Кр-теория возмущений и метод инвариантов в теории гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат наук Миронова, Мария Сергеевна

• Миронова, Мария Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Миронова, Мария Сергеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Метод эффективной массы в теории квантово-размерных полупроводниковых гетероструктур (обзор литературы)

1.1Кр-теория возмущений

1.2 Метод эффективной массы

1.3 Метод эффективной массы для расчета энергетических состояний в полупроводниковых гетероструктурах

1.4 Модель Кейна для гетероструктур

1.5 Эффекты междолинного смешивания состояний носителей заряда в гетероструктурах на основе многодолинных полупроводников

1.6 Выводы по главе 1

2. ^-теория возмущений и метод инвариантов в теории гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами

2.1 Многозонный кр-гамильтониан гетероструктуры

2.2 Эффективный кр-гамильтониан гетероструктуры. Кр-теория возмущений

2.3 Построение эффективных гамильтонианов гетероструктуры методом инвариантов

2.4 Уравнение Шредингера в приближении эффективной массы для периодических гетероструктур. Узельное и к-представления

2.5 Выводы по главе 2

3. Эффективные однозонные кр-гамильтонианы гетерострутур на основе пря-мозонных полупроводников со структурой сфалерита

3.1 Эффективные гамильтонианы гетероструктур без учета спина и спин-орбитального взаимодействия

3.1.1 ЗонаГ!

3.1.2 Зона Г12

3.1.3 Зона Г15

3.1.4 Зона Г25

3.2 Эффективные гамильтонианы гетероструктур с учетом спина и спин-орбитального взаимодействия

3.2.1 Зона Г6

3.2.2 Зона Г7

3.2.3 Зона Г8

3.2.4 Прямое произведение Г12®Г6

3.2.5 Прямое произведение Г)5®Гб

3.2.6 Прямое произведение Г25®Г6

3.3 8-зонная модель Кейна для гетероструктур

3.4 Расчет энергетического спектра носителей заряда в одиночной квантовой яме ЬгёЬ/АПпЭЬ

3.5 Выводы по главе 3

4. Эффекты междолинного смешивания в гетероструктурах на основе многодолинных полупроводников со структурой алмаза и сфалерита

4.1 Г-Х-смешивание электронных состояний в СаАвМЛАз-гетероструктурах

4.2 Энергетический спектр и волновые функции электрона в сверхрешетках (А1А8)ы/(СаАз)ы(001)

4.3 Междолинное смешивание в гетероструктурах Б^ве

4.4 Линейное по волновому вектору спин-орбитальное расщепление в гетероструктурах 81/810е

4.5 Выводы по главе 4

Заключение

Публикации автора по теме диссертационной работы

Список литературы

Приложение I. Матрицы У^ и их комбинации, определяющие гамильтониан гете-

роструктуры в многозонной модели Г15 ® Г6 = Г8 © Г7

Приложение II. Эффективный гамильтониан 8-зонной (Г^ ©Г^ ©Г7) модели Кейна для гетероструктур

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кр-теория возмущений и метод инвариантов в теории гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Исследование свойств полупроводниковых гетероструктур является одной из основных задач современной физики полупроводников, опто- и наноэлектро-ники, а так же спинтроники. Свойства таких структур, а значит и приборов на их основе, в основном определяются их электронным спектром, который отличается от электронного спектра объемных материалов. Это отличие обусловлено эффектами размерного квантования, а также эффектами смешивания электронных состояний на гетерогранице. При расчете энергетического спектра носителей заряда в гетероструктурах, помимо эффектов размерного квантования, необходимо учитывать координатную зависимость зонных параметров и сложный характер зонной структуры объемных полупроводников - многодолинность, вырождение.

Существует два подхода к расчету электронного спектра гетероструктур: микроскопический подход (например, метод сильной связи, метод псевдопотенциала) и метод эффективной массы. Эмпирический метод сильной связи и эмпирический метод псевдопотенциала позволяют учесть микроскопическое атомарное строение гетероструктур. Однако для того, чтобы описать все интересующие особенности зонной структуры объемных материалов, составляющих гетерост-руктуру, необходимо использовать большое число базисных состояний, что приводит к большим размерностям гамильтонианов. Кроме того, вследствие чувствительности данных методов к выбору параметризации, возникают трудности одновременного воспроизведения основных зонных параметров (эффективных масс, положения экстремумов в зоне Бриллюэна и др.) для всех зон, участвующих в формировании уровней размерного квантования.

Число базисных состояний может быть уменьшено при расчете в рамках метода эффективной массы. При этом достаточно точно знать точный закон дисперсии носителей заряда только вблизи интересующих экстремумов (долин). Кроме того, данный метод позволяет напрямую учитывать следующие из экспе-

римента параметры интересующих зон и долин. Обычный метод эффективной массы предполагает решение дифференциального уравнения Шредингера для огибающей волновой функции носителей заряда, следующее из кр-теории возмущений для объемных материалов. Учет координатной зависимости параметров зонной структуры и эффектов внутри- и междолинного рассеяния носителей заряда на гетерогранице проводится либо посредством постановки граничных условий, накладываемых на огибающую волновую функцию, либо с помощью соответствующего выбора оператора кинетической энергии. Однако одного требования эрмитовости гамильтониана недостаточно для его однозначного определения. Часто для выбора граничных условий в литературе проводится дополнительный анализ микроскопической симметрии гетероструктуры, однако такой подход не является универсальным. Вид оператора кинетической энергии может быть определен посредством Ар-теории возмущений для гетероструктур. В рамках существующих на сегодняшний день теорий потенциал гетероструктуры описывается функцией непрерывной координаты и, следовательно, не позволяет учесть её микроскопическое строение, что особенно важно для гетероструктур на основе многодолинных полупроводников. В связи с вышесказанным, представляет интерес развитие метода расчета, который будет сочетать в себе достоинства как микроскопических методов, так и метода эффективной массы.

Цель работы заключалась в развитии обобщенного метода эффективной массы, позволяющего описать эффекты межзонного и междолинного смешивания электронных состояний на гетерограницах с учетом микроскопического атомарного строения произвольных гетероструктур (квантовые ямы, проволоки, точки и сверхрешетки).

Для достижения данной цели решались следующие задачи: 1. Построение многозонного многодолинного Ар-гамильтониана гетероструктуры на основе полупроводников с произвольным числом атомов в элементарной ячейке.

2. Развитие Ар-теории возмущения для гетероструктур с учётом эффектов внутри- и междолинного рассеяния носителей заряда на гетерограницах.

3. Развитие метода инвариантов для гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами.

4. Применение разработанного метода инвариантов для построения многозонных многодолинных эффективных Ар-гамильтонианов гетероструктур с учетом внутри- и междолинного смешивания электронных состояний на гетерограницах, спина и спин-орбитального взаимоедйствия.

5. Расчет энергетического спектра носителей заряда в гетероструктурах в рамках предложенной теории

Научная новизна работы

1. Впервые получен многозонный многодолинный Ар-гамильтониан гетероструктур произвольной формы на основе полупроводников с несколькими атомами в элементарной ячейке, позволяющий учесть их микроскопическое атомарное строение.

2. Впервые развита Ар-теория возмущений для гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами, учитывающая эффекты внутри- и междолинного смешивания электронных состояний на гетерограницах. Показано, что матричные элементы междолинного рассеяния во втором порядке теории возмущений определяются рассеянием носителей заряда на атомах замещения и Ар-взаимодействием зон.

3. Впервые развит метод инвариантов для определения эффективных гамильтонианов гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами, учитывающий их микроскопическое атомарное строение.

4. Впервые предложен эффективный Ар-гамильтониан, описывающий междолинное смешивание Х-состояний в гетероструктурах Б^Юе с учетом спина и спин-орбитального взаимодействия.

Достоверность полученных результатов подтверждается результатами симметрийного анализа, а также имеющимися литературными данными.

Научная и практическая значимость работы сводится к следующему:

1. Предложен метод инвариантов для гетероструктур на основе многодолинных полупроводников с вырожденными зонами, позволяющий наиболее удобным образом получать эффективные Ар-гамильтонианы гетероструктур в нужном порядке теории возмущений с учетом их микроскопического строения.

2. Получены однозонные эффективные Ар-гамильтонианы гетероструктур на основе прямозонных полупроводников со структурой сфалерита (зоны Г^, Г^,

Г15> Г25> Г6> Г7 и Г8)-

3. Для гетероструктур на основе полупроводников со структурой сфалерита получен эффективный Ар-гамильтониан 8-зонной (Гб®ГзФГ7) модели Кейна для гетероструктур. Гамильтониан записан в А-представлении, что позволяет при определенных условиях избежать возникновения ложных решений.

4. Получен эффективный многозонный многодолинный Ар-гамильтониан, описывающий смешивание Г] -^ -состояний в гетероструктурах АЬ^АЗаАз.

5. Получен эффективный многодолинный Ар-гамильтонианп, описывающий смешивание Х-состояпий зоны проводимости в гетероструктурах Б^ве с учетом спина и спин-орбитального взаимодействия.

6. Показано, что уравнения Шредингера с предложенными в работе гамильтонианами для сверхерешеток и одиночных гетероструктур сводятся к конечной системе линейных алгебраических уравнений, что удобно при численном определении их энергетического спектра и огибающих волновых функций носителей заряда.

Положения, выносимые на защиту: 1. Микроскопическое атомарное строение полупроводниковых гетероструктур и их симметрия могут быть учтены в рамках обобщенного метода эффективной

массы посредством введения в гамильтониан характеристических функций ft (а),

указывающих на замещение атомов опорного кристалла в / -й подрешетке в элементарной ячейке с номером а.

2. Эффективные многозонные многодолинные Ар-гамильтонианы гетерострук-тур, учитывающие эффекты рассеяния носителей заряда на атомах замещения, могут быть определены в нужном порядке теории возмущений методом инвариантов.

3. В рамках предложенного обобщенного метода эффективной массы уравнение Шредингера для гетероструктур произвольной формы (квантовые ямы, проволоки, точки и сверхрешетки) может быть записано в двух унитарно-эквивалентных представлениях: узельном и /с-представлении. Выбор периодических граничных условий позволяет свести уравнение Шредингера в обоих представлениях к конечной системе линейных алгебраических уравнений.

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении проектов № 2.1.1/2503 и 2.1.1/10269 «Развитие теории полупроводниковых наноструктур и разработка новых методов их диагностики» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 г.)».

Апробация результатов работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 13-15 Всероссийские молодежные конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (2011-2013 гг.); Российская молодёжная конференция по физике и астрономии «Физика.СПб» (СПб, Россия, 2011-2013 гг.); 6567 научно-технические конференции проф.-преп. состава СПбГЭТУ (2012-2014 гг.). XI Российская конференция по физике полупроводников СПб, Россия, 2013 г); 1st International School and Conference on Optoelectronics, Photonics, Engineering and Nanostructures "Saint-Petersburg OPEN 2014" (St. Petersburg, Russia, 2014); 22nd Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology" (St. Petersburg, Russia, 2014).

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из них 4 - статьи в рецензируемых изданиях, рекомендованных в перечне ВАК, 9 - в материалах всероссийских и международных научно-технических конференций.

Структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Она изложена на 134 страницах машинописного текста, включает в себя 28 рисунков, 9 таблиц, список литературы из 97 наименований.

1. МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ В ТЕОРИИ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР (ОБЗОР

ЛИТЕРАТУРЫ)

1.1. Кр-теория возмущений

Энергетический спектр гетероструктуры определяется не только эффектами размерного квантования, но и энергетическим спектром составляющих её объемных материалов. Зонная структура объемных полупроводников является весьма сложной и не описывается во всей зоне Бриллюэна каким-либо аналитическим выражением. В качестве примера на рисунке 1.1 приведена зонная структура ваАз [1].

WAVE VECTOR k

Рисунок 1.1 - Зонная структура ваАв [1]

Существуют различные методы расчета энергетического спектра объемных полупроводников, наиболее популярным из которых является эмпирический метод псевдопотенциала [2]. Однако детальное знание энергетического спектра во всей зоне Бриллюэна не всегда является необходимым. Часто достаточно знать

закон дисперсии носителей заряда только вблизи экстремума рассматриваемой зоны. Аналитически такой закон дисперсии может быть получен с использованием Ар-теории возмущения (см., напр., [3-5]).

л

Теория возмущений применима, если гамильтониан Н квантовой системы, для которой нужно решить уравнение Шредингера

%) = %) (1.1) можно представить в виде Н = Й$+ Н', где - гамильтониан невозмущенной

А

системы (гамильтониан нулевого приближения), Н' - оператор возмущения, которое предполагается малым [4]. Считается, что все собственные энергии Е® и

I \ Л

собственные векторы состояний |/г) оператора Но известны:

= бивекторы состояний |/г) можно использовать в качестве базиса для представления

уравнения (1.1). В этом базисе уравнение Шредингера в общем случае представляет собой бесконечную систему уравнений, точное решение которой не представляется возможным. Если считать, что интересующие состояния возмущенной системы сформированы в основном из состояний ш, т'..., отделенных от остальных состояний 5, б'... большими энергетическими зазорами, то гамильтониан Н в этом базисе может быть приближенно сведен к блочно-диагональному виду с помощью теории возмущений. В этом случае все недиагональные элементы матрицы гамильтониана, связывающие интересующие состояния т, т'... с остальными состояниями б'..., равны нулю в рассматриваемом порядке теории возмущений. Полученный таким образом приближенный гамильтониан, описывающий возмущенные состояния т, т'..., называется эффективным, а его матрица имеет конечную размерность. В третьем порядке теории возмущения матрица эффективного гамильтониана имеет вид [3, 4]:

Hmm ~ Hmm> + Hmm

» +-> 2

/

T-T' J-T' M' M' ms11 sm , 11 ms n sin

E° -E°

m s

/

s m

5 5

H'msH'sm"H'mnm

H'mm"H'm"sH'sm'

_ШЛ ¿III III IH __ШШ Iti J ¿Ul_

+

(1.2)

HmsHss'Hs'm'

H'msH'ss'H's'm

_f/lJ ¿ Ifl ^ ___OO Л III

Здесь предполагается, что в общем случае некоторые из рассматриваемых состояний т,т',... являются невырожденными. Второе слагаемое в (1.2) возникает в первом, третье - во втором, четвертое и пятое - в третьем порядке теории возмущений.

Рассмотрим электронные состояния в полупроводнике без учета спина электрона. Гамильтониан, описывающий движение электрона в периодическом поле кристалла £/(х), имеет вид:

-2

Н =

2тi

О

(1.3)

Предполагается, что в интересующей точке kg зоны Бриллюэна решение уравнение Шредингера с гамильтонианом (1.3) известно. Решение уравнения в точках ко + к, где к - малый волновой вектор, ищется в виде разложения по базису

Кона-Латтинжера e/kx|a,n,ko), где а нумерует неприводимые представления точечной группы волнового вектора F^ , п нумерует партнеров, преобразующихся по этому представлению. Вследствие наличия трансляционной симметрии, гамильтониан (1.3) в выбранном базисе диагонален по волновому вектору к. Многозонный Ар-гамильтониан, зависящий от к как от параметра, имеет вид

Яа«'(к) =

mi V )

Е{а\к о).

А2

2 тип

^аа'^пп'

П

Щ

кпаа

(1.4)

где £(а)(к0) - энергия электрона в зоне а в точке кд, а недиагональные по индексам а, а' и п, п' матричные элементы р®^ = (а,и,к0|р|а',й',ко) описывают

Ар-взаимодействие зон а и а'.

Пусть интересующие состояния |а,и,ко) отделены от остальных состояний

|Р,5,к0) большими энергетическими зазорами. Так как вектор к является малым,

к (1.4) применима теория возмущения. Во втором порядке теории возмущений эффективный однозонный Ар-гамильтониан имеет вид [3, 4]:

#(а),(к) =

тт

И* ШШ;-

5тт'+ — Х (ч ч-ГВЬТ^' (1>5)

2 тс

где суммирование ведется по всем блоховским состояниям точки кд, кроме рассматриваемых состояний |а,л,к0). Если положить = гамильтониан (1.5) принимает вид [3-5]:

ттК 2т0{ тт )у 1 г

где

( п) ,

гА'-) =8,-,-5 тт---—У-Л----.

1 1 к0)

В частности, для простой невырожденной зоны симметричный относительно перестановки индексов /, у тензор £) определяет тензор обратной эффективной массы [3-5]. Линейные по к слагаемые, пропорциональные матричному элементу оператора импульса, в точке экстремума отсутствуют.

Чтобы обобщить Ар-теорию на случай учета спина и спин-орбитального взаимодействия, достаточно провести замену [3-5]:

р п = р + —X УС/(х)],

где ¡5 - оператор спина.

Стоит отметить, что кр-теория годится не только для приблизительного описания закона дисперсии вблизи экстремумов зон, но и для описания энергетического спектра во всей зоне Бриллюэна. Для этого необходимо использовать многозонные модели. Так, в работе [6] с использованием 15-зонной модели рассчитана зонная структура ве и без учета спина и спин-орбитального взаимодействия. Аналогичные расчеты для ве, Б! и ваАв с учетом спин-орбитального взаимодействия в рамках 30 зонной модели приведены в [7]. В [8] для определения зонной структуры ваАв, 1пАз, 1пР и ГпБЬ используется 40-зонная модель. В таких моделях Ар-взаимодействие между рассматриваемыми зонами учитывается точно, а их взаимодействие со всеми остальными зонами может быть при необходимости учтено в рамках теории возмущений.

1.2. Метод эффективной массы

Метод эффективной массы является простым и популярным методом расчета связанных состояний носителей заряда в полупроводниках (например, примесных состояний). В рамках данного метода рассматриваемая задача сводится к решению уравнения Шредингера для огибающей волновой функции, плавно изменяющейся на масштабах порядка постоянной решетки (см., напр., [3-5]). Такое уравнение для описания примесных состояний в полупроводниках, сформированных из состояний вырожденной зоны с экстремумом в точке к = 0, было впервые получено в [9, 10].

Гамильтониан, описывающий движение электрона в кристалле в присутствии возмущающего потенциала К(х) (например, потенциала примеси), может

быть представлен в виде [3-5, 9, 10]:

Я = Я0 + К(х), (1.6)

л

где #о - гамильтониан, описывающий движение электрона в периодическом кристаллическом поле (1.3). Предполагается, что потенциал К(х) является плавным,

то есть в пределах элементарной ячейки изменение потенциала мало. Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (1.6) ищется в виде разложения по ба-

зису Кона-Латтинжера егк*|а,я,ко), где |а,л,ко) - блоховские состояния, удовлетворяющие уравнению Шредингера с гамильтонианом В этом базисе матричный элемент оператора Йд имеет вид Й^, (к)5^', где многозонный Ар-

гамильтониан к) определяется выражением (1.4).

Матричный элемент потенциала К(х) имеет вид [3,4,10]:

ь

где У(к -к'-Ь) - Фурье-образ внешнего потенциала:

Г (к - к' - Ь) = ,

где интегрирование ведется по объему кристалла V. Если потенциал К(х) является плавным и его Фурье-образ отличен от нуля только в пределах зоны Бриллю-эна, можно записать:

У(к-к'), Ь = 0

К(к-к'-Ь)

о, ь*о

В этом случае [4]

С (к " к') = (°Ик ~к') = К(к " к')«аа'5„„-

Таким образом, можно записать:

(а,л,ко|е-гк*Яегк*|а',п',ко) = (к)+ К(к -к')8аа'8ии'. (1.7) Применив к (1.7) второй порядок теории возмущений, пренебрегая поправками

л

вида {кр)У и V , получим систему интегральных уравнений для компонент ¥п (к) огибающей волновой функции, определенной в пределах зоны Бриллюэна, в однозонном приближении [3,4,10]:

Ы Ц' « (к) + 1>(к " к') Рп (к) = ЕРп (к),

п' к'

где суммирование производится по зоне Бриллюэна.

Чтобы перейти к привычному дифференциальному уравнению Шредингера, вводится огибающая волновая функция с компонентами ^/г(х), зависящими от

непрерывной координаты х, определенная во всем объеме кристалла [3,4,10]:

(1-8)

к

Отметим, что, так как х является непрерывной координатой, определенной во всем объеме, а волновой вектор к определен только внутри зоны Бриллюэна, такое преобразование не является унитарным. Функции (х) удовлетворяют

системе интегро-дифференциальных уравнений вида [10]:

£Я0М +I (* " (х') = Ерп (*)> 0 -9)

п'

где

(2ж)

Функция А(х) является 8-образной функцией, локализованной на масштабах порядка постоянной решетки, и может быть заменена в (1.9) на 5-функцию, если остальные сомножители в подынтегральном выражении являются плавно изменяющимися функциями [10]. Окончательно, однозонное уравнение эффективной массы для огибающей волновой функции имеет вид [3-5, 9, 10]:

М + Г(х)Гп (х) = (х). (1.10)

1.3. Метод эффективной массы для расчета энергетических состояний в полупроводниковых гетероструктурах

В настоящее время существует три метода расчета состояний носителей заряда в полупроводниковых гетероструктурах: два микроскопических метода (метод сильной связи (см., напр., [11]), метод псевдопотенциала (см., напр., [12])) и метод эффективной массы. Как отмечается в предыдущем подразделе, вывод уравнения эффективной массы предполагает плавное изменение потенциала воз-

мущения К(х) на масштабах порядка постоянной решетки кристалла. В случае

гетероструктур с атомарно резкими границами такое допущение, очевидно, не выполняется. Существует два взгляда на обобщение метода эффективной массы на случай резкого потенциала возмущения. Один из них предполагает вывод граничных условий для огибающей волновой функции на гетероинтерфейсах. Другой подход основывается на выводе уравнения, которое описывает поведение огибающей волновой функции во всей структуре и не требует постановки условий, накладываемых на огибающую волновую функцию, на гетерогранице. Такой подход в литературе иногда называют обобщенным методом эффективной массы.

При выводе граничных условий гетероструктура А/В разбивается на три области: две области представляют собой однородные объемные полупроводники А и В, а третья - узкую приграничную область (рисунок 1.2). Предполагается, что вдали от границы, т.е. в областях А и В, огибающая волновая функция удовлетворяет обычному уравнению эффективной массы для объемных полупроводников.

ч. [ И II 4 ш , * 2 ч. ЛЛЛЛ

-а М +ь т

<—ь — —> <— (]—* <—ь-> Л

Л я в

Рисунок 1.2 - схематическое изображение гетероструктуры на основе полупроводников А и В. Я-узкая область вблизи гетерограницы, V д в - кристаллический потенциал

полупроводников А, В [13]

Граничные условия имеют наиболее простой вид, если предположить, что уравнение Шредингера, следующее из кр-теории возмущения для объемных полупроводников, в координатном представлении описывает поведение огибающей

волновой функции во всем пространстве. В этом случае граничные условия могут быть получены посредством интегрирования уравнения по бесконечно малой области, включающей гетерограницу [14]. Полученные таким образом из уравнения

Шредингера Н[х, к)^(х) = ЯР(х) (к = -/V) граничные условия для интерфейса, перпендикулярного оси г, имеют вид [15, 16]:

ая(х,к) (1.11)

дк2

Такие стандартные граничные условия не содержат в себе информации о строении гетероинтерфейса, однако дают хороший результат в случае, если эффекты смешивания состояний носителей заряда на интерфейсе пренебрежимо малы, например, для гетероструктур на основе прямозонных полупроводников ОаАз/АЮаАз [16].

Чтобы учесть в граничных условиях эффекты смешивания состояний на ге-терогранице, используется феноменологическая матрица переноса Г, которая связывает значения огибающей волновой функции и её производной слева и справа от гетерограницы [17, 18]:

Здесь предполагается, что многокомпонентная огибающая волновая функция ^(х) в координатном представлении удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Матрица переноса имеет размерность 2x2 для простой невырожденной зоны [17, 18], 2шх2/«для «г-кратно вырожденной зоны [18], а так же может не быть квадратной в случае, если огибающая волновая функция имеет разное число компонент слева и справа от гетерограницы [13]. В зависимости от вида матрицы переноса, разрыв на гетерогранице может претерпевать не только производная, но и сама огибающая волновая функция, а компоненты этой матрицы в общем случае не могут быть выражены через параметры зонной структуры объемных полупроводников [17, 18].

Компоненты матрицы Т могут быть получены различными способами. Так, например, в работе [13] для определения граничных условий используется принцип наименьшего действия. Вид граничных условий может быть определен феноменологически на основе анализа симметрии гетероинтерфейса [40, 42, 73]. Как отмечается в [18], граничные условия могут быть строго получены с помощью обобщенных методов эффективной массы. Часто при выводе граничных условий используется условие непрерывности потока, рассчитанного на огибающих волновых функциях (напр., [19]). Однако непрерывностью должен обладать поток, рассчитанный на полных волновых функциях, как рассматривается, например, в [13]. Полная волновая функция включает в себя, помимо огибающей, также и блоховские волновые функции, которые, вообще говоря, изменяются при переходе через гетероинтерфейс.

Отметим, что существенным недостатком рассматриваемого подхода, при котором уравнение эффективной массы для гетероструктуры сводится к системе дифференциальных уравнений с граничными условиями на гетероинтерфейсе, является усложнение граничных условий в случае, если огибающая волновая функция удовлетворяет системе уравнений не второго, а третьего и более высоких порядков. Так в работе [20], чтобы избежать возникновения в гамильтониане кубических по к членов при описании эффектов спин-орбитального взаимодействия состояний валентной зоны в присутствии гетероинтерфейса, используется 14-зонная модель.

Рассмотрим теперь обобщенные методы эффективной массы. Как отмечается выше, суть этих методов сводится к выводу уравнения для огибающей волновой функции, не требующего постановки граничных условий на гетероинтерфейсе. При построении такого единого уравнения возникает проблема неоднозначности выбора оператора кинетической энергетии, обусловленная зависимостью зонных параметров от координат. В работе [21] предложен общий вид оператора кинетической энергии для простой невырожденной зоны:

(1.12)

где т - эффективная масса, зависящая от координат, а + Р + у = -1.В [14] анализируются граничные условия, к которым приводят различные значения параметров а, р и у в гетероструктурах с резкими гетерограницами в предположении, что огибающая функция конечна во всем пространстве, а её производная может быть неограниченной разве лишь на гетероинтерфейсе. Авторы [14] делают вывод о нефизичности оператора (1.12) при афу, однако в [22] показано, что, в общем случае, оператор кинетической энергии представляет собой линейную комбинацию всех возможных операторов вида (1.12).

В работах [22-29] развивается Ар-теория возмущения для гетероструктур на основе согласованных по параметрам решетки полупроводников. В работах [23, 24] был предложен подход, в рамках которого волновая функция электрона в ге-тероструктуре представляется в виде разложения по блоховским функциям некоторого опорного кристалла. При этом многозонное уравнение Шредингера сводится к уравнению для многокомпонентной огибающей волновой функции. Это уравнение в координатном представлении является, вообще говоря, интегро-дифференциальным, вследствие наличия нелокального слагаемого в гамильтониане. В рамках дальнейших рассуждений в [23, 24] потенциал гетероструктурьт разбивается на несколько слагаемых: локальный потенциал, определяемый параметрами объемных материалов и сглаженный гиббсовскими осцилляциями, локальная часть интерфейсного потенциала и нелокальная часть интерфейсного потенциала, отличная от нуля только вблизи гетерограницы. В [24] в рамках рассматриваемого обобщенного метода эффективной массы проводится численный анализ энергетического спектра гетероструктур на основе двух модельных одномерных кристаллов. С помощью численного расчета показано, что учет в гамильтониане как локальной, так и нелокальной части интерфейсного потенциала слабо влияет на положение энергетических уровней и такие слагаемые могут быть отброшены, а уравнение - сведено к дифференциальному. Кроме того, продемонстрировано, что замена сглаженного гиббсовскими осцилляциями локального потенциала на резкий потенциал гетероструктуры так же не приводит к заметному изменению положения уровней размерного квантования. Заметим, что все урав-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миронова, Мария Сергеевна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chelikowski J. R., Cohen M. L. Nonlocal pseudopotential calculations for the electronic structure of eleven diamond and zinc-blende semiconductors // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 14. P. 556-582.

2. Callaway J. Methods of calculation of energy bands in solids // Electron in finite and infinite structures / ed. by P. Phariseau and L. Scheire. NY: Plenum Press. 1977, P. 321-353.

3. Бир Г. Л., Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. М.: Наука, 1972. 584 с.

4. Глинский Г. Ф. Полупроводники и полупроводниковые наноструктуры: симметрия и электронные состояния. СПб: Изд-во «Технолит», 2008. 324 с.

5. Бурдов В. А., Максимова Г. М. Кр-метод и групповой подход в теории полупроводников. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. 220 с.

6. Cardona M., Pollak F. H. Energy-band structure of Germanium and Silicon: the kp-method//Phys. Rev. В. 1966. Vol. 142. P. 530-543.

7. Richard S., Aniel F., Fishman G. Energy-band structure of Ge, Si, and GaAs: A thirty-band k • p method // Phys. Rev. В. 2004. Vol. 70. P. 235204.

8. Saïdi I., Ben Radhia S., Boujdaria K. Band parameters of GaAs, InAs, InP, and InSb in the 40-band k-p model // J. Appl. Phys. 2010. P. 043701.

9. Kittel C., Mitchell A. H. Theory of donor and acceptor states in Silicon and Germanium // Phys. Rev. 1954. Vol. 96. P. 1488-1493.

10. Luttinger J. M., Kohn H. Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields // Phys. Rev. 1955. Vol. 97. P. 869-883.

11. Niquet Y. M., Rideau D., Tavernier C., Jaouen H., Blase X. Onsite matrix elements of the tight-binding Hamiltonian of a strained crystal: Application to silicon, germanium, and their alloys // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 245201.

12. Luo J.-W., Bestel G., Zunger A. Atomistic pseudopotential calculations of thickness-fluctuation GaAs quantum dots // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 125329.

13. Rodina A. V., Alekceev A. Yu. Least-action principle for envelope functions in abrupt heterostructures // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 115312.

14. Morrow R. A., Brownstein K. R. Model effective-mass Hamiltonians for abrupt heterojunctions and the associated wave-function-matching conditions // Phys. Rev. B. 1984. Vol. 30. P. 678-680.

15. Ben Daniel D. C., Duke B.C. Space-charge effects on electron tunneling // Phys. Rev. 1966. Vol. 152. P. 683-692.

16. Bastard G. Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures. Paris: Editions de physique, 1990. 364 p.

17. Ando T., Mori S. Effective-mass theory of semiconductor heterojunctions and superlattices//Surf. Sci. 1982. Vol. 113. P.124-130.

18. Tokatly I. V., Tsibizov A. G., Gorbatsevich A. A. Interface electronic states and boundary conditions for envelope functions // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 165328.

19. Rodina A. V., Alekceev A. Yu., Efros Al. L., Rosen M., Meyer B. K. General boundary conditions for the envelope function in the multiband k«p model // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 125302.

20. Durnev M. V., Glazov M. M., Ivchenko E. L. Spin-orbit splitting of valence subbands in semiconductor nanostructures // Phys. Rev. B. 2014. Vol. 89. P. 075430.

21. Von Roos O. Position-dependent effective masses in semiconductor theory // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 27. P. 7547-7552.

22. Foreman B. A. Valence-band mixing in first-principles envelope-function theory // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 76. P. 045327.

23. Burt M. G. An exact formulation of the envelope function method for the determination of electronic states in semiconductor microstructures // Semicond. Sci. Technol. 1988. Vol. 3. P. 739-753.

24. Burt M. G. The justification for applying the effective-mass approximation to microstructures // J. Phys.: Condens. Matter 1992. Vol. 4. P. 6651-6690.

25. Takhtamirov E. E., Volkov V. A. Modification of the effective mass approach for heterojunctions // Phys. Low-Dim. Struct. 1995. Vol. 10/11. P. 407-418.

26. Takhtamirov E. E., Volkov V. A. Envelope-function method for the conduction band in graded heterostructures // Semicond. Sci. Technol. 1997. Vol. 12. P. 7785.

27. Тахтамиров Э. E., Волков В. А. Динамика электрона с пространственно-зависящей массой и метод эффективной массы для полупроводниковых ге-тероструктур //УФН 1997. Т. 167. С. 1123-1128.

28. Тахтамиров Э. Е., Волков В. А. Обобщение метода эффективной массы для полупроводниковых структур с атомарно резкими гетеропереходами //ЖЭТФ 1999. Т. 116. С. 1843-1870.

29. Takhtamirov E., Melnik R. V. N. Spin-orbit interaction in three-dimensionally bounded semiconductor nanostructures //New J. Phys. 2010. Vol. 12. P 123006.

30. Leibler L. Effective-mass theory for carriers in graded mixed semiconductors // Phys. Rev. B. 1975. Vol. 12. P. 4443-4451.

31. Leibler L. Effective-mass theory for carriers in graded mixed semiconductors. II. Spin effects // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 16. P. 863-873.

32. Foreman B. A. First-principles envelope-function theory for lattice-matched semiconductor heterostructures // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 165345.

33. Эффекты размерного квантования в полупроводниковых наноструктурах // Нанотехнология: физика, процессы, диагностика, приборы / под. ред. В. В. Лучинина, Ю. М. Таирова. М.: Физматлит, 2006. Гл. 1. С. 16-64.

34. Глинский Г. Ф., Кравченко К. О. Оптика экситонов в системах с резкими ге-терограницами. Приближение сильно локализованной волновой функции экситона// ФТТ 1998. Т. 40. С. 872-874.

35. Foreman В. A. Quadratic response theory for spin-orbit coupling in semiconductor heterostructures // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 165344.

36. Sham L. J. Theory of the shallow impurity states in semiconductors // Phys. Rev. 1966. Vol. 150. P. 720-727.

37. Kane E. О. Band structure of indium antimonide // J. Phys. Chem. Solids. 1957. Vol. l.P. 249-261.

38. Efros Al. L., Rosen M. Quantum size level structure of narrow-gap semiconductor nanocrystals: Effect of band coupling // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. 71207135.

39. Pidgeon C. R., Brown R. N. Quantum size level structure of narrow-gap semiconductor nanocrystals: Effect of band coupling // Phys. Rev. 1966. Vol. 146. P. 575-583.

40. Ivchenko E., Kaminski A., Rôssler U. Heavy-light hole mixing at zinc-blende (001) interfaces under normal incidence // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. P. 5852.

41. Winkler R. Rashba spin splitting in two-dimensional electron and hole systems // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 62. P. 4245-4248.

42. Алейнер И. JI., Ивченко E. JI. Природа анизотропного обменного расщепления в сверхрешетках GaAs/AlAs типа II // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55. Вып. 11. С. 662-664.

43. Сурис Р. А. Пограничные состояния в гетеропереходах // ФТП. 1986. Т. 20. Вып. 11. С. 2008-2015.

44. Кисин М. В. Граничные условия для волновой огибающей функции модели Кейна и спин-орбитальное смешивание на гетерогранице // ФТП. 1994. Т. 26. С. 2076-2085.

45. Kisin M. V., Gelmont В. L., Luryi S. Boundary-condition problem in the Kane model // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. 4605-4616.

46. Rôssler U., Kainz J. Microscopic interface asymmetry and spin-splitting of electron subbands in semiconductor quantum structures // Solid State Commun. 2002. Vol. 121. P. 313-316.

47. Klipstein P. C. Operator ordering and interface-band mixing in the Kane-like Hamiltonian of lattice-matched semiconductor superlattices with abrupt interfaces // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 235314.

48. Livneh Y., Klipstein P. C. k-p model for the energy dispersions and absorption

spectra of InAs/GaSb type-II superlattices // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 235311.

49. White S. R., Sham L. J. Electronic Properties of Flat-Band Semiconductor Hete-rostructures // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47. P. 879-882.

50. Eppenga R., Schuurmans M. F. H., Colak S. New k-p theory for

GaAs/Gal-xAlx As p-type quantum wells // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 36. P. 1554-1564.

51. Winkler R., Rossler U. General approach to the envelope-function approximation based on a quadrature method // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. P. 8918-8926.

52. Foreman B. A. Elimination of spurious solutions from eight-band k-p theory //

Phys. Rev. B. 1997. Vol. 56. P. R12748.

53. Kolokolov К. I., Li J., Ning C. Z. The к ■ p Hamiltonian without spurious state solutions //Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 161308.

54. Гусев О. Б., Поддубный А. Н., Прокофьев А. А., Яссиевич И. Н. Излучение кремниевых нанокристаллов // ФТП. 2013. Т. 47. С 147-167.

55. Fowler А. В., Fang F. F., Howard W. Е., Stiles P. J. Magneto-oscillatory conductance in silicon surfaces. // Phys. Rev. Lett. 1966. Vol. 16. P. 901-903.

56. Ohkawa F. J., Uemura Y. Theory of valley splitting in an n-channel (100) inversion layer of Si I. Formulation by extended zone effective mass theory // J. Phys. Soc. Jpn. 1977. Vol. 43. P. 917-924.

57. Ohkawa F. J., Uemura Y. Theory of valley splitting in an n-channel (100) inversion layer of Si II. Electric break through // J. Phys. Soc. Jpn. 1977. Vol. 43. P. 917-924.

58. Ohkawa F. J. Electric break-through in an inversion layer: exactly solvable model // Solid State Commun. 2002. Vol. 26. P. 69-71.

59. Boykin Т. В., Klimeck G., Eriksson M. A., Friesen M., Coppersmith S. N., von Allmen P., Oyafuso F., Lee S. Valley splitting in strained silicon quantum wells // Appl. Phys. Lett. 2004. Vol. 84. P. 115.

60. Boykin T. B., Klimeck G., Friesen M., Coppersmith S. N., von Allmen P., Oyafu-so F., Lee S. Valley splitting in low-density quantum-confined lieterostructures studied using tight-binding models // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 165325.

61. Sham L. J., Nakayama M. Effective-mass approximation in the presence of an interface // Phys. Rev. B. 1979. Vol. 20. P. 734.

62. Ando T. Valley splitting in the silicon inversion layer: Misorientation effects // Phys. Rev. B. 1979. Vol. 19. P. 3089.

63. Goswami S., Slinker K. A., Friesen M., McGuire L. M., Truitt J. L., Tahan C., Klein L. J., Chu J. O., Mooney P. M., van der Weide D. W., Joynt R., Coppersmith S. N., Eriksson M. A. Controllable valley splitting in silicon quantum devices // Nature Phys. 2007. Vol. 3. P. 41 - 45.

64. Nestoklon M. O., Golub L. E., Ivchenko E. L. Spin and valley-orbit splittings in SiGe/Si heterostructures // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 235334.

65. Nestoklon M. O., Ivchenko E. L., Jancu J.-M., Voisin P. Electric field effect on electron spin splitting in SiGe/Si quantum wells // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 155328.

66. Friesen M., Chutia S., Tahan C., Coppersmith S. N. Valley splitting theory of SiGe/Si/SiGe quantum wells // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. P. 115318.

67. Zhang L., Luo J.-W., Saraiva A., Koiller B., Zunger A. Genetic design of enhanced valley splitting towards a spin qubit in silicon // Nat. Commun. 2013. Vol. 4. P. 2396.

68. Wilson B. A. Carrier dynamics and recombination mechanisms in staggered-alignment heterostructures // IEEE J. Quant. Electron. 1988. Vol. 24. P. 17631777.

69. Ando T., Akera H. Connection of envelope functions at semiconductor heterointerfaces. II. Mixings of T and X valleys in GaAs/AlxGai.xAs // Phys. Rev. B.

1989. Vol. 40. P. 11619.

70. Wakahara S., Akera H., Ando T. Connection rule of envelope functions at heterointerface // Surf. Sci. 1988. Vol. 196. P. 694.

71. Ting D. Z.-Y., Chang Y.-C. T-X mixing in GaAs/AlxGaNxAs and

AlxGai_xAs/AlAs superlattices // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 36. P. 4359.

72. Pulsford N. J., Nicholas R. J., Dawson P., Moore K. J., Duggan G., Fox-

on C. T. B. T-X mixing in the miniband structure of a GaAs/AlAs superlattice //

Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 63. P. 2284.

73. Liu H. C. Resonant tunneling through single layer heterostructures // Appl. Phys. Lett. 1987. Vol. 51. P. 1019.

74. Fu Y., Willander M., Ivchenko E. L., Kiselev A. A. Valley mixing in GaAs/AlAs multilayer structures in the effective-mass method // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47. P. 13498.

75. Wood D. M., Zunger A. Successes and failures of the k-p method: A direct assessment for GaAs/AlAs quantum structures // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 53. P. 7949.

76. Wang L.-W., Zunger A. Pseudopotential-based multiband k-p method

for -250 000-atom nanostructure systems // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. P. 11417.

77. Wang L.-W., Franceschetti A., Zunger A. Million-Atom Pseudopotential Calculation of T-X Mixing in GaAs/AlAs Superlattices and Quantum Dots // Phys.

Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 2819.

78. Wang L.-W., Zunger A. Linear combination of bulk bands method for large-scale electronic structure calculations on strained nanostructures // Phys. Rev. B. 1999. Vol. 59. P. 15806.

79. Wang L.-W., Zunger A. Magnitude and size scaling of intervalley coupling in semiconductor alloys and superlattices // Phys. Rev. B. 1997. Vol. 56. P. 12395.

80. Glinskii G. F., Lakisov V. A., Dolmatov A. G., Kravchenko K.O. Multibamd coupling and electronic structure of short-period (GaAs)N/(AlAs)N(001) superlattices //Nanotechnology. 2000. Vol. 11. P. 233-236.

81. Foreman В. A. Analytical Envelope-Function Theory of Interface Band Mixing // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 425.

82. Menchero J. G., Koiller В., Capaz R. B. Role of Interface Imperfections on Intervalley Coupling in GaAs/AlAs Superlattices // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83.

P. 2034.

83. Im H., Klipstein P. C., Grey R., Hill G. Rotation of the Conduction Band Valleys in AlAs due to Xx- XY Mixing // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 3693.

84. Глинский Г.Ф., Койнов Зл. Функциональная формулировка микроскопической теории экситонных поляритонов // ТМФ. 1987. Т. 70. С. 358-371.

85. Orr J. М. S., Gilbertson А. М., Fearn М., Croad О. W., Storey С. J., Buckle L., Emeny М. Т., Buckle P. D., Ashley Т. Electronic transport in modulation-doped InSb quantum well heterostructures // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 165334.

86. Ashley Т., Buckle L., Datta S.5 Emeny M.T., Hayes D.G., Hilton K.P., Jefferies R., Martin Т., Phillips T.J., Wallis D.J., Wilding P.J., Chau R. Heterogeneous InSb quantum well transistors on silicon for ultra-high speed, low power logic applications // Electron. Lett. 2007. Vol. 43. P. 777

87. Mishima T. D., Edirisooriya M., Santos M. B. Reduction of microtwin defects for high-electron-mobility InSb quantum wells // Appl. Phys. Lett. 2007. Vol. 91. P. 062106

88. Debnath M. C., Mishima T. D., Santos M. В., Hossain K., Holland O. W. Improved electron mobility in InSb epilayers and quantum wells on off-axis Ge (001) substrates//J. Appl. Phys. 2012. Vol. 111. P. 073525

89. Nash G. R., Mirza В. I. Efficiency droop in InSb/AlInSb quantum-well light-emitting diodes //Appl. Phys. Lett. 2013. Vol. 102. P. 011127

90. Vurgaftman I., Meyer J. R., Ram-Mohan L. R. Band parameters for III-V compound semiconductors and their alloys // J. Appl. Phys. 2001. Vol. 89. P. 5815

91. Dai N., Khodaparast G. A., Brown F., Doezema R. E., Chung S. J., Santos M. B. Band offset determination in the strained-layer InSb/ALrlni-xSbsystem// Appl. Phys. Lett. 2000. Vol. 76. P.3905

92. Комков О.С., Семенов А.Н., Фирсов Д.Д., Мельцер Б .Я., Соловьев В.А., Попова Т.В., Пихтин А.Н., Иванов С.В. Оптические свойства эпитаксиаль-ных слоев твердых растворов AlxIni.xSb // ФТП. 2011. Т. 45. С. 1481.

93. MorelloA., Pla J. J., Zwanenburg F.A., Chan K.W., Tan K. Y., Huebl H., Motto-nen M., Nugroho C. D., Yang C., van Donkelaar J. A., Alves A. D. C., Jamieson D. N., Escott С. C., Hollenberg L. C. L., Clark R. G., Dzurak A. S. Single-shot readout of an electron spin in silicon //Nature. 2010. Vol. 467. P. 687-691

94. Копылов А.А. "Двугорбая" структура и параметры Х-минимума зоны проводимости кубических полупроводников АВ. // ФТП. 1982. Т.16. Вып.12. С.2141-2145.

95. Kopylov A.A. The Xеi camel's-back parameters for cubic III-V semiconductors // Sol. St. Comm. 1985. Vol. 56. P. 1-6.

96. Ю П., Кордона M. Основы физики полупроводников. М.: Физматлит, 2002. 560 с.

97. Mader К. A., Zunger A. Empirical atomic pseudopotentials for AlAs/GaAs su-perlattices, alloys, and nanostructures // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. P. 17393

Приложение I. Матрицы У^ и их комбинации, определяющие гамильтониан гете-роструктуры в многозонной модели Г15 <8> Г6 = Г8 ® Г7

х 3

0 75 0 0 л/з 72 \ 0 0 -7з 0 0 -7з 75 \ 0

71 0 2 0 0 1 72 7з 0 -2 0 0 -1 75

0 2 0 75 -1 72 0 7 -I 0 2 0 -7з -1 72 0

0 0 7з 0 0 -75 72 0 0 7з 0 0 -7з ' 75

71 75 0 -1 75 0 0 2 7з 72 0 1 72 0 0 -2

0 -1 75 0 -7з 75 2 0 0 V 1 72 0 7з 71 2 0 )

Уг=-

3 0 0 0 0 0 ^

0 1 0 0 -75 0

0 0 -1 0 0 -75

0 0 0 -3 0 0

0 -72 0 0 2 0

0 0 -75 0 0 -2,

2у2_у2_у2 =

(\ 0 0 0 0 0 ^ '0 0 1 0 0 75]

0 -1 0 0 -75 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 75 0 , 73(г}-г}} = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -75 0 0

0 -75 0 0 0 0 0 0 0 -75 0 0

0 75 0 0 0, ,75 0 0 0 0

о ~

J_ л/з

о

0

1

7б о

-1 V3 0 0 -1 s 0

0 0 0 0 1 Гг

0 0 1 -1 0

л/3 4ï

0 -1 0 0 i

V3

0 1 V2 0 0 0

-1 s 0 -1 V6 0 0

1 V3 0 0 1 >¡6 0

0 0 0 0 -1 s

0 0 -1 >/3 -1 72 0

0 -1 0 0 1

>/3 s

0 -1 V2 0 0 0

-1 л/2 0 1 л/б 0 0

о

_1_ S

0

0 0-^

1

le

о ~

{Yz>rx} = :

О О О О

2 V3

о

7з

7з о

о о

о о о о

о

-1 s

о

о о

й. 7з

о о о

-V2

л/3

о о

-V2' 7з

о о о о

о

Приложение II. Эффективный гамильтониан 8-зонной (Г^ ©Г^ ФГ7) модели Кей-на для гетероструктур

Я

Капе

(Гб)

Н

ЯГ 6Г8

Я

г6г7

ягбг8 яг6г7

(Г8)

я

//Г8Г7

#Г8Г7

Я

(г7)

яГ6 =

Рс о V0

ДЯГб =

ДРС о

V 0 ^с;

ЯГ« -я0 -

р+е г г О

р-й 0 V

* г 0 р-й -¡V

0 г* -г* Р+2

А ЯГ8 =

' 1 ДР + Д0 + Д/Г +

ДР-Л6 +^-ДР

7з дк1"

дг

3

3

дИ"

1

дг

1

ДР-ДО—АР +

з 7з

-Д»г'Г+4=-ДС1' ДР + Аб-ДР

7з

Г/Г7 _

"О -

О

V 0

г 2 2 АРУ0 + -АР -да

ДЯГ7 =

2 + -дет

3

Я

г6г8

72

Т2С/

72

о

О -^Д* >/21/

72 72

ДЯГбГ8 =

72

о

72ДС/ О

72

—|=-ДР* 72ДС/

72 72 ,

/7Г6Г7 _

( и л *

-л -и

АН

Глг7 _

А и ДЛ

Ч-ДР -АУ;

Г7Г8Г7

по

л/2

-V2Q

л/2

4ÎV

7з

л/2

V20

-V2F* 4-

л/2

, АЯГ8Г7

V2 л/б

-^áq-A-AF

л/2 6

-лЯдК1"

л/2ДГ л/3 л/2

л/2 6

л/2Д Q-—AF 3

л/2 V6

Рс = (ес + Гск2 ), ДРС = ДЕС + Аус кк' + Д/?с (к - kf, Р = -^к2 + Ev, ДР = Д£у - Д^кк' + ДД (к - к')2

ДQ = -Д+ кук'у - 2kzk'z ) + Aß2 - к'х f + (ку - к'у f - 2{kz - k'z f ' V = -к*)-12у1Ъуъкхку,

AV = Ау2Л(кхк'х - кук'у)- 12^3^-(кхк'у + k'xky)--Aß2S[[kx -k'xf- (ky -k'yfy i2^3Aß3 {kx - k'x)(ky -k'y)- 2M {kz - k'z),

W = 2л/3^зkz{kx -iky),

AW = 2л/з ^f-({kxk'z + k'xkz ) - i(kyk'z + k'ykz)) --2л/ЗД/?з(&2 —~~ k'y)) - 2^j3Aß^(i(ky -k'y) + {kx

ДР = гД/?5[кжк']г, AG = г'Д/?5([кxk']^ -¡[kxk']^). ^ = Eso - /1k2, ДРС = ДЕ,0 - Aftkk' + ДД (к - kf, R = ±,Pcv(kx-iky), AR =^-((^.t + *¿) ~+ ^)) + ((** ~ *¿) ~"k'y))'

U = 4¿Pcvkz, AU = +k'2) + -jjAßcv(kz -k'z).