Критическое поведение некоторых сильно неравновесных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Какинь, Полина Игоревна

• Какинь, Полина Игоревна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Какинь, Полина Игоревна

Оглавление

Введение

1 Критическое поведение: Модели и ансамбли

1.1 Модели сильно неравновесных критических систем

1.1.1 Модель Кардара-Паризи-Занга

1.1.2 Модель для системы с самоорганизованной критичностью

1.1.3 Модель Вольфа

1.1.4 Модель эрозии ландшафтов

1.2 Ансамбли поля скорости

1.2.1 Введение

1.2.2 Ансамбль Казанцева-Крейчнана

1.2.3 Ансамбль Авельянеды-Майда

2 Стандартная квантовополевая ренормгруппа

2.1 Введение

2.2 Квантовополевая переформулировка

2.3 Ультрафиолетовые расходимости и ренормировка

2.4 РГ уравнения и РГ функции

2.5 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

2.6 Критические размерности

3 Модель Кардара-Паризи-Занга под воздействием ансамбля Казанцева-Крейчнана

3.1 Квантовополевая переформулировка

3.2 УФ расходимости и ренормировка

3.3 РГ уравнения и РГ функции

3.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

3.5 Критические размерности

4 Модель Хуа-Кардара под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда

4.1 Квантовополевая переформулировка

4.2 УФ расходимости и ренормировка

4.3 РГ уравнения и РГ функции

4.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

4.5 Критические размерности

5 Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда

5.1 Модель Вольфа

5.1.1 Квантовополевая переформулировка

5.1.2 УФ расходимости и ренормировка

5.1.3 РГ уравнения и РГ функции

5.1.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

5.2 Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда

5.2.1 Квантовополевая переформулировка

5.2.2 УФ расходимости и ренормировка

5.2.3 РГ уравнения и РГ функции

5.2.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

6 Модель эрозии ландшафтов под воздействием

ансамбля Авельянеды-Майда

6.1 Модель эрозии ландшафтов

6.1.1 Квантовополевая переформулировка

6.1.2 УФ расходимости и ренормировка

6.1.3 РГ уравнения и РГ функции

6.1.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

6.1.5 Критические размерности

6.2 Модель эрозии ландшафтов под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда

6.2.1 Квантовополевая переформулировка

6.2.2 УФ расходимости и ренормировка

6.2.3 РГ уравнения и РГ функции

6.2.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы

6.2.5 Критические размерности

Заключение

Благодарности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критическое поведение некоторых сильно неравновесных систем»

Введение

Актуальность темы. Системы самой разной физической природы демонстрируют интересное сингулярное поведение в окрестности своих критических точек (точек фазовых переходов второго рода). Их статистические характеристики (термодинамические и корреляционные функции) обнаруживают автомодельное (как правило, степенное) поведение с универсальными критическими показателями [1-3]. Универсальность состоит в том, что эти показатели зависят только от нескольких глобальных характеристик системы (например, от симметрии или размерности пространства). Это свойство, которое в дальнейшем будем называть критическим скейлингом (или просто скейлингом), позволяет классифицировать типы критического поведения по так называемым классам универсальности. Большинство фазовых переходов принадлежит классу универсальности квантовополевой 0(п)-симметричной модели ф4 [1,4]. Другая ситуация наблюдается в динамическом неравновесном критическом поведении - оно гораздо богаче и сложнее, но при этом меньше изучено. Его описание на основе стандартных моделей критической динамики ф4 не удовлетворительно; в частности, бывает необходимо рассматривать более сложные симметрии и другие типы управляющих параметров. Количество таких моделей для рассмотрения крайне велико, тогда как практическим вычислениям далеко не всегда хватает точности. Поэтому систематическое изучение этих моделей и вычисление их критических показателей в высших порядках -

продолжают оставаться актуальной задачей. Полное решение этой задачи требует не только многопетлевых вычислений, но и сложных процедур суммирования, инстантонного анализа и т.д.

Помимо фазовых переходов в окрестностях критических точек, со временем понятие "критическое поведение" стало включать в себя более широкий класс явлений, связанных со скейлингом. Действительно, например, модели кинетического огрубления1, описывающие автомодельный рост поверхностей (становящихся все более и более "жесткими" или "грубыми" с течением времени), строятся по аналогии с моделями динамического критического поведения [5], а феномен самоогранизованной критичности2 наглядно показал, что скейлинг может возникать и при отсутствии каких-либо управляющих параметров в системе [6].

Поведение реальных систем в окрестности их критических точек крайне чувствительно к внешним возмущениям, наличию гравитации, примесей и т.д. [7,8]. Некоторые возмущения (например, движение среды, в том числе турбулентное) могут изменить тип фазового перехода или привести к появлению нового класса универсальности с экзотическими свойствами [9-21]. Вот почему так важно изучать модели неравновесного критического поведения (и другие модели со скейлингом) под влиянием турбулентного перемешивания (описываемого различными ансамблями поля скорости). Теоретическое исследование таких моделей должно дать режимы критического поведения описываемых систем и критические показатели; последние можно сравнивать с результатами экспериментов.

Каждый год в ведущих научных журналах выходят все новые и но-

ХВ англоязычной литературе - "kinetic roughening models".

2 В англоязычной литературе - "self-organised criticality".

вые работы, посвященные турбулентному перемешиванию. Такое внимание справедливо заслуженно, так как построение стохастической модели, основанной на микроскопической теории (подобной уравнению Навье-Стокса), продолжает оставаться актуальной задачей развитой турбулентности.

Эксперименты и численное моделирование показывают, что отклонение от классической теории Колмогорова-Обухова наблюдается в переносе пассивных полей [22]. Более того, даже простые модели, описывающие перенос синтетическими (искусственными) ансамблями с заданной гауссовой статистикой (например, ансамбль Казанцева-Крейчнана), демонстрируют многие аномальные свойства реального турбулентного переноса, которые можно наблюдать в эксперименте [23]. Таким образом, задача турбулентного перемешивания служит естественной отправной точкой для исследований перемежаемости и явлений аномального скейлинга в целом.

Вот почему для углубления нашего понимания развитой турбулентности и теории критического поведения необходимо рассматривать задачу неравновесного критического поведения под воздействием турбулентного перемешивания.

Степень разработанности темы исследования.

Квантовополевая ренормализационная группа и операторное разложение [1, 2] успешно применяются в современной теоретической физике для поиска критических показателей скейлинга стохастических систем. Использование этого аппарата позволяет установить мультипликативную ре-нормируемость изучаемых теорий, найти ренормгрупповые функции (аномальные размерности и в-функции), определить возможные режимы скей-лингового поведения и вычислить соответствующие критические показате-

ли, которые можно сравнивать с экспериментом.

Рассмотрение феномена случайного роста границы раздела сред (кинетического огрубления) в рамках критического динамического скейлинга, позволило построить полуфеноменологические модели, хорошо описывающие явление, и получить значения критических показателей - иногда точные значения, а иногда их приближения [5,24-31]. Та же ситуация имела место и в исследованиях самоорганизованной критичности [6,32-37].

Влияние турбулентного переноса в моделях критического поведения учитывается за счет использования подходящего синтетического ансамбля поля скорости [23,38,39] и последующего ренормгруппового анализа поведения модели.

Целью диссертационной работы является изучение скейлинга ряда неравновесных систем (под влиянием турбулентного перемешивания) методами квантовополевой ренормгруппы. Турбулентное перемешивание моделируется ансамблем Казанцева-Крейчнана и его анизотропным обобщением - ансамблем Авельянеды-Майда. Изучаются системы с кинетическим огрублением (с ростом границы раздела фаз/сред) - изотропный и анизотропный случаи, система с самоорганизованной критичностью (непрерывная анизотропная модель песчаного профиля), система с эрозией ландшафта. Необходимо установить наличие скейлинга в системах, изучить соответствующие аттракторы и вычислить критические показатели.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие основные задачи:

(1) Переформулировать стохастические уравнения, описывающие рассматриваемые модели, в квантовополевых терминах, исследовать их ре-

нормируемость. При необходимости, модифицировать модели так, чтобы обеспечить их ренормируемость.

(2) Найти неподвижные точки, определяющие асимптотическое поведение систем, и оценить их характер. Установить, есть ли среди них инфракрасно-притягивающие точки, соответствующие скейлингу.

(3) При наличии скейлинга вычислить критические размерности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены

впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах.

В отличие от существующих работ, проводится ренормгрупповой анализ модели кинетического огрубления Кардара-Паризи-Занга3 и ее анизотропного аналога (модели Вольфа) при учете турбулентного движения среды, описываемого ансамблями Казанцева-Крейчнана и Авельянеды-Майда соответственно. Модель самоогранизованной критичности Хуа-Кардара также изучается при добавлении ансамбля Авельянеды-Майда. Устанавливается прежде неизвестный факт - что модель эрозии ландшафта Пастора-Саторраса-Ротмана не ренормируема. Эта модель модифицируется; проводится ее ренормгрупповой анализ, а также ее анализ при включении поля скорости. При этом оказывается, что такая модель обладает бесконечным числом констант связи - проблема, которую удается преодолеть.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для описания систем с кинетическим огрублением (рост фронта пожара и бактериального кластера, выпадение осадка в бинарных смесях и т.д.), с самоорганизованной

3В русскоязычной литературе можно встретить другие написания названия этой модели: в них фамилия третьего автора записывается как Жанг или Чжан.

критичностью, а также других диффузионных систем с внешним воздей-ствием4. Результаты могут послужить стимулом для проведения новых экспериментов по измерению критических показателей в различных системах со скейлингом. Разработанные методы могут применяться в других аналогичных задачах неравновесного поведения под влиянием турбулентного перемешивания.

Методология и методы исследования. В работе систематически применяется мощный и хорошо разработанный аппарат квантовополевой ренормализационной группы, включающий в себя анализ канонических размерностей для установления ренормируемости теории, диаграммную технику Фейнмана, механизм мультипликативной ренормировки и функциональные методы (представление различных величин функциональными интегралами, точные соотношения типа тождеств Уорда и т.п.).

Достоверность результатов обеспечивается тем, что в работе применяется мощный и гибкий аппарат квантовополевой ренормализационной группы, а полученные результаты сравниваются с уже известными для частных случаев и родственных задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) В задаче случайного роста границы раздела фаз, где рост моделировался стохастическим уравнением Кадара-Паризи-Занга, а турбулентное поле скорости - ансамблем Казанцева-Крейчнана, установлено наличие скейлинга. В зависимости от соотношения между критическим показателем £, характеризующим поведение корреляционной функции поля скорости, и пространственной размерностью d, система демонстрирует различ-

4В англоязычной литературе - "driven-diffusive systems".

ные типы инфракрасного поведения, связанного с четырьмя возможными неподвижными точками ренормгрупповых уравнений. В дополнение к известным режимам (обыкновенная диффузия, обыкновенный процесс роста и пассивное адвективное скалярное поле) появляется новый неравновесный класс универсальности. Вычисления координат неподвижных точек, их областей устойчивости и критических размерностей выполняются в главном порядке двойного разложения по £ и £ = 2—ё (однопетлевое приближение). Для несжимаемой жидкости наиболее реалистичные значения £ и ё относятся к классу универсальности пассивного скалярного поля, в котором нелинейность модели Кадара-Паризи-Занга несущественна. Если степень сжимаемости становится достаточно большой, происходит смена типа инфракрасного поведения, и значения ё и £ попадают в область устойчивости нового режима.

(2) В задаче с самоорганизованной критичностью, описываемой непрерывной анизотропной моделью Хуа-Кардара, при учете турублентного перемешивания, моделируемого ансамблем Авельянеды-Майда, установлено наличие скейлинга. Существует несколько инфракрасно-притягивающих неподвижных точек, соответствующих различным типам критического поведения, а именно: обыкновенной диффузии, пассивному адвективному скалярному полю и режиму исходной модели Хуа-Кардара без перемешивания. Области устойчивости этих режимов в плоскости параметров модели ё (пространственная размерность) и £, а также критические размерности базовых полей и параметров найдены точно. В особом случае £ = 2(4—ё)/3 возникает промежуточный режим, где нелинейность модели и перемешивание важны одновременно.

(3) Модель случайного анизотропного роста границы раздела фаз - модель Вольфа - была рассмотрена в присутствии турбулентного перемешивания, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда. В то время как в исходной модели Вольфа имеется две инфракрасно-притягивающих неподвижных точки, включение поля скорости приводит к нарушению их устойчивости. В двумерии среди новых неподвижных точек других инфракрасно-притягивающих точек не возникает, то есть скейлинговое поведение оказывается невозможным, по крайней мере, в рамках главного приближения и пертурбативного подхода.

(4) На основе модели эрозии ландшафтов Пастора-Саторраса-Ротмана построена мультипликативно ренормируемая модель с бесконечным числом независимых констант взаимодействия. Для построенной модели в явном виде получен однопетлевой контрчлен и найдена двумерная поверхность неподвижных точек, которая, вероятно, содержит область (или области) инфракрасной устойчивости. В том случае, если поверхность неподвижных точек действительно содержит эти области, модель проявляет скейлинговое поведение. Соответствующие критические показатели оказываются неуниверсальными, так как они зависят от координат неподвижной точки на поверхности. Однако, они удовлетворяют некоторому точному универсальному соотношению.

(5) Исследована модифицированная модель эрозии ландшафтов с турбулентным перемешиванием, описываемым ансамблем Авельянеды-Майда. В явном виде получен однопетлевой контрчлен и найдены две двумерные поверхности неподвижных точек (соответствующие случаям отсутствия и присутствия перемешивания), вероятно, содержащие области инфракрас-

ной устойчивости. При их наличии модель проявляет скейлинг с неуниверсальными критическими показателями, подчиняющимися точному и универсальному соотношению.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуж-

дались на следующих российских и международных конференциях и школах:

1. Международная конференция «Mathematical Modeling and Computational Physics» (Стара Лесна, Словакия, 2015 г.).

http://web.tuke.sk/mmcp/mmcp2015/

2. 53 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,

2015 г.).

http://www.ccsem.infn.it/issp2015/

3. Международная конференция «Models in quantum field theory» MQFT 2015, посвященная 75-летию со дня рождения А.Н. Васильева (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/list_e.htm

4. Международная конференция «Science and Progress» 2015 (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

5. L Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощи-но, Россия 2016 г.).

http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2016/index.shtml

6. 54 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,

2016 г.).

http://www.ccsem.infn.it/issp2016/

7. Международная конференция «9th International Seminar on High Energy Physics» Quarks 2016, (Пушкин, Россия, 2016 г.).

http://quarks.inr.ac.ru/

8. Международная конференция «The 8th European Postgraduate Fluid Dynamics Conference» EPFDC8 2016, (Варшава, Польша, 2016 г.).

https://epfdc2016.fuw.edu.pl/programme

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus:

1. Antonov N.V., Kakin P.I., "Scaling in erosion of landscapes: renormalization group analysis of a model with turbulent mixing", J. Phys. A: Math. Theor., 50: 085002 (2017);

2. Антонов Н.В., Какинь П.И., "Скейлинг в эрозии ландшафтов: ре-нормгрупповой анализ бесконечнозарядной модели", Теоретическая и Математическая Физика, 190(2): 226-238 (2017);

3. Антонов Н.В., Какинь П.И., "Случайный рост границы раздела фаз в случайной среде: ренормгрупповой анализ простой модели", Теоретическая и Математическая Физика, 185(1): 37-56 (2015);

4. Antonov N.V., Kakin P.I., "Effects of random environment on a self-organized critical system: renormalization group analysis of a continuous model", EPJ Web of Conferences, 108(02009): 1-6 (2016);

5. Антонов Н.В., Какинь П.И., "Теоретико-полевая ренормгруппа в модели анизотропного роста границы раздела сред", Вестник Санкт-

Петербургского Университета. Серия 4: Физика, Химия, 3(61)4, (2016).

Личный вклад автора. Все основные результаты, изложенные в диссертации, получены соискателем лично либо при ее прямом неотделимом участии в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Работа изложена на 129 страницах и содержит 9 рисунков и 6 таблиц.

Первая глава посвящена описанию и истории изучаемых моделей и ансамблей скоростей: модели Кардара-Паризи-Занга, модели Хуа-Кардара для системы с самоорганизованной критичностью, модели Вольфа, модели эрозии ландшафтов Пастора-Саторраса-Ротмана, ансамблю Казанцева-Крейчнана и ансамблю Авельянеды-Майда.

Вторая глава описывает методы и приемы стандартной квантовопо-левой ренормгруппы с примерами, относящимися к изучаемым моделям и случаям.

Третья глава посвящена ренормгрупповому анализу модели Кардара-Паризи-Занга при включении поля скорости, описываемого ансамблем Казанцева-Крейчнана.

Четвертая глава посвящена ренормгрупповому анализу модели Хуа-Кардара для системы с самоорганизованной критичностью при включении поля скорости, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда.

Пятая глава посвящена ренормгрупповому анализу модели Вольфа при включении поля скорости, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда

Шестая глава посвящена ренормгрупповому анализу модели эрозии ландшафтов, а также анализу этой модели при включении поля скорости, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда.

В заключении перечисляются основные результаты.

1. Критическое поведение: Модели и ансамбли

1.1. Модели сильно неравновесных критических систем

1.1.1. Модель Кардара-Паризи-Занга

В течении последних десятилетий процессы роста в различных физических системах вызывали неослабевающий интерес. Эти системы - фронты отвердевания и пламени, дым и коллоидные агрегаты, опухоли и т.п. (см., например, [5,24-31] и литературу в них). Наиболее характерный пример - выпадение осадка на подложку и рост соответствующей фазовой границы. Ряд микроскопических моделей был выдвинут для описания этих явлений: модель Идена [28], Эдвардса-Вилкинсона [29], ограниченные модели типа "твердое тело на твердом теле" [30], баллистическое выпадение [31]; и это еще не полный список.

Оказывается, однако, что все процессы роста имеют несколько важных общих черт с поведением равновесных почти критических систем: а именно автомодельное (скейлинговое) поведение (степенные зависимости) с достаточно универсальными (не зависящими от особенностей конкретного процесса) показателями. В частности, так называемая структурная функция порядка n ведет себя следующим образом [5,24-27]:

Sn(t,r) = ([h(t, x) - h(0, 0)]n) - rnx Fn(r/tl'z), r = |x|. (1.1) Здесь h(x) = h(t, x) - высота профиля раздела, скобки (...) обозначают

усреднение по статистическому ансамблю, х и £, соответственно, показатель огрубления (жесткости) и динамический, а Еп(•) - определенная универсальная скейлинговая функция.

Отсюда естественным образом вытекает описание универсальных свойств процессов роста на основе определенных упрощенных моделей для непрерывного ("сглаженного" на некотором промежуточном масштабе) поля высоты по аналогии с теорией критического состояния. В качестве такой модели роста обычно используется модель Кадара-Паризи-Занга (КПЗ) [40], описываемая нелинейным дифференциальным уравнением

дгН = к д2к + Хо(дк)2/2 + /. (1.2)

Здесь и далее (если не сказано иного) поле высоты к(х) = к(Ь, х) зависит от ё-мерной координаты подложки х, д^ = д/дЬ, д, = д/дх,, д2 = д,д, - оператор Лапласа, и (дк)2 = д,,кд,к; суммирование по повторяющимся тензорным индексам везде подразумевается. Первый член в правой части уравнения (1.2) описывает поверхностное натяжение с коэффициентом к0 > 0. Второй член представляет рост вдоль локальной нормали к поверхности. Параметр А0 может иметь любой знак; его можно убрать перемасштабированием, и в дальнейшем принимается А0 = 1.

Далее, / = /(х) - гауссов случайный шум с нулевым средним и заданной парной корреляционной функцией

</(х)/(х')> = — И)5 ('\х — х'), (1.3)

с положительным амплитудным множителем О0 > 0. Строго говоря, для того, чтобы исключить линейный во времени рост среднего значения <к>, нужно ввести ненулевое среднее значение </>. Поскольку нас интересуют

только величины типа (1.1), которые включают только разности полей, обоими средними значениями можно одновременно пренебречь.

Исторически, модель (1.2)-(1.3) появилась впервые в основополагающей статье Форстера, Нельсона и Стефена [41] в терминах чисто продольного (потенциального) векторного поля щ = д{Н. Тогда для Ао = — 1 уравнение (1.2) представляет ¿-мерное обобщение уравнения Бюргерса. Его также можно отобразить на модель ориентированных полимеров в случайной среде и на модель многочастичной Бозе-системы с притяжением; см., например, [42-44].

Первые два члена в правой части (1.2) - всего лишь простейшие локальные члены, ковариантные по отношению к симметриям Н ^ Н+ео^ и О (б). Таким образом, модель КПЗ возникает естественным образом в описании многих неравновесных, неупорядоченных и диффузионных систем с внешним воздействием. Поэтому поле Н можно трактовать по-разному. К примеру, в [45-48] модификации модели КПЗ использовались для изучения крупномасштабного распределения вещества во Вселенной.

Было предложено несколько обобщений первоначальной формулировки модели КПЗ: случайный шум с конечным временем корреляции [49,50], векторное или матричное поле Н [51-53], измененная форма нелинейности [54,55] и анизотропная модификация [56-58] (см. Раздел 1.1.2). В связи с последней, стоит упомянуть непрерывные анизотропные модели для систем с самоорганизованной критичностью [36,37] (см. Раздел 1.1.4).

Ренормгрупповой (РГ) анализ модели КПЗ, начатый в [40,41], в конечном итоге привел к следующим заключениям [59,60]. В квантовополевой формулировке стохастическая задача (1.2)-(1.3) мультипликативно ренор-

мируема. Нелинейность (дк)2 в (1.2) инфракрасно (ИК) несущественна (в смысле Вильсона) для ё > 2, логарифмична (погранична) для ё = 2 и существенна для ё < 2. Таким образом, ее можно изучать с помощью стандартной пертурбативной РГ и разложения по £ = 2 — ё. Соответствующие РГ уравнения обладают нетривиальной неподвижной точкой с критическими показателями х = 0, £ = 2 (точное соотношение х + £ = 2 продиктовано галилеевой симметрией). Тем не менее, неподвижная точка для £ < 0 ИК отталкивающая, тогда как для £ > 0 она не лежит в физической области параметров модели (Д0, к0 > 0) и, таким образом, едва ли может описывать ИК асимптотическое поведение задачи. Все эти результаты являются "пертурбативно точными", то есть точными во всех порядках разложения по £.

Тем не менее, можно предположить, что модель КПЗ содержит гипотетическую ИК притягивающую "сильно-взаимодействующую" неподвижную точку, не проявляющуюся в рамках какой-либо теории возмущений. Тогда, для ё =1, флуктуационно-диссипационная теорема вместе с галилеевой симметрией дает точные значения х =1/2, £ = 3/2 [40,41]. Сделав дополнительные (довольно нетривиальные) предположения, можно получить точные значения для критических показателей для случаев ё = 2 и ё = 3 [61]. Доказательство существования сильно-взаимодействующей точки, обеспечиваемое так называемой функциональной (также известной как "точная" или "непертурбативная") РГ [62,63], хотя и убедительно, количественно все еще не достаточно надежно, и саму ситуацию нельзя считать удовлетворительной. Некоторые другие открытые вопросы обсуждаются, например, в [64,65].

1.1.2. Модель для системы с самоорганизованной критичностью

Феномен самоорганизованной критичности (СОК) заключается в возникновении скейлинга в открытых неравновесных системах с диссипатив-ным переносом (диффузионных системах с внешним воздействием); см. [32-34] и литературу в них. В отличие от равновесных систем они не имеют параметра "тонкой настройки" (управляющих параметров, т.е. параметров вроде температуры в фазовых переходах второго рода) и достигают критичности за счет своей внутренней динамики [6].

Системы с СОК считаются повсеместно распространенными в природе - СОК наблюдается как в биологических, так и в экологических и в социальных системах [6,66].

Обычно СОК изучают на основе дискретных моделей с дискретным временем (как клеточные автоматы). Непрерывная модель, предложенная в [35], наоборот, описывается стохастическим уравнением для "сглаженного" поля высоты h(x) = h(t, x) некоторого профиля (например, песчаного). Модификации этой модели были предложены в [36,37], а в связи с эрозией ландшафтов эта модель обсуждалась в [67,68] (см. Раздел 1.1.4).

Модель изначально является анизотропной и описывает, например, рост песчаного профиля, который имеет две открытые границы: через границу "сверху" в систему случайным образом падает песок, а через границу "сбоку" он из нее выпадает путем скатывания в виде лавин.

Анизотропия (здесь и далее) вводится следующим образом: пусть константа n - единичный вектор, определяющий выбранное направление (на-

правление склона песчаного профиля). Тогда любой вектор можно разложить на компоненты, ортогональные и параллельные к п. В частности, для ё-мерной горизонтальной координаты х имеем х = х1 + пхц, где х1 • п = 0. Производную в полном ё-мерном х пространстве можно обозначить как д = д/дх,, где г = 1... ё, и производную в подпространстве, ортогональном к п, как д1 = д/дх^, где г = 1... ё — 1. Тогда производная вдоль параллельного направления будет записываться как дц = п • д.

Ряд выбранных симметрий (хц, к ^ —.хц, —к и нарушение хи ^ — хи) и наличие законов сохранения (определяющих вид детерминистской части стохастического уравнения) диктуют вид стохастического дифференциального уравнения для поля высоты к(х) = к(Ь, х) [35]:

дъН = Р1_0 д!к + д2к — ди к2/2 + /, (1.4)

где ^и0 и ^ю - коэффициенты вязкости, а /(х) - гауссов случайный шум с нулевым средним и парной корреляцией (1.3).

Для ё ^ 4 устойчивая неподвижная точка соответствует режиму обыкновенной диффузии, а для ё ^ 4 возникает другая точка, для которой в [35] были точно вычислены критические показатели.

1.1.3. Модель Вольфа

В работе Д. Вольфа [58] была построена модель, призванная описать рост вицинальных поверхностей (ступенчатых атомных структур [69,70]), которая фактически оказалась анизотропным обобщением модели КПЗ (см. Раздел 1.1.1). В дальнейшем под моделью Вольфа будет иметься в виду именно эта модель.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Какинь, Полина Игоревна, 2017 год

Литература

1. Zinn-Justin, J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena / J. ZinnJustin. — Oxford: Clarendon, 1989.

2. Васильев, A. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / A. Н. Васильев. — СПб: ПИЯФ, 1998.

3. Amit, D. J. Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena: Graphs to Computers / D. J. Amit, Martin-Mayor V. — 3rd edition. — Singapore: World scientific, 2005.

4. Kleinert, H. Critical Properties of Phi4-Theories / H. Kleinert, V. Schulte-Frohlinde. — Singapore: World scientific, 2001.

5. Halpin-Healy, T. Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that. Aspects of multidisciplinary statistical mechanics / T. Halpin-Healy, Y.-C. Zhang // Physics Reports. — 1995. — Vol. 254, no. 4-6. — Pp. 215-414.

6. Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organised Criticality / P. Bak. — NY: Copernicus Press, 1996.

7. Ivanov, D.Y. Critical Behavior of Non-Ideal Systems / D.Y. Ivanov. — Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, 2009. — Pp. 1257.

8. Прудников, В.В. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем / В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2013.

9. Satten, G. Critical phenomena in randomly stirred fluids: Correlation functions, equation of motion, and crossover behavior / G. Satten, D. Ro-nis // Physical Review A. - 1986. - Vol. 33, no. 5. - Pp. 3415-3432.

10. Onuki, A. Critical Phenomena of Classical Fluids under Flow. I: Mean Field Approximation / A. Onuki, K. Kawasaki // Prog. Theor. Phys. -1980. - Vol. 63, no. 1. - Pp. 122-139.

11. Onuki, A. Light scattering by critical fluids under shear flow / A. Onuki, K. Yamazaki, K. Kawasaki // Annals of Physics. - 1981. - Vol. 131, no. 1. - Pp. 217-242.

12. Imaeda, T. Anisotropic Spinodal Decomposition under Shear Flow / T. Imaeda, A. Onuki, K. Kawasaki // Prog. Theor. Phys. - 1984. -Vol. 71, no. 1. - Pp. 16-26.

13. Beysens, D. Light-scattering study of a critical mixture with shear flow / D. Beysens, M. Gbadamassi, L. Boyer // Physical Review Letters. - 1979. - Vol. 43, no. 17. - Pp. 1253-1256.

14. Beysens, D. Shear-induced transition to mean-field critical behavior. / D. Beysens, M. Gbadamassi // Journal de physique. Lettres. - 1979. -Vol. 40, no. 21. - Pp. 565-567.

15. Ruiz, R. Anomalous mixing times in turbulent binary mixtures at high Prandtl number / R. Ruiz, D.R. Nelson // Physical Review A. — 1981. - Vol. 24, no. 5. — Pp. 2727-2734.

16. Aronovitz, J.A. Turbulence in phase-separating binary mixtures / J.A. Aronovitz, D.R. Nelson // Physical Review A. — 1984. — Vol. 29, no. 4. — Pp. 2012-2016.

17. Antonov, N.V. Effects of mixing and stirring on the critical behaviour / N.V. Antonov, M. Hnatich, J. Honkonen // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39, no. 25. — Pp. 7867-7887.

18. Antonov, N.V. Critical behaviour of a fluid in a random shear flow: Renor-malization group analysis of a simplified model / N.V. Antonov, A.A. Ig-natieva // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39, no. 44. — Pp. 13593-13620.

19. Antonov, N.V. Effects of turbulent mixing on the nonequilibrium critical behaviour / N.V. Antonov, V.I. Iglovikov, A.S. Kapustin // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2009. — Vol. 42, no. 13. — P. 135001.

20. Antonov, N.V. Effects of turbulent mixing on critical behaviour in the presence of compressibility: Renormalization group analysis of two models / N.V. Antonov, A.S. Kapustin // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2010. — Vol. 43, no. 40. — P. 405001.

21. Antonov, N.V. Effects of turbulent transfer on critical behavior /

N.V. Antonov, A.S. Kapustin, A.V. Malyshev // Theoretical and Mathematical Physics. - 2011. - Vol. 169, no. 1. - Pp. 1470-1480.

22. Sreenivasan, K. R. The Phenomenology of small-scale turbulence / K. R. Sreenivasan, R. A. Antonia // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1997. - Vol. 29, no. 1. - Pp. 435-472.

23. Falkovich, G. Particles and fields in fluid turbulence / G. Falkovich, K. Gaw§dzki, M. Vergassola // Reviews of Modern Physics. - 2001.

- Vol. 73, no. 4. - Pp. 913-975.

24. Krug, J. Kinetic roughening of growing surfaces / J. Krug, H. Spohn // Solids Far from Equilibrium: Growth, Morphology and Defects. - 1990.

- Pp. 479-582.

25. Barabasi, A.-L. Fractal Concepts in Surface Growth / A.-L. Barabasi, H.E. Stanley. - Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

26. Krug, J. Origins of scale invariance in growth processes / J. Krug // Advances in Physics. - 1997. - Vol. 46, no. 2. - Pp. 139-282.

27. Lassig, M. On growth, disorder, and field theory / M. Lassig // Journal of Physics Condensed Matter. - 1998. - Vol. 10, no. 44. - Pp. 9905-9950.

28. Eden, M. A two-dimensional growth process / M. Eden // Proceedings of the Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. -1961. - Vol. 4. - Pp. 223-239.

29. Edwards, S.F. The surface statistics of a granular aggregate / S.F. Edwards, D.R. Wilkinson // Proc. R. Soc. London, Ser. A. - 1982. - Vol. 381. - Pp. 17-31.

30. Kim, J.M. Surface growth and crossover behaviour in a restricted solidon-solid model / J.M. Kim, J.M. Kosterlitz, T.A. Nissila // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1991. — Vol. 24, no. 23. — Pp. 5569-5586.

31. Penrose, M.D. Growth and roughness of the interface for ballistic deposition / M.D. Penrose // J. Stat. Phys. — 2008. — Vol. 131. — Pp. 247-268.

32. Bak, P. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise / P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 59, no. 4. — Pp. 381-384.

33. Tang, C. Critical exponents and scaling relations for self-organized critical phenomena / C. Tang, P. Bak // Physical Review Letters. — 1988. — Vol. 60, no. 23. — Pp. 2347-2350.

34. Bak, P. Punctuated equilibrium and criticality in a simple model of evolution / P. Bak, K. Sneppen // Physical Review Letters. — 1993. — Vol. 71, no. 24. — Pp. 4083-4086.

35. Hwa, T. Dissipative transport in open systems: An investigation of self-organized criticality / T. Hwa, M. Kardar // Physical Review Letters. — 1989. — Vol. 62, no. 16. — Pp. 1813-1816.

36. Hwa, T. Avalanches, hydrodynamics, and discharge events in models of sandpiles / T. Hwa, M. Kardar // Physical Review A. — 1992. — Vol. 45, no. 10. — Pp. 7002-7023.

37. Tadic, B. Disorder-induced critical behavior in driven diffusive systems /

B. Tadic // Physical Review E - Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics. — 1998. — Vol. 58, no. 1. — Pp. 168-173.

38. Avellaneda, M. Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport / M. Avellaneda, A. Majda // Commun. Math. Phys. — 1990. — Vol. 131. — Pp. 381-429.

39. Avellaneda, M. Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport II: Non-Gaussian statistics, fractal interfaces, and the sweeping effect / M. Avellaneda, A. Majda // Commun. Math. Phys. — 1992. — Vol. 146. — Pp. 139-204.

40. Kardar, M. Dynamic scaling of growing interfaces / M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang // Physical Review Letters. — 1986. — Vol. 56, no. 9. — Pp. 889-892.

41. Forster, D. Large-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid / D. Forster, D.R. Nelson, M.J. Stephen // Physical Review A. — 1977. — Vol. 16, no. 2. — Pp. 732-749.

42. Kardar, M. Scaling of directed polymers in random media / M. Kardar, Y.-C. Zhang // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 58, no. 20. — Pp. 2087-2090.

43. Bouchaud, J.P. Scaling and intermittency in Burgers turbulence / J.P. Bouchaud, M. Mezard, G. Parisi // Physical Review E. — 1995. — Vol. 52, no. 4. — Pp. 3656-3674.

44. Frey, E. Mode-coupling and renormalization group results for the noisy Burgers equation / E. Frey, U.C. Täuber, T. Hwa // Physical Review E -

Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics.

- 1996. - Vol. 53, no. 5 SUPPL. A. - Pp. 4424-4438.

45. The galaxy-galaxy correlation function as an indicator of critical phenomena in cosmology / T. Goldman, D. Hochberg, R. Laflamme, J. Perez-Mercader // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. - 1996. - Vol. 222, no. 3. - Pp. 177-181.

46. Dynamical critical phenomena and large-scale structure of the Universe: The power spectrum for density fluctuations / J.F.G. Barbero, A. Dominguez, T. Goldman, J. Perez-Mercader // Europhysics Letters.

- 1997. - Vol. 38, no. 8. - Pp. 637-642.

47. Buchert, T. Extending the scope of models for large-scale structure formation in the universe / T. Buchert, A. Domínguez, J. Perez-Mercader // Astronomy and Astrophysics. - 1999. - Vol. 349, no. 2. - Pp. 343-353.

48. Gaite, J. Scaling laws in the cosmic structure and renormalization group / J. Gaite, A. Domínguez // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - Vol. 40, no. 25. - Pp. 6849-6857.

49. Burgers equation with correlated noise: Renormalization-group analysis and applications to directed polymers and interface growth / E. Medina, T. Hwa, M. Kardar, Y.-C. Zhang // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39, no. 6. - Pp. 3053-3075.

50. Lam, C.-H. Surface growth with temporally correlated noise / C.-H. Lam, L.M. Sander, D.E. Wolf // Physical Review A. - 1992. - Vol. 46, no. 10.

- Pp. R6128-R6131.

51. Generalizations of the Kardar-Parisi-Zhang equation / J.P. Doherty, M.A. Moore, J.M. Kim, A.J. Bray // Physical Review Letters. — 1994. — Vol. 72, no. 13. — Pp. 2041-2044.

52. Kardar, M. Matrix generalizations of some dynamic field theories / M. Kardar, A. Zee // Nuclear Physics B. — 1996. — Vol. 464, no. 3.

— Pp. 449-462.

53. Bork, L.V. The Kardar-Parisi-Zhang equation and its matrix generalization / L.V. Bork, S.L. Ogarkov // Theoretical and Mathematical Physics.

— 2014. — Vol. 178, no. 3. — Pp. 359-373.

54. Pavlik, S.I. Scaling for a growing phase boundary with nonlinear diffusion / S.I. Pavlik // JETP. — 1994. — Vol. 79. — Pp. 303-306.

55. Antonov, N.V. The quantum-field renormalization group in the problem of a growing phase boundary / N.V. Antonov, A.N. Vasil'ev // JETP. — 1995. — Vol. 81. — Pp. 485-489.

56. Jeong, H. Anisotropic surface growth model in disordered media / H. Jeong, B. Kahng, D. Kim // Physical Review Letters. — 1996. — Vol. 77, no. 25. — Pp. 5094-5097.

57. Kim, H.-J. Hybridized discrete model for the anisotropic Kardar-Parisi-Zhang equation / H.-J. Kim, I.-M. Kim, J.M. Kim // Physical Review E -Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics.

— 1998. — Vol. 58, no. 1. — Pp. 1144-1147.

58. Wolf, Dietrich E. Kinetic roughening of vicinal surfaces / Diet-

rich E. Wolf // Phys. Rev. Lett. — 1991. — Sep. — Vol. 67. — Pp. 17831786.

59. Frey, E. Two-loop renormalization-group analysis of the Burgers-Kardar-Parisi-Zhang equation / E. Frey, U.C. Tauber // Physical Review E. — 1994. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 1024-1045.

60. Lassig, M. On the renormalization of the Kardar-Parisi-Zhang equation / M. Lassig // Nuclear Physics, Section B. — 1995. — Vol. 448, no. 3. — Pp. 559-574.

61. Lässig, M. Quantized scaling of growing surfaces / M. Lassig // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 80, no. 11. — Pp. 2366-2369.

62. Nonperturbative renormalization group for the kardar-parisi-zhang equation / L. Canet, H. Chate, B. Delamotte, N. Wschebor // Physical Review Letters. — 2010. — Vol. 104, no. 15. — P. 150601.

63. Kloss, T. Nonperturbative renormalization group for the stationary Kardar-Parisi-Zhang equation: Scaling functions and amplitude ratios in 1+1, 2+1, and 3+1 dimensions / T. Kloss, L. Canet, N. Wschebor // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2012. — Vol. 86, no. 5. — P. 051124.

64. Lassig, M. Upper critical dimension of the Kardar-Parisi-Zhang equation / M. Lassig, H. Kinzelbach // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 78, no. 5. — Pp. 903-906.

65. Hairer, M. Solving the KPZ equation / M. Hairer // Annals of Mathematics. — 2013. — Vol. 178, no. 2. — Pp. 559-664.

66. Turcotte, D. L. Self-organized criticality / D. L. Turcotte // Rep. Prog. Phys. - 1999. - Vol. 62. - Pp. 1377-1429.

67. Pastor-Satorras, R. Scaling of a slope: The erosion of tilted landscapes / R. Pastor-Satorras, D.H. Rothman // Journal of Statistical Physics. -1998. - Vol. 93, no. 3-4. - Pp. 477-500.

68. Pastor-Satorras, Romualdo. Stochastic Equation for the Erosion of Inclined Topography / Romualdo Pastor-Satorras, Daniel H. Rothman // Phys. Rev. Lett. - 1998. - May. - Vol. 80. - Pp. 4349-4352.

69. Lang, B. Low energy electron diffraction studies of chemisorbed gases on stepped surfaces of platinum / B. Lang, R.W. Joyner, G.A. Somorjai // Surface Science. - 1972. - Vol. 30, no. 2. - Pp. 454-474.

70. Somorjai, G.A. Introduction to surface chemistry and catalysis / G.A. Somorjai. - NY: J. Wiley and Sons, 1994.

71. Chen, Leiming. Universality for Moving Stripes: A Hydrodynamic Theory of Polar Active Smectics / Leiming Chen, John Toner // Phys. Rev. Lett.

- 2013. - Aug. - Vol. 111. - P. 088701.

72. Tauber, U.C. Universality classes in the anisotropic Kardar-Parisi-Zhang model / U.C. Tauber, E. Frey // EPL (Europhysics Letters). - 2002. -Vol. 59, no. 5. - P. 655. http://stacks.iop.org/0295-5075/59/i=5/a=655.

73. Kloss, T. Strong-coupling phases of the anisotropic Kardar-Parisi-Zhang equation / T. Kloss, L. Canet, N. Wschebor // Physical Review E. - 2014.

- Vol. 90, no. 6. - Pp. 062133-062145.

74. Kirkby, M. J. Slopes: Form and Process / M. J. Kirkby; Ed. by M J Kirkby. — London: Institute of British Geographers, 1971.

75. Rodriguez-Iturbe, I. Fractal River Basins: Chance and Self-Organization / I. Rodriguez-Iturbe, A. Rinaldo. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

76. Scheidegger, A. E. Theoretical Geomorphology / A. E. Scheidegger. — 3rd edition. — New York: Springer-Verlag, 1991.

77. Kirchner, J. W. Statistical inevitability of Horton's laws and the apparent randomness of stream channel networks / J. W. Kirchner // Geology. — 1993. — Vol. 21, no. 7. — P. 591.

78. Howard, A. D. Channel changes in badlands / A. D. Howard, G. Kerby // Geol. Soc. Am. Bull. — 1983. — Vol. 94, no. 6. — P. 739.

79. Willgoose, G. A coupled channel network growth and hillslope evolution model: 1. Theory / G. Willgoose, R. L. Bras, I. Rodriguez-Iturbe // Water Resour. Res. — 1991. — Vol. 27, no. 7. — P. 1671.

80. Howard, Alan D. A detachment-limited model of drainage basin evolution / Alan D. Howard // Water Resources Research. — 1994. — Vol. 30, no. 7. — Pp. 2261-2285. http://dx.doi.org/10.1029/94WR00757.

81. Loewenherz, Deborah S. Stability and the initiation of channelized surface drainage: A reassessment of the short wavelength limit / Deborah S. Loewenherz // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 1991. — Vol. 96, no. B5. — Pp. 8453-8464. http://dx.doi.org/10.1029/90JB02704.

82. Howard, Alan D. Modeling fluvial erosion on regional to continental scales / Alan D. Howard, William E. Dietrich, Michele A. Seidl // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 1994. — Vol. 99, no. B7. — Pp. 13971-13986. http://dx.doi.org/10.1029/94JB00744.

83. Izumi, N. Inception of channelization and drainage basin formation: upstream-driven theory / N. Izumi, G. Parker // J. Fluid Mech. — 1995.

— Vol. 283. — Pp. 341-363.

84. Giacometti, Achille. Continuum Model for River Networks / Achille Gia-cometti, Amos Maritan, Jayanth R. Banavar // Phys. Rev. Lett. — 1995.

— Jul. — Vol. 75. — Pp. 577-580.

85. Sculpting of a Fractal River Basin / Jayanth R. Banavar, Francesca Co-laiori, Allesandro Flammini et al. // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Jun. — Vol. 78. — Pp. 4522-4525.

86. Somfai, E. Scaling and river networks: A Landau theory for erosion / E. Somfai, L. M. Sander // Phys. Rev. E. — 1997. — Jul. — Vol. 56. — Pp. R5-R8. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.56.R5.

87. Kramer, S. Evolution of river networks / S. Kramer, M. Marder // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Jan. — Vol. 68. — Pp. 205-208.

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.68.205.

88. Sornette, Didier. Non-linear Langevin model of geomorphic erosion processes / Didier Sornette, Yi-Cheng Zhang // Geophysical Journal International. — 1993. — Vol. 113, no. 2. — Pp. 382-386.

89. Dodds, Peter Sheridan. Scaling, Universality, and Geomorphology / Peter Sheridan Dodds, Daniel H. Rothman // Annual Review of Earth and Planetary Sciences. — 2000. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 571-610. http://dx.doi.org/10.1146/annurev.earth.28.1.571.

90. Giacometti, Achille. Local minimal energy landscapes in river networks / Achille Giacometti // Phys. Rev. E. — 2000. — Nov. — Vol. 62. — Pp. 6042-6051.

91. Chan, Kelvin K. Coupled length scales in eroding landscapes / Kelvin K. Chan, Daniel H. Rothman // Phys. Rev. E. — 2001. — Apr. — Vol. 63. — P. 055102.

92. Newman, W. I. Cascade Model for Fluvial Geomorphology / W. I. Newman, D. L. Turcotte // Geophysical Journal International. — 1990. — Vol. 100, no. 3. — Pp. 433-439.

93. Mark, David M. Scale-dependent fractal dimensions of topographic surfaces: An empirical investigation, with applications in geomorphology and computer mapping / David M. Mark, Peter B. Aronson // Journal of the International Association for Mathematical Geology. — 1984. — Vol. 16, no. 7. — Pp. 671-683.

94. Ouchi, Shunji. Measurement of self-affinity on surfaces as a trial application of fractal geometry to landform analysis / Shunji Ouchi, Mitsugu Matsushita // Geomorphology. — 1992. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 115 - 130.

95. Gilbert, Lewis E. Are topographic data sets fractal? / Lewis E. Gilbert // pure and applied geophysics. — 1989. — Vol. 131, no. 1. — Pp. 241-254.

96. Norton, Denis. Variations in geometric measures of topographic surfaces underlain by fractured granitic plutons / Denis Norton, Steve Sorenson // pure and applied geophysics. — 1989. — Vol. 131, no. 1. — Pp. 77-97.

97. Czirok, A. Experimental evidence for self-affine roughening in a micromodel of geomorphological evolution / A. Czirok, E. Somfai, T. Vicsek // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Sep. — Vol. 71. — Pp. 2154-2157.

98. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — 3-е изд., перераб. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. — Т. VI из Теоретическая физика.

99. Зельдович, Я.Б. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. — М.: Наука., 1973.

100. Antonov, N.V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection / N.V. Antonov // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39, no. 25. — Pp. 7825-7865.

101. Volchenckov, D.Yu. Corrections to fully developed turbulent spectra due to compressibility of the fluid / D.Yu. Volchenckov, M.Yu. Nalimov // Theoretical and Mathematical Physics. — 1996. — Vol. 106, no. 3. — Pp. 307-318.

102. Antonov, N.V. Anomalous scaling of passive scalar fields advected by the Navier-Stokes velocity ensemble: Effects of strong compressibility and large-scale anisotropy / N.V. Antonov, M.M. Kostenko // Physical Review

E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2014. — Vol. 90, no. 6. — P. 063016.

103. Конструктивная теория поля / Под ред. Сушко В.Н. Математика. Новое в зарубежной науке № 6. — М.: Мир, 1977.

104. Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. / Под ред. Р.А. Минлос. Математика. Новое в зарубежной науке № 12. — М.: Мир, 1978.

105. Martin, P.C. Statistical dynamics of classical systems / P.C. Martin, E.D. Siggia, H.A. Rose // Physical Review A. — 1973. — Vol. 8, no. 1. — Pp. 423-437.

106. Wiese, K.J. On the Perturbation Expansion of the KPZ Equation / K.J. Wiese // Journal of Statistical Physics. — 1998. — Vol. 93, no. 1-2. — Pp. 143-154.

107. Васильев, A. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике / A. Н. Васильев. — Ленинград: Ленинградский Государ-ственнй Университет, 1976.

108. Doi, M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction / M. Doi // Journal of Physics A: General Physics. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — Pp. 1479-1495.

109. Grassberger, P. / P. Grassberger, M. Scheunert // Fortschr. Phys. — 1980. — Vol. 28. — Pp. 547-578.

110. Peliti, L. Path integral approach to birth-death processes on a lattice. /

L. Peliti // Journal de physique Paris. — 1985. — Vol. 46, no. 9. — Pp. 1469-1483.

111. Tauber, U.C. Dynamic phase transitions in diffusion-limited reactions / U.C. Täuber // Acta Physica Slovaca. — 2002. — Vol. 52, no. 6. — Pp. 505-513.

112. Encyclopedia of Complexity and System Science / Ed. by R.A. Meyers. — NY: Springer Science+Business Media, LLC., 2009. — Pp. 3360-3374.