Компьютерное моделирование сверхпроводящих электромагнитных подвесов пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Батаронов, Леонид Игоревич

• Батаронов, Леонид Игоревич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Батаронов, Леонид Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Система компьютерного моделирования сверхпроводящих электромагнитных подвесов

1.1. Основные типы сверхпроводящих подвесов и методы их расчета

1.2. Основные физико-математические модели

1.3. Структура и описание комплекса программ РЕМР-ОЕБокег

1.4. Основные алгоритмы процессора комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег 2.

ГЛАВА 2. Моделирование осесимметричной неэкранированной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений

2.1. Формулировка физико-математической модели

2.2. Математическая модель изолированного кольца

2.3. Система кольца и шара

2.4. Система двух колец

2.5. Обсуждение результатов

ГЛАВА 3. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел

3.1. Математическая модель системы сверхпроводящих тел при наличии экранов

3.2. Моделирование экранов на основе метода изображений

3.3. Моделирование экранов методом интегрального уравнения

3.4. Комбинированный метод моделирования экранов

ГЛАВА 4. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел

4.1. Общие положения метода регуляризации

4.2. Регуляризация вычисления матричных элементов интегрального оператора для системы сверхпроводящих тел

4.3. Регуляризированная математическая модель сверхпроводящего кольца с шаром

4.4. Регуляризированная математическая модель двух сверхпроводящих колец

ГЛАВА 5. Моделирование основных типов сверхпроводящих подвесов методом конечных элементов

5.1. Сверхпроводящий бифилярный подвес

5.2. Кольцо с замороженным нулевым магнитным потоком

5.3. Система кольцо + усеченный конус

5.4. Сверхпроводящий сферический подвес с одной катушкой круглого сечения

5.5. Сверхпроводящий сферический подвес с двумя катушками прямоугольного сечения

5.6. Взаимодействие двух колец с замороженными потоками 160 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 166 Список литературы 167 Приложение А. Текст программного модуля процессора пакета программ FEMPDESolver 2.1, обеспечивающий учет граничных и дополнительных условий - условий сохранения потока и скачка потенциала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование сверхпроводящих электромагнитных подвесов пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков»

Актуальность темы. Разработка сверхпроводящих электромагнитных подвесов (СЭМП) пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков (гироскопов, акселерометров, сейсмометров и гравиметров) требует их эффективного компьютерного моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.

Использование аналитических методов для решения интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение магнитного поля в СЭМП, не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (разномасштабность, мно-госвязность, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем. МКЭ успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей. Он стал математической основой универсальных компьютерных систем мультифизического анализа технических объектов, таких как А^УБ, МБА, С0М80Ь МикурЬ^СБ и др. Однако математические модели, используемые в этих системах, не учитывают специфики электродинамики сверхпроводников, что приводит к невозможности их использования для моделирования СЭМП. Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику электродинамики токонесущих сверхпроводников в мейснеровском состоянии.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 2001.14 «Разработка физико-математического обеспечения системы компыотерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств» и ГБ 2004.14 «Разработка системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств» и соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Вычислительные системы и программно-аппаратные электротехнические комплексы».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводниках, их алгоритмизация и программная реализация, а также компьютерное моделирование основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть основные физико-математические модели, описывающие магнитные поля, создаваемые токонесущими многосвязными сверхпроводящими элементами СЭМП, с учётом сохранения магнитного потока. Провести их дискретизацию, алгоритмизацию и разработать дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРОЕБокег.

2. На основе дискретизации интегральных уравнений СЭМП получить и исследовать численные математические модели базовых осесимметричных элементов СЭМП.

3. Разработать методы построения, построить и исследовать численные математические модели экранированных СЭМП.

4. Разработать метод регуляризации решения интегральных уравнений СЭМП и на его основе получить и исследовать регуляризированные численные математические модели СЭМП.

5. Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных приборов.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения магнитостатики сверхпроводников, методы математической физики, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников; программный модуль в пакете программ РЕМРОЕ8о1уег, предназначенный для моделирования СЭМП с учётом сохранения магнитного потока в сверхпроводящих токонесущих многосвязных конструктивных элементах; комплекс численных математических моделей СЭМП, разработанный в рамках метода интегральных уравнений и позволяющий структурно моделировать произвольные осесимметричные экранированные СЭМП; обоснование вычислительной устойчивости, сходимости и адекватности разработанных моделей; определение скорости сходимости модели и ее ошибки; программная реализация разработанных численных моделей, позволяющая осуществить их интеграцию в систему компьютерного моделирования СЭМП.

Практическая значимость работы заключается в развитии системы компьютерного моделирования СЭМП, учитывающей специфику электродинамики сверхпроводников и позволяющей проводить эффективное компьютерное моделирование реальных конструкций криогенных гравиинерциальных датчиков с целью их оптимизации. Данный пакет программ может найти применение при решении других задач электротехники.

Реализация и внедрение результатов работы. Пакет программ РЕМР-ОЕ8о1уег зарегистрирован в ФГУП ВНТИЦ и внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальностей «Техника и физика низких температур» и «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на II, III и IV Международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2003, 2004, 2005); I, II и III Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004, 2005, 2006); международной школе-семинаре для молодых ученых, аспирантов и студентов «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате, лично соискателю принадлежит: в [1, 4, 5, 8, 10, 14] - компоненты алгоритмического и программного обеспечения дополнительного программного модуля к пакету программ FEMPDESolver; в [2, 3, 6, 7, 9] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем и проведение вычислительных экспериментов, в [11-13] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 165 страницах и содержит 75 рисунков и 17 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Батаронов, Леонид Игоревич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получена дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников.

2. Разработан дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРОЕ8о1уег 2.1, позволяющий учитывать сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводящих элементах СЭМП.

3. На основе интегральной физико-математической модели осесиммет-ричной СЭМП с использованием метода выделения особенности построены базовые численные математические модели СЭМП - шара с кольцом, двух колец - являющиеся структурными элементами формирования произвольной модели многотельной СЭМП.

4. Разработаны методы моделирования экранированных СЭМП, включающие метод изображений, метод интегрального уравнения и комбинированный метод, в рамках которых произведено обобщение базовых численных математических моделей на экранированные системы.

5. Проведено численное исследование свойств построенных численных математических моделей: устойчивости расчета, сходимости, точности, адекватности. Показано, что все модели монотонно сходятся к решению физико-математической модели. Установлено, что точность моделей обратно пропорциональна числу переменных, а число обусловленности моделей пропорционально ему.

6. Разработан метод регуляризации решения системы интегральных уравнений СЭМП, позволяющий строить эффективные быстро сходящиеся численные математические модели. На основе исследования разработанных регу-ляризированных базовых моделей показано, что они адекватны и обладают показательной сходимостью по числу переменных.

7. Проведен конечно-элементный анализ распределения магнитных полей в основных типах СЭМП и определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости.

8. Рассчитаны индуктивность и сила в зависимости от линейных смещений пробного тела в СЭМП, определены предельно допустимый рабочий ток в сверхпроводниковых катушках подвеса и максимальная подъемная сила.

167

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Батаронов, Леонид Игоревич, 2006 год

1. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сверхпроводникового бифилярного подвеса // Физико-математическое моделирование систем: материалы междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2004. С. 167-175.

2. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование криогенного гравиметра // Физико-математическое моделирование систем: материалы II междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2005. Ч. 2. С. 3-6.

3. Батаронов Л.И., Кострюков С. А., Пешков В.В., Сбитнев Я.В., Шунин Г.Е. Пакет программ FEMPDESolver 2.1 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ФГУП ВНТИЦ № 50200601185, М., 2006.

4. Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Моделирование осесимметричной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 3-34.

5. Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел вращения методом интегральных уравнений // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 35-54.

6. Ю.Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 55-78.

7. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сферического сверхпроводящего подвеса//Извес-тия Академии наук. Серия Физическая. 2006. Т.70, № 8. С. 1138-1140.

8. Белозеров В.Н., Левин М.Л. Метод изображений в магнитостатике при сферической сверхпроводящей границе//ЖТФ. 1966.Т.36, № 1. С. 3-6.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. М.: Наука, 1985.400 с.

10. Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский A.A. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. 686 с.

11. Бухгольд Т. Сверхпроводящие гироскопы // Проблемы гироскопии; под ред. Г. Циплера. М.: Мир, 1967. С. 119-128.

12. Веркин Б.И., Менде Ф.Ф. и др. Сверхпроводящий гравиметр // XVIII Всесоюзное совещание по физике низких температур (HT-18). Киев: изд-во ФТИНТ, 1974. 237 с.

13. Веряскин A.B. Гравиметр. A.C. 881643, СССР. Заявл. 25.02.80., опубл. вБИ, 1981, №42.

14. Веселитский И. В., Урман Ю.М. Интегральное представление индуктивности системы «сверхпроводящий шар токовые катушки» // ЖТФ. 1979. Т. 49. №8. С. 1585-1587.

15. Выжиковски Р., Каневский Ю.С. Применение разреженных матриц при реализации метода конечных элементов // Электрон, моделир. 1999. Т.21. № 4. С. 113-118.

16. Гришин С.Д., Завадский В.А., Огородников С.Н., Орлов Р.В. О силовом взаимодействии сверхпроводящих катушек // ЖТФ. 1987. Т. 57. Вып. U.C. 2235-2238.

17. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

18. Демирчян К.С., Чечурин B.J1. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 240 с.

19. Джордж А., Лю Дж. Решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984.334 с.

20. Егоров Д.А. Пути улучшения характеристик сверхпроводящих магнитных подвесов криогенных гравиинерциальных приборов // Гироскопия и навигация. 1998. № 4. С. 97-98.

21. Жернаков O.A., Старосельцев Л.П., Евстигнеев М.И. Перспективы создания спутникового тензорного гравитационного градиентометра // Ги-роскопия и навигация. 1996. №3. С. 126.

22. Журавлев В.Ф., Руденко В.М. К анализу силовых характеристик подвеса криогенного гироскопа//Механика твердого тела. 1983. № 1. С. 9-15.29.3енкевич О., Морган К. Метод конечных элементов и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.

23. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

24. Козорез В.В., Колодеев И.Д., Крюков М.И. и др. О потенциальной яме магнитного взаимодействия идеальных токовых контуров // Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. №3. С. 248-249.

25. Козорез В.В., Чеборин О.Г. Об устойчивости равновесия в системе двух идеальных токовых колец//Докл. АН УССР. Сер. А. 1977. №1. С. 80-81.

26. Козорез В.В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел. Киев: Наукова Думка, 1981. 140 с.

27. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для инженеров и научных работников. М.: Наука, 1974. 832 с.

28. Костин A.B., Урман Ю.М. Асимптотический метод расчета сверхпроводящего подвеса//Изв. вузов. Электромеханика. 1984.№ 12. С. 55-63.

29. Костин A.B. Расчет магнитного подвеса сверхпроводящего шара над сверхпроводящим тором с захваченным потоком // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. №7. С. 5-8.

30. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1995. С. 35-40.

31. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах // Известия Академии Наук. Серия Физическая. 1995. Т. 59, № 10. С. 91-93.

32. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1996. Т. 60, №9. С.186-189.

33. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Гос-ФАП№ 50960000050, инв. № 018.7600.515. М., 1996.

34. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1997. Т. 61, № 5. С. 985-989.

35. Кострюков С.А. Компьютерное моделирование сверхпроводниковых электромагнитных подвесов методом конечных элементов // Дис. . канд. техн. наук. Воронеж, 1998. 183 с.

36. Кострюков С.А., Матвеева М.В., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравии-нерциальных датчиках // Известия Академии наук. Серия Физическая. 2000. Т. 64, №9. С. 1705-1711.

37. Кострюков С.А., Каталиков Д.В., Пешков В.В., Потехин П.А., Шунин Г.Е. Пакет программ РЕМРОЕ8о1уег 2.0 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // ГосФАП № 50200200497, М., 2002.

38. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

39. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988.208 с.

40. Кузнецов А.Ю. Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне / АН СССР. СО ВЦ: Новосибирск, 1990.43 с.

41. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитных полюсов // ЖТФ. 2006. Т. 76, №3. С. 7-15.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

43. Левин Л.А., Жидков A.A., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л.: ЦНИИ "Румб", 1979. 126 с.

44. Левин М.Л. О решении одной задачи квазистационарной электродинамики методом изображений // ЖТФ. 1964. Т. 34, № 3. С. 395-398.

45. Лищиц А.Е., Чаркин В.А. Исследование связанных сверхпроводящих подвесов // Метрология в гравиметрии: тез. докл 3 всесоюз. научн.-техн. конф. Харьков, 1991. С. 65-66.

46. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1 / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. М.: Мир, 1988. 204 с.

47. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.2 / П. Жермен-Лакур, П.Л. Жорж и др. М.: Мир, 1988. 264 с.

48. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры. М.: Энергия, 1968.192 с.

49. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

50. Михалевич B.C., Козорез В.В., Рашкован В.М, Хусаинов Д.Я. Чебо-рин О.Г. «Магнитная потенциальная яма» эффект стабилизации динамических систем. Киев: Наукова Думка, 1991. 336 с.

51. Пешков В.В. Разработка системы компьютерного моделирования физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиках методом конечных элементов // Дис. . канд. техн. наук. Воронеж, 2003. 220 с.

52. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 411 с.

53. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

54. Рябов А.Б. Расчет силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Системы ориентации и наведения летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1968. С. 120-142.

55. Рябов А.Б. К расчету сферических сверхпроводящих подвесов // Электричество. 1969. № 4. С. 71-73.

56. Рябов А.Б. Определение главного вектора и главного момента сил, действующих на сверхпроводящее тело в магнитном поле // Известия Академии наук. Серия механика твердого тела. 1969. № 6. С. 34-37.

57. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Д. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989.190 с.

58. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 312с.

59. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. 229 с.

60. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954. 604 с.

61. Спицын А.И., Личман Е.А. Сверхпроводниковый сферический подвес в поле соленоида с током // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 2. С. 193-196.

62. Спицын И.А. Взаимодействие двух соосных идеально-диамагнитных одинаковых колец с током на близком расстоянии // ЖТФ. 1993. Т. 63, № 12. С. 1-11.

63. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

64. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.349 с.

65. Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.369 с.

66. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

67. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техника, 1967. 251 с.

68. Тозони О.В. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. 251 с.

69. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975. 352 с.

70. Торнтон Р. Принципы проектирования систем магнитного подвешивания // ТИЭР. 1973. Т. 61, № 5. С. 94-109.

71. Трубицын A.B., Менде Ф.Ф., Адамович П.Л. Сверхпроводящие гравиметры // Прикладная геофизика. 1984. № 108. С. 77-88.

72. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение. 1973. № 8. С. 72-74.

73. Урман Ю.М. Теория расчета силовых характеристик электромагнитного подвеса сверхпроводящего тела // ЖТФ. 1997. Т. 67, № 1. С. 3-9.

74. Урман Ю.М. Расчет силовых характеристик многокатушечного подвеса сверхпроводящего шара//ЖТФ. 1997. Т. 67, № 1. С. 10-16.

75. Черноморский А.И., Плеханов В.Е. Расчет магнитного поля около двухсвязного осесимметричного сверхпроводящего тела // Изв. вузов. Электромеханика. 1981. № 4. С. 360-362.

76. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Возможности датчиков гравиинерциаль-ных систем // Приборы и системы управления. 1990. № 4. С. 29-31.

77. Arkadjev V. Hovering of a magnet over a superconductor // J. Phys. USSR. 1945. V. 9, №2. P. 148.

78. Blair D.C. Superconducting accelerometer using niobium on sapphire rf resonator// Rev. Sci. Instrum. 1979. V. 50, № 3. P. 286-291.

79. Bourke R.D. A theoretical and experimental study of a superconducting magnetically-supported spinning body. PhD Thesis. Stanford, 1964.

80. Brandt E.H. Levitation in Physics // Science. 1989. V. 243, № 4889. P. 349355.

81. Brandt E.H. Rigid levitation and suspension on high-temperature superconductor by magnets // Am. J. Phys. 1990. V. 58, № 1. P. 43-49.

82. Buchold T.A. Superconductive accelerometer. US Patent 3.261.210. Patented 19.07.1966.

83. Cavendish J.C., Field D.A., Frey W.H. An approach to automatic three dimensional finite element mesh generation // Inter. J. Num. Meth. Eng. 1985. V.21.P. 329-347.

84. Chan H.A., Moody M.V., Paik H.J. Superconducting techniques for gravity survey and inertial navigation // IEEE Trans. Magn. 1985. V. Mag-21, № 2. P. 411-414.

85. Chang W.H. Numerical calculation of the inductances of a multi-superconductor transmission line system // IEEE Trans. Magn. 1981. V. Mag-17,№ LP. 764-766.

86. Daniels B., Matthews P. Superconducting bearing//Rev. Sci. Instrum. 1966. V. 37, № 6. P. 750-753.

87. Dicke R.H., Martens H. Superconducting Gravimeter. US Patent 3.424.006. Patented 28.01.1969.

88. Dolecek R.L., J. de Launay. Conservation of flux by a superconducting torus // Phys. Rev. 1950. V. 78, № 1. P. 58.

89. Goodkind J. M. Continuous measurements with the superconducting gravimeter// Tectonophysics. 1979. V. 52. № 1-4. P. 99-105.

90. Goodkind J.M., Prothero W.A. Force measuring instrument. US Patent 3.449.956. Patented 17.06.1969.

91. Hammond G.D., Pulido-Paton A., Speake C.C., Trenkel C. Novel torsion balance based on a spherical superconducting suspension // Rev. Sci. Instr. 2004. V. 75, №4. P. 955-961.

92. Moody M.V., Paik H.J., Canavan E.R. Principle and performance of a superconducting angular accelerometer // Rev. Sci. Instr. 2004. V. 74, № 3. P. 1310-1318.

93. Paik H.S. Superconducting accelerometry: its principles and applications // Class, and Quantum Grav. 1994. V. 11, № 6A. P. 133-144.

94. Pissanetzky S. KUBIK: an automatic three-dimensional finite element mesh generator // Inter. J. Num. Meth. Eng. 1981. V. 17. P. 255-269.

95. Prothero W.A., Goodkind J.M. Superconducting gravimeter// Rev. Sci. Instrum. 1968. V. 39, №2. P. 128.

96. Sass A.R., Stewart W.C. Self and mutual inductances of superconducting structures / J. Appl. Phys. 1968. V. 39, № 4. P. 1956-1963.

97. Simon I. Forces Acting on Superconductors in Magnetic Fields // J. Appl. Phys. 1953. V.24,№ l.P. 19-24.

98. Warburton R.J., Brinton E.W. Recent developments in GWR instrument's superconducting gravimeter // Proc. and Workshop. Non Tidal Gravity Changes: Intercomparies Beetween Absolute and Superconduct. Gravim., Walferdange, 1994. Luxemburg, 1995. P. 23-56.

99. Zhou J.M., Zhou K.D., Shao K.R. Automatic generation of 3D meshes for complicated solids // IEEE Trans. Magn. 1992. V. 28, № 2. P. 1759-1762.

100. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 1: The basis. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 707 ps.

101. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 2: Solid mechanics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 479 ps.

102. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 3: Fluid dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 348 ps.

103. Zurn W., Richter B., Rydelek P. Detection of inertial gravity oscillations in the Earth's core with a superconducting gravimeter at Brussels // Phys. Earth and Planet Inter. 1987. V. 49, № 1-2. P. 176-178.