Контактное взаимодействие фрактальных шероховатых поверхностей деталей машин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.02, кандидат технических наук Горохов, Денис Борисович

• Горохов, Денис Борисович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Горохов, Денис Борисович

Введение.

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ДЕТАЛЕЙ МАШИН.

1.1. Геометрические характеристики качества поверхностей.

1.2. Методы описания шероховатости деталей машин.

1.3. Основные модели контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

1.4. Эксплуатационные свойства соединений деталей машин.

1.5. Постановка задач исследований.

ГЛАВА 2. ФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТОСТИ.

2.1. Общие сведения о фрактальной геометрии.

2.2. Модели фрактальных статистических самоаффинных процессов.

2.2.1. Фрактальное броунское движение.

2.2.2. Фрактальный гауссовый шум.

2.3. Методы определения фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности.

2.4. Классификация профилей шероховатых поверхностей.

2.5. Моделирование изотропных самоаффинных шероховатых профилей и поверхностей.

2.5.1. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта.

2.5.2. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом фильтрации Фурье.

2.5.3. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей методом срединного смещения.

2.5.4. Анализ методов моделирования фрактальных шероховатых поверхностей.

ГЛАВА З.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПРОФИЛЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ПАРАМЕТРАМ ШЕРОХОВАТОСТИ.

3.1. Математическая постановка задачи.

3.2. Определение оптимальных значений фрактальных параметров.

ГЛАВА 4. КОНТАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФРАКТАЛЬНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1. Параметры эквивалентной шероховатой поверхности.

4.2. Влияние фрактальных параметров на топографические характеристики фрактальных шероховатых поверхностей.

4.2.1. Разработка программного комплекса «FD contact».

4.2.2. Размерное распределение пятен контакта.

4.2.3. Определение формы и числа неровностей.

4.2.4. Распределение вершин, впадин и высот неровностей.

4.3. Контакт отдельной неровности шероховатой поверхности с упругим полупространством.

4.4. Контакт жесткой фрактальной шероховатой поверхности с упругим полупространством.

4.4.1. Влияние распределения радиусов неровностей.

4.4.2. Контактирование фрактальных1 шероховатых поверхностей.

4.4.3. Влияние числа гармоник и фрактальной размерности.

4.5. Сравнение полученных результатов с результатами других исследователей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контактное взаимодействие фрактальных шероховатых поверхностей деталей машин»

Многие эксплуатационные свойства соединений деталей машин и аппаратов: износостойкость, контактная жесткость, коррозионная стойкость, усталостная прочность, герметичность, электро- и термоконтактное сопротивление и другие - зависят от топографических параметров микрогеометрии, свойств материалов и приложенной нагрузки.

Обеспечение надежности соединений деталей машин и аппаратов закладывается еще на стадии проектирования. Исследования показывают, что более 80% случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей. Из общего числа отказов, связанных с нарушением функционирования соединений деталей, 2/3 обусловлено конст-рукторско-технологическими дефектами, остальные - производственными дефектами и нарушением режимов эксплуатации.

Основными контактными характеристиками, обеспечивающими эксплуатационные свойства соединений деталей машин, являются сближение шероховатых поверхностей, относительная площадь контакта и объем зазоров в стыке, которые находятся в определенной взаимозависимости и определяются параметрами микрогеометрии и величиной сжимающих напряжений.

Стык соединений деталей машин является сложной технической системой как с точки зрения описания шероховатых поверхностей, так с точки зрения механики контактного взаимодействия. Поэтому для определения эксплуатационных показателей используется основной метод исследования сложных систем - метод математического моделирования.

Для решения контактных задач в трибологии широко используется дискретная модель шероховатости, в которой для описания шероховатости используется начальная часть кривой опорной поверхности. Однако ее применение при высокой плотности пятен контакта, где необходимо учитывать взаимное влияние неровностей, приводит к значительным погрешностям. Кроме того, при применении дискретной модели используются параметры шероховатости, значения которых зависят от разрешающей способности измерительного прибора и длины выборки, хотя в последнее время для описания микрогеометрии поверхностей часто используют фрактальную модель, параметры которой постоянны для всех масштабов микронеровностей. Но при этом при определении контактных характеристик получены результаты, противоречащие дискретной модели шероховатости и положениям механики контактного взаимодействия, на которых она основывается: малые пятна контакта деформируются пластически, большие — упруго.

В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей.

Таким образом, цель работы - совершенствование методов расчета характеристик стыка шероховатых поверхностей соединений деталей машин при высокой плотности пятен контакта путем применения фрактальной модели шероховатой поверхности для определения размеров неровностей и функций их распределения по высоте шероховатого слоя.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

• анализа основных моделей фрактальных процессов и методов определения фрактальных характеристик;

• моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости;

• моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей при высокой плотности пятен контакта.

Научная новизна заключается в разработке:

• методики эффективного моделирования шероховатых профиля и поверхности на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта путем варьирования фрактальных параметров с использованием ЛПт-последовательностей;

• математической модели фрактальной шероховатой поверхности и исследования ее основных характеристик в зависимости от числа гармоник;

• методики определения закона распределения вершин и впадин неровностей, их высот и формы, распределения сечений неровностей на разных уровнях;

• математической модели контакта жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством.

Работа предназначена для создания на базе проведенных теоретических исследований современных инженерных методов моделирования фрактальных шероховатых профилей и поверхностей по заданным параметрам шероховатости и расчета относительной площади контакта шероховатых поверхностей, используемых при проектировании соединений деталей машин.

Заключение диссертации по теме «Машиноведение, системы приводов и детали машин», Горохов, Денис Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Произведен анализ работ в области моделирования шероховатости и контактного взаимодействия шероховатых поверхностей деталей машин. Указано, что основным их недостатком, за небольшим исключением, является неучитывание взаимного влияния неровностей, распределенных по высоте шероховатого слоя.

2. Установлено, что результаты, : полученные при использовании фрактальной модели шероховатости, противоречат моделям GW и Э из-за принятых допущений: для вычисления силы микроконтакта используется наибольшее ее исходное сечение, а все меньшие неровности, находящиеся на большей неровности игнорируются, при этом площадь контакта равна половине исходного сечения. Показано, что при взаимном влиянии неровностей площадь контакта состоит из нескольких отдельных площадок, образованных меньшими неровностями, находящимися на большой неровности.

3. Рассмотрены методы определения фрактальной размерности. По точности определения рекомендуется использовать размерность, найденную из функции спектра мощности. Приведена классификация типа профиля шероховатости в зависимости от наклона средней линии функции спектра мощности.

4. Моделирование шероховатого профиля с помощью метода фильтрации Фурье имеет случайный характер, .не позволяющий изменять точность моделируемой поверхности. Процедура генерирования фрактальных кривых методом срединного смещения сложна в реализации, такие профили не являются стационарными и закон дисперсии для них не выполняется. Традиционный подход с использованием функции Вейерштрасса-Мандельброта позволяет моделировать высотные параметры с точностью до 5% и шаговые - с точностью до 30-60%.

5. Разработана методика повышения точности моделирования шаговых параметров шероховатости до 5% путем введения линейной или квадратичной зависимости у (и) с использованием ЛПт-последовательностей для равномерного зондирования области допустимых значений варьируемых фрактальных параметров. При этом значение суммарного критерия для профиля уменьшается в 10. .12 раз, а для поверхности - в 5. .7 раз.

6. С помощью имитационного моделирования впервые получено выражение для определения фрактальной размерности эквивалентной шероховатой поверхности в зависимости от фрактальных размерностей контактирующих поверхностей и максимальных высот неровностей.

7. В результате проведенных исследований по определению влияния распределения радиусов микронеровностей на относительную площадь при упругом контакте, установлено, что с : точностью до 5% расчет можно производить по среднему их значению.

8. Установлено, что для фрактальных поверхностей средняя высота неровностей составляет (0,15.0,25)7?тах. Исходя из описания опорной поверхности отношением неполной бета-функции получено выражение для распределения таких неровностей по всей высоте шероховатого слоя.

9. Контакт отдельной неровности рассмотрен с учетом взаимного влияния остальных контактирующих неровностей. Получена система трансцендентных уравнений, позволяющая определить относительную площадь контакта в зависимости от приложенной нагрузки, числа гармоник моделируемой поверхности и фрактальной размерности.

10. Показано, что при одинаковой нагрузке с ростом числа гармоник и с уменьшением фрактальной размерности, относительная площадь контакта уменьшается. Более универсальным параметром, в меньшей мере зависящим от числа гармоник и фрактальной размерности D, является силовой упругогеометрический параметр Fq.

11. Разработан алгоритм и реализован программный комплекс «FD contact», позволяющий смоделировать фрактальные шероховатые поверхности с заданными параметрами шероховатости, рассчитать размерное распределение сечений неровностей для разных уровней, распределение вершин, впадин и высот неровностей, а также определить контактные характеристики поверхностей.

12. Проведено сравнение полученных результатов с результатами других исследователей. Получено хорошее совпадение с экспериментальной зависимостью Бартенева-Лаврентьева, для г|>0,3 среднее отклонение при определении относительной нагрузки для заданного г| не превышает 10%. Показаны значительные расхождения (сотни процентов) с моделями, не учитывающими взаимное влияние неровностей. Применение модели Огара-Корсака дает расхождения от 60% для г|=0,1 до 23% для г|=0,8.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Горохов, Денис Борисович, 2005 год

1. Айнбиндер C.B., Тюнина Э.Л. Введение в теорию трения полимеров. Рига.: Зинатне, 1978. - 224 с.

2. Алексеев В.М., Сутягин О.В. Влияние плотности пятен касания на характеристики упругого контакта шероховатых тел // Теоретические и прикладные вопросы контактного взаимодействия. Калинин: КГУ, с. 16-28

3. Аргатов И.И., Дмитриев H.H. Основы дискретного контакта: Учебное пособие СПб.: Политехника, 2003. - 233 е.: ил.

4. Аронович В.Б. Арматура регулирующая и запорная. М.: Машгиз, 1953. -284с.

5. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128с.

6. Бартенев Г.М., Лаврентьев В.В. Трение и износ полимеров. М.: Химия, 1972.-240 с.

7. Беляев Н.М. Применение теории Герца к подсчетам местных напряжений в точке соприкасания колеса и рельса. // Вестник инженеров. 1917. - т. III. -№12.-С. 281-282.

8. Бородич Ф.М., А.Б. Мосолов Фрактальный контакт твердых тел // Журн. технич. физ., 1991. Т. 61, №9. С. 50-54.

9. Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ. 1993. - Т. 14, № 3. -С. 452-459.

10. Ю.Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. — 280с. ISBN 5-02-014292-1.

11. П.Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1953.

12. Горохов Д.Б. Моделирование анизотропных шероховатых поверхностей методом срединного смещения // Естественные и инженерные науки развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. Братск: БрГТУ, 2004. - 230с.

13. Горохов Д.Б., Байтов A.B. Автоматизация обработки профилограмм шероховатых поверхностей // Естественные и инженерные науки развитию регионов: Материалы межрегиональной научно-технической конференции. — Братск: БрГТУ, 2003. - С. 138.

14. Горохов Д.Б., Огар П.М. Моделирование фрактальных шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. СПб, - 2004. - Вып. 10 - С. 235-240.

15. Горохов Д.Б., Огар П.М. Определение фрактальной размерности профилей шероховатых поверхностей // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: СПбГАСУ. — СПб, 2004. - Вып. 10 — С. 228-235.

16. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Теоретические основы метода расчета местности стыка шероховатых тел с учетом взаимного влияния микроконтактов // Машиноведение 1979. - С. 66-71.

17. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение 1988. - 256 с.

18. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970. - 226 с.

19. Демкин Н.Б., Короткое М.А., Алексеев В.М. Методика расчета характеристик фрикционного контакта // Расчет и моделирование режима работы тормозных и фрикционных устройств. М.: Наука, 1974. - С. 6-15.

20. Демкин Н.Б., Лемберский В.Б., Соколов В.И. Влияние микрогеометрии на герметичность разъемных соединений с прокладками из низкомодульных материалов // Изв. вузов: Машиностроение, 1976. - № 7. - С. 26-30.

21. Демкин Н.Б., Измайлов В.В. Фактическая площадь контакта и жесткость тя-желонагруженных стыков // Проблемы трения и изнашивания. К.: Техника 1976.-Вып. 9.-С. 13-18.

22. Демкин Н.Б. Выражение опорной кривой с помощью бэта функции // Контактное взаимодействие твердых тел. - Калинин: КГУ, 1982. - С. 3-9.

23. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. -М.: Машиностроение, 1981. С. 244.

24. Демкин Н.Б. Свойства фрикционного контакта и обработка металлов // Трение и износ. 1995. - Т.16, №5, - С. 228-835.

25. Демкин Н.Б. Теория контакта реальных поверхностей и трибология // Трение и износ. 1995. - Т.16, №6, - С. 1003-1025.

26. Демкин Н.Б. Многоуровневые модели фрикционного контакта // Трение и износ. 2000. - Т.21, №2, - С. 115-120.

27. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510с.

28. Добычин. М.И. Взаимное влияние пятен касания при контактировании шероховатых тел // Трение и износ. 1980. - Т. 1, № 2, - С. 342-348.

29. Долотов A.M., Огар П.М, Чегодаев Д.Е. Основы теории и проектирование уплотнений пневмогидроарматуры летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 2000. - 296 с.

30. Дунин-Барковский И.В., Карташова А.Н. Измерения и анализ шероховатости, волнистости и некруглости поверхности. М.: Машиностроение, 1978. - 232с.

31. Дъяченко П.Е., Якобсон М.О. Качество поверхности при обработке металлов резанием, Машгиз, 1951.

32. Журавлев В.А. //ЖТФ. 1940. Т. 10, вып. 17.

33. Когаев В.П., Махутов H.A., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М.: Машиностроение, 1983. 224с.

34. Крагельский И.В. // Изв. АН СССР. Отд. техн. Наук. 1948. №10. С.1621-1625.

35. Крагельский И.В. Трение и износ. «Машиностроение», М.: 1968, 480 с.

36. Крагельский И.В., Добычин Н.М., Комбалов B.C. Основы расчета на трение и износ. М.: Машиностроение, 1974. - 526 с.

37. Левина З.М., Регетов Д.Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971. 264с.

38. Михин Н.М., Крагельский И.В. Изменение площади касания твердых тел при значительном сближении // Доклады АН СССР. 1967. №6. с. 1285-1287.

39. Площадь фактического контакта сопряженных поверхностей. М., Изд-во АН СССР, 1963. 95с.

40. Расчет и конструирование. Справочник / Под ред. Н.С. Ачеркана. T.l М.: Машиностроение, 1968.-440с.

41. Рудзит Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей. -Рига: Зинатне, 1975. 216 с.

42. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин. М.: Машиностроение, 1966. - 193с.

43. Рыжов Э.В., А.Г. Суслов, В.П. Федоров Технологическое обеспечение эксплуатационных свойств деталей машин // М.: Машиностроение, 1979, -176с., ил. — (Библиотека технолога)

44. Свириденок А.И., Чижик С.А., Петраковец М.И. Механика дискретного фрикционного контакта. Минск: Наука и техника. 1990. - 272 с.

45. Семенюк Н.Ф. Исследование топографии поверхности методом случайного поля и разработка расчетных методов оценки фактической площади при трении твердых тел. Автореф. дисс. .канд. техн. наук. Якутск:, 1983. 22 с.

46. Смелянский В.М. Нормирование и оптимизация качества поверхностного слоя деталей машин при обработке / Тез. докл. семинара «Качество поверхности», Брянск: БИТМ, 1995. С. 34-40

47. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 109 с.

48. Справочник по трибомеханике / Под ред. М. Хебды, А.В. Чичинадзе. Т.1 Теоретические основы. М.: Машиностроение, 1989. — 400с.

49. Суслов А.Г. Качество поверхностного слоя деталей машин. — М.: Машиностроение, 2000. 320с., ил.

50. Суслов А.Г. Технологическое обеспечение контактной жесткости соединений. М.: Наука, 1977. 100с.

51. Суслов А.Г., Дальский A.M. Научные основы технологии машиностроения. М.: Машиностроение, 2002. - 684с. с илл.

52. Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упругости М.: «Наука», 1975, 575 с.

53. Тихомиров В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей // Трение и износ, 18 (1997), №3, 369 374.

54. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. Москва: Мир (1991), 254 с.

55. Хусу А.П., Виттенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей (теоретико вероятностный подход). — Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975, 344с.

56. Цукидзо Т., Хисакадо Т. О механизме контакта металлических поверхностей. II. Фактическая площадь и число пятен контакта. — «Проблемы трения и смазки», 1968, №1, с. 123-124. (Труды Американского общества инжене-ровмехаников).

57. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехтеоретиздат, 1949, с. 258.

58. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction. Proceedings of the Royal Society of London, A243: 190-205, 1957.

59. Archard J.F., Whitehouse D.J. The properties of random surfaces of significance in their contact. Proceedings of the Royal Society of London, A316:97nl21, 1970.Computer Landscape Generation and Smoothing // www.gantless.com / pro-grams/macklem.pdf.

60. Ausloos M. and Berman D. H., Proc. R. Soc. London, Ser. A 400, 331 (1985).

61. Barber J.R., Ciavarella M. Contact mechanics // International journal of solids and structures, 2000, vol. 37, pp. 29-43.

62. Ciavarella M., Demelio G., Barber J. R. and Yong Hoon Jang Linear elastic contact of the Weierstrass profile // Proc. R. Soc. Lond. A (2000) 456, 387-405.

63. Costa M. A. Fractal description of rough surfaces for haptic display (диссертационная работа на степень доктора философии) // www-cdr.stanford.edu /Touch/publications/costathesis.pdf.

64. Delsanto P.P., D. Iordache, S. Pusca Study of the correlations between different effective fractal dimensions used for fracture parameters descriptions // isis.pub.ro/iafa2003/files/2-4.pdf.

65. Ebert D.S., Musgrave F.K., Peachey D., Peril K., Worley S. Texturing and Modeling: A Procedural Approach. Second Edition. Academic Press, San Diego. 1998.

66. Eke A. at all Physiological time series: distinguishing fractal noises from motion // Eur. J. Physiol., vol. 439, pp. 403-15.

67. Eke A., Herman P., Kocsis L. and Kozak L.R. // Physiological Measurement, 23 (2002), R1-R38.

68. Ganti S., Bhushan B. Generalized fractal analysis and its applications to engineering surfaces // Wear, Vol. 180. 1990, pp. 17-34.

69. Greenwood J.A. The area of contact between rough surfaces and plats. -ASME, 1967,Ser. E, N 1.

70. Greenwood J.A., Tripp J.H. The elastic contact of rough spheres // Journal of applied mechanics. March 1967, p.p. 153-159.

71. Greenwood I.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces. «Proc. Roy. Soc. London Ser. А», 1966, vol. 293, N 1442, pp. 300-319.

72. Hertz H. Gesammelte Werke. Bd.l, 1985, Leipzig, ss. 155-196.

73. Hwang Jin-Tsong and Shih Tian-Yuan On the characteristics of simulated terrain using the successive random addition midpoint displacement method // http://nhmrc.cv.nctu.edu.tw/People/tyshih/Publications/Emid-sub2.pdf

74. Jablonski J., Pawlowski S., Liubimov V. 3D-numerical Model of Surface after Laser Machining // Measurement Science Review, Volume 3, Section 3, 2003.

75. Kogut L., Komvopoulos K. Electrical contact resistance theory for conductive rough surfaces // Journal of applied physics, 2003, 94(5),3153-3162.

76. Lincoln B. Elastic deformation and the laws of friction. "Nature", 1953, vol. 172, N4369, pp. 169-170.

77. Majumdar A., Bhushan B. Role of Fractal Geometry in Roughness Characterization and Contact Mechanics of Surfaces // ASME J. of Tribology, Vol. 112 (1990), pp. 205-216.

78. Majumdar A. and Bhushan B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces. J. Tribology, 113:1-11, 1991.

79. Mandelbrot B.B., Frame M. Fractals // Encyclopedia of Physical Science and Technology, June 28,2001, 185-207.

80. Markse H.A., Halvin S., Schwartz M., Stanley E. Method for generating longrange correla-tions for large systems // Phys. Rev. E, Vol. 53, No. 5, pp. 54455449.

81. Nayak P.R. // Wear. 1973. Vol. 26. P. 305 333.

82. Persson B.N.J. Elastic contact between randomly rough surfaces. Physical Review Letters, 87(11), 2001.

83. Sayles R.S., Thomas T.R. "The Spatial Representation of Surface Roughness by means of the Structure Function: A Practical Alternative to Correlation". Wear Vol. 42, 1977. pp. 263-276.

84. Warren T.L. and Krajcinovic D., Int. J. Solids Struct. 32, 2907 (1995).

85. Warren T.L., Majumdar A., and Krajcinovic D., J. Appl. Mech. 63, 47 (1996).

86. Whitehouse D.J. and Phillips M.J. Discrete properties of random surfaces. Philosophical Transactions, The Royal Society of London, A290:267n298, 1982.

87. Williamson J.P.B., Pullen J. and Hunt R.T., 1969, "The shape of Solid Surfaces", Surface Mechanics, ASME, New York, pp. 24-35.

88. Yan W., Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic surfaces // J. Appl. Phys., Vol. 84, No. 7 October 1998, pp. 3617-3624.