Корреляционные эффекты и эффекты управления в дираковских материалах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Заболотский, Андрей Дмитриевич

• Заболотский, Андрей Дмитриевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Заболотский, Андрей Дмитриевич

Введение ................................................................. 4

Глава 1. Влияние кулоновского взаимодействия на характеристики двумерного дираковского электронного газа ................................... 9

1.1. Основы физики электронных явлений в графене....................... 9

1.1.1. Модель сильной связи....................................... 9

1.1.2. Низкоэнергетическое приближение .......................... 10

1.1.3. Невзаимодействующий электронный газ ...................... 11

1.1.4. Квантовая ёмкость......................................... 12

1.1.5. Кулоновское взаимодействие................................ 14

1.1.6. Графен в магнитном поле................................... 16

1.1.7. Перенормировка скорости Ферми ............................ 18

1.2. Перенормировка скорости Ферми в графене.......................... 19

1.2.1. Неэкранированное кулоновское взаимодействие .............. 20

1.2.2. Приближение хаотических фаз .............................. 24

1.2.3. Учёт влияния беспорядка................................... 30

1.2.4. Анализ экспериментальных данных по квантовой ёмкости и перенормированной скорости Ферми ................................... 33

1.3. Перенормировка скорости Ферми в графене в магнитном поле ........ 38

1.3.1. Приближение Хартри-Фока .................................. 39

1.3.2. Вершинная поправка ....................................... 43

1.3.3. Экранирование взаимодействия.............................. 47

Глава 2. Псевдомагнитные поля в дираковских материалах................... 49

2.1. Псевдомагнитное поле в графене .................................. 49

2.2. Псевдомагнитное поле в 8-Pmmn-борофене........................... 51

2.2.1. Двумерные кристаллы бора.................................. 51

2.2.2. Модель 8-Pmmn-борофена.................................... 54

2.2.3. Вклад деформаций.......................................... 59

2.2.4. Возможные экспериментальные проявления ................... 66

3

2.3. Псевдомагнитные поля в деформированных дираковских материалах, обуслов-

ленных симметрией................................................. 68

2.3.1. Дираковские точки, обусловленные симметрией................ 68

2.3.2. Ограничения, накладываемые симметрией на гамильтониан...... 69

2.3.3. Результаты для различных кристаллографических групп........ 70

2.3.4. Кристалл (10,3)-a ......................................... 74

2.3.5. Возможные экспериментальные проявления..................... 77

Глава 3. Теорема вириала для дираковских электронов....................... 78

3.1. Обзор по теореме вириала.......................................... 78

3.2. Теорема вириала для термодинамических параметров.................. 79

3.2.1. Теорема вириала для модели сильной связи................... 79

3.2.2. Теорема вириала для безмассовых дираковских электронов с кулонов-

ским взаимодействием ....................................... 80

3.2.3. Иллюстрация: многочастичные вычисления для графена......... 82

3.3. Теорема вириала для волновой функции.............................. 84

3.3.1. Многочастичная задача в графене и обобщённый ток........... 84

3.3.2. Теорема вириала для волновой функции дираковских частиц.... 86

3.3.3. Теорема Гельмана-Фейнмана.................................. 87

3.3.4. Связь с макроскопической теоремой вириала.................. 88

Заключение ............................................................... 91

Список публикаций по теме диссертационной работы ...................... 92

Цитированная литература................................................ 93

Приложение А. Коэффициенты ряда для потенциала \Omega в приближении хаотических фаз для дираковских электронов в графене..................... 105

Приложение Б. Обезразмеренная хартри-фоковская собственно-энергетическая часть для электронов в графене в магнитном поле при различных факторах заполнения .................................................. 106

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляционные эффекты и эффекты управления в дираковских материалах»

Актуальность темы исследования

В некоторых материалах, интенсивно изучаемых теоретически и экспериментально в последние годы, низкоэнергетические электронные возбуждения ведут себя как безмассовые дираковские фермионы: графен [1], трёхмерные дираковские полуметаллы и недавно открытые экспериментально вейлевские полуметаллы [2, 3]. Наличие дираковских фермионов в различных конденсированных средах обусловлено различными физическими механизмами, но вследствие сходства математического описания в этих системах присутствует аналогия ряда физических эффектов (наибольший фундаментальный интерес представляют топологические явления) и инструменты для физических расчётов тоже зачастую можно использовать сходные.

Графен — двумерный кристалл углерода — имеет особенное значение сразу для двух областей физики конденсированного состояния.

С одной стороны, с графена фактически началось активное изучение двумерных кристаллов. Монослои MoS2 были выделены ещё в 1980-х годах [4, 5], термин «графен» утверждён ИЮПАК в 1994 году [6], в 1990-х годах шло активное изучение углеродных нанотрубок; но только после работ группы Гейма и Новосёлова [7] начался бум исследований сначала графена, а затем и других двумерных кристаллов — дихалькогенидов переходных металлов, включая MoS2, нитрида бора, чёрного фосфора и других.

Двумерные кристаллы важны для возможных приложений по ряду причин. Кремниевая транзисторная электроника почти упёрлась в предел миниатюризации из-за эффектов короткого канала, однако эти эффекты ослабевают с уменьшением тощины канала, поэтому транзисторы на основе двумерных материалов могут обойти эту проблему [8]. Кроме того, двумерные кристаллы гибки, прозрачны и прочны [9]. Химическая модификация позволяет использовать их в химических сенсорах [10]. Слоистые ван-дер-ваальсовы гетероструктуры позволяют использовать свойства различных материалов в одном устройстве [10, 11]. Наконец, в контексте уже не наноэлектроники, а, к примеру, суперконденсаторов становится важна максимальная удельная площадь поверхности графена и других двумерных материалов [10]. На данный момент реальное использование графена в промышленности происходит именно в суперконденсаторах, а также в виде добавок в различные материалы, такие как пластик для 3И-печати.

5

С другой стороны, графен оказался интересен с точки зрения фундаментальных исследований благодаря своему линейному спектру электронных возбуждений. Носители заряда в графене имеют линейный закон дисперсии и поэтому нулевую эффективную массу, кираль-ны и описываются уравнением, подобным уравнению Дирака для нулевой массы из физики элементарных частиц [1] (отсюда термин «дираковские электроны»); по выражению М. И. Кацнельсона, графен — это «ЦЕРН на столе». Впоследствии были открыты и другие материалы, в том числе трёхмерные, в которых носители заряда описываются уравнением типа уравнения Дирака. Их электронные свойства характеризуются рядом необычных явлений, в том числе топологического характера, например, квантовый эффект Холла, связанный с фазой Берри и действием Черна-Саймонса, ассоциированными с присутствием дираков-ских/вейлевских точек в зонной структуре [3, 12].

Таким образом, графен находится на стыке двух «горячих» тем современной физики конденсированного состояния: физики двумерных материалов и топологических явлений в дираковских материалах.

Отметим, что хотя термин «дираковский материал» (Dirac material) используется и в англоязычной [13], и в русскоязычной литературе [14], его значение несколько размыто. В любом случае в обратном пространстве системы должна иметься точка, в окрестности которой электронные возбуждения могут быть описаны с помощью уравнения типа уравнения Дирака — дираковская точка (или вейлевская, при нулевой массе и отсутствии вырождения — Dirac/Weyl node). В обзоре [13] к дираковским причислены материалы, в которых все низкоэнергетические возбуждения (дираковские или вейлевские фермионы — Dirac/Weyl fermions) имеют линейную дисперсию и могут быть описаны с помощью уравнения типа безмассового уравнения Дирака (возможно, включающего анизотропию и наклон дираковского конуса) — уравнения Вейля: графен, некоторые другие двумерные элементарные кристаллы, двумерные гексагональные сверхрешётки, некоторые двумерные органические материалы; интерфейсы между топологически различными областями, в первую очередь поверхности (сильных) топологических изоляторов; d-волновые купратные сверхпроводники, гелий-3; трёхмерные дираковские и вейлевские полуметаллы (Dirac/Weyl semimetal); в обзоре [15] дан в целом тот же набор, хотя не используется такое словосочетание. При этом отличие дираковских полуметаллов от вейлевских состоит в отсутствии у последних вырождения дираковских точек, что приводит к многочисленным нетривиальным следствиям [2, 3]. Вообще, формально, чтобы материал был дираковским/вейлевским полуметаллом, нужно,

6

чтобы все низкоэнергетические электронные возбуждения в его толще были строго дираков-скими/вейлевскими, то есть чтобы его поверхность Ферми полностью состояла из одиночных точек (соответственно, более корректно было бы говорить не «полуметалл», а «полупроводник с нулевой эффективной массой»). В то же время в реальных материалах это требование выполняется не строго: так, в общепризнанном первом открытом вейлевском полуметалле TaAs есть два сорта вейлевских точек, немного отличающихся по энергии друг от друга и от энергии Ферми. В то же время иногда расширяют понятие дираковского материала, включая в него материалы с дираковской точкой в спектре независимо от наличия иных возбуждений при той же энергии (что, вообще говоря, обычное явление [3], однако такая трактовка будет удобна для нас в данной работе в контексте дираковских материалов, обусловленных симметрией), либо материалы, возбуждения в которых могут быть описаны с помощью уравнения Дирака с ненулевой эффективной массой. Наконец, есть все основания называть графен двумерным дираковским полуметаллом, но это не принято.

Цели и задачи работы

1. Теоретическое исследование влияния кулоновского электрон-электронного взаимодействия на наблюдаемые характеристики дираковского электронного газа в графене и объяснение имеющихся в литературе экспериментальных данных.

2. Определение потенциалов псевдомагнитного поля и скалярных деформационных полей, которые могут возникнуть в обусловленных симметрией дираковских материалах и в борофене под воздействием деформаций.

3. Вывод теоремы вириала для дираковских электронов.

Исследование электрон-электронного взаимодействия выполнено с помощью диаграммной техники для дираковских электонов. Для вывода вариантов теоремы вириала использовались пи-теорема и математический аппарат первичного квантования в квантовой механике. Для исследования псевдомагнитного поля использованы модель сильной связи и методы теории групп.

Научная новизна

В работе впервые:

• рассчитаны многочастичные поправки к наблюдаемым характеристикам дираковского электронного газа в графене с учётом корреляционного вклада и беспорядка и проведено сравнение с экспериментальными данными, частично переинтерпретированными;

• построена модель сильной связи для 8-Рттп-борофена, воспроизводящая его низко-

7

энергетическую электронную структуру, известную из первопринципных расчётов;

• найдены потенциалы псевдомагнитного поля и скалярных деформационных полей, возникающие в обусловленных симметрией трёхмерных дираковских материалах и в боро-фене под воздействием деформаций;

• выведена теорема вириала для дираковских электронов в кристаллах.

Значимость

Точный учёт влияния многочастичного кулоновского взаимодействия и беспорядка на квантовую ёмкость графена необходим для расчётов параметров графеновых наноустройств. В то же время полученные в работе выражения для энергии электронов в графене могут использоваться в расчётах систем дираковских электронов методом функционала плотности в приближении локальной плотности. Теорема вириала же может использоваться для проверки корректности других обменно-корреляционных функционалов для дираковских электронов.

В свою очередь, псевдомагнитные поля в деформированных дираковских материалах, будучи противоположными по знаку в дираковских точках с противоположными кирально-стями, позволят сформировать долинно-поляризованные токи для приборов долинной электроники.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Рассчитана квантовая ёмкость и перенормированная скорость Ферми дираковских электронов в графене с учётом кулоновских обменных и корреляционных эффектов. Под их влиянием квантовая ёмкость дираковских электронов в графене уменьшается, скорость Ферми — увеличивается (до 50 %). Сравнение с экспериментальными данными даёт величину затравочной скорости Ферми 0,93 х 106 м/с.

2. В графене в магнитном поле рассчитаны энергии электронных переходов дираковских электронов между уровнями Ландау. Энергии переходов перенормируются под влиянием кулоновского взаимодействия; из сравнения теории с экспериментами по магниторамановскому рассеянию получены основные управляющие параметры системы.

3. Показано, что деформация вызывает появление гигантского управляемого псевдомаг-нитного поля в дираковском материале 8-Рттп-борофене; получен потенциал этого поля в зависимости от тензора деформаций. Получен потенциал псевдомагнитного поля для всех возможных трёхмерных дираковских материалов, обусловленных симметрией.

4. В дираковских материалах имеются точные соотношения для кинетической энергии и

8

энергии взаимодействия электронов, связанные с масштабными преобразованиями — различные формы обобщённой теоремы вириала.

Достоверность и апробация результатов, публикации

Достоверность представленных в диссертации результатов обеспечивается использованием надёжных, проверенных методов теоретической физики и подтверждается согласием с результатами ранее опубликованных данных экспериментов (в случае результатов главы 1) и первопринципных расчётов (в случае результатов главы 2).

Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях в рецензируемых журналах [А1, А2, А3, А4, А5] и 9 тезисах докладов [Б1, Б2, Б3, Б4, Б5, Б6, Б7, Б8, Б9]. В частности, сделаны устные доклады на Российской конференции по физике полупроводников [Б3] и международной конференции Graphene Week [Б9].

Личный вклад автора

Все представленные в работе оригинальные результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор выполнил аналитические и численные расчёты, принимал непосредственное участие в постановке задачи и обсуждении полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка используемой литературы и двух приложений. Общий объём диссертации составляет 106 страниц, включая 19 рисунков, 9 таблиц и библиографию из 160 наименований.

9

Глава 1

Влияние кулоновского взаимодействия на характеристики двумерного дираковского электронного газа

В этой главе приводятся расчёты и сравнения с экспериментами влияния обменных и корреляционных эффектов кулоновского электрон-электронного взаимодействия на квантовую ёмкость, перенормированную скорость Ферми и энергии переходов между уровнями Ландау дираковских электронов в графене.

Приводится обзор основ описания электронных явлений в графене, обсуждаются понятия квантовой ёмкости и перенормированной скорости Ферми; затем рассчитывается перенормировка скорости Ферми, квантовая ёмкость и энергия дираковских электронов в графене в различных приближениях, в том числе с учётом корреляционных поправок, проводится сравнение с экспериментальными данными, а также анализируется вклад беспорядка; также рассчитывается перенормировка скорости Ферми в графене в магнитном поле.

Результаты этой главы опубликованы в статьях [А1] и [А4].

1.1. Основы физики электронных явлений в графене

Собственно сведения, изложенные в данном разделе, известны, однако необходимы для связности изложения и для введения используемых в дальнейшем терминов и обозначений.

1.1.1. Модель сильной связи

Графен — квазидвумерный материал, представляющий собой атомы углерода, составленные в гексагональную кристаллическую решётку. Такая решётка состоит из двух треугольных решёток Бравэ, обозначаемых A и B, т. е. элементарная ячейка включает два атома (рис. 1.1(а)). В электронных явлениях участвуют электроны, занимающие 2pz-орбитали этих атомов. 2pz-орбиталь, локализованная на каждом атоме из подрешётки A, перекрывается с 2pz-орбиталями, локализованными на трёх соседних атомах подрешётки B, которые смещены на векторы di = \surd3(0,1), d2 = \surd3(^3, — 1), \bfd3 = \surd3(—1), где a \approx 2.46 A — постоянная решётки графена. Электронные свойства такой кристаллической решётки можно описать моделью сильной связи (tight binding). В такой модели полная волновая функция электрона

10

Рис. 1.1: (а) Кристаллическая структура графена. Подрешётки Л и R показаны цветом и соответствующими буквами, (б) Первая зона Бриллюэна графена. Отмеченв1 точки К и К' в углах, а также точка Г.

представляется в виде линейной комбинации двух блоховских волн, локализованнвгх на двух подрешётках, коэффициентв1 в этой линейной комбинации — медленно меняющиеся огибающие фл(г) и фд(г), которвю вместе составляют двухкомпонентный спинор Ф. Эта модели справедлива и во внешних полях, если они меняются на расстояниях, много больших периода

решётки. Эффективный одночастичный гамильтониан представляет собой матрицу 2x2:

Htb(k) = -t

Со

Y2 g-^kdj/Tt

(1.1)

Здесь —t — матричный элемент исходного гамильтониана между jy-орбиталями на двух со

седних атомах (двухцентровый интеграл перескока для уря-связи), и бо — энергия электрона на 2р-орбитали изолированного атома углерода [1, 16].

1.1.2. Низкоэнергетическое приближение

В окрестности дираковской точки К = (^,0) (рис. 1.1(6)) гамильтониан (1.1) приобретает безмассовый дираковский (вейлевский) вид гғсгр; в окрестности точки К = —К гамильтониан принимает похожий или такой же вид в зависимости от выбранного базиса. Здесь р — оператор двумерного импульса, отсчитываемого от точки К, ст — вектор из матриц Паули оу и Щу, гр = — скорость Ферми, равная примерно 1/300 скорости све-

та, и энергия отсчитывается от уровня бо — уровня Ферми электронейтрального графена. Следовательно, спектр низкоэнергетических одноэлектронных возбуждений — линейный, и эффективная волновая функция такого возбуждения представляет собой плоскую волну:

бр^ = угр]р

(1.2)

11

eipr

\psi = \surdSf\bfp\gamma \equiv

g.pr

(1.3)

Здесь (/?p — полярный угол вектора импульса, у = ± — индекс зоны, S* — площадь системы.

Здесь и далее буква б используется для обозначения энергии одного состояния, в то время

как Д — для обозначения полной энергии электронного газа.

1.1.3. Невзаимодействующий электронный газ

В системе дираковских частиц при нулевой температуре заполнены все состояния вплоть до уровня Ферми, равного химическому потенциалу ц — все состояния с импульсами вплоть до импульса Ферми рр. Пусть полная электронная плотность л равна сумме электронной плотности в электронейтральном графене щ и относительной (отсчитанной от электроней-трального уровня ц = 0) плотности л. Тогда последняя в двумерной системе равна дррр/(47г/1^), где р = psg'v = 4 — фактор вырождения (он же — число видов фермионов Af), и gy = 2 и = 2 учитывают долинное и спиновое вырождение, соответственно. В невзаимодействующем электронном газе ц = бру-у = усррр. Плотность состояний на уровне энергии б, следовательно, равна дл(б)/дб = р]б]/(27г^Тр).

Если для невзаимодействующего электронного газа можно отсчитывать все величины от уровня в электронейтральном графене, то при учёте взаимодействий это станет невозможно. Чтобы учесть вклад валентной зоны, необходимо ограничить её глубину. Один из способов сделать это, подходящий для однородной системы, это запретить состояния с отрицательной энергией с импульсом, превышающим некоторое значение jy — импульс обрезания. В этом случае, чтобы получить полную электронную плотность щ к % следует прибавить плотность электронов в валентной зоне щ = %(jy) = (/р^/(47г/1^); импульс обрезания выбирается так, чтобы щ давала действительную полную плотность свободных электронов в электронейтральном графене (хотя, конечно, при импульсах, близких Kjy, низкоэнергетическое приближение уже неверно): А"о = S4y = 2S*/S*o, где So = аЗ<\/3/2 — площадь элементарной ячейки решётки графена.

Энергия невзаимодействующего двумерного дираковского электронного газа также складывается из энергии полностью заполненной валентной зоны

Ду = —5фГғРс/(б7т/?2)

(1.4)

12

металл

Рис. 1.2: Зонная диаграмма конденсатора, состоящего из графена и металлической пластины, между которыми приложено напряжение V. Плотность состояний в дираковской точке графена равна нулю, при удалении от неё растёт, но всё равно значительно меньше плотности состояний в металле.

и энергии добавленных либо недостающих электронов:

4

3

(1.5)

а также из вклада энергии на узле USeo, который, однако, не влияет на рассматриваемые далее наблюдаемые величины — перенормированную скорость Ферми, которая по определению связана с химическим потенциалом, отсчитываемым от уровня бо, и квантовую ёмкость.

1.1.4. Квантовая ёмкость

В электронейтральном графене, при % = 0, плотность состояний также равна нулю. С этим связан заметный вклад квантовой ёмкости в электрическую ёмкость конденсатора на основе графена.

Рассмотрим плоско-параллельный конденсатор, одна обкладка которого — чешуйка графена, другая — металлическая пластина. Это — конденсатор обычной конструкции, который позволяет наиболее простым образом рассмотреть явление квантовой ёмкости, однако расчёты квантовой ёмкости необходимы и для оптимального конструирования ультраёмкостей [17]. Если между пластинами имеется падение напряжения V и электрохимический потенциал eV, то он складывается из двух слагаемых: разность электростатических потенциалов е:р и химического потенциала электронов в графене ц (рис. 1.2). Дифференцирование по

13

Рис. 1.3: Зависимость химического потенциала электронного газа в графене ц от напряжения V на графен-металлическом плоско-параллельном конденсаторе типа описанного в [20]. D = 20 нм, между обкладками предполагается гексагональный нитрид бора с ShBN = 4.5. При малых напряжениях (милливольты) ц V, при больших ц -\/Й-

заряду на обкладках Q даёт edV/dQ = e/(Ctotai3*) = ed(p/dQ + d///dQ, то есть полная электрическая ёмкость на единицу площади Ctotat складывается из классической геометрической ёмкости CcS* = 47763*/!) (D — расстояние между обкладками, е — диэлектрическая проницаемость разделяющего их диэлектрика) и квантовой ёмкости C^S* = edQ/d/t = e^d^/d/t как 1 /Ctotat =1/С*с + 1/C*Q. Таким образом, чем меньше квантовая ёмкость графена, тем сильнее она уменьшает полную ёмкость [18, 19].

Поскольку электрическая ёмкость — важнейшая характеристика электрического конденсатора, то её точный расчёт с учётом квантовой ёмкости чрезвычайно важен при описании наноустройств. Особенно существен вклад квантовой ёмкости при малых напряжениях на конденсаторе; например, при напряжениях порядка 0.1 В вклад квантовой ёмкости может уменьшать полную ёмкость вдвое.

Как видно, квантовая ёмкость пропорциональна плотности состояний на уровне Ферми d%(/t)/d/t (поэтому квантовую ёмкость металла можно не учитывать: плотность состояний в нём очень велика — dJV/dc 10^ эВ*^ против порядка 1(С эВ*^ в типичном графеновом конденсаторе при ц = 0.1 эВ, и потому она практически не вносит вклад). При этом % (либо количество частиц N = л,3*) и ц связаны между собой через термодинамический потенциал большого канонического распределения Q термодинамическим соотношением

JV=—dQ/d/t. (1.6)

Кроме того, плотность состояний на уровне Ферми определяет оптическую проводимость и оптический эффект поглощения фотонов с межзонным переходом на уровень Ферми, для которого коэффициент поглощения пропорционален плотности состояний.

14

Сравнительный масштаб квантовой и геометрической ёмкости зависит от напряжения на конденсаторе. Рассмотрим конденсатор типа описанного и сконструированного в [20]: лист графена и металлическая пластина, разделённые диэлектриком — гексагональным нитридом бора с диэлектрической проницаемостью \varepsilon\mathrm{h}BN = 4.5, расстояние между обкладками D = 20 нм, эффективная диэлектрическая постоянная \varepsilon = (\varepsilon\mathrm{h}BN + 1)/2, площадь обкладок S = 150 мкм2. Геометрическая ёмкость такого конденсатора равна = 0.3 пФ

(пикофарад), на единицу площади — CG = 0.2 мкФ/см2; квантовая ёмкость имеет такую же величину при напряжении около V = 0.03 В. Соответственно, при такой величине напряжения из-за вклада квантовой ёмкости полная ёмкость уменьшена вдвое, при меньших напряжениях квантовая ёмкость, а вместе с ней и полная, падает до нуля, а при больших напряжениях квантовая ёмкость возрастает, её вклад уменьшается, и полная ёмкость стре

мится к геометрической.

Поскольку геометрическую ёмкость можно легко вычислить, а полную ёмкость — измерить, то квантовая ёмкость является довольно удобной наблюдаемой величиной. Кро-

(1.7)

ме того, с квантовой ёмкостью непосредственно связана другая величина — сжимаемость K = — ф ( ) . Для сжимаемости справедлива формула

K 1 \partialn

n2 \partial\mu'

однако, как указывается в [21], у электронного газа в графене экспериментально измеряется не сама величина K, а производная \partialm, значение же и смысл сжимаемости электронного газа зависят от того, подставляется ли в (1.7) плотность свободных зарядов n или полная электронная плотность n. Поэтому больший интерес представляет не сжимаемость, а указанная производная, которая как раз является плотностью состояний на уровне Ферми. Саму эту

производную тоже называют сжимаемостью к.

1.1.5. Кулоновское взаимодействие

«Постоянная тонкой структуры в графене»

Потенциал кулоновского взаимодействия электронов и его фурье-образ:

е2 1

V (г) = —, 1Д =------= 2я^2гғ?"8- (1.8)

ет sq q

Здесь определена величина — радиус Вигнера-Зейца для дираковского элек-

трона, выраженный в единицах эффективной боровской длины [22]. Это безразмерный параметр, характеризующий кулоновское взаимодействие электронов в графене; он имеет смысл

15

отношения характерных потенциальной и кинетической энергий. Также эта величина по аналогии с постоянной тонкой структуры 137 (с которой она связана как

= \alphaQED 1 \approx ) называется «постоянная тонкой структуры в графене» и обозначается \alpha или \alphaee [23]. Как видно, в отличие от обычной постоянной тонкой структуры, она зависит от эффективной диэлектрической проницаемости окружающей среды \varepsilon ив общем случае не мала (из-за того, что скорость Ферми приблизительно в 300 раз меньше скорости света c), но может быть сделана малой, если \varepsilon достаточно велика.

Тем самым, выбор между режимами сильной или слабой связи в графене определяется эффективной диэлектрической постоянной окружающей среды, но не зависит от плотности электронного газа, в отличие от обычного двумерного или трёхмерного электронного газа с параболическим законом дисперсии.

В вычислениях в приближении хаотических фаз (RPA) удобно использовать параметр \alphagr = [23], который также обозначают f [24], или редко используемый, но несколько более естественный параметр \pir\mathrm{s}g/8, для которого в отдельных работах встречаются обозначения 4) [25] или А [26].

Поскольку кинетическая энергия линейна по v\mathrm{F}, а потенциальная — по e2, то для энергий на единицу площади имеем:

1 E = 1 2 \partial\Omega

(1.10)

Правила Фейнмана для графена

Правила Фейнмана для графена известны [25]; удобнее всего убрать хиральную часть функций Грина в вершинный множитель. Нас будет интересовать диаграммная техника при температуре T = 0 с управляющим параметром для связных замкнутых диаграмм, поскольку термодинамический потенциал \Omega равняется сумме всех таких диаграмм. Рассмотрим случай отсутствия магнитного поля.

А, РТ

-----------------------------

Go \gamma (РТ)

(1.11)

Фермионной линии сопоставляется электронная функция Грина свободного движения:

Go\gamma(p,\varepsilon) =

1

\varepsilon - \epsilon\bfp\gamma + + i0+ sgn(\epsilonp\gamma - \mu)'

(1.12)

16

0+ здесь и ниже — положительная величина, стремящаяся к нулю.

q,\omega

Фотонной линии сопоставляется кулоновское взаимодействие (1.8).

(1.13)

1/р'Т)

\gamma, Р,^\/Ц , p',\varepsilon\prime

< (1.14)

) p\prime — р, \varepsilon\prime — \varepsilon

Вершинный множитель добавляется ввиду хиральности дираковских электронов в графене, происходя из (1.3): \rangle = 2(1 + -\varphi\bfp)).

В замкнутой диаграмме 2п-го порядка (т. е. с 2n вершинами) имеется n +1 свободный 3-импульс (р, \varepsilon); по каждому такому свободному 3-импульсу берётся интеграл i ,

берётся сумма по зонным индексам фермионных линий. Результат умножается на —S(—g)Fp, где F — число замкнутых фермионных петель, p — порядок группы симметрии диаграммы.

Здесь диаграммы имеют размерность энергии, так что множитель —T, присутствующий

в [27] в формуле для \Omega как суммы всех связанных диаграмм (при T \rightarrow 0 он сокращается),

здесь не появляется в явном виде.

1.1.6. Графен в магнитном поле

Уровни Ландау в графене

В данном подразделе n обозначает номер уровня Ландау, а не концентрацию электронов.

Потенциал внешнего магнитного поля модифицирует гамильтониан электронов в графене обычным образом: H (р — e А). Спектр этого гамильтониана, в отличие от случая

массивных электронов в обычных полупроводниках, не эквидистантный:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заболотский, Андрей Дмитриевич, 2018 год

Цитированная литература

1. A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres et al. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. 81. — P. 109.

2. H. Weng, X. Dai, Z. Fang. Topological semimetals predicted from first-principles calculations // J. Phys. Condens. Matter.— 2016.— Vol. 28. —P. 303001.

3. N. P. Armitage, E. J. Mele, A. Vishwanath. Weyl and Dirac semimetals in three dimensional solids // Rev. Mod. Phys. — 2018.— Vol. 90.— P. 15001.

4. P. Joensen, R. F. Frindt, S. R. Morrison. Single-layer MoS2 // Mater. Res. Bull. — 1986. — Vol. 21. — P. 457.

5. A. Koma, K. Yoshimura. Ultrasharp interfaces grown with van der waals epitaxy // Suf*. Sci. — 1986. — Vol. 174. — P. 556.

6. H.-P. Boehm, R. Setton, E. Stumpp. Nomenclature and terminology of graphite intercalation compounds (IUPAC Recommendations 1994) // Pure & Appl. Chem. — 1994. — Vol. 66. — P. 1893.

7. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov et al. Electric field effect in atomically thin carbon films // Science. — 2004. — Vol. 306. — P. 666.

8. M. Chhowalla, D. Jena, H. Zhang. Two-dimensional semiconductors for transistors // Nat. Rev. Mater. — 2016. — Vol. 1. — P. 16052.

9. Mircea Dragoman, Daniela Dragoman. 2D Nanoelectronics. NanoScience and Technology. — Springer, 2017.

94

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Andrea C. Ferrari, Francesco Bonaccorso, Vladimir Falko et al. Science and technology roadmap for graphene, related two-dimensional crystals, and hybrid systems // Nanoscale. — 2015. —Vol. 7. —P. 4598.

Yuan Liu, Nathan O. Weiss, Xidong Duan et al. Van der Waals heterostructures and devices // Nat. Rev. Mater. — 2017. — Vol. 1. — P. 16042.

A. Cortijo, F. Guinea, M. A. H. Vozmediano. Geometrical and topological aspects of graphene and related materials // J. Phys. A: Math. Theor. — 2012. — Vol. 45. — P. 383001. T. O. Wehling, A. M. Black-Schaffer, A. V. Balatsky. Dirac materials // Adv. Phys. — 2014. — Vol. 63. — P. 1.

З. З. Алисултанов, Г. М. Мусаев, М. М. Арсланбекова. Квантовые осцилляции в анизотропном вейлевском полуметалле в скрещенном магнитном и электрическом полях // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43. — С. 1733.

O. Vafek, A. Vishwanath. Dirac fermions in solids: From high-ff cuprates and graphene to topological insulators and Weyl semimetals // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. — 2014. — Vol. 5. — P. 83.

P. R. Wallace. The band theory of graphite // Phys. Rev. — 1947. — Vol. 71. — P. 622.

L. L. Zhang, X. Zhao, H. Ji et al. Nitrogen doping of graphene and its effect on quantum capacitance, and a new insight on the enhanced capacitance of N-doped carbon // Energy Environ. Sci. — 2012. — Vol. 5. — P. 9618.

A. A. Shylau, J. W. Klos, I. V. Zozoulenko. Capacitance of graphene nanoribbons // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 80. — P. 205402.

G. I. Zebrev, E. V. Melnik, A. A. Tselykovskiy. Influence of interface traps and electronhole puddles on quantum capacitance and conductivity in graphene field-effect transistors. — arXiv:1011.5127 [cond-mat.mes-hall].

A. Kretinin, G. L. Yu, R. Jalil et al. Quantum capacitance measurements of electron-hole asymmetry and next-nearest-neighbor hopping in graphene // Phys. Rev. B.— 2013.— Vol. 88. — P. 165427.

E. H. Hwang, Ben Yu-Kuang Hu, S. Das Sarma. Density dependent exchange contribution to dmu/dn and compressibility in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 226801. S. Das Sarma, Shaffque Adam, E. H. Hwang, Enrico Rossi. Electronic transport in two dimensional graphene // Rev. Mod. Phys. — 2011. — Vol. 83. — P. 407.

M. Polini, A. Tomadin, R. Asgari, A. H. MacDonald. Density functional theory of graphene

95

sheets // Phys. Rev. B- — 2008- — Vol- 78- — P- 115426-

24- Y. Barlas, T. Per^eg-Bar^nea, M. Polini et al. Chirality and Correlations in Graphene // Phys. Rev. Lett. — 2007- — Vol- 98- — P- 236601-

25- M. S. Foster, I. L. Aleiner. Graphene via large N: A renormalization group study // Phys. Rev. B- — 2008- — Vol- 77- — P- 195413-

26- O. Vafek- Anomalous thermodynamics of Coulomb-interacting massless Dirac fermions in two spatial dimensions // Phys. Rev. Lett. — 2007- — Vol- 98- — P- 216401-

27- А. А. Абрикосов, Л. П. Горькое, И. В. Дзялошинский- Методы квантовой теории поля в статистической физике- — М-: Физматгиз, 1962-

28- M. O. Goerbig- Electronic properties of graphene in a strong magnetic field // Rev. Mod. Phys. — 2011- — Vol- 83- — P- 1193-

29- A. Iyengar, J. Wang, H. A. Fertig, L. Brey- Excitations from filled Landau levels in graphene // Phys. Rev. B- — 2007- — Vol- 75- — P- 125430-

30- Y. Barlas, W.-C. Lee, K. Nomura, A. H. MacDonald- Renormalized Landau levels and particle-hole symmetry in graphene // Int. J. Mod. Phys. B- — 2009- — Vol- 23- — P- 2634-

31- Z. Q. Li, F. A. Henriksen, Z. Jiang et al. Dirac charge dynamics in graphene by infrared spectroscopy // Nat. Phys. — 2008- — Vol- 4- — P- 532-

32- G. L. Yu, R. Jalil, B. Belle et al. Interaction phenomena in graphene seen through quantum capacitance // PNAS. — 2013- — Vol- 110- — P- 3282-

33- J. Gonzalez, F. Guinea, M. A. H. Vozmediano- Non-Fermi liquid behaviour of electrons in the half-filled honeycomb lattice (A renormalization group approach) // Nucl. Phys. B- — 1994- — Vol- 424- — P- 595-

34- F. Trevisanutto, C. Giorgetti, L. Reining et al. Ab initio GW many-body effects in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2008- — Vol- 101- — P- 226405-

35- V. N. Kotov, B. Uchoa, A. H. Castro Neto- Electron-electron interactions in the vacuum polarization of graphene // Phys. Rev. B- — 2008- — Vol- 78- — P- 035119-

36- C.-H. Park, F. Giustino, M. L. Cohen, S. G. Louie- Velocity renormalization and carrier lifetime in graphene from the electron-phonon interaction // Phys. Rev. Lett. — 2007- — Vol- 99- — P- 086804-

37- D. S. L. Abergel, F. H. Hwang, S. Das Sarma- Compressibility of graphene // Phys. Rev. B- — 2011- — Vol- 83- — P- 085429-

38- F. Barnes, F. H. Hwang, R. F. Throckmorton, S. Das Sarma- Effective field theory, three-

96

-loop perturbative expansion, and their experimental implications in graphene many-body effects // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 89. — P. 235431.

39. F. Setiawan, S. Das Sarma. Temperature-dependent many-body effects in Dirac-Weyl materials: Interacting compressibility and quasiparticle velocity // Phys. Rev. B. — 2015.— Vol. 92. — P. 235103.

40. W. Kohn, J. M. Luttinger. Ground-state energy of a many-fermion system // Phys. Rev. — 1960. — Vol. 118. — P. 41.

41. J. M. Luttinger, J. C. Ward. Ground-state energy of a many-fermion system. II // Phys. Rev. — 1960. — Vol. 118. — P. 1417.

42. M. Potthoff Non-perturbative construction of the Luttinger-Ward functional // Condens. Matter Phys. — 2006. — Vol. 9. — P. 557.

43. S. M. Apenko, D. A. Kirzhnits, Yu. E. Lozovik. On the validity of the 1/N expansion // Phys. Lett. A. — 1982. — Vol. 92. — P. 107.

44. S. Das Sarma, Ben Yu-Kuang Hu, E. H. Hwang, Wang-Kong Tse. Electron-electron interactions in graphene. — arXiv:0708.3239 [cond-mat.mtrl-sci].

45. B. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, F. Guinea. Dynamical polarization of graphene at finite doping // New J. Phys. — 2006. — Vol. 8. — P. 318.

46. Д. В. Логинов. Электронно-дырочный газ в графене во внешнем электрическом поле. — Дипломная работа на степень бакалавра, МФТИ. — 2008.

47. V. N. Kotov, B. Uchoa, V. M. Pereira et al. Electron-electron interactions in graphene: Current status and perspectives // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Vol. 84. — P. 1067.

48. A. S. Mayorov, D. C. Elias, I. S. Mukhin et al. How close can one approach the Dirac point in graphene experimentally? // Nano Lett. — 2012. — Vol. 12. — P. 4629.

49. J. Martin, N. Akerman, G. Ulbricht et al. Observation of electron-hole puddles in graphene using a scanning single-electron transistor // Nat. Phys. — 2008. — Vol. 4. — P. 144.

50. Y. Zhang, V. W. Brar, C. Girit et al. Origin of spatial charge inhomogeneity in graphene // Nat. Phys. — 2009. — Vol. 5. — P. 722.

51. J. Chae, S. Jung, A. F. Young et al. Renormalization of the graphene dispersion velocity determined from scanning tunneling spectroscopy // Phys. Rev. Lett. — 2012. — Vol. 109. — P. 116802.

52. E. M. Hajaj, O. Shtempluk, V. Kochetkov et al. Chemical potential of inhomogeneous single-layer graphene // Phys. Rev. B. — 2013. — Vol. 88. — P. 045128.

97

53. S. C. Martin, S. Samaddar, B. Sacepe et al. Disorder and screening in decoupled graphene on metallic substrate // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 91. — P. 041406(R).

54. G. S. Kliros. A phenomenological model for the quantum capacitance of mono layer and bilayer graphene devices // Rom. J. Inf. Sci. Technol. — 2010. — Vol. 13. — P. 332.

55. H. Xu, Z. Zhang, L.-M. Peng. Measurements and microscopic model of quantum capacitance in graphene // Appl. Phys. Lett. — 2011. — Vol. 98. — P. 133122.

56. Q. Li, E. H. Hwang, S. Das Sarma. Disorder-induced temperature-dependent transport in graphene: Puddles, impurities, activation, and diffusion // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 84. — P. 115442.

57. S. Dro'scher, P. Roulleau, F. Molitor et al. Quantum capacitance and density of states of graphene // Appl. Phys. Lett. — 2010. — Vol. 96. — P. 152104.

58. Z. Chen, J. Appenzeller. Mobility extraction and quantum capacitance impact in high performance graphene field-effect transistor devices // IEEE El. Dev. Meeting Tech. Digest. — 2008. —Vol. 21.1. —P. 509.

59. J. Xia, F. Chen, J. Li, N. Tao. Measurement of the quantum capacitance of graphene // Nature Nanotech. — 2009. — Vol. 4. — P. 505.

60. L. A. Ponomarenko, R. Yang, R. V. Gorbachev et al. Density of states and zero Landau level probed through capacitance of graphene // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105. — P. 136801.

61. X. Chen, L. Wang, W. Li et al. Electron-electron interactions in monolayer graphene quantum capacitors // Nano Research. — 2013. — Vol. 6. — P. 619.

62. J. L. Xia, F. Chen, J. L. Tedesco et al. The transport and quantum capacitance properties of epitaxial graphene // Appl. Phys. Lett. — 2010. — Vol. 96. — P. 162101.

63. E. H. Hwang, S. Das Sarma. Dielectric function, screening, and plasmons in 2D graphene // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75. — P. 205418.

64. R. Roldan, J.-N. Fuchs, M. O. Goerbig. Spin-flip excitations, spin waves, and magnetoexcitons in graphene Landau levels at integer filling factors // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82. — P. 205418.

65. Yu. A. Bychkov, G. Martinez. Magnetoplasmon excitations in graphene for filling factors

\leqslant 6 // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 77. — P. 125417.

66. A. A. Sokolik, Yu. E. Lozovik. Many-body renormalization of Landau levels in graphene due to screened Coulomb interaction // Phys. Rev. B. — 2018. — Vol. 97. — P. 075416.

67. B. J. Russell, B. Zhou, T. Taniguchi et al. Many-particle effects in the cyclotron resonance

98

of encapsulated monolayer graphene // Phys. Rev. Lett. — 2018. — Vol. 120. — P. 047401.

68. J. Sonntag, S. Reichardt, L. Wirtz et al. Impact of many-body effects on Landau levels in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2018. —Vol. 120. —P. 187701.

69. K. Kimoto, M. Wakayama. Apery-like numbers arising from special values of spectral zeta functions for non-commutative harmonic oscillators // Kyushu J. Math. — 2006. — Vol. 60. — P. 383.

70. Z. Jiang, E. A. Henriksen, P. Cadden-Zimansky et al. Cyclotron resonance near the charge neutrality point of graphene // AIP Conf. Proc. — 2011. — Vol. 1399. — P. 773.

71. C. Faugeras, S. Berciaud, P. Leszczynski et al. Landau level spectroscopy of electron-electron interactions in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Vol. 114. — P. 126804.

72. Yu. E. Lozovik, A. A. Sokolik. Influence of Landau level mixing on the properties of elementary excitations in graphene in strong magnetic field // Nanoscale Res. Lett. — 2012. — Vol. 7. — P. 134.

73. Handbook of optical constants of solids, Ed. by E. D. Palik. — Academic Press, 1998.

74. B. Amorim, A. Cortijo, F. de Juan et al. Novel effects of strains in graphene and other two dimensional materials // Phys. Rep. — 2016. — Vol. 617. — P. 1.

75. A. Cortijo, Y. Ferreiros, K. Landsteiner, M. A. H. Vozmediano. Elastic gauge fields in Weyl semimetals // Phys. Rev. Lett. — 2015. —Vol. 115. —P. 177202.

76. D. Midtvedt, C. H. Lewenkopf A. Croy. Strain-displacement relations for strain engineering in single-layer 2d materials // 2D Mater. — 2016. — Vol. 3. — P. 011005.

77. N. Levy, S. A. Burke, K. L. Meaker et al. Strain-induced pseudo-magnetic fields greater than 300 tesla in graphene nanobubbles // Science. — 2010. — Vol. 329. — P. 544.

78. Питер Ю, Мануэль КарДона. Основы физики полупроводников. — М.: Физматлит, 2002.

79. G. G. Naumis, S. Barraza-Lopez, M. Oliva-Leyva, H. Terrones. Electronic and optical properties of strained graphene and other strained 2D materials: a review // Rep. Prog. Phys. — 2017. —Vol. 80. —P. 096501.

80. С. В. ИорДанский, А. Е. Кошелев. Дислокации и локализационные эффекты в многодолинных проводниках // Письма в ЖЭТФ. — 1985. — Т. 41. — С. 471.

81. Z. A. Piazza, Han-Shi Hu, Wei-Li Li et al. Planar hexagonal Бз6 as a potential basis for extended single-atom layer boron sheets // Nat. Commun. — 2014. — Vol. 5. — P. 3113.

82. Xu Sun, Xiaofei Liu, Jun Yin et al. Two-dimensional boron crystals: structural stability, tunable properties, fabrications and applications // Adv. Funct. Mater. — 2017. — Vol. 27. —

99

P. 1603300.

83. Xiaojun Wu, Jun Dai, Yu Zhao et al. Two-dimensional boron monolayer sheets // ACS Nano. — 2012. — Vol. 6. — P. 7443.

84. B. Feng, J. Zhang, Q. Zhong et al. Experimental realization of two-dimensional boron sheets // Nat. Chem. — 2016. — Vol. 8. — P. 563.

85. Wenbin Li, Longjuan Kong, Caiyun Chen et al. Experimental realization of honeycomb borophene // Science Bulletin. — 2018. — Vol. 63. — P. 282.

86. J. Kunstmann, A. Quandt. Broad boron sheets and boron nanotubes: An ab initio study of structural, electronic, and mechanical properties // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 035413.

87. Andrew J. Mannix, Xiang-Feng Zhou, Brian Kiraly et al. Synthesis of borophenes: Anisotropic, two-dimensional boron polymorphs // Science. — 2015. — Vol. 350. — P. 1513.

88. L. Adamska, S. Sadasivam, J. J. Foley IV et al. First-principles investigation of borophene as a monolayer transparent conductor // J. Phys. Chem. C. — 2018. — Vol. 122. — P. 4037.

89. Z.-F. Zhou, X. Dong, A. R. Oganov et al. Semimetallic two-dimensional boron allotrope with massless Dirac fermions // Phys. Rev. Lett. — 2014. — Vol. 112. — P. 085502.

90. A. Lopez-Bezanilla, P. B. Littlewood. Electronic properties of 8-Pmmn borophene // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 93. — P. 241405(R).

91. S. Tomar, P. Rastogi, B. S. Bhadoria et al. Adsorption of magnetic transition metals on borophene: an ab initio study // Eur. Phys. J. B. — 2018. — Vol. 91. — P. 51.

92. Dengfeng Li, Ying Chen, Jia He et al. Review of thermal transport and electronic properties of borophene // Chin. Phys. B. — 2018. — Vol. 27. — P. 036303.

93. Baojie Feng, Osamu Sugino, Ro-Ya Liu et al. Dirac fermions in borophene // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Vol. 118. — P. 096401.

94. Xin-Ling He, Xiao-Ji Weng, Yue Zhang et al. Two-dimensional boron on Pb (110) surface // FlatChem. — 2018. — Vol. 7. — P. 34.

95. G. van Miert, C. M. Smith. Dirac cones beyond the honeycomb lattice: A symmetry-based approach // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 93. — P. 035401.

96. S. K. Firoz Islam. Magnetotransport properties of 8-Pmmn borophene: effects of Hall field and strain // J. Phys. Condens. Matter. — 2018. — Vol. 30. — P. 275301.

97. S. I. Vishkayi, M. B. Tagani. Current-voltage characteristics of borophene and borophane sheets // Phys. Chem. Chem. Phys. — 2017.— Vol. 19.— P. 21461.

100

98. T. Cheng, H. Lang, Z. Li et al. Anisotropic carrier mobility in two-dimensional materials with tilted Dirac cones: theory and application // Phys. Chem. Chem. Phys. — 2017. — Vol. 19. — P. 23942.

99. A. Garcea-Fuente, J. Carrete, A. Vegac, L. J. Gallego. What will freestanding borophene nanoribbons look like? An analysis of their possible structures, magnetism and transport properties // Phys. Chem. Chem. Phys. — 2017.— Vol. 19.— P. 1054.

100. Tharanga Ranjan Nanayakkara. — Electronic properties of nitrophenyl functionalized graphene and boron nanotubes. — Master's thesis, Clark Atlanta University, 2015.

101. J. Yuan, N. Yu, K. Xue, X. Miao. Ideal strength and elastic instability in single-layer 8-Pmmn borophene // RSC Adv. — 2017. — Vol. 7. — P. 8654.

102. Zhiqiang Wang, Tie-Yu Lo, Hui-Qiong Wang et al. High anisotropy of fully hydrogenated borophene // Phys. Chem. Chem. Phys. — 2016.— Vol. 18. —P. 31424.

103. J. Carrete, Wu Li, L. Lindsay et al. Physically founded phonon dispersions of few-layer materials and the case of borophene // Mater. Res. Lett. — 2016. — Vol. 4. — P. 204.

104. International tables for crystallography. Volume A: Space-group symmetry, Ed. by T. Hahn. — Dordrecht: Springer, 2005.

105. Jin-Hua Sun, Lu-Ji Wang, Xing-Tai Hu et al. Single magnetic impurity in tilted Dirac surface states // Phys. Rev. B. — 2018. — Vol. 97. — P. 035130.

106. S. M. Young, C. L. Kane. Dirac semimetals in two dimensions // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Vol. 115. — P. 126803.

107. S. A. Parameswaran, A. M. Turner, D. P. Arovas, A. Vishwanath. Topological order and absence of band insulators at integer filling in non-symmorphic crystals // Nat. Phys. — 2013. — Vol. 9. — P. 299.

108. M. I. Aroyo, J. M. Perez-Mato, D. Orobengoa et al. Crystallography online: Bilbao Crystallographic Server // Bulg. Chem. Commun. — 2011. —Vol. 43.— P. 183.

109. J. C. Slater, G. F. Koster. Simplified LCAO method for the periodic potential problem // Phys. Rev. — 1954. — Vol. 94. — P. 1498.

110. D. A. Papaconstantopoulos, M. J. Mehl. The Slater-Koster tight-binding method: a computationally efficient and accurate approach // J. Phys. Condens. Matter. — 2003. — Vol. 15. — P. R413.

111. J. W. McGrady, D. A. Papaconstantopoulos, M. J. Mehl. Tight-binding study of Boron structures // J. Phys. Chem. Solids.— 2014.— Vol. 75.— P. 1106.

101

112- A. A. Soluyanov, D. Gresch, Z. Wang et al. Type-II Weyl semimetals // Nature- — 2015-— Vol- 527- — P- 495-

113- C. J. Bradley, A. P. Cracknell- The mathematical theory of symmetry in solids-— Oxford: Calendron Press, 1972-

114- Г. Я. Любарский- Теория групп и её применение в физике- — М-: Физматгиз, 1958-

115- Ф. Бассани, Дж. Пастори Парравичини- Электронные состояния и оптические переходы в твёрдых телах- — М-: Наука, 1982-

116- J. L. Mares, F. de Juan, M. Sturla, M. A. H. Vozmediano- Generalized effective Hamiltonian for graphene under nonuniform strain // Phys. Rev. B- — 2013- — Vol- 88- — P- 155405-

117- M. O. Goerbig, J.-N. Fuchs, G. Montambaux, F. Piechon- Tilted anisotropic Dirac cones in quinoid-type graphene and \alpha-(BEDT-TTF)2I3 // Phys. Rev. B- — 2008- — Vol- 78- — P- 045415-

118- B. Roy, Z.-X. Hu, K. Yang- Theory of unconventional quantum Hall effect in strained graphene // Phys. Rev. B- —2013- —Vol- 87- —P- 121408(R)-

119- Н. М. Буйлова, В. Ю. Зицерман- О рубрикации новых направлений научных исследований в связи с потребностями национальной экономики на примере спинтроники в физике // НТИ. сер. 2- — 2016- — Т. 11- — С- 4-

120- B. Urbaszek, X. Marie- Valleytronics: Divide and polarize // Nat. Phys. — 2015- — Vol- 11- — P- 94-

121- N.-C. Yeh, C.-C. Hsu, M. L. Teague et al. Nano-scale strain engineering of graphene and graphene-based devices // Mech. Sin. — 2016- — Vol- 32- — P- 497-

122- J. C. Martinez, M. B. A. Jalil, S. G. Tan- Giant Faraday and Kerr rotation with strained graphene // Opt. Lett. — 2012- — Vol- 37- — P- 3237-

123- J. Schiefele, L. Martin-Moreno, F. Guinea- Faraday effect in rippled graphene: Magneto-optics and random gauge fields // Phys. Rev. B- — 2016- — Vol- 94- — P- 035401-

124- J. L. Mares- Existence of bulk chiral fermions and crystal symmetry // Phys. Rev. B- — 2012- — Vol- 85- — P- 155118-

125- M. I. Aroyo, J. M. Perez-Mato, C. Capillas et al. Bilbao Crystallographic Server I: Databases and crystallographic computing programs // Z. Krist. — 2006- — Vol- 221- — P- 15-

126- M. I. Aroyo, A. Kirov, C. Capillas et al. Bilbao Crystallographic Server II: Representations of crystallographic point groups and space groups // Acta Cryst. — 2006- — Vol- A62- — P- 115-

102

127. H. Suzuura, T. Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 65. — P. 235412.

128. J. L. Manes. Symmetry-based approach to electron-phonon interactions in graphene // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 76. — P. 045430.

129. T. Sunada. Lecture on topological crystallography // Japan J. Math. — 2012.— Vol. 7.— P. 1.

130. M. OKeeffe, M. A. Peskov, S. J. Ramsden, O. M. Yaghi. The Reticular Chemistry Structure Resource (RCSR) database of, and symbols for, crystal nets // Acc. Chem. Res. — 2008. — Vol. 41. — P. 1782.

131. M. Tsuchiizu. Three-dimensional higher-spin Dirac and Weyl dispersions in the strongly isotropic crystal // Phys. Rev. B. — 2016. — Vol. 94. — P. 195426.

132. R. M. Kaufmann, S. Khlebnikov, B. Wehefritz-Kaufmann. Singularities, swallowtails and Dirac points. An analysis for families of Hamiltonians and applications to wire networks, especially the Gyroid // Ann. Phys. — 2012. — Vol. 327. — P. 2865.

133. A. Lherbier, H. Terrones, J.-C. Charlier. Three-dimensional massless Dirac fermions in carbon schwartzites // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 90. — P. 125434.

134. Y. Liang, W. Zhang, L. Chen. Phase stabilities and mechanical properties of two new carbon crystals // EPL. — 2009. — Vol. 87. — P. 56003.

135. Zhou Jian-Hui, Jiang Hua, Niu Qian, Shi Jun-Ren. Topological invariants of metals and the related physical effects // Chin. Phys. Lett. — 2013. — Vol. 30. — P. 027101.

136. D. I. Pikulin, A. Chen, M. Franz. Chiral anomaly from strain-induced gauge fields in Dirac and Weyl semimetals // Phys. Rev. X. — 2016. — Vol. 6. — P. 041021.

137. Z.-M. Huang, J. Zhou, S.-Q. Shen. Topological responses from chiral anomaly in multi-Weyl semimetals // Phys. Rev. B. — 2017. — Vol. 96. — P. 085201.

138. A. G. Grushin, J. W. F. Venderbos, A. Vishwanath, R. Ilan. Inhomogeneous Weyl and Dirac semimetals: Transport in axial magnetic fields and Fermi arc surface states from pseudo-Landau levels // Phys. Rev. X. — 2016. — Vol. 6. — P. 041046.

139. M. I. Eremets, A. G. Gavriliuk, I. A. Trojan et al. Single-bonded cubic form of nitrogen // Nat. Mater. — 2004. — Vol. 3. — P. 558.

140. E. Benchafia, Z. Yao, G. Yuan et al. Cubic gauche polymeric nitrogen under ambient conditions // Nat. Commun. — 2017. — Vol. 8. — P. 930.

141. Л. Н. Якуб. Полимеризация в сильно сжатом азоте // Физика низких температур.—

103

2015. — Т. 42. — С. 3.

142. X.-Q. Chen, C. L. Fu, R. Podloucky. Bonding and strength of solid nitrogen in the cubic gauche (cg-N) structure // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 77. — P. 064103.

143. G. Marc, W. G. McMillan. The virial theorem // Adv. Chem. Phys. — 1985. — Vol. 58. — P. 209.

144. E. Weislinger, G. Olivier. The classical and quantum mechanical virial theorem // Int. J. Quantum Chem. — 1974. — Vol. 8(S8). — P. 389.

145. Васильев Б. В., В. Л. Любошиц. Теорема вириала и некоторые свойства электронного газа в металлах // УФН. — 1994. — Т. 164. — С. 367.

146. M. Levy, J. P. Perdew. Hellmann-Feynman, virial, and scaling requisites for the exact universal density functionals. Shape of the correlation potential and diamagnetic susceptibility for atoms // Phys. Rev. A. — 1985. — Vol. 32. — P. 2010.

147. R. G. Parr, Y. Weitao. Density-functional theory of atoms and molecules. — New York: Oxford Univ. Press, 1989.

148. E. Rossi, S. Das Sarma. Ground state of graphene in the presence of random charged impurities // Phys. Rev. Lett. — 2008.— Vol. 101. —P. 166803.

149. M. Rodriguez-Vega, J. Fischer, S. Das Sarma, E. Rossi. Ground state of graphene heterostructures in the presence of random charged impurities // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 90. — P. 035406.

150. Х. Гаите. Релятивистская теорема вириала и масштабная инвариантность // УФН.— 2013. — Т. 183. — С. 973.

151. V. Fock. Bemerkung zum Virialsatz // Z. Phys. — 1930. — Vol. 63. — P. 855.

152. P.-O. Lowdin. Scaling problem, virial theorem, and connected relations in quantum mechanics // J. Mol. Spectrosc. — 1959. — Vol. 3. — P. 46.

153. J. Abad, J. G. Esteve. Generalized virial theorem for compact problems // Phys. Rev. A.— 1991. — Vol. 44. — P. 4728.

154. J. G. Esteve, F. Falceto, P. R. Giri. Boundary contributions to the hypervirial theorem // Phys. Rev. A. — 2012. — Vol. 85. — P. 022104.

155. N. H. March. Kinetic and potential energies of an electron gas // Phys. Rev. — 1958. — Vol.

110. — P. 604.

156. P. N. Argyres. Virial theorem for the homogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1967. — Vol.

154. — P. 410.

104

157. J. D. Stokes, H. P. Dahal, A. V. Balatsky, K. S. Bedell. The virial theorem in graphene and other Dirac materials // Phil. Mag. Lett. — 2013. — Vol. 93. — P. 672.

158. E. Buckingham. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations // Phys. Rev. — 1914. — Vol. 4. — P. 345.

159. E. McCann, V. I. Fal'ko. Symmetry of boundary conditions of the Dirac equation for electrons in carbon nanotubes // J. Phys. Condens. Matter. — 2004. — Vol. 16. — P. 2371.

160. J. N. Bahcall. Virial theorem for many-electron Dirac systems // Phys. Rev. — 1961. — Vol. 124. — P. 923.

105

Приложение А

Коэффициенты ряда для потенциала \Omega в приближении

хаотических фаз для дираковских электронов в графене

Первые несколько коэффициентов ряда (1.53), согласно (1.52), даются нижеследующими формулами, где D = -\/1 + u2 + w и w = \pi\alpha\mathrm{g}\mathrm{r}/8.

где

b2(\alphagr)

8(2t\=2 - 15)

15\piw4

w6 - 2t\=4 - 24t\=2 + 80 8(5?\=2 - 1)

3 + f (w^) ,

20t\=5

(А.1)

arccosw

\surd1-ln(t\=+/ 4\=2 —1) \surd4\=2 —1

при < 1,

при w > 1;

(А.2)

b ( ) = 2\alphaE du

b'(\alpha\mathrm{g}\mathrm{r}) 27 (1 + u2)3D2

8

81\pi2ӣ)4(1 - t\=2)

X (64t\=5 + 128t\=3 - 240t\= - 3\pi(3t\=6 + 9t\=4 + 28t\=2 - 40) + 48(6t\=2 - 5)f (w)), (А.3)

(8u4 - 12u2 + 1)du 1 ,.-4 ^^-2 , ,

b4("\mathrm{g}\mathrm{r}' = n56^7 (1 + u2)6D =6^\piww9 (-512w<8'\= - 210'\= + 315)+

+ 15\pi(37D10 - 2t\=8 + 16t\=6 + 480t\=4 - 4480t\=2 + 5376) - 7680(8t\=4 - 28т\=2 + 21)f (w)),

(А.4)

, , . 4\alpha2 (4u2 - 1)du

b5(\alpha,) = --75-2 ДЩЩӯ,

f\infty 9(64u6 - 240u4 + 120u2 - 5) bigl(D3 - \surd1 + u2) + 4\alpha2\mathrm{r}(1 + u2)7/2 b.(\alpha,\mathrm{r}) = -74^ ----------------------------------------------------------------л—-----------------------------------------------------------------------------------------du.

(А.5)

(1 + u2)8D3

(А.6)

106

Приложение Б

Обезразмеренная хартри-фоковская собственно-энергетическая часть для электронов в графене в магнитном поле при различных факторах заполнения

n\\nu [—2,2] 6 (n\mathrm{F} = 1) 10 (n\mathrm{F} = 2) 14 (n\mathrm{F} = 3)

0 8 3\surd\pi 8 15\surd\pi 32 35\surd\pi 64

±1 \surd\pi — —— — \surd\pi (3\surd2 + 5 4) — \surd\pi \bigl(12\surd2 + 35 4 (4 + \surd2)) — \surd\pi \bigl(24\surd2 + 93 4 (8 + 2\surd2 + \surd3))

±2 -— 128 — \surd\pi (15^2 + 9 4\surd2\bigr) — \surd\pi \bigl(60\surd2 + 125 8 (7 + 2\surd2)) — Y\surd2y (120\surd2 + 357 4 (28 + 8\surd2 + 5\surd6))

±3 -— 256 — \surd\pi \bigl(35\surd2 + 13 4\surd3\bigr) — ^^4 \bigl(140\surd2 + 159 4\surd3 (4 + 5\surd2)) — ^^48 \bigl(280\surd2 + 629 4 (51 + 8\surd3 + 10\surd6))

±4 35\surd\pi 2048 —(63\surd5+17 — \bigl(1260\surd2 + 1021 8 (20 + 23\surd2)) 1\surd(4 \bigl(2520\surd2 + 3617 8 (40 + 46\surd2 + 57\surd3))

n\\nu [—2,2] —6 (n\mathrm{F} = — 2) — 10 (n\mathrm{F} = — 3) — 14 (n\mathrm{F} = — 4)

0 8 3\surd\pi 8 15\surd\pi 32 35\surd\pi 64

±1 \surd\pi — —— 32 \surd\pi + r(nc- 1 )(8ncT4\surdnc-1) 16 + 32n\mathrm{c}! \surd\pi (4n\mathrm{c} (8n\mathrm{c} -11) \mp8\surdn\mathrm{c} - 1n\mathrm{c} ±4(3-2n\mathrm{c})\surdn\mathrm{c}+3)r(nc - 2 ) 16 + 64n\mathrm{c}! \surd\pi 1 3 1 9 16 4уЛ5 8n\mathrm{c} + 16n3/2

±2 3\surd\pi 128^ \surd8 (21 4\surd^) 128 (21 4^^) + 4\surdn\mathrm{c} 4\surd2n\mathrm{c} + 8n3/2 128 (21 4^^) + 2\surd2n\mathrm{c} 4n3/2

±3 5\surd\pi 256 ^ 256 (33 4\surd^) 1\surd4 (239 4\surd3 (4 + 5\surd2)) (239 4\surd3 (4 + 5\surd2)) +

±4 35\surd\pi 2048 (45 8) (1581 8 (20 + 23\surd2)) (4737 8 (40 + 46\surd2 + 57\surd3))

Таблица Б.1: Таблица аналитических выражений для величины — \SigmaП 0 при различных n и (см. раздел 1.3.1). Везде, где дано

разложение по степеням n\mathrm{c}, подразумевается +\scrO(n-2) (точные аналитические выражения доступны, но громоздки).