regime of strong nonlinearity, when the energy of nonlinear interaction is uN » V, along the X-axis the condensate is distributed as

^(x, t) = sech 2

uN

x

2

giu2N2t/8, (13)

which describes the bright mater-wave soliton shown in Figure 2(b). The effective quantum Hamiltonian of such a soliton can be written in the form

fi(sfJp = -hiï.3N3, (14)

Figure 2 - (a) Scheme of an ideal cigar-shaped BEC in the harmonic potential of a magneto-optical trap; (b) Scheme of the probability density distribution |¥|2 of a single

condensate vs. spatial coordinates X and Y

where

u2

m3=-, (15)

N = a+a is the particle number operator. It is assumed here that all soliton particles populate a single quantum bosonic mode of the condensate. For comparison, the effective Hamiltonian of a quasi-one-dimensional condensate with Gaussian wave function ^(x), related to the BJJ model, has

H(B/fJ) = hDLN — hD2N2, (16)

where

f / 1 d2 u \

hnL = J dxr(x)i — 2g^+Vtr(x)+-№(x)l2J^(x); (17)

u 2 2

u f

= dx№(x)l4. (18)

Thus, as seen, the structure of the soliton field provides a much larger degree of particle number N for cubic (atomic) nonlinearity. From (16) it follows that the limiting accuracy of the effective condensate eigenenergy, x = hüL, measurement is

àx = 1, (19)

which corresponds to the Heisenberg limit (8). At the same time, precision measurement of the Kerr nonlinearity parameter x = hiï2 — u according to its definition (18) assumes maximum scaling

A* = (20)

Finally, it follows from (14) that a similar measurement with bright solitons provides maximum scaling

Moreover, according to (9), even with coherent probes, by measuring the nonlinear phase shift proportional to hü3, it is possible to overcome the Heisenberg limit (8) and achieve

The second part of the Chapter establishes the coupled matter-wave solitons quantum theory in the two-mode approximation. By analogy with Figure 2, the investigated two-mode system is schematically shown in Figure 3. Figure 3(a) shows the double-well potential formed by two closely spaced cigar-shaped traps. In the traps, solitons are formed with distributions ^(x, t) similar to (13), but with a more complicated time dependence, since the tunneling of particles between the traps causes complex dynamics that have no analytical solutions in the general case.

1

(22)

see [9].

b)

a)

Figure 3 - (a) Scheme of two ideal cigar-shaped BECs placed in a highly asymmetric double well potential of a magneto-optical trap; (b) Scheme of the probability density distributional2 of coupled condensates depending on the spatial coordinates X and Y

Thereafter only atomic condensates are considered, consisting of attracting particles at temperatures significantly below the critical ones; any losses at this stage are omitted. The chosen geometry and physical conditions also make it possible to consider the BJJ model known from the literature and compare the results obtained for the two models. In the case of the BJJ, the distribution |¥|2 have a similar form, but instead of a hyperbolic secant along the X-axis, it has a Gaussian distribution.

The classical Hamiltonian functions of the two models have the form

Pl

HB]] = kN (--z2—Jl — z2cos[e]) (23)

and

H*„ = KeffN (-A^Lz2—jl — z2 cos[0]), (24)

*SJ] = ^effi- v 2

where z = (Nb — Na)/N is the population imbalance, and 0 is the phase difference of two condensates (solitons for SJJ); k is the rate of particle tunneling between the wells,

Keff = k(1 — 0.21z 2)jl — z2 (25)

is the effective particle tunneling rate for the SJJ model. Finally, for the two models, the key parameters that are responsible for different dynamical regimes of z and 0 are introduced:

4vun u2n2 A u2n2

A = Aeff -=-;-; A = (26)

e;r l6keff (1 — 0.2lz2)^T—T2 16k v 7

where u is the parameter of the Kerr nonlinearity, which depends on the length of the atomatom scattering of the condensate particles; v is the asymmetry parameter of the traps along the X axis (for spherical traps v = 1, for cigar-shaped traps required for the SJJ, v « 1).

Comparing Hamiltonians (23) and (24), one can notice that they differ in key parameters A a uN and A ku2n2, as well as in tunneling rates k and Keff. In the case of the SJJ, the tunneling rate nonlinearly depends on population imbalance z. Nonlinear

effects in the tunneling process disappear at z2 «1. In this limit, the two models acting identically. However, for z2 ^ 1, effective tunneling rate Keff tends to zero and effective parameter Aejj can increase significantly. Thus, the self-tuning effect of effective tunneling rate Keff is observed, which sets different modes of solitons interaction.

The third section of the Chapter is devoted to preparing the macroscopic superposition states of solitons.

When studying the SJJ Hamiltonian (24) in the macroscopic limit and the Hartree approximation, two stationary states of the SJJ system were discovered. The first state is characterized by

z± = ±1; (27a)

A

cos[0] =

1.58

(27b)

and mean energy

1

enoon = ~^kna.

(28)

In turn, the second state is characterized by the parameters

z± = ±

N

1 ( A\

1.21--)

0.42 k 2/

(29a)

cos[6] = 1 (29b)

and the energy

Esc = kn(0.30a2 - 1.44A + 0.74). (30)

As seen from (27a) and (29a), both stationary states are characterized by the population imbalances determined up to sign, i.e. they are degenerate. However, in the quantum case, such states can exist in superposition, forming for (27) the N00N-state, and

for (29) its more general version, known as the Schrodinger Cat state (SC-state). These semiclassical states can exist only when 0 < A < 1.58 for the N00N-state and at 1.58 < A <2.4 for the SC-state, which are due to the limited range of values for z and cos[0]. Value A = 1.58 is transient; at this point the states are equivalent to each other and indistinguishable, having the values of the main parameters of the solitons z2 = 1 and 0 = 0.

Chapter 3 «Mesoscopic quantum states of coupled solitons preparation for metrology problems»

The Chapter is devoted to a full-quantum analysis of the proposed SJJ model, beyond the Hartree approximation. As before, the results obtained for the SJJ are compared with those for the BJJ.

The first section of the Chapter is proposes the quantization of the effective Hamiltonians (23) and (24), which is necessary for further analysis. For this, a second quantization procedure is used, based on the operators of the number of solitons "a" and "b" particles, Na = a^a and Nb = b^b, respectively, which makes it possible to write the population imbalance operator in the form z = 1(b^b — a^a), where a(a^) and b(P) are

the boson annihilation (creation) operators for condensate modes in the two-mode approximation, obeying the bosonic commutation relations. It is important to note that for nonlinear Hamiltonians containing terms depending on the phase, their quantization may be ambiguous, since there is no strict procedure for quantizing the phase, and also because the corresponding operators are non-commutative. However, different approaches to quantizing the Hamiltonian allow for a difference in terms proportional to 1/N and less, which are negligible for large N, i.e. in the mesoscopic and, moreover, in the macroscopic limits, being of our interest. In this problem, it is most convenient to take the decomposition

a = J^Vl — zel^/2 and b = J^VT+le-l^/2; in this case Vl—z2 cos[6

1 (cftb + b^a), and the quantum Hamiltonians of the models can be written as

HBJJ = kN ( -^z2-1^ + Pa) ) (31)

2 N

and

. A 9

hs]] = kn\--z2

( A

(lk=0—)k Qs) (1 - 0.21z2)(tfb + +Pa) z2k + H. C.))

respectivelly. In (32), the formal Taylor series expansion is also used 1Z'k=o(—1)k z2k; H.C. means the Hermitian conjugate term.

The second section of the Chapter is studies the SJJ model in the quantum limit based on the Hamiltonian (32).

The state of the SJJ system is considered in the Fock basis in the form

N

\W(r)) = ^An(r)\N-n,n), (33)

n=0

where \N — n,n ) = \N — n )a\n )b denotes a two-mode state of BEC solitons with a known number of particles in modes; t = kN is the normalized (dimensionless) time of the system; the coefficients An(r) obey the normalization condition JZI^=0\An(r)\2 = 1 and the Schrodinger equation

.dAn(r) dr

i—= {N -n,nlHlx¥(r)). (34)

With the Schrodinger equation (34), the stationary eigenstates An(r) = Ane-lEmT were found, and the spectrum of eigenenergies Em for Hamiltonian (32) was obtained; m = 0,1,2,... is the number the energy state of the system. This spectrum, normalized to kN, is shown in Figure 4 for different values of A and N = 300 particles. As seen, these stationary solutions for the SJJ model are located in the region of energy lines

intensification, where the Hartree approximation is valid; at A = 1.58 the N00N-state matches the SC-state, which at A = 2.42 matches the state with binomial distribution and energy E0. At the same time, as seen from Figure 4, there is a critical value Ac « 2, after which the N00N-state becomes energetically favorable. Strictly speaking, Ac > 2; the exact critical value of the key parameter depends on the particle number, which, for example, for N = 300 takes the value A c = 2.0009925.

At A = Ac, the SJJ system loses its coherent properties, switching into the Fock mode (Mott insulator mode). The self-tuning effect of tunneling leads to the formation of a superposition of entangled Fock states, which, even at moderate values of the parameter A ^ 2.001, allow the formation of the N00N-state principal components at the «edges» of this superposition with n = 0, n = N. This phase transition is purely quantum, in this region the Hartree approximation is inapplicable.

Figure 5 shows the probability distributions of the ground state |Anl2, (eigenfunctions of Hamiltonians (31) and (32) with minimum energies) for various values of the key parameters A and A for the SJJ and BJJ models, respectively. The results for the SJJ model are shown in the figure in red; it is convenient to compare them with those for the BJJ model, indicated in blue. Figure 5(a) demonstrates a small difference in distributions for the two models in the limit of an ideal (non-interacting) atomic gas. Since the total number of particles is large enough, the initial distribution approaches Gaussian in the BJJ model. Differences between distributions for the two models become obvious and critical in Figures 5(b-d) due to the dependence of effective tunneling rate Keff on the population imbalance of the two modes, see (25). Figures 5(b,c) show the features of the studied models immediately before and immediately after the phase transition. Near A c, the distribution for the SJJ model becomes significantly non-Gaussian, see Figure 5(b).

0 0.5 1 1.5 1-58 2 2.42 2.5 3

A

Figure 4 - The eigenenergies Em/KN of the quantum Hamiltonian HSJJ vs. the A-parameter for N = 300 particles. The blue dashed line denotes the energy of the state with binomial distribution of particles in modes "a" and "b", E0/kN = —1. The thick blue line represents the energy of N00N-state (28); thick yellow - the energy of SC-state (30)

Two models behave differently near the phase transition point. In particular, for the BJJ model, with an increase in A, a «spreading» of the distribution \An\2 is observed. Then, at Ac « 1, two probability peaks are formed, corresponding to the macroscopic SC-state. A further increase in A leads to an increase in the «distance» between the «cats» (peaks), «moving» to the «edges» of the space with n = 0 and n = N, see Figure 5(d). In the limit of very large A values, the N00N-state is asymptotically formed

1

\N00N ) = —=(\N )fl\0 )b + e-i°N\0 )a\N )b). (35)

In general, the SJJ model demonstrates obvious advantages for obtaining the N00N-state: state (33) for the SJJ model after a phase transition is a superposition of entangled Fock states with an essential N00N-component, see Figure 5(c). A physical explanation for this phenomenon can be given as follows.

First, for a given tunneling speed k, the A-parameter depends on N2, which makes it possible to achieve a phase transition at a moderate number of particles N.

Second, as follows from Fig. 5(c,d), the phase transition in the SJJ model occurs in a stepwise manner, with a slight increase in the parameter A. The dependence of effective tunneling rate Keff on the difference in the populations of solitons leads to a significant increase in the filling of the «edge» states. As seen from Figure 5(c), at the «edges» with occupation numbers n = 0 and n = N, two large peaks of the probability distribution appear, they correspond to the N00N-state. At the same time, there simultaneously exist small (nonzero) symmetric peaks in the vicinity of the «edge» states (n = 1, N — 1, n = 2, N — 2, etc.), see the inset in Figure 5(c).

An increase in A leads to the suppression of small peaks formation and to the enhancement of the «edge» states with n = 0,N. The distribution approaches the «ideal» N00N-state (35) at moderate values of A, see Figure 5(d).

Figure 5 - Distribution of the Fock modes amplitudes IAnl2 for the ground state of

the BJJ and SJJ depending on the occupation number n for (a) A = 0, A = 0; (b) A = 2, A = l; (c) A = Ac « 2.0009925, A = 1.06; (d) A = A = 4. The total number of particles is N = 300. Insets in (c,d) show the probabilities of mode population in the vicinity of the «edge» states with n = 0 (left panels) and N = 300 (right panels)

The third section of the Chapter deals with statistical properties of coupled quantum solitons using the m-th order Hilleri-Zubairi entanglement criterion, defined as [11]

12

E(m) _1 + (a?mamPmbm) — l(amb^m)[ HZ = (a^mam(bmb^m — Pmbm)) '

Entanglement occurs when inequalities 0 < E^ < 1 fullfill.

Figure 6 shows (36) vs. A for m = 1 and m = N. The red curve in Figure 6

(i)

demonstrates the behavior of Since the SJJ model is fundamentally inapplicable to ideal atomic gases, the corresponding curve in the vicinity of u = 0 is plotted by a dashed line.

Figure 6 shows that strong many-particle entanglement is achieved in the phase-

(i)

transition region in the vicinity of Ac « 2, where E< 0.5, which also indicates the planar squeezing of the corresponding spin components fluctuations. Indeed, (36) can be rewritten in terms of spin operators (3) as follows:

Figure 6 - Hillery-Zubairi entanglement criteria for the SJJ model vs. A. The

(i)

inset demonstrates the behavior of E^ in a narrow region of the phase transition

,(D _ AJX + AJY N/2 '

4z = „„ ' (37)

л 2 л л

where AJj = ((Ajj) ) = (f2) — (Jj)2 is the variance of fluctuations of the j-th spin component, j = X,Y ,Z.

After the transition point, at Л > Лс, a superposition of entangled Fock states is

formed, which in its statistical properties is close to the N00N-state with E^ = 1. This is

also confirmed by the N-th order HZ criterion E^. The green curve in Fig. 6 for Л > Лс

demonstrates the transition to the state with E^ =0.5, which asymptotically corresponds to the N00N-state.

Chapter 4 «Quantum metrology in schemes with particle losses»

The Chapter analyzes the influence of the loss of a small number of particles on the accuracy of the proposed measurements with solitons.

The first section of the Chapter investigates the possibility of experimentally observing the N00N-states of solitons, namely, solitons of lithium condensate [4]. Nevertheless, the particle dissipation model used here is quite universal; it can be used to describe real soliton systems such as BEC solitons of exciton polaritons or optical solitons in laser systems.

It is important to take into account not only one-particle (exponentially time-dependent) losses, but also three-particle (non-exponential) losses. The latter is relevant, since the key parameter Л is proportional to N2, and therefore, many-body, especially three-body, inelastic collisions leading to the loss of particles in the condensate can be critical. Physically, three-particle losses occur as a result of the three-particle recombination of condensate atoms. Such processes primarily remove condensate particles with low kinetic energy located in the center of the trap, and lead to undesirable effects of its heating.

Three-particle losses play an important role in the vicinity of the Feshbach resonance, where the scattering length increases significantly. In the limit of zero temperature, the rate

of three-particle recombination is L3 a ha^c/m , which gives L3 ^ 2.6 x 10-28 sm6/s for lithium atoms [12]. The master equation for the particle number demonstrates that the losses of condensate atoms obey the law

N(0)

N(t) (38)

where N(0) is the initial number of atoms in the condensate, p is the density of the atoms, p ~ 1013 sm-3. Then, for the effective rate of three-particle losses y3 = 2L3p2 we obtain the value y3 = 5.2 x 10-2 s-1.

The single-particle loss rate can be estimated as y1 = 0.2 s-1, see, for example, [13]. For experiments with solitons in lithium atoms, we effectively obtain y1i3t « 1, which makes it possible to consider the SJJ system as unperturbed at times of the order of 10 ms. On the characteristic time scales t <32 ms, related to the experimental observation of mater-wave solitons [5], the decrease in the number of particles in the condensate is practically negligible.

However, the mentioned condition, necessary for observing the predicted effects does not take into account the collapse of the superposition quantum state, when several or even one BEC particle is lost due to their interaction with the environment of solitons. In this regard, to study the losses of a small number of condensate particles in the SJJ model, the method of fictitious beam splitters (BSs) is considered, which is widely used in studying losses in quantum metrology, as well as in the quantum (atmospheric) communication channels development. The approach is a useful tool for studying the interaction of quantum macroscopic superposition states with the environment, the relationship with which is assumed to be linear.

Figure 7 shows a schematic diagram of an MZI that takes into account particle losses. At the first stage, two-mode state (33) is prepared. The phase difference in the arms of the interferometer is taken into account in such a way that the "b" mode experiences a phase shift 0, after which the system state |W^) is formed. Interaction with the environment

in each channel is provided by fictitious beam splitters that remove la and lb particles from the corresponding channels. At the third stage, the measurement of the quantum state is performed, followed by the estimation of the unknown phase shift with error A<fi in interferometer arms. Noteworthy, the operators describing the phase shift and particle losses in the channel commute with each other. Therefore, it does not matter where exactly in Figure 7 the fictitious beam splitters are located: after the phase shift or before it. Physically, the phase shift and particle losses are not localized at any point in space-time, but occur along the entire path of the quantum state from preparation to detection.

As a result of the action of fictitious beam splitters, the two-mode state is transformed as follows

N N-lb _

IN-n )a\n lN-n-la )"ln- lb )bllMb)> (39)

lb=0 la=0 *

Figure 7 -Principal (three-stage) scheme of the MZI for unknown ^ phase parameter estimation taking into account the loss of particles. Other details are given

in the text

where

/^ _ / ^ \

= ( - )(J^nfo-1-1)SSfo-1-1)i|' (40)

is a coefficient characterizing the corresponding probabilities for la and lb particles lost. Here, iia and (qa b < 1) are the transmission coefficients of the dividers in the corresponding channels; state after the loss of particles looks like (for simplicity, we

put 0 = 0)

N N-lbN-la _

W<mt)=£ £ XAnJ^bl*-n-ia Un-lb )bHa)lallb)lb. (41)

h=o ia=o n=ib

The strategy to obtain resulting state |^out), which can be used for metrology tasks, involoves taking into account (detecting) la and lb or does not. In this case, the density matrix can be written as p = I^WK^WI.

Suppose that we can somehow effectively detect the numbers la b of particles leaving the condensate, which is analogous to preparing a conditional state by subtracting a small number of particles. In particular, if only one particle is lost, when la = 1 and lb = 0, the

conditional state

N-1

^out)) obtained from (41) with Va = lb = 1 takes the form

,(1,?) = £ AnVÏÏ=ï^N-1(1--n) IN-n-1 )aIn )b®I1)iJ0)la. (42)

n=0

= £ WN - nJvN-1(1 -ri) IN -n-1 )aIn )bwn)laI0)la

2

Figure 8 shows the probabilities |C™0| = IAn\2Brl0 for SJJ and BJJ models vs. occupation number n. For Figure 8(a,b), the same condensate parameters are used as for Figure 4(c,d),

respectively. Factor VN — n in (42) plays a decisive role in the behavior of the

corresponding probabilityIAnl2B™0, which characterizes the conditional state ^o^). At

low losses, the tendency to populate the «edge» states continues with an increase in the parameter A, see Figure 8(b). However, in this case, the state with n = N cannot be

occupied, since one particle is lost. The state with n = 0, which is the state \N — 1 )J0 )b, becomes macroscopically populated for the SJJ model with the probability IA0I2B°0 a VN\A0\2-qN-1(1 — 11). On the contrary, the probability of occupying a new «edge» state with n = N — 1is more than VN times lower.

Physically, this case can be interpreted as a partial «collapse» of the ideal N00N-state to state \N — 1 )J0 )b, upon the detection of a single particle loss from channel "a"; some small occupation of the state with n = N — 1 still exists, which is clearly seen from Figure 8(b). Thus, it has been shown that the superposition of entangled Fock states for coupled solitons in the SJJ model, which is formed at A> Ac with macroscopically populated «edge» states, is more stable to losses of a small number of particles. This occurs due to the nonzero population of the Fock states near the principal components N00N-states as shown by the dependencies in Figure 8.

Figure 8 - Probabilities IAn\2B7^0 vs. population numbers n in the presence of week symmetric losses in both channels ya=Yb = 0.001 (qa b = 1 — ya b = 0.999), la = 1, lb = 0 for (a) A^ Ac = 2.0009925, A = 1.06; (b) A= A = 4. Initial average number of

particles is N = 300

For la = lb = 1, i.e., with the simultaneous detection of two particles after the beam splitters in Fig. 7, the behavior of the conditional state (41) becomes fundamentally different. In this limit, new «edge» states with occupation numbers n = 1 and n = N — 1 are populated with comparable probabilities. In the general case, for , superposition

(41) transforms into an asymmetric N00N-state, which has a total number of particles N — 2 and looks like

( I--\ (43)

X (J^IN — 2 )fl|0 )b + JV»~2I0 )JN — 2 )b ) ) ®l1)iJ1)ia.

Finally, in the most general case, when detecting arbitrary numbers of particles la and lb, state (43) takes the form

mOa-^K _ a *N00N' nlb

M

(1 71fl)la(1 vb)—(in — 1 ,0) + xi0,n — 1 )), (44)

(N — l)\

where

x =

AN~lg

Ah m

Vb\N~llfl\(N — lfl)\

©

«flJ lb\(N — lb)\'

I = la + lb. Numerical estimates have shown that for la = 0 and lb = 1 x « in the case i]a = T]b and x « 4^N-qN-1 if <^a = 1.

Thus, the existence of tiny satellite components of entangled Fock states ensures the stability of the main N00N-state against the complete collapse. The final state retains the structure of N00N-state, when a small number of particles are lost and detected (i.e., can be taken into account). Such an analysis is especially important for the practical application of the SJJ in quantum metrology.

If the lost particles la and lb cannot be detected (counted), in (41) it is necessary to trace out auxiliary modes lla) laUb) lb. For this, it is necessary to pass to the formalism of the density matrix p and take its partial trace over states lla)aUb)b. It is important to note that in this case the initially pure state becomes mixed, which means that the formalism of the density matrix becomes the most correct for describing such a system.

The second section of the Chapter assesses the accuracy of quantum metrology under conditions of particle dissipation. Let us consider the most general scheme for estimating the unknown phase parameter 0, shown in Figure 7, assuming that the initial state is the state of the SJJ system |W). The phase shift is described by transformation = U^pUp,

where U^ = exp is the phase shift operator; k = 1 describes the case of linear

metrology, and k > 1 - nonlinear one. As a result, after tracing out states lla)alh)b, the density matrix of the mixed state at the output of the interferometer, subjected to the detection with subsequent phase estimation, takes the form

N N—b

£pia,lbl^<PM(<P)l> (46)

lb=0 la=0

where

N-la _

ia<P)) = £ AniB^e^lN — n — la)aln — lb)bl (47)

V Pla>lb n=ib *

PlaJb

lb is the probability of loss from the interferometer channels la and lb particles. It is important to note that the same result can be obtained in a different way, shown in Figure 7. For example, a quantum state after a phase shift, but before taking into account particle losses, can be obtained as ^ q) = U^lW) and has the form

N

\Vt) = £Anei*nklN — n)aln)b. (48)

n=0

As noted, the order of shifting the phase and losing the particles does not matter, since the corresponding operators commute. The result in any case is (46).

For mixed states (46), the calculation of quantum Fisher information turns out to be a nontrivial problem. However, as shown in [14], it is possible to calculate the upper bound

Fq as

N N-lb

fq<fq — 4H Pi^wrnrm - m<PW(m2i

(49)

lb = 0 la=0

Substituting (47) into (49), one can obtain the boundary of quantum Fisher information in an explicit form:

Fn—4

N

I

n=0

n2kA2

n

N N-lb (yN-la kA2Rn V - ^T ^ (Ln=lb n An^la.lb)

lb = 0 la=0

yN-la A2f>n

(50)

Consider the case when the N00N-state is taken as an input W) = \N00N) — — (\N)a\0)b + ei^Nk\0)a\N)b), which is state (48) with coefficients

(51)

A?, —

_ (l/^2,ecAun — 0,N;

n { 0, ecAU 0<n<N

(52)

In this case, the density matrix after losses can be obtained from (47), (46), and (51) and written as

p(^) — rjn\n00n)(n00n\ +

N

1 N 1 N + 2 I Pna\na)a\0)ba(na\b(0\+1I Pnb\0) a\nb)b a(0\b(nb\.

nb=0

(53)

na=0

In (53), only the first term contains the off-diagonal elements depending on phase <p. This term refers to the original N00N-state, which is preserved with probability jN, when no particle is lost. This result confirms the extreme fragility of the N00N-state.

Let us now estimate the accuracy of metrology with states (51). Substituting (52) into (50), we obtain the upper bound on the quantum Fisher information for the N00N-state in the presence of particle losses in the form

Fq = jNN2k, (54)

which allows to calculate the quantum Cramer-Rao bound (1) (v = 1) as

1