Конечно-разностное моделирование сейсмоакустических волновых процессов в сложноустроенных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дмитриев, Максим Николаевич

• Дмитриев, Максим Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриев, Максим Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Глава 2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

В ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕДАХ

2.1 Одномерная обобщенная стандартная

линейная модель твердого тела

2.1.1 Введение переменных памяти

2.1.2 Аппроксимация добротности

на заданном частотном диапазоне

2.2 Обобщенная стандартная линейная модель

твердого тела в трехмерном случае

2.3 Уравнения вязкоупругости

в цилиндрической системе координат

2.4 Построение конечно-разностного алгоритма

в цилиндрической системе координат

2.5 Численные эксперименты

Глава 3. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКА

3.1 Уравнения электроупругости. Общие свойства

3.2 Определяющие соотношения

в цилиндрической системе координат

3.3 Построение конечно-разностного алгоритма

в цилиндрической системе координат

3.4 Численные эксперименты

Глава 4. ПОСТРОЕНИЕ СЛАБООТРАЖАЮЩИХ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ М-РМЬ

4.1 Отражающие свойства М-РМЬ

4.1.1 Дифференциальная постановка

4.1.2 Конечно-разностная постановка

4.2 Устойчивость М-РМЬ

4.3 Численные эксперименты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-разностное моделирование сейсмоакустических волновых процессов в сложноустроенных средах»

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования данной работы - математические модели процессов формирования и распространения волновых полей в упругих и вяз-коупругих средах, в том числе в результате пьезоэлектрического возбуждения, в целях разработки численных алгоритмов расчета волновых полей и создание на этой основе научно-исследовательской версии проблемно ориентированного программного обеспечения.

Актуальность. В настоящее время численное моделирование является наиболее востребованным и эффективным инструментом изучения процессов формирования и распространения волновых полей в сложноустроенных средах. Данный факт обусловлен, с одной стороны, сложностью получаемых математических моделей и систем уравнений, их описывающих, с другой стороны, развитием высокопроизводительных вычислительных систем, позволяющих проводить моделирование комплексных процессов. Именно на основе численного моделирования возможно изучение тонки эффектов и проявления наиболее интересных и важных особенностей волновых процессов в регистрируемых данных. На сегодня достигнуты значительные успехи в математическом моделировании процессов формирования и распространения сейсмоакустических волновых полей в сложноустроенных средах. Однако большинство известных алгоритмов ограничиваются учетом свойств среды (неоднородности, анизотропии, присущего ей поглощения) и не учитывают строения акустического зонда, которое, как известно, оказывает существенное влияние на волновое поле. Помимо этого, существуют задачи общего характера, имеющие принципиально значение для широкого круга приложений, такие, например, как ограничение расчетной области при мо-

делировании волновых полей в неограниченных областях. Одним из требований к алгоритмам построения неотражающих граничных условий является обеспечение высокой точности и устойчивости при разумном использовании объемов вычислений и памяти. На данный момент существует множество способов ограничения расчетной области. Среди них можно выделить точные граничные условия, основанные на аппроксимации точных операторов во внешней области; локальные граничные условия, основанные на рациональном приближении точных операторов во внешней области; идеально согласованные поглощающие слои. Однако ни один из методов не охватывает весь спектр рассматриваемых задач. В частности, задача построения неотражающих/слабоотражаю щих искусственных граничных условий для неоднородных и анизотропных сред все еще остается нерешенной. В связи с этим построение устойчивых и эффективных алгоритмов ограничения расчетной области остается одной из наиболее актуальных задач теории распространения волн. Весьма актуальной задачей геофизики является создание численных методов и разработка программного обеспечения для изучения влияния самого прибора на регистрируемое волновое поле и выбора его оптимальных конфиругаций.

Цель исследований - повысить разрешающую способность и информативность акустического каротажа на основе конечно-разностного моделирования волновых полей с учетом основных элементов конструкции источника (пьезоэлектрического излучателя, поглощающей прослойки). Научные задачи:

1. Разработать конечно-разностный алгоритм в цилиндрической системе координат для моделирования сейсмоакустических волновых полей в упругих и вязкоупругих средах с учетом их пьезоэлектрического воз-

буждения. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант программного обеспечения для выполнения численного моделирования с учетом основных особенностей конструкции источника (пьезоэлектрического излучателя, поглощающей прослойки).

2. Теоретически и экспериментально обосновать алгоритм ограничения расчетной области.

Теория и методы исследования

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

- современная теория упругости, вязкоупругости и электроупругости;

- математический аппарат численных методов для аппроксимации начально-краевых задач теории упругости, вязкоупругости и электроупругости;

- теория нелинейной минимизации для аппроксимации добротности на заданном частотном диапазоне;

- теория дифференциальных уравнений для теоретического обоснования алгоритма ограничения расчетной области.

Основной метод исследования - математическое моделирование сейсмо-акустических волновых полей в неоднородных средах с учетом конструкции источника. При разработке численного алгоритма для электроупругой среды использовалась математическая библиотека Intel Math Kernal Library для решения системы линейных алгебраический уравнений. Для разработки научно-исследовательской версии программного обеспечения использовался язык программирования Fortran.

Разработанные алгоритмы тестировались на средах различной степени сложности серией численных экспериментов. Для определения достоверности результатов проверялись основные характеристики волновых процессов: зависимость решения от добротности при моделировании волновых полей в вязкоупругих средах, сравнением аналитического коэффициента отражения с экспериментальным при тестировании слабоотражающих граничных условий.

Защищаемые научные результаты:

1. Конечно-разностный алгоритм расчета сейсмоакустических волновых полей, разработанный с учетом основных элементов конструкции источника (пьезоэлектрического излучателя, поглощающей прослойки);

2. Теоретическое и экспериментальное обоснование алгоритма построения слабоотражающих граничиых условий для ограничения расчетной области;

3. Научно-исследовательский вариант программного обеспечения. Новизна работы. Личный вклад.

Разработана, обоснована и реализована в виде научно-исследовательского программного обеспечения оригинальная замкнутая математическая модель, позволяющая изучать весь цикл формирования и распространения сейсмоакустических волн, начиная с их возбуждения пьезоэлектрическим излучателем и дальнейшего распространения в скважине и околоскважинном пространстве. В процессе создания модели и упомянутого программного обеспечения автором были лично получены следующие новые результаты:

- на основе совместного решения системы уравнений вязкоупругости и электроупругости разработан и теоретически обоснован конечно-разностный алгоритм расчета волновых полей с учетом основных элементов конструкции источника (пьезоэлектрического излучателя, поглощающей прослойки); создана база данных времен релаксаций для широкого диапазона значений добротности;

- теоретически и экспериментально обоснован алгоритм построения сла-боотражающих граничных условий для ограничения расчетной области (М-PML - Multiaxial Perfectly Matched Layer); на основе анализа плоских волн построены общие выражения для коэффициента отражения и необходимый признак устойчивости, позволяющий оптимизировать выбор поглощающих слоев; показана принципиальная возможность устойчивого расчета волновых полей для анизотропных и неоднородных сред;

- разработан научно-исследовательский вариант проблемно ориентированного программного обеспечения, предназначенного для численного моделирования всего цикла акустического каротажа: возбуждения, распространения и регистрации данных.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

С помощью современных достижений теории разностных схем диссертантом разработаны численные алгоритмы решения прямых задач динамической теории упругости и вязкоупругости и электроупругости с учетом использования пьезоэлектрического источника и на этой основе создан научно-исследовательский вариант программного обеспечения, предназначенного для выполнения полного цикла акустического каротажа скважин. Разработанный копечио-разиостный алгоритм моделирования волновых процессов позволяет изучать влияние конструкции источника на процесс фор-

мирования волнового поля и на этой основе производить выбор оптимальных материалов и режимов работы пьезоэлектрического преобразователя. Теоретически и экспериментально обоснованный алгоритм построения сла-боотражающих граничных условий позволяет проводить устойчивый расчет волновых полей в неограниченных областях.

Апробация работы и публикации. Основные положения и результаты, полученные автором, докладывались, обсуждались и были одобрены специалистами на 9 конференциях: 10-й Международной научно-практической конференции ,,Геомодель-2008"(Геленджик, 2008), XLVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2009), XIII Всероссийской конференции-школе "Современные проблемы математического моделирования "(п. Абрау-Дюрсо,

2009), 4-й Международной конференции и выставке "Санкт-Петербург -2010. К новым открытиям через интеграцию геонаук" (Санкт-Петербург,

2010), VI Международной выставке и научном конгрессе "ГЕО-Сибирь-2010"(Новосибирск, 2010), Международном симпозиуме "Seismic Waves in Laterally Inhomogeneous Media VII"(Чешская Республика, Тепла, 2010), Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск, 2010), Международной конференции "European Conference on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs" (Италия, Тренто, 2011), XIV Всероссийской молодежной конференции-школе с международным участием "Современные проблемы математического моделирования"(п. Абрау-Дюрсо,

2011).

Результаты исследования по теме диссертации изложены в 12 опубликованных работах в том числе 3 статьи в ведущих научных рецепзиру-

емых журналах, рекомендованных ВАК (Уфимский математический журнал [Дмитриев, Роменский, 2010], Сибирский журнал вычислительной математики [Дмитриев, Лисица, 2011, 2012]) и 9 материалах международных и российских конференций и симпозиумов.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н. Е.И. Роменскому, д.ф.-м.н., профессору В.А. Чеверде, который оказал неоценимую помощь в реализации данной работы, к.ф.-м.н. В.В. Лисице за всестороннюю поддержку и постоянное внимание, плодотворные обсуждения во время работы над диссертацией.

Автор выражает благодарность В.И. Самойловой за методические рекомендации и консультации при подготовке диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дмитриев, Максим Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат работы - разработка алгоритмов и программ для моделирования процессов формирования и распространения волновых полей для задачи акустического каротажа с учетом основных элементов источника (пьезоэлектрический излучатель, поглощающая прослойка), направленнных на изучение влияния конструкции источника на волновое поле. Полученные результаты позволяют глубже понять особенности процесса распространения сейсмических волн, возбуждаемых источником и на этой основе произвести выбор оптимальных материалов и режимов работы пьезоэлектрического преобразователя.

Для ограничения расчетной области детально исследован алгоритм построения слабоотражающих граничных условий М-РМЬ. Рассмотренный подход является устойчивым для произвольной неоднородной и анизотропной среды при соответствующем выборе стабилизирующего параметра. На основе исследования сформулирована задача построения оптимального стабилизирующего параметра, т.е. минимизирующего отражения от границы М-РМЬ - расчетная область и в то же время обеспечивающего устойчивость. Автором получен необходимый признак устойчивости, позволяющий оптимизировать выбор поглощающих слоев. Численными экспериментами показано, что данный признак не является достаточным. Представленный подход обладает рядом преимуществ: простота построения, достаточно высокая эффективность, возможность производить расчет волнового поля без потери устойчивости.

Дальнейшее развитие настоящей работы представляется в полномасштабном математическом моделировании всей конструкции акустического зонда и создании на этой основе программного обеспечения, ориентированного на использование современных высокопроизводительных вычислительных систем с параллельной архитектурой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриев, Максим Николаевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. Киев: Наукова думка. - 1990. - 176 с.

2. Бабаев А.Э. Излучение нестационарных акустических волн электроупругим цилиндром с проводной цепью // Теоретическая и прикладная механика. - 2010. - Вып. 1(47). - С. 114-125.

3. Бархатов В.А. Электромеханическая модель пьезопреобразователя // Дефектоскопия. - 2011. - Т. 8. - С. 3-15.

4. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998.

5. Гольдин C.B. Сейсмические волны в анизотропных средах. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008.

6. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Динамика связных полей в элементах конструкций. Электроупругость. - Киев: Наукова думка, 1989. - 279 с.

7. Дмитриев М.Н., Лисица В.В. Устойчивость и отражающие свойства М-PML для анизотропных упругих сред //VI Международная выставка и научных конгресс "ГЕО-Сибирь-2010"(Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск, 2010. - Т. 2, 4.1. С. 97-101.

8. Дмитриев М.Н., Роменский Е.И. WENO/RK метод высокой точности для моделирования упругих волн // Уфимский математический журнал. -2010. - Т. 2, №1. - С. 59-70.

9. Дмитриев М.Н., Лисица B.B. Применение слабоотражающих граничных условий M-PML при моделировании волновых процессов в анизотропных средах. Часть I: Уровень отражений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ие. - Новосибирск, 2011. - Т. 14, №4. - С. 333-345.

10. Дмитриев М.Н., Лисица В.В. Применение слабоотражающих граничных условий M-PML при моделировании волновых процессов в анизотропных средах. Часть II: Устойчивость // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ие. - Новосибирск, 2012. Т. 15, №1. - С. 45-55.

11. Ивакин Б.Н., Карус Е.В., Кузнецов О.Л. Акустический метод исследования скважин. - М.: Недра, 1978. - 320 С.

12. Крауклис П.В., Крауклис Л.А. Волновое поле точечного источника в скважине // Вопросы динамической теории распространения волн. - Л.: Наука, 1976. - Вып. XVI. - С. 41-53.

13. Костин В.И., Решетова Г.В., Чеверда В.А. Численное моделирование трехмерного акустического каротажа с использованием многопроцессорных вычислительных систем // Матем. моделирование. - 2008. - Т. 20, №9. - С. 51-66.

14. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости // М.: Мир, 1974. -338 с.

15. Кучунова Е.В., Садовский В.М. Численное исследование распространения сейсмических волн в блочных средах на многопроцессорных вычислительных системах // Вычислительные методы и программирование. -2008. - Т. 9, т. - С. 70-80.

16. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов для некоторых краевых задач математической физики // Журн. вычисл. математики и математической физики. - 1964. - Т. 4, № 3. - С. 449-465.

17. Лисица В.В. Нерасщепленный идеально согласованный слой для системы уравнений динамической теории упругости // Сиб. журн. вычисл. математики/РАН. Сиб. отд-ние. - Новосибирск, 2007. - Т. 10, № 3. -С. 285-297.

18. Лысь Е.В., Лисица В.В. Численное моделирование сейсмоакустических волновых полей для анизотропного околоскважинного пространства // Технологии сейсморазведки. - 2008. - №1. - С. 25-34.

19. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. - М.: Наука, 1988. - 287 С.

20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 С.

21. Alpert В., Greengard L., Hagstrom Т. Rapid evaluation of nonreflecting boundary kernels for 15 time-domain wavepropagation // SIAM J. Numer. Anal. - 2000. - Vol. 37. - P. 1138-1164.

22. B. Alpert, L. Greengard and T. Hagstrom Nonreflecting boundary conditions for the time-dependent wave equation //J. Comput. Phys. - 2002. - Vol. 180. -P. 270-296.

23. Appelo D., Hagstrom T., Kreiss G. Perfectly matched layers for hyperbolic systems: general formulation, well-posedness and stability // SIAM J. Appl. Math. - 2006. - Vol. 67. - P. 1-23.

24. Appelo D. and Kreiss G. A new absorbing layer for elastic waves // J. Comput. Phys. - 2005. - Vol. 215. - P. 642-660.

25. Asvadurov S., Knizhnerman L. and Pabon J. Finite-difference modeling of viscoelastic materials with quality factors of arbitrary magnitude // Geophysics. - 2004. - Vol. 69, N. 3. - P. 817-824.

26. Asvadurov S., Druskin V., Guddati M.N., Knizhnerman L. On optimal finite-difference approximation of PML // SIAM J. Numer. Anal. - 2003. - Vol. 41, N. 1. - P. 287-305.

27. Auld B.A. Acoustic fields and waves in solids. - Wiley, 1973. - 431 p.

28. Bathe K.J. Finite element formulation, modeling and solution of nonlinear dynamic problems // Numerical Methods for Partial Differential Equations.

- New York: Academic Press, 1979. - P. 1-40.

29. Bayliss A., Turkel E. Radiation boundary conditions for wave-like equations // Comm. Pure and Appl. Math. - 1980. - Vol. 33. - P. 707-725.

30. Becache E., Fauqueux S., Joly P. Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves //J. Comput. Phys. - 2003. - Vol. 188, N. 2.

- P. 399-433.

31. Becache E., Givoli D., Hagstrom T. High-order Absorbing Boundary Conditions for anisotropic and convective wave equations //J. Comput. Phys.

- 2010. - Vol. 229, N. 4. - P. 1099 1129.

32. Berenger J.-P. A pe rfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves //J. Comput. Phys. - 1994. - Vol. 114. - P. 185-200.

33. Biot M.A. Propagation of clastic waves in a cylindrical bore containing a fluid // Journal of Applied Physics. - 1952. - Vol. 23. - P. 997 1005.

34. Blanch J., Robertsson O., and Symes W. Modeling of a constant Q: Methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique // Geophysics. - 1995. - Vol. 60. P. 176-184.

35. Bohlen T. Parallel 3-D viscoelastic finite-difference seismic modeling // Computers and Geoscients. - 2002. - N. 28. - P. 887-899.

36. Casula G., Carcione J.M. Generalized mechanical model analogies of linear viscoelastic behaviour // Bollettino di Geofisica Teorica e Applicata. - 1992.

- Vol. 34, N. 136. - P. 235-256.

37. Carcione J.M., Kosloff D., Kosloff R. Wave propagation simulation in a linear viscoelastic medium // Geophys. J.R. astr. Soc. - 1988. - Vol. 95. - P. 597611.

38. Carcione J.M. Seismic modeling in viscoelastic media // Geophysics. - 1993.

- Vol. 58, N. 1. - P. 110-120.

39. Carcione J.M., Cavallini F. A rheological model for anelastic anisotropic media with applications to seismic wave propagation // Geophysical Journal International. - 1994. - Vol. 199. - P. 338-348.

40. Collino F., Monk P.B. Optimizing the perfectly matched layer // Comput. Methods .Appl. Mech. Eng. - 1998. - Vol. 164. - P. 157-171.

41. Collino F., Tsogka C. Application of the perfectly matched layer absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics - 2001. - Vol. 66. - P. 294-307.

42. Chagla F., Smith P.M. Finite difference time domain methods for piezoelectric crystals // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr. - 2006. - Vol. 53. - P. 1895-1901.

43. Chaljub E., Komatitsch D., Vilotte J.P., Capdeville Y., Valette B., Festa G. Spectral-element analysys in seismology // Advances in Geophysics. -Elsevier. - 2007. - Vol. 48. - P. 365-419.

44. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity - An introduction // Academic Press, New-York, seconde edition, 1982. - 114 P.

45. Day S. and Minster J. Numerical simulation of attenuated wavefields using a Pade approximant method // Geophysical Journal of the Royal Astrological Society. - 1984. - Vol. 78. - P. 105-118.

46. Dong Z., McMechan G.A. 3-D viscoelastic anisotropic modeling of data from a multicomponent, multiazimuth seismic experiment in northeast Texas // Geophysics. - 1995. - Vol. 60, N. 4. - P. 1128-1138.

47. Emmerich H., and M. Korn Incorporation of attenuation into timedomain computations of seismic wave fields // Geophysics. 1987. - Vol. 52. -P. 1252-1264.

48. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comp. - 1977. - Vol. 31. P. 629-651.

49. Etierme V., Chaljub E., Virieux J, Glinsky N. An hpadaptive discontinuous Galerkin finite-element method for 3D elastic wave modeling // Geophysical Journal International - 2010. - Vol. 183. - P. 941 962.

50. Grote M.J., Schneebeli A., Schotzau D. Discontinuous Galerkin finite element method for the wave equation // SIAM Journal on Numerical Analysys. -2006. - Vol. 44, N. 6. - P. 2408-2431.

51. Hagstrom T., Goodrich J. Accurate Radiation Boundary Conditions for the Linearized Eulcr Equations in Cartesian Domains // SIAM J. Sci. Comput.

- 2003. - Vol. 24. - P. 770-795.

52. Higdon R. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation // Math. Comp. - 1987. - Vol. 49. - P. 65-90.

53. Hiptmair R., Schadle A. Non-reflecting boundary conditions for Maxwell's equations // Computing - 2003. - Vol. 71. - P. 265-292.

54. Kaser M., Dumbser M. An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes. The two-dimensional isotropic case with external source terms / / Geophysical Journal International. - 2006. - Vol. 166, N. 2. - P. 855-877.

55. Komatitsch D., Martin R. An unsplit convolutional perfectly matched layer improved at grazing incidence for the seismic wave equation // Geophysics.

- 2007. - Vol. 72, N. 5. - P. SM155-SM167.

56. Kostec S., Randall C.J. Modeling of a piezoelectric transducer and its application to full waveform acoustic logging //J. Acoust. Sos. Am. 1994.

- Vol. 1. - P. 109-122.

57. Levander A.R. Fouth-order finite-difference P-SV seismogramms // Geophysics. - 1988. - Vol. 53, N. 11. - P. 1425-1436.

58. Lindman E. Free space boundary conditions for the time dependent wave equation //J. Comput. Phys. - 1975. - Vol. 18. - P. 66-78.

59. Lisitsa V. Optimal Discretization of PML for Elasticity Problems // Electron. Trans. Nurner. Anal. - 2008. - Vol. 30. - P. 258-277.

60. Lisitsa V., Lys E. Reflectionless Truncation of Target Area for Axially Symmetric Anisotropic Elasticity // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - Vol. 234, N. 6. - P. 1803-1809.

61. Lisitsa V., Vishnevskiy D. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3D anisotropic elasticity // Geophysical Prospecting. -2010. - Vol. 58, N. 4. - P. 619-635.

62. Lisitsa V.V., Podgornova O.V., Tcheverda V.A. On the interface error analysis for finite difference wave simulation // Computational Geosciences. - 2010. - Vol. 14. - P. 769-778.

63. Liu H., Anderson D.L., Kanamori H. Velocity dispersion due to anelasticity; implications for seismology and mantle composition // Geophys. J.R. astr. Soc. . - 1976. - Vol. 47. - P. 41-58.

64. Lubich C., Schadle A. Fast convolution for non-reflecting boundary conditions // SIAM J. Sci. Comput. - 2002. - Vol. 24. P. 161 182.

65. Meza-Fajardo Kristel C., Papageorgiou Apostolos S. A Nonconvolutional, Split-Field, Perfectly Matched Layer for Wave Propagation in Isotropic and Anisotropic Elastic Media: Stability Analysis // Bulletin of the Seismological Society of America. - 2008, N. 4. - P. 1811-1836.

66. Moczo P., Bystricky J., Kristek J., Carcione J.M., Bouchon M. Hybrid modeling of P-SV seismic motion at inhomogeneous viscoelastic topographies structures // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1997. -Vol. 87, N. 9. - P. 1811-1836.

67. Paradies R., Melnykowycz M. Numerical stress investigation for piezoelectric elements with a circular cross section and interdigitated electrodes // Intelligent Material Systems and Structures - 2007. - Vol. 18, N. 9. - P. 963972.

68. Petropoulos P. Reflectionless sponge layers as absorbing boundary conditions for the numerical solution of Maxwell's equations in rectangular, cylindrical and spherical coordinates // SIAM J. Appl. Math. - 2000. Vol. 60. - P. 10371058.

69. Puente J., Dumbser M., Kaser M., Igel H. Discotinuous Galerkin methods for wave propagation in poroelastic media // Geophysics. - 2008. - Vol. 73, N. 5. - P. T77-T97.

70. Raghavan A., Cesnik C.E. Finite-dimensional piezoelectric transducer modeling for guided wave based structural health monotoring // Smart Materials and Structures - 2005. - Vol. 14, N. 6. - P. 1448-1461.

71. Savadatti S., Guddati M.N. Absorbing boundary conditions for scalar waves in anisotropic media. Part 1: Time harmonic modeling // J. Comput. Phys.

- 2010. - Vol. 229, N. 19. - P. 6696-6714.

72. Savadatti S., Guddati M.N. Absorbing boundary conditions for scalar waves in anisotropic media. Part 2: Time-dependent modeling //J. Comput. Phys.

- 2010. - Vol. 229, N. 18. - P. 6644-6662.

73. Sefer Avdiaj, Jancz Sctina, Nairn Syla Modeling of the piezoelectric effect using the finite-element method (FEM) // Materials and technology, 2009, Vol. 43, N. 6, P. 283 291.

74. Shen Wang, Maarten V. de Hoop and Jianlin Xia On 3D modeling of seismic wave propagation via a structured parallel multifrontal direct Helmholtz solver // Geophysical Prospecting. - 2011. - Vol. 59. - P. 857-873.

75. Saenger E.H., Gold N., Shapiro S.A. Modeling the propagation of the elastic waves using a modified finite-difference grid // Wave motion. - 2000. -Vol. 31.- P. 77 92.

76. Saenger E.H., Bohlen T. Finite-difference modeling of viscoelastic and anisotropic wave propagation using the rotated staggered grid // Geophysics.

- 2004. - Vol. 69, N. 2. - P. 583-591.

77. Sofronov I.L. Artificial boundary conditions of absolute transparency for two and three-dimensional external time-dependent scattering problems // Euro. J. Appl. Math. - 1998. - Vol. 9, N. 6. - P. 561-588.

78. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. - 1986. - Vol. 51, N. 10.

- P. 1954 1966.

79. Tsynkov S.V. Numerical solution of problems on unbounded domain. A review // Applied Numerical Mathematics. - 1998. - Vol. 27, N. 4. - P. 465-532.

80. Tromp J., Komatitsch D., Liu Q. Spectral-element and adjoint inethodsin seismology // Cornmun. Comput. Phys. - 2008. - Vol. 3, N. 1. - P. 1-32.

81. Veidt M., Liu T.R., Kitipornchai S. Experimental investigation of the acousto-ultrasonic transfer characteristic of adhesively bonded piezoceramic

transducers // Smart Materials and Structures. - 2005. - Vol. 14, N. 6. -P. 1083-1100.

82. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. - 1986. - Vol. 51, N. 4. - P. 889-901.

83. Wang Z. Seismic anisotropy in sedimentary rocks, part 2: Laboratory data // Geophysics. - 2002. - Vol. 67, N. 5. - P. 1423-1440.

84. Winterstein D.F. Velocity anisotropy terminology for geophysicists // Geophysics. - 1990. - Vol. 55, N. 8. - P. 1070-1088.

85. Yang M.J., Qiao P.Z. Modeling and experimental detection of damage in various materials using the pulse-echo method and piezoelectric sensors/actuators // Smart Materials And Structures. - 2005. - Vol. 14, N. 6.

- P. 1083-1100.

86. Zhang J. Quadrangle-grid velocity-stress finite-difference method for elastic wave propagation simulation// Geophysical Journal International. - 1997. -Vol. 131, N. 1. - P. 127-134.

87. Zhang J. wave propagation across fluid-solid interfaces: a grid method approach // Geophysical Journal International. - 2004. - Vol. 159, N. 1.

- P. 240-252.

88. Zhang D., Lamoureux M., Margrave G., Cherkaev E Rational approximation for estimation of quality Q factor and phase velocity in linear, viscoelastic, isotropic media // Computational Geosciences. - 2011. Vol. 15, N. 1. -P. 117-133.