Критические явления на сетях и графах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кочергин Даниил Сергеевич

• Кочергин Даниил Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Кочергин Даниил Сергеевич

Введение

Глава 1. Критические явления и локализация Андерсона

1.1 Случайные графы и критические явления на них

1.1.1 Структурные характеристики сетей

1.1.2 Основные модели графов

1.1.3 Критические явления

1.2 Локализация Андерсона

1.2.1 Зависимость локализации от числа измерений

1.2.2 Самосогласованное уравнение и одночастичная локализация на графах

1.2.3 Меры локализации

1.2.4 Неэргодические делокализованные состояния

1.3 Многочастичная локализация

1.3.1 Связь с одночастичной локализацией на графе

Глава 2. Квантовый гармонический осциллятор с точки зрения

графов

2.1 Расчет путей по графам

2.1.1 Случай супердеревьев

2.1.2 Дерево Эрмита

2.1.3 Счет путей для дерева Эрмита

2.2 Представление Вигнера с точки зрения графов

2.2.1 Матрицы перехода для квантового осциллятора в представлении Вигнера

2.2.2 Вид графа Лагерра

2.2.3 Счет путей для графа Лагерра

2.2.4 Связь элементов графа Лагерра и дерева Эрмита

Глава 3. Устойчивость делокализованных состояний при частичном беспорядке

3.1 Модель и аналитические результаты

3.2 Численные результаты

3.3 Дуальность между разряженными и плотными графами

Глава 4. Анатомия кластеризованной фазы

4.1 Экспоненциальные случайные сети

4.2 Фазовая диаграмма для 3- и 4-циклов

4.3 Кластеризация

4.3.1 Локализационные свойства непертурбативной зоны

4.3.2 Структура идеальных кластеров ^-циклов

4.3.3 Оценка критического значения кластеризации

4.4 Топологически эквивалентные вершины

4.4.1 Определение и выявление ТЕКов

4.4.2 Причины наличия ТЕКов в 3- и 4-циклах

4.4.3 Причины формирования ТЕКов при А = ±\/п для двудольных 4- и 6-циклов

4.4.4 Пример более общего вида ТЕКов

4.4.5 Оценка появления ТЕКов

4.5 Комбинированный беспорядок

Глава 5. Локализация в направленных случайных графах

5.1 Введение

5.2 Существование локализации на направленных графах

5.3 гр-сеть

5.4 Численные результаты

5.4.1 Спектры и фрактальные размерности

5.4.2 Причины локализации

5.5 Диагональный беспорядок

Заключение

Список литературы

Приложение А. Модели при наличии частичного беспорядка

Приложение Б. Фазовые диаграммы для 5- и 6-циклов

Приложение В. Локализация в моделях направленных графов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критические явления на сетях и графах»

Введение

Актуальность исследования. Началом изучения критических явлений на графах можно считать работу Эрдёша и Реньи в 1959 г. [1], в которой была представлена одна из основных моделей случайных графов и был описан структурный фазовый переход в виде рождения гигантской связной компоненты графа. Помимо структурных фазовых переходов на графах широко изучаются различные физические системы, в которых сеть играет роль более обобщенного пространства узлов в сравнении узлами периодической решетки. Например, модель Изинга на решетке Бете [2] или модель взаимодействующих осцилляторов Курамото [3]. Еще одним примером критических явлений на графах является одночастичная модель Андерсона.

В своей работе [4] об одночастичной локализации Андерсон рассмотрел диффузию бесспиновых невзаимодействующих фермионов на периодической решетке с примесями, в качестве которых выступал энергетический беспорядок на узлах, и показал, что существует критическое значение беспорядка, при котором волновые функции локализуются на узлах решетки. Следовательно, все транспортные свойства оказываются экспоненциально подавленными, и происходит переход металл-изолятор. В приближении Абу-Чакра, Андерсона, Тау-лесса [5] можно получить точное решение для локализации, если рассматривать такую частицу на решетке Бете - бесконечном регулярном дереве. Тема одночастичной локализации получила новое дыхание в контексте локализации в многочастичных системах с взаимодействием.

При конечной температуре и при наличии неупругого взаимодействия электронов с фононами проводимость отличается от нуля за счет прыжковой проводимости - электроны туннелируют между локализованными состояниями. Однако Баско, Алейнер и Альтшулер показали [6], что при наличии взаимодействия электронов друг с другом, но при отсутствии электрон-фононного

взаимодействия проводимость отсутствует даже при конечной, но небольшой температуре.

Еще ранее обсуждалась связь между многочастичной и одночастичной локализацией в пространстве Гильберта. На примере термализации квантовой точки, в которую поместили горячий электрон [7], было показано, что многочастичная локализация соответствовала одночастичной локализации в пространстве Гильберта, роль которого играло дерево Кэли. Позднее получило распространение изучение локализации на ансамбле случайных регулярных графов. Хотя модель Андерсона на случайных регулярных графах не является достаточно точной и полной для описания пространства Гильберта многочастичной системы - число независимых величин отличается на порядки, она имеет ряд преимуществ в виде поведения при нарушении эргодичности, динамических свойств, эффектов конечных размеров системы [8]. Большой интерес к многочастичной локализации поддерживается тем, что она нарушает гипотезу о термализации собственных состояний. Кроме многочастичной локализации, гипотезу нарушают квантовые многочастичные шрамы и фрагментация пространства Гильберта [9].

Локализация волновых векторов может быть вызвана не только беспорядком энергий на узлах системы. Примечательным случаем является появление локализованных состояний в неэрмитовых системах. Все предыдущие системы являлись закрытыми, реальные системы же в любом случае взаимодействуют с окружением. Хатано и Нельсон [10] показали, что в случае рассмотрения фер-миона в сильносвязанном приближении на одномерной решетке с открытыми граничными условиями левые и правые волновые функция локализуются на противоположных границах системы. С таким поведением связано возникновение топологически защищенных инвариантов на комплексной плоскости энергий. Таким образом, ключевым интересом для данной работы является связь между эффектами в конфигурационном пространстве и критическими эффектами в пространстве Гильберта, роль которого играют случайные графы.

Целью данной работы является изучение критических явлений на случайных сетях, связанных с одночастичной локализацией, а также выявление соответствий между многочастичными системами и динамикой в их пространстве Гильберта.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать пространство Гильберта для одиночного квантового осциллятора с точки зрения динамики в нем для координатного представления и представления Вигнера.

2. Рассмотреть наличие частичного беспорядка в модели Андерсона на случайном регулярном графе. Найти границы мобильности и критическое значение доли узлов, при котором существуют локализованные состояния.

3. Изучить влияние коротких циклов в пространстве Гильберта многочастичной модели в виде случайного регулярного графа, возмущенного химическим потенциалом коротких циклов.

4. Исследовать наличие локализации в направленных случайных сетях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методом расчета путей найдено представление полиномов Лагерра в виде деревьев с петлями. Найдена статистическая сумма для такого графа.

2. Аналитически найдены порог подвижности, критическое значение доли узлов и плотность состояний в пределе бесконечного беспорядка для системы, состоящей из чистых узлов и узлов с беспорядком, результаты были подтверждены численным расчетом. Исследована дуальность между разряженными и экстремально плотными графами.

3. Численно получена фазовая диаграмма для ансамбля случайных регулярных графов, возмущенных короткими циклами, в зависимости от химиче-

ского потенциала, степени вершин и их числа. Аналитически найдены границы между фазами. Найдены топологически эквивалентные вершины, на которых локализуется волновой вектор.

4. Аналитически показана возможность локализации левых и правых волновых векторов и их биортогонального произведения в окрестности исключительных точек, где гамильтониан становится недиагонализуемым. Численно продемонстрировано их наличие на случайных направленных сетях. Численно изучено влияние таких узлов на локализацию Андерсона.

Научная новизна работы:

1. Представление полиномов Лагерра в терминах конкретных деревьев с петлями.

2. Причины устойчивости делокализованных состояний для систем с частичным беспорядком Андерсона. Граница локализация-делокализация в пространстве параметров.

3. Фазовая диаграмма для ансамбля случайных регулярных графов, возмущенных короткими циклами. Представление многочастичных шрамов с точки зрения пространства Гильберта.

4. Существование локализации левых и правых состояний в случайной направленной сети на группах узлов, связанных с окружением определенным образом, а также существование биортогональной локализации.

Научная и практическая значимость. Изучены проявления различных моделей с точки зрения графов, обнаружены новые проявления локализации на случайных сетях, а также приведены причины их возникновения. Результаты могут быть использованы другими научными группами для дальнейшего поиска и изучения многочастичных систем с нарушением термализации, в которых, в частности, осуществляется многочастичная локализация или имеются квантовые многочастичные шрамы.

Обоснованность и достоверность результатов и выводов. Выводы диссертации подтверждены аналитическими и численными расчетами, полученными с помощью разработанных алгоритмов и комплекса программ. Теоретическую и методологическую основу проведенных исследований составили труды отечественных и зарубежных авторов в области критических явлений и локализации. Для получения численных результатов проводились вычисления множества реализаций изучаемых систем.

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ в честь 115-летия Л.Д. Ландау, Долгопрудный, 3-7 апреля 2023 г.; доклад: «Анатомия кластеризованной фазы в экспоненциальных сетях с химическим потенциалом к -циклов».

2. Семинар, Институт проблем передачи информации, Москва, 13 октября 2023 г.; доклад: «Андерсоновская локализация на случайных графах».

3. Семинар сектора квантовой мезоскопики, Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау, Черноголовка, 27 октября 2023 г.; доклад «Устойчивые де-локализованные состояния в модели Андерсона на случайных регулярных графах с частичным беспорядком».

4. 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 1 - 6 апреля 2024 г.; доклад: «Локализованные состояния в направленных случайных сетях».

5. Семинар кафедры теоретической физики, Московский физико-технический институт, Долгопрудный, 19 апреля 2024 г.; доклад «Одночастичная локализация на случайных графах».

Личный вклад. Все результаты, приведенные в данной диссертационной работе, получены лично автором или при его непосредственном участии при

научном руководстве доктора физико-математических наук Горского А.С.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в следующих работах:

1. Kochergin D. To the path counting on graphs in phase space // Modern Physics Letters A. — 2023. — T. 38, №. 02. — С. 2350012.

2. Kochergin D., Khaymovich I. M., Valba O., Gorsky A. Anatomy of the fragmented Hilbert space: Eigenvalue tunneling, quantum scars, and localization in the perturbed random regular graph // Phys. Rev. B. — 2023. — Т. 108, № 9. — С. 094203.

3. Kochergin D., Khaymovich I. M., Valba O., Gorsky A. Robust extended states in Anderson model on partially disordered random regular graphs // SciPost Phys. — 2024. — Т. 16. — С. 106.

4. Kochergin D., Tiselko V., Onuchin A. Localization transition in non-Hermitian systems depending on reciprocity and hopping asymmetry // Phys. Rev. E. — 2024. — Т. 109, № 4. — С. 044315.

Работы изданы в 4 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 141 страница с 27 рисунками. Список литературы содержит 169 наименований.

В главе 1 представлен обзор критических явлений на сетях, а также основные аспекты локализации Андерсона, методы изучения. Также рассматривается связь между многочастичной локализацией и одночастичной локализацией в пространстве Гильберта, роль которого в нулевом приближении может играть случайный регулярный граф.

В главе 2 исследуется связь между расчетом путей на деревьях и представлением пространства Гильберта для одночастичных систем на примере квантового гармонического осциллятора. В работе [11] было представлено два дерева,

характеристический полином трансфер-матрицы которых был полиномом Эр-мита. Целью этой главы было определить какое из деревьев лучше соответствует осциллятору и развить эту идею для представления фазового пространства.

В главе 3 изучается модель бесспинового невзаимодействующего ферми-она на случайном регулярном графе при наличии частичного беспорядка, где только на части узлов имеется случайное распределение энергий, остальные узлы имеют потенциальную энергию, равную нулю. Модель была представлена в работе [12]. С точки зрения многочастичной задачи, такое представление пространства Гильберта соответствует наличию топологически защищенных нулевых мод или взаимодействию многочастичной системы с тепловым резервуаром. Целью работы в этой главе было нахождение порога подвижности, критической доли узлов, спектральной плотности для задачи на графе.

В главе 4 рассматриваются экспоненциальные случайные сети с зафиксированными степенями вершин и химическим потенциалом коротких циклов. Известно [13-15], что для таких сетей существует критическое значение химического потенциала, при котором они кластеризуются. В главе рассматривается фазовая диаграмма для случайных регулярных графов, возмущенных химическим потенциалом коротких циклов в зависимости от числа вершин, числа узлов и длины циклов. Поднимается вопрос о связи явлений, возникающих в таких сетях, с нарушением термализации многочастичной системы.

В главе 5 изучается локализация на случайных направленных графах. Направленность графа делает гамильтониан системы неэрмитовым. Для неэрмитовых систем известно, что при асимметрии констант перехода в разных направлениях между узлами на периодических одномерных системах при открытых граничных условиях макроскопическое количество левых и правых собственных векторов локализуется на противоположных границах системы [16]. Локализация связана с близостью к исключительным точкам, в которых гамильтониан не диагонализуется. В главе рассматривается аналогичная ситуация для случайных направленных сетей, а также взаимное влияние локализации Андерсона и направленности сети.

Глава 1. Критические явления и локализация

Андерсона

В этой главе рассматриваются основные модели случайных графов и критические явления, возникающие на сетях. Также рассказывается о локализации Андерсона и об одной из основных причин изучения локализации на графах -многочастичной локализации.

1.1 Случайные графы и критические явления

на них

1.1.1 Структурные характеристики сетей

Граф - это совокупность двух множеств С = (V, Е), где V - множество, чьи элементы носят название вершин (узлов), Е - множество неупорядоченных или упорядоченных пар вершин епт = [уп,ут], называющихся ребрами (связями) [17]. В зависимости от того, есть ли упорядочение пар, граф носит название ненаправленный и направленный, в ненаправленном епт = етп. Каждая модель случайных графов - это статистический ансамбль, где каждый элемент - индивидуальная конфигурация вершин и ребер, реализуемая с заданной вероятностью [18]. Любой граф, состоящий из N узлов, может описываться матрицей смежности Апт размером N х N, где Апт = 0, если ребро между вершинами отсутствует, Апт > 0, если ребро присутствует. В последнем случае само значение элементов зависит от модели. Если граф невзвешенный, то все Апт равны между собой (часто Апт = 1). Если же граф взвешенный, элементы могут принимать любые значения, называемые весами ребер. Для собственных состояний, являющихся решением уравнения Аг^^ = Х^фг, Плотность состояний

имеет вид

^ 5(\ — .

"(*> = 'АХ - . С1.1)

Простейшей характеристикой вершины графа является ее степень (валентность) к, то есть число ребер, соединяющих вершину с ближайшими соседями. В направленных графах, по крайней мере, часть ребер являются направленными, поэтому вводятся входящие и выходы степени вершин. Для случайных сетей распределение степеней вершин Р(к> является одной из основных статистических мер.

Цикл - это замкнутый путь, проходящий через каждую свою вершину только один раз. По определению, деревья - это графы без циклов. Другой значимой характеристикой сети является коэффициент кластеризации, описывающий связи между ближайшими соседями для узла п. Если ближайшие соседи имеют соединяющие их ребро, то три узла и ребра образуют цикл длиной 3 (или треугольник). Локальный коэффициент кластеризации задается формулой: С(кп> = 1п/(кп(кп — 1>/2>, где ¿п - число треугольников, в которые входит узел п, а кп(кп — 1>/2 - максимально возможное число треугольников. Коэффициент кластеризации для всей сети рассчитывается как С = (Ъп) / (кп(кп — 1>/2). Коэффициент кластеризации описывает, насколько плотно связаны между собой узлы. В общем случае коэффициент кластеризации может рассчитываться и по циклам большей длины. Как будет показано в главе 4, кластеризация возникает и при циклах, длина которых больше 3.

Важной характеристикой для графа является его связность, то есть существование путей от одной вершины к другой. Для каждой пары вершин п и т, соединенных хотя бы одним путем, можно ввести длину кратчайшего пути, 1пт, соответствующую количеству ребер между узлами. Распределение длин кратчайшего пути Р(1> описывает глобальную структуру случайной сети, а среднее расстояние (1(М>) характеризует компактность сети.

По определению, связная компонента - это множество взаимно достижимых узлов и их связей, содержащее конечную долю вершин. Гигантской компо-

нентой называется, если нет других связных компонент с числом узлов больше чем 0( 1п N). Относительный размер гигантской компоненты (относительное число ее вершин) и распределение размеров остальных конечных связных компонент описывают топологию случайной сети.

В конечномерных системах среднее расстояние имеет следующую зависимость от размерности И: (1(М)) ~ N1/в. В задачах про коллективные явления на сетях в основном исследуются графы типа «маленький мир». Это сети, в которых I растет с общим числом вершин N медленнее, чем любая положительная степень, т. е. И = ж. Обычно в таких сетях (1(М)) ~ 1п N [18].

1.1.2 Основные модели графов

Исследование критических явлений на графах в первую очередь происходит на деревьях и локально деревоподобных случайных графах. В этих графах малые и конечные циклы редки и несущественны. Древесное приближение позволяет значительно упростить задачу и использовать такие методы, как приближение Бете-Пейерлса [19], кавити-метод [5].

В качестве пространства узлов для коллективных моделей часто используются две схожие модели деревьев. При степени вершин больше 2 обе модели являются малыми мирами. Однако между моделями есть ключевое различие. В дереве Кэли конечная доля вершин является листьями, то есть вершинами со степенью 1, эти вершины образуют границу дерева. Существует центральная вершина, называемая корнем дерева, равноудаленная от граничных вершин. Все узлы кроме листьев имеют постоянную степень. Наличие границы существенно определяет физику взаимодействующих систем на дереве Кэли. Решетка Бете - это бесконечное дерево Кэли, что ведет к отсутствию границы. Для решетки Бете спектральная плотность описывается полукруговым законом Вигнера

«=^. и

где К - это число ветвлений дерева, которое меньше валентности вершины на

единицу.

Другой моделью, которую часто изучают с точки зрения критических явления, является случайный регулярный граф (ИКС). Случайные регулярные графы - это ансамбль графов, в котором все вершины имеют одинаковую степень вершин ¿, между узлами есть только одно ребро, а петли, соединяющие вершину саму с собой, отсутствуют. Спектральная плотность матрицы смежности для ансамбля ИИС [20, 21]:

_ Лу/ЦЛ — 1> — А2 Р(Х] _ 2^ [¿2 — А2] . (1.3)

Однопетливые поправки к плотности состояний ИИС были получены в [22]. Модель локально деревоподобна и асимптотически приближается к решеткам Бете в термодинамическом пределе N ^ <ж [18]. При конечных N длина циклов, с, оценивается как два диаметра ИИС, с ~ 2 log¿_ 1N [23]. Кроме наличия циклов, ИИС отличается от решетки Бете тем, что каждая вершина имеет все основания быть корнем деревоподобной структуры. Плотность состояний свидетельствует об этом.

Еще одной наиболее часто встречаемой моделью является модель Эрдёша-Реньи [1]. В отличие от предыдущих, в ней вершины имеют разные степени. Модель Эрдёша-Реньи включает в себя на самом деле две модели: Спр и Спм. Для графа с п вершинами в Спр вероятность существования любого ребра равна р, в Спм присутствует М случайных ребер. Распределение элемента матрицы смежности для Спр:

Р(Апт>_ рб(Апт — 1> + (1 — рЩАпт> , (1.4)

а степени вершин имеют следующую функцию распределения

Р(к>_ ^Рк(1 — Р>к . (1.5)

Из-за простого вида распределений Спр позволяет относительно легко проводить аналитические вычисления.

Долгое время считалось [24], что настоящие сети из разных наук, такие как социальные, биологические, компьютерные, являются маленькими мирами, при этом имея локальные кластеры и малые циклы, а функция распределения степеней вершин имеет степенной вид:

Р(к) - к-1 , (1.6)

где 2 < ^ < 3. Такие сети называют безразмерными, так как второй момент, характеризующий размер системы, расходится, при этом первый конечен. Однако модель Эрдёша-Реньи не соответствует всем перечисленным критериям. Для выполнения критерия на коэффициент кластеризации Уоттс и Строгац предложили свою модель [25]. Модель Барабаши-Альберта [26], с другой стороны, предлагает алгоритм предпочтительного присоединения, позволяющий получить степенную функцию распределения 7 = 3. Однако в работе [27] исследовано около 1000 настоящих сетей и ставится под сомнение, что настоящие сети являются безразмерными. Показано, что для многих из них больше подходит лог-нормальное распределение, не являющееся безразмерным.

1.1.3 Критические явления

Основываясь на теории Ландау фазовых переходов, в [28] была разработана феноменологическая теория фазовых переходов для сетей с произвольным распределением степеней вершин. В статье показано, что критические явления на сетях имеют универсальный характер и зависят от двух характеристик: структуры сети и симметрий, лежащих в основе модели на графе. Таким образом, фазовые переходы на графах можно разделить на два больших раздела: переходы, вызванные структурным изменением сети, и переходы из-за свойств физической системы на сети. Примерами первых могут выступать:

• Рождение гигантской компоненты для графа Эрдёша-Реньи [1]. Также в работе [29] показаны критерии существования гигантской компоненты для

графа с произвольным распределением степеней вершин. Близкой к этой задаче является задача о перколяции. Что произойдет с системой, если некую долю узлов или ребер убрать, останется ли она проходима для частицы или для клики (подграф, где каждая пара узлов связана) [30].

• Эпидемические пороги - сможет ли вирус распространиться по системе, например, для безмасштабных сетей [31], для других сетей [32]. В последней работе показана связь между наибольшим собственным значением матрицы смежности и отношением темпов рождения и излечения.

• Фазовые переходы в экспоненциальных случайных сетях, представляющих собой ансамбль, где для каждого элемента задана вероятность в экспоненциальном виде с химическим потенциалом одной или нескольких характеристик графа. Например, модели с химическим потенциалом квадрата степени вершин [33], 3-циклов [34, 35]. Такие модели позволяют применять к ним аппарат статистической физики [36].

Во втором случае граф выступает в качестве основы, описывая, какие элементы системы связаны друг с другом.

• Широкое распространение получила модель Изинга на графах [2, 37], описывающая взаимодействующие спины, находящиеся на узлах графа. Какие спины могут взаимодействовать друг с другом, определяется ребрами графа. Для деревоподобных графов и полного графа модель Изинга имеет точное решение. В данной модели возникает явное отличие между бесконечной решеткой Бете и конечным деревом Кэли [18]. В первом случае существует конечная ненулевая критическая температура, в которой происходит фазовый переход второго рода, разрушающий магнитный порядок; во втором случае магнитный порядок возможен только при нулевой температуре, тем не менее в этом случае в системе существует фазовый переход первого рода [38].

• Синхронизация множества осцилляторов, расположенных на узлах графа и взаимодействующих в случае соединения узлов ребром. Стандартная модель Куромото исследуется на различных моделях сложных сетей [3].

• Локализационные свойства квантовой частицы, блуждающей на графе. Модель Андерсона для одночастичной локализации на решетке Бете [5] и на случайном регулярном графе [39]. В следующем разделе локализация Андерсона будет рассмотрена подробнее. В дополнение к диагональному беспорядку, локализованные состояний также могут возникать из-за структурного, т. е. случайного наличия ребер.

1.2 Локализация Андерсона

Проводимость материла зависит от коэффициента диффузии, который, в свою очередь, зависит от длины свободного пробега. Сама же длина свободного пробега зависит от концентрации примесей в веществе. Приведет ли увеличение беспорядка в решетке только к уменьшению средней длины свободного пробега и, следовательно, к снижению проводимости, или же могут возникнуть другие эффекты? Этот вопрос был поднят в 1958 г. Филиппом Андерсоном [4]. Он обнаружил, что при превышении критической величины рассеяния примесей диффузионное зигзагообразное движение электрона не просто уменьшается, оно может полностью прекратиться. Электрон оказывается в ловушке, и проводимость исчезает.

Модель одночастичной локализации Андерсона рассматривает гамильтониан невзаимодействующих бесспиновых фермионов в сильносвязанном приближении на ^-мерной решетке:

N

Н ^ ^ ^пт (^п^т + Сп+ ^ ^ ^п^п^п ? (1.7)

п,т п=1

где Упт - матрица, определяющая наличие связей между узлами системы и их вес, еп - энергии на узлах, что имеют равномерное распределение, |еп| < W/2,

с1 и сп - операторы рождения и уничтожения фермиона на узле п, для которых антикоммутаторы {ст, с1} = 5пт, {ст, сп} = {с^т, с^} = 0, 5пт - символ Кроне-кера. Первое слагаемое уравнения (1.7) - кинетическое, второе же отвечает за примеси в материале. Андерсон показал, что есть определенное критическое значение Щс, при Щ > Щс материал становится изолятором. Волновые вектора же экспоненциально локализуются на узле с беспорядком, |^л(п)|2 — е—п/^, где п - расстояние от узла с локализацией.

В работах [40, 41] Мотт показал, что в случае, когда критерий Андерсона не выполняется (Щ < Щс), то в спектре по-прежнему существуют локализованные состояния, они отделены от металлических состояний границей мобильности. Вегнер [42] продемонстрировал, как длины локализации, £ <х ( Щ — Щс)—Р, и удельная проводимость, а к (Щс — Щу(П—2), зависят от критической экспоненты и = 1 и числа измерений И, что соответствует фазовому переходу второго рода.

Вскоре, в 1959 г., последовало экспериментальное подтверждение для спиновой диффузии в допированных полупроводниках [43]. Различные эксперименты показали, что существование локализации Андерсона не ограничено электронами в твердом теле, и она может быть представлена на других физических системах, таких как микроволны в двумерии [44], свет на сильно рассеивающем полупроводящем порошке [45], конденсат Бозе-Эйнштейна на ультрахолодных атомах [46].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кочергин Даниил Сергеевич, 2024 год

Список литературы

1. Erdos, P. On random graphs / P. Erdos, A. Rényi // Publicationes Mathematicae (Debrecen). — 1959. — Т. 6. —С. 290.

2. Domb, C. On the theory of cooperative phenomena in crystals // Advances in Physics. — 1960. — Т. 9, № 34. — С. 149—244.

3. The Kuramoto model in complex networks / F. A. Rodrigues, T. K. D. M. Peron, P. Ji, J. Kurths // Physics Reports. — 2016. — Т. 610. —С. 1—98. —The Kuramoto model in complex networks.

4. Anderson, P. W. Absence of diffusion in certain random lattices // Physical review. —1958. —Т. 109, №5. —С. 1492.

5. Abou-Chacra, R. A selfconsistent theory of localization / R. Abou-Chacra, D. J. Thouless, P. W. Anderson // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1973. —Т. 6, № 10. —С. 1734.

6. Basko, D. M. Metal-insulator transition in a weakly interacting many-electron system with localized single-particle states / D. M. Basko, I. L. Aleiner, B. L. Altshuler // Annals of Physics. — 2006. — Т. 321, № 5. —С. 1126-1205.

7. Quasiparticle lifetime in a finite system: A nonperturbative approach / B. L. Altshuler, Y. Gefen, A. Kamenev, L. S. Levitov // Physical review letters. — 1997. —Т. 78, № 14. —С. 2803.

8. Tikhonov, K. S. From Anderson localization on random regular graphs to many-body localization / K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin // Annals of Physics. — 2021. —Т. 435. —С. 168525.

9. Moudgalya, S. Quantum many-body scars and Hilbert space fragmentation: a review of exact results / S. Moudgalya, B. A. Bernevig, N. Regnault // Reports on Progress in Physics. — 2022. — Т. 85, № 8. —С. 086501.

10. Hatano, N. Non-Hermitian delocalization and eigenfunctions / N. Hatano, D. R. Nelson // Phys. Rev. B. —1998. — Т. 58. —С. 8384—8390.

11. Gorsky, A. On statistical models on super trees / A. Gorsky, S. Nechaev, A. Valov // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 8. — C. 1—26.

12. Valba, O. Mobility edge in the Anderson model on partially disordered random regular graphs / O. Valba, A Gorsky // JETP Letters. — 2022. — T. 116, № 6. — C. 398—404.

13. Eigenvalue tunneling and decay of quenched random network / V. Avetisov, M. Hovhannisyan, A. Gorsky [h gp.] // Physical Review E. — 2016. — T. 94, № 6. —C. 062313.

14. Localization and non-ergodicity in clustered random networks / V. Avetisov, A. Gorsky, S. Nechaev, O. Valba // Journal of Complex Networks. — 2020. — T. 8, № 2. —C. cnz026.

15. Valba, O. Interacting thermofield doubles and critical behavior in random regular graphs / O. Valba, A. Gorsky // Phys. Rev. D. — 2021. — T. 103.— C. 106013.

16. Bergholtz, E. J. Exceptional topology of non-Hermitian systems / E. J. Bergholtz, J. C. Budich, F. K. Kunst // Rev. Mod. Phys. — 2021. — T. 93. —C. 015005.

17. West, D. B. Introduction to Graph Theory. — Hoboken.: Prentice Hall, 2001.— C. 1—106.

18. Dorogovtsev, S. N. Critical phenomena in complex networks / S. N. Dorogovtsev, A. V. Goltsev, J. F. F. Mendes // Rev. Mod. Phys.— 2008. —T. 80. —C. 1275—1335.

19. Bethe, H. A. Statistical theory of superlattices // Proceedings of the Royal Society of London. Series A-Mathematical and Physical Sciences. — 1935. — T. 150, № 871. —C. 552—575.

20. Kesten, Harry. Symmetric random walks on groups // Transactions of the American Mathematical Society. — 1959. — T. 92, № 2. — C. 336—354.

21. McKay, Brendan D. The expected eigenvalue distribution of a large regular graph // Linear Algebra and its Applications. — 1981. — T. 40. — C. 203-216.

22. Metz, F. L. Finite-size corrections to the spectrum of regular random graphs: An analytical solution / F. L. Metz, G. Parisi, L. Leuzzi // Physical Review E. —2014. —T. 90, № 5.

23. Bollobas, B. The diameter of random regular graphs / B. Bollobas, W. F. de la Vega // Combinatorica. — 1982. — T. 2. —C. 125—134.

24. Barabasi, A.-L. Scale-free networks: a decade and beyond // Science. — 2009. — T. 325, № 5939. —C. 412—413.

25. Watts, D. J. Collective dynamics of 'small-world' networks / D. J. Watts, S. H. Strogatz // Nature. —1998. —T. 393, № 6684. —C. 440—442.

26. Barabasi, A.-L. Emergence of Scaling in Random Networks / A.-L. Barabasi, R. Albert // Science. —1999. —T. 286, № 5439. —C. 509-512.

27. Broido, A. D. Scale-free networks are rare / A. D. Broido, A. Clauset // Nat Commun. —2019. —T. 10. —C. 1017.

28. Goltsev, A. V. Critical phenomena in networks / A. V. Goltsev, S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mendes // Phys. Rev. E. — 2003. — T. 67.—

C. 026123.

29. Molloy, M. A critical point for random graphs with a given degree sequence / M. Molloy, B. Reed // Random Structures & Algorithms. — 1995. — T. 6, № 2—3. —C. 161—180.

30. Palla, G. The Critical Point of k-Clique Percolation in the Erdos—Ranyi Graph / G. Palla, I. Derenyi, T. Vicsek // Journal of Statistical Physics. — 2007. — T. 128. —C. 219—227.

31. Pastor-Satorras, R. Epidemic Spreading in Scale-Free Networks / R. Pastor-Satorras, A. Vespignani // Phys. Rev. Lett. — 2001. — T. 86. —C. 3200—3203.

32. Epidemic spreading in real networks: an eigenvalue viewpoint / Y. Wang,

D. Chakrabarti, C. Wang, C. Faloutsos // 22nd International Symposium on Reliable Distributed Systems, 2003. Proceedings. — 2003. — C. 25—34.

33. Park, J. Solution of the two-star model of a network / J. Park, M. E. J. Newman // Phys. Rev. E. — 2004. — T. 70. —C. 066146.

34. Strauss, D. On a General Class of Models for Interaction // SIAM Rev. — 1986. —T. 28. —C. 513.

35. Park, J. Solution for the properties of a clustered network / J. Park, M. E. J. Newman // Phys. Rev. E. — 2005. — T. 72. —C. 026136.

36. Park, J. Statistical mechanics of networks / J. Park, M. E. J. Newman // Phys. Rev. E. —2004. —T. 70. —C. 066117.

37. Dembo, A. Ising models on locally tree-like graphs / A. Dembo, A. Montanari // The Annals of Applied Probability. — 2010. — T. 20, № 2. —C. 565—592.

38. Müller-Hartmann, E. New Type of Phase Transition / E. Müller-Hartmann, J. Zittartz // Phys. Rev. Lett. — 1974. — T. 33. —C. 893—897.

39. Tikhonov, K. S. Anderson localization and ergodicity on random regular graphs / K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin, M. A. Skvortsov // Phys. Rev. B. — 2016. —T. 94. —C. 220203(R).

40. Mott, N. F. The Electrical Properties of Liquid Mercury // Philosophical Magazine. —1966. —T. 13, № 125. —C. 989—1014.

41. Mott, N. F. Electrons in disordered structures // Advances in Physics.— 1967. —T. 16, № 61. —C. 49—144.

42. Wegner, F. J. Electrons in disordered systems. Scaling near the mobility edge // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter. — 1976. — T. 25, № 4. — C. 327— 337.

43. Feher, G. Electron Spin Resonance Experiments on Donors in Silicon. I. Electronic Structure of Donors by the Electron Nuclear Double Resonance Technique // Phys. Rev. — 1959. — T. 114. —C. 1219—1244.

44. Microwave localization by two-dimensional random scattering / R. Dalichaouch, J. P. Armstrong, S. Schultz [h gp.] // Nature. — 1991. — T. 354, № 6348. —C. 53—55.

45. Localization of light in a disordered medium / D. S. Wiersma, P. Bartolini, A. Lagendijk, R. Righini // Nature. — 1997. — T. 390, № 6661. —C. 671—673.

46. Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder / J. Billy, V. Josse, Z. Zuo [и др.] // Nature. — 2008. — Т. 453, № 7197.— С. 891—894.

47. Wegner, F. Disordered system with n orbitals per site: n = то limit // Phys. Rev. B. —1979. —Т. 19. —С. 783—792.

48. Disorder-Free Localization / A. Smith, J. Knolle, D. L. Kovrizhin, R. Moessner // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Т. 118. —С. 266601.

49. Biroli, G. A single defect approximation for localized states on random lattices / G. Biroli, R. Monasson // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1999. —Т. 32, № 24. —С. L255.

50. Pastor-Satorras, R. Distinct types of eigenvector localization in networks / R. Pastor-Satorras, C. Castellano // Scientific reports. — 2016. — Т. 6, № 1.— С. 18847.

51. Nechaev, S. K. Path counting on simple graphs: from escape to localization / S. K. Nechaev, M. V. Tamm, O. V. Valba // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2017. — Т. 2017, № 5. —С. 053301.

52. Matyushina, Z. D. Statistics of paths on graphs with two heavy roots [Электронный ресурс]. — 2023. — URL: https://arxiv.org/abs/2302.05876.

53. Edwards, J. T. Numerical studies of localization in disordered systems / J. T. Edwards, D. J. Thouless // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1972. —Т. 5, № 8. —С. 807.

54. Licciardello, D. C. Conductivity and mobility edges for two-dimensional disordered systems / D. C. Licciardello, D. J. Thouless // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1975. — Т. 8, № 24. —С. 4157.

55. Thouless, D. J. Electrons in disordered systems and the theory of localization // Physics Reports. —1974. —Т. 13, № 3. —С. 93—142.

56. Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions / E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, T. V. Ramakrishnan // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Т. 42. —С. 673—676.

57. Gor'Kov, L. P. Particle conductivity in a two-dimensional random potential / L. P. Gor'Kov, A. I. Larkin, D.E. Khmel'nitskii // JETP Lett. — 1979. — T. 30, № 4. — C. 228—232.

58. Wegner, F. The mobility edge problem: continuous symmetry and a conjecture // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter. — 1979. — T. 35, № 3. —C. 207—210.

59. Efetov, K. B. Interaction of diffusion modes in the theory of localization / K. B. Efetov, A. I. Larkin, D. E. Kheml'Nitskii // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1980. — T. 52. —C. 568.

60. Aubry, S. Analyticity breaking and Anderson localization in incommensurate lattices / S. Aubry, G. Andre // Ann. Israel Phys. Soc. — 1980. — T. 3, № 133. — C. 18.

61. Das Sarma, S. Mobility Edge in a Model One-Dimensional Potential / S. Das Sarma, Song He, X. C. Xie // Phys. Rev. Lett. — 1988. — T. 61. — C. 2144—2147.

62. Levitov, L. S. Delocalization of vibrational modes caused by electric dipole interaction // Phys. Rev. Lett. — 1990. — T. 64. —C. 547—550.

63. Tarquini, E. Critical properties of the Anderson localization transition and the high-dimensional limit / E. Tarquini, G. Biroli, M. Tarzia // Phys. Rev. B.— 2017. —T. 95. —C. 094204.

64. Anderson transition on the Bethe lattice: an approach with real energies / G. Parisi, S. Pascazio, F. Pietracaprina [h gp.] // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2020. — T. 53, № 1. —C. 014003.

65. Anderson localization on the Bethe lattice: Nonergodicity of extended states / A. De Luca, B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov, A. Scardicchio // Phys. Rev. Lett. —2014. —T. 113, №4. —C. 046806.

66. Kravtsov, V. E. Non-ergodic delocalized phase in Anderson model on Bethe lattice and regular graph / V. E. Kravtsov, B. L. Altshuler, L. B. Ioffe // Annals of Physics. — 2018. — T. 389. — C. 148—191.

67. Mirlin, A. D. Localization transition in the Anderson model on the Bethe lattice: Spontaneous symmetry breaking and correlation functions /

A. D. Mirlin, Y. V. Fyodorov // Nuclear Physics B. —1991. — Т. 366, № 3. — С. 507—532.

68. Two critical localization lengths in the Anderson transition on random graphs / I. García-Mata, J. Martin, R. Dubertrand [и др.] // Phys. Rev. Research.— 2020. —Т. 2. —С. 012020.

69. Sierant, P. Universality in Anderson localization on random graphs with varying connectivity / P. Sierant, M. Lewenstein, A. Scardicchio // SciPost Phys. — 2023. —Т. 15. —С. 045.

70. Statistics of spectra of disordered systems near the metal-insulator transition /

B. I. Shklovskii, B. Shapiro, B. R. Sears [и др.] // Physical Review B. — 1993. — Т. 47, № 17. —С. 11487.

71. Bell, R. J. Atomic vibrations in vitreous silica / R. J. Bell, P. Dean // Discuss. Faraday Soc. — 1970. — Т. 50. — С. 55—61.

72. Renormalization Group Analysis of the Anderson Model on Random Regular Graphs [Электронный ресурс] / C. Vanoni, B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov, A. Scardicchio. —2023. —URL: https://arxiv.org/abs/2306.14965.

73. Distribution of the Ratio of Consecutive Level Spacings in Random Matrix Ensembles / Y. Y. Atas, E. Bogomolny, O. Giraud, G. Roux // Phys. Rev. Lett. —2013. —Т. 110. —С. 084101.

74. Berry, M. V. Level clustering in the regular spectrum / M. V. Berry, M. Tabor // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1977. — Т. 356. —С. 375—394.

75. Schreiber, M. Multifractal wave functions at the Anderson transition / M. Schreiber, H. Grussbach // Phys. Rev. Lett. — 1991. — Т. 67. — С. 607— 610.

76. Tikhonov, K. S. Fractality of wave functions on a Cayley tree: Difference between tree and locally treelike graph without boundary / K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin // Phys. Rev. B. —2016. —Т. 94. —С. 184203.

77. A random matrix model with localization and ergodic transitions / V. E. Kravtsov, I. M. Khaymovich, E. Cuevas, M. Amini // New J. Phys. — 2015. —Т. 17. —С. 122002.

78. Nosov, P. A. Correlation-induced localization / P. A. Nosov, I. M. Khaymovich, V. E. Kravtsov // Phys. Rev. B. — 2019. — Т. 99. —С. 104203.

79. Arenz, J. Wegner model on a tree graph: U(1) symmetry breaking and a non-standard phase of disordered electronic matter [Электронный ресурс] / J. Arenz, M. R. Zirnbauer. —2023. —URL: https://arxiv.org/abs/2305.00243.

80. Srednicki, M. Chaos and quantum thermalization // Phys. Rev. E. — 1994. — Т. 50. —С. 888—901.

81. Srednicki, M. The approach to thermal equilibrium in quantized chaotic systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1999. — Т. 32, № 7. —С. 1163.

82. From quantum chaos and eigenstate thermalization to statistical mechanics and thermodynamics / L. D'Alessio, Y. Kafri, A. Polkovnikov, M. Rigol // Advances in Physics. — 2016. — Т. 65, № 3. — С. 239—362.

83. Colloquium: Many-body localization, thermalization, and entanglement / D. A. Abanin, E. Altman, I. Bloch, M. Serbyn // Rev. Mod. Phys.— 2019.— Т. 91. —С. 021001.

84. Mott, N. F. Conduction in glasses containing transition metal ions // Journal of Non-Crystalline Solids. — 1968. — Т. 1, № 1. —С. 1-17.

85. Serbyn, M. Local Conservation Laws and the Structure of the Many-Body Localized States / M. Serbyn, Z. Papi c, D. A. Abanin // Phys. Rev. Lett.— 2013. —Т. 111. —С. 127201.

86. Huse, D. A. Phenomenology of fully many-body-localized systems / D. A. Huse, R. Nandkishore, V. Oganesyan // Phys. Rev. B. —2014. —Т. 90. —С. 174202.

87. Mace, N. Multifractal Scalings Across the Many-Body Localization Transition / N. Mace, F. Alet, N. Laflorencie // Phys. Rev. Lett. — 2019. — Т. 123. — С. 180601.

88. Observation of many-body localization of interacting fermions in a quasirandom optical lattice / M. Schreiber, S. S. Hodgman, P. Bordia [h gp.] // Science.-2015.-T. 349, № 6250. —C. 842—845.

89. Exploring the many-body localization transition in two dimensions / J. Choi, S. Hild, J. Zeiher [h gp.] // Science. - 2016. - T. 352, № 6293. - C. 1547-1552.

90. Minimal model of many-body localization / F. Monteiro, T. Micklitz, Masaki Tezuka, Alexander Altland // Phys. Rev. Res. - 2021. - T. 3. -C. 013023.

91. Tikhonov, K. S. Many-body localization transition with power-law interactions: Statistics of eigenstates / K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin // Phys. Rev. B. -2018.-T. 97.-C. 214205.

92. Rare thermal bubbles at the many-body localization transition from the Fock space point of view / G. De Tomasi, I. M. Khaymovich, F. Pollmann, S. Warzel // Phys. Rev. B.-2021.-T. 104.-C. 024202.

93. Spectral diffusion and scaling of many-body delocalization transitions / I. V. Gornyi, A. D. Mirlin, D. G. Polyakov, A. L. Burin // Annalen der Physik. - 2017. - T. 529, №7.-C. 1600360.

94. Dorey, P. The ODE/IM correspondence / P. Dorey, C. Dunning, R. Tateo // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - T. 40, № 32. -C. R205.

95. Krefl, Daniel. Non-perturbative quantum geometry II // Journal of High Energy Physics.-2014.-T. 2014, № 12.-C. 1-33.

96. Rojo, O. The spectra of the adjacency matrix and Laplacian matrix for some balanced trees / O. Rojo, R. Soto // Linear Algebra and its Applications. -2005.-T. 403.-C. 97-117.

97. Dumitriu, I. Matrix models for beta ensembles / I. Dumitriu, A. Edelman // Journal of Mathematical Physics. - 2002. - T. 43, № 11.-C. 5830-5847.

98. Curtright, T. L. Quantum Mechanics in Phase Space / T. L. Curtright, C. K. Zachos // Asia Pacific Physics Newsletter. - 2012. - T. 01, № 01.-C. 37-46.

99. Danieli, C. Flat-band engineering of mobility edges / C. Danieli, J. D. Bodyfelt, Se. Flach // Phys. Rev. B.-2015.-T. 91.-С. 235134.

100. Lee, S. Critical-to-insulator transitions and fractality edges in perturbed flat bands / S. Lee, A. Andreanov, S. Flach // Phys. Rev. B.-2023.-T. 107. — С. 014204.

101. Gongalves, M. Quasiperiodicity hinders ergodic Floquet eigenstates / M. Gon calves, P. Ribeiro, I. M. Khaymovich // Phys. Rev. B. - 2023. - Т. 108.-С. 104201.

102. Experimental probe of multi-mobility edges in quasiperiodic mosaic lattices [Электронный ресурс] / J. Gao, I. M. Khaymovich, X.-W. Wang [и др.].-2023.-URL: https://arxiv.org/abs/2306.10829.

103. Schecter, M. Many-body spectral reflection symmetry and protected infinite-temperature degeneracy / M. Schecter, T. Iadecola // Phys. Rev. B.-2018. -Т. 98.-С. 035139.

104. Karle, V. Area-Law Entangled Eigenstates from Nullspaces of Local Hamiltonians / V. Karle, M. Serbyn, A. A. Michailidis // Phys. Rev. Lett.-2021.-Т. 127.-С. 060602.

105. Quantum scarred eigenstates in a Rydberg atom chain: Entanglement, breakdown of thermalization, and stability to perturbations / C. J. Turner, A. A. Michailidis, D. A. Abanin [и др.] // Phys. Rev. B. -2018. - Т. 98.-С. 155134.

106. Lin, C.-J. Exact Quantum Many-Body Scar States in the Rydberg-Blockaded Atom Chain / C.-J. Lin, O. I. Motrunich // Phys. Rev. Lett. - 2019. - Т. 122.-С. 173401.

107. Localized systems coupled to small baths: From Anderson to Zeno / D. A. Huse, R. Nandkishore, F. Pietracaprina [и др.] // Phys. Rev. B.-2015.-Т. 92.-С. 014203.

108. Nandkishore, R. Many-body localization proximity effect // Phys. Rev. B. -2015.-Т. 92.-С. 245141.

109. Many-body localization in the presence of a small bath / K. Hyatt, J. R. Garrison, A. C. Potter, B. Bauer // Phys. Rev. B.-2017. - T. 95.-C. 035132.

110. Marino, J. Many-body localization proximity effects in platforms of coupled spins and bosons / J. Marino, R. M. Nandkishore // Phys. Rev. B. - 2018. — T. 97.-C. 054201.

111. Many-Body Delocalization in the Presence of a Quantum Bath / A. Rubio-Abadal, J. Choi, J. Zeiher [h gp.] // Phys. Rev. X.-2019.-T. 9.-C. 041014.

112. Semerjian, G. Sparse random matrices: the eigenvalue spectrum revisited / G. Semerjian, L. F. Cugliandolo // Journal of Physics A: Mathematical and General.-2002.-T. 35, № 23.-C. 4837.

113. Alt, J. Delocalization transition for critical Erdos-Renyi graphs / J. Alt, R. Ducatez, A. Knowles // Communications in Mathematical Physics. — 2021.-T. 388, № 1.-C. 507-579.

114. Alt, J. Localized Phase for the Erdos-Renyi Graph / J. Alt, R. Ducatez, A. Knowles // Communications in Mathematical Physics. — 2024. — T. 405, № 1.-C. 9.

115. Tarzia, M. Fully localized and partially delocalized states in the tails of Erdos-Renyi graphs in the critical regime // Phys. Rev. B. — 2022. — T. 105. — C. 174201.

116. Bogomolny, E. Modification of the Porter-Thomas Distribution by Rank-One Interaction // Phys. Rev. Lett. - 2017. - T. 118.-C. 022501.

117. Richardson, R. W. A restricted class of exact eigenstates of the pairing-force Hamiltonian // Physics Letters. - 1963. - T. 3, № 6.-C. 277-279.

118. Integrals of motion for one-dimensional Anderson localized systems / R. Modak, S. Mukerjee, E. A. Yuzbashyan, B. S. Shastry // New Journal of Physics. — 2016.-T. 18, № 3.-C. 033010.

119. Statistical localization: From strong fragmentation to strong edge modes / T. Rakovszky, P. Sala, R. Verresen [h gp.] // Phys. Rev. B. - 2020. - T. 101. -C. 125126.

120. Ergodicity Breaking Arising from Hilbert Space Fragmentation in Dipole-Conserving Hamiltonians / P. Sala, T. Rakovszky, R. Verresen [h gp.] // Phys. Rev. X. — 2020. — T. 10.-C. 011047.

121. Shiraishi, N. Systematic construction of counterexamples to the eigenstate thermalization hypothesis / N. Shiraishi, T. Mori // Physical review letters.— 2017.-T. 119, № 3. —C. 030601.

122. Jeevanesan, B. Quantum scar states in coupled random graph models // Phys. Rev. B. —2023. —T. 108. —C. 075131.

123. Surace, F. M. Quantum local random networks and the statistical robustness of quantum scars / F. M. Surace, M. Dalmonte, A. Silva // SciPost Phys. — 2023. —T. 14. —C. 174.

124. Weak ergodicity breaking from quantum many-body scars / C. J. Turner, A. A. Michailidis, D. A. Abanin [h gp.] // Nature Physics. — 2018. — T. 14, № 7. —C. 745—749.

125. Burda, Z. Network transitivity and matrix models / Z. Burda, J. Jurkiewicz,

A. Krzywicki // Phys. Rev. E. — 2004. — T. 69. —C. 026106.

126. Nadakuditi, R. R. Spectra of random graphs with arbitrary expected degrees / R. R. Nadakuditi, M. E. J. Newman // Physical Review E. — 2013. — T. 87, № 1. —C. 012803.

127. Goh, K.-I. Spectra and eigenvectors of scale-free networks / K.-I. Goh,

B. Kahng, D. Kim // Physical Review E. — 2001. — T. 64, № 5. —C. 051903.

128. Bogomolny, E. B. Models of intermediate spectral statistics / E. B. Bogomolny, U. Gerland, C. Schmit // Phys. Rev. E. —1999. — T. 59. —C. R1315-R1318.

129. Bollobas, B. Random graphs. — Cambridge.: Cambridge University Press, 2001. —C. 233—239.

130. Many-body scars as a group invariant sector of Hilbert space / K. Pakrouski, P. N. Pallegar, F. K. Popov, I. R. Klebanov // Physical review letters. — 2020. — T. 125, № 23. —C. 230602.

131. Lindblad, G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — T. 48, № 2. — C. 119— 130.

132. Ashida, Y. Non-Hermitian physics / Y. Ashida, Z. Gong, M. Ueda // Advances in Physics. - 2020. - T. 69, № 3. - C. 249-435.

133. Brody, D. C. Biorthogonal quantum mechanics // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2014. - T. 47, № 3.-C. 035305.

134. Hatano, N. Localization Transitions in Non-Hermitian Quantum Mechanics / N. Hatano, D. R. Nelson // Phys. Rev. Lett. - 1996. - T. 77.-C. 570-573.

135. Hatano, N. Vortex pinning and non-Hermitian quantum mechanics / N. Hatano, D. R. Nelson // Phys. Rev. B.- 1997.-T. 56.-C. 8651-8673.

136. Topological Phases of Non-Hermitian Systems / Z. Gong, Y. Ashida, K. Kawabata [h gp.] // Phys. Rev. X.-2018.-T. 8.-C. 031079.

137. Kawabata, K. Classification of Exceptional Points and Non-Hermitian Topological Semimetals / K. Kawabata, T. Bessho, M. Sato // Phys. Rev. Lett.-2019.-T. 123.-C. 066405.

138. Hasan, M. Z. Colloquium: Topological insulators / M. Z. Hasan, C. L. Kane // Rev. Mod. Phys.-2010.-T. 82.-C. 3045-3067.

139. Biorthogonal Bulk-Boundary Correspondence in Non-Hermitian Systems / F. K. Kunst, E. Edvardsson, J. C. Budich, E. J. Bergholtz // Phys. Rev. Lett. — 2018.-T. 121.-C. 026808.

140. Yao, S. Edge States and Topological Invariants of Non-Hermitian Systems / S. Yao, Z. Wang // Phys. Rev. Lett. - 2018. - T. 121.-C. 086803.

141. Xiong, Y. Why does bulk boundary correspondence fail in some non-hermitian topological models // Journal of Physics Communications. — 2018. — T. 2, № 3.-C. 035043.

142. Kawabata, K. Entanglement Phase Transition Induced by the Non-Hermitian Skin Effect / K. Kawabata, T. Numasawa, S. Ryu // Phys. Rev. X. — 2023.— T. 13.-C. 021007.

143. Okuma, N. Non-Hermitian Topological Phenomena: A Review / N. Okuma, M. Sato // Annual Review of Condensed Matter Physics. — 2023. — T. 14, № 1. —C. 83-107.

144. Luo, X. Universality Classes of the Anderson Transitions Driven by Non-Hermitian Disorder / X. Luo, T. Ohtsuki, R. Shindou // Phys. Rev. Lett. — 2021. —T. 126. —C. 090402.

145. Unifying the Anderson transitions in Hermitian and non-Hermitian systems / X. Luo, Z. Xiao, K. Kawabata [h gp.] // Phys. Rev. Res. — 2022. — T. 4.— C. L022035.

146. Ezawa, M. Non-Hermitian higher-order topological states in nonreciprocal and reciprocal systems with their electric-circuit realization // Phys. Rev. B. — 2019. —T. 99. —C. 201411.

147. Topological funneling of light / S. Weidemann, M. Kremer, T. Helbig [h gp.] // Science. —2020. —T. 368, № 6488. —C. 311—314.

148. Observation of higher-order non-Hermitian skin effect / X. Zhang, Y. Tian, J.-H. Jiang [h gp.] // Nature communications. — 2021. — T. 12, № 1. — C. 5377.

149. Pan, J.-S. Point-gap topology with complete bulk-boundary correspondence and anomalous amplification in the Fock space of dissipative quantum systems / J.-S. Pan, L. Li, J. Gong // Phys. Rev. B. —2021. —T. 103. —C. 205425.

150. Topological Origin of Non-Hermitian Skin Effects / N. Okuma, K. Kawabata, K. Shiozaki, M. Sato // Phys. Rev. Lett. — 2020. — T. 124. —C. 086801.

151. Symmetry and Topology in Non-Hermitian Physics / K. Kawabata, K. Shiozaki, M. Ueda, M. Sato // Phys. Rev. X. — 2019. — T. 9. —C. 041015.

152. Altland, A. Nonstandard symmetry classes in mesoscopic normal-superconducting hybrid structures / A. Altland, M. R. Zirnbauer // Phys. Rev. B. —1997. —T. 55. —C. 1142—1161.

153. Lee, T. E. Anomalous Edge State in a Non-Hermitian Lattice // Phys. Rev. Lett. —2016. —T. 116. —C. 133903.

154. Nakamura, Daichi. Bulk-Boundary Correspondence in Point-Gap Topological Phases / Daichi Nakamura, Takumi Bessho, Masatoshi Sato // Phys. Rev. Lett.-2024.-T. 132.-C. 136401.

155. Bulk-boundary correspondence in disordered non-Hermitian systems / Z.-Q. Zhang, H. Liu, H. Liu [h gp.] // Science Bulletin. - 2023. - T. 68, № 2.-C. 157-164.

156. Generalized Aubry-Andre self-duality and mobility edges in non-Hermitian quasiperiodic lattices / T. Liu, H. Guo, Y. Pu, S. Longhi // Phys. Rev. B. — 2020.-T. 102.-C. 024205.

157. Sa, L. Complex Spacing Ratios: A Signature of Dissipative Quantum Chaos / L. Sa, P. Ribeiro, T. Prosen // Phys. Rev. X.-2020.-T. 10.-C. 021019.

158. Hamazaki, R. Non-Hermitian Many-Body Localization / R. Hamazaki, K. Kawabata, M. Ueda // Phys. Rev. Lett. - 2019. - T. 123.-C. 090603.

159. Huang, Y. Anderson transition in three-dimensional systems with non-Hermitian disorder / Y. Huang, B. I. Shklovskii // Phys. Rev. B. —2020. —T. 101.-C. 014204.

160. Tzortzakakis, A. F. Non-Hermitian disorder in two-dimensional optical lattices / A. F. Tzortzakakis, K. G. Makris, E. N. Economou // Phys. Rev.

B. — 2020. — T. 101.-C. 014202.

161. De Tomasi, G. Non-Hermitian Rosenzweig-Porter random-matrix ensemble: Obstruction to the fractal phase / G. De Tomasi, I. M. Khaymovich // Phys. Rev. B. — 2022. — T. 106.-C. 094204.

162. Neri, I. Spectra of Sparse Non-Hermitian Random Matrices: An Analytical Solution / I. Neri, F. L. Metz // Phys. Rev. Lett. - 2012. - T. 109. - C. 030602.

163. Neri, I. Eigenvalue Outliers of Non-Hermitian Random Matrices with a Local Tree Structure / I. Neri, F. L. Metz // Phys. Rev. Lett. - 2016. - T. 117. —

C. 224101.

164. Metz, F. L. Spectral theory of sparse non-Hermitian random matrices / F. L. Metz, I. Neri, T. Rogers // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical.-2019.-T. 52, № 43.-C. 434003.

165. Metz, F. L. Localization and Universality of Eigenvectors in Directed Random Graphs / F. L. Metz, I. Neri // Phys. Rev. Lett. - 2021. - Т. 126.-С. 040604.

166. Nandkishore, R. Many body localized systems weakly coupled to baths / R. Nandkishore, S. Gopalakrishnan // Annalen der Physik. - 2017. - Т. 529, № 7.-С. 1600181.

167. Fischer, M. H. Dynamics of a Many-Body-Localized System Coupled to a Bath / M. H. Fischer, M. Maksymenko, E. Altman // Phys. Rev. Lett. -2016.-Т. 116.-С. 160401.

168. Signatures of Many-Body Localization in a Controlled Open Quantum System / H. P. Liischen, P. Bordia, S. S. Hodgman [и др.] // Phys. Rev. X.-2017.-Т. 7.-С. 011034.

169. Scardicchio, A. Perturbation theory approaches to Anderson and Many-Body Localization: some lecture notes [Электронный ресурс] / A. Scardicchio, T. Thiery.-2017.-URL: https://arxiv.org/abs/1710.01234.

Приложение А. Модели при наличии частичного

беспорядка

В этом приложении рассматривается устойчивость делокализованных состояний для ИКС, возмущенного 3-циклами (глава 4), и для модифицированного в направленный граф ИКС (глава 5). Рисунок А.1 показывает, что полоса делокализованных состояний остается и в кластеризованной фазе, ц. > Стоит отметить, что в кластеризованной фазе центр спектральной плотности находится при А = -1, как у плотного графа, причиной чего являются плотные кластеры, слабо связанные друг с другом. В свою очередь средний ряд Рисунка А.2 демонстрирует устойчивость и для направленного графа, на примере графа двунаправленностью г = 0.125, прыжковой асимметрией р = 0.5 и долей узлов с беспорядком @ = 0.5.

Рисунок А.1 - Фрактальная размерность в зависимости от собственного значения А и (а) амплитуды беспорядка Ш (р3 = 2) и (б) химического потенциала рз для 3-циклов (Ш = 1000) для ИКС (Ж = 1024) с частичным беспорядком Р = 0.5. Каждая точка усреднена по 100 структурным и диагональным реализациям.

\¥= 0 \¥= 15 \¥= 30

Рисунок А.2 - Сравнение комплексно-значных спектров в частично неупорядоченных и частично направленном ИКС размера N = 1024, со связностью 3 = 8 для различных степеней беспорядка Ш и доли 0 неупорядоченных узлов. Цвет соответствует биортогональной фрактальной размерности Верхний ряд соответствует ненаправленному эрмитовому графу, г = 1 и р = 0.5, второй и третий - направленным графам, двунаправленность г = 0.125 и р = 0.5.

Приложение Б. Фазовые диаграммы для 5- и

6-циклов

Рисунок Б.1 - Фазовая диаграмма 5-циклов. Матрица смежности для КИС в (а) некластеризованной, (б) идеально кластеризованной, (в) неидеально кластеризованной фазах. Панели (г)-(ж) показывает плотности состояний в каждой из фаз: (г) некластеризованной, (д) с ТЕК-состояниями, (е) идеально кластеризованной, (ж) неидеально кластеризованной.

Рисунок Б.2 - Фазовая диаграмма 6-циклов. Матрица смежности для КИС в (а) некластеризованной, (б) идеально кластеризованной, (в) неидеально кластеризованной фазах. Панели (г)-(ж) показывает плотности состояний в каждой из фаз: (г) некластеризованной, (д) с ТЕК-состояниями, (е) идеально кластеризованной, (ж) неидеально кластеризованной.

Приложение В. Локализация в моделях направленных графов

В приложении представлены результаты численного моделирования различных моделей случайных графов c N = 1024 узлов в качестве исходных сетей В.1. Граф Эрдёша-Реньи - это модель Gn,p, в которой каждое из возможных ребер выбирается с вероятностью per [1]. Случайный граф Барабаши-Альберта - модель, использующая принцип преимущественного присоединения. Каждый новый узел имеет т ребер, которые преимущественно присоединяются к существующим узлам с более высокой степенью [26]. Случайный граф Уоттса-Строгатца - это модель сети со структурой малого мира, в которой каждый узел соединен с ближайшими соседями к в кольцевой топологии, а pws - вероятность переключения ребер [25]. Модель регулярной квадратной решетки с периодическими граничными условиями представляет собой двумерный решетчатый граф, в котором каждый узел соединен с ближайшими соседями.

Локализованные состояния в модели Эрдёша-Реньи наблюдаются при всех значениях параметра двунаправленности, если per выше порога перколяции для клик второго порядка, т. е. ребер, р^^01 = 1/N « 0.001 [30], и ограничиваются сверху некоторой критической плотностью сети, значение которой слабо зависит от двунаправленности. В модели Барабаши-Альберта локализованные состояния могут наблюдаться и на тяжелых узлах в случае полностью неориентированного графа, что подробно описано в [50].

Рисунки В.2 и В.3 показывают примеры спектров RRG, окрашенных правой и биортогональной фрактальной размерностью D2 соответственно, в зависимости от величины двунаправленности г и амплитуды беспорядка W.

Бар абаши-Ал ьберт

Уоттс-Строгатц

0.2 0.4 Т 0,6 0.8

Бар абаши-Ал ьберт

0.2 0.4 Г 0,6 0.8

Эрдёш-Реньи

0,2 0.4 Г 0,6 0.8

Эрдёш-Реньи

0.2 0.4 Г 0.6 0.8

Уоттс-Строгатц

0.2 0.4 Г 0.6 0.8

Уоттс-Строгатц

к = 4, рц-я = 0.5

0,4 Г 0.6

(3) Периодическая решетка

0,2 0.4 Г 0,6 0.8 1.0 0.0 0,2 0.4 Г 0.6 0.8 1.0

Рисунок В.1 - Фрактальные размерности И4, усредненные по 8 х 2 реализациям в каждой цветовой ячейке, для отдельных векторов для различных моделей графов с N = 1024 узлами в зависимости от двунаправленности г, прыжковой

асимметрии р и параметров графов.

Рисунок В.2 - Примеры спектров для ИИС й = 4 с N = 1024 в зависимости от двунаправленности г и амплитуды беспорядка Ш. Цвет обозначает правую фрактальную размерность . Для всех панелей диагональный беспорядок имеет одно и то же распределение из [-1/2; 1/2], но умноженное на Ш.

Рисунок В.3 - Примеры спектров для ИКС й = 4 с N = 1024 в зависимости от двунаправленности г и амплитуды беспорядка Ш. Цвет обозначает биортого-нальную фрактальную размерность . Для всех панелей диагональный беспорядок имеет одно и то же распределение из [-1/2; 1/2], но умноженное на Ш.