Кулоновская глория, поляризационные и P-нечетные эффекты в низкоэнергетических столкновениях электронов и антипротонов с тяжелыми ионами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Майорова, Анна Владимировна

• Майорова, Анна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Майорова, Анна Владимировна

Введение

Единицы и обозначения

1 Эффект кулоновской глории в столкновениях антипротонов с тяжелыми ионами

1.1 Классическая теория

1.2 Рассеивающий потенциал.

1.3 Дифференциальное сечение рассеяния.

1.4 Вычисление фазовых свигов.

1.5 Результаты вычислений и их обсуждение.

2 Поляризационные эффекты в двухфотонной радиационной рекомбинации электронов с тяжелыми многозарядными ионами

2.1 Геометрия процесса двухфотонной радиационной рекомбинации

2.2 Теория

2.2.1 Резонансное приближение.

2.2.2 Параметры выстроенности возбужденного состояния иона

2.2.3 Расчет амплитуд переходов из свободного в связанное состояние и из связанного в связанное состояние

2.2.4 Изучение поляризационных корреляций.

2.3 Обсуждение результатов

3 Эффекты несохранения четности в процессах рекомбинации электронов с тяжелыми водородоподобными ионами

3.1 Радиационная рекомбинация.

3.1.1 Основные формулы.

3.1.2 Результаты расчетов и обсуждение.

3.2 Резонансная рекомбинация.

3.2.1 Основные формулы.

3.2.2 Результаты расчетов и обсуждение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кулоновская глория, поляризационные и P-нечетные эффекты в низкоэнергетических столкновениях электронов и антипротонов с тяжелыми ионами»

Актуальность работы

На протяжении нескольких десятилетий тяжелые многозарядные ионы остаются уникальным инструментом фундаментальных и прикладных исследований в различных областях современной физики. В отличии от нейтральных атомов, многозарядные ионы являются довольно простыми системами с точки зрения теоретических расчетов. Так как многозарядные ионы содержат небольшое количество электронов, расчет межэлектронного взаимодействия может быть проведен с очень высокой точностью. Кроме этого, в многозарядных ионах, по сравнению с нейтральными атомами, квантовоэлектродина-мические и релятивистские эффекты проявляются гораздо сильнее. Наконец, тяжелые ионы дают уникальную возможность для проверки квантовой электродинамики в области, где подходы, основанные на построении теории возмущений по параметру не могут быть применены из-за того, что параметр с^ перестает быть малым.

Благодаря стремительному развитию экспериментальных методов постоянно расширяются границы возможностей наблюдения новых эффектов, что обуславливает необходимость теоретических предсказаний. Совместные экспериментальные и теоретические исследования таких эффектов играют важную роль в проверке фундаментальных теорий. Например, теории электрослабого взаимодействия и квантовой электродинамики в области сильных полей.

Настоящая диссертация посвящена исследованию эффекта кулоновской глории в низкоэнергетических столкновениях антипротонов с многозарядными ионами, изучению угловых и поляризационных корреляций в процессе двухфотонной радиационной рекомбинации и поиску Р-нечетных эффектов в рекомбинации электронов с тяжелыми водородоподобными ионами. Цель работы

Основными целями диссертации являются:

1. Исследование эффекта кулоновской глории при рассеянии антипротонов на тяжелых многозарядных ионах в рамках релятивистской квантовой теории.

2. Исследование корреляций между направлениями вылета и поляризациями фотонов, излучаемых в процессе двухфотонной рекомбинации свободных электронов с тяжелым голым ядром.

3. Исследование эффектов несохранения четности в процессах рекомбинации электронов с тяжелыми водородоподобными ионами.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Проведено исследование эффекта кулоновской глории при рассеянии назад антипротонов с энергиями от 100 эВ до 3 кэВ на ионах урана {X = 92) в рамках релятивистской квантовой теории. Исследовано влияние экранировки, создаваемой заполненными электронными оболочками, а также экранировки, возникающей из-за эффекта поляризации вакуума. Учтено влияние возможных неупругих процессов, таких как радиационная рекомбинация и аннигиляция антипротонов, а также учтен вклад аномального магнитного момента антипротона.

-62. В рамках теории матрицы плотности исследован процесс радиационной рекомбинации свободного электрона в возбужденное состояние водоро-доподобного иона с последующим распадом в основное состояние. Получено общее выражение для дважды дифференциального сечения рассматриваемого процесса в резонансном приближении. Проведены вычисления сечения для случая линейной поляризации рентгеновских фотонов, излучаемых в процессе (е,27) двухфотонной рекомбинации свободных электронов с ядрами урана и92+, в широком диапазоне энергий налетающего электрона.

3. Исследованы эффекты несохранения четности в процессе радиационной рекомбинации электрона с тяжелым водородоподобным ионом. Получены численные результаты для рекомбинации в 215о и 23Р0 состояния ге-лиеподобных ионов тория и гадолиния, в которых данные уровни близки к вырождению.

4. Проведено исследование эффектов несохранения четности в процессе резонансной рекомбинации поляризованного электрона с тяжелым водородоподобным ионом в дважды возбужденное состояние гелиеподобного иона с последующим распадом в 215о или 23Ро состояние. Получены численные результаты для целого ряда дважды возбужденных состояний в случае ионов тория {7, = 90) и гадолиния {Х = 64).

Научная и практическая ценность работы

1. Проведенные исследования эффекта кулоновской глории при рассеянии антипротонов на тяжелых ядрах позволяют явно продемонстрировать экранировочные свойства потенциала вакуумной поляризации.

2. Обнаружено, что в процессе двухфотонной радиационной рекомбинации существует сильная корреляция между направлениями вылета и поляризации рекомбинационных и характеристических фотонов.

3. Найдены условия, при которых возникают наиболее перспективные ситуации для экспериментального наблюдения эффекта несохранения четности в радиационной рекомбинации электронов с тяжелыми многозарядными ионами.

4. Предложен сценарий возможного эксперимента по наблюдению эффекта несохранения четности в резонансной рекомбинации электрона с водо-родоподобным ионом с образованием дважды возбужденного состояния гелиеподобного иона и последующим распадом в одно из близких состояний противоположной четности.

Апробация работы

Работа представлялась на семинарах кафедры квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Результаты также были представлены на международных конференциях во Фрайбурге (ICPEAC 2007. International Conference on Pnoionic, Electronic and Atomic Collisions), Саламанке (ECAMP 2010: European Conference on Atoms Molecules and Photons), Москве (SPARC 2011: Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration), а также на всероссийском совещании в Санкт-Петербурге (Прецизионная физика и фундаментальные физические константы, 2010) и на семинаре, посвященном разработкам и исследованиям молодых российских специалистов, проводимых в рамках проекта FAIR (Молодежная Школа - Семинар «Вклад молодых ученых России в проект FAIR», Москва, 2011). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. А. V. Maiorova, D. A. Telnov, V. М. Shabaev, I. I. Tupitsyn, G. Plunien,

Th. Stohlker, Backward scattering of low-energy antiprotons by highly charged and neutral uranium: Coulomb glory. II Physical Review A, 2007, vol. 76, p. 032709.

2. A. V. Maiorova, D. A. Telnov, V. M. Shabaev, G. Plunien and Th. Stohlker, Coulomb glory in low-energy antiproton scattering by a heavy nucleus: screening effect of vacuum polarization. II Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 2008, vol. 41, p. 245203.

3. A. V. Maiorova, A. Surzhykov, S. Tashenov, V. M. Shabaev, S. Fritzsche, G. Plunien and Th. Stohlker, Polarization studies on the two-step radiative recombination of highly charged, heavy ions. II Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 2009, vol. 42, p. 125003.

4. A. V. Maiorova, О. I. Pavlova, V. M. Shabaev, C. Kozhuharov, G. Plunien and Th. Stohlker, Parity nonconservation in the radiative recombination of electrons with heavy hydrogen-like ions. II Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 2009, vol. 42, p. 205002.

5. A. V. Maiorova, D. A Telnov, V. M. Shabaev, V. A. Zaytsev, G. Plunien and Th. Stohlker, Coulomb glory effect in collisions of antiprotons with heavy nuclei: relativistic theory. 11 Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 2010, vol. 43, p. 205006.

6. A. V. Maiorova, V. M. Shabaev, A. V. Volotka, G. Plunien and Th. Stohlker, Parity nonconservation effect in dielectronic recombination with heavy hydrogenlike ions. II Book of abstract SPARC 2011, Moscow, p. 102.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и содержит 102 страницы, 24 рисунка и 8 таблиц. Список литературы включает

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Майорова, Анна Владимировна

Заключение

Основные положения, выносимые на защиту

1. Проведено исследование эффекта кулоновской глории при рассеянии низкоэнергетических антипротонов на тяжелых ионах. Найдено, что такой эффект возникает не только в результате экранирования заряда ядра атомными электронами, но и за счет экранировочных свойств потенциала вакуумной поляризации.

2. Проведены расчеты двухфотонной радиационной рекомбинации электрона с тяжелым многозарядным ионом. Найдены сильные корреляции между направлениями вылета и поляризациями рекомбинационного и характеристического фотонов.

3. Проведены расчеты эффекта несохранения четности в процессах рекомбинации электронов в 2150 и 23Р0 состояния тяжелых Не-подобных ионов. На основании проведенных расчетов предложены наиболее перспективные сценарии для соответствующих экспериментов.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю В. М. Шабаеву за постановку задач и многочисленные обсуждения. Хочется поблагодарить Д. А. Тельнова, без помощи которого представленные исследования также не могли быть проведены.

Автор благодарит И. И. Тупицына и Д. А. Глазова за оказанную помощь и обсуждение результатов данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Майорова, Анна Владимировна, 2011 год

1. Ю. Н. Демков, В. Н. Островский и Д. А. Тельнов, ЖЭТФ 86, 442 (1984).

2. Y. N. Demkov and V. N. Ostrovsky, J. Phys. В 34, L595 (2001).

3. P. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц (Мир, Москва, 1969).

4. JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика (Наука, Москва, 1988).

5. G. Fricke, С. Bernhardt, К. Heilig, L. A. Schaller, L. Schellenberg, Е. В. Shera, and С. W. Dejager, At. Data Nucl. Data Tables 60, 177 (1995).

6. V. M. Shabaev, Phys. Rep. 356, 119 (2002).

7. J. P. Perdew and A. Zunger, Phys. Rev. В 23, 5048 (1981).

8. I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, J. R. C. López-Urrutia, I. Draganic, R. S. Orts, and J. Ullrich, Phys. Rev. A 68, 022511 (2003).

9. I. I. Tupitsyn, A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, G. Plunien, J. R. Crespo López-Urrutia, A. Lapierre, and J. Ullrich, Phys. Rev. A 72, 062503 (2005).

10. P. J. Mohr, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rep. 293, 227 (1998).

11. E. H. Wichmann and N. M. Kroll, Phys. Rev. 101, 843 (1956).

12. M. Gyulassy, Nucl. Phys. 244, 497 (1975).

13. G. A. Rinker and L. Wilets, Phys. Rev. A 12, 748 (1975).

14. G. Soff and P. J. Mohr, Phys. Rev. A 38, 5066 (1988).

15. H. JI. Манаков и А. А. Некипелов и А. Г. Файнштейн, ЖЭТФ 95, 1167 (1989).

16. А. N. Artemyev, V. М. Shabaev, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 71, 062104 (2005).

17. А. И. Милыитейн и И. С. Терехов, ЖЭТФ 125, 785 (2004).

18. В. Б. Берестецкий и Е. М. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Квантовая электродинамика (Физматлит, Москва, 2002).

19. N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. (London) 135, 429 (1932).

20. J. A. Dogget and L. V. Spencer, Phys. Rev. 103, 1597 (1956).

21. N. Sherman, Phys. Rev. 103, 1601 (1956).

22. R. L. Gluckstern and S.-R. Lin, J. Math. Phys. 5, 1594 (1964).

23. E. Borie, Phys. Rev. A 28, 2 (1983).

24. A. Veitia and K. Pachucki, Phys. Rev. A 69, 042501 (2004).

25. F. Calogero, Variable phase approach to potential scattering (Academic Press, New York, 1967).

26. В. В. Бабиков, Метод фазовых функций в квантовой механике (Наука, Москва, 1968).

27. Д. П. Гречухин и А. В. Ломоносов, Письма в ЖЭТФ 60, 770 (1994).

28. А. И. Милынтейн, личное сообщение (2008).

29. С. J. Batty, Е. Friedman, and A. Gal, Phys. Rep. 287, 385 (1997).

30. A. Gal, Е. Friedman, and С. J. Batty, Phys. Lett. В 491, 219 (2000).

31. A. V. Maiorova, D. A. Telnov, V. M. Shabaev, G. Plunien, and T. Stöhlker, J. Phys. В 41, 245203 (2008).

32. Г. Ф. Друкарев и Н. Б. Березина, ЖЭТФ 69, 829 (1975).

33. D. М. Fradkin, Т. A. Weber, and С. L. Hammer, Ann. Phys. 27, 338 (1964).

34. Т. Stöhlker, H. Geissei, H. Irnich, Т. Kandier, С. Kozhuharov, P. H. Mokier, G. Münzenberg, F. Nickel, С. Scheidenberger, Т. Suzuki, et al., Phys. Rev. Lett. 73, 3520 (1994).

35. T. Stöhlker, С. Kozhuharov, P. H. Mokier, A. Warczak, F. Bosch, H. Geissei, R. Moshammer, C. Scheidenberger, J. Eichler, A. Ichihara, et al., Phys. Rev. A 51, 2098 (1995).

36. T. Stöhlker, F. Bosch, A. Gallus, С. Kozhuharov, G. Menzel, P. H. Mokier, H. T. Prinz, J. Eichler, A. Ichihara, T. Shirai, et al., Phys. Rev. Lett. 79, 3270 (1997).

37. T. Stöhlker, Т. Ludziejewski, F. Bosch, R. W. Dunford, C. Kozhuharov, P. H. Mokier, H. F. Beyer, O. Brinzanescu, B. Franzke, J. Eichler, et al., Phys. Rev. Lett. 82, 3232 (1999).

38. J. Eichler and W. Meyerhof, Relativistic Atomic Collisions (CA: Academic, San Diego, 1995).

39. V. M. Shabaev, V. A. Yerokhin, T. Beier, and J. Eichler, Phys. Rev. A 61, 052112 (2000).

40. A. Surzhykov, S. Fritzsche, and T. Stöhlker, Phys. Lett. A 289, 213 (2001).

41. J. Eichler and A. Ichihara, Phys. Rev. A 65, 052716 (2002).

42. A. E. Klasnikov, A. N. Artemyev, T. Beier, J. Eichler, V. M. Shabaev, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 66, 042711 (2002).

43. A. E. Klasnikov, V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, A. V. Kovtun, and T. Stohlker, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B 235, 284 (2005).

44. S. Fritzsche, P. Indelicato, and T. Stohlker, J. Phys. B B38, S707 (2005).

45. J. Eichler and T. Stohlker, Phys. Rep. 439, 1 (2007).

46. J. Eichler, A. Ichihara, and T. Shirai, Phys. Rev. A 58, 2128 (1998).

47. A. Surzhykov, S. Fritzsche, A. Gumberidze, and T. Stohlker, Phys. Rev. Lett. 88, 153001 (2002).

48. A. Surzhykov, S. Fritzsche, and T. Stohlker, J. Phys. B 35, 3713 (2002).

49. A. Surzhykov, S. Fritzsche, and T. Stohlker, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B 205, 391 (2003).

50. L. N. Labzowsky, A. V. Nefiodov, G. Plunien, G. Soff, R. Marrus, and D. Liesen, Phys. Rev. A 63, 054105 (2001).

51. T. Stohlker, D. Banas, H. F. Beyer, A. Gumberidze, C. Kozhuharov, E. Kanter, T. Krings, W. Lewoczko, X. Ma, D. Protic, et al., Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. B 205, 210 (2003).

52. S. Tashenov, T. Stohlker, D. Banas, K. Beckert, P. Beller, H. F. Beyer, F. Bosch, S. Fritzsche, A. Gumberidze, S. Hagmann, et al., Phys. Rev. Lett. 97, 223202 (2006).

53. K. Blum, Density Matrix Theory and Application (Plenum, New York, 1981).

54. V. V. Balashov, A. N. Grum-Grzhimailo, and N. M. Kabachnik, Polarization and Correlation Phenomena in Atomic Collisions (Kluwer Academic, New York, 2000).

55. M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley, New York, 1957).

56. I. Grant, J. Phys. B 7, 1458 (1974).

57. A. Surzhykov, P. Koval, and S. Fritzsche, Comput. Phys. Commun. 165, 139 (2005).

58. A. V. Maiorova, A. Surzhykov, S. Tashenov, V. M. Shabaev, S. Fritzsche, G. Plunien, and T. Stohlker, J. Phys. B 42, 125003 (2009).

59. F. Salvat, J. M. Fernández-Varea, and W. Williamson-Jr., Comput. Phys. Commun. 90, 151 (1995).

60. D. A. Knapp, R. E. Marrs, S. R. Elliott, E. W. Magee, and R. Zasadzinski, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. A 334, 305 (1993).

61. R. E. Marrs, S. R. Elliott, and D. A. Knapp, Phys. Rev. Lett. 72, 4082 (1994).

62. R. E. Marrs, P. Beiersdorfer, and D. Schneider, Phys. Today 47, 27 (1994).

63. P. Beiersdorfer, B. Beck, J. A. Becker, J. K. Lepson, and K. J. Reed, AIP Conf. Proc. 652, 131 (2003).

64. I. B. Khriplovich, Parity Nonconservation in Atomic Phenomena (Gordon and Breach, London, 1991).

65. I. B. Khriplovich, Phys. Ser. T 112, 52 (2004).

66. J. S. M. Ginges and V. V. Flambaum, Phys. Rep. 397, 63 (2004).

67. C. S. Wood, S. C. Bennett, D. Cho, B. P. Masterson, J. L. Roberts, C. E. Tanner, and C. E. Wieman, Science 275, 1759 (1997).

68. S. C. Bennett and C. E. Wieman, Phys. Rev. Lett. 82, 2484 (1999).

69. S. C. Bennett and C. E. Wieman, Phys. Rev. Lett. 83, 889 (1999).

70. A. Derevianko, Phys. Rev. Lett. 85, 1618 (2000).

71. A. Derevianko, Phys. Rev. A 65, 012106 (2001).

72. M. G. Kozlov, S. G. Porsev, and I. I. Tupitsyn, Phys. Rev. Lett. 86, 3260 (2001).

73. O. P. Sushkov, Phys. Rev. A 63, 042504 (2001).

74. W. R. Johnson, I. Bednyakov, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 87, 233001 (2001).

75. V. A. Dzuba, V. V. Flambaum, and J. S. M. Ginges, Phys. Rev. D 66, 076013 (2002).

76. M. Y. Kuchiev, J. Phys. B 35, L503 (2002).

77. M. Y. Kuchiev and V. V. Flambaum, Phys. Rev. Lett. 89, 283002 (2002).

78. M. Y. Kuchiev, J. Phys. B 36, R191 (2003).

79. V. V. Flambaum and J. S. M. Ginges, Phys. Rev. A 72, 052115 (2005).

80. A. I. Milstein, O. P. Sushkov, and I. S. Terekhov, Phys. Rev. Lett. 89, 283003 (2002).

81. A. I. Milstein, O. P. Sushkov, and I. S. Terekhov, Phys. Rev. A 67, 062103 (2003).

82. J. Sapirstein, К. Pachucki, A. Veitia, and К. T. Cheng, Phys. Rev. А 67, 052110 (2003).

83. V. M. Shabaev, K. Pachucki, I. I. Tupitsyn, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. Lett. 94, 213002 (2005).

84. V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, K. Pachucki, G. Plunien, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. А 72, 062105 (2005).

85. S. G. Porsev, K. Beloy, and A. Derevianko, Phys. Rev. Lett. 102, 181601 (2009).

86. В. Г. Горшков и Л. H. Лабзовский, Письма в ЖЭТФ 19, 768 (1974).

87. В. Г. Горшков и Л. Н. Лабзовский, ЖЭТФ 69, 1141 (1975).

88. G. von Oppen, Z. Phys. D 21, 181 (1991).

89. A. Schäfer, G. Soff, P. Indelicato, B. Müller, and W. Greiner, Phys. Rev. А 40, 7362 (1989).

90. V. V. Karasiev, L. N. Labzowsky, and А. V. Nefiodov, Phys. Lett. А 172, 62 (1992).

91. R. W. Dunford, Phys. Rev. А 54, 3820 (1996).

92. M. Zolotarev and D. Budker, Phys. Rev. Lett. 78, 4717 (1997).

93. M. S. Pindzola, Phys. Rev. А 47, 4856 (1993).

94. G. F. Gribakin, F. J. Currel, M. G. Kozlov, and А. I. Mikhailov, Phys. Rev. А 72, 032109 (2005), 80, 049901(E) (2009).

95. V. M. Shabaev, А. V. Volotka, C. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stöhlker, Phys. Rev. А 81, 052102 (2010).

96. F. Ferro, A. Surzhykov, and T. Stöhlker, Phys. Rev. A 83, 052518 (2011).

97. V. A. Yerokhin, V. M. Shabaev, T. Beier, and J. Eichler, Phys. Rev. A 62, 042712 (2000).

98. A. Surzhykov, U. D. Jentschura, T. Stöhlker, and S. Fritzsche, Eur. Phys. J. D 46, 27 (2008).

99. A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 71, 062104 (2005).

100. Y. S. Kozhedub and V. M. Shabaev, unpublished (2005).

101. Y. S. Kozhedub, O. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, C. Brandau, C. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stöhlker, Phys. Rev. A 77, 032501 (2008).

102. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. Lett. 97, 253004 (2006).

103. C. Brandau, C. Kozhuharov, Z. Harman, A. Müller, S. Schippers, Y. S. Kozhedub, D. Bernhardt, S. Böhm, J. Jacobi, E. W. Schmidt, et al., Phys. Rev. Lett. 100, 073201 (2008).

104. A. V. Maiorova, O. I. Pavlova, V. M. Shabaev, C. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stöhlker, J. Phys. B 42, 205002 (2009).

105. V. V. Karasiov, L. N. Labzowsky, A. V. Nefiodov, and V. M. Shabaev, Phys. Lett. A 161, 453 (1992).

106. V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 50, 4521 (1994).

107. V. M. S. P. Indelicato and A. V. Volotka, Phys. Rev. A 69, 062506 (2004).

108. O. Y. Andreev, L. N. Labzowsky, G. Plunien, and D. A. Solovyev, Phys. Rep. 455, 135 (2008).

109. V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett 93, 130405 (2004).

110. J. Sapirstein and W. R. Johnson, J. Phys. В 29, 5213 (1996).

111. E. Янке и Ф. Эмде и Ф. Леш, Специальные функции. Формулы, графики, таблицы (Наука, Москва, 1964).