Крамеровские асимптотики в системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Бахтин, Виктор Иванович

• Бахтин, Виктор Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бахтин, Виктор Иванович

Введение.

§ 1. Метод усреднения.

§ 2. Крамеровские асимптотики.

§ 3. Вычисление крамеровских асимптотик.

§ 4. Динамические системы Перрона-Фробениуса.

§ 5. Системы с гиперболическими быстрыми движениями.

Глава 1. Каскад с марковскими быстрыми движениями.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Формулировка результатов.

§ 3. Свойства оператора условного математического ожидания.

§ 4. Разложение невязок.

§ 5. Доказательство теоремы 2.1 и дополнений 2.1, 2.2.

§ 6. Доказательство теоремы 2.3 и дополнения 2.3.

§ 7. Теорема Крамера с двумя невязками.

§ 8. Доказательство теоремы Крамера.

Глава 2. Инвариантные меры на гиперболическом аттракторе.

§ 1. Динамические системы Перрона-Фробениуса.

§ 2. Гиперболический атлас, листы и следы.

§ 3. Слоистые функции и оператор взвешенного сдвига.

§ 4. Инвариантные меры и вероятностные теоремы на гиперболическом аттракторе.

§ 5. Гладкая зависимость инвариантной меры от параметра.

§ 6. Операторы Перрона-Фробениуса.

Глава 3. Построение сильно инвариантного конуса в пространстве слоистых функций.

§ 1. Свойства образов листов.

§ 2. Свойства образов следов.

§ 3. Перемешивание следов.

§ 4. Стандартное представление образов следов.

§ 5. Инвариантный конус в пространстве слоистых функций.

§ 6. Доказательство теоремы 2.5.3.

Глава 4. Каскад с быстрыми гиперболическими движениями.

§ 1. Определение каскада с быстрыми гиперболическими движениями.

§ 2. Слоистые функции на косых следах.

§ 3. Асимптотическая теорема.

§ 4. Доказательство асимптотической теоремы.

§ 5. Вероятности больших уклонений.

Глава 5. Свойства оператора взвешенного сдвига.

§ 1. Свойства образов косых листов.

§ 2. Свойства образов косых следов.

§ 3. Простейшие свойства пространства слоистых функций и оператора взвешенного сдвига.

§ 4. Перемешивание косых следов.

§ 5. Доказательство теоремы 4.2.5.

§ 6. Доказательство теоремы 4.5.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Крамеровские асимптотики в системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями»

Данная работа посвящена методу усреднения в динамических системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями, в которых быстрые движения образуют либо эргодическую цепь Маркова, либо детерминированный каскад с гиперболическим аттрактором. Ее итоговый результат можно сформулировать одним предложением: доказано существование крамеровских асимптотик для вероятностей больших уклонений от усредненного движения и найдена аналитическая процедура для их вычисления.

Оказалось, что порождаемые такими системами полугруппы и возмущения полугрупп операторов взвешенного сдвига обладают рядом неожиданных и удивительных свойств. Самое важное из этих свойств, позволяющее получать очень сильные вероятностные теоремы, — это существование асимптотического разложения возмущенной полугруппы по степеням малого параметра на отрезках времени, обратно пропорциональных малому параметру. А самое удивительное — это форма указанного асимптотического разложения. В частности, каждый его коэффициент является суммой четырех разнотипных слагаемых, и эти слагаемые нужно находить как решения четырех уравнений совершенно различной природы.

По сути дела, один и тот же результат (крамеровские асимптотики) получен для двух типов систем. В них медленные движения происходят в области евклидова пространства и определяются векторным полем, зависящим от медленной и быстрой переменных. Быстрые же движения в первом случае образуют цепь Маркова на абстрактном вероятностном пространстве (с дискретным временем), а во втором случае — каскад, обладающий гиперболическим перемешивающим аттрактором. Однако не вызывает сомнений, что основной метод доказательства может иметь гораздо более широкий круг применений. В частности, с его помощью уже получены (но не вошли в диссертационную работу) аналогичные результаты для стохастических процессов с быстрыми диффзионными движениями.

Опишем в самых общих чертах, не приводя никаких точных формулировок, основные понятия и идеи этой работы.

§ 1. Метод усреднения

Пусть в динамической системе медленные движения происходят со скоростью порядка единицы, а быстрые со скоростью порядка 1/е. Сущность метода усреднения состоит в отбрасывании быстрых движений при изучении медленных. Дело в том, что медленное движение часто удается представить в виде суммы быстрых, но малых по амплитуде колебаний, и гладкого усредненного движения, определяющего некоторую динамическую систему на пространстве медленных переменных. Эта динамическая система называется усредненной. В ней отсутствуют быстрые переменные, и ее изучать легче, чем исходную. Обосновать метод усреднения — это значит доказать, что истинное медленное движение в каком-либо смысле мало отличается от усредненного.

Обычно вопроса, как построить усредненную систему, не возникает. Как правило, на фазовом пространстве быстрых движений имеется естественная инвариантная мера, а вся процедура усреднения сводится к вычислению интегрального среднего по этой мере от векторного поля, определяющего медленные движения. Однако имеется один важный класс динамических систем, составляющий исключение из этого правила. Это гиперболические системы, на фазовом пространстве которых изначально не задана никакая инвариантная мера, а ее построение является отдельной нетривиальной задачей.

Существуют два основных типа оценок погрешности метода усреднения. В первом случае оценивается просто максимум осциллирующей составляющей медленного движения для всех или большинства начальных условий. При этом длина отрезка времени, на котором рассматриваются траектории, может быть либо фиксированной, либо асимптотически расти вместе с убыванием малого параметра е. По-видимому, первая попытка математически строгого доказательства оценки такого типа была предпринята Фату [69]. Общие идеи, касающиеся дифференциальных уравнений с быстро осциллирующей правой частью, восходят к монографиям Крылова и Боголюбова [50, 51]. Завершенную форму они приобрели в работах Гих-мана [41], Красносельского и Крейна [48].

Затем стали изучать системы с быстрыми и медленными движениями, в которых быстрые движения чаще всего происходили на торе и были условно-периодичны. Первая работа такого рода принадлежит Боголюбову и Зубареву [27]. Впоследствии эти исследования получили бурное развитие благодаря усилиям Митропольского, Самойленко [28, 29, 54], Волосова и Моргунова [40], а также многих других авторов. Выдающиеся результаты для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, были доказаны Колмогоровым [47], Арнольдом [3], а затем уточнены Нехороше-вым [57] и Лошаком [52, 79].

Системы общего вида с резонансами изучали Аносов [1], Касуга [74], Арнольд [4], Нейштадт [55, 56], Бахтин [5, 6, 7], Лошак [68]. Для них типичный результат таков: погрешность метода усреднения на конечном отрезке времени по порядку не превосходит £& /^ для всех начальных условий за исключением множества меры ц. Эту меру можно выбирать произвольно, а положительное число 6 определяется системой, причем для большинства (в некотором метрическом смысле) систем можно взять 6 = 1/2 [56, 5, 6]. Это утверждение может быть дополнено и уточнено в случае одно- и двухчастотных систем [4, 55, 7, 27]. Например, в одно-частотной системе общего положения погрешность усреднения имеет порядок е1/Г4 для всех начальных условий, кроме множества меры порядка у/ё [7]. Если же частота не обращается в нуль, то погрешность не превосходит е для всех начальных условий [27].

Оценки второго типа носят вероятностный характер. Они применяются к системам, в которых быстрые движения обладают сильными стохастическими свойствами. Оказывается, в этом случае разность между истинным и усредненным движениями не просто мала, но еще удовлетворяет центральной предельной теореме со среднеквадратичным отклонением порядка у/е. А вероятность отклонения порядка е6, где 8 < 1/2, будет экспоненциально малой. Опишем эти результаты более подробно.

Первопроходцами в этой области были Вентцель и Фрейдлин с их основополагающей монографией "Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений" [32]. Они изучали вероятностные характеристики различных типов поведения траекторий в ситуации, когда медленное движение подвергается малой диффузии. Для этого ими был создан универсальный метод функционала действия на пространстве траекторий, который оказался применим к очень широкому кругу задач. Более того, по-видимому все (иных я просто не знаю) опубликованные до сих пор работы о больших уклонениях в принципе усреднения опираются именно на этот метод.

Не вдаваясь в детали, скажем, что он позволяет найти саму усредненную траекторию (как наиболее вероятную), а также, что самое интересное, для любого наперед заданного непрерывного пути вычислить асимптотику вероятности того, что движение будет происходить в малой трубчатой окрестности этого пути. Причем путь не обязательно должен быть фиксирован при стремлении к нулю маг лого параметра е. Разность между указанным путем и усредненной траекторией (а также размер трубчатой окрестности) можно пронормировать множителем е&, где 8 € [0,1/2). Иными словами, можно получить асимптотику вероятности любого типа движения в е6 -окрестности усредненного.

Приведем примеры систем с быстрыми и медленными движениями, к которым можно применять метод функционала действия. Сам Фрейдлин в [65] рассмотрел систему х = еь{х,у), у = Ъ(х,у) + а(у)и(1), в которой медленная переменная х принадлежит риманову многообразию, быстрая переменная у принадлежит компактному риманову многообразию, аЦ() — вине-ровский процесс той же размерности, что и у. Вентцель в [33] рассмотрел широкий класс марковских процессов, в которых на детерминированные медленные движения накладываются относительно малые случайные возмущения типа скачков и диффузии, но быстрые движения при этом отсутствуют.

Довольно долго оставался открытым вопрос о построении функционала действия для более общей системы

Гх = еь{х,у), у = Ъ(х,у) + а(х,у)и(Ь), в которой быстрая диффузия зависит от медленной переменной. Он был положительно решен Веретенниковым [39, 85]. Стоит также отметить, что Веретенников внес значительный вклад в изучение системы (1) в случае некомпактной области изменения быстрой переменной [36, 38, 83] и в случае периодической зависимости коэффициентов (1) от времени [34, 35]. В [37, 72, 84] функционал действия построен для аналогичных систем с дискретным временем.

Метод функционала действия применим и в том случае, когда быстрые движения образуют гиперболическую динамическую систему. Пусть, например, на компактном многообразии У действует топологически транзитивный гиперболический поток Т*, а /х — одна из его гиббсовских инвариантных мер (определения см. в [2, 30, 63]). Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение х = ь(х,Т*у). (3)

Его усреднение имеет вид х = й(я)> где д(х) = /у В работах Минасяна [53] и Кифера [75, 76] доказано, что нормированная (множителем е-1/2) разность между решением уравнения (3) и соответствующей усредненной траекторией удовлетворяет центральной предельной теореме, и для нее получены оценки вероятностей больших уклонений (по отношению к вероятностной мере //).

Необходимо отметить, что универсальность метода функционала действия сопряжена с некоторыми его недостатками. Во-первых, из него не вытекает центральная предельная теорема для медленных движений. Поэтому до сих пор ее удавалось доказывать лишь для систем, в которых быстрые движения не зависят от медленных. Во-вторых, асимптотики вероятностей больших уклонений, определяемые функционалом действия, довольно грубы и имеют лишь точность логарифмической эквивалентности. Это означает, что отношение логарифма вероятности к логарифму ее асимптотики стремится к единице, но сама вероятность может отличаться от своей асимптотики субэкспоненциально растущим множителем. Эти недостатки проистекают из того, что все вероятности оцениваются при помощи кусочно-линейных приближений к непрерывным траекториям. При таком подходе вряд ли есть смысл ожидать высокой точности. Кроме того, если диффузионная составляющая медленного движения вырождается по какому-либо направлению, то функционал действия обращается в бесконечность и не дает даже грубой асимптотики соответствующих вероятностей, а только оценку сверху.

Вообще, по поводу усреднения в стохастических системах давно укоренилось следующее мнение (оно отчетливо выражено в [32], с. 290). Поскольку среднеквадратичное отклонение истинного медленного движения от его усреднения имеет порядок у/е, а нормированное отклонение является случайной величиной, распределенной в первом приближении по нормальному закону, то асимптотического разложения по степеням малого параметра е для медленной компоненты траектории не существует. Этот аргумент отчасти служит моральным оправданием низкой точности метода функционала действия. Он может породить ложное впечатление, что в рассматриваемой ситуации говорить о каком-либо асимптотическом разложении по степеням е неуместно.

Ложное оно потому, что следует искать асимптотическое разложение не для индивидуальных траекторий, а для их закона распределения. И попытки в этом направлении делались, правда, не для систем с быстрыми и медленными движениями, а для марковских процессов. Например, в [46] вычисляется асимптотика переходных плотностей процессов с малой диффузией. А в [44] находится асимптотика выражения Еехр{е~^(:Е^)} для марковского процесса хг, имеющего скорость порядка е. В нем ^ может быть либо гладкой функцией на фазовом пространстве, либо гладким интегральным функционалом на множестве траекторий. Однако непрерывная переходная плотность есть не у всякого процесса, а из асимптотики Еехр{£1^(х^£)} еще не вытекает асимптотика распределения случайной величины Р{хф). В данной же работе вычисляется точная асимптотика распределения указанной случайной величины в области, охватывающей большие уклонения, для систем с медленными и быстрыми движениями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бахтин, Виктор Иванович, 2001 год

1. Аносов Д. В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблкяцимися решениями // Изв. АН СССР, сер. матем. 1960. Т. 24, вып. 5. С. 721-742.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1967. N 90. 210 с.

3. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН, 1963. Т. 18, вып. 6. С. 91-192.

4. Арнольд В. И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы // ДАН СССР. 1965. Т. 161, N 1. С. 9-12.

5. Бахтин В. И. Об усреднении в многочастотных системах // Функц. анализ. 1986. Т. 20, вып. 2. С. 1-7.

6. Бахтин В. И. О методе усреднения в многочастотных системах. Кандидатская диссертация. Москва, 1987.

7. Бахтин В. И. Усреднение в одночастотной системе общего положения // Дифферент уравнения. 1991. Т. 27, N 9. С. 1493 1505.

8. Бахтин В. И. Прямой метод построения инвариантной меры на гиперболическом аттракторе // Известия РАН, сер. матем. 1992. Т. 56, N 5. С. 934-957.

9. Бахтин В. И. Центральная предельная теорема в банаховых алгебрах // Весщ АН Беларуси, сер. ф1з.-мат. навук. 1994. N 2. С. 42-48.

10. Бахтин В. И. Обобщение спектрального метода доказательства центральной предельной теоремы на случай степенного перемешивания // Весщ АН Беларуа, сер. ф1з.-мат. навук. 1994. N 4. С. 37-44.

11. Бахтин В. И. Случайные процессы, порожденные гиперболической последовательностью отображений, I // Известия РАН, сер. матем. 1994. Т. 58, N 2. С. 40-72.

12. Бахтин В. И. Случайные процессы, порожденные гиперболической последовательностью отображений, II // Известия РАН, сер. матем. 1994. Т. 58, N 3. С. 184 195.

13. Бахтин В. И. Большие уклонения случайных величин с конечным числом семиинвариантов // Весщ АН Беларуа, сер. ф1з.-мат. навук. 1995. N 1. С. 41-46.

14. Бахтин В. И. Большие уклонения при степенном перемешивании // Теор. вер. и примен. 1995. Т. 40, вып. 4. С. 878-881.

15. Бахтин В. И. Усреднение вдоль цепи Маркова // Функц. анализ. 1996. Т. 30, вып. 1. С. 54-56.

16. Бахтин В. И. Большие уклонения случайной величины с конечным чиглом семиинвариантов, значения которых вычислены приближенно // Теор. мер. и примем. 1997. Т. 42, вып. 3. С. 603 608.

17. Бахтин В. И. Крамсровскис асимптотики в системе с медленными и Марков скими быстрыми движениями // Теор. вер. и примен. 1999. Т. 44, выи. 1. С. 14 33.

18. Бахтин В. И. О методе усреднения в системе с быстрыми гиперболическими движениями // Труды ин-та математики HAH Беларуси. 2000. Т. Г>. С. 2.1 26.

19. Бахтин В. И. Сверхрегулярные возмущения расслоенных эргодических полугрупп // Доклады HAH Беларуси. 2000. Т. 44, N 5. С. 9 11.

20. Бахтин В. И. Асимптотика сверхрегулярных возмущении полугрупп операторов // Доклады HAH Беларуси. 2001. Т. 45, N 1. С. 5-8.

21. Бахтин В. И. Динамические системы Перрона Фробениуса // Доклады HAH Беларуси. 2001. Т. 45, N 2. С. 8 11.

22. Бахтин В. И. Слоистые функции и оператор усредненного взвешенного сдвига для возмущений гиперболических отображений // Деп. в ВИНИТИ 23.03.2001, N 721 В2001. 35 с.

23. Бахтин В. И. Крамеровские асимптотики в методе усреднения для систем с быстрыми гиперболическими движениями // Деп. в ВИНИТИ 07.05.2001, N 1185 В2001. — 31 с.

24. Бахтин В. И. Крамеровские асимптотики в системе с. быстрой диффузией // Труды ин-та математики HAH Беларуси. 2001. Т. 10. С. 29 32.

25. Бахтин В. И. Теорема Крамера с двумя невязками // Доклады I1AII Беларуси. 2001. Т. 45, N 6. С. 49 53.

26. Благовещенский Ю. Н., Фрейдлин М. И. Некоторые свойства диффузионных процессов, зависящих от параметра // ДАН СССР. 1961. Т. 138, N 3. С. 508 511.

27. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н. Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле // Укр. мат. журнал. 1955. Т. 7, N 1. С. 5 17.

28. Боголюбов Н. Н., Митрополъский 10. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 410 с.

29. Боголюбов Н. IL, Митрополъский 10. А., Самойлснко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1969. 244 с.

30. Боуэн Р. Методы символической динамики. Сб. статей. М.: Мир, 1979. — 245 с.

31. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986. —- 448 с.

32. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979. 424 с.

33. Вентцель А. Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука, 198G. 17G с.

34. Веретенников A. IO. О больших уклонениях п принципа усреднении для стохастических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, II // Известия АН СССР, сер. матем. 1991. Т. 55, N 4. С. 691 715.

35. Веретенников А. К). О больших уклонениях для систем стохастических уравнений Ито // Теор. вер. и примсн. 1991. Т. 3G, вып. 4. С. G25 G34.

36. Веретенников А. Ю. О больших уклонениях в принципе усреднения для стохастических разностных уравнений на. торе // Труды Мат. ин-та им. Стеклова. 1993. Т. 202. С. 33 41.

37. Веретенников А. К). О больших уклонениях для стохастических дифференциальных уравнений с малой диффузией и усреднением // Теор. вер. и примсн. 1998. Т. 43, вып. 2. С. 349 351.

38. Веретенников А. Ю. О больших уклонениях в принципе усреднения для сто хастических дифференциальных уравнений с "полной зависимостью" // Теор. вер. и примсн. 1998. Т. 43, вып. 4. С. 765 767.

39. Бологое В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных коле бательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.

40. Гихман И. И. Но поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр. мат. журнал. 1952. Т. 4, N 2. С. 215 218.

41. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1982. G12 с.

42. Далецкий Ю. JI., Белополъская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. Киев: Выща школа, 1989. 293 с.

43. Дубровский В. Н. Точные асимптотические формулы лапласовского типа для марковских процессов // ДАН СССР. 197G. Т. 226, N 5. С. 1001 1001.

44. Колмогоров А. П. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, N 4. С. 527 530.

45. Красносельский М. А., Крепи С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // УМН. 1955. Т. 10, вып. 3. С. 147 152.

46. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа,. М.: На,ука., 1977.- 400 с.

47. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев: Изд-во АН УССР, 1934. 108 с.

48. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Киев, Изд-во АН УССР, 1937. 3GC с.

49. Лошак II. Каноническая теория возмущений: подход, основаный на. совместных приближениях // УМН. 1992. Т. 47, вып. G. С. 59 140.

50. Минасян В. Б. Принцип усреднения и теорема о больших уклонениях для некоторого семейства расширений У-потока // УМН. 1980. Т. 35, выи. 2. С. 215 216.

51. Митрополъский К). А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Hay кова Думка, 1971. 439 с.

52. Нейштпадгп А. И. О прохождении через резопаисы в длухчастотной задаче // ДАН СССР. 1975. Т. 221, N 2. С. 301 304.

53. Нейштадтп А. И. Об осреднении в многочастотных системах, II // ДЛИ СССР. 1976. Т. 226, N 6. С. 1295-1298.

54. Нехорошее II. II. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоно вых систем, близких к интегрируемым // УМН. 1977. Т. 32, вып. 6. С. 5-66.

55. Лесин Я. Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем // В сб. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985. Т. 2. С. 123 173.

56. Петров В. В. Обобщение предельной теоремы Крамера // УМН. 1954. Т. 9, вып. 4. С. 195- 202.

57. Cay лис JI., Статулявичус В. Предельные теоремы о больших уклонениях. Вильнюс: Мокслас, 1989. 208 с.

58. Синай Я. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы // Функц. анализ. 1968. Т. 2, N 1. С. 64 89.

59. Синай Я. Г. Построение марковских разбиений // Функц. анализ. 1968. Т. 2, N 3. С. 70 80.

60. Синай Я. Г. Гиббсовские меры в эргодической теории // УМН. 1972. Т. 27, вып. 4. С. 21 64.

61. Фсллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. М.: Мир, 1984. — 752 с.

62. Фрсйдлин М. И. Принцип усреднения и теоремы о больших уклонениях // УМН. 1978. Т. 33, вып. 5. С. 107 -160.

63. Фридман А. Уравнения г частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. ~ 427 с.

64. Cramer Н. Sur vin nouveau theoreme limit,e <le la theorie des probability // Act. Sci. ct Ind. 1938. F. 736.

65. Dumas H. S., Golse F., Lochak P. Multiphase averaging for generalized flows on manifolds // Ergjdic Theory and Dynamical Systems. 1994. V. 14, no. 1. P. 53 G7.

66. Fatou P. Sur le inouvement d'un systorne soumis a. des forces a. court,с pe.riode // Bull. Soc. Math. Franco. 1928. V. 50, no. 12. P. 98 139.

67. Grama I. The probabilities of large deviations for sornimartingalos // S(,ocha.stics and Stochastics Reports. 1995. V. 54, no. 1-2. P. 1 19.

68. Grama I. On moderate deviations for martingales // Ann. Probab. 1997. V. 25, no. 1. P. 152 183.

69. Gulinsky О. V., Veretennikov A. Yu. Large deviations for discrete-time processes with averaging. Utrecht, The Netherlands: VSP, 1993.

70. Hoflmuer F., Keller G. Ergodic properties of invariant, measures for piecewise mono-tonic transformations // Math. Z. 1982. V. 180, по. 1. P. 119 140.

71. Kasuga T. On the adiabatic theorem for the hamiltonian system of differential equations in the classical mechanics, I, II, III // Proc. Japan acad. 196.1. V. 37, no. 7. P. 366-382.

72. Kifer Yu. Averaging in dynamical systems and large deviations // Invent,. Math. 1992. V. 110, no. 2. P. 337 370.

73. Kifer Yu. Limit theorems in averaging for dynamical systems // Ergodic Theory Dyn. Syst,. 1995. V. 15, no. 6. P. 1143 1172.

74. Lasota A., Yorke J. A. On the existence of invariant measures for piecewise mono-tonic transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 186. P. 481 188 (1974).

75. Liptser R. Large deviations for two scaled diffusions // Probab. Theory Relat. Fields. 1996. V. 106, no. 1. P. 71 104.

76. Lochak P., Neishtadt A. I. Estimates of stability time for nearly integrable systems with a quasiconvex Hamiltonian // Chaos. 1992. V. 2, no. 4. P. 495 499.

77. Rackauskas A. Large deviations for martingales with some applications // Acta Aplicandae Mathematical 1995. V. 38, no. 1. P. 109 129.

78. Ruelle D. The thermodynamic formalism for expanding maps // Comm. Math. Phys. 1989. V. 125, no. 2. P. 239-262.

79. Ruelle D. Differentiation of SRB states // Commun. Math. Phys. 1997. V. 187, no. 1. P. 227 241.

80. Veretennikov A. Yu. Large deviations in averaging principle for stochastic differential equation systems (noncompact case) // Stochastic^ and Stochastics Reports. 1994. V. 48. P. 83- 96.

81. Vcretennikov A. Yu. On large deviations in the averaging principle for SDEs with a "full dependence" // Ann. Probab. 1999. V. 27, no. 1. P. 284 -296.