Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шевякова, Ольга Петровна

• Шевякова, Ольга Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шевякова, Ольга Петровна

Введение

Вводные сведения

1 Уравнения порядка меньше либо равного единице с операторами интегродифференцирования с различными началами

§ 1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля. Постановка задачи

§ 2. Формулировка результатов и решение задачи.

§ 3. Задача для уравнения с производными Капуто.

2 Задачи для уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом

§ 1. Постановка задачи для уравнения порядка меньше единицы

§ 2. Доказательство существования и единственности решения

§ 3. Уравнение с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом порядка меньше двух

§ 4. Уравнение произвольного порядка.

§ 5. Уравнение с производной Капуто.

3 Теоремы единственности для уравнений дробного порядка

§ 1. Свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования

§ 2. Единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части

§ 3. Задача для уравнения с отрицательными коэффициентами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка»

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение.

Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах [5], [6], [38]—[40], [43], [44]. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [79], [92]. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических фармациях [20]—[23].

Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления [56], [61], [64], [65], [78], являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка исследовали в своих работах: А.Н. Кочубей, С.Д. Эйдель-ман [43] - [46], A.M. Нахушев [52], [55], [56], [62], С.Х. Геккиева [И] -[14], О.А. Репин [37], [74] - [76], А.В. Псху [66] - [73], В.А. Нахушева [63] - [65], А.В. Глушак [17] - [19], А.Н. Зарубин, Е.А. Зарубин [32] -[36], М.О. Мамчуев [49] - [51], А.А. Ворошилов, А.А. Килбас [8] - [10], А.А. Андреев, А.С. Еремин [3], [4], [30], [31], Г.П. Лопушанская [48], Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen [90], W.R. Schneider, W. Wyss [97], [99], F. Wegner, S. Grossmann [98].

Теория дробного исчисления и ее приложения изучались в монографиях [29], [52], [56], [73], [77], [91], [93], [96].

Монография A.M. Нахушева [52] посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и дифференцирования и их применению к решению проблем математического моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых системах с фрактальной структурой; к локальным и нелокальным обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям основных и смешанных типов. В монографии сформулирован целый ряд вопросов и задач, служащих источником новых направлений в изучении теории и приложений дробного исчисления.

В книге [77] рассмотрены вопросы обобщения операций дифференцирования и интегрирования функций одной и многих переменных с целых порядков на дробные, действительные и комплексные, а также приложения теории дробного интегрирования и дифференцирования к интегральным и дифференциальным уравнениям, теории функций.

В монографии А.В. Псху [73] исследованы основные краевые задачи для класса уравнений дробного и континуального порядка. Рассмотрены уравнения порядка меньше либо равного единице, диффузионно-волновые уравнения, эволюционные уравнения.

В работе A.M. Нахушева [57] решена видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

Среди работ, посвященных нагруженным дифференциальным уравнениям, отметим работы A.M. Нахушева [58]—[60], М.Т. Дженалиева [24]-[28], А.И. Кожанова [41].

Граничные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением исследованы A.M. Нахушевым [54], М.М. Амангалиевой, М.Т. Дженалиевым, М.И. Рамазановым [1], [2], I. Ozturk [94].

В работах I. Ozturk [95] и С.Х. Геккиевой [15], [16] рассмотрены задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух - след от искомого решения.

В данной работе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

В ходе работы автором получена следующая совокупность результатов и положений.

-71. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, состоящих из И параграфов, списка литературы (99 наименований) и заключения. Объем работы - 91 страница.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Шевякова, Ольга Петровна

Заключение

В работе рассмотрены краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

1. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шевякова, Ольга Петровна, 2006 год

1. Амангалиева М.М. Граничные задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени / Тр. Международной конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002. - С. 19 -23

2. Андреев А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени/Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 2. Самара, 2002. - С. 3 - 9

3. Андреев А.А., Еремин А.С. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. - Вып. 26. - С. 5-10.

4. Архинчеев В.Е. О дрейфе при случайном блуждании по самоподобным кластерам // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - Вып. 3. - С. 1016 -1023

5. Архинчеев В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешко-вым структурам // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - Вып. 4. - С. 1285 -1296

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М., 1973. -293 с.

7. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для уравнения диффузии дробного порядка // Докл. НАН Беларуси. 2005. - Т. 49. -№3. - С. 14 - 18

8. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Докл. РАН. 2006. - Т. 406. - №1. - С. 12 - 16

9. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42. - №5. - С. 599 - 609

10. Гсккисва С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. - Т. 5. - №1. - С. 16 - 19

11. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. - №1 (8). -С. 6-8

12. Геккиева С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. - 14 с.

13. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. - Т. 1. - №1. - С. 17 - 18

14. Геккиева С.Х. Первая краевая задача для нагруженного уравнения с дробной производной / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. - С. 65 -67

15. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2001. - №2. - С. 74 - 77

16. Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2002. - №2. - С. 61 - 63

17. Глушак А.В. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными // Матем. заметки. -Т. 77. Вып. 1. - С. 28 - 41

18. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрков 10. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002.- 57 с.

19. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002. - 35 с.

20. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2003. - 35 с.

21. Дженалиев М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения.-801989. Т. 25. - №4. - С. 641 - 651

22. Джеиалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995. - 270 с.

23. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представленияфункций в комплексной области. М., 1966. - 672 с.

24. Еремин А.С. Три задачи для одного уравнения в дробных частных производных / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конференции. Ч. 3. Самара, 2004. -С. 94 - 98

25. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41. - №10. - С. 1406 - 1409

26. Зарубин А.Н., Зарубин Е.А. Задача Коши для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: Понтрягинские чтения -XVI». Воронеж,2005. С. 65

27. Зарубин Е.А. О единственности решения задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения -XV». Воронеж, 2004. -С. 93 - 94

28. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. - №5. - С. 638 - 644

29. Кобеле в В. П., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // Докл. РАН. 1997. -Т. 355. - №3. - С. 326 - 327

30. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Матем. заметки. -2004. Т.76. - №6. - С. 840 - 853

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976. - 544 с.

32. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц.уравнения. -1990. Т. 26. - №4. - С. 660 - 670

33. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25. - №8. - С. 1359 -1368

34. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. Нац. АН Украины. 2003. - №12. - С. 11 - 16

35. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН . 2004. - Т. 394. - №2. -С. 159-161

36. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL, 1953. - 379 с.

37. Лопушанъска Г.П. Основш граничш задач! для одного р1вняння в дробних похщних // Укр. мат. журн. 1999. - Т. 51. - №1. - С. 48

38. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. -2004. №2 (12). - С. 116 - 118

39. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.7. - №2. - С. 37 -44

40. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. -272 с.

41. Нахушев A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувилля // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т.5. - №2. - С. 42 - 43

42. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамикепочвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18. - №1. - С. 72 - 81

43. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик, 1995. - 59 с.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.

45. Нахушев A.M. Видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - №7. - С. 903 - 908

46. Нахушев A.M., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - №1. - С. 105 -110

47. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - №1. - С. 86 - 94

48. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. -1985. Т. 21. - №1. - С. 92 - 101

49. Нахушев A.M., Кенетова P.O. Математическое моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик, 1998. -170 с.

50. Нахушева В. А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1998. - 9 с.

51. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциалных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик, 2002. - 100 с.

52. Нахушева В.А. Диффернциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М., 2006. - 173 с.

53. Псху А.В. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка / Труды Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент, 2003. - С. 216 - 217

54. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка.- Нальчик,2005. 186 с.

55. Псху А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. - №8. - С. 1092 - 1099

56. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. - №10. - С. 1430 - 1433

57. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. - №9. -С. 1286 - 1289

58. Псху А.В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001.-С. 101-111

59. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. -М., 2005. 199 с.

60. Репин О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное интегродифференцирование: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Минск, 1998. - 30 с.

61. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. - 688 с.

62. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик, 2002. - 144 с.

63. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - Вып. 5(11). - С. 1875 - 1884

64. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с различными началами // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. - №2 (12).-С. 121-123

65. Шевякова О.П. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.7. - №2. - С. 82 - 85

66. Шевякова О. П. Краевая задача для нагруженного уравнения с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки.- Вып. 43. 2006. - С. 24 - 30

67. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.- 2006. Приложение №11. - С. 22 - 27

68. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives// Transactions of the Amerikan Mathematical Society. 2000. - V. 352. - №5. - P. 2239 - 2260

69. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics studies 204, Elsevier, 2006. - 523 p.

70. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phus. Status Solidi. B. 1986. -V. 133. - P. 425 - 430

71. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. - V.30. - №1. - P. 134 - 144

72. Wegner F., Grossmann S. Diffusion and trapping on a nested fractal structure // Zeitchr. Phys. B. 1985. - V. 59. - №2. - P. 197 - 206

73. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 1986. -V. 27. - №11. - P. 2782 - 2785