Константы Джексона в пространствах L2 с весом и задача Логана для целых функций многих переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Иванов, Алексей Валерьевич

• Иванов, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Алексей Валерьевич

Обозначения.

Введение.

Глава 1. Константа Джексона в пространстве ¿^(М^)

§ 1. Гармонический анализ Данкля.

§ 2. Оператор обобщенного сдвига и модуль непрерывности

§ 3. Непрерывность константы Джексона.

§4. Константа Джексона Б(аВ^, тБ|)

Глава 2. Задача Логана для целых функций в пространстве

Ь!,к{т*).

§ 1. Связь константы Джексона с задачей Логана.

§ 2. Некоторые экстремальные задачи для целых функций со спектром в евклидовом шаре.

§ 3. Задача Логана для целых функций со спектром в параллелепипеде.

Глава 3. Константа Джексона в пространстве Ь2,а(Та)

§ 1. Гармонический анализ в пространстве Ь2,а(Тсг).

§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности

§ 3. Точное неравенство Джексона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Константы Джексона в пространствах L2 с весом и задача Логана для целых функций многих переменных»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению многомерных экстремальных задач теории приближений и теории функций в пространствах с весом — задачи о точной константе Джексона в пространстве с весом и связанной с нею задачи Логана для целых функций.

Актуальность темы. Задача о точной константе в неравенстве Джексона (константе Джексона) между величиной наилучшего приближения И МОДулеМ НепрерЫВНОСТИ фуНКЦИИ В Пространстве 1/2 является важной экстремальной задачей теории приближений. Первый точный результат для одномерного тора Т был получен Н.И. Черных [47] в 1967 году. Несмотря на кажущуюся простоту метрики 1/2 и возможность явной записи элемента наилучшего приближения задача о константе Джексона оказалась весьма сложной и привлекла внимание многих математиков. Развитие тематики шло по пути расширения списка многообразий, на которых рассматривалось пространство Ь2 и усложнения определения модуля непрерывности.

Точные неравенства Джексона были доказаны для многомерного тора Td (В.А. Юдин [51]), евклидова пространства (И.И. Ибрагимов, Ф.Г. Насибов [23], В.Ю. Попов [42, 43], А.Г. Бабенко [4], A.B. Московский [37]), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж [15]), евклидовой сферы 5d1 (B.B. Арестов, В.Ю. Попов [1], В.Ю. Попов [44], А.Г. Бабенко [3]), проективных пространств (А.Г. Бабенко [5]).

Точные неравенства Джексона с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных [48], А.Г. Бабенко [3-5], А.И. Козко, A.B. Рождественским [34], С.Н. Васильевым [11, 12], B.C. Балаганским [7] и другими математиками.

Константа Джексона, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то интересной и сложной становится задача нахождения минимального значения аргумента в модуле непрерывности, при котором константа Джексона становится наименьшей. Минимальное значение аргумента модуля непрерывности называют оптимальной точкой или точкой Черных. Первый оптимальный аргумент нашел Н.И. Черных [55] для тора Т. Наиболее полные результаты для евклидова пространства были получены Е.Е. Бердышевой [10] и Д.В. Горбачевым [18]. Они показали, что оптимальная точка зависит как от геометрии спектра приближающих целых функций, так и от геометрии окрестности нуля в определении модуля непрерывности. Е.Е. Бердышева установила глубокую связь между оптимальной точкой в неравенстве Джексона и экстремальной задачей Логана для целых функций многих переменных из пространства Ь^Ш*1).

Нахождение констант Джексона для широкого класса пространств 1/2 на компактных и локально компактных многообразиях использует развитый гармонический анализ. Наличие такого анализа определяется наличием группового сдвига, или наличием богатых групп движений на этих многообразиях, позволяющих естественным образом определять приближающие подпространства, обобщенный сдвиг и модули непрерывности.

Создание Ч. Данклем и другими математиками содержательного гармонического анализа на евклидовом пространстве с обобщенным степенным весом делает актуальным решение указанных задач и в пространствах с весом.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение экстремальной задачи о константе Джексона в пространстве на М^ с обобщенным степенным весом и на с периодическим весом Якоби. Нахождение оптимальной точки в неравенстве Джексона в пространстве Ь2 на Ж^ с обобщенным степенным весом и решение связанной с ней экстремальной задачи Логана для целых функций многих переменных.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана непрерывность константы Джексона в пространстве с обобщенным степенным весом.

2. Многомерная задача о константе Джексона в пространстве с обобщенным степенным весом для случая, когда приближающее подпространство и модуль непрерывности определяются евклидовыми шарами, сведена к одномерной задаче в пространстве 1/2(М+) со степенным весом.

3. В случаях, когда приближающее подпространство определяется евклидовым шаром, а модуль непрерывности — евклидовым шаром или параллелепипедом, в неравенстве Джексона в пространстве Ь2(Мсг) с обобщенным степенным весом найдены оптимальные точки.

4. Решены экстремальные задачи Логана, Фейера, Дельсарта для целых функций из пространства Ь\(Е^) с обобщенным степенным весом.

5. Доказано точное неравенство Джексона в пространстве 1/2 (Т^) с периодическим весом Якоби.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач в других пространствах с весом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2009, 2010, 2011), VI Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Новороссийске (2010), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2009-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [24-26] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [27-30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на 10 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по главам и параграфам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Алексей Валерьевич, 2011 год

1. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в Ь2 // Изв. Вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

2. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в Ь2 / / Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С.651-664.

3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С.333-355.

4. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183-198.

5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, №6. С.27-52.

6. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

7. Балаганский B.C. Точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2 на периоде // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, т. С.79-101.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966. 296 с.

9. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2008. 92 с.

10. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, т. с.336-350.

11. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в Ь2(ТМ) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, №1. С.102-110.

12. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в ^(Ж14) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, №4. С.93-99.

13. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

15. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в Ь2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54-58.

16. Горбачев Д.В. Приближение в I? частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38-50.

17. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Мп шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т.6. Вып.1. С.71-78.

18. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179-187.

19. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т.69, №3. С.346-352.

20. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

21. Дейкалова M.B. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Матем. заметки. 2008. Т.84, №4. С.532-551.

22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т.194, №5. С.1013-1016.

24. Иванов A.B. Теорема Джексона в пространстве L2{Td) с весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.26-42.

25. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

26. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

27. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве L2(Td) с весом Якоби // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2009. С. 48-52.

28. Иванов A.B. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах / / Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2010. С. 35-38.

29. Иванов A.B. О теореме Джексона в пространстве Ь2(Ш.а) со степенным весом // Ряды Фурье и их приложения: тез. докл.VI Междун. симпоз. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2010. С. 15-16.

30. Иванов A.B. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствахСовременные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С. 19-22.

31. Иванов В.И., Лю Юнпин, Смирнов О.И. Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.70-80.

32. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

33. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

34. Козко А.И., Рождественский A.B. О неравенстве Джексона в Ь2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сборник 2004. Т.195, №8. С.3-46.

35. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.

36. Левитан Б.М., Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 671 с.

37. Московский A.B. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и LP)\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44-70.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

39. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

40. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, №5. С.149-196.

41. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50, №1. С. 154-174.

42. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С.65-73.

43. Попов В.Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратических приближений // Изв. вузов. Математика. 1981. №12. С.67-78.

44. Попов В.Ю. Приближение на сфере в Ь2 // ДАН СССР. 1988. Т.301, №4. С.793-797.

45. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

46. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

47. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

48. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

49. Чертова Д.В., Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27.

50. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве Ь2(Ш) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.100-116.

51. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 / / Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

52. Юдин В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.453-463.

53. Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т. 1, №. С. 155-158.

54. Andersen N.B., de Jeu M. Elementary proofs of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Not. 2005. V.30. P.1817-1831.

55. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the .¿^-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. intern, conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

56. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with Respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Theory: a vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13-23.

57. Berdysheva E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V.3, №4. P.393-402.

58. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms for positive functions // Duke Math. J. 1945. V.12, №2. P.189-206.

59. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V.6. P.329-353.

60. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V.197. P.33-60.

61. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

62. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V.43. P.1213-1227.

63. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V.138. P.123-138.

64. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome //J. Reine Angew. Math. 1916. V.146. P.53-82.

65. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math, of Comp. 1993. V.60. P.303-316.

66. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.249-252.

67. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V.14, №2. P.253-257.

68. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on IR // Probability Measures an Groups and Related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific, 1995. P.292-304.

69. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for the Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. V.192. P.519-542.

70. Rosier M. Positivity of Dunkls interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98. P.445-463.

71. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

72. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P.2413-2438.

73. Siegel C.L. Uber Gitterpunkte in konvexen Korpern und damit zusammenhangendes Extremal problems // Acta Math. 1935. V.65. P. 307-323.

74. Thangavelu S., Xu Y. Convolution operator and maximal funcnion for Dunkl transform //J. Anal. Math. 2005. V.97, №1. P.25-55.

75. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13, №1. P. 17-38.

76. Xu Y. Dunkl operators: Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls // Bull. London Math. Soc. 2000. V.32. P.447-457.