Конечно-элементное моделирование процессов деформирования, потери устойчивости и закритического поведения упругопластических сферических оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Шошин, Дмитрий Викторович

• Шошин, Дмитрий Викторович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шошин, Дмитрий Викторович

Введение

1. Состояние вопроса.

1.1 Обзор математических моделей и результатов исследований деформирования и устойчивости сферических оболочек

1.2 Численные методы решения нелинейных нестационарных задач деформирования элементов тонкостенных конструкций

1.3 Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы

2. Конечно-элементная модель упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения тонкостенных конструкций

2.1 Определяющая система уравнения упругопластического деформирования конструкций

2.2 Методика численного решения задачи

2.2.1 Конечные элементы для решения трехмерных нелинейных задач динамики оболочек

2.2.2 Конечные элементы для решения двумерных нелинейных задач динамики оболочек

2.2.3 Численное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел

2.2.4 Интегрирование определяющей системы уравнений по времени

2.2.5 Консервативное сглаживание численного решения

2.3 Метод численного исследования устойчивости и закритического поведения тонкостенных оболочек

2.4 Программная реализация конечно-элементной модели

3. Решение тестовых задач.

3.1 Анализ точности численного решения задач нестационарного деформирования элементов конструкций

3.2 Численное моделирование упругопластического деформирования стальных образцов при сложном нагружении

3.3 Устойчивость полусферической оболочки при упругопластическом деформировании

3.4 Устойчивость и закритическое поведение упругопластической сферической оболочки при равномерном сжатии 73 4. Численное исследование устойчивости упругопластических сферических оболочек

4.1 Расчетно-экспериментальный анализ квазистатического и ударного сжатия полусферических куполов

4.2 Конечно-элементный анализ устойчивости и демпфирующих свойств сферических оболочек при квазистатическом и ударном сжатии

4.3 Численное исследование устойчивости усиленного шпангоутом сегмента сферической оболочки при локальном нагружении 90 Заключение 92 Список литературы 94 приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно-элементное моделирование процессов деформирования, потери устойчивости и закритического поведения упругопластических сферических оболочек»

Сферические оболочки находят широкое применение в ряде важнейших отраслей - нефтяная и химическая промышленность, ядерная энергетика, приборостроение, авиастроение, судостроение и т.д. Возрастающие требования к уменьшению материалоемкости, увеличение степени надежности, более полному использованию прочностных характеристик материала ставят перед теорией все новые и новые задачи. Поэтому усилия исследователей направлены на дальнейшее уточнение существующих методов расчета конструкций на базе более глубоких познаний процессов, происходящих в них, с одной стороны, и разработке новых приближенных достаточно простых и обоснованных методов решения, с другой стороны. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Первые математические модели для исследования устойчивости сферических оболочек (сферических куполов) были опубликованы в начале XX века. Однако в. большинстве случаев теоретические оценки на устойчивость значительно завышают величины критических нагрузок, которые способны вынести конструкции на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала, закрепления оболочки или самой нагрузки. Учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции. Решение задачи усложняют конструктивные неоднородности (ребра жесткости, отверстия, разнотолщинность и т.д.). За исключением очень тонких оболочек (R/h >200) потеря устойчивости происходит в упругопластической области. При потере устойчивости элементы конструкций работают, как правило, в условиях сложного напряженного состояния. Методики решения таких начально-краевых задач мало изучены, что и обуславливает актуальность темы диссертационной работы.

1. Состояние вопроса

1.1 Обзор математических моделей и результатов исследований деформирования и устойчивости сферических оболочек

Обстоятельные обзоры и анализ отечественных и зарубежных публикаций по устойчивости сферических оболочек приведены в книгах A.C. Вольмира [22], Э.И. Григолюка [31], И.И Воровича [24], С.П. Тимошенко [87], Н.В. Валишвили [18], B.C. Гудрамовича [42,43,123] и других авторов.

История рассматриваемой проблемы исчисляется с начала 20 столетия. Первым экспериментальным исследованием, в котором было обнаружено, что при некотором внешнем давлении сферическая оболочка оказывается неустойчивой, по-видимому, является работа Баха [101] 1902 г. Через 13 лет, в 1915 г., выходит в свет первая теоретическая работа в области расчета тонких упругих сферических оболочек на устойчивость в линейной постановке, опубликованная в диссертации Р. Цолли [164], в которой была получена формула для наименьшего критического давления. В 1922 г. Шверином [148] была предпринята попытка уточнить приближенную формулу Цолли на основе точного аналитического решения линейных осесимметричных уравнений непологой сферической оболочки. Однако получилось так, что формула Цолли была подтверждена - расчеты по ней и по формулам Шверина дают различие в значениях наименьшей критической нагрузки только в третьем знаке. В 1939 г. в [131] опубликовали результаты тщательного эксперимента с медной полусферой и показали, что критическое давление в четыре раза меньше теоретического значения, соответствующего формуле Цолли.

Дальнейшее развитие исследований в этой области характеризуется, с одной стороны, постоянным увеличением экспериментально полученного материала о значениях критических нагрузок для разнообразных сферических оболочек, а с другой - нескончаемыми попытками подвести под них теоретическую базу. Для этого проводились расчеты по линейной теории, учитывалось моментное напряженно-деформированное состояние оболочки перед потерей устойчивости, использовались геометрически нелинейные уравнения теории оболочек, рассматривались оболочки с начальными несовершенствами формы, контурных условий и способов нагружения, оболочки с возможностью упругопластического деформирования материала и т.д. [24,40,84,132, 155].

Попытки уточнить значения верхней критической нагрузки пологого сферического купола посредством рассмотрения его осесимметричного закритического поведения представлены работами [39,140]. В расчет была введена малая начальная неправильность, пропорциональная прогибу купола, что позволило понизить его верхнюю критическую нагрузку. Однако это понижение осталось в рамках десятков процентов.

Первыми работами, в которых были рассмотрены конечные неосесимметричные прогибы пологого, жестко заделанного по контуру сферического купола, находящегося под действием равномерного давления, являются исследования [115] 1960 г. Через два года после этого вышли в свет работы [114,157], где авторы привели результаты расчета неосесимметричных критических нагрузок для такого же купола. Однако достоверность этих результатов вызвала сомнения. Только в 1963 г. удалось получить достоверные значения неосесимметричных критических нагрузок [122], хотя и здесь автор оказался незастрахованным от ошибки. Было показано [34], что из-за упрощенного описания радиальных и окружных усилий он получил завышенную асимптотическую оценку наименьшего критического давления для тонкой оболочки с большим количеством волн по окружности. Приемлемый компромисс между расчетными и экспериментальными данными был найден группой японских авторов, которые при постановке экспериментов [159,160] помимо прогибов оболочки и соответствующих им нагрузок замеряли начальный прогиб каждой ненагруженной оболочки, появлявшийся после ее закрепления на испытательном стенде и представлявший собой случайную неосесимметричную функцию координат точек поверхности оболочки. Эти данные о начальном прогибе оболочки использовались для расчета процесса изначально неосесимметричного деформирования оболочки с ее прощелкиванием и последующим полным выворачиванием. В результате была получена высокая степень согласованности теоретических и экспериментальных значений верхней критической нагрузки.

В связи с вышеизложенным была представлена работа [35], цель которой состояла в решении полной задачи о геометрически нелинейном деформировании пологого сферического купола с учетом возможности его неосесимметричной потери устойчивости и закритического поведения и в нахождении тех форм начальной неправильности, с помощью которых можно было бы получить весь диапазон экспериментально найденных критических нагрузок.

Решение полной задачи о процессе деформирования тонкостенных конструкций при действии статических нагрузок включает в себя три этапа: определение нелинейного напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции до потери ею устойчивости, решение проблемы устойчивости конструкции при наличии у нее предварительного нелинейного НДС и нахождение возможных неустойчивых состояний равновесия конструкции после потери устойчивости с последующим выходом на устойчивое послекритическое нелинейное НДС.

Выход в свет работы СП. Тимошенко [153] посвященной прощелкиванию пологого шарнирно опертого стержня при поперечном давлении и определению в явной форме его верхней и нижней критических нагрузок, позволил по-иному взглянуть на существовавшую постановку проблемы потери устойчивости оболочек и понять необходимость привлечения нелинейных уравнении к ее исследованию. Кроме того, С.П. Тимошенко в своей статье обратил внимание на возможность обобщения его результатов на пологие оболочки. Модель СП. Тимошенко способствовала разработке нелинейной теории оболочек.

В работе A.C. Вольмира [22] подробно рассмотрены различные подходы к решению динамической задачи - о поведении оболочек различной формы при быстром монотонном возрастании нагрузки. Был сделан вывод, что характер выпучивания оболочки при динамическом нагружении является иным, чем при статическом. Это позволяет проектировать облегченные тонкостенные конструкции, заранее предусматривая их перегрузку в короткий период приложения сил.

В работе Э.И. Григолюка [33], посвященной конечным осесимметричным прогибам тонких коротких оболочек вращения дано обобщение кольцевой расчетной схемы на осесимметричные задачи изгиба круговых оболочек канонической формы. Гипотеза Тимошенко о недеформируемости радиального поперечного сечения короткой оболочки распространяется на упругие конические, сферические, цилиндрические оболочки и кольцевые пластины конечного прогиба. С помощью принципа Лагранжа получены нелинейные соотношения для определения прогибов, деформаций и напряжений в оболочке через ее геометрические характеристики и величину и вид внешней нагрузки. Было показано, что описанный алгоритм соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки.

В следующей работе Э.И. Григолюка [35] рассматривалось неосесимметричное закритическое поведение упругого, пологого сферического купола, жёстко заделанного по контуру и нагруженного равномерным поперечным давлением. Решение задачи строилось методом Релея - Ритца на основе уравнений Маргерра с аппроксимацией перемещений рядом Фурье в окружном направлении и функциями Бесселя в радиальном. Получающаяся система нелинейных алгебраических уравнений решалась методами продолжения [41]. Впервые было показано, что оболочка имеет закритические неосесимметричные состояния равновесия с нагрузками значительно меньшими как верхней критической нагрузки, так и нагрузок, соответствующих точкам бифуркации. Было высказано предположение о том, что учёт форм этих состояний равновесия в качестве начальных неправильностей сферического купола должен позволить смоделировать разброс его экспериментально найденных критических нагрузок.

В работе Э.И Григолюка [32] в рамках предположения о конечности и осесимметричности прогибов упругого, пологого сферического купола, жестко защемленного по контуру и нагруженного равномерным поперечным давлением, производилось исследование его закритического поведения после потери устойчивости. Было проанализировано влияние параметра тонкостенности купола на его деформационную кривую. Обнаружены явления зарождения на траектории нагружения предельных точек, их слияния и последующего исчезновения, а также явления присоединения изолированных петель к основной ветви траектории нагружения и отрыва их от нее. Была показана высокая чувствительность купола к отклонениям от идеальности формы.

В работе N.K. Gupta [117] проводилось исследование влияния отношения кривизны срединной поверхности к толщине оболочки на форму потери устойчивости и на ее энергопоглощающую способность. Тонкостенные оболочки, такие как сферические купола, цилиндрические и конические оболочки обычно используются в качестве энергопоглощающих элементов противоударных конструкций. Последние четыре десятилетия изучению их поведения при потери устойчивости уделяется значительное внимание. Экспериментальные и аналитические исследования тонкостенных оболочек были проведены при квазистатическом и динамическом нагружение в осевом и боковых направлениях. Джонсон и Рид (1978) [129] рассмотрели формы потери устойчивости различных тонкостенных оболочек и соответствующие им кривые сжатия.

Большие формоизменеия тонкостенной сферы или сферической оболочки, известны как типичная проблема закритического поведения, привлекшая внимание с 1960-ых годов. Leckie и Penny [135] выполнили ряд испытаний на тщательно изготовленных полусферических оболочках, которые были нагружены по центру твердым бруском. Эти эксперименты сопровождались теоретическим исследованием Morris'а и Calladme [141], благодаря которым авторы повысили уровень понимания потери устойчивости и закритического поведения упругих оболочек. Их исследования показывают, что область пластических деформаций заключена относительно узким кольцом или сегментом тороидальной поверхности, расширяющейся в процессе деформации.

Большие деформации жесткопластической сферической оболочки при сжатии между жесткими плитами были впервые изучены D.P. Updike [156], который предложил выражение, связывающее критическую нагрузку на сферической оболочке с ее деформацией. В этом анализе выяснилось, что поведение нагрузки - деформации не зависит от кривизны срединной поверхности сферической оболочки.

Деформация образцов, симметричных и несимметричных относительно оси, были изучены аналитически и экспериментально для сферических оболочек, соотношения кривизны срединной поверхности, к толщине которых лежали в диапазоне между 36 и 460 Китчингом и соавт. [134].

Осевую потерю устойчивости пластичных полусферических металлических оболочек при сжатии между двумя параллельными пластинами также изучали Кинкед и др. [133]. Отношение радиуса кривизны срединной поверхности к толщине лежали в диапазоне от 8 до 32. В этих исследованиях ученые, проводя эксперименты, предлагали, применяя различные аналитические модели, прогнозировать энергопоглощающие способности сферических оболочек, связанные с процессом деформации оболочек при различных видах потери устойчивости. Было сделано предположение, что деформация происходит в два этапа. На первом этапе происходят локальные уплощение (сплюснутость) оболочки в зоне контакта с жесткой плитой, а на втором имеет место осесимметричное углубления этих сплюснутых зон. В статическом анализе также учитывалось деформационное упрочнение.

Квазистатическое сжатие сферической оболочки между жесткими плитами было также исследовано De Oliveira и Wierzbicki [111]. Они сравнили результаты отношения нагрузки к деформациям с результатами Updike [156]. Было отмечено, что их соотношения нагрузки к перемещению не зависят от кривизны срединной поверхности сферической оболочки.

Анализ квазистатических испытаний сферических оболочек (отношение радиуса кривизны срединной поверхности к толщине R/h лежали в диапазоне от 15 до 240), их формы потери устойчивости и нагрузки проводились Gupta [116-119].

Стержневая модель СП. Тимошенко была использована при анализе нелинейного осесимметричного поведения пологих сферических оболочек [153]. Однако только опубликование Маргерром [139] дифференциальных уравнений для тонких упругих пологих оболочек конечного прогиба, являющихся естественным обобщением уравнений Бубнова-Фёппля-Кармана, позволило получить классическую компактную систему уравнений для описания процесса нелинейного деформирования оболочки. В результате появилась возможность учесть нелинейность в процессе деформирования оболочки и получить аналитическое описание процесса ее прощелкивания и закритического поведения. Эта возможность была использована для решения уравнений Маргерра в случае пологого сплошного сферического купола при равномерном поперечном давлении методом Бубнова при однопараметрическом представлении функции прогиба и анализа осесимметричного нелинейного поведения для четырех вариантов контурных условий. Впоследствии Рейсснером [145] была дана более точная система дифференциальных уравнений конечных прогибов пологих оболочек по сравнению с классическими уравнениями Маргерра.

В рамках кольцевой расчетной схемы, разработанной А. Рато [144] , СП. Тимошенко [154], Дж. Альменом и А. Ласло [100], были проведены расчеты, иллюстрирующие ее применение к описанию осесимметричного поведения коротких круговых конических, цилиндрических, сферических оболочек и узких кольцевых пластин конечного прогиба под действием статических нагрузок различного вида. Было рассмотрено влияние вида опирания оболочки, степени ее пологости и переменности толщины, которая может быть линейно-переменной вдоль образующей, на ее верхнюю и нижнюю критические нагрузки. Численно показаны рамки применения уравнений пологих оболочек конечного прогиба для расчета непологих оболочек.

Сопоставление экспериментально и теоретически полученных значений критических нагрузок для сферических куполов, находящихся под действие равномерного давления показало их значительное расхождение. Причины для такого расхождения результатов обусловлены как условиями экспериментов, так и неадекватностью математических моделей оболочки. В первую очередь сюда относятся неправильности формы оболочки и начальные напряжения в ней, неидеальность условий нагружения и закрепления, неоднородность свойств материала, неосесимметричность ее деформирования и т.д. Попытки учесть в расчетах эти особенности реального сферического купола, способов его нагружения и закрепления не увенчались успехом. До сих пор не существует набора параметров математической модели оболочки, с помощью незначительного варьирования которых можно было бы получить весь спектр экспериментально найденных значений верхней критической нагрузки. Поэтому для инженерных расчетов применяется коррекция теоретически полученных с помощью формулы Цолли значений критической нагрузки посредством коэффициентов в виде множителей, определяемых экспериментально и обуславливающих учет начальных прогибов оболочки, вида граничных условий, возможности работы материала оболочки в упругопластической зоне [45]

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Шошин, Дмитрий Викторович

Основные результаты и выводы диссертационной работы формулируются следующим образом.

1. Развита методика численного решения нелинейных задач нестационарного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек. В основе методики лежат моментная схема МКЭ и явная схема интегрирования по времени типа «крест». Разработаны алгоритмы и программные модули, реализующие данную методику в рамках ВС «Динамика-3». Эффективность предложенной методики и программных средств подтверждается хорошим соответствием результатов верификационных расчетов теоретическим и экспериментальным данным других авторов.

2. Рассмотрены задачи упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения замкнутых и незамкнутых сферических оболочек при обжатие равномерным внешним давлении и соударении с иденторами различной формы в квазистатическом и динамическом режимах нагружения. По расчетным данным при осесиметричном нагружении возможна неосесимметричная форма потери устойчивости. Условия закрепления оболочки и скорость нагружения существенно влияют на форму ее выпучивания. При обжатии внешним давлением для адекватного описания деформирования оболочки необходимо правильно смоделировать условия нагружения на закритической стадии.

3. Проведены численные исследования зависимости формы потери устойчивости замкнутой сферической оболочки, сжатой между двумя плитами, от геометрических параметров. Показано, что с увеличением радиуса и толщины оболочки сила сопротивления сжатию возрастает пропорционально геометрическому параметру, С уменьшением толщины оболочки процесс потери устойчивости приобретает многостадийный характер. Результаты расчетов легли в основу рекомендаций для экспериментальных исследований в РФЯЦ - ВНМИЭФ.

4. Проведен конечно-элементный анализ демпфирующих свойств сферических оболочек при их использовании для снижения перегрузок в противоударных транспортных контейнерах. С это целью рассмотрена задача падения плиты на ряд оболочек. В расчетах менялись количество оболочек, их геометрия, масса и скорость падения плиты. Исследовалось влияние жесткой обоймы, ограничивающей смещения оболочек. Показано, что варьирование количества оболочек и их геометрии позволяет подобрать оптимальные параметры демпфирующего устройства. Наличие обоймы повышает сопротивление оболочки внешнему воздействию. Решение задачи о падении плиты на свободную оболочку и оболочку в цилиндрической обойме позволяют получить нижнюю и верхнюю оценки ударной нагрузки.

5. Проведенные численные исследования и верификационные расчеты позволяют сделать обоснованный вывод о применимости развитой выше методики и пакета программ для анализа упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического деформирования сферических оболочек при динамических и квазистатических нагружениях.

6. Разработанная методика внедрена в расчетную практику Российского Федерального Ядерного Центра РФЯЦ - ВНИИЭФ, г, Саров, Нижегородской области, ОАО «ОКБМ Африкантов», г. Нижний Новгород.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шошин, Дмитрий Викторович, 2012 год

1. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Исследование динамического деформирования упруго-пластических сферических оболочек при тепловом ударе // Изв. АН СССР. МТТ, 1978. № I. С. 139-143.

2. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций: Монография. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2002. 400с.

3. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем /H.A. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

4. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1981. Вып.18. С. 57-66.

5. Баженов В.Г., Зефиров C.B. О консервативном сглаживании разрывных волн напряжений в МКЭ/ //Вестник ННГУ. Серия Механика. 2001. Вып. 1. С.166-173.

6. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек//Проблемы прочности. 1984. №11. С. 51-54.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечного элемента // Изв. РАН. МТТ. 1994. №1. С. 52 59.

8. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Выпучивание упругопластических сферических куполов под действием импульса давления//Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т, Горький. 1982. Вып.21. С.77-81.

9. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций// Известия РАН, МТТ 2001. - №5. - С. 35-49.

10. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Лаптев П.В., Рябов A.A., Романов В.И., Сотсков Г.И. Конечно-элементный анализ высокоскоростного удара о преграду транспортного упаковочного комплекта//Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004г. №2 С.118-125.

11. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упругопластических оболочек вращения (URL: http://www.ipmnet.ru/~burago/papers/buckl76.pdf).

12. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

13. Васин P.A., Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями//Проблемы динамики упругопластических сред. М: Мир, 1975. С. 7-38

14. Васин, P.A. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов / P.A. Васин // Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1988. - С. 40-57.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек. М.- Л.: 1949. 785 с.

16. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

17. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем. /A.C. Вольмир. М.: Наука, 1967. - 984с.

18. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 7. С. 5-86.

19. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола//ПММ. 1968. т.32. Вып.2. С.332-338.

20. Галилеев М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек // Прикладное и теоретическое исследование строительных конструкций. М, 1981, с.26-30.

21. Галимов Н.К. К устойчивости трехслойных конических и сферических оболочек// Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1966. Вып. С. 184-194.

22. Галимов Н.К. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1975.

23. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

24. ЗО.Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 391 с.

25. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

26. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения/ЯТроблемы машиностроения и надежности машин. 1996г. №4. С. 39-46.

27. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Расчет конечных осесимметричных прогибов тонких коротких оболочек вращения//Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996г. №5. С. 36-45.

28. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В. Локальная устойчивость упругих оболочек вращения // МТТ. Инж. ж. 1968. № 6. С. 134-138.

29. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Неосесимметричное закритическиое поведение пологих сферических куполов//ПММ. 2003. Т.67. Вып. 6. С.921-932.

30. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Неосесимметричное поведение пологой сферической оболочки при конечных прогибах//Докл. РАН. 2003. Т.388. №4. С.477-481.

31. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об однозначности и полноте описания осесимметричного закритического поведения полого сферического купола//Докл РАН 2001. Т.378. №6. С.758-762.

32. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//ПМТФ.1990. №5. С.95-99.

33. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Осесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов//ПММ. 2002. Т.66. Вып. 4. С.621-634.

34. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1983. 114 с.

35. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука. 1988. 232с.

36. Гудрамович B.C. Устойчивость упругопластических оболочек/В. С. Гудрамович. К. : Наук.думка, 1987. - 216 с.

37. Гудрамович B.C., Дисковский И.А. О локальной устойчивости сферических оболочек//ДАН СССР. 1977. - 232, №6. С.1285-1288.

38. Дегтярев, В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций / В.П. Дегтярев. М.: Машиностроение, 1967. - 131 с.

39. Дресвянников В.И. О численной реализации нелинейных уравнений динамики упруго-пластических оболочек//Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. Горький, 1976. Вып. 3. С. 82-90.

40. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. / Пер. с англ. под ред Н.С. Бахвалова. М.: Мир, 1986, 318 с.

41. Зубчанинов В. Г. Об устойчивости пластин за пределами упругости; (обзор). В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971,. вып. 2, 145 с.

42. Зубчанинов, В.Г. Экспериментальное исследование и обоснование теории упругопластических процессов / В.Г. Зубчанинов // Устойчивость и пластичность в МДТТ. Мат. III симпоз. / Тверь: ТвеПИ. 1992. - Ч. 1. - С. 94-158.

43. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310.

44. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

45. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. Монография / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. 226 с.

46. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с./52

47. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. 147 с.

48. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

49. Коротких Ю.Г., Волков И.А. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с поврежденями. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2008. - 424с.

50. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Маковкин Г.А. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов. Н. Новгород.: ВГАВТ, 1996. - 345с.

51. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. // Успехи механики. Т. 8. № 4. 1985. С. 21-65.

52. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. // Проблемы динамики упругопл. сред. М.: Мир, 1975. С.39-85.

53. Курант Р., Фридрихе, Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // Успехи математических наук, 1940. Вып. 8. С. 112-125. /59

54. Левитас В.И. Большие упруго-пластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка, 1987.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1986.

56. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор" // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 185-211.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики./М.Наука,1980.

58. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины//Докл. АН СССР, 1959. Т. 123, № 6. С. 1144-1147.

59. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1948.

60. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

61. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

62. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений//Пер. с англ. Под ред. A.A. Абрамова М.: Наука. 1986г. 288с.

63. Охлопков, Н.Л. К вопросу проверки физической достоверности частных вариантов теории пластичности при сложном деформировании / Н.Л. Охлопков // Устойчивость и пластичность при сложном нагружении / Тверь: ТГТУ. 1994. - С. 46-49.

64. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. - 232 С./146

65. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.418 с.

66. Рузанов А.И. Численное моделирование процессов высокоскоростного проникания и пробивания с использованием бессеточных лагранжевых методик// Проблемы прочности и пластичности. М.1999 с. 122-124.

67. Рузанов А.И. Численное моделирование процессов разрушения твердых тел при импульсных нагрузках. // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1980. С. 38-53.

68. Садырин А.И. Применение треугольных сеток к решению динамических упругопластических задач. // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1983. С. 39-46.

69. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

70. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.

71. Сахаров A.C., Гуляр А.И., Кисловкий В.Н. Исследование устойчивости осесимметричных оболочек при больших перемещениях с учетом физической нелинейности//Пробл. прочности. 1974. - №6. - С.42-47.

72. Сахаров A.C., Кисловский В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев. Вища школа. 1982. 480 с.

73. Сунагава Мэгуми, Кумаи Нори. Сопротивление элементов конструкций динамическому нагружению // J. Jap. Soc. Aeronaut, and Space Sei. 1970. V. 18. № 195. P. 154-166.

74. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955.

75. Тимошенко С.П. К вопросу о расчете сферических оболочек//Вестник общества технологов. 1913. Т.20. №17. С. 549-557.

76. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.

77. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

78. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. / Под ред. Бабенко К.И. М.: Наука. 1979.

79. Уилкинс М, Френч С., Сорем М. Конечно-разностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. - С. 115-119.

80. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.212-263.

81. Феодосьев В.И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределенного давления// Прикл. мат. и мех.— 1954. Т. 18, №1. - С. 35-42.

82. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.:Из-во ЛГУ, 1988.

83. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС. 1999.

84. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лаграгнжа//Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.9-54.

85. Якушев В.Л. Применение метода дополнительной вязкости для решения нелинейных задач устойчивости оболочек //Изв. АН. МТТ. 1992, N 1, с. 153-163.

86. Якушев В.Л. Потеря устойчивости полусферических оболочек при пластических деформациях//Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. 29 сентября 4 октября 1997. Саратов, Т.2. 1997. С.136-141.

87. Ahmand В.М., Irons О.С., Zeniewicz О. Analysis of thick shell structures by curved finite elements //Int. J. Num. Methods Eng. 2. 1970. P. 419 451.

88. Alghamdi A.A.A. Collapsible impact energy absorbers: an overview//Thin Walled Structures. 2001. №.39. P. 189-213.

89. Bathe K.-Y. Finite element procedures. New Jersey: Upper Saddle River «Prentice Hall», 1996. - 1037p.

90. Bauer F., Keller H.B., Reiss E.L. Boundary imperfections in the buckling of spherical caps//SIAM J. Appl. Math. 1967. V.15. № 2. P.273-283.

91. Bauer F., Reiss E.L., Keller H.B. Axisymmetric buckling of rigidly clamped hemispherical shells//Intern. J. Non-Linear Mech. 1973. V.8. № 1. P. 31-39./94

92. Belytschko T., Liu W.K., Moran B. Nonlinear finite elements for continua and structures. New York: John Wiley & Sons, 2000. - 600 p.

93. Belytschko T., Tsay C.S. A stabilization procedure for the quadrilateral element with one point quatrature // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1983 V.19N3. P.405-419.

94. Belytschko T., Tsay C.S., Liu W.K. A stabilization matrix for the bilinear Mindlin plate element//Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1981 V.29. №3. P.313-327.

95. Belytschko, T., and Bindeman, L. P., Assumed Strain Stabilization of the 4-Node Quadrilateral with 1-Point Quadrature for Nonlinear Problems// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991 V.88. P.311-340.

96. Caty O., Maire E., Bouchet R. Fatigue ofMetal HollowSpheres Structures// ADVANCED ENGINEERING MATERIALS. 2008, 10, No. 3. P. 179-184.

97. Caty O., Maire E., Douillard T., Bertino P., Dejaeger R., Bouchet R. Experimental determination of the macroscopic fatigue properties of metal hollow sphere structures// Materials Letters. 63 (2009) P. 1131-1134.

98. Flanagan D.P., Belytschko T. A Uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass control // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1981. V. 17. -P. 679-706.

99. Gjelsvik A., Bodner S.R. Nonsymmetrical snap buckling of spherical caps // J. Engng. Mech. Div. 1962. V. 88. №5. P. 135-167.

100. Grigoljuk E.I. On the unsymmetrical snapping of shell of revolution//Proc. IUTAM Sympos. on the Theory of Thin Elastic Shells. Delft, 1959. Amsterdam: North-Holland, 1960. P. 112-121.

101. Gupta N.K., Venkatesh Experimental and numerical studies of dynamic axial compression of thin walled spherical shells//Int. J. of Impact engineering, 2004. V.30, pp 1225-1240.

102. Gupta NK, Eswara Prasad GL, Gupta SK. Axial compression of metallic spherical shells between rigid plates//Thin Walled Struct. 1999. V.34 P.21-41.

103. Gupta P.K., Gupta N.K. A study of axial compression of metallic hemispherical domes//Journal of materials processing technology. 2009 V.209. P. 2175-2179.

104. Gupta, N.K., Easwara Prasad, G.L., Gupta, S.K. Large deformation plasto-mechanics of thin walled domes and frusta//International Journal of Crashworthiness. 1998. V. 3. P. 543-556.

105. Hallquist John O. LS-DYNA theoretical manual. Livermore Software Technology Corporation. — 2006.

106. Hartzman M., Hutchinson J.R. Nonlinear Dynamics of Solids by the Finite Element Method//Computers & Structures. 1972, Vol. 2. pp.47-77.

107. Huang N.-C. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells//AIAA J. 1963. V. 1. № 4. P. 945; Trans. ASME, Ser. E. 1964. V. 31. № 3. P. 447-457.

108. Hudramovych V. S. Features of nonlinear deformation and critical states of shell systems with geometrical imperfections//Int. Appl. Mech. 2006. - 42, No. 12.-P. 1323-1355.

109. Hughes T.J.R, Cohen M., Haroun M. Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis//Nuclear Engineering and Design. 1978. V.46.N1 P.203-222.

110. Hughes T.J.R., Liu W.K. Implicit-explicit finite elements in transient analysis: stability theory//! Appl. Mech. ASME. 45. 1978. P. 371-374.

111. Hughes T.J.R., Liu W.K. Implicit-explicit finite elements in transient analysis: implementation and numerical examples // J. Appl. Mech. ASME. 45. 1978. P. 375-378.

112. Hughes T.J.R., Prister K.S., Taylor R.L. Implicit-explicit finite elements in nonlinear transient analysis//Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1979. - V. 1718, №1. - P.159-182.

113. Johnson G.R. Analysis of elastic-plastic impact involving severe distortions// Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1977. V. 43. - P. 439-444.

114. Johnson W., Reid S.R. Metallic energy dissipating systems//Applied Mechanics Review. 1978. V.31, 277-288.

115. Karagiozova, D., Yu, T.X., Gao, Z.Y. Modeling of MHS cellular solid in large strains// Int. J. Mech. Sci. 2006. V.48. P. 1273-1286.

116. Karman Th. von, Tsien S. The buckling of spherical shells by external pressure//J. Aeronaut. Sc. 1939. V. 7, № 2. P. 43-50.

117. Karman Th., Kerr A.D. Instability of spherical shells subjected to external pressure//Topics Appl. Mech. Amsterdam, etc.: 1965. P. 1-22.

118. Kinkead A.N., Jennings A., Newell J., Leinster J.C. Spherical shells in inelastic collision with a rigid wall tentative analysis and recent quasi-static testing//Joumal of Strain Analysis. 1994. V.29. P.7-^11.

119. Kitching R, Houston R, Johnson W. A theoretical and experimental study of hemispherical shells subjected to axial loads between flat plates//Int J Mech Sci. 1975. V.17.P.693-703.

120. Lekie F.A., Penny P.K. Plastic instability of a spherical shell. In Heyman J, Leckie F.A., editors. Engineering Plasticity. 1968.p. 401-411.

121. Lhuissier P., Fallet A., Salvo L., Brechet Y. Quasistatic mechanical behavior of stainless steel hollow sphere foam: Macroscopic properties and damage mechanisms followed by X-ray tomography/VMaterials Letters. 2009. V. 63. P. 1113-1116.

122. Lim, T.J., Smith, B., McDowell, D.L.: Behavior of a random hollow sphere metal foam//Acta Materialia. 2002. V. 50. P. 2867-2879.

123. Lu G.X., Yu T.X. Energy absorption of structures and materials. Woodhead Publishing Ltd, Cambridge; 2003.

124. Marguerre K. Zur Theorie der gerkriimmten Platte grower Formänderung // Proc. 5th Intern. Cong Appl. Mech. Cambridge, Massachusetts, 1938. New York: Wiley, 1939. P. 93-101.

125. Mescall J. Numerical solutions of nonlinear equations for shells of revolution //AIAA J. 1966. V. 4. № 11. P. 2041-2043.

126. Morris A, Calladine CR. The local strength of thin spherical shell loaded radially through a rigid boss//In: Berman I, editor. Roceeding of the first international conference on pressure vessel technology 1969. p. 35—4-4.

127. Ortiz M., Nour-Omid B. Unconditionally stable concurrent procedures for transient finite element analysis // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 58. P. 151174.

128. Pian T. H. H., Sumihara K.: Rational approach for assumed stress finite elements//Inter. J. Numer. Meth. Engrg. 20 (1984), 1685-1695.

129. Rateau A. Formule pratique pour le calcul des rondelles Belleville // Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de l'Academie des Sciences. 1887. V. 104. № 24. P. 1690.

130. Reissner E. On axisymmetrical deformation of thin shells of revolution // Proc. 3rd Sympos. Apj Math. N.Y.: McGraw-Hill, 1950. V. 3. P. 27-52.

131. Ruan H.H., Gao Z.Y., Yu, T.X. Crushing of thin-walled spheres and sphere arrays// Int. J. Mech. Sei. 48, (2006). P. 117-133.

132. Sanders, W.S., Gibson, L.J.: Mechanics of hollow sphere foams//Mat. Sei.

133. Eng. A 347, (2003). P. 70-85.

134. Schwerin E. Zur Stabiiitat der dünnwandigen Hohlkugel unter gleichmafflgem Aufiendruck // ZAMM. 1922. B. 2. H. 2. S. 81-91.

135. Shariati M , Allahbakhsh H.R. Numerical and experimental investigations on the buckling of steel semi- spherical shells under various loadings//Thin-Walled Structures. 2010. vol. 48 issue 8 August, p. 620-628.

136. Simo, J. and M. Rifai A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes//International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1990. 29. P. 1595-1638.

137. Simons R.M. A power series solution of the nonlinear equations for axi-symmetncal bending shallow spherical shells//J. Math, and Phys. 1956. V. 35, №2. P. 164-176.

138. Stephens W.B., Fulton R.E. Axisymmetric Static and Dynamic Buckling of Spherical Caps due to Centrally Distributed Pressures// AIAA Journal, vol. 7, issue 11, pp. 2120-2126.

139. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. N.Y.: McGraw-Hill, 1959 = Тимошенко СП., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

140. Updike D.P. On the large deformation of a rigid-plastic spherical shell compressed by a rigid plates//J. Eng. Ind. 1972. V. 94. P. 949-955.

141. Weinitschke H.J. Asymmetrie buckling of clamped shallow spherical shell // NASA Techn. Notes. 1962. № D-1510. P. 481-490.

142. Wilkins M.L. Use of artificial velosity in multidimensional fluid dynamics. //J. Comp. Phys. 1980. V. 36. № 3. p. 281-303.

143. Yamada M., Yamada S. Agreement between theory and experiment on large-deflection behaviour of clamped shallow spherical shells under external pressure // Collapse / Ed. J.M.T. Tompson and J.W. Hant. Cambrige: Univ. Press, 1983. P. 431-441.

144. Yamada S., Uchiyama K., Yamada M. Experimental investigation of the buckling of shallow spherical shells //J. Non-Linear Mech. 1983. V. 18. № 1. P. 37-54.

145. Ying Liu , He-Xiang Wu, Bin Wang Gradient design of metal hollow sphere (MHS) foams with density gradients// Composites: Part B. 2012. V.43. P.1346-1352.

146. Zhao, H., Elnasri, I., Abdennadher, S. An experimental study on the behavior under impact loading of metallic cellular materials//Int. J. Mech. Sei. 2004. V.47. P.757-774.

147. Zienkievicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. - V. 1. - 689 p.; V. 2. - 459 p.

148. Zolly R. Uber ein Knickungsproblem an der Kugelschale. Promotionsarbeit. Zurich: Technische Hochschule, 1915. 84 S.