Конечные элементы для решения задач о концентрации напряжений в статической и динамической постановке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Мазур, Геннадий Эдуардович

• Мазур, Геннадий Эдуардович
• доктор технических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор технических наук Мазур, Геннадий Эдуардович

Введение

1. Метод конечных элементов и задачи о концентрации напряжений

1.1. Метод конечных элементов (МКЭ) и его суперэлементный вариант

1.2. Конечные элементы с неполиномиальными функциями формы

1.2.1. Конечные элементы с криволинейными границами

1.2.2. Сингулярные конечные элементы

1.2.3. Конечные элементы с отверстиями и полостями

1.3. Использование функций перемещений и напряжений для построения функций формы конечного элемента

1.3.1. Функции перемещений и напряжений в теории упругости

1.3.2. Использование частных решений уравнений теории упругости для построения равновесных конечных элементов

1.3.3. Вывод уравнений равновесия в потенциалах

1.3.4. Связь между полями потенциалов и функцией напряжений

1.4. Динамические задачи

1.4.1. Стандартные способы решения задач динамики линейно-упругих систем по МКЭ

1.4.2. Метод динамических жесткостей

1.4.3. Задачи о концентрации напряжений при динамическом воздействии

1.5. Постановка задачи исследования

2. Конечные элементы плоско-напряженных и изгибаемых тонких пластин

2.1. Введение

2.2. Основные принципы методики формирования матриц реакций конечных элементов.

2.3. Построение системы базисных решений (плоская задача)

2.4. Учет условий на границе отверстия (плоская задача)

2.5. Вычисление матрицы жесткости плоско-напряженной пластины

2.6. Тонкая изгибаемая пластина с учетом сдвига. Уравнения теории Миндлина-Рейсснера

2.7. Построение системы базисных решений (изгиб тонкой пластины). Учет условий на границе отверстия

2.8. Вычисление матрицы реакций тонкой изгибаемой пластины

2.9. Выводы по главе

3. Изгибаемая пластина произвольной толщины

3 .1. Уравнения равновесия и их решения

3.2. Построение системы частных решений (динамика)

3.3. Построение системы частных решений (статика)

3.4. Вычисление матрицы реакций

3.5. Выводы по главе

4. Трехмерный конечный элемент со сферической полостью

4.1. Введение

4.2. Построение системы базисных решений

4.3. Вывод формул для бигармонических потенциалов

4.3.1. Решения без особенности в начале координат

4.3.2. Решения с особенностью в начале координат («дополняющие функции»)

4.4. Переход от «динамического» решения к «статическому»

4.5. Исключение решений, зависимых по перемещениям

4.6. Учет условий на границе полости

4.7. Построение системы функций формы

4.8. Выводы по главе

4.9. Таблицы и формулы

5. Исследование полноты и линейной независимости систем частных решений уравнений равновесия

5.1. Общие положения

5.2. Плоская задача и изгиб тонких пластин

5.3. Трехмерная задача

5.4. Изгиб пластин (цилиндрические координаты)

5.4.1. Гармонические колебания

5.4.2. Определение коэффициентов

5.4.3. Вывод уравнений движения тонкой пластины

5.4.4. Статика

5.5. Выводы по главе

6. Исследование сходимости МКЭ применительно к элементам, построенным на полях потенциалов

6.1. Введение

6.2. Кусочное тестирование конечных элементов, построенных на основе полей потенциалов

6.3. Кусочное тестирование плоско-напряженной пластины

6.4. Кусочное тестирование четырехугольной призмы

6.5. Элементарные функции нагрузки для четырехугольной призмы

6.6. Кусочное тестирование тонкой изгибаемой пластины

6.7. Выводы по главе

7. Алгоритмическое и программное обеспечение

7.1. Введение

7.2. Некоторые классы и методы

7.2.1. Классы и методы общего назначения

7.2.2. Классы для описания конечных элементов

7.2.3. Фрагмент программы (пример)

7.3. Деление спектра в методе суперэлементов

8. Примеры расчетов

8.1. Плоская задача

8.2. Изгиб пластин (модель Миндлина-Рейсснера)

8.3. Изгиб пластин (трехмерная модель)

8.4. Трехмерные элементы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные элементы для решения задач о концентрации напряжений в статической и динамической постановке»

Наиболее распространенным методом решения задач об определении напряженно-деформированного состояния упругих тел с концентраторами напряжений в общем случае является метод конечных элементов. При использовании стандартных элементов из библиотек распространенных программных пакетов для получения достаточно точной картины распределения напряжений необходимо уменьшать шаг сетки вблизи границ концентраторов. При этом увеличивается размерность системы разрешающих уравнений и, как следствие, увеличивается время расчета и объем памяти ЭВМ, необходимой для решения задачи. Этот эффект наиболее резко проявляется при расчете трехмерных тел с большим количеством полостей.

Альтернативным подходом к этой проблеме является применение специально разработанных конечных элементов с концентраторами напряжений. Несомненным достоинством таких элементов является то, что их применение позволяет резко сократить требования к ресурсам ЭВМ. Вместе с тем многим элементам такого типа присущи две существенные отрицательные стороны: некоторое снижение точности решения задачи, вызванное несовместностью граничных перемещений вдоль общей стороны двух соседних элементов, и невозможность произвольного задания формы концентратора.

До сегодняшнего дня конечные элементы с концентраторами напряжений не получили широкого распространения. Вероятно, основными причинами этого послужили как указанные выше недостатки, так и бурный рост мощности и производительности современных ЭВМ, позволяющих решать системы уравнений большой размерности за приемлемое для пользователя время. Из немногочисленных работ, посвященным конечным элементам с концентраторами, можно заключить, что основной областью применения таких элементов являются задачи о плоской деформации и изгибе тонких пластин, а общей теории конечных элементов с концентраторами до сих пор не 7 существует. Следовательно, актуальной задачей является разработка единого подхода к формированию матриц жесткости для всех типов элементов с концентраторами (в том числе и для трехмерных элементов) и распространение этого подхода на динамические задачи.

Цель диссертационной работы заключается в разработке универсальных методов и алгоритмов формирования матриц жесткости конечных элементов различных типов с одиночными отверстиями и полостями и восстановления напряженно-деформированного состояния в зоне концентрации напряжений (вблизи границы отверстия или полости) по заданным перемещениям узлов конечного элемента при статическом и динамическом воздействии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

•разработана универсальная методика формирования матриц жесткости конечных элементов, основанная на представлении функций формы в виде линейной комбинации равновесных полей перемещений, соответствующих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах;

•на основе данной методики создана библиотека конечных элементов следующих типов: элемент плоско-напряженной пластины, элемент тонкой изгибаемой пластины с учетом сдвига, элемент изгибаемой пластины произвольной толщины и трехмерный элемент в форме четырехугольной призмы;

•получены модификации двумерных мембранных и пластинчатых элементов с одиночными круглыми отверстиями для решения задач о концентрации напряжений при гармоническом воздействии;

•впервые получена модификация трехмерного конечного элемента с одиночной сферической полостью для определения концентрации напряжений в упругих телах с порами и полостями при статическом и гармоническом воздействии;

•разработаны алгоритмы формирования матриц реакций конечных эле8 ментов и исследована сходимость соответствующих конечно-элементных аппроксимаций на равномерной сетке.

Достоверность результатов проверялась путем применения предлагаемых в диссертации методов к тестовым задачам, для которых известны аналитические или экспериментальные решения, и подтверждена приводимыми в работе доказательствами основных выводов.

Практическая ценность работы заключается в создании программы для ЭВМ и библиотеки классов для определения напряженно-деформированного состояния упругих тел с круглыми отверстиями и сферическими полостями при статическом или гармоническом воздействии на основе многоуровневого метода суперэлементов с автоматическим выбором суперузлов, а также в применении разработанной методики и программы расчета для исследования работы узлов арочного пролетного строения Андреевского моста в г. Москве при его перевозке на плавучих опорах.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на кафедрах «САПР транспортных конструкций и сооружений» и «Строительная механика» Московского государственного университета путей сообщения (1991, 1992, 1993, 1997, 1998, 1999 гг.), на научно-технической конференции молодых ученых и аспирантов МГУПС (1993 г.), на заседании секции «Механика железобетона» НИИЖБ (1998 г.), на отраслевом научно-практическом симпозиуме «Опыт применения информационных технологий в мостостроении». По теме диссертации опубликовано 6 статей (в т.ч. 2 - в соавторстве) и 2 монографии.

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Мазур, Геннадий Эдуардович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации предлагается методика формирования матрицы реакций конечного элемента при статическом или гармоническом воздействии, основанная на представлении поля перемещений в виде системы линейно независимых равновесных полей, отвечающих частным решениям уравнений равновесия в потенциалах.

На этапе построения матрицы реакций базис узловых перемещений может быть дополнен локальными неизвестными, к которым затем применяется исключение по Гауссу. В диссертации сравниваются два алгоритма формирования матрицы реакций, дополненных процедурой статической конденсации локальных неизвестных.

2. Предлагаемая методика применена для построения матриц реакций конечных элементов плоско-напряженных пластин (мембран), изгибаемых пластин с учетом сдвига (по модели Миндлина-Рейсснера и трехмерной модели) пластин и трехмерной четырехугольной призмы. Уравнения равновесия при статическом и гармоническом воздействии после замены перемещений потенциалами могут быть преобразованы так, что входящие в них функции являются решениями уравнений Гельмгольца, Лапласа или бигармонического уравнения. Для плоско-напряженных пластин, изгибаемых пластин Миндлина-Рейсснера и трехмерных элементов из частных решений этих уравнений отбираются линейно независимые по перемещениям решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. Для элемента изгибаемой пластины в трехмерной постановке частные решения должны дополнительно удовлетворять граничным условиям на поверхности пластины. При гармонических колебаниях проводится группировка частных решений, обеспечивающая предельный переход к статическим решениям при уменьшении частоты колебаний до нуля.

3. Для элементов с круглыми отверстиями и сферическими полостями

204 при представлении общего решения однородного уравнения равновесия в потенциалах в виде суммы частных решений необходимо обеспечить равенство нулю напряжений на границе концентратора. Для этого каждое частное решение, не имеющее особых точек, необходимо дополнить конечным числом частными решениями с особой точкой в центре концентратора, названными в диссертации «дополняющими функциями». Для каждого частного решения без особых точек получены явные выражения для дополняющих функций; их амплитуды определяются из системы алгебраических уравнений размерностью не более 2 для плоско-напряженной пластины, не более 3 - для изгибаемой пластины и не более 4 - для трехмерного элемента.

4. Для изгибаемой пластины получены границы применимости модели Миндлина-Рейсснера и трехмерной модели. При толщине пластины, превышающей предельное значение для теории Миндлина-Рейсснера, пластина должна рассчитываться по трехмерной модели с учетом поправок к коэффициентам матрицы реакций, характеризующих нелинейность распределения напряжений и перемещений по толщине пластины.

С помощью введения вспомогательной двумерной векторной функции и представления полей напряжений и перемещений в виде, не зависящем от системы координат в плоскости изгибаемой пластины, выявлена связь трехмерных уравнений частных решений с уравнением распространения изгибных волн в упругом слое и с уравнениями модели Миндлина-Рейсснера.

5. Для рассмотренных в диссертации типов конечных элементов проведено исследование сходимости на равномерной сетке по методу кусочного тестирования на полях постоянных деформаций (для элементов плоской и объемной задач) или постоянных моментов (для изгибаемых пластин). При исследовании сходимости гармоническое воздействие может быть заменено статическим.

205

Для конечных элементов с отверстиями и полостями свойство сходимости не обеспечивается, но точность результатов увеличивается при уменьшении отношения диаметра концентратора к расстоянию от его центра до внешней границы элемента.

Для элементов без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму I, свойство сходимости обеспечивается, если размерности векторов узловых перемещений и базисных решений равны и статическая конденсация не требуется; это относится, в частности, к элементам мембран и изгибаемых пластин с нечетным количеством узлов. Кроме того, свойством сходимости обладают центрально-симметричные элементы плосконапряженной пластины при количестве узлов, кратном 4. (Простейшим элементом этого класса является элемент в форме прямоугольника.)

Для элементов без отверстия с матрицей реакций, сформированной по алгоритму II, свойство сходимости обеспечивается при любом количестве и расположении узлов, если для любого состояния постоянных деформаций или постоянных моментов можно выразить граничные напряжения через элементарные функции нагрузки.

206

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Мазур, Геннадий Эдуардович, 2000 год

1. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

2. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.:Стройиздат,1983. -488 с.

3. Андриянов И.В., Старушенко Г.А. Применение метода осреднения к расчету пластин и оболочек с периодическими ослаблениями // Строительная механика и расчет сооружений. 1984, № 2,- С.21.

4. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

5. Вайнберг Д.В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек. -К.:Техника, 1969.

6. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. -К:Изд.АН УССР, 1952. 420 с.

7. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти томах. T.I. Колебания линейных систем. / Под ред. В.В.Болотина.- М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

8. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти томах. Т.6. Защита от вибрации и ударов. / Под ред. К.В.Фролова.- М.: Машиностроение, 1981. 456 с.

9. Ю.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.Ф. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.207

10. П.Гайан Р.Дж. Приведение матрицы жесткости и масс. // Ракетная техника и космонавтика, 1965. T.3,N.2.- С.287.

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1966. 576 с.

13. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. Об одном методе решения плоской задачи теории упругости для перфорированных пластин // Изв. АН СССР. МТТ. -1983, № 2. С.94-101.

14. Григолюк Э.И., Филыпинский JI.A. Перфорированные пластинки и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

15. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. М. Наука, 1986. - 607 с.

16. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. Пер. с англ. М.: Физмат-гиз, I960,- 580 с.

17. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика,- М.: Стройиздат, 1981,- 216 с.

18. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций / Ю.К.Амбриашвили, А.И.Ананьин, А.Г.Барченков и др.; Под ред. Б.Г.Коренева, А.Ф.Смирнова. М.: Стройиздат, 1986. - 461 с.

19. Жислина JI.C. Методика расчета равномерно перфорированных пластин, нагруженных в своей плоскости // Труды МТИЛП. 1963, № 27. - С.261-273.

20. Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981. - 223 с.

21. Каминский A.A. Определение концентрации напряжений при двухосном растяжении пластины, ослабленной отверстиями случайной формы // Прикл. механика. 1973, т. 9, № 6. - С. 109-112.

22. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений / Пер. с англ.- М.: Стройиздат, 1979,- 320 с.208

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1984. - 832 с.

24. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Дисс. . докт.техн.наук. М.: МИИТ, 1993. - 424 с.

25. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. К.: Вища школа, 1975. - 228 с.

26. Космодамианский A.C. Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах. Донецк: Изд. ДГУ, 1972. - 266 с.

27. Кравченко Г.М. Применение двухсвязных конечных элементов к расчету перфорированных пластин методом конечных элементов. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИСИ, 1990. - 112 с.

28. Крейг Р.Р.,Бэмптон М.К. Сочленение подконструкций при динамическом расчете конструкций. // Ракетная техника и космонавтика, 1968. T.6,N.7.-С.113-121.

29. Крэчун И.П. К построению конечных элементов на основе аналитических решений задач теории упругости // Теоретическая и прикладная механика. Харьков, 1988. - № 19. - С.85-90.

30. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. - 248 с.

31. Линейные уравнения математической физики. В.М.Бабич, М.Б.Капилевич, С.Г.Михлин и др. - М. Наука, 1964. - 368 с.

32. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.:Наука, 1981. -141 с.

33. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости конечного элемента на основе частных решений уравнений равновесия для бесконечной области // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ) М., 1997. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N575-B97.

34. Мазур Г.Э. Построение матрицы жесткости объемного конечного элемен209та с внутренней сферической полостью // Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ)-М., 1997.- 11 с. Деп. в ВИНИТИ 21.02.97 N 574-В97.

35. Мазур Г.Э. Решение задач динамики сооружений по многоуровневой суперэлементной схеме при различных вариантах демпфирования. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИИТ, 1993. - 164 с.

36. Мазур Г.Э. Алгоритм формирования матрицы реакций конечного элемента со сферической полостью // Информационное обеспечение технологии, надежности и управления строительством. Проблемы и решения. Сб.науч.тр. Вып. 920. - М., МИИТ, 1998. - С.83-85.

37. Мазур Г.Э. Конечные элементы с внутренними концентраторами напряжений. Двумерные задачи. М.:МИИТ, 2000. - 80 с.

38. Мазур Г.Э. Конечные элементы с внутренними концентраторами напряжений. Трехмерные задачи. М.:МИИТ, 2000. - 56 с.

39. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В.А. По-стнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, A.A. Родионов. Под общей ред. В.А. Постнова. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

40. Нейбер Г. Концентрация напряжений. Л.: Гостехиздат, 1947,- 204 с.

41. Нестеров И В. Решение задач теории упругости по МКЭ на адаптивных сетках. Дисс. . канд. техн. наук. М.:МИИТ, 1993. - 104 с.210

42. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - 376 с.

43. Огурцов Ю.Н. Применение и развитие метода суперэлементов для статического и динамического анализа конструкций: Дис. . канд. техн. наук: 01.02.03.-М.,1988.- 193 с.

44. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. Графики и формулы для расчета конструктивных элементов на прочность. М.: Мир, 1977. - 302 с.

45. Постнов В.А.,Москалев А.Н. О применении метода подструктур для определения и разделения корней частотного уравнения консервативных сис-тем//Прикл. механика, 1979,т. 15, N.3, с.94-96.

46. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.-JI. Судостроение, 1977. 280 с.

47. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, N.1. с.165-174.

48. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. К.: Наукова думка, 1968. - 817 с.

49. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Справочник по концентрации напряжений. К.: Вища школа, 1976. - 410 с.

50. Секулович М. Метод конечных элементов.-М.:Стройиздат,1993. 664 с.

51. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971.211558 с.

52. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.2. М.:Наука, 1981. - 552 с.

53. Соколов Г.П., Хечумов P.A. Применение метода конечных элементов для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. М.:МИСИ. -БГИСМ, 1978. - Вып. 8. - С. 37-45.

54. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 350 с.

55. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А.Ф.Смирнов, А.В.Александров, Б.Я.Лащеников, Н.Н.Шапошников; Под ред. А.Ф.Смирнова. М.:Стройиздат, 1984. -416 с.

56. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И.Бурман, О.М.Аксенов, В.И.Лукашенко, М.Т.Тимофеев. М.: Машиностроение, 1982.-256 с.

57. Тархнишвили В.А. Расчет тонких упругих пластин и оболочек с отверстиями,- Тб.: Груз. техн. ун-т, 1990. 222 с.

58. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра,- М.: Машиностроение, 1976.-390 с.

59. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.-Л. :Физматгиз, 1963.- 736 с.

60. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. -736 с.

61. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. -М.: Мир, 1988. 344 с.

62. Хечумов P.A., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.:Изд-во АСВ, 1994. - 353 с.

63. Шереметьев М.П. Пластинки с подкрепленным краем. Львов: Изд. Львовск. гос. ун-та,1960. - 258 с.212

64. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.:Стройиздат, 1984. - 334 с.

65. Bailey R., Hicks R. Behaviour of perforated plates under plane stress // J. Mech. Eng. Sei. 1960. - V.2. - N.2. - P.143-161.

66. Chiang C.R. A numerical method for solving elasticity problems: application to the problems of an infinite plate containing two circular holes // Comp.& Str., 1988,- V.30,No.6. -pp. 1199-1205.

67. Christiansen S. Numerical determination of stress in a finite or infinite plate with several holes of arbitrary form // Z. angew. Math, und Mech., 1968. V.48. -P.131.

68. Collar A.R., Simpson A. Matrices and engineering dynamics /Chichester: Horwood, 1987,- 541 p.

69. Dieker S. Ein verallgemeinertes Verfahren der Substrukturtechnik fur den Aufbau dynamischer Superelemente // Z. Flugwis. und Weltraumforsch, 1991. V.15,No.6.-pp. 379-385.

70. Drumn R. Berechnung von Spannungskonzentrations problemen mit der Methode der Finiten Elemente // Forsch. Ingenieurw., 1986. V.52, N.3. - P.69-75.

71. Greenwood I.A. Exact formulae for stresses around circular holes and inclusions. // Int. J. Mech. Sei., 1989. V.31,N.3. - P.219-227.

72. Haddon R.A.W. Stress in an infinite plate with two uncoupled circular holes // J.Mech.Math., 1967. V.20. - P.277.

73. Hurty W.C., Rubinstein M.F. Dynamics of structures. N.Y., 1964. - 455 p.

74. V.149, No.l. pp. 83-90. 83 .Leung Y. An accurate method of dynamic substructuring with simplified computation. // Int. J. Num. Meth. Eng., 1979,- V.14,N.9.- pp. 1241-1256.

75. Piltner R. Special finite elements with holes and internal cracks // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1985. V.21, N.8. - pp. 1471-1485.

76. Pipes L.A., Hovanessian S.A. Matrix-computer methods for engineering. -N.Y.,1969.-333 p.

77. Pipes L.A., Harvill L.R. Applied mathematics for engineers and physicists. -N.Y.,Tokyo,1970. 723 p.

78. Slot T. Stress analysis of thick perforated plates // Technomic Publ. Co., Westport, Conn. 1972.

79. Triangular elements in plate bending conforming and nonconforming solutions / G.P.Bazeley, Y.K.Cheung, B.M.Irons, O.C.Zienkiewich. - Wright-Patterson I., 1965.

80. Yuan M., Xiong S., Chen X. Multiple level dynamic substructure analysis // Eng. Comput., 1991. V.8,No.3. - pp. 231-244.215

81. ПЛ. Моделирование работы узлов пролетного строения Андреевского моста при его перевозке на плавучих опорах

82. Конечно, данная конечно-элементная модель не претендует на полноту и точность описания сложной работы заклепочных соединений, но может быть полезна инженерам-проектировщикам как инструмент, позволяющий понять работу сложных узлов металлических мостов.

83. П.3.Пространственный расчет узлов пролетного строения Из описанных выше элементов были собраны модели двух узлов арки, отличающихся типом прикрепления раскоса и стойки к поясу через накладки или через фасонки.