Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Казакова, Татьяна Георгиевна

• Казакова, Татьяна Георгиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казакова, Татьяна Георгиевна

Введение

Глава 1. Граничные условия, совместимые с уравнением нулевой кривизны

Глава 2. Конечномерные дискретные системы, интегрируемые в квадратурах

§ 2.1. Конечномерные редукции и интегралы движения

§ 2.2. Дифференциально-разностные симметрии

§ 2.3. Мастер-симметрии и уравнение нулевой кривизны

§ 2.4. Теорема об интегрировании конечномерных дискретных систем —

Глава 3. Дискретные уравнения Пенлеве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем»

В современной теории динамических систем важную роль играют интегрируемые дискретные системы, т. е. системы временная динамика которых описывается разностными или дифференциально-разностными уравнениями, допускающими точные методы решения. Дискретные уравнения имеют многочисленные приложения в различных областях науки. Они возникают при описании нелинейных феноменов различной природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т. д.), а также как разностные приближения дифференциальных уравнений и как последовательности преобразований Бэклунда.

Развитие аналитических методов исследования интегрируемых дискретных систем существенно отстает от аналогичной теории дифференциальных уравнений. Применение разностных уравнений чаще всего ограничивается рамками численного анализа дифференциальных уравнений и изучением хаоса и фракталов. Между тем, дискретные уравнения, в некотором смысле, можно рассматривать как обобщение дифференциальных. Следует отметить, что в последнее десятилетие ситуация несколько изменилась. Значительно расширились сфера применения и методы исследования дискретных систем. Появилось большое количество работ посвященных изучению симметрии и законов сохранения дискретных систем [32, 46, 65, 77], дискретных аналогов преобразований Дарбу [82, 83, 93] и инвариантов Лапласа [2], дискретных уравнений типа Пенлеве [58, 89, 91, 92], клеточных автоматов [56, 98], дискретной геометрии [8, 50, 71], применения дискретных систем в статистической и квантовой физике [19, 73, 87, 45, 55], математической биологии [39] и т. д. Отдельной строкой можно выделить серию работ, в которых рассматриваются проблемы поиска интегрируемых разностных аналогов солитонных уравнений и классификации дискретных систем.

Примеры дифференциально-разностных цепочек появились еще в конце XIX века в работах Г. Дарбу [48]. В современном контексте интегрируемая модель на решетке впервые была рассмотрена в работе М. Тоды [95]. Цепочка Тоды

Яп,хх = еЯп+1~9п - е9"-^-1 (0.1) описывает ангармонические колебания одномерной кристаллической решетки. Полная интегрируемость системы (0.1) в случае п частиц доказана С.В. Манаковым [24] и Г. Флашкой [53, 54], которые для построения точного решения применили метод обратной задачи. Обобщенные цепочки Тоды, связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли, были введены в [42] О.И. Богоявленским. После этого с помощью методов теории групп уравнения движения для непериодического случая были проинтегрированы М.А. Олыпанецким, A.M. Переломовым [86] и Б. Костантом [72]. Уравнения движения периодичекой цепочки Тоды были сведены к квадратурам в работе М. Каца и П. ван Мербеке [68] и проинтегрированы в тета-функциях методами алгебраической геометрии И.М. Кричевером [20]. Метод, основанный на применении обратной спектральной задачи для классических якоби-евых матриц, предложен Ю.М. Березанским для интегрирования полубесконечных систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений [6]. Этот метод был применен также при изучении неабелева аналога цепочки Тоды [7]. Ранее уравнения неабелевой цепочки Тоды исследовались в [21], где были найдены явные формулы для периодических решений, и в [44], где применялась обратная задача рассеяния. А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым были получены явные решения для двумеризованной цепочки Тоды

Q — рЯп-\~Чп еЯп~Яп+1 в терминах теории представлений алгебр и групп Ли [23]. Следует сказать, что альтернативный способ интегрирования серий Ап, Вп и Сп предложен еще в работах Г. Дарбу [48]. Отметим также несколько более поздних работ, посвященных исследованию цепочки Тоды [35, 22, 75, 74, 69].

Задача построения дискретных аналогов солитонных уравнений, сохраняющих свойство интегрируемости, возникла и развивалась одновременно с теорией солитонов. Современная теория солитонов насчитывает более тридцати лет. За это время в ее рамках выделились различные течения и направления, каждое из которых имеет определенный практический интерес. В соответствии с ними возникали различные подходы к дискретизации интегрируемых систем и к изучению дискретных уравнений.

Одним из признаков интегрируемости системы является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (условия нулевой кривизны). Переформулировка условия нулевой кривизны для решеточных моделей была осуществлена М. Абловицем и Дж. Ладиком в работе [33]. Ими предложено дискретизировать одно или оба из линейных уравнений, при этом дискретизация может быть проведена различными способами (например, таким образом получено несколько разностных аналогов нелинейного уравнения Шредингера и уравнения sine-Gordon [14, 67, 33. 34]). При построении дискретных моделей авторами [28] использовалась также г-матрица соответствующего непрерывного уравнения.

Наиболее универсальный метод, разработанный Р. Хиротой [63]., основан на билинейном представлении интегрируемой системы. В рамках данного метода получено большое количество дискретных уравнений [47]. Наиболее интересным результатом этого подхода является билинейное уравнение Хи-роты [64, 84]

0.2)

Дискретные аналоги многих солитонных уравнений (например, таких как уравнений Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвилли, двумеризован-ной цепочки Тоды, уравнения sine-Gordon) могут быть получены из уравнения Хироты при соответствующем выборе замены переменных [13].

В работе Веселова А.П. и Мозера Ю.М. [85] была показана важная роль, которую при построении дискретных аналогов интегрируемой системы классической механики играет факторизация матричных многочленов. Это позволило, в частности, с единой точки зрения рассмотреть дискретные аналоги задачи Неймана о движении точки на сфере и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде, а также их многомерных обобщений. Анализ метода факторизации с точки зрения групп петель предложен в [49]. С помощью данного метода найдены многочисленные примеры интегрируемых лагран-жевых систем с дискретным временем [11, 27, 88, 96].

Дискретизация дифференциальных уравнений, сохраняющая точечные симметрии Ли, рассмотрена В.А. Дородницыным и др. [12, 46, 51, 52]. Изучение точечных симметрий разностных уравнений было начато в работах С. Маеды [80, 81].Симметриям Ли дискретных моделей посвящены и более поздние работы [78, 76, 90].

В соответствии с различными трактовками понятия интегрируемости существуют и различные подходы к классификации дискретных уравнений [36, 37, 40, 99]. Один из них был предложен А.Б. Шабатом и В.Э. Адлером в [3] при изучении интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида d2qn ,, dqn dqn±и dt* dt> dt ' и затем применен в чисто дискретном случае [1] для систем типа релятивистской цепочки Тоды

Тт - 1)/(<7т,п - Ят-1,п) + (Тп - 1 )д(Ят,п ~ qm,n-l) + ^ ^

TmTn - 1 )h(qmin - gmi,ni) = 0. Здесь qmtJl является дискретной функцией размерности 1+1, т. е. функция gm>n зависит от одной пространственной и одной временной переменной, а Тт и Тп - сдвиги по первому и по второму индексам соответственно, а именно, Tmqm,n =' qm+i,n и Tnqm:n = qm,n+i- Присутствие слагаемого {ТтТп -1 )h(qm,n -qm-i,n-i) в уравнении (0.3) позволяет определить пару преобразований Ле-жандра

Т+ : {Qm^n ~~ Qm-l,mQm-l,n ~ Qm-l,n—l) = ~ <?т-1,П5 <?т,га+1 " Цт,п) ■>

TL. '. (Qm)Tli Qm— l,n—1? Qm,n Qm,n— l) —l,n 4m,niQm,n 4m,n—l)i где отображение T : (x,y) —> (X, У) задается формулами

X = g(y) + h(x + y)t Y = —f(x) — h(x + у).

Инвариантность интегрируемых цепочек вида (0.3) относительно указанных преобразований позволила авторам [1, 3] ввести следующее определение

Определение 0.1. [1] Уравнение (0.3) интегрируемо, если обобщенные преобразования Лежандра Т+ обратимы и переводят, его в уравнение того же вида.

В [1] представлен исчерпывающий список уравнений (0.3), интегрируемых в смысле определения 0.1. Кроме того, в [36] показано, что итерации преобразований Бэклунда 7} = TllT+ для цепочек (0.3) описываются нерелятивистскими цепочками типа цепочки Тоды

Чт )■ (0-4)

Список цепочек вида (0.4), представленный в [36], состоит из восьми уравнений, не переводимых друг в друга точечными преобразованиями,

Тт - 1)---= СТп - 1)---, (0.5)

Tm - l)eqm'n~qm-^n = (Tn - (0.6)

Тт - 1)---г = (Тп - 1)---г, (0.7)

Тт - 1) In(дщп - qm-iyn) = (Тп - 1) In(qm,n ~ qm,n-i), (0.8)

Тт - 1) In (1----) = (Тп - 1) In (l - —1-) (0.9) Qm,n Чт—1,п/ \ Цт,п Чт,п-1 /

Тт - 1) Це9""»-®"-1'" - 1) = (Тп - 1) 1п(е9т'"9т,п1 - 1), (0.10)

Тт ~ 1 )(«*»,» - Ят-1,п) = (Тп - 1) + 1), (0.11)

Тт-1)\п{\ , t М=(Г„-1)1пГ s П. (0.12) e^m.n—Qm-l,n \ j v V Чт,n-1 — Jl /

Он содержит в себе дискретные аналоги известных уравнений, таких как модель Гейзенберга и цепочка Тоды (подробности см. в [36, 94]). Возможно, данный список является полным (ср. [25, 27, 63, 94]).

Основной целью настоящей работы является построение условий обрыва цепочек (0.5)~(0.12), сохраняющих свойство интегрируемости, и изучение полученных конечномерных систем.

В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем: построение симметрий и законов сохранения, поиск интегрируемых условий обрыва. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Полученные теоретические и прикладные результаты являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Казакова, Татьяна Георгиевна

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

• разработан удобный и эффективный метод построения интегрируемых граничных условий для дискретных цепочек, обладающих парой Дакса; проведена некоторая классификация граничных условий, совместимых с уравнением нулевой кривизны, для дискретных нерелятивистских цепочек типа цепочки Тоды;

• доказана теорема об интегрировании в квадратурах конечномерной дискретной системы: найдена производящая функция интегралов движения конечномерной системы; доказано утверждение о сохранении коммутирования потоков после обрыва с помощью интегрируемого граничного условия; предложен метод построения иерархии дифференциально-разностных симметрий конечномерной системы с помощью специально выбранной мастер-симметрии; построены частные решения дискретных аналогов цепочки Тоды;

• показано, что дискретные аналоги третьего, пятого и шестого уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казакова, Татьяна Георгиевна, 2004 год

1. Адлер В.Э. Преобразования Лежандра на треугольной решетке // Ф. анализ и прил. 2000. - Т. 34, № 1. - С. 1-11.

2. Адлер В.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. - Т. 121, № 2. - С. 271-284.

3. Адлер В.Э., Шабат А.Б. Обобщенные преобразования Лежандра // ТМФ. 1997. - Т. 112, № 2. - С. 179-194.

4. Адлер В.Э., Шабат А.Б. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды // ТМФ. 1998. - Т. 115, № 3. - С. 349-357.

5. Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // ТМФ. 2000. - Т. 125, № 3. - С. 355424.

6. Березанский Ю.М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи // ДАН СССР. 1985. - Т. 281, № 1. - С. 16-19.

7. Березанский Ю.М., Гехтман М.И., Шмойш М.Е. Интегрирование методом обратной спектральной задачи некоторых цепочек нелинейных разностных уравнений // Укр. мат. журн. 1986. - Т. 38, № 1. - С. 8489.

8. Бобенко А.И. Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения // УМН. 1991. - Т. 46, № 4. - С. 342.

9. Верещагин В.Л. Интегрируемая краевая задача для цепочки Вольтерра на полуоси // Мат. заметки. принято в печать.

10. Веселое А.П. Интегрируемые отображения // УМН. 1991. - Т. 46, № 5(281). - С. 1-45.

11. Веселое А.П. Интегрируемые лагранжевы соответствия. и факторизация матричных многочленов // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т. 25, № 2. - С. 38-49.

12. Дородницын В.А. Группы преобразований в пространстве разностных переменных. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34.- С. 149-190.

13. Забродин А.В. Разностные уравнения Хироты // ТМФ. 1997. - Т. 113, № 2. - С. 179-230.

14. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера // ДАН СССР. 1981. - Т. 259, № 26. - С. 76-79.

15. Казакова Т.Г. Граничные условия для дискретных систем, совместимые со свойством интегрируемости // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Уфа: БГУ, 2001. - Т. 1. - С. 72-80.

16. Казакова Т.Г. Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2002. - Вып. 4.- С. 107-117.

17. Казакова Т.Г. Конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Уфа: БГУ, 2003. - Т. 1. - С. 82-88.

18. Казакова Т.Г. Конечномерные редукции дискретных систем, интегрируемые в квадратурах // ТМФ. 2004. - Т. 138, № 3. -С. 422-436.

19. Корепанов И. Г. Интегрируемые системы в дискретном пространстве-времени и неоднородные модели двумерной статистической физики // Дисс. д. ф.-м. н. 1995. - Санкт-Петербург.

20. Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения // УМН. 1978. - Т. 33, № 4. - С. 215-216.

21. Кричевер И.М. Периодическая неабелева цепочка Тоды и ее двумерное обобщение // УМН. 1981. - Т. 36, № 2. - С. 72-80.

22. Лезнов A.M. Градуированные алгебры Ли, теория представлений, интегрируемые отображения и интегрируемые системы // ТМФ. -- 2000.- Т. 122, № 2. С. 251-271.

23. Лезнов A.M., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1985 - 280 с.

24. Манаков С.В. О полной интегрируемости и стохатизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. 1974. - Т. 67, № 2. - С. 543-555.

25. Марихин В.Г., Шабат А.Б. Интегрируемые решетки // ТМФ. 1999.- Т. 118, № 2. С. 217-228.

26. Склянин Е.К. Граничные условия для интегрируемых систем // Ф. анализ и его прил. 1987. - Т. 212. - С. 86-87.

27. Сурис Ю.В. Обобщенные цепочки Тоды в дискретном времени // Алгебра и анализ. 1990. - Т. 2, № 2. - С. 141-157.

28. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. - 528 с.

29. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука., 1985. - 447 с.

30. Хабибуллип И. Т., Гудкова Е.В. Краевые условия для многомерных интегрируемых уравнений // Функ. анализ и его приложения. 2004. -т. 38, № 2. - С. 71-83.

31. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрии нелинейных цепочек ]) Алгебра и анализ. 1990. - Т. 2, № 2. - С. 377-400.

32. Эредеро Р.Э., Леей Д., Винтерниц П. Симметрии дискретного нелинейного уравнения Шредингера // ТМФ. 2001. - Т. 127, № 3.- С. 379-387.

33. Ablowitz М., Ladik J. Nonlinear differential-defference equations and Fourier analisis // J. Math. Phys. 1976. - V. 17, № 6. - P. 1011-1018.

34. Ablowitz M., Ladik J. A nonlinear difference sheme and inverse scattering // Stud. Appl. Math. 1976. - V. 55, № 3. - P. 213-229.

35. Adler M., van Moerbeke P. Integrals over classical groups, random permutations, Toda and Toeplitz lattices // Commun. Pure Appl. Math. 2001.- V. 54, № 2. P. 153-205.

36. Adler V.E. On the structure of the Backlund transformations for the re-lativistic lattices // J. of Nonlinear Math. Phys. 2000. - V. 7, .V 1. -P. 34-56.

37. Adler V.E. Discrete equations on planar graphs //J. Phys. A:Math. and Gen. 2001. - V. 34. - P.10453-10462.

38. Adler V.E., Habibullin I.Т. Integrable boundary conditions for the Tod a lattice // J. Phys. A. 1995. - V. 28. - P. 6717-6729.

39. Alber M.S., Kiskowski A. On aggregation in CA models in biology // Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34. - P. 10707-10714.

40. Bobenko A J., Suris Yu.B. Integrable systems on quad graphs // Int. Math. Res. Notices. 2002. - № 11. - P. 573-611.

41. Bogdanov L.V., Konopelchenko B.G., Moro A. Symmetry constraints for real dispersionless Veselov-Novikov equation // preprint. arX-iv:nlin.SI/0406023. - 2004.

42. Bogoyavlensky O.I. On perturbations on the the periodic Toda lattice. // Comm. Math. Phys. 1976. - V. 51., № 3 - P. 201-209.

43. Brezinski C. Dynamical systems and sequence transformations // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34. - P. 10659-10669.

44. Brushi M., Manakov S. V., Ragnisco O., Levi D. The non-abelian Toda lattice (discrete analogue of the matrix Schroedinger spectral problem // J. Math. Phys. 1980. - V. 21. - P. 2749-2759.

45. Bullough R.K., Bogoliubov N.M., Rybin A.V., Varzugin G.G., Timonen J. Solitons of q-deformed quantum lattices and the quantum soliton // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34. - P. 10463-10475.

46. Budd C., Dorodnitsyn V. Symmetry-adapted moving mesh schemes for the Schrodinger equation //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34. -P. 10387-10400.

47. Date F., limbo M., Miwa T. Method for generating discrete soliton equations. I-IV // J. Phys. Soc. Japan. 1982. - V. 51. - P. 4116-4124., 41254131. - 1983. - V. 52. - P. 761-765, 766-771.

48. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gautier-Villars, 1915.

49. Deift P., Li L.C., Tomei C. Loop groups, discrete versions of classical in-tegrable systems and rank 2 extensions j j Mem. Amer. Math. Soc. 1992.- V. 479. 101 p.

50. Doliwa A., Santitni P.M. Integrable dynamics of a discrete curve and the Ablowitz-Ladik hierarchy // J. Math. Phys. 1995. - V. 36. - P. 1259-1273.

51. Dorodnitsyn V.f Kozlov R.; Winternitz R. Lie group classification of second order difference equations // J. Math. Phys. 2000. -V. 41. - P. 480-509.

52. Dorodnitsyn V., Winternitz R. Lie point symmetry preserving discretizations for variable coefficient Korteweg-de Vries equations // Nonl. Dynamics. 2000. -V. 22. - P. 49-59.

53. Flaschka H. The Toda lattice. II. Existence of integrals // Phys. Rev. -1974. V. B9., № 4 - P. 1924-1925.

54. Flaschka H. On the Toda lattice. II. Inverse transform solution // Progr. Theor. Phys. 1974. - V. 51., № 3 - P. 703-716.

55. Fokas A.S., Its A.R., Kitaev A.V. Discrete Painleve equations and their appearence in quantum gravity // Commun. Math. Phys. 1991. - V. 2, № 2. - P. 313-344.

56. Fokas A.S., Papodopoulou E., Saridakis Y.G., Ablowitz M.J. Interaction of simple particles in soliton cellular automata // Stud. Appl. Math. 1989.- V. 81. P. 153-180.

57. Fuchssteiner B. Master symmetries, higher order time-dependent symmetries and conserved densities of nonlinear evolution equations / / Prog, Theor. Phys. 1983. - V. 70, № 6. - P. 1508-1522.

58. Grammaticos В., Ramani A. The hunting for the discrete Painleve VI equation is over // Regul. Chaotic Dyn. 2000. - V. 5, № 1. - P. 53-60.

59. Gurel В., Giirses M., Habibullin I.T. Boundary value problem, compatible with symmetries // Phys. Lett. A. 1994. - V. 190. - P. 231-237.

60. Habibullin I.T. Boundary conditions for integrable chains // Phys. Lett. A.- 1995. V. 207. - P. 263-268.

61. Habibullin I. Т., Kazakova T.G. Boundary conditions for integrable discrete chains // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34. - P. 10369-10376.

62. Habibullin I. Т., ViVdanov A.N. Boundary conditions consistent with L-A pairs // Proceedings of the Int. conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium". Ufa: USATU, 2001. - P. 80-82.

63. Hirota R. Nonlinear partial difference equations. I-V. //J. Phys. Soc. Japan.- 1977. V. 43. - P. 1423-1433, 2074-2078, 2079-2086. - 1978. - V. 45. -P. 321-332. - V. 46. - P. 312-319.

64. Hirota jR. Discrete analogue of generalized Toda equation //J. Phys. Soc. Japan. 1981. - V. 50. - P. 3785-3791.

65. Hirota R., Kimura K., Yahagi H. How to find the conserved quantities of nonlinear discrete equations //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34.- P.10377-10386.

66. Ince E.L. Ordinary differential equations. Dover, New York., 1956 - p.

67. Izergin A.G., Korepin V.E. The lattice quantum sine-Gordon model // Lett. Math. Phys. 1981. - V. 5, № 3. - P. 199-205.

68. Kac M, van Moerbeke P. On an explicity soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices // Adv. Math. 1975. -V. 16. - P. 160-169.

69. Kajiwara К., Masuda Т., Noumi M., Ohta Y., Yamada Y. Determinant formulas for the Toda and discrete Toda equations // Funkcial. Ekvac. -2001. V. 44. - P. 291-307.

70. Kazakova T. G. Finite-dimensional reductions of the discrete Toda chain // J. Phys. A: Math, and Gen. 2004. - V. 37. - P. 8089-8112.

71. Konopelchenko B.G., Schief W.K. Reciprocal figures, graphical statics and inverse geometry og the Schwarzian BKP hierarchy // Stud. Appl. Math.- 2002. V. 109, № 2. - P. 89-124.

72. Kostant B. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. - 1979. - V. 34. - P.195-338.

73. Krichever I., Lipan O., Wiegmann 0., Zabrodin A. Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations // Common. Math. Phys. -1997. V. 188. - P. 267-304.

74. Kuznetsov V.B. Separation of variables for the Dn-type periodic Toda lattice // J. Phys. A: Math, and Gen. 1997. - V. 30, № 6. - P. 2127-2138.

75. Kuznetsov V.B., Sklyanin E.K. Backlund transformations for many-body systems // J. Phys. A: Math, and Gen. 1998. - V. 31, № 9. - P. 22412251.

76. Lafortune S., L. Martina, Winternitz P. Point symmetries of generalized Toda field theories // J. Phys. A. 2000. - V. 33. - P.2419-2435.

77. Levi D., Martina L. Integrable hierarchies of nonlinear difference-difference equations and symmetries //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. - V. 34.- P.10357-10368.

78. Levi D., Winternitz P. Continuous symmetries of discrete equations // Phys. Lett. A. 1991. - V. 152. - P.335-338.

79. Ma W.X., Fuchssteiner В. Algbraic structure of discrete zero curvature equations and master symmetries of discrete evolution equations //J. Math. Phys. 1999. - v. 40, № 5. - P. 2400-2418.

80. Maeda S. Canonical structure and symmetries for discrete systems // Math. Japan. 1980. - V. 25. - P. 405-420.

81. Maeda S. The similarity method for difference equations // J. Appl. Math.- 1987. V. 38, № 129. - P. 129-134.

82. Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations. I. // Lett. Math. Phys. 1979. - V. 3. - P. 217-222.

83. Matveev V.B., Salle M.A. Differential-difference evolution equations II. (Darboux transformation for the Toda lattice) // Lett. Math. Phys. 1979.- V. 3. P. 425-429.

84. Miwa T. On Hirota's difference equation // Proc. Japan Acad. Ser. A. -1982. V. 58. - P. 9-12.

85. Moser J.} Veselov A.P. Discrete version of some classical integrable systems and factorizations of matrix polynomials If Commun. Math. Phys. 1991.- V. 139. P. 217-243.

86. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Explicit solutions of classical generalized Toda models // Invent. Math. 1979. - V. 54. - P. 261-269.

87. Pakuliak S., Sergeev S. Quantum relativistic Toda chain of root of unity: isospectrality, modified Q-operator, and functional Bethe ansatz // Int. J. Math. Sci. 2002. - V. 31, № 9. - P. 513-553.

88. Papageorgiou V.G., Nijhoff F.W., Capel H.W. Integrable mappings and nonlinear integrable lattice equations // Phys. Lett. A. 1990. - V. 147. -P.106-144.

89. Fokas A.S., Grammaticos B.} Ramani A, Prom continuous to discrete Painleve equations // J. Math. Anal. Appl. 1993. - V. 180, № 2. - P. 342360.

90. Quispel G.R.W., Capel H.W., Sahadevan R. Continuos symmetries of difference equations; the Kac-van Moerbeke equation and Painleve reduction // Phys. Lett. A. 1992. - V. 170. - P. 379-383.

91. Ramani A,, Grammaticos В., Hietarinta J. Discrete versions of the Painleve equations // Phys. Rev. Let. 1991. - V. 67, № 14. - P. 1829-1832.

92. Ramani A., Grammaticos B. Discrete Painleve equations: coalescences, limits and degeneracies// Phys. A. 1996. - v. 228, № 1-4. - P. 160-171.

93. Spiridonov V., Zhedanov A. Discrete Darboux transformations, discrete time Toda lattice, and the Askey-Wilson polynomials. Montreal: Preprint CRM-1829, 1993 - p.

94. Suris Yu.B. On some integrable systems related to the Toda lattice //J. Phys. A: Math, and Gen. 1997. - V. 30. - P. 2235-2249.

95. Toda M. Waves in nonlinear lattice // Proc. Theor. Phys. Suppl. 1970. -№ 45. - P. 174-200.

96. Veselov A.P. Confocal quadrics and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space //J. Geometry and Physics. 1990. - V. 7, № 1. - P. 81-107.

97. Ward R. Discrete Toda field equations // Phys. Let. A. 1995. - V. 199. -P. 45-48.

98. Wolfram S. Theory and application of cellular automata. Singapore: World Sci., 1986 - 287 p.

99. Yamilov R.I. Classification of Toda type scalar lattices // Proc. NEEDS'93. World Scientific Publ., Singapore, 1993. - P. 423-431.