Конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кузьмина, Ирина Александровна

• Кузьмина, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмина, Ирина Александровна

0.1 Введение.

0.1.1 Общая характеристика работы.

0.1.2 Краткое содержание диссертации.

0.1.3 Классификация ассоциативных унитальных алгебр размерности 4.

1 Конформная модель расслоения Хопфа / ) •

1.1 Расслоение'группы обратимых элементов алгебры кватернионов

1.2 Метрика и связность в расслоении Хопфа.

1.3 Конформная модель расслоения Хопфа.

1.4 Вращения, сохраняющие расслоение Хопфа.

2 Псевдоконформные модели расслоений

2.1 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй комплексных чисел.

2.1.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов I.

2.1.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса (1).

2.1.3 Псевдоконформная модель расслоения (5|(1),тг,М)

2.1.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

2.1.5 Псевдоконформная модель расслоения (5|(-1),тг,М)

2.1.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй комплексных чисел. ф 2.2 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй двойных чисел.

2.2.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов II

2.2.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1).

2.2.3 Псевдоконформная модель расслоения (523(1),тг,М) 2.2.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

2.2.5 Псевдоконформная модель расслоения

• (5|(-1),тг,М)

2.2.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй двойных чисел.

2.3 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй дуальных чисел.

•) 2.3.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов III.

2.3.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1).

2.3.3 Псевдоконформная модель расслоения (S¡(l),ir,M)

2.3.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

•i1 2.3.5 Псевдоконформная модель расслоения

5j(-l),7r,M)

2.3.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй дуальных чисел.

3 Проективизация конформных моделей расслоений

3.1 Проективизация конформных моделей неевклидовых пространств.

Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй кватернионов.

Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка»

0.1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является одной из традиционных тем казанской геометрической школы. В 1895-1899 г.г., изучая геометрию и механику 3-мерных евклидова и неевклидовых пространств [32], А.П.Котельников, развивая идеи Клиффорда, раскрыл роль алгебр дуальных, комплексных и двойных чисел в теории винтов и линейчатой геометрии [17]. Идеи А.П.Котельникова развивал Д.Н.Зейлигер [14], систематически изучавший линейчатую дифференциальную геометрию евклидова пространства с помощью метода перенесения. П.А.Широков в 1925 году, исследуя различные типы римановых пространств, ввел важный класс А-пространств, впоследствии получивший название келеро-вых [44], изучал геометрию симметрических пространств [45]. Он рассматривал также вопрос о применении винтового исчисления к дифференциальной геометрии, задавая с помощью дуальных векторов [47] различные связанные с поверхностью прямые [46].

Затем исследования по геометрии пространств над алгебрами в Казанском университете были продолжены А.П.Норденом ([19]-[23]). Он развивал теорию пространств над алгебрами во многих направлениях: биаффинные пространства (вещественные модели комплексных аффинных пространств), разнообразные применения пространств над алгебрами к вопросам линейчатой геометрии. В работах [19], [20] он начал детальное изучение геометрии биаксиального пространства эллиптического типа, введенное в 1922 г. Э.Штуди [54].

Различные вопросы геометрии многообразий со структурами, определяемыми различными алгебрами, изучались в работах учеников А.П.Нордена (Н.В.Талантова, И.В.Зуев, Р.С.Бархин, В.Д.Третьяков, А.П.Широков, В.В.Вишневский, А.С.Подковырин, В.В.Шурыгин и др.). Так, А.П.Широков [38] в своей кандидатской диссертации построил теорию бипланарных пространств — многомерных обобщений биаксиальных пространств. Позже он начал изучение гладких многообразий со структурами, определяемыми ассоциативными и унитальными алгебрами общего вида в своей докторской диссертации (1966 г.). В последующие годы в работах А.П.Широкова и его учеников развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, ее многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств [10], [43], [41] и др.

При этом обнаружилось, что различные структуры алгебраического типа естественным образом возникают на расслоенных и слоеных многообразиях. Так, в работах [42], [40] А.П.Широков показал, что на касательных расслоениях к-то порядка существует интегрируемая структура, определяемая алгеброй плюральных чисел. В.В.Вишневский [9], исследуя структуры, определяемые аффинор-ным полем на многообразии, показал, что такого типа структуры возникают на полукасательных расслоениях. Алгебраические структуры более общего вида были обнаружены В.В.Шурыгиным при изучении расслоений струй и затем многообразий над локальными алгебрами А.Вейля [49]—[50].

Наконец, отметим, что пространства над алгебрами изучались также Б.А.Розенфельдом и его учениками, а также Г.И.Кручковичем. В Болгарии ряд работ в этом направлении был выполнен учениками А.П.Нордена и В.В.Вишневского (Г.Г.Марков [22], Е.В.Павлов [24], [25] и др.). Это далеко не полный перечень работ в этом направлении. За последние десятилетия проведено большое количество исследований по различным классам почти комплексных, почти эрмитовых, почти контактных и другим структурам. Отметим, например, работы В.Ф.Кириченко, Н.Д.Полякова, A.Gray, Sh.Sasaki, K.Yano, Sh.Ishihara, L.Vanhecke.

Цель работы. С помощью стереографического отображения гиперсфер 4-мерного евклидова и псевдоевклидова пространств построить и исследовать соответственно конформные и псевдоконформные модели расслоений этих пространств, полученных с помощью факторизации алгебр кватернионов и антикватернионов по подалгебрам второго порядка.

Научная новизна. В диссертации построены и изучены 3-мерные (псевдо)конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка — кватернионов и антикватернионов. Рассмотрена проективизация этих моделей. Тем самым получен и исследован ряд новых расслоений 3-мерных неевклидовых пространств, являющихся аналогами известного расслоения Хопфа.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного исчисления, групп Ли, теория расслоенных пространств, методы построения стереографической проекции.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение, а ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях в этом направлении, в учебном процессе.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (научный руководитель проф. Шапуков Б.Н.). Они были также доложены на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2003" (г. Казань, 2003 г.) и на итоговой научной конференции в филиале КГУ (г. Зеленодольск, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ [57]—[64]. Одна из них [58] написана совместно с Б.Н.Шапуковым (автору принадлежат первые два параграфа).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и пункты, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя числами, где первое означает номер главы, а второе — номер формулы. Параграфы обозначаются двумя числами, а пункты — тремя, где первое означает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — номер пункта. Объем работы — 128 страниц машинописного текста, библиография содержит 64 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмина, Ирина Александровна, 2005 год

1. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии)/ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — т. 28. — М.: — 1988. — 299 с.

2. Белова Н.Е. Расслоения алгебр размерности 4/ Казанск. ун-т. Казань, 1999. - 44 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.10.99 № 3037-В99.

3. Белова Н.Е. Расслоения биаксиальных пространств, порожденные алгеброй антикватернионов// Сб. "Движения в обобщ. пространствах". — Пенза: Изд-во Пенз. гос. педаг. унта. 2000. - С. 17-30.

4. Белова Н.Е. Расслоения, определяемые ассоциативными алгебрами/ / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 2001.

5. Берже М. Геометрия — М.: Мир. — 1984. т. 2. — 386 с.

6. Бушманова Г.В., Норден А.П. Элементы конформной геометрии — Казань, изд-во Казанск. ун-та. — 1972. — 177 с.

7. Вишневский В.В. О комплексных структурах одного класса пространств Келера-Рашевского// ДАН СССР. — 1963. — т. 149. №2. - С. 233-236.

8. Вишневский В.В. Полиномиальные алгебры и аффинорные структуры// Труды семинара каф. геом. — Изд-во Казанск. ун-та. 1971. - вып. 6. - С. 22-35.

9. Вишневский B.B. О геометрической модели полукасательных структур// Изв. вузов. Мат. — 1983. — № 3. — С. 73-75.

10. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами — Казань, изд. КГУ. — 1985. — 262 с.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения — М.: Наука. 1979. - 760 с.

12. Егиазарян K.M. О проектировании инвариантных аффинных связностей на главных расслоениях//Изв. вузов. Мат. — 1987. № 7. - С. 97-101.

13. Егиазарян K.M. Спроектированные инвариантные аффинные связности//Труды геометр, семин. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1980. вып. 12. - С. 27-37.

14. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия — JT.-M.: Гостехиздат. — 1934.

15. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств// Итоги науки и техн. Проблемы геометрии, Т. 8. М.: 1977. - 139-161.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии., т. 1. М.: Наука. — 1981. — 344 с.

17. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике — Казань. — 1895.

18. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр — М.: Наука. — 1969. — 668 с.

19. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы// ДАН СССР. — 1947. — т. 55. — №3. С. 199-202.

20. Норден А.П. Поверхности нулевой кривизны биаксиального пространства// ДАН СССР. 1947. - т. 58. - №8. - С. 15971600.

21. Норден А.П. Теория поверхностей — М.: Гостехиздат. — 1956.- 259 с.

22. Норден А.П., Марков Г.Г. О голоморфно проективных преобразованиях/ / Изв. вузов. Мат. — 1975. — №6. — С. 82-87.

23. Норден А.П. Пространства аффинной связности— М.: Наука.- 1976. 432 с.

24. Павлов Е.В. Вещественная реализация конформного соответствия римановых пространств над клиффордовой алгеброй// Изв. вузов. Мат. 1978. - №7. - С. 64-67.

25. Павлов Е.В. Об одной характеристике симметрического конформно-евклидова многообразия// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1982. — вып. 14. — С. 70-76.

26. Подковырин A.C. Теория аналитических поверхностей биаф-финного пространства. I// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1976. — вып. 9. — С. 77-87.

27. Подковырин A.C. Теория аналитических поверхностей биаф-финного пространства. II// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1978. — вып. 10. — С. 65-77.

28. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. (Изд. 3-е) — М.: Наука.- 1973. 519 с.

29. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия — М.: Наука. 1988. - 496 с.

30. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия — М.: Изд-во "Факториал— 1998. — 495 с.

31. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра — М.: Наука. — 1986. — 400 с.

32. Study E,, Cartan E. Nombers complexes// Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. — 1908. — t. 1. — Vol. 1. s. 329-468.

33. Yano K., Ishihara Sh. Fibres spaces with projetable Riemannian metric// J. Diff. Geom. 1967. - 1, № 1. - 71-88.

34. Кузьмина И.А. Связность Эресмана в расслоении Хопфа и тензор кривизны этой связности/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физике "ХШ Петровские чтения 2001". Тезисы докл. — Казань. — 2001. — С. 92-93.

35. Кузьмина И.А., Шапуков Б.Н. Конформная и эллиптическая модели расслоения Хопфа// Труды геом. семинара. — Изд-во Казан, ун-та. вып. 24. - 2003. - С. 81-98.

36. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых' алгеброй антикватернионов// Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского "Лобачевские чтения — 2003". — Казань, изд-во Казан. мат. об-ва. 2003. - т. 21. - С. 142-144.

37. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов/ Казанск. ун-т. — Казань, 2004. — 20 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.2004 № 161-В2004.

38. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов II/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физике "XVI Петровские чтения 2004". Тезисы докл. — Казань. — 2004. — С. 53-54.

39. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов II/ Казанск. ун-т. — Казань, 2004. 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.2004 № 1052-В2004.

40. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов// Межвузовский сборник научныхтрудов. — Пенза: Изд. Пензенск. гос. педагогии, ун-та. — 2005. (в печати).

41. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов III// Уч. записки Казанск. ун-та. Труды геом. семинара. — Изд-во Казан, ун-та. — вып. 25. — 2005. (в печати).