Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бобков, Владимир Евгеньевич

• Бобков, Владимир Евгеньевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бобков, Владимир Евгеньевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Эллиптические уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью

1.1. Основные результаты

1.2. Анализ функционала по методу расслоений

1.3. Существование знакопеременного решения

1.4. Качественные свойства знакопеременного решения

1.5. Непрерывность множества знакопеременных решений по параметру

Глава 2. Эллиптические уравнения с нелинейностью неопределенного знака

2.1. Основные результаты

2.2. Анализ функционала по методу расслоений

2.3. Существование знакопеременного решения

2.4. Качественные свойства знакопеременных решений

2.5. Непрерывность множества знакопеременных решений по параметру

Глава 3. Эллиптические системы с нелинейностью неопределенного знака

3.1. Основные результаты

3.2. Анализ функционала по методу расслоений

3.3. Свойства критической кривой

3.4. Существование решений задачи

3.5. Непрерывность множества основных состояний

3.6. Асимптотика ветвей основных состояний

3.7. Асимптотика норм основных состояний

3.8. Сравнительный анализ системы уравнений и ее скалярного аналога

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем»

Введение

Актуальность темы исследования. Последние несколько десятилетий характеризуются большим вниманием к исследованию вопросов существования решений краевых задач для различных классов эллиптических уравнений и систем. Исходя из физических потребностей, а также внутренней логики развития математики, особый интерес представляют вопросы о существовании решений, наделенных специальными качественными характеристиками. В частности, выделяются классы решений по свойствам: регулярности (классические, слабые), знакопостоянства/знакопеременности, справедливости/вырождения принципов максимума (строго положительные, компактоны), симметричности/несимметричности, наименьшей энергии (основные состояния), минимальности (в поточечном смысле), по соответствию решений критическим значениям параметров уравнений (бифуркационные точки) и др.

Данная диссертационная работа посвящена развитию теории существования следующих специальных классов решений:

- знакопеременных решений с точным числом узловых областей,

- положительных решений наименьшей энергии (основные состояния). Эти классы решений изучаются применительно к краевым нелинейным эллиптическим задачам со "сложной" геометрией нелинейности, т.е. не монотонной, не коэрцитивной, не однородной, в которой имеется существенная зависимость от параметров. В работе данные классы решений объединяются единой методологией, применяемой к их исследованию, которая основана на развитии вариационных принципов наименьшего действия.

Рассматриваемые в диссертации нелинейные задачи можно разделить на три группы, модельными представителями которых являются:

1. Эллиптическое уравнение с выпукло-вогнутой нелинейностью

- Ари = Л|гг|*~2и + \ир~2и, х€П: и\дп = 0, (1)

где I<<7<P<7<J9* и р* - критический показатель Соболева;

2. Эллиптическое уравнение с нелинейностью неопределенного знака

- Ари = Х\и\р~2и + /(х)\и\'г-2и, хеП, гх|эо = 0, (2)

где 1<р<7<р*и / е Ь°°(0,) может менять знак;

3. Система слабосвязанных эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака

-Ари = Х\и\р~2и +а/(х)\и\а~2\у\0и, и\дп = О,

-Дви = 4- ^ДаОКМ*"2«, х 6 П, = О,

где а,(3 > 0, | + ^г + |г<1,и/е также может менять знак.

Всюду в этих задачах С М^ обозначает непустое открытое связное множество с границей д£2, N > 1, и Л, ¡л е Е.

Задачи (1), (2), (3) имеют вариационную структуру, то есть являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для соответствующих функционалов энергии. Таким образом, между множеством решений рассматриваемых задач и множеством критических точек соответствующих им функционалов энергии имеется взаимно-однозначное соответствие. Объединяющим и определяющим свойством рассматриваемых задач является то, что их энергетические функционалы в различных своих критических точках могут принимать значения разных знаков. Данное свойство осложняет применимость многих стандартных методов нелинейного анализа и отличает изучаемые уравнения от задач с "простой" геометрией нелинейности, например таких модельных задач, как

- Ари = х 6 Г2, и\дп = 0, (4)

где р ^ д. Здесь, в суперлинейном случае р < д, энергия нетривиальных критических точек может быть только положительной, тогда как в сублинейном случае р > д - только отрицательной.

Изучением задач вида (1), (2), (3) в последние 15-20 лет активно занимаются многие исследователи, что характеризуется большим числом публикаций по

данной тематике. Так, вопросам существования решений задач с выпукло-вогнутой нелинейностью типа (1) начиная с работы [1] были посвящены, например, исследования [2-10]. Интерес к задачам вида (1) во-многом связан с тем, что нелинейность таких задач является выпуклой на бесконечности и вогнутой в окрестности нуля, и поэтому (1) наследует качественные свойства как суперлинейных, так и сублинейных задач (см. (4)), что существенно усложняет ее исследование.

Скалярным эллиптическим задачам с нелинейностью неопределенного знака вида (2) также посвящено достаточное число работ (см., например, [11-22]). В том случае, когда / знакопостоянна (/ > 0, либо / < 0 в П), задача (2) хорошо исследована и в настоящее время рассматривается в качестве классического примера во многих учебниках по нелинейному анализу [23]. В то же время, используемые при этом методы трудно применимы, если функция / меняет знак.

В известных работах [2-22] по задачам (1), (2) основное внимание уделялось преимущественно вопросам существования и несуществования положительных решений, существовании кратных положительных решений, множественности абстрактных решений (безотносительно качественных свойств), а также о зависимости найденных решений от параметров задачи. При этом, применялись и развивались различные вариационные и топологические методы. Из этих работ можно сделать заключение, что множество решений задач (1), (2) обладает сложной структурой, и на сегодняшний день можно считать, что эта структура хорошо изучена лишь в контексте положительных решений.

Вместе с тем, в связи с разработкой новых методов и подходов, в последние два десятилетия возросло количество работ, посвященное существованию знакопеременных решений различных нелинейных эллиптических уравнений, см., например, [24-34], а также обзорную работу [35]. Во многом, интерес к изучению знакопеременных решений связан с рядом известных открытых вопросов нелинейного анализа, таких как проблема обобщения на нелинейные задачи теоремы Куранта о нулях собственных функций [36, Гл. IV, §6], [37], определение

геометрии узловых множеств решений [38], задача об оптимальном разбиении [39] и др. С другой стороны, решения переменного знака естественным образом возникают в математических моделях физики, биологии и др. (см., например, [30, 40]). Изучение данных вопросов требует развития имеющихся методов, а также разработки новых.

В последние годы появился ряд работ [28, 41-44], в которых исследовалась задача о существовании знакопеременных решений уравнений с выпукло-вогнутой нелинейностью (1) и некоторых их обобщений. Так, в статьях [41, 42] изучаются радиальные решения задачи (1) в шаре В С N > 1. В этом случае (1) сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, которая может быть изучена с помощью хорошо развитых методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [41] с использованием бифуркационных методов доказывается, что для любого к Е N существует непрерывная ветвь радиальных решений С М х С1[0,1] выходящая из точки (0,0), при этом если (Л, и) е Г\-, то и имеет ровно к узловых областей. Более того, для каждого к £ N существует е М, такое, что для любых А > Ак не существует радиальных решений с к узловыми областями. В работе [42] с помощью топологических методов и оценок числа вращений векторного поля доказано, что для любого Л > 0 существует jo е такое, что для любых целых к > jo существует две пары радиальных решений с ровно к узловыми областями.

С другой стороны, при поиске нерадиальных знакопеременных решений, задача (1) значительно усложняется. Такие решения исследовались в работах [28, 43, 44]. В статье [28] доказывается существование пары знакопеременных решений задачи на интервале (0, Ло), где Ао - неявное критическое значение, введенное в [1, стр. 524]. Доказательство основано на применении варианта теоремы о горном перевале Амбросетти-Рабиновича [45] на упорядоченных интервалах, образуемых верхними и нижними решениями задачи, предложенного авторами. При этом показано, что энергия одного из решений строго отрица-

тельна. В работах [43, 44] доказывается существование одного знакопеременного решения на аналогичном интервале (0, Ао). Основная идея здесь состоит в нахождении знакопеременных решений между минимальным положительным и максимальным отрицательным (в поточечном смысле) решениями рассматриваемого уравнения. Отметим, что в перечисленных выше работах отсутствуют результаты о качественных свойствах решений, таких как число узловых областей, формирование ветвей, свойство наименьшей энергии и др.

Задаче о существовании знакопеременных решений для уравнений с нелинейностью неопределенного знака типа (2) были посвящены работы [28, 46-49]. Так, в работе [46] исследуется случай N = 1, т.е. обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее задаче (2). С использованием метода многообразия Нехари в [46] доказывается существование знакопеременных решений с точным числом узловых областей при любых А 6 1 и условии, что f{x) обладает определенной знакопеременной структурой. В статье [28] доказывается существование одного и трех нерадиальных знакопеременных решений задачи (2) на интервале (—оо, А), где А введено в работе [16]. При этом предполагается, что А £ <т(—Д(Г2)), и функция /(х) 6 С(П) имеет "широкое" нулевое множество:

{х е П : /(х) > 0} П {я е П : /(ж) < 0} = 0.

Здесь сг(—Д(Г2)) - спектр оператора Лапласа с нулевыми условиями Дирихле на границе. Тем не менее, в работе [49, стр. 3495] отмечается, что в доказательстве [28, стр. 390] содержится ошибка. В статье [47] при аналогичных предположениях на функцию /, используя теорию Морса и теорию критических групп, доказано существование одного знакопеременного решения для всех А < А^

Более того, если А ^ <т(—Д(П)) и сг(—Д(П0)), где ^о := € ^ : /{%) =

1 2

и, при этом, множество положительных решений ограничено в И^' , то для всех А > Ах также существует решение переменного знака. Данные результаты были развиты в работе [48]. В работе [49], при ослабленных предположениях

на / и По, доказывается существование и множественность знакопеременных решений задачи (2) в интервале (—оо, Л+), где А+ - порог существования положительных решений (2). При этом, приводятся условия, при которых решения переменного знака существуют для А > А+. Отметим, что в данных работах также отсутствуют результаты о числе узловых областей, формировании ветвей, и других качественных свойствах. Более того, во всех указанных работах рассматривался случай классического оператора Лапласа (р = 2).

Следует отметить, что в приведенных выше работах рассматриваются задачи с нелинейностями, обобщающими нелинейности задач (1), (2). В то же время, примененные в них вариационные и топологические методы, по-видимому, не позволяют получать качественную информацию, например, о числе узловых областей, для знакопеременных решений нерадиального вида. С другой стороны, вариационные методы, основанные на на методе многообразия Нехари [50, 51] дают больше качественной информации и более предпочтительны с точки зрения применения к ним, в дальнейшем, вычислительных методов. Впервые данные подходы для нахождения знакопеременных решений (вообще говоря, не радиально-симметричных) с точным числом узловых областей были применены в работах [24, 31]. Отметим, что в данных работах существенно используется тот факт, что в рассматриваемых в них задачах нетривиальные решения могут принимать только положительные уровни функционала энергии. Это осложняет прямое обобщение используемых в них методов на случай задач (1), (2) со сложной геометрией нелинейности.

Системы линейных и нелинейных эллиптических уравнений постоянно находятся в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям, см. [52-01], а также обзор [62] и ссылки в них. В настоящее время, в основном изучаются вопросы разрешимости для систем и качественные свойства их решений. Тем не менее, по сравнению со скалярными задачами, теория существования для систем уравнений является более сложной, и на сегодняшний день менее развита. Более того, существует не так много работ, где предпри-

нималось бы систематическое изучение ветвей решений и анализ их асимптотического поведения для систем, зависящих от нескольких параметров, как в случае системы (3).

Отметим, что задача (3) является обобщением скалярной задачи (2). Поэтому представляется, что структура множества ее решений должна быть аналогична скалярному случаю. Более того, не трудно видеть, что если р = <?, А = то любому решению т\ задачи (2) соответствует решение (и\, У\) задачи (3) (см. Замечание 3.8.5 в Главе 3). Тем не менее, в диссертации показано, что между структурой ветвей основных состояний задач (2) и (3) имеются значительные различия. Данный факт указывает на сложность по обобщению методов, применявшихся к исследованию скалярной задачи (2), для изучении системы (3). По-видимому, изучение слабосвязанной системы суперлинейных эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака (3) впервые было начато в работе [63]. Отметим, что аналогичные системы со знакопостоянной нелинейностью ранее исследовались и ранее [64]. В работе [63] доказывается существование и множественность решений задачи (3) при А £ [0, Ах), II € [0,/¿х), а также при А е [Ах, Ах + £1), \х е + £2), гДе Ах, /¿х - первые

собственные значения операторов — Ар и — Ад в области П с нулевыми условиями Дирихле, и £\, £2 > 0 - некоторые локальные значения. При этом, главным инструментом служит метод расслоений Похожаева. Тем не менее, в рассуждениях [63] о множественности решений содержится ошибка (см. [65, стр. 6029]). Система (3) исследовалась также в работе [66]. С помощью метода многообразий Нехари и метода расслоений, авторами доказано существование одного решения при А < Ах, < Д1, а также пары решений на локальном множестве А € (Ах, Ах+£х)5 И £ (/¿ъ М 1+^2)- Однако, доказательство существования второй пары решений нельзя считать обоснованным, т.к. основной факт - [66, Лемма 4.2] - не может быть доказан аналогично скалярному случаю, как утверждают авторы. Отметим, что примененные в указанных выше работах методы являются существенно локальными, что делает их использование затруднительным

для получения результатов существования на нелокальных множествах по Л, ¡1. Еще более сложным вопросом является определение максимальных областей существования решений.

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса о существовании ветви знакопеременных решений с точным числом узловых областей для эллиптической задачи с выпукло-вогнутыми нелинейностями вида (1).

2. Исследование вопросов существования и несуществования ветви знакопеременных решений с точным числом узловых областей для эллиптической задачи с нелинейностью неопределенного знака (2).

3. Исследование вопросов существования, несуществования и асимптотического поведения ветви положительных решений наименьшей энергии для системы эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака вида (3) в нелокальных областях параметров (А,^).

Методология и методы исследования.

В диссертационной работе используются метод многообразия Нехари, метод расслоений Похожаева, метод спектрального анализа по процедуре расслоения (Ильясов Я.Ш.), лемма об общей деформации, а также классические методы функционального анализа и вариационного исчисления.

Научная новизна.

В диссертационной работе представлены следующие новые результаты:

1. Доказано существование непрерывной ветви знакопеременных решений с ровно двумя узловыми областями для эллиптической задачи с выпукло-вогнутыми нелинейностями вида (1) на нелокальном интервале (—оо, Ац), где Ац задано по процедуре спектрального анализа по методу расслоений.

2. Доказано существование непрерывной ветви знакопеременных решений с ровно двумя узловыми областями для эллиптической задачи с нелинейностью неопределенного знака (2) на нелокальном интервале (—оо^), где А| задано по процедуре спектрального анализа по методу расслоений. Также получены

условия несуществования такой ветви.

3. Для систем эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака вида (3) найдено семейство критических значений параметров, образующее непрерывную кривую и определяющее максимальную по методу расслоений область на плоскости Л х ¡i. В полученной области доказано существование ветви положительных решений наименьшей энергии для задачи (3). Дано полное описание геометрии данной области, а также в некоторых случаях доказано, что она является максимальной областью существования основных состояний задачи (3). Исследовано асимптотическое поведение найденной ветви на границе критической области.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении вопросов существования знакопеременных решений и решений наименьшей энергии эллиптических уравнений и систем со сложной геометрией нелинейности, а также для нахождения критических значений параметров таких задач.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (2012, Уфа);

- IV International Conference on differential equations and applications dedicated to Ya. Lopatinsky (2012, Донецк, Украина);

- BMS Intensive Course on Evolution Equations and their Applications (2013, Берлин, Германия);

- Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (2013, Уфа);

- Семинар по прикладному анализу и уравнениях в частых производных Университета г. Росток (2014, Росток, Германия);

- The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations

and Applications (2014, Мадрид, Испания).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в б работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [67-70]. При этом, статьи [67, 69] опубликованы в российских изданиях перечня ВАК, а статьи [68, 70] - в журналах, удовлетворяющих достаточному условию для включения в перечень ВАК (индексируются базами Web of Science, MathSciNet, zbMATH), в соответствии с Приказом Минобрнауки России от 25 июля 2014 г. № 793.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [67, 69, 70] выполнены самостоятельно. В статье [68] научному руководителю Я. Ш. Ильясову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Я. Ш. Ильясову за постановку задач, плодотворные обсуждения, помощь в работе над диссертацией и всестороннюю поддержку.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемых обозначений, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография включает 99 наименований.

Глава 1

Эллиптические уравнения с выпукло-вогнутой

нелинейностью

1.1. Основные результаты

Рассматривается задача Дирихле

-Ари = Л к(х)\и\я~2и + к(х) М7_ V жеО, и = 0, х Е сЮ,

ал)

в ограниченной области О, С М.^, N > 1, с гладкой границей дП. Будем предполагать, что весовые функции к(х),Ь(х) <Е Ь°°(0,) удовлетворяют условиям

ess inf к(х) >0 и ess inf h(x) > 0, (1.2)

х&П x£fl

параметр А Gl, и

* I Й при N > р> /1 о\

1<9<P<7<P*, где р = < р (1.3)

I -boo при N < р.

При условиях (1.2) и (1.3) нелинейность задачи (1.1) называется выпукло-вогнутой [1], т.к. является суммой сублинейного "выпуклого" члена Лk(x)\u\q~2u и суперлинейного "вогнутого" члена h(x)\u\1~2u.

Мы будем работать со слабыми решениями задачи (1.1), т.е. функциями и G И/01'р(^), являющимися критическими точками функционала энергии

Ех(и) = -Н(и) - -G(u) - -F(u), р <7 7

где

Н(и) :=

\Vu\pdx, G(u) :=

k(x)\u\qdx, F{u) :=

h(x)\u\1 dx.

n Ü n

Под знакопеременным решением и е задачи (1.1) будем понимать ре-

шение, для которого г^ тах{±^, 0} ^ 0 в П. Отметим, что и^ е И^'^П) (см. Теорему А.0.8). Более того, используя классический bootstrap-мeтoд (см. [71, Лемма 3.2, стр. 114]) несложно показать, что если выполнено условие (1.3), то каждое слабое решение задачи (2.1) принадлежит классу Ь°°(Г2), и, следовательно, классу С1'"^) (см. [72]).

Множество {х е : и(х) = 0} будем называть узловым множеством, а

компоненты связности множества {х £ О : и(х) ^ 0} - узловыми областями (см. [36, 39]).

Отметим, что для любого слабого нетривиального решения и выполняется

Qx{u) (ВЕх{и),и) =

= Щи) - А в (и) - Е{и) = 0,

¿=1

и, следовательно, оно принадлежит так называемому многообразию Нехари

Ях := {г; е <Л{0} : Ях{у) = 0}.

Очевидно, каждое знакопеременное решение задачи задачи (1.1) принадлежит узловому многообразию Нехари

Мх •= {и е И^ : € Ях}-

В работе [7] с помощью спектрального анализа по методу расслоения [73, 74] вводится критическое значение

А* = яЬ ~ р) {7(р-дЛ ™ .п£ ( Н^р{у) \ ° 7(Р ~ Я) \Р{ 7 -Я)) ье\у*"\{0} \0(у)Г^(У) ) '

и доказывается, что для всех А £ (0, Ад) многообразие Нехари состоит из двух непересекающихся компонент, разделенных знаком функционала

Сх{и) := <£> (ОЕх(и),0,и)\с=и = (р - 1 )Щи) - А(д - 1)С(и) - (7 - 1 №).

Метод многообразия Нехари [24, 32] позволяет находить знакопеременные решения задач типа (2.1) как точку минимума функционала энергии Ех на ЛЛх-

15

Однако, в силу того, что Е\ имеет критические точки как с положительной, так и с отрицательной энергией (см. Лемма 2.2.2 ниже), минимизационная последовательность для Е\ по множеству Л4\ сойдется, вообще говоря, к положительному решению. Чтобы преодолеть эту сложность, мы разделяем критические точки в зависимости от знака С\, и ищем знакопеременное решение задачи (1.1) как точку минимума функционала Е\ на следующем подмножестве А4\:

Л/д = {ь 6 : ^ £ Л/-А, < 0}.

Будем называть решение и € Л/д задачи (1.1) основным состоянием на Л/д, если Е\(и) < Е\(у) для любого решения у е Л/д.

Сформулируем основные результаты данной главы.

Теорема 1.1.1. Пусть (1.3) выполнено. Тогда для любого X £ (—оо,Лц) существует знакопеременное решение и\ £ Л/д задачи (1.1) с ровно двумя узловыми областями. Более того, и\ является основным состоянием иаЛ/д/ при этом, если А < 0; то и\ является основным состоянием среди всех знакопеременных решений задачи (1.1), т.е. Е\(и) < Е\(у), для любого знакопеременного решения у б .

Будем говорить, что семейство критических точек и\ функционала Е\ образует непрерывную (в смысле линий уровня Е\) ветвь на интервале (а, 6), если отображение

Я(.)К)) : М) —

является непрерывной функцией.

Теорема 1.1.2. Пусть (1.3) выполнено. Тогда множество основных состоя-нийи\ задачи (1.1) по Л/д образует непрерывную ветвь на интервале (—оо, Ау).

В параграфе 1.2 будут доказаны некоторые вспомогательные утверждения. Доказательству Теоремы 1.1.1 посвящены параграфы 1.3 и 1.4, а доказательству Теоремы 1.1.2 - параграф 1.5.

1.2. Анализ функционала по методу расслоений

Для начала отметим, что вариационная задача, введенная равенством (1.4), может быть получена из следующей системы уравнений

±&Н(и) - А\1Ю{и) - = О,

г*~1н{и) - - р~1Е{и) = о,

которая соответствует случаю, когда Ех^и) — 0 и ^Е\{1и) = 0, для произвольной функции и е И/01'р\{0} (т.е. точка касания функции Е{Ь) := Е\^и) оси £ при Ь > 0). Решая систему (1.5) относительно Л = А(^) и £ = t(u), получим

А(и) = (" , (1-6)

7(Р - Я) \Р{7 -Ч))

Н,Л - ЫР~Я)Н(и) У7'7'1"

Далее, следуя спектральному анализу по методу расслоений [7, 20], из (1.6) получаем критическое значение

Ад = ш£ \(и). ие<'р\{0}

Заметим, что ¿(п) > 0, причем

д2

СХ{и№и)и) = 1(и)2—Ех{1и)

г=г{и)

= < о,

т.е. Ь(и) - точка максимума Ех(и){Ьи) по

V

Рис. 1.2. График расслоенного функционала Е\(1и) по t > О

Предложение 1.2.1. Пусть (1.3) выполнено и и е ТУо'р\{0}. Тогда существует такое Х(и) > 0; что

1. если А > Л(м), то функция Е\(1и) относительно £ > 0 не имеет точек экстремума;

2. при всех А € (0, Л(гг)) функция Ех(Ьи) относительно £ > 0 имеет ровно одну точку минимума ¿1 (и) и одну точку максимума ¿2{и), причем к (и) < г2{и);

3. при А < О функция Ех{Ьи) относительно t > 0 имеет лишь одну точку экстремума - точку максимумами).

Доказательство. Пусть и £ ТУ^МО}. Тогда уравнение -хгЕх^и) = 0 имеет не более двух корней при £ > 0. Действительно, т.к. 1 < д < р < 7 < р*, то из равенства

|\Ех{ги) = у-1(1р-т{и) - ХС(и) - р-Т^и)) = 0

следует, что если £ > 0, то корни уравнения ^ЕХ{Ы) — О совпадут с корнями уравнения

аЛ(£) = ^-^(и) - гр~9Н(и) + Л в (и) = 0. Найдем экстремумы функции ад(£):

а'х(1) = ¿^((т - д)^~рЕ{и) - (р - д)Н(и)) = 0.

Отсюда, в силу того что £ > 0, получаем

(7 - я)Р~рЕ{и) -{р- д)Н(и) = 0.

Единственный корень этого уравнения

( ) \ь-я)т) '

Заметим, что если £ € (0,£(«)), то ад(£) < 0, а если £ > ¿(к), то >0,т.еЛ(и) - точка минимума функции ад(£), являющаяся ее единственным экстремумом при £ > 0. Из вида ад(£) очевидно, что для произвольных Лх, Л2 € К, таких что Ах > Л2, выполнено ахг(£) > ад2(£) Для всех £ > 0. Найдем значение А = А (и), при котором минимум функции с*д(£) касается оси £:

у—д Р~Я

<* " " ™ - (МШ) " я м+"

Отсюда получаем

■у—д у—д

Таким образом, если А > А, то ттад(£) > 0, т.е. уравнение ад(£) = 0 не имеет корней. Следовательно, при А > А функция ЕХ(Ы) относительно £ > 0 не имеет точек экстремума.

Пусть А е (0, А) (см. Рис. 1.3). Тогда аА(£) > 0 при £ ->• 0, и ттаА(£) < 0. Т.к. аА(£) < 0 при £ е (0, £(гг)), то существует единственное tl(u) > 0, такое что ^лС^Си)) = 0. В тоже время, т.к. аА(£) > 0 при £ > £(и) и аА(£) —>• +оо, при

19

ал(£)

ax(t)

t

Рис. 1.3

Рис. 1.4

t —> +00, то существует единственное t'2.(u) > 0, такое что a\(t2(u)) = 0. Таким образом, ti(u) и t2(u) - корни уравнения a\(t) = 0, при этом t\{u) < 12{и). Более того, т.к. —a'x(t) соответствует j^E\(tu), то t\(u) - точка минимума, а 12{и) -точка максимума функции E\(tu) относительно t (см. Рис. 1.2).

Пусть теперь Л < 0 (см. Рис. 1.4). Тогда ад(£) < 0 при t —> 0, и minа\(t) < 0. В силу монотонного убывания ад(^) ПРИ t £ (0,£(п)), на этом промежутке oc\(t) не имеет корней. Аналогично, в силу монотонного возрастания а\(t) при t > t(u) и того, что a\(t) —> +00, при t —» +00, существует единственное ts(u) > 0, такое что a\(h(u)) = 0, т.е. ¿3(14) - искомый корень, причем ¿з^) -точка максимума функции E\{tu) относительно t. □

Замечание 1.2.2. Не сложно убедиться, что А = Л (и), определенная в (1.7), является решением системы

Ej[tu) not> 0.

Следуя процедуре спектрального анализа по методу расслоений [7, 20],

введем критическое значение

Л* = т£ Л(и), (1.9)

где Х(и) определено в (1.7). Предложение 1.2.3. Ар < А*.

Доказательство. Предположим, от противного, что Ад > Л*. Сравнивая Ад и Л* последнее неравенство запишем в виде

(1.10)

7 \Р/

Пусть р — ад, 7 = р[3, где по условию леммы а, ¡5 > 1. Тогда неравенство (1.10) можно записать в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бобков, Владимир Евгеньевич, 2015 год

Список литературы

1. Ambrosetti A., Brezis Н., Cerami G. Combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems // Journal of Functional Analysis. 1994. Vol. 122. P. 519-543.

2. Boccardo L., Escobedo M., Peral I. A Dirichlet problem involving critical exponents // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1995. Vol. 24, no. 11. P. 1639-1648.

3. Bartsch Т., Willem M. On an elliptic equation with concave and convex nonlinearities // Proceedings of the American Mathematical Society. 1995. Vol. 123, no. 11. P. 3555-3561.

4. Ambrosetti A., Garcia Azorero J., Peral I. Multiplicity results for some nonlinear elliptic equations // Journal of Functional Analysis. 1996. Vol. 137, no. 1. P. 219-242.

5. Garcia Azorero J., Peral Alonso I., Manfredi J. J. Sobolev versus Holder local minimizers and global multiplicity for some quasilinear elliptic equations // Communications in Contemporary Mathematics. 2000. Vol. 2, no. 03. P. 385-404.

6. Chen J. Multiple positive solutions for a class of nonlinear elliptic equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2004. Vol. 295, no. 2. P. 341-354.

7. Il'yasov Y. On nonlocal existence results for elliptic equations with convex-concave nonlinearities // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2005. Vol. 61, no. 1. P. 211-236.

8. Sun Y., Li S. A nonlinear elliptic equation with critical exponent: Estimates for extremal values // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2008. Vol. 69, no. 5-6. P. 1856 - 1869.

9. Лубышев В. Ф. Кратные положительные решения эллиптического уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью, содержащей знакопеременный

член // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 167—180.

10. Radulescu V., Repovs D. Combined effects in nonlinear problems arising in the study of anisotropic continuous media // Nonlinear Analysis: Theory, Methods к Applications. 2012. Vol. 75, no. 3. P. 1524-1530.

11. Ouyang T. On the positive solutions of semilinear equations А и + Xu + hup = 0 on the compact manifolds, Part I // Transactions of the American Mathematical Society. 1992. Vol. 331, no. 2. P. 503-527.

12. Ouyang T. On the positive solutions of semilinear equations Au + Xu + hup = 0 on compact manifolds, Part II // Indiana University Mathematics Journal. 1991. Vol. 40, no. 3. P. 1083-1141.

13. Alama S., Tarantello G. On semilinear elliptic equations with indefinite non-linearities // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 1993. Vol. 1, no. 4. P. 439-475.

14. Berestycki H., Capuzzo-Dolcetta I., Nirenberg L. Variational methods for indefinite superlinear homogeneous elliptic problems // NoDEA: Nonlinear Differential Equations and Applications. 1995. Vol. 2, no. 4. P. 553-572.

15. Del Pino M. A., Felmer P. L. Multiple solutions for a semilinear elliptic equation // Transactions of the American Mathematical Society. 1995. Vol. 347, no. 12. P. 4839-4853.

16. Alama S., Tarantello G. On the solvability of a semilinear elliptic equation via an associated eigenvalue problem // Mathematische Zeitschrift. 1996. Vol. 221, no. 1. P. 467-493.

17. Drabek P., Pohozaev S. I. Positive solutions for thep-Laplacian: application of the fibrering method // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. 1997. Vol. 127, no. 04. P. 703-726.

18. Amann H., Lopez-Gomez J. A Priori Bounds and Multiple Solutions for Superlinear Indefinite Elliptic Problems // Journal of Differential Equations. 1998. Vol. 146, no. 2. P. 336 - 374.

19. Il'yasov Y. On positive solutions of indefinite elliptic equations // Comptes

Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics. 2001. Vol. 333, no. 6. P. 533-538.

20. Ильясов Я. Ш. Нелокальные исследования бифуркаций решений нелинейных эллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 6. С. 19-48.

21. Brown К., Zhang Y. The Nehari manifold for a semilinear elliptic equation with a sign-changing weight function // Journal of Differential Equations. 2003. Vol. 193, no. 2. P. 481 - 499.

22. Il'yasov Y., Runst T. Positive solutions of indefinite equations withp-Laplacian and supercritical nonlinearity // Complex Variables and Elliptic Equations. 2011. Vol. 56, no. 10-11. P. 945-954.

23. Struwe M. Variational methods: applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Third edition edition. Springer Science & Business Media, 2000.

24. Castro A., Cossio J., Neuberger J. M. A sign-changing solution for a superlinear Dirichlet problem // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. Vol. 27, no. 4. P. 1041-1053.

25. Bartsch T., Wang Z.-Q. On the existence of sign changing solutions for semilinear Dirichlet problems // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1996. Vol. 7, no. 1. P. 115-131.

26. Castro A., Cossio J., Neuberger J. M. A minmax principle, index of the critical point, and existence of sign-changing solutions to elliptic boundary value problems // Electronic Journal of Differential Equations. 1998. Vol. 1998, no. 02. P. 1-18.

27. Neuberger J. M. A sign-changing solution for a superlinear Dirichlet problem with a reaction term nonzero at zero // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1998. Vol. 33, no. 5. P. 427-441.

28. Li S., Wang Z.-Q. Mountain pass theorem in order intervals and multiple solutions for semilinear elliptic Dirichlet problems // Journal d'Analyse

Mathématique. 2000. Vol. 81, no. 1. P. 373-396.

29. Bartseh T. Critical point theory on partially ordered Hilbert spaces // Journal of Functional Analysis. 2001. Vol. 186, no. 1. P. 117-152.

30. Conti M., Terracini S., Verzini G. Nehari's problem and competing species systems // Annales de l'Institut Henri Poincare (С) Analyse Non Linéaire. 2002. Vol. 19, no. 6. P. 871-888.

31. Castro A., Clapp M. The effect of the domain topology on the number of minimal nodal solutions of an elliptic equation at critical growth in a symmetric domain // Nonlinearity. 2003. Vol. 16, no. 2. P. 579.

32. Bartseh T., Weth T., Willem M. Partial symmetry of least energy nodal solutions to some variational problems // Journal d'Analyse Mathématique. 2005. Vol. 96, no. 1. P. 1-18.

33. Carl S., Motreanu D. Constant-sign and sign-changing solutions of a nonlinear eigenvalue problem involving the p-Laplacian // Differential Integral Equations. 2007. Vol. 20, no. 3. P. 309-324.

34. Motreanu D., Tanaka M. Sign-changing and constant-sign solutions for p-Laplacian problems with jumping nonlinearities // Journal of Differential Equations. 2010. Vol. 249, no. 12. P. 3352-3376.

35. Liu Z., Wang Z.-Q. Sign-changing solutions of nonlinear elliptic equations // Frontiers of Mathematics in China. 2008. Vol. 3, no. 2. P. 221-238.

36. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики, том 1. M.-JI.: ГТТИ, 1933.

37. Drâbek P., Robinson S. В. On the Generalization of the Courant Nodal Domain Theorem // Journal of Differential Equations. 2002. Vol. 181, no. 1. P. 58-71.

38. Якобсон Д., Надирашвили H. С., Тот Д. Геометрические свойства собственных функций // Успехи математических наук. 2001. Т. 56, № 6. С. 67-88.

39. Helffer В., Hoffmann-Ostenhof Т., Terracini S. Nodal domains and spectral minimal partitions // Annales de l'Institut Henri Poincare. 2009. Vol. 26, no. 1. P. 101-138.

40. Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2002.

41. Ambrosetti A., Azorero J. G., Peral I. Quasilinear equations with a multiple bifurcation // Differential and Integral Equations. 1997. Vol. 10, no. 1. P. 37-50.

42. Dalbono F., Dambrosio W. Radial solutions of Dirichlet problems with concave-convex nonlinearities // Nonlinear Analysis: Theory, Methods h Applications. 2011. Vol. 74, no. 7. P. 2720-2738.

43. Motreanu D., Motreanu V. V., Papageorgiou N. S. Onp-Laplace equations with concave terms and asymmetric perturbations // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. 2011. Vol. 141, no. 01. P. 171-192.

44. Motreanu D., Motreanu V. V. Sign-Changing Solutions for Nonlinear Elliptic Problems Depending on Parameters // Handbook of Functional Equations. New York: Springer, 2014. Vol. 95. P. 327-364.

45. Ambrosetti A., Rabinowitz P. Dual variational methods in critical point theory and applications // Journal of functional Analysis. 1973. Vol. 14, no. 4. P. 349-381.

46. Terracini S., Verzini G. Oscillating solutions to second-order ODEs with indefinite superlinear nonlinearities // Nonlinearity. 2000. Vol. 13, no. 5. P. 1501-1514.

47. Chang K.-C., Jiang M.-Y. Dirichlet problem with indefinite nonlinearities // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2004. Vol. 20, no. 3. P. 257-282.

48. Chang K.-C., Jiang M.-Y. Morse theory for indefinite nonlinear elliptic problems // Annales de l'lnstitut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis. 2009. Vol. 26, no. 1. P. 139-158.

49. Ackermann N., Bartsch Т., Kaplicky P., Quittner P. A priori bounds, nodal equilibria and connecting orbits in indefinite superlinear parabolic problems // Transactions of the American Mathematical Society. 2008. Vol. 360, no. 7. P. 3493-3539.

50. Nehari Z. On a class of nonlinear second-order differential equations // Transactions of the American Mathematical Society. I960. Vol. 95. P. 101-123.

51. Szulkin A., Weth T. The method of Nehari manifold // Handbook of nonconvex analysis and applications / Ed. by D. Y. Gao, D. Motreanu. International Press of Boston, Inc., 2010. P. 597-632.

52. Бицадзе А. В. К теории систем уравнений с частными производными // Тр. МИАН СССР. 1976. Т. 142. С. 67-77.

53. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. матем.журн. 1953. Т. 5, № 2. С. 123-151.

54. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 39, № 81. С. 51-146.

55. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Москва: Наука, 1964.

56. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1974. Т. 95, № 137. С. 130-145.

57. Clément P., De Figueiredo D. G., Mitidieri E. Positive splutions of semilinear elliptic systems // Communications in partial differential equations. 1992. Vol. 17, no. 5-6. P. 923-940.

58. Felmer P., Manâsevich R. F., de Thélin F. Existence and Uniquenss of Positive Solutions for Certain Quasilinear Elliptic Systems // Communications in Partial Differential Equations. 1992. Vol. 17, no. 11-12. P. 2029.

59. Cuesta M., Takâc P. Nonlinear eigenvalue problems for degenerate elliptic systems // Differential and Integral Equations. 2010. Vol. 23, no. 11/12. P. 1117-1138.

60. Drabek P., Stavrakakis N., Zographopoulos N. et al. Multiple non-semitrivial solutions for quasilinear elliptic systems // Differential and Integral Equations.

2003. Vol. 16, no. 12. P. 1519-1532.

61. Chhetri M., Girg P. Existence and nonexistence of positive solutions for a class of superlinear semipositone systems // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2009. Vol. 71, no. 10. P. 4984-4996.

62. De Figueiredo D. G. Semilinear elliptic systems: a survey of superlinear problems // Resenhas do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de Sao Paulo. 1996. Vol. 2, no. 4. P. 373-391.

63. Bozhkov Y., Mitidieri E. Existence of multiple solutions for quasilinear systems via fibering method // Journal of Differential Equations. 2003. Vol. 190, no. 1. P. 239-267.

64. De Thelin F., Velin J. Existence and Nonexistence of Nontrivial Solutions for Some Nonlinear Elliptic Systems // Revista Matemática Complutense. 1993. Vol. 6, no. 1. P. 153.

65. Vélin J. On an existence result for a class of (p, (/)-gradient elliptic systems via a fibering method // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2012. Vol. 75, no. 16. P. 6009-6033.

66. Yang G., Wang M. Existence of multiple positive solutions for a p-Laplacian system with sign-changing weight functions // Computers & Mathematics with Applications. 2008. Vol. 55, no. 4. P. 636-653.

67. Бобков В. E. О существовании знакопеременного решения эллиптических уравнений с выпукло-вогнутыми нелинейностями // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 2. С. 18-30.

68. Bobkov V., Il'yasov Y. Asymptotic behaviour of branches for ground states of elliptic systems // Electronic Journal of Differential Equations. 2013. Vol. 2013, no. 212. P. 1-21.

69. Бобков В. E. О существовании непрерывной ветви знакопеременных решений эллиптических уравнений с выпукло-вогнутыми нелинейностями // Дифференциальные Уравнения. 2014. Т. 50, № 06. С. 768-779.

70. Bobkov V. Least energy nodal solutions for elliptic equations with indefinite non-

linearity // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2014. no. 56. P. 1-15.

71. Drábek P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities. Walter de Gruyter, 1997. Vol. 5.

72. Lieberman G. M. Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1988. Vol. 12, no. 11. P. 1203-1219.

73. Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 6. С. 1327-1331.

74. Ильясов Я. Ш. О процедуре проективного расслоения функционалов над банаховыми пространствами // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 156-163.

75. Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Ч. 1. Общая теория. М.: Изд-во ин. лит., 1962.

76. Vázquez J. L. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations // Applied Mathematics and Optimization. 1984. Vol. 12, no. 1. P. 191-202.

77. Drábek P., Milota J. Methods of nonlinear analysis: applications to differential equations. Springer, 2013.

78. Berestycki H., Capuzzo-Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1994. Vol. 4, no. 1. P. 59-78.

79. Anane A. Etude des valeurs propres et de la résonance pour l'opérateur p-Laplacien: Ph. D. thesis / Thèse de doctorat, ULB. 1987.

80. Drábek P., Krejci P., Takác P. Nonlinear differential equations. Chapman and Hall/CRC, 1999.

81. Lindqvist P. On the equation divflVu\p~2\/u) + X\u\p~2u = 0 // Proceedings of the American Mathematical Society. 1990. Vol. 109, no. 1. P. 157-164.

82. Drábek P., Robinson S. B. Resonance Problems for thep-Laplacian // Journal of Functional Analysis. 1999. Vol. 169, no. 1. P. 189-200.

83. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Москва: Наука, 1989. С. 463.

84. Ambrosio L., Buttazzo G., Dancer N. et al. Calculus of variations and partial differential equations. Topics on geometrical evolution problems and degree theory. Springer, 2000.

85. Il'yasov Y., Runst T. On nonlocal calculation for inhomogeneous indefinite Neumann boundary value problems // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2005. Vol. 22, no. 1. P. 101-127.

86. Il'yasov Y., Egorov Y. Hopf boundary maximum principle violation for semilinear elliptic equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2010. Vol. 72, no. 7. P. 3346-3355.

87. Boccardo L., de Figueiredo D. G. Some remarks on a system of quasilinear elliptic equations // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2002. Vol. 9, no. 3. P. 309-323.

88. De Figueiredo D. G. Semilinear elliptic systems: existence, multiplicity, symmetry of solutions // Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations. 2008. Vol. 5. P. 1-48.

89. Похожаев С. И. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач // Тр. МИАН СССР. 1990. Т. 192. С. 146-163.

90. Zeidler Е. Nonlinear Functional Analysis and its Application III.: Variational Methods and Optimization. Springer-Verlag GmbH, 1985.

91. Allegretto W., Huang Y. X. A Picone's identity for the p-Laplacian and applications // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1998. Vol. 32, no. 7. P. 819-830.

92. Klenke A. Probability Theory: A Comprehensive Course, 2nd ed. Springer, 2014.

93. Ильясов Я. Ш. Функционал Эйлера для уравнений с р-лапласианом как функция спектрального параметра // Тр. МИАН. 1996. Т. 214. С. 175-186.

94. Бобков В. Е. О критической спектральной кривой для эллиптических систем с нелинейностью неопределенного знака // Труды VI международ-

ной школы-конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. С. 18-21.

95. Bobkov V., Il'yasov Y. Maximal existence domains of positive solutions for two-parametric systems of elliptic equations // arXiv preprint. 2014. P. 21. 1406.5275.

96. Kinderlehrer D., Stampacchia G. An introduction to variational inequalities and their applications. SIAM, 2000. Vol. 31.

97. Willem M. Minimax Theorems. Birkhauser Boston, 1996.

98. Miranda C. Un'osservazione su un teorema di Brouwer // Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. 1940. Vol. 3. P. 5-7.

99. Vrahatis M. N. A short proof and a generalization of Miranda's existence theorem // Proceedings of the American Mathematical Society. 1989. Vol. 107, no. 3. P. 701-703.