Короткие кубические тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Замонов Бехруз Маликасрорович

• Замонов Бехруз Маликасрорович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Замонов Бехруз Маликасрорович

Заключение

Литература

Обозначения

L = ln xq.

e(a) = e2nia = cos 2na + i sin 2na. £ - положительные сколь угодно малые постоянные. (a, b) - наибольший общий делитель чисел а и b. [x] - целая часть числа x. {x} - дробная часть числа x.

||x|| = min ({x}, 1 — {x}) - расстояние до ближайшего целого числа. if(q) - функция Эйлера. ß(n) - функция Мёбиуса. Л(п) - функция Мангольдта. т(n) - число делителей числа n.

тг (n) - число решений уравнения xix2 ... xr = n в натуральных числах x 1, x 2, . . . , x r

c,c1,c2, • • • , - положительные постоянные, не всегда одни и те же. Запись A х B означает, что c1A < B < c2A.

При положительном A запись B = O(A) или B ^ A означает, что существует c > 0 такое, что |B| < cA.

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения.

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Короткие кубические тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса»

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом её исследований является оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм и короткой кубической тригонометрической суммы с функцией Мёбиуса.

Многие задачи аналитической теории чисел сводятся к изучению распределения дробных долей некоторых функций, которое, в свою очередь, зависит от оценок модуля так называемых тригонометрических сумм.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя " суммы Гаусса". Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

И. М. Виноградов [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простыми

числами могут быть составлены путём сложений и вычитаний только из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции ((в) или Ь-рядов (метод сглаживания двойных сумм). В частности, он доказал теорему о нетривиальной оценке линейных тригонометрических сумм с простыми числами и решил тернарную проблему Гольдбаха.

Согласно теореме Дирихле [8] о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж, 1 — ж], жт = 1 пред-ставимо в виде

а 1

а = - + Л, (а,д) = 1, 1 < д < т, |Л| < —. д дт

Через Ш(Р) обозначим те числа а, для которых д < Р, через т(Р) обозначим оставшиеся а. М(Р) и т(Р) соответственно называются большими и малыми дугами.

Тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида

Sk (а,х) = ^^ ц(п)е(апк),

Ка,х) = М(п)

п<х

при к =1 впервые рассматривал Г. Дэвенпорт [9]. В 1937 году, воспользовавшись методом оценок тригонометрической сумм с простыми числами И. М. Виноградова, он доказал, что для всякого фиксированного В > 0 имеет место оценка

|5х(а,х)| < х^—в,

где постоянная под знаком ^ зависит только от В. Такую же оценку при к > 2, к - фиксированное целое число, получил Хуа Ло-кен [10, 11]. Эти

безусловные результаты Г. Дэвенпорта и Хуа Ло-кена до сих пор остаются самыми точными.

Наилучший условный результат в случае к = 1 принадлежит Бейкеру и Харману [12]. В предположении справедливости расширенной гипотезы Ри-мана (РГР) доказали, что

|51(а,х)| « х4+е,

где постоянная под знаком « зависит только от £. Эту оценку для к > 2, к - фиксированное целое число, обобщили Т. Жан и Дж. Лю [13].

Т. Жан [14] рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида

Бк(а; х,у)= £ д(п)в(апк),

х—у<п<х

2

при к = 1 и у > х з+е получил нетривиальную оценку

|Бк(а; х,у)| « у^-В. (1)

Затем он [15] получил эту оценку уже при у > х5+е.

В случае к = 2 безусловную нетривиальную оценку вида (1) при у > х^+е получили Т. Жан и Дж. Лю [16].

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) Г. С. Лу и Х. Х. Лао [17] доказали оценку вида (1) при к = 2 и у > х3+е.

Кумчев А.В. [18] получил нетривиальную оценку суммы Бк(а; х,у) в малых дугах т(Р) при у > хе+£, 0 = 1 — ^к+з и т = х1+2вР-1. Отсюда, в частности для Б3(а; х,у) следует нетривиальная оценка при

8 + р 25 _-,

у > х9 , т = х 9 Р 1. 6

В настоящей диссертации классическим методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова получена новая оценка короткой кубической тригонометрической суммы с функцией Мёбиуса.

Цель работы.

Целью диссертационной работы являются получение нетривиальной оценки для коротких кубических двойных тригонометрических сумм, и ее применения для нахождения нетривиальной оценки короткой кубической тригонометрической суммы с функцией Мёбиуса.

Методы исследования

Степень обоснованности полученных в диссертации научных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами, полученными в результате применения современных методов аналитической теории чисел, в том числе

• метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова;

• метода оценок тригонометрических сумм Г.Вейля.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми, они обоснованы подробными доказательствами и заключаются в следующем:

• получена нетривиальная оценка короткой кубической двойной тригонометрической суммы

■]3(а; х,у, М, N) = ^^ а(т) ^^ Ь(п)е(а(тп)3),

М<т<2М и<и<2М

х-у<тп<х

где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N -натуральные, N < и < 2N, х > х0, у - вещественные числа, с «длинным» сплошным суммированием в малых дугах т(&8А+791), А — абсолютная постоянная, при

т = у3&—8А—791, ху—1 %2А+198 < N < —2А—8;

доказана теорема об оценке короткой двойной тригонометрической суммы ^(а; х,у,М, N), имеющей близкие по порядку суммы, следствием которой является её нетривиальная оценка в малых дугах т(&32(А+13)), при

,5

т = &—32(А+13) ^&32(А+13) < N < —8(А+13);

х2 у

найдена нетривиальная оценка короткой кубической тригонометрической суммы S3(а; х,у) в малых дугах т(%32(В+19)), В > 11 — абсолютная постоянная, при

у > х5&8В+282, т = у5&—32(В+18).

х

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Её результаты и методика их получения могут быть использованы специалистами в области аналитической

теории чисел.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конфи-ренсиях и семинарах:

• XIV Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённая 70 летию со дня рождения С.М. Воронина и Г.И. Архипова, Саратов, 12-14 сентября 2016 года;

• Международная научная конференция "Математический анализ, дифференциальные уравнения и теория чисел" посвященной 75-летию профессора Т. С. Сабирова, Душанбе, 29-30 октября 2015;

• XIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвящённая восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рыш-кова, Тула, 25-30 мая 2015 года;

• на семинары отдела алгебры, теории чисел и топологии (2013 - 2016 гг.) и на общеинститутском семинаре (2014 - 2016 гг.) в Институте математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан;

• на семинары кафедры алгебры и теории чисел Таджикского национального университета.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в семи научных работах, список которых приведен в конце автореферата. В работах, написанных совместно с З. Х. Рахмоновым, соавтору принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём работы 66 страниц. Список цитированной литературы включает 34 наименований.

Содержание диссертации

Во введении описывается структура диссертации и история рассматриваемых вопросов; обосновывается актуальность темы и научная новизна полученных результатов; приводятся основные результаты диссертации.

Все безусловные нетривиальные оценки коротких кубических тригонометрических сумм Б3(а; х,у), как и коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами вида

/к(а; х,у)= £ Л(п)е(апк),

х—у<п<х

в малых дугах получены методом оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова, основу которого, наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Зк (а; х, у, М, N )= £ а(т) £ Ь(п)е(а(тп)к),

М<т<2М и<и<2М

х-у<тп<х

где a(m) и b(n) - произвольные комплекснозначные функции, M, N - натуральные, N < U < 2N, ж > ж0, y - вещественные числа.

Первая глава посвящена коротким двойным тригонометрическим суммам J3(a; ж, y, M, N) с «длинным» сплошным суммированием в малых дугах.

Сумму Jk(а; ж, y, M, N) назовём короткой двойной тригонометрической суммой с «длинным» сплошным суммированием, если b(n) = 1 и N > жв, в> |.

Суммы Ji(a; ж, y, M, N) с «длинным» сплошным суммированием последовательно были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявычуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получении нетривиальных оценок коротких сумм /1(а; ж,у) и Si (а; ж,у).

Сумму J2(a; ж,у, M, N) с «длинным» сплошным суммированием изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм S2(a; ж, у) и /2(а; ж, у) при y > ж^ +е.

Основным результатом первой главы является вывод нетривиальной оценки короткой двойной тригонометрической суммы с «длинным» сплошным суммированием J3(a; ж,у,М, N), в малых дугах m(L8A+791) при

т = y3L-8A-791, жу-1L2A+198 < N < жУ-2A-8.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в сумме J3(a; ж,у,М, N) выполняются условия |am| < т4(т), bn = 1, д/ж < y < жУ-1. Тогда при

L8A+791 < q < y3L-8A-791, жу-4L2A+198 < N < жУ-2A-8, где A — абсолютная постоянная, справедлива оценка

|J3(a; ж, y, M, N )| ^ У

L A

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24, 25, 26].

При сведении коротких кубических тригонометрических сумм S3(a; x, y) к двойным суммам вида J3(a; x,y, M, N) наряду с короткими двойными тригонометрическими суммами с «длинным» сплошным суммированием, возникают также двойные суммы, в которых суммы, составляющие двойную сумму, «близки» по порядку, то есть xy-1 < N < y.

Вторая глава посвящена таким суммам, которых назовём короткими кубическими двойными тригонометрическими суммами, имеющими близкие по порядку суммы.

Суммы J1(a; x, y, M, N), имеющие близкие по порядку суммы, также были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявы-чуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получения нетривиальных оценок коротких сумм f1(a; x,y) и S1(a; x,y).

Сумму J2(a; x,y, M, N), имеющие близкие по порядку суммы, изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм S2(a; x, y) и f2(a; x,y) при y > x16 +e.

Основным результатом второй главы является доказательство теоремы 2.1 об оценки короткой двойной тригонометрической суммы J3(a; x,y, M, N), имеющей близкие по порядку суммы.

Теорема 2.1. Пусть xy-1 < N < y, M < N, y< xL-1, |am| < т5-к (m),

|Ьп| < тк(п), к = 1, 2, 3,4. Тогда справедлива оценка

/^24 ж^25 NП к2 4к+12 у4

^ — + + ) -4k+12, если 0, < ж—;

Я

Ща; ж, у, М, —)|<

ж2^25 ж2^2 —4 \ ^к2 4к+12 Л г у4

^ + ^ + к -4к+12,если 0, 5Я > "-.

Доказательство теоремы 2.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24].

Из этой теоремы вытекает нетривиальная оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм, имеющих близкие по порядку суммы в

малых дугах 32(А+13)) при

5

т = ^^-32(А+13) " (£>32(А+13) < — < у -8(А+13)

ж2 'у _ _

Следствие 2.1.1. Пусть М < —, у < ж^-1, |ато| < т5-к(т), |Ьп| < тк(п), к = 1, 2, 3, тогда при

5ж

^32(А+13) < я < ^-32(А+13) 32(А+13) < — < ^^-8(А+13)

ж2 у

где А — абсолютная постоянная, справедлива оценка

|Л(а; ж, у, М, — )| << у^-А.

Третья глава посвящена коротким кубическим тригонометрическим суммам с функцией Мёбиуса, то есть при к = 3 суммам вида

5к(а; ж,у)= £ д(п)в(апк).

х-у<п<х

Тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида

Sk (а,х) = ^^ д(п)е(апк),

п< х

при к =1 впервые рассматривал Г. Дэвенпорт. В 1937 году [9], воспользовавшись методом оценок тригонометрической сумм с простыми числами И. М. Виноградова, он доказал, что для всякого фиксированного В > 0 имеет место оценка

|51(а,х)| < —в,

где постоянная под знаком < зависит только от В. Такую же оценку при к > 2, к - фиксированное целое число, получил Хуа Ло-кен [10]. Эти безусловные результаты Г. Дэвенпорта и Хуа Ло-кена до сих пор остаются самыми точными.

Наилучший условный результат в случае к =1 принадлежит Бейкеру и Харману [12]. Они в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) доказали, что

|51(а,х)| < х4+е,

где постоянная под знаком < зависит только от £. Эту оценку для к > 2, к - фиксированное целое число обобщили Т. Жан и Дж. Лю [13].

Т. Жан [14] рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса 51 (а; х,у) при у > хз +е получил нетривиальную оценку

|51(а; х,у )|<< у %—в.

Затем он [15] получил эту оценку уже при у > х5+е.

Первую безусловную нетривиальную оценку короткой квадратичной тригонометрической сумму с функцией Мёбиуса 52(а; х,у) получили Т. Жан и

Дж. Лю [16]. При у > х11 +е они доказали

|52(а; х,у )| < у %—в.

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана (РГР) Г. С. Лу и Х. Х. Лао [17] доказали эту оценку при у > х2+е.

Кумчев А.В. [18] получил нетривиальную оценку суммы 5к(а; х,у) в малых дугах т(Р) при

у > х0+£, в = 1 — ——, т = у> ' 2к + 3 Р

Отсюда, в частности для коротких кубических тригонометрических сумм с функцией Мёбиуса, 53(а; х,у) следует нетривиальная оценка при

8 + р 25 _-,

у > х9 +% т = х 9 Р 1.

Основным результатом третей главы является доказательство теоремы 3.1 о нетривиальной оценке суммы 53(а; х,у) в малых дугах т(&32(в+19)), В > 11 при

у > х5&8в+282, т = ^&—32(в+18).

х2

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть В > 11 — абсолютная постоянная х > хо > 0 и

ав

53(а; х,у)= £ д(п)е(ап3), а = —I—^, (а,д) = 1.

х—у<п<х ^ ^

Тог^а при у > х5%8в+282 и %32(в+18) < д < у5х——32(в+18) справедлива оценка

53(а; х,у) < .

Теорема 3.1 доказывается методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова, используя результаты предыдущих глав, а именно

• теорему 1.1 об оценке короткой кубической двойной тригонометрической суммы ^(а; ж, у, М, —) с «длинным» сплошным суммированием для а, принадлежащих малым дугам;

• теорему 2.1 об оценке короткой кубической двойной тригонометрической суммы ^(а; ж,у,М, —), имеющей близкие по порядку суммы, для а принадлежащие малым дугам.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.Н.Чубарикову за научное руководство, за постоянное внимание и помощь в работе.

Глава 1

Короткие кубические двойные тригонометрические суммы с «длинным» сплошным суммированием

1.1 . Постановка задачи и формулировка результатов

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое число а из промежутка [-ж, 1 - ж], жт = 1 представимо в виде

а 1

а = - + Л, (а, я) = 1, 1 < я < т, |Л| < —. Я Ят

Через М(Р) обозначим те числа а, для которых я < Р, через т(Р) обозначим оставшиеся а. М(Р) и т(Р) соответственно называются большими и малыми дугами.

И.М.Виноградов [1] первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида

/к(а; ж,у)= £ Л(п)е(апк),

х- у<п<х

при к = 1, он доказал нетривиальную оценку в малых дугах т(ехр(с(1п 1п х)2)) при т = х1 и у > х2/3+е.

Т. Жан [14], рассматривая короткую тригонометрическую сумму с функцией Мёбиуса вида

5к(а; х,у)= £ д(п)е(апк),

х-у<п<х

2

при к = 1 и у > х3 +е получил нетривиальную оценку

|5к(а; х,у)| < %—в. (1.1.1)

5

Затем он получил эту оценку уже при у > х5+е [15]. Первую безусловную нетривиальную оценку вида (3.1.1) при к = 2 и у > х11 +е получили Т. Жан и Дж. Лю [16].

Кумчев А.В. [18] получил нетривиальную оценку суммы 5к(а; х,у) в малых дугах т(Р) при у > х0+е, в = 1 — 2к+3 и т = х1+20Р—1. Отсюда, в частности, для 53(а; х,у) следует нетривиальная оценка при

8 +р 25 _1

у > х9 +ь, т = х 9 Р 1.

Все вышеуказанные нетривиальные оценки сумм 5к(а; х,у) как и сумм /1(а; х,у) в малых дугах, получены метод оценок сумм с простыми числами И. М. Виноградова, основу которого наряду с «решетом Виноградова», составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида

Зк(а; х,у, М, N) = ^^ а(т) ^^ Ь(п)е(а(тп)к),

М <т<2М и<и<ш

х-у<тп<х

где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, М, N - натуральные, N < и < 2N, х > х0, у - вещественные числа.

Сумму Jk (a; x,y,M, N) при b(n) = 1 и N > xe, в > 2 мы назовём короткой двойной тригонометрической суммой с «длинным» сплошным суммированием.

Суммы Ji(a; x, y, M, N) с «длинным» сплошным суммированием последовательно были изучены в работах И. М. Виноградова [1], Хейзелгроува [19], В. Статулявычуса [20], Пан Чен-дона и Пан Чен-бьяо [21], Т. Жана [22] при получении нетривиальных оценок коротких сумм f1(a; x,y) и S1(a; x,y).

Сумму J2(a; x,y, M, N) с «длинным» сплошным суммированием изучили Jianya Liu и Zhan Tao [23] и получили нетривиальную оценку сумм S2(a; x, y) и f2(a; x,y) при y > x^ +e.

Основным результатом первой главы является вывод нетривиальной оценки короткой двойной тригонометрической суммы J3(a; x,y, M, N) с «длинным» сплошным суммированием в малых дугах m(L8A+791) при

т = y3L-8A-791, xy-1L2A+198 < N < xL-2A-8.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в сумме J3(a; x,y,M, N) выполняются условия \am\ < т4(т), bn = 1, y/x < y < xL-1. Тогда при

L8A+791 < q < y3L-8A-791, xy-4L2A+198 < N < xL-2A-8,

где A — абсолютная постоянная, справедлива оценка

\J3(a; x,y,M,N )\ << J^.

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова в сочетании с методами работ [23, 24, 25, 26].

1.2 . Вспомогательные леммы

ЛЕММА 1.1. Пусть H и y - произвольные целые числа, H > 1. Тогда справедливо соотношение

y+H , 1 .

У^ e(ax) < min ( H, ——- j , ||a|| = min ({a}, 1 — {a}).

x=y+1 ^ '

Доказательство см. [6]. Лемма 1.2. . При x > 2 имеем

^ тгк(n) < x (ln x)rk—1, k = 1,2.

n<x

Доказательство см. [27].

ЛЕММА 1.3. При вещественном числе а, подчинённом условиям ав

а = - + -в, (а,д) = 1, 1 < д < N, |в| < 1,

д д2

а) для суммы

д+ч' , 1 \ Уд = ^ шт ( и, ^-1| I , д' < д, и > 0,

¿=д ^ 11 11 '

имеем неравенство

Уд < и + д 1пд,

б) а для суммы

V = £ А

^ ^ а/

0<^<0,5ч 11 11

имеем неравенство

V < д 1п д.

Доказательство см. [6], стр. 61.

1.3 . Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в сумме </3(а; ж,у,М, N) выполняются условия |ат| < т4(т), Ьп = 1, л/ж < у < ж&-1. Тогда при

&8А+791 < я < у3&-8А-791, жу-4&2А+198 < N < ж&-2А-8,

где А — абсолютная постоянная, справедлива оценка

|7з(а; ж, у, М, N)| « ^.

Доказательство. Для удобства условия

жу-4&2А+198 < N < ж&-2А-8 в теореме, с учётом неравенства MN х ж, заменим на

^2А+8 « М « у4&-2А-198, (1.3.1)

а сумму </3(а; ж, у, М, N) обозначим через Ж. Возводя W в квадрат, найдём |2 = £ ат £ ам £ £ в(а((дм1)3 - (ти)3)).

М <т<2М М<^<2М и<п<2М и<п1 <2М

х-у<тп<х х-у<^п\<х

Разбивая сумму на три части, для которых соответственно выполняются

условия ти < ми, ти = ми и ти > ми, и имея в виду, что

X] атам £ 1= £

М<т,^<2М и<«,«1<2№ х—у<г<х

х-у<ти=^и^ <х

< £

х—у<г<х

^ ат <

т\г,М<т<2М, I

\ и<г/т<2И / /

£ Г4<т)

т\г,М<т<2М, I

\ и<т/т<2М /

<

< £ (£т4(т)1 = £т2(г) < 24,

х—у<г<х \ т\г

5

х—у<г<х

получим

ж2 = + ^2 + О 24) ,

= £ ат £ ам £ £ е(а((ди!)3 — (ти)3)),

М<т<2М М<^<2М и<«<2№ и<«1<2№

х-у<ти<х шп<^Н1<х

^2 = £ ат £ ам £ £ е(а((ди1)3 — (ти)3)).

М<т<2М М<^<2М и<и<2М и<щ<2М

х-у<ти<х х-у<^и1 <ти

Имея в виду, что ^^ = |Ж2|, оценим только . В сумме по и1, делая замену переменного, вместо и1 вводим переменную г = ди1 — ти, для которой выполняются условия

ти + г = 0(то^м), им < ти + г < 2Nм, 0 < г < х — ти.

Тогда

(ми )3 — (ти)3 = (ми — ти)((ти)2 + тиди1 + (ди1)2) =

= г (ти)2 + тим

ти + г

М

+ М •

ти + г

М

г(3(ти)2 + 3тиг + г2),

2

2

и сумма Ж принимает вид

Ж = ^^ ат ^^ аа ^^ ^^ е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2))

М <т<2М М<а<2М и<п<2М и^<тп+г<2М^

х — у<ти<х 0<г<х — ти

ти+т=0(то(а)

= ^^ ат ^^ аа ^^ У^ е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)),

М <т<2М М<а<2М 0<т<у Р<и<о

где

^ /д — г ж — ^ . 2Жд — г ж'

^ = шах и,—--,-- , С = ш1п 2Ж,—--,—

\тт V т т

Разбивая сумму Ж на слагаемые, с условием (т,д) = ё, ё < 2М, имеем = ^^ ^^ ат ^^ аа ^^ ^^ е(аг(3(ти)2 + 3тиг + г2)).

(<2М М <т<2М М<М<2М 0<т<у Р<и<о

(m,^)=d mu=—r(mod^)

Условие (т,д) = ё в сумме Ж равносильно условиям т = тё, д = дё, (т, д) = 1. Следовательно, сравнение ти = —г(тоёд) разрешимо только в случае, если г имеет вид г = гё. Поэтому, заменив его на сравнение ти = —г(тоёд), а переменные суммирования т, д, г соответственно на тё, дё, г = гё, найдём

Ж = £ £ ат( ^ £ е(агё3(3(?ти)2 + Зтиг + г2)),

(<2М М<т(<2М М<^<2М 0<Т(1<у Рш^<и<Огп^

(т — 1 т u=—r(шodjl)

т? (ттиД — г ж — У\ п • — г

^тл = шах и,---, „ , , Стл = шт 2М 1

та шил 1 ^ 5 5 л , ) ^ та .................. . ^ . , Л , Л . .

1 ™ т <2 / \ т т а /

тд

Сравнение ти = — г(тоёд) равносильно сравнению и = —гт-1(тоёд), где т-1 определяется из сравнения тт-1 = 1(тоёд). Поэтому, представляя и

23

в виде и = — гт—— 1 + /¿и, получим

= £ £ -м £ ад^ £ £ е(аг^3(г2 + д(и,т,/))),

¿<2ММ<?Ы<2М М<^й<2М 0<г^<у <и<9тд

(т ,А) = 1

У = ртд + гт— ^ = ^тд + гт—

Д Л + Л , С^ТО Д Л + Л , М М М М

з(ти)2 + зтиг + г2 = з(т(/и — гт—1))2 + зт(/и — гт—1 )г + г2 = = з(т/и — гтт—1)2 + з(т/и — гтт—1)г + г2 = д(и, т, /) + г2.

В сумме , ради удобства, обозначая переменные суммирования т, /, г и и через т, /, г и и, получим

= £ £ е(а^3г3)Ж(г, а),

¿<2М 0<Ы<у

ж (г,а) = £ атй £ адй £ е(заг^3 д(и,т,/)),

М<т^<2М М<м^<2М Утм<м<дтм

У = ртд + гт—1 _ = / и/ — г х — у\ (1.3.2)

Утд — , Ртд — шах I , I ,

М ^ ^ т та у

Стд + гт/ . f0AT2Nм — г х

Зтд = -— , &тд = Ш1П ( 2N,

5 ^ШД ш-ш I . , , 7(5

М \ т та у

д(и, т, /) = (т/и — гтт—1)2 + (т/и — гтт—1)г. Разобьём в Ж отрезок суммирования по а на не более чем & интервалов вида Р < а < 2Р, Р < М. Получим не более & сумм Ж(Р) вида

ж(р) < £ £ (г, а)|. (1.3.3)

£<¿<2^0 0<Ы<у

Имея в виду, что Р < М и, согласно (1.3.1), М ^ &2А+8, рассмотрим два случая: Р > &2А+8 и £ < &2А+8.

2. Оценка Ж (Р), Р > &2А+8. В сумме Ж (г, а) оценим сверху длину интервала суммирования по и, воспользовавшись условием М < у4, имеем

цд—?тд+1=+1 < т/а+1 <М+1 < М.

Подставляя эту оценку в правую часть (1.3.3), воспользовавшись соотношением |ат| < т4(т), затем леммой 1.2, последовательно получим

Ж(Р) < £ £ £ т4(та) £ т4(/а)(3тд — Утд + 1) <

_0<^<2_0 0<Ы<у М<тй<2М М<^й<2М

(т,^)=1

< £ а £ т4(та) £ т4(ма)— <

М<тй<2М М<^а<2М

(т,^)=1

< £ т|(а) а £ т4(т/)ММ^ <

(т,^)=1

< — £ т42(а) ( £ т4(т) ) <

\МЙ-1<т<4МЙ-1 /

у2 V- 2/? чМ 6 у2&6 ^ 2/а

< — £ т!(а)—< ^ £ т2(а) <

у2&6 у2&6 у2

Б(1п Б)—15 &2А+8((2А + 8) 1п&)—15 &2А+1-

3. Далее всюду будем считать, что Б < а < 2Б и Б < &2А+8. Возводя неравенство (1.3.3) в квадрат и применяя неравенство Коши, получим

ж2(Б) < у £ £ (г,а)|2, (1.3.4)

£<¿<2^0 0<Ы<у

(г, а)|2 = £ ат^ад^£ а^а^ £ £ е(зага3(д(иь п, V) — д(и,т,/)))

М<т4,рА<2М М<п<1М<2М Утм<и<дтм ^<«1<9п^

гп—1 / ^ — г х — у \

=--!--, Рп^ = шах и,-, —— ,

V V V п па У (135)

З Спу + гп—1 С ./ 2Nv — г х \ 1 ' ' ;

Зпу = -, Спу = шт 2^ -, — .

V V п па /

Воспользовавшись в (г, а) |2 явным видом д(и^п^)— д(и,т,/), то есть

соотношением g(ui,n, v) - д(и,т,д) =

= (nvu1 — rnn—1)2 + (nvu1 — rnn-1)r — (тди — rmm-1)2 — (тди — rmm-1)r = = (nvu1 — rnn—1 — тди + rmm—1)(nvu1 + тди — rmm—1 — rnn—1 + r),

(1.3.6)

разбивая сумму |W(r,d)|2 на три суммы Wrd, Wr'd и W"d, найдём

|w (r, d)|2 = Wrd + w;d + wrd, (1.3.7)

Wrd = £ amda^d ^2 andavd £ e(3ard3(g(u1,n, v) — д(и,т,д))),

M<md,ßd<2M M<nd,vd<2M Fm„<u< Gm„ Fnv<u1<Gnv

/ )_i / )_i mß ^ —^ mß - -

( ( ' ^ mvtn—rnn,- >m,uui,—rm,m,..

3

W'rd =^2 amda^d^2 andßvd, £ £ e(3ard3(g(ubn, v) — д(и,т,д)))

M<md,ßd<2M M<nd,vd<2M Fm„<u< Gm„ Fnv<«l<Snv

( )_ i ( )_ i Uiß ^ - ^ mß i i

( ( ' ^ nun,л —rnn. <mu,u—rmm..

^d = £ amda/j,d ^2 andavd ^2 ^2 1

M<md,ßd<2M M<nd,vd<2M Fm,,<U< Gm„ ?nv<u i <Snv

( \_i ( \_i Hiß ^ — ^ Hiß i i

( ( ' nvu i-rnn. _mßu—rmm.

4. Оценка W"d. Пользуясь определениями параметров FmM, GmM, Fnv и Gnv, то есть соотношениями (1.3.2) и (1.3.5), легко показать, что условия < и < Gm^ и Fnv < u1 < Gnv соответственно равносильны условиям

max ^Um, — r, X — ^ < тди — rmm—1 < min ^2Nm, — r, X^ , Un, Uv — r, X — ^ < nvu1 — rnn—1 < min ^2Nn, 2Nv — r, X) • Поэтому, вводя обозначение h = тди — rmm—1 = nvu1 — rnn—1, найдём

Wrd = £ w2(h), w(h) = £ amdaMd-

x—y<hd<x h=m^u~rmm- i

M<md,pd<2M, (m,^)=1

Fmß<U<Gmß

Из условий h = тди — rmm—1 и mm—1 = 1 + , t — целое следует, что h + r = тди — r(mm—1 — 1) = д(ти — rt),

то есть / является делителем числа Н + г, следовательно,

^(Н) < £ £ |-д^| «

т\Л. д\Л.+г

М<т^<2М М<д^<2М (т,д)=1

тм + м

« У^т4(та) у^ т4(/а) < т42(а)т5(н)т5(н + г).

т\Л. д\Л.+г

Отсюда, воспользовавшись леммой 1.2, найдём

га«т44(а) £ т|(н)т52(Н + г)«

х—у<М<х

« т4(а) ( ]Г т4(Н) £ т4(н + г)) «

х—у<М<х х—у<М<х

« т4(а^ а2 &2-54-2)2 = у&54—1 ^.

Отсюда с учётом (1.3.7) и (1.3.4), имея в виду, что = , получим

«у £ £ (|иу + у&54—1 • «

0<Ы<у '

« у £ £ + у54—1. (1.3.8)

_0<^<2_0 0<Ы<у

5. Преобразуем так, чтобы сумма по и стала линейной. Для этого, делая замену переменных, вместо и1 вводим а = nvu1 — т/и, область изменения которой имеет вид

т/и + а

^ = <| а : т/и + а = 0(modnv), < ' " < , а > гпп— — гтт 1

nv д

При этом, воспользовавшись соотношением (1.3.6), представим разность

д(и^п^) — д(и,т,/) как функцию а, то есть

д(и1,п, V) — д(и, т, /) =

= (nvu1 — т/и + гтт—1 — гnn-1)(nvu1 + т/и — гтт—1 — гпп—1 + г) = = (а + гтт—1 — гпп—1)(а + 2т/и — гтт—1 — гпп—1 + г) = = д1(и, а, т, /, п, V),

и сумма принимает вид

^ = £ ат^ £ а^а^ £ £ е (заЫ3д1 (и, а, т, /, п, V)) .

М<тй,^й<2М М<пй,ий<2М Ттм<М<Зтм СТбП

I ИЛ г г у //// ^^ '

(т,^) = 1 (п,^)=1

Воспользовавшись определениями области ^ и параметров Ттд, , найдём возможно допустимую верхнюю границу изменения переменной суммирования а. Имеем

+ гп—1 Ртд + гт„1

^ п ^ П ГГ п^ I ' ' "V Д

а < nv— т/и < nv— т/ттд = nv--т/-

V /

„ ^ _1 _1 /rlД7.2Nv — г

= пС^ — тРтд + гпп— — гттц = п шт 2^,

тд 1д V ' п 'па,

и/ - г х - у 1 1 у 1 1

— т шах и,-,-— + гпп„ — гтт,, < - — гтт ,, + гпп„ .

\ т та у V д - а д V

С учётом найденной границы в , сделав сумму по и внутренней, найдём ^ =£ -ш^ад^ £ а^а^ £ £е (зага3д1(и, а, т,/, п, V)) ,

М<тй,^й<2М М <пй,ий<2М П1 и

(т,^) = 1 (п,^) = 1

= | а : 0 <а + гтт—1 — гпп—1 < у | ,

Г nv — а nv — а

и = < и : т/и + а = 0(moаnv), -< и <-, Тт Д < и < Зтд

т/ т/

то есть в внутренняя сумма стала линейной, переменная суммирования и пробегает те значения из своего сплошного интервала изменения, которые являются решением линейного сравнения.

6. Разбивая сумму на слагаемые с условием (тд,п^) = 6,

6 < 4М2ё—2, имеем

= ^2 ат(а^( а^а^ £ £ е (3агё3^1(и, а, т, д, п, V)) .

Ж4М2(-2 M<шd,^d<2M M<nd,vd<2M ^ и

(т,^)—1 (п,^)—1, (т.^,пи) — 6

Условия (mд,nv) = 6 с учётом условий (т,д) = 1 и (п, V) = 1 в сумме равносильны условиям

тд = т д6, (т, д) = 1, nv = п д6, (п ,д) = 1, (тд д,п д) = 1, т = тдп, п\6, д = д6/п, (п,6/п) = 1, п = пЛ, Л\6, V = д6/Л, (Л,6/Л) = 1.

Следовательно, в области и сравнение

тди + а = 0(modnv)

разрешимо только в случае, если а имеет вид а = а6. Поэтому, заменим её на сравнение

т ди = —а(тоёпд),

а переменные суммирования т, д, п, V, а соответственно на тдп, д6/п, пЛ, д6/Л, а6. Тогда параметры , РтМ, ЗтМ, Ста, ^, Рп^, Зп^, Сп„ и функция ^1(и, а, т, д, п, V) соответственно превращаются в ,

ля/А , Рпл, ля/л, Зпл, ЛЯ/А , СпА,£5/А и в функЦию 29

(и) = ^1(и, а6, тдп, дб/п,пЛ, д6/Л), которые имеют вид

^ = Ртп,»ё/п + г(тп)—Я/п =ша^и ид6/П — г ж —

^'тп, »ё/п л г- / + л г- / , Р тп, »ё/п шах I и, л , л , ,

7 /до/п до/п V тп тп« /

= Ст п,ЛЯ/п + г(?т п)—Я1/п С_ = Шщ /Уу 2^д6/п — г ж ^

Зг»п,»ё/п л г / + л г / , Сгпп, »ё/п ПШ1 I , л , л 7

7 д6/п д6/п \ тдп тп«,

^»ё/А = -д6ТГ + "^/Л" , РпА»ё/А = шах Vи пЛ , "йЛа) •

З Спл, об/л + г(пЛ)^!/л С . 2^дг/Л — г ж — у \

З»А,»ё/А = + ' СпА»ё/А = Ш1Ч ' —пл— • )

31 (и , д6 , гпп,//6/п,пЛ , д6/Л) = ^а6 + г-тп (тп)—ё/п — гдЛ (пЛ)»ё/А^ (а6+

+2тд6и — г-тп (тп— гпЛ (пЛ)»Я/А + г^ ,

и сумма представится в виде

= £ £ £ Жт((6,п,Л), (1.3.9)

ё<4М2 (-2

(п,г/п)—1 (-МЛ)—!

Жт((6,п,Л)= £ а(тпа(»ё/п £ а^а^ё/А^^ е (3аг«331(и)) ,

M<drh r|,drS/r|<2M M<dn\,drS/\<2M а и

(т,Г)—1 (П,Г)—1, (ГГГ,ПГ)—1

где суммирование ведётся по тем д и и, для которых соответственно выполняются условия

у

•0 < а6 +гтп(тп^ё/п— гпЛ(пЛ)»ё/л < «;

, Л п, ^пА,»ё/Апд , а ЗпА,»ё/Апд -

• тди + а = 0(тоапд), -^-< и + <-^-, ^тп »ё/п <

тд дд тд дд тд дд

и < Зг»п, »ё/п .

Подставляя правую часть (1.3.9) в соотношение (1.3.8), получим

«у £ £ £ £ £ |Жт((6,п,Л)| + у3^54—1.

(1.3.10)

Б<(<2В 0<т(<уё<4М2(-2 А\г

(п,г/п)—1 (-МЛ)—!

Разбивая отрезок суммирования по 5 на не более чем & интервалов вида В < 5 < 2В, В < 2—2а—2, получим не более & сумм (Б) вида

иъ(Б)«у £ £ £ £ £ |ии5,„,А)|. (1.3.11)

(п,г/п)=1 (-МЛМ

В сумме (5, п, А), ради удобства обозначая переменные суммирования т, п, //, г) и а соответственно через т, п, /, V и а, получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Замонов Бехруз Маликасрорович, 2017 год

Литература

[1] Виноградов И.М. Избранные труды /И.М.Виноградов // М.: Изд-во АН СССР. 1952. 436 с.

[2] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел /И. М. Виноградов // М.: Наука. 1980. 144 с.

[3] Виноградов И.М. Основы теории чисел /И.М.Виноградов // М.: Наука, 1981. С. 393 - 400.

[4] Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга /И. М. Виноградов // Доклады Академии наук СССР. 1934. № 2. С. 337 - 341.

[5] Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел /И. М. Виноградов // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1937. Т. 10. С. 5 - 122.

[6] Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм

/И. М. Виноградов // М.: Наука, 1976. 120 с.

[7] Виноградов И.М., Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел /И. М. Виноградов, А.А. Карацуба // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1984. Т. 168. С. 4 - 30.

[8] Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел /А. А. Карацуба // 2-ое изд, М.: Наука, 1983. 240 с.

[9] Davenport H. On some infinite series involving arithmetical functions (II) /Н. Davenport // The Quarterly Journal of Mathematics. 1937. V. 8, No 1 pp. 313 - 320.

[10] Hua L. K. Additive theory of prime numbers /L. K. Hua // American Mathematical Soc. 1965. 190 pp.

[11] Хуа Ло-ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел /Л. Г. хуа // М.: Мир. 1964. 190 с.

[12] Baker R. C., Harman G. Exponential sums formed with the Mobius function /R.C.Baker, G. Harman // J. London Math. Soc. 1991. (2)43. pp. 193 - 198.

[13] Liu J. Y., Zhan T. Exponential sums involving the Mobius function /J. Y. Liu, T. Zhan // Indag. Math. (N.S.), 7(2):271-278, 1996.

[14] Zhan T. Davenport's theorem in short intervals /T. Zhan // Chin. Ann. of Math., 12B(4):421-431, 1991.

[15] Zhan T. On the representation of large odd integer as a sum of three almost equal primes /T. Zhan // Acta Mathematica Sinica, 7(3):259-272, 1991.

[16] Liu J. Y., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals /J. Y. Liu, T. Zhan // I. Monatshefte fur Mathematik. 1999. 127(1). pp. 27 - 41.

[17] sc Lu G. S., Lao H. X. On exponential sums over primes in short intervals /G. S. Lu, H. X. Lao // Monatshefte fur Mathematik. 2007. 151(2). pp. 153 -164.

[18] Kumchev A V. On Weyl sums over primes in short intervals /A. V. Kumchev // "Arithmetic in Shangrila" — Proceedings of the 6th China-Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications. 2012. V. 9. Singapore: World Scientific. pp. 116-131.

[19] Haselgrove C.B. Some theorems in the analytic theory of number /C. B. Haselgrove // J.London Math.Soc. 1951. pp. 273 - 277.

[20] СтАтулявичус В. О представлении нечётных чисел суммою трёх почти равных простых чисел /В. Статулявичус // Вильнюс. Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н. 1955. № 2. С. 5 - 23.

[21] Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric

sums over primes in short intervals (III) /Pan Cheng-Dong, PanCheng-BIAO // Chinese Ann. of Math. 1990. Vol. 2. pp. 138 - 147.

[22] Zhan T. On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes /T. Zhan // Acta Math Sinica, new ser. 1991. Vol. 7, no. 3. pp. 135 - 170.

[23] Liu J.Y., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I /J. Y. Liu, T. Zhan // Mh Math. 1999. Vol. 127. pp. 27 - 41.

[24] РАхмонов З.Х., РАхмонов Ф.З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами /З.X. РАхмонов, Ф.З. РАхмонов // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459, №2. С. 156 - 157.

[25] РАхмонов З.Х. Теорема о среднем значении и её приложения /З. X. РАхмонов // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1993. Т. 57. № 4. С. 55 - 71.

[26] РАхмонов Ф З. Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами /Ф.З. РАхмонов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. №3. С. 56 - 60.

[27] Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы /К.К.Марджанишвили // Доклады Академии наук СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391 - 393.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в перечень периодических изданий, рекомендованных ВАК

[28] ЗАмоновБ.М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием /Б. М. ЗАмонов, З. Х. РАхмонов, Ф. З. РАхмонов // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. № 1. С. 217 - 231.

[29] ЗАмоновБ.М. Об оценке коротких кубических двойных тригонометрических сумм на малых дугах /Б. М. ЗАмонов // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2015. Т. 58. № 6. С. 483 - 486.

[30] ЗАмоновБ.М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы, с «длинным» сплошным суммированием /Б. М. ЗАмонов, З. Х. РАхмонов // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 4(157). С. 7 - 23.

Публикации автора по теме диссертации, примыкающие к основным

[31] ЗАмоновБ.М. Об оценке коротких кубических тригонометрических

сумм с функцией Мёбиуса на малых дугах /Б. М. ЗАмонов // Доклады

Академии наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7 - 8. С. 278 - 281.

[32] ЗАмоновБ.М. Короткие двойные тригонометрические суммы на малых дугах /Б.М.ЗАмонов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анлизу и смежным вопросам. 2016. № 8. С. 32 - 34.

[33] ЗАмоновБ.М. Короткие кубические двойные тригонометрические суммы с «длинным» сплошным суммированием /Б. М. ЗАмонов, З. Х. РАхмонов // XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвящённая 80-летию со дня рождения С.С. Рышкова, Тула, 25-30 мая 2015 г. С. 47 - 49.

[34] ЗАмоновБ.М. Оценка коротких кубических двойных тригонометрических сумм с «длинным» сплошным суммированием / Б. М. ЗАмонов // Материалы международной научной конференции "Математический анализ, дифференциальные уравнения и теория чисел", посвящённой 75-летию профессора Т.С. Сабирова, Душанбе, 29-30 октября 2015. С. 11 - 12.