Конечно-разностное моделирование сейсмоакустических волновых полей в анизотропных вязкоупругих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Лысь, Егор Васильевич

• Лысь, Егор Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лысь, Егор Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Глава 2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ВЯЗКО-УПРУГИХ

СРЕДАХ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Определяющие соотношения для вязкоупругих сред

2.1.2 Обобщенная стандартная линейная модель твердого тела (СЗЬБ). Поглощение в анизотропных упругих средах

2.1.3 Система уравнений вязкоупругости.

2.1.4 Краевые условия при численном моделировании сейсмических полей

2.2 Конечно-разностная схема для аппроксимации решения системы уравнений вязкоупругости.

2.2.1 Схема на разнесенных сетках в цилиндрической системе координат.

2.2.2 Спектральный признак устойчивости схемы

2.2.3 Дисперсионный анализ схемы.

2.3 Построение идеально согласованного слоя и его свойства.

2.4 Расширение расчетной области при помощи оптимальных сеток.

2.5 Численные эксперименты.

2.5.1 Верификация программной реализации.

2.5.2 Критерий устойчивости РМЬ, расширение области на оптимальных сетках . 55 2.5.3 Сравнительный анализ точности решений, полученных на оптимальных и равномерных сетках

Глава 3. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

В АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ

3.1 Постановка задачи.

3.2 Структура тензора упругих модулей в цилиндрической системе координат.

3.3 Конечно-разностная аппроксимация.

3.3.1 Эффективные параметры среды.

3.3.2 Измельчение сетки в азимутальном направлении

3.3.3 Аппроксимация на оси г = 0.

3.4 Численные эксперименты.

3.4.1 Исследование азимутального измельчения сетки

3.4.2 Исследование корректности условия на оси г =

3.4.3 Анализ отражающей способности PML.

3.4.4 Скважина заполненная жидкостью, окруженная упругой средой.

3.5 Описание программного кода.

3.5.1 Параллельный алгоритм кода на основе использования библиотеки MPI

3.5.2 Графический интерфейс пользователя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-разностное моделирование сейсмоакустических волновых полей в анизотропных вязкоупругих средах»

Объект исследования - математические модели сейсмоакустиче-ских волновых полей в анизотропных средах с поглощением в цилиндрической системе координат на предмет разработки алгоритмов расчета волновых полей на основе конечно-разностного метода и их программной реализации, в том числе и для параллельных вычислительных систем, а также проведения на этой основе серии численных экспериментов для реалистичных моделей среды.

Актуальность исследования. Проведение акустического каротажа в районах со сложным геологическим строением, повсеместное использование наклонных и горизонтальных скважин ведёт к необходимости углубленного анализа процессов формирования и распространения сейсмоакустических полей в трёхмерно-неоднородных средах с учётом анизотропии и поглощения горных пород. Аналитическое описание волновых полей в таких средах возможно только в простейших постановках, весьма далёких от реальности. В связи с этим возникает необходимость в разработке алгоритмов, ориентированных на параллельную архитектуру вычислительных комплексов, позволяющих выполнять полномасштабное математическое моделирование. При этом возникает ряд принципиальных вопросов, таких как ограничение расчетной области, пространственная декомпозиция расчётной области для организации параллельных вычислений, корректная аппроксимация волновых полей на криволинейных границах раздела, описание поглощения энергии упругих колебаний в анизотропных средах и другие.

Цель исследования- повысить разрешающую способность и информативность акустического каротажа в анизотропных упругих средах с поглощением на основе применения конечно-разностного моделирования сейсмоакустических волновых полей для реалистичных моделей трёхмерно-неоднородных сред.

Научные задачи:

1. Разработать алгоритмы конечно-разностного моделирования сейсмоакустических волновых полей в анизотропных упругих средах с поглощением и создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения.

2. Для изучения особенностей формирования сейсмоакустических волновых полей провести представительную серию численных экспериментов для ряда реалистичных моделей строения околоскважинного пространства.

Методы исследования. Разработанные алгоритмы основываются на системе уравнений линейной динамической теории упругости, в том числе и с наличием поглощения (вязкоупругости). Их аппроксимация производилась с использованием теории конечно-разностных схем. Для изучения волновых полей, возникающих в анизотропных средах, использовался аппарат линейной алгебры, анализировались собственные числа и векторы матриц Кристоффеля, ответственные за форму волновых фронтов и лучей. На этой основе была проанализирована корректность построенных поглощающих граничных условий. Изучение волновых полей в анизотропных средах с произвольным типом симметрии в криволинейных системах координат потребовало применения средств тензорного анализа для определения изменчивости вдоль координатных плоскостей компонент комплекснозначных тензоров четвертого ранга, описывающих механическую модель среды. Низкий уровень артефактов при локальном пространственном измельчении шагов конечно-разностной сетки обеспечивался использованием интерполяции на основе преобразования Фурье. Параллельная версия научно-исследовательского программного обеспечения создана на основе метода пространственной декомпозиции расчетной области. Использованы новейшие разработки библиотеки MPI (англ. Message Passing Interface). Верификация и тестирование разработанных алгоритмов проводились как сравнением с аналитическим решением, когда последнее существует, так и на основе анализа основных параметров волновых полей, которые могут быть вычислены аналитически (времена вступления, поляризация).

Защищаемые результаты:

1. Разработаны алгоритмы конечно-разностного моделирования сей-смоакустических волновых полей в анизотропных упругих средах с поглощением и их реализация в виде научно-исследовательской версии программного обеспечения.

2. Рассчитаны синтетические данные акустического каротажа для ряда типичных реалистичных моделей околоскважинного пространства.

Новизна результатов. Личный вклад. В ходе разработки алгоритмов были предложены и реализованы оригинальные подходы к конечно-разностному моделированию сейсмоакустических волновых полей:

- использование цилиндрической системы координат для максимально точной аппроксимации наиболее контрастных границ - поверхности скважины и элементов её конструкции;

- расширение целевой области посредством использования оптимальных сеток;

- параллельная реализация алгоритма расчета волновых полей в упругих анизотропных средах на основе конечно-разностной схемы Лебедева для аппроксимации трехмерной системы уравнений упругости в цилиндрической системе координат;

- периодическое азимутальное измельчение сеток для схемы Лебедева на основе интерполяции с использованием пространственного преобразования Фурье для обеспечения экспоненциальной точности и исключения сколько-нибудь значимых артефактов;

- расчет сейсмоакустических волновых полей в осесимметричных средах с поглощением сейсмической энергии (вязкоупругая модель среды) на основе конечно-разностной схемы на разнесённых сетках (Ушеих, 1986).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Применение цилиндрических сеток с периодическим измельчением размера ячейки в азимутальном направлении позволило добиться примерно одинакового размера ячеек сетки и тем самым обеспечило оптимальные дисперсионные свойства схемы (число Куранта близко к единице). Оригинальный способ использования сеток с различными азимутальными шагами основан на применении интерполяции посредством преобразования Фурье по азимутальному направлению, 2тг -периодичность функций в этом случае обеспечивает экспоненциальную точность такой интерполяции и, следовательно, гарантирует чрезвычайно низкий уровень искусственных отражений на границе смены шага. Предложенный подход расширения расчётной области с использованием оптимальных сеток напрямую не относится к неотражающим граничным условиям, но предоставляет альтернативную возможность расчета волновых полей в анизотропных средах с минимальным уровнем артефактов, порожденных искусственной границей целевой области. Практическая значимость разработанного и программно реализованного алгоритма заключается в возможности численного моделирования волновых полей, возникающих при акустическом каротаже, для довольно широкого класса сред (упругих, вязкоупругих, изотропных, трансверсально-изотропных и сред с произвольной анизотропией). Параллельная реализация алгоритма позволяет проводить более точное, быстрое и объемное (работа с большими массивами данных) моделирование. Алгоритмы обеспечивают широкие возможности для моделирования волновых полей в таких сложно устроенных средах, как заполненная жидкостью обсаженная скважина, зоны повышенной трещиноватости, а также и любые другие трёхмерные скоростные неоднородности с криволинейными границами. Новый тип краевых условий (расширение целевой области на оптимальных сетках) позволяет корректно рассчитывать волновые поля в анизотропных средах, для которых применение стандартного идеально-согласованного слоя ведёт к неустойчивости и вызывает экспоненциальный рост решения. Конечно-разностное моделирование процесса формирования волновых полей в скважине и околоскважинном пространстве позволяет анализировать и интерпретировать реальные данные, полученные при акустическом каротаже скважин, изучать влияние зондирующего прибора на процесс формирования волнового поля, определять частотно-амплитудный состав зондирующего сигнала с целью получить сейсмические разрезы с требуемым разрешением.

Научные результаты диссертации известны научной общественности. Они докладывались и получили одобрение специалистов на 8-й Международной научно-практической конференции "Геомо-дель-2006" (Геленджик, 2006), 8-th International conference on theoretical and applied acoustics (Heraklion, Crete, Greece, 2007), 9-й Международной научно-практической конференции "Геомодель-2007" (Геленджик, 2007), Между-народной конференции по математическим методам в геофизике мММГ-2008"( Новосибирск, 2008), 79-th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics "GAMM200811 (Bremen, Germany, 2008), 70-th EAGE Annual Meeting (Rome, Italy, 2008), SEG Slimmer Research Workshop on Rock Physics (Galway, Ireland, 2008), SPG/SEG Conference and Exhibition "Beijing 2009"(Beijing, China, 2009), 4,5,6-й международных выставках и научных конгрессах "Гео-Сибирь-2008", "Гео-Си-бирь-2009", "Гео-Сибирь-2010" (Новосибирск, 2008,2009,2010) , Научно-практической конференции "Сейсмические исселедования земной коры. Пузыревские чтения - 2009"(Новосибирск, 2009), 72-th EAGE Annual Meeting (Barcelona, Spain, 2010).

Полученные научные результаты полностью изложены в 10 публикациях, из которых 2 - статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (Технологии сейсморазведки, Journal of Computational and Applied Math), 8 - материалы российских и международных конференций, симпозиумов, семинаров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 70 наименований. Работа содержит 126 страниц основного текста и 61 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Лысь, Егор Васильевич

Заключение

В основе разработанных алгоритмов численного расчета данных акустического каротажа в сложноустроенных анизотропных средах лежит численное решение трехмерных уравнений анизотропной теории упругости (вязкоупругости). Выбор циллиндрической системы координат позволяет явно задавать сейсмические границы, образованные скважиной и окружающими формациями, что способствует более точному представлению волновых эффектов в окрестности этих границ, чем в декартовой системе координат ввиду отсутствия численного рассеяния, обусловленного их ступенчатым описанием. Конечно-разностная аппроксимация уравнений теории вязкоупругости позволяет рассчитывать синтетические волновые поля для моделей сред с различными дисперсионными эффектами.

Алгоритмы, разработанные с использованием конечно-разностной аппроксимации уравнений динамической теории упругости и вязкоупругости, опираются на самые современные достижения в области прикладной и вычислительной математики, включая теорию конечно-разностных схем, аппроксимации и интерполяции, а также последние результаты в области распространения волн в анизотропных средах с поглощением. Созданный научно-исследовательский вариант программного обеспечения, оснащенный дружественным графическим интерфейсом пользователя, представляет собой удобный и надёжный инструмент, предназначенный для детального анализа процессов распространения акустических волн в скважинах, окруженных сложноустроенной анизотропной средой с различными структурными особенностями. Надёжность этого инструмента основывается на тщательно выполненном тестировании, в ходе которого проводилось сравнение рассчитанных данных с аналитическими для простых моделей среды, анализировалась кинематика рассчитанного волнового поля и исследовалась внутренняя сходимость метода.

Проведённые к настоящему времени численные эксперименты позволили изучить некоторые основные особенности волновой картины при акустическом каротаже, сопутствующие определенным структурным особенностям среды. Так, было установлено, что амплитуда трубной волны, зарегистрированной на оси скважины, как правило, в десятки раз превышает амплитуду головных волн. Однако, если в окружающей скважину формации присутствует дисковая трещина, заполненная жидкостью и сообщающаяся со стволом скважины, то её амплитуда после прохождения этой трещины значительно уменьшается. В меньшей степени такой же эффект наблюдается и для изолированной (отделенной от ствола скважины тонким пропластком) трещины. Если в околоскважинной зоне присутствует система трещин (примыкающих или отделенных тонким пропластком), заполненных жидкостью, наблюдается эффект ослабления амплитуд головных волн, в особенности поперечной головной волны. При анизотропии определённого вида (петли на индикатриссе групповых скоростей) околоскважинной зоны можно наблюдать два вступления головной б^-волны. Результаты экспериментов показали, что при наличии горизонтального слоя с поглощением сейсмической энергии (добротность 60) в среде с мощностью, сравнимой с длиной волны, зарегистрированные в скважине данные имеют существенные отличия от данных подобного эксперимента без поглощающего слоя. Также сильно разнится волновая картина, если сравнивать случаи когда скважина заполнена идеальной и вязкой жидкостями.

На основе результатов моделирования (полученных с помощью разработанных алгоритмов) возможно исследование корректности различных техник построения эффективных моделей сред: осреднение тонкослоистых пачек, осреднение систем ориентированных трещин, замена группы упругих слоев одним слоем с дисперсией скоростей сейсмических волн и т.д.

В процессе численных экспериментов были применены правила и приемы, позволяющие повысить эффективность параллельной реализации алгоритма, например разбиение расчетной области выбирается так, чтобы обеспечить примерно одинаковую загрузку процессорных элементов и минимизацию времени обмена данными между двумя соседними подобластями.

Дальнейшее развитие предложенных алгоритмов и созданного программного обеспечения в настоящее время представляется в следующем: учёт конструкции прибора, учёт напряжённого состояния в окрестности скважины, ускорение времени счёта за счет векторных операций обмена данными, переход на использование многосеточных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лысь, Егор Васильевич, 2011 год

1. Бахвалов H.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. - 542 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 464 с.

3. Вишневский Д.М., Костин В.И., Чеверда В.А. Возбуждение сейсмических волн источником, расположенным в скважине, заполненной жидкостью // Физическая мезомеханика. 2002. - Т.5(5). - С.85-92.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 395 с.

5. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы, введение в теорию. М.: Наука, 1973. - 400 с.

6. Гольдин C.B. Введение в геометрическую сейсмику. Новосибирск : НГУ, 2005. - 263 с.

7. Зорич В.А. Математический анализ. 4.1. М.: Наука, 1981. - 544 с.

8. Зорич В.А. Математический анализ. 4.2. М.: Наука, 1984. - 640 с.

9. Колмогоров А.Ф., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

10. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск : Наука, 1993. - 159 с.

11. Костин В.И., Решетова Г.В., Чеверда В.А. Численное моделирование трехмерного акустического каротажа с использованием многопроцессорных вычислительных систем // Математической моделирование. 2008. - Т.20(1). - С.1-11.

12. Крауклие П. В., Крауклие Л. А. Волновое поле точечного источника в скважине // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1976. - Т.ХУЬ. - С.41-53.

13. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 339 с.

14. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов для некоторых краевых задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т. 4(3). - С.449-465.

15. Лисица В.В. Оптимальные сетки для численного решения волнового уравнения с переменными коэффициентами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2005. - Т.8(3). - С.219-229.

16. Лисица В.В., Лысь Е.В. Применение схемы Лебедева для моделирования волновых процессов в анизотропных упругих средах // Материалы международной конференции по математическим методам в геофизике "ММГ-2008" Новосибирск. - 2008.

17. Лысь Е.В., Лисица В.В. Численное моделирование сейсмоакусти-ческих волновых полей для анизотропного околоскважинного пространства // Технологии сейсморазведки.- 2008. №1. - С. 25-34.

18. Лысь Е.В., Лисица В.В. Моделирование акустического каротажа в вертикально трансверсально-изотропных средах с поглощением // Материалы 9-й Ме-ждународной научно-практической конференции "Геомодель-2007". Геленджик. - 2007. - С. 77.

19. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988. - 256 с.

20. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1986. - 264 с.

21. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

22. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972. 736 с.

23. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.:Мир, 1990. - 512 с.

24. Asvadurov S., Druskin V., Guddati M.N., Knizhnerman L. On optimal finite-difference approximation of PML // SAIM Journal of Numerical Analysis. 2003. - n.41. - P.287-305.

25. Asvadurov S., Druskin V., Moskow S. Optimal grids for anisotropic problems // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2007. -n.26. - P.55-81.

26. Asvadurov S., Knizhnerman L., Pabon J. Finite-difference modeling of viscoelastic materials with quality factors of arbitrary magnitude // Geophysics. 2004. - n.69. - P.17-24.

27. Backus George E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // Journal of Geophysical Research. 1962. - n.67(ll). - P.4427-4440.

28. Becache E., Fauqueux S., Joly P. Stability of Perfectly Matched Layers, Group Velocities and Anisotropic Waves. Rapport de recherche, 2001.- 35p.

29. Berenger J. P. Perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. 1994. - v.114. - P.185-200.

30. Biot, M. A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid // J. Appl. Phys. 1952. - n.23. - P. 997-1005.

31. Blanch J.O., Robertsson J.O., Symes W.W. Modeling of a constant Q:Methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique // Geophysics. 1995. - v.60(l). - P. 176-184.

32. Bohlen T. Parallel 3-D viscoelastic finite-difference seismic modeling // Computers & Geoscients. 2002. - n.28. - P.887-899.

33. Boltzmann L. Zur theorie der elastischen nachwirkung. Sitzungsber. Math. Naturwiss. Kl. Kaiserl. Arad. Wiss., 1874. - 275p.

34. Carcione J.M. Seismic modeling in viscoelastic media // Geophysics. -1993. n.58. - P.110-120.

35. Chen K. Numerical modeling of elastic wave propagation in anisotropic inhomogeneous media: a finite element approach // 54th Annual International Meeting of the Society of Exploration Geophysicists: Expanded Abstracts. 1984. - P.631-632.

36. Cerveny V., Molotkov I., Psencik I. Ray Methods in Seismology. University Karbva. - 1977. - 212p.

37. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity-An Introduction. Academic Press, San Diego. - 1982. - 364p.

38. Cohen G. Metodes numériques d'ordre eleve pour les ondes en regime transitoire. -INRIA. -1994. -564p.

39. Coleman B.D. Thermodynamics of material with memory. Arch. Ration. Mech., Anal. - 1964.- n.l7(l).

40. Collino F. Conditions d'orde eleve pour des modeles de propagation d'ondes dans de domaines rectangulaires. INRIA report de recherche. - 1993. - n. 1790.

41. Collino F., Tsogka C. Application of PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics. 2001. - v.66. - P.294-307.

42. Dong, Z. Seismic modeling and migration for 3-D anisotropic media.-Univ. of Texas at Dallas:Ph.D. dissertation. -1994. -136p.

43. Emmerich H. PSV-wave propagation in a medium with local heterogeneities: a hybrid formulation and it's application // Geophys.J.Int. 1992. - n.109. - P.5^64.

44. Engquist B., Majda A. Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations // Comm. Pure Appl. Math. 1979. - v.32. -P.313-357.

45. Guddati M., Tassoulas J. Continued-fraction absorbing boundary conditions for the wave equation // J. Comput. Acoust. 1998. - v.8. - P.139-156.

46. Igel H., Mora P., Riollet B. Anisotropic wave propagation through finite-difference grids // Geophysics. 1995. - n.60. - P.1203-16.

47. Hagstrom T., Goodrich J. Accurate Radiation Boundary Conditions for the Linearized Euler Equations in Cartesian Domains // SIAM J. Sci. Comput. 2003. - v.24. - P770-795.

48. Hestholm S. Three-dimensional finite difference viscoelastic wave modelling including surface topography //

49. Geophys.J.Int. 1999. - n.139. - P.852-878.

50. Kelly K.R., Ward R.W., Treitel S., Alford R.M. Synthetic seismograms: a finite-difference approach // Geophysics. 1976. v.41(l). - P.2-27.

51. Kosloff D., Baysal, E. Forward modeling by a Fouriermethod // Geophysics. 1982. - v.47(10). - P. 1402-1412.

52. Levander A.R. Fourth-ordr finite-diiferrence p-sv seismorgems // Geophysics. 1988. - v.53. - P. 1425-1436.

53. Lindman E. L.,'Free-space' boundary conditions for the time dependent wave equation //J. Comput. Phys. 1975. - n.18. - P.66-78.

54. Lisitsa V.V., Lys E.V., Reshetova G.V., Tcheverda V.A. Finite-difference simulation of acoustic log in 3D heterogeneous VTI with attenuation // 70-th EAGE annual meet-ing. 9-12 june 2008: Proceedings. Rome. -Italy. - P237 (CD-ROM).

55. Lisitsa V.V., Lys E.V., Reshetova G.V., Tcheverda V.A. Sonic logging simulation for VTI media // SPG/SEG Conference and Exhibition "Beijing 2009". Beijing. - China. - 2009. - ID: 90

56. Lys E., Lisitsa V.V. Wave propagation in 3D elastic anisotropic media with atten-uation: Part I (theory) // SEG Summer Research Work-shop on Rock Physics. 20-24 june 2008: Proceedings. Galway. - Ireland. - P. 148-150.

57. Lys E., Lisitsa V.V. Wave propagation in 3D elastic anisotropic media with atten-uation: Part II (numerical study) // SEG Summer Re-search

58. Workshop on Rock Physics. 20-24 june 2008: Proceedings. Galway. -Ireland. - P. 101-103.

59. Liu H.-P., Livanos A. C. R. Dilatancy and Precursory Bulging Along Incipient Fracture Zones in Uniaxially Compressed Westerly Granite // J. Geophys. Res. 1976. - 81(20). - P.3495-3510.

60. Metodes numériques d'ordre eleve pour les ondes en regime transitoire. Editeur Cohen G. INRIA, Collection Didactique. - 1994, p.523.

61. O'Connell R. J., Budiansky B. Measures of dissipation in viscoelastic media // Geophys. Res. Lett. 1978. - n. 5. - P.5-8.

62. Robertsson J.O., Blanch J.O., Symes W.W. Viscoelastic finite-difference modeling // Geophysics. 1994. - v.59(9). - P.1444-1456.

63. Saenger E.H., Gold N., Shapiro S.A. Modeling the propagation of the elastic waves using a modified finite-difference grid // Wave Motion. -2000. v.31(l). - P.77-92.

64. Thomsen L. Weak Elastic Anisotropy // Geophysics. 1986. - n.51. -P.1954-1966.

65. Vacus O. Mathematical analysis of absorbing boundary conditions for the wave equation: the corner problem // Mathematical Computations. 2005. - v.74. - P.177-200.

66. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. 1986. - v.51(4). - P.889-901.

67. White J.E. Elastic waves along a cylindrical bore // Geophysics. 1962.- n.27. P.327-333.

68. White R.E. The accuracy of estimating Q from seismic data // Geophysics.- 1992. n. 57. - P.1508-1511.

69. Zhu Y., Tsvankin I. Plane-wave attenuation anisotropy in orthorhombic media // Geophysics. 2007. - n. 1P.9-19.