Компьютерное моделирование мезоскопических кластеров отталкивающихся частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Ракоч, Евгений Александрович

• Ракоч, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ракоч, Евгений Александрович

Содержание

1 Введение

1.1 Кластеры абрикосовских и фейнмановских вихрей

1.2 Дипольные кластеры

1.3 Кулоновские кластеры

2 Численные методы, используемые в работе

2.1 Поиск минимума в двумерных кластерах

2.2 Расчет потенциальных барьеров в двумерных кластерах

2.3 Исследование плавления двумерных кластеров

2.4 Особенности расчета для трехмерных кулоновских кластеров

2.5 Особенности расчета квантовых кулоновских кластеров

3 Структура и плавление двумерных кластеров вихрей

3.1 Физическая модель

3.2 Равновесная структура логарифмических кластеров

3.3 Плавление и фазовые переходы в логарифмических кластерах

3.4 Потенциальные барьеры относительного вращения оболочек и перескока частиц между оболочками для логарифмических кластеров

3.5 Влияние потенциала изображения

3.6 Влияние анизотропии удерживающего потенциала на структуру и плавление логарифмических кластеров

4 Структура и плавление двумерных дипольных кластеров

4.1 Физическая модель

4.2 Равновесные конфигурации дипольных кластеров

4.3 Плавление и фазовые переходы в дипольных кластерах

4.4 Потенциальные барьеры относительного вращения оболочек и перескока частиц между оболочками для дипольных кластеров

5 Плавление двумерных и трехмерных кулоновских класте-

ров

5.1 Физическая модель

5.2 Потенциальные барьеры в двумерных кулоновских кластерах

с изотропным конфайнментом

5.3 Плавление двумерных изотропных кулоновских кластеров

5.4 Двумерные кулоновские кластеры с анизотропным конфайнментом

5.5 Плавление трехмерных кулоновских кластеров

6 Плавление двумерного квантового кулоновского магического кластера

6.1 Физическая модель

6.2 Плавление квантового кулоновского кластера с N = 19

7 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование мезоскопических кластеров отталкивающихся частиц»

1 Введение.

В последние годы широко развивается наука о кластерах. Кластеры стали называть пятым видом существования материи наряду с твердым телом, жидкостью, газом и плазмой [1].

Кластеры - это небольшие агрегации частиц, обладающие собственной совокупностью свойств и еще не приобретающие, в силу своих малых размеров, свойств кристаллов [2]. Кластеры не обладают периодической кристаллической структурой, так как состоят из слишком маленького количества частиц. В связи с этим у них возможно появление новых элементов симметрии (например, оси пятого порядка), которые не могут иметь место в кристаллах. Кроме того в кластерах могут осуществляться ситуации, когда состояние с меньшей симметрией является более устойчивым, энергетически выгодным, чем состояние с большей симметрией.

Оказывается, что кластеры с разными законами взаимодействия при небольшом числе частиц обладают многими общими свойствами, в частности, оболочечной структурой, конкурирующей с возникновением внутри кластера зародыша со структурой "объемной фазы" (т.е. треугольной решетки для двумерных систем). В работе рассматриваются мезоскопиче-ские кластеры, обладающие оболочечной структурой. Они являются промежуточным случаем между микроскопическими кластерами, состоящими из одной оболочки, и макроскопическими кластерами, в которых большая часть частиц образует "объемную" фазу. Например, в двумерном случае большая часть частиц внутри кластера образует фрагмент слегка ис саженной двумерной треугольной решетки. Область мезоскопических кластеров находится в области чисел частиц ТУ от 6 до 50-100 в зависимости от закона взаимодействия между частицами в кластере. Оболочечная структура ме-зоекопического кластера может резко меняться при добавлении лишь одной "частицы" [3] вплоть до некоторого числа "частиц" N, когда внутри этого кластера появляется область со структурой "объемной" фазы. Что наиболее интересно, плавление мезоскопического кластера может обладать ин-

тересными специфическими чертами по сравнению с плавлением объемной фазы. Оказывается, что плавление указанных мезоскопических кластеров происходит в две стадии - сначала происходит взаимное ориентационное плавление оболочек, а при более высокой температуре - исчезновение обо-лочечной структуры (исключение составляют магические кластеры). Эти особенности являются, как будет показано, общими для мезоскопических кластеров разной природы. Вместе с тем оказывается, что критерий ме-зоскопичности кластера зависит от того, насколько дальнодействующим является взаимодействие между частицами. А именно, оказывается, что переход от мезоскопических кластеров к макроскопическим (при котором исчезают отмеченные выше особенности мезоскопических кластеров) происходит для дипольных кластеров при меньшем числе частиц, чем, например, для кулоновских и логарифмических.

Вышеуказанное ориентационное плавление возможно и в протяженной системе из отталкивающихся частиц, находящейся во внешнем (случайном) поле, создаваемом примесями, дефектами, шероховатостью границ, и т.п. Вблизи минимума случайного потенциала (или вблизи отдельных дефектов, если их концентрация мала) также образуется структура, напоминающая кластер, и может происходить ориентационное плавление при повышении температуры (для вихревой решетки в примесной системе оно наблюдалось в работе [4]).

Особые физические свойства малых агрегаций частиц представляют

и о о ТЛ

значительный научный и прикладной интерес. В настоящее время накоплен значительный экспериментальный и теоретический материал, свидетельствующий о том, что кластеры могут сохранять свою индивидуальность внутри массивного тела, влияя на его свойства [5].

Теоретическая трактовка проблем малых систем осложняется рядом причин. С одной стороны, обычные методы квантовой химии оказываются непригодными в применении к системам, содержащим сотни атомов, если не прибегнуть к существенным приближениям и допущениям, справедливость которых следовало бы обосновать. С другой стороны, к кластерам не

применима и макроскопическая термодинамика из-за невозможности разделения объемных и поверхностных свойств.

Трудно дать неоспоримое определение поверхностных термодинамических функций кластера, поскольку значительная доля его частиц располагается на поверхности, геометрическая интерпретация которой неоднозначна. Очевидно границу малых сферических (3D) и кольцевых (2D) кластеров можно провести через его внешние частицы.

По-видимому, наиболее надежное предсказание свойств таких систем пока дают только машинные расчеты методами молекулярной динамики и Монте-Карло с использованием мощных современных ЭВМ.

Некоторые сферические (3D) и кольцевые (2D) кластеры упорядочиваются, соответственно, образуя вписанные сферы и концентрические окружности, то есть имеют оболочечное строение. В последнее время стали появляться работы по изучению оболочечных кластеров [6]. Однако эта область пока оставалась мало изученной.

Литературный обзор состоит из трех частей, в первой из которых обсуждаются кластеры с логарифмическим законом взаимодействия между частицами, во второй - с дипольным, в третьей - с кулоновским.

1.1 Кластеры абрикосовских и фейнмановских вихрей.

Как известно, сверхпроводники бывают первого и второго рода. Точным отличием сверхпроводников первого и второго рода является следующее условие: если величина к = 0.9б| < и ans > 0, то это - сверхпрозодник первого рода, в противном случае - второго рода. Здесь 6 - глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник, ( - корреляционная длина сверхпроводника [7], ons—поверхностная энергия между нормальной и сверхпроводящей областью.

Рассмотрим подробнее сверхпроводники второго рода. Согласно сказанному выше, для них к > и <jns < 0. Критическое поле тонкой области пропорционально Нс~ (где d - толщина области); оно может значительно

превышать Нс [8]. Следовательно, таким слоям энергетически выгодно сохранять сверхпроводимость в полях Я > Яс, то есть сверхпроводникам второго рода выгодно разбиваться на области нормальной и сверхпроводящей фаз (сгП8 < 0). В сверхпроводниках первого рода разбиение на такие области не происходит из-за возникновения поверхностной энергии апз на границах слоев.

Следовательно, фазовый переход сверхпроводника второго рода будет идти путем постепенного вытеснения сверхпроводящей фазы, и металл станет нормальным при том поле, при котором в нем не сможет существовать бесконечно малый сверхпроводящий участок. Следовательно, молено сделать вывод, что переход растянется на целый интервал магнитных полей, и в этом интервале внешнее магнитное поле будет частично проникать в сверхпроводник, то есть эффект Мейснера будет неполным. Сверхпроводник будет находиться в особом состоянии, называемом смешанным, которое при нижнем критическом поле Нграничит со сверхпроводящей фазой, а при верхнем критическом поле Нс2 - с нормальной фазой [9]. При уменьшении поля ниже Нс2 оно частично проникает в сверхпроводник, и в нем должны существовать незатухающие вихревые токи. Элементарный вихрь, строго говоря, является квантовым образованием. Впервые это было обнаружено при исследовании сверхтекучести жидкого гелия [10, 11].

Результаты, полученные в работе [9], показывают, что в сечении сверхпроводника второго рода, перпендикулярном направлению поля, воз-нрпсает периодическая структура с симметрией треугольной или квадратной решетки. При магнитных полях, меньших некоторого критического, наиболее выгодна треугольная решетка, т.к. асимптотическое выражение при малом В для свободной энергии треугольной решетки вихревых нитей Ртр меньше, чем для квадратной Гкв.

„ К,В „В ,7гч1 , , 47г . 1ч

„ кВ В ,714 1 1 , , 2,71 ч 1 ч

где В—индукция магнитного поля, е—свободная энергия вихревой нити на

единицу длины.

Полученные в работе [9] данные объясняют ряд опытных закономерностей поведения сверхпроводящих сплавов в магнитном поле.

В работе [12] проанализированы низко лежащие состояния невязкой жидкости во вращающемся кольце (R\ < г < R2, где R\ - внутренний, R2 -наружний радиусы кольца). В этой работе теоретически рассчитаны равновесные массивы вихрей, которые имеют высокую степень симметрии. Рассматриваются малые числа вихрей, когда вихри образуют окружность. В случае узкого кольца вихри появляются только при большой угловой скорости вращения £1 > По и располагаются в середине между Ri и i?2- В случае широкого кольца вихри появляются при намного меньших угловых скоростях вращения. Численные значения Qq легко посчитать в каждой конкретной ситуации. В предельном случае узкого кольца: Oq = (^/тгс?2) ln(2<i/7ra), где к—циркуляция вихрей, d = Д2 — R\, а - радиус кора вихря. В противоположном предельном случае R\ = О, Я2 = R : ^о = (k/27rR2)ln.(R/a).

Теоретические предсказания хорошо согласуются с ранее полученными экспериментальными данными, как для узкого кольца, так и для широкого кольца [13]. В [13] было доложено о невращательном течении в кольце Ri ~ 0.5см, i?2 — 0.8cjW при угловых скоростях по порядку величины до 1 рад/с. Этот эксперимент явился доказательством того, что Hell в кольце образует внутреннюю невращательную область, окруженную плотным массивом вихрей. Хотя внешняя область точно не наблюдалась, кажется возможным интерпретировать эти эксперименты, как измерение критической угловой скорости образования вихрей в кольце.

В работе [12], кроме того, проводится аналогия между сверхтекучестью и сверхпроводимостью. Аналогом сверхтекучего потока является постоянный ток в сверхпроводящем кольце. Сверхтекучие вихри начинают образовываться при угловой скорости Оо, а сверхпроводящие вихри - при критическом магнитном поле НС1. Единственным существенным отличием является существование второй характеристики длины в сверхпроводниках Л - лондоновской глубины проникновения. Сверхтекучие токи удерживают-

ся толщиной Л, которая действует, как естественный параметр обрезания в объеме сверхпроводника второго рода. Таким образом, свойства сверхпроводника второго рода в основном не зависят от размера и формы образца, тогда как нейтральная сверхтекучая жидкость не имеет соответствующего параметра и поведение жидкого Hell зависит от размера сосуда. В частности, критическое магнитное поле HCl - порядка {ф^/Х2) 1п(А/(), где ф0 = /гс/2е - квант магнитного потока, ( - длина когерентности (( ~ а, а—радиус кора вихря). Это выражение очень похоже на формулу для Üq.

В работе [14] вычислены угловые моменты в локальных минимумах потенциальной энергии состояний сверхтекучего гелия в круговом цилиндре, вращающемся вокруг своей оси на основе Онзагер-Фейнмановской модели вихрей. Определены пределы угловой скорости, в которых конфигурации из iV = 0,l,2,...,7 вихрей дают наинисшее энергетическое состояние. Рассмотрен также диапазон угловых скоростей, в котором состояние из N вихрей может быть метостабильным.

При достаточно малых угловых скоростях в низшем энергетическом состоянии не будет ни одного вихря, что сильно контрастирует с поведением классической жидкости. При больших угловых скоростях энергия минимизируется однородным распределением вихрей с угловым моментом, приближающемся к классическому значению. В работе [14] рассматривается промежуточная область.

В работе [15] показано, что низшее энергетическое состояние жидкости во вращающемся сосуде с постоянной угловой скоростью и - это состояние, которое минимизирует свободную энергию

F — Е — üjL, (2)

где Е и L—энергия и угловой момент жидкости.

Для учета центробежной силы, то есть притяжения вихря к границе в [14] использовался метод изображений (см., напр., [16] для трехмерного случая). Нетрудно показать, что если вихрь с зарядом q находится в точке (г,ф), а его изображение с зарядом —q—в точке то потенциал на

границе кластера (г = Я) обращается в 0.

Для одного вихря, находящегося на расстоянии г от оси, его энергия

есть:

где член порядка опущен. Член кинетической энергии 7 не зависит от г и может быть опущен.

Затем вводятся безразмерная угловая скорость О, = и2тсЯ2/к = сиЯ27п/]1 и безразмерная свободная энергия Т7" = (далее для удоб-

ства штрих опустим). Тогда

= ln(-) + 1п(1 -р)- 0(1 -р), (4)

d

где р =

При Q < 1 Fi не имеет экстремума по р, а минимальное значение достигается при г —> R.

При Q > 1 - F\ = max для р — 1 — О-1 и F\ — min для р = 0, так что вихрь в равновесии находится в центре.

В случае двух вихрей с полярными координатами (г1,ф{) и (г2, Ф2) энергия системы принимает вид:

Е2 = In - + ln(l - и\) + 1п(1- и\) +

4-7Г а

1 - 2щи2С08ф12 + и\и\

+ 1п—к—----(5)

1/1 — 2^1^2005012 + ^2

где щ = | и Фх2 = фх - ф2.

Так как энергия квадратична в поле скоростей, то нет члена взаимодействия, включающего более, чем два вихря. В общем виде в безразмерной форме свободная энергия есть:

R I Г1 /1 2\ , I 1 - 2ищсозфц + и\и)

- + £ln(l-uf) + ¿J In-2—---——f

а 1 ¿<i=i Щ ~ ¿щщсовфi2 +

-nf)(i - «?). (6)

¿=1

Стабильная конфигурация для данного О, определяется минимизацией по координатам вихрей и их числу. Из (б) следует, что вихри не должны находиться слишком близко друг другу и к границе. То есть они должны быть более или менее однородно распределены по площади кластера. Хесс обнаружил, что при 2 < п < 6 вихрям выгодно образовывать окружность, а при б < п < 8 - окружность с одной частицей в центре. Он аналитически рассчитал кластеры из N — 1 — 8 вихрей. Для п > 8 становятся более вероятными распределения с более низкой симметрией. Их конфигурации чельзя посчитать аналитически.

Система вихрей в сверхтекучей жидкости рассмотрена в [17]-[19]. В работе [19] распределение вихрей во вращающемся цилиндре или кольце с гелием II изучается двумя различными методами. В континуальном приближении (вихри однородно распределены с плотностью п = -у, где О -угловая скорость, к = ^ - циркуляция) показано, что около каждой стенки сосуда существует свободная от вихрей полоска шириной ~ 1.4гг-|/2, где N - плотность вихрей. Точные (5 знаков) компьютерные расчеты (с помощью Гаусс-Сейделевского одношагового алгоритма для решения линейных задач) показали, что вихри в цилиндре стремятся к образованию концентрических окружностей. Однако некоторые конфигурации демонстрируют треугольную симметрию.

Распределение вихрей во вращающейся сверхтекучей жидкости было исследовано в работе [20]. Было обнаружено, что частицы образуют концентрические оболочки, и найдено распределение частиц по оболочкам для чисел частиц N — 1 - 30. Расчет проводился без учета сил изображения. В [20] было также обнаружено, что при очень большом числе частиц N > 200 они образуют треугольную решетку. Далее исследовались потенциальные барьеры перескока частиц из конфигурации, отвечающей одному локальному минимуму в конфигурацию, отвечающую другому локальному минимуму. При этом релаксация частиц к положениям равновесия не учитывалась, в результате чего получались реалистические завышенные значения потенциальных барьеров.

Магнитное поле Н при НС2 > Н > НС1 проникает в сверхпроводники второго рода в виде вихрей Абрикосова, которые в низкотемпературной области (в отсутствие центров пиннинга) образуют идеальную треугольную решетку. Вихревая решетка во вращающейся сверхтекучей жидкости изучалась в [21, 22]. При повышении температуры происходит плавление вихревой решетки и образование жидкой фазы вихрей. Этот эффект наблюдался для высокотемпературных сверхпроводников (см. [23]).

В настоящее время в литературе уделено очень мало внимания рассмотрению сверхпроводящих пленок малого размера с небольшим числом вихрей. Представляет большой интерес вопрос о структуре мезоскопиче-ской системы небольшого числа вихрей в сверхпроводящем островке. Такая система может рассматриваться, как двумерный аналог (см. [24]) классического атома Томсона [25]. Последняя система подчиняется законам двумерной (2Б) электростатики. Эта модель также описывает вихри во вращающемся сосуде со сверхтекучим Не. Кроме того она описывает кластер электронов или дырок в полупроводниковой наноструктуре (2Б квантовой точке), окруженной средой с диэлектрической проницаемостью е существенно меньшей, чем диэлектрическая проницаемость квантовой точки.

Небольшая система вихрей должна вести себя, как микрокластер. Это означает, что оболочечная структура микрокластера вихрей должна резко меняться при добавлении лишь одного вихря (одной "частицы") к системе. Структурная чувствительность от числа частиц N наблюдается вплоть до некоторого критического числа частиц 7УСГ, при котором внутри кластера зарождается область со структурой объемной фазы (то есть треугольной решетки для системы). Другими словами при N > Атсг происходит переход от мезоскопического к макроскопическому кластеру вихрей (при намного большем числе частиц происходит переход от макрокластеров к микрочастицам, при котором число вихрей в "объемной" фазе становится большим, чем число поверхностных частиц). Наиболее интересно то, что плавление мезоскопического кластера может иметь интересные специфические черты по сравнению с плавлением макроскопической фазы.

Рассмотрим островок сверхпроводника второго рода в поперечном магнитном поле. Предполагается, что толщина островка d в рассматриваемой области температуры меньше длины когерентности сверхпроводника

С(П

= ^ (7)

где vp—фермиевская скорость;

А(Г)—сверхпроводящая щель. Тогда, с точки зрения сверхпроводящих свойств, островок может рассматриваться, как двумерный. Магнитное поле проникает в рассматриваемую систему в виде двумерных (2D) вихрей [26]. Потенциал взаимодействия между двумя 2Б-вихрями имеет вид [26, 27]:

U (г) = —g2ln-, а<г<Л±; а

U{г) = -q2>y + const, г > Л±, (8)

где q - "заряд", пропорциональный плотности сверхтекущей компоненты (здесь - куперовских пар);

г - расстояние между вихрями; а - радиус кора вихря, а ~ С(Т);

Х± - глубина проникновения перпендикулярного магнитного поля в сверхпроводник.

= Т (»>

где Л - лондоновская глубина проникновения магнитного поля в трехмерный сверхпроводник;

d - толщина островка. Например, для пленок толщиной d, ~ 10 нм и для Л ~ 200 нм имеем Х± ~ 4 мкм. С ростом магнитного поля среднее расстояние между вихрями уменьшается, и в некотором критическом поле Н сверхпроводимость разрушается.

Предполагается, что радиус сверхпроводящего островка удовлетворяет соотношению

С < Д < А±. (10)

В этом приближении вихри можно считать точечными частицами, отталкивающимися по логарифмическому закону. Стабилизация концентрации вихрей в сверхпроводниках во внешнем магнитном поле учитывается в этой модели с помощью внешнего удерживающего потенциала иехг(г) = аг\ или эквивалентного ему однородного компенсирующего несжимаемого фона заряда противоположного знака р(г) = —2а = —руонех- Как правило, силы изображения (см. ниже) не меняют качественно основных свойств системы.

В третьей главе данной работы подробно исследуется структура двумерных логарифмических кластеров. Показано, что мезоскопические кластеры имеют оболочечную структуру при низких температурах. Однако в макроскопических кластерах при числах частиц N ~ 100 внутри кластера образуется фрагмент треугольной решетки. Дано новое определение оболочек в кластерах. Найдены распределения частиц по оболочкам, значения потенциальной энергии в глобальных и локальных минимумах для различных чисел частиц. Найдены зависимости радиуса кластера и расстояния между частицами в кластере от числа частиц. С помощью метода Монте-Карло (см. вторую главу) исследуются температурные загнсимо-сти потенциальной энергии, радиального и углового внутриоболочечного и межоболочечного среднеквадратичных смещений в двумерных логарифмических кластерах и показывается, что плавление логарифмических кластеров происходит в две стадии: при более низкой температуре происходит ориентационное плавление, характерное для кластеров с оболочечной структурой, а при более высокой температуре происходит полное (радиальное) плавление. Причем в макроскопических кластерах ориентационное плавление происходи только для внешних пар оболочек. С помощью методов, описанных во второй главе исследуются потенциальные барьеры от-

носителъного вращения оболочек и перескока частиц между оболочками. В результате показано, что причины двухстадийного плавления заключаются в малости потенциальных барьеров вращения по отношению к потенциальным барьерам перескока. Расссматривается влияние анизотропии удерживающего потенциала на структуру и характер плавления в логарифмических кластерах. Показано, что при увеличении степени анизотропии плавление становится одностадийным. Исследуется влияние потенциалов изображения на структуру и плавление в кластерах вихрей.

1.2 Дипольные кластеры.

В последние годы широко обсуждаются и экспериментально исследуются неоднородные системы типа " сэндвич", а также гранулированные системы полупроводник-металл. В полупроводниках малых размеров, находящихся в металлической матрице, должны играть большую роль силы электростатического изображения. Их роль может стать кардинальной, например, для полупроводников с малой шириной запрещенной зоны 2А [28]-[30].

Так как энергия сил электростатического изображения {—1Т0) для одной квазичастицы не зависит от знака ее заряда, то для образования одной несвязанной электрон-дырочной пары необходимо затратить энергию 2Д — 2?7д. Поэтому при 110 > А основное состояние полупроводника с полностью заполненной валентной зоной становится нестабильным относительно образования электрон-дырочных пар до тех пор, пока возросшая энергия Ферми квазичастиц не скомпенсирует величину 2/70 — 2А. Таким образом, стабильное состояние микроскопической полупроводниковой частицы отвечает полуметаллу, то есть вблизи границы под действием сил электростатического изображения происходит переход тонкого слоя полупроводника в полуметалл [31]-[33]. Имеется и ряд иных эффектов перестройки спектра под действием сил изображения. Например, возникают экситонные состояния, локализованные вблизи границы полупроводник-металл [34], Силы изображения приводят к увеличению их радиуса и к переходу Мотта -

полупроводник-металл [35]-[41]. Свойства систем с зарядовым переносом экситонов также определяются диполь-дипольным взаимодействием [42].

Еще один важный физический эффект состоит во влиянии изображения на кристаллизацию в электронной системе [43]-[45]: при учете сил изображения на границе полупроводник-металл кулоновский закон взаимодействия заменяется на больших расстояниях дипольным и это отражается на фазовой диаграмме системы.

Пусть имеется тонкий полупроводник малых размеров или квантовая точка вблизи границы с металлом. Концентрация электронов считается малой, так что среднее расстояние между электронами мало по сравнению с расстоянием до металла. Учет сил изображения приводит к ослаблению взаимодействия двух квазичастиц по сравнению с кулоновским законом. В самом деле пусть х - расстояние между электронами вдоль поверхности, й -расстояние до границы, е - заряд электрона, тогда энергия взаимодействия двух электронов есть:

и(х) = 7 - уда (П)

где второе слагаемое отвечает притяжению одного электрона к электростатическому изображению другого.

Пусть характерное расстояние между электронами существенно больше расстояния до границы х >» й. Тогда формулу (11) можно преобразо-

4с/2

вать, разложив второй член по малому параметру р-:

е2 е2 е2 1 ч

е2., „ 2е2<Р

7[1-(1-Пг)1 = (12)

Следовательно, на больших расстояниях электроны вблизи металла взаимодействуют по дипольному закону.

По дипольному закону отталкиваются на больших расстояниях также и экситоны с пространственно разделенными электронами и дырка] хи [46],

что должно сильно сказываться на фазовой диаграмме системы. К последней системе также будут применимы полученные ниже результаты.

По дипольному закону отталкиваются и частицы в слое магнитной жидкости, слой диэлектрических кластеров на поверхности электролита и т.п..

В настоящее время существует ряд работ, в которых исследовались двумерные дипольные системы [47]-[50]. Так, например, в работе [48], исследовано плавление и разнообразные характеристики двумерных электронных, дипольных и леннард-джонсовских систем. В широкой области температуры и плотности были рассчитаны термодинамические функции, структурный фактор, диэлектрическая функция.и другие характеристики системы. Расчет проводился методом молекулярной динамики. В результате расчета во всех трех системах найдены температуры плавления. В дипольной системе (как и в леннард-джонсовской) в точке плавления имеются заметные скачки термодинамических величин, например, скачок внутренней энергии на одну частицу. Аналогичные результаты получены и в работе [50]. Для дипольного кристалла имеется согласие расчитанной величины безразмерного параметра Г^ (см. ниже) в точке плавления с физическим экспериментом [51]:

где Б—дипольный момент;

а—среднее расстояние между частицами; к—постоянная Больцмана; Т—абсолютная температура.

Однако малые дипольные системы (такие, как тонкий полупроводник микроскопических размеров или квантовая точка вблизи границы с металлом) до сих пор оставались неизученными. Такие двумерные дипольные системы с небольшим числом частиц, еще не образующих треугольную решетку, можно рассматривать, как двумерные дипольные кластеры.

Так как дипольный потенциал взаимодействия между частицами явля-

ется отталкивательным, то для удержания дипольного кластера в равновесии нужен какой-либо удерживающий потенциал или ловушка.

В четвертой главе данной работы подробно исследуется структура двумерных дипольных кластеров. Показано, что в силу более близкодействующего закона взаимодействия, чем логарифмический, в диполыгых ме-зоскопических кластеры происходит конкуренция оболочечной структуры и треугольной решетки при небольших числах частиц N ~ 35 при низких температурах. Найдены распределения частиц по оболочкам, значения потенциальной энергии в глобальных и локальных минимумах для различных чисел частиц. Найдены зависимости радиуса кластера и расстояния между частицами в кластере от числа частиц. Исследуются температурные зависимости потенциальной энергии, радиального и углового внутриобо-лочечного и межоболочечного среднеквадратичных смещений в двумерных дипольных кластерах и показывается, что плавление дипольных мезоско-пических кластеров происходит в две стадии, а плавление дипольных макроскопических кластеров происходит в одну стадию. Исследуются потенциальные барьеры относительного вращения оболочек и перескока частиц между оболочками. В результате показано, что причина ориентационно-го плавления в мезоскопических дипольных кластерах и его отсутствия в макроскопических заключается в малости потенциальных барьеров вращения по отношению к потенциальным барьерам перескока в мезоскопических кластерах и их равенства по порядку величины в макроскопических кластерах.

1.3 Кулоновские кластеры.

В последние годы произошел значительный теоретический и экспериментальный прогресс в изучении локализации конечного числа электронов или ионов в ловушках. Эти ловушки могут быть образованы искусственным или естественным внешним потенциалом. Можно привести ряд примеров: радио-частотные ловушки для ионов и электронов [52]; электроны в кван-

товой точке в полупроводниковой наноструктуре [53, 54]. Еще одним примером являются электроны на поверхности жидкого гелия [55]. В этом случае роль удерживающего потенциала может играть потенциал металлического электрода, погруженного в гелий. Численные оценки константы удерживающего потенциала а для некоторых экспериментальных систем приведены, напр., в [56, 57]. Электроны над поверхностью жидкого гелия подчиняются законам классической механики из-за низкои электронной плотности. Специальная техника лазерного охлаждения [58, 59] позволяет достичь очень низких температур для ионов. Кроме того хорошо известно, что в классической одно-компонентной плазме при низких температурах происходит фазовый переход и она образует вигнеровский кристалл, как в двумерном, так и в трехмерном случае [47]-[50], [60]-[63].

В последние годы появился целый ряд работ, посвященных кулонов-ским кластерам в ловушке. Впервые структура и плавление кулоновских кластеров было исследовано в [64]-[68]. Оказалось, что частицы в кластерах распределяются по оболочкам. Была построена таблица распределения частиц по оболочкам аналогично таблице Менделеева. В работах [69]-[74] были найдены фазовые переходы в двумерных кулоновских кластерах. Таблица распределения частиц по оболочкам в глобальных минимумах потенциальной энергии была дополнена. Однако плавление двумерных и трехмерных кулоновских кластеров было плохо изучено. Кроме того з этих работах не указывались причины двухстадийного характера плавления в оболочечных кластерах.

Однако плавление не только классических кулоновских кластеров представляет интерес для исследования. При увеличении роли квантовых эффектов температуры плавления в кластерах должны понизиться, и при некоторых критических величинах квантовых флуктуаций должно наступить квантовое плавление при нулевой температуре. В последние годы интерес к квантовым системам сильно возрос. Так, например, большое распространение получил квантовый метод Монте-Карло (см., напр., [75, 76, 77]).

Квантовое плавление для дипольного мезоскопического кластера было исследовано в [78]. Однако плавление квантового кулоновского мезоскопического кластера при повышении температуры и увеличении квантовых флуктуаций, а также области существования различных состояний квантовых кулоновских мезоскопических кластеров не были исследованы.

В пятой главе данной работы с помощью метода Монте-Карло (см. вторую главу) исследуются температурные зависимости потенциальной энергии, теплоемкости, радиального и углового внутриоболочечного и межобо-лочечного среднеквадратичных смещений, радиального распределения частиц, радиальной корреляционной функции частиц, угловой корреляционной функции частиц двух оболочек, ориентационного параметра порядка, а также распределения частиц по локальным минимумам в двумерных кулоновских кластерах и показывается, что плавление двумерных кулоновских кластеров происходит в две стадии (исключения могут составлять магические кластеры). Причина ориентационного плавления в кулоновских кластерах, как и в кластерах с другими законами взаимодействия, заключаются в малости потенциальных барьеров вращения по отношению к потенциальным барьерам перескока кроме магических кластеров. Рассматривается влияние анизотропии удерживающего потенциала на структуру и характер плавления в кулоновских кластерах. Показано, что при увеличении степени анизотропии ориентационное плавление исчезает. Исследуется плавление трехмерных кулоновских кластеров. Показано, что как и в двумерных кластерах, в трехмерных мезоскопических кластерах оно происходит в две стадии, что связано с относительной малостью потенциальных барьеров вращения по отношению к потенциальным барьерам перескока.

В шестой главе исследуются зависимости от температуры и квантового параметра величин, описанных выше, а также кинетической энергии и меры квантовости системы. В результате исследуется квантовое плавление кулоновского мезоскопического кластера, и показано, что даже для магического кластера оно происходит в два этапа. Построена фазовая диаграмма б координатах д, Т квантового кулоновского кластера, на которой указа-

ны области кристаллического, ориентационио расплавленного и жидкого состояния кластера. Отдельно указана область, в которой используемое приближение не работает.

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [81]-[89], докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Летняя школа "Сверхпроводящие материалы: продвижения в технологии и приложениях" ( Болония, Италия 1998 ); конференция МФТИ (1998); а также ряде других конференций и семинаров в МФТИ, МИСиС, ИСАИ.

2 Численные методы, используемые в работе.

2.1 Поиск минимума в двумерных кластерах.

Так как двумерные кластеры имеют оболочечную структуру при низких температурах, то удобно для расчетов, связанных с ними, использовать полярные координаты с началом координат в центре симметрии удерживающего потенциала.

Для поиска равновесных конфигураций частиц использовался метод случайного поиска минимума потенциальной энергии. Метод случайного поиска минимума состоит в следующем (см., напр., [79]). Всем частицам задаются начальные координаты случайным образом. Для выбора случайных чисел здесь и далее использовался генератор случайных чисел, встроенный в язык программирования "турбо-паскаль". Рассчитывается потенциальная энергия U системы частиц (см. ниже). Далее случайным образом выбирается одна частица или группа частиц. Эта частица или группа частиц передвигается по всем координатам на случайное расстояние, не большее какого-то заданного. После этого снова рассчитывается потенциальная энергия Uknew и, если оказывается, что Uknew < U, то новая конфигурация "принимается", и следующим шагом снова следует выбор частицы или группы частиц, которая передвигается на случайное расстояние, причем в качестве исходных координат и потенциальной энергии используются новые. В противном случае, если Uknew > U, то новая конфигурация не принимается, и в качестве исходных координат и потенциальной энергии перед следующей итерацией используются старые. Таким образом, с каждой следующей итерацией потенциальная энергия уменьшается или сохраняет свое прежнее значение, а в пределе она стремится к минимуму. По ходу расчета каждые 1000 итераций максимальная величина шага случайного движения частиц уменьшалась приблизительно в 1.05 — 1.10 раз. Максимальная величина шага случайного движения частиц уменьшалась от 1 • 10~2 до 1 • Ю-6 в безразмерных единицах. Расчет останавливался в

случае, если какое-то заданное число итераций потенциальная энергия не уменьшалась. Чередовались случайные движения оболочек в целом (см. ниже) и случайные движения отдельных частиц, причем обычно на каждое движение одной оболочки приходилось в среднем по 10 движений отдельных частиц. Для каждого числа частиц N рассчитывалось несколько минимумов потенциальной энергии (с соответствующими конфигурациями). Среди всех локальных минимумов выбирается самый глубокий - глобальный. Ясно, что этот метод, как и другие методы поиска минимума, не позволяет точно гарантировать обнаружение всех локальных минимумов, однако с достаточно хорошей вероятностью, исследуя много начальных конфигураций, можно говорить о том, что глобальный минимум найден верно.

В некоторых случаях для удобства расчета в качестве начальных координат частиц задавались не случайные координаты, а координаты, выбранные следующим образом. Так как кластеры имеют оболочечную структуру (см. ниже), то частицы сразу разделялись по оболочкам, причем оболочки считались в первом приближении правильными многоугольниками, вписанными в окружности, с центрами в центре симметрии удерживающего потенциала. После этого следовало движение к минимуму потенциальной энергии. Такой выбор начальных координат с правильным распределением частиц по оболочкам уменьшает время поиска минимума. Для кластеров с анизотропным удерживающим потенциалом в качестве начальных конфигураций использовались многоугольники, вписанные не в окружности, а в эллипсы.

Для достижения значительно большей скорости поиска минимума (примерно в 10 раз) в ряде случаев использовался метод отжига. Суть метода заключается в постепенном уменьшении температуры в кластере (примерно от 1 • 10~2 до 1 • Ю-7). При каждой температуре использовался метод Монте-Карло (модифицированный алгоритм Метрополиса) - см. далее. Наименьшее значение энергии при каждой температуре запоминалось. Затем температура уменьшалась примерно в три раза и т.д. Счет зака-нивался, если оказывалось, что при двух последовательных температурах

минимальные значения потенциальной энергии отличаются не более, чем на заданное значение (примерно в десятом знаке).

2.2 Расчет потенциальных барьеров в двумерных кластерах.

Потенциальный барьер вращения можно найти используя следующую процедуру. Закрепим все частицы кластера в конфигурации, отвечающей глобальному минимуму потенциальной энергии, кроме частиц выделенной оболочки. Все частицы указанной оболочки повернем на угол 6ф относительно других частиц. Запомним потенциальную энергию системы. Далее будем повторять эту процедуру, меняя ф, пока одна оболочка относительно другой не провернется на угол, равный среднему угловому расстоянию между частицами во вращающейся оболочке. Таким образом, можно найти зависимость потенциальной энергии системы от угла вращения одной оболочки относительно других ф и найти потенциальный барьер вращения.

Потенциальный барьер перескока частицы из одной оболочки в другую, характеризует радиальное (полное) плавление оболочек. Для его поиска используем следующую процедуру. Закрепим все частицы кластера в конфигурации, отвечающей глобальному минимуму потенциальной энергии, кроме одной частицы на месте, а эту частицу будем передвигать от центра системы (или к центру) в сторону ее положения в наиболее глубоком после глобального минимума локальном минимуме потенциальной энергии на расстояние 8г. Запомним потенциальную энергию системы. Далее будем повторять эту процедуру, пока передвигаемая частица не попадет в свое положение в локальном минимуме потенциальной энергии. Таким образом, можно найти зависимость потенциальной энергии от координаты г частицы, "меняющей оболочку" и потенциальный барьер перескока частицы.

Однако выше описанный расчет потенциальных барьеров вращения и перескока дает нереалистические, завышенные их значения (в первом случае этот эффект особенно велик). Для того, чтобы получить реалистические значения потенциальных барьеров, необходимо учитывать "релакса-

цию" положений частиц при провороте оболочек, либо при перескоке частиц между оболочками.

При расчете потенциального барьера вращения с учетом релаксации, т.е. подстройки частиц к повороту оболочки, после каждого движения оболочки на угол 6ф делалось следующее. Закреплялся угол одной частицы из вращающейся оболочки и угол одной частицы из неподвижной оболочки и осуществлялся поиск минимума потенциальной энергии по (2.ЛГ — 2) переменным (Ж переменных радиусов г и (ЛГ — 2) переменных углов ф) с помощью метода, описанного выше. Затем запоминалась минимальная потенциальная энергия этой системы. Далее эти процедуры повторялись, пока одна оболочка относительно другой не проворачивалась на угол, равный среднему угловому расстоянию между частицами во вращающейся оболочке. Таким образом, можно найти зависимость потенциальной энергии системы от угла вращения одной оболочки ф и найти потенциальный барьер вращения с учетом "релаксации".

При расчете потенциального барьера перескока с учетом релаксации, после каждого движения одной частицы на расстояние 8г в сторону ее положения в локальном минимуме потенциальной энергии, делалось следующее. Закреплялось расстояние г от передвигаемой частицы до центра системы и осуществлялся поиск минимума потенциальной энергии по (2Ы — 1) переменным ((Я — 1) переменных г и N переменных ф) с помощью метода, описанного выше. Затем запоминалась минимальная потенциальная энергия этой системы. Далее эти процедуры повторялись, пока система не попадала в локальный минимум потенциальной энергии. Таким образом, можно найти зависимюсть потенциальной энергии от координаты г частицы, "меняющей оболочку" и потенциальный барьер перескока частицы с учетом релаксации.

Предложенный учет "релаксации" положений частиц при провороте оболочек, либо при перескоке частиц между оболочками, существенно понижает барьеры относительно переориентации оболочек и относительно перескока.

ординаты г частицы, "меняющей оболочку" при заданной температуре Т и найти "температурный" потенциальный барьер перескока частицы.

2.3 Исследование плавления двумерных кластеров.

Для изучения зависимости физических величин от температуры и плавления системы в работе использовался метод Монте-Карло (модифицированный алгоритм Метрополиса или алгоритм Мультигрид).

Суть алгоритма Метрополиса на нашем примере заключается в следующем. Всем частицам каким-то образом задаются начальные координаты. Рассчитывается потенциальная энергия системы частиц. Выбирается случайным образом одна частица. Эта частица передвигается по всем координатам случайным образом на случайное расстояние, не большее какого-то заданного. После этого снова рассчитывается потенциальная энергия системы. Далее, если оказывается, что Uknew < U, то новая конфигурация: принимается и при следующем шаге в качестве исходных координат и энергии используются новые. Если оказывается, что Uknew > U, то рассчитывается величина А = ехр~^, где Т - температура. Если оказывается, что А> В, где В - случайное число от 0 до 1, то новая конфигурация принимается, и при следующем шаге в качестве исходных координат и энергии используются старые. По ходу расчета каждые 1000 итераций максимальная величина шага изменялась так, чтобы вероятность принятия шага стремилась к 0.5. Каждые 1000 итераций максимальная величина шага изменялась по формуле hnew = hid^-i где hnew - максимальная величина шага при после-

"по

дующих 1000 итерациях, 10ы - максимальная величина шага при предыдущих 1000 итерациях, nycs - число "принятых" шагов за предыдущие 1000 итераций, ппо - число "непринятых" шагов за предыдущие 1000 итераций. Расчет останавливается, если число итераций достигает заданного.

Модификация стандартного алгоритма Метрополиса заключается в том, что на каждые 10 случайных движений по одной частице приходилось 1 случайное движение целой оболочки. В связи с тем, что исследуемая

Вышеописанными методами находились потенциальные барьеры в кластерах при нулевой температуре. Однако представляет интерес исследовать изменение формы и величины потенциальных барьеров с повышением температуры.

При расчете "температурного" потенциального барьера вращения, после каждого движения оболочки на угол 6ф делалось следующее. Вместо поиска минимума по (2Л7" — 2) переменным осуществлялся поиск среднего значения потенциальной энергии при фиксированных температуре Т и раз-

О С I и и

ницеи углов оф между частицеи с фиксированной угловой координатой во

и у»— и 4 и и и/

вращающейся оболочке и частицеи с фиксированной угловой координатой в неподвижной оболочке. Среднее значение потенциальной энергии находилось с помощью метода Монте-Карло (см. ниже). Усреднение производилось примерно по 1 • 105 шагам Монте-Карло. Затем запоминалась средняя потенциальная энергия этой системы. Далее эти процедуры повторялись, пока одна оболочка относительно другой не проворачивалась на угол, равный среднему угловому расстоянию между частицами во вращающейся оболочке. Таким образом, можно найти зависимость средней потенциальной энергии системы от угла вращения одной оболочки ф при заданной температуре Т и найти "температурный" потенциальный барьер вращения.

При расчете "температурного" потенциального барьера перескока, после каждого движения одной частицы на расстояние 6г в сторону ее положения в локальном минимуме потенциальной энергии, делалось следующее. Вместо поиска минимума по (2^ — 1) переменным осущес! влялся поиск среднего значения потенциальной энергии при фиксированных температуре Т и расстоянии г от передвигаемой частицы до центра системы. Среднее значение потенциальной энергии находилось с помощью метода Монте-Карло (см. ниже). Усреднение производилось примерно по 1 • 105 шагам Монте-Карло. Затем запоминалась средняя потенциальная энергия этой системы. Далее эти процедуры повторялись, пока система не попадала в окрестность локального минимума потенциальной энергии. Таким образом, можно найти зависимость средней потенциальной энергии от ко-

система имеет оболочечиую структуру, чередование случайного движения частиц и оболочек увеличивает эффективность счета.

Суть второго алгоритма (метод мультигрид - V-цикл) заключается в следующем: сначала двигается 1 = 2° частица, потом 2 = 21, потом 4 = 22 частицы и т.д., потом все частицы, половина частиц, и т.д. до одной частицы. Численный расчет показал, что в некоторых случаях второй метод эффективней первого в 2.5 раза (т.е. для достижения одинаковой точности этими методами нужно сделать в 2.5 раза больше итераций первым методом, чем вторым).

После нахождения равновесных конфигураций система нагревалась на температуру AT (AT = 5 • Ю-7 — 5 • 1СГ3), далее система удерживалась до выхода на равновесие при новой температуре 2 • 104 — 4 • 104 шагов Монте-Карло. Затем рассчитывались статистические характеристики усреднением по 1-Ю6 — 1 • 107 шагов Монте-Карло. После этого следовал дальнейший нагрев с использованием процедуры, описанной выше. Вычислялись следующие величины:

1. Полная потенциальная энергия Upot = Uш + UexU где Um - потенциальная энергия всех взаимодействий между частицами, a Uext - потенциальная энергия взаимодействия частиц с удерживающим потенциалом.

N N N 9

Uint — Е Е Uij\ Uexi = Е rf. Здесь Uij - потенциал взаимодействия между

j=li<j i= 1

двумя (i-ой и j-ой) частицами, г* - расстояние от i-ой частицы до центра удерживающего потенциала.

2. Теплоемкость С = <е2>-<е>2 ; где Е = U, усреднение О производится по числу измерений при различных конфигурациях Монте-Карло - каждые 1000 итераций.

3. Радиальные среднеквадратичные смещения (РСС) - полное:

и для каждой оболочки отдельно:

^^gi^-l (15)

где N1 - число частиц в оболочке, усреднение О производится по различным конфигурациям Монте-Карло, а - среднее расстояние между ближайшими частицами.

4. Радиальный коэффициент Линдемана:

иг

1

N

Е

либо радиальную дисперсию:

< г- > 1 -1.

< Г><

1 М < Г? >

иг2 = Т7 Е / ' ^ о N ¿=1 < >2

1.

5. Радиальное относительное смещение:

2

N N

<ГЬ >

< Гц >2

либо дисперсию межчастичных расстояний:

2 N N < г>

6. Радиальная функция распределения:

N

9г(г) =< Е ~ Г) > .

г=1

- 7. Радиальная корреляционная функция:

N ТУ

0ра»>М =< Е Е - Г,- + Г) > .

¿=1

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

8. Угловые среднеквадратичные смещения (УСС) относительно ближайших частиц своей оболочки:

1 « < (ф, - ф^у > - < (ф, ф^) >2

¿=1

Ф1

(22)

и УСС относительно ближайших частиц соседней оболочки

1 ^<{ф1-фг2У>-<(ф{-фк)>2

1—1

Ф1

где ¿1 и ¿2 относятся к ближайшей частице из той же и из соседней оболочки, 2ф0 = ^ - среднее угловое расстояние между соседними частицами для данной оболочки.

9. Угловое относительное смещение:

2 N1 N2

^2=дГ¥ЕЕ<№-Фз? >-< № - >2, (24)

где и Аг2 - числа частиц в двух оболочках.

Рассчитаны только относительные угловые среднеквадратичные смещения, так как вращение системы в целом не представляет интереса.

10. Параметр взаимного ориентационного порядка оболочек 1\ и ¡2'-

ркЬ =< Ф^Ф?, >, (25)

. N1 ,

где Ф/ = -щ £ е''г'' - параметр углового порядка 1-ой оболочки, N1 - число частиц в 1-ой оболочке. Параметр взаимного ориентационного порядка оболочек должен обращаться в ноль при ориентационном плавлении оболочек.

11. Угловая корреляционная функция двух оболочек:

N1 N2

9(Ф) =< Е £ б^Ш -Фг + Ф)>. (26)

1=1¿=1

12. Распределение частиц по локальным минимумам - вероятность обнаружить систему вблизи разных минимумов потенциальной энергии И7д1оЬ,1ос• Для расчета данной величины система периодически (раз в 104 - 105 итераций) резко охлаждалась до температуры, на несколько порядков меньшей всех температур плавления (1 • Ю-7) в течении 2 • 104 итераций. Затем минимальное значение энергии сравнивалось со значением энергии в различных локальных минимумах, и, если оно оказывалось близко к значению энергии в каком-то минимуме, то считалось, что система попала в этот минимум (локальные и глобальный минимумы потенциальной энергии были рассчитаны предварительно).

2.4 Особенности расчета для трехмерных кулоновских кластеров.

Трехмерные кластеры в удерживающем потенциале, как и двумерные, имеют оболочечную структуру, поэтому для их расчета удобно выбрать сферические координаты с началом координат в центре симметрии удерживающего потенциала.

Алгоритмы поисков минимумов и потенциальных барьеров в трехмерных кластерах не отличаются от описанных выше алгоритмов для двумерных кластеров за исключением увеличения числа координат и переменных.

При исследовании плавления трехмерных кулоновских кластеров рассчитывались температурные зависимости следующих величин.

1. Полная потенциальная энергия Upot = Е — + T,rf.

i<j rii г

2. Полное РСС:

<«*>=!£ lii^z^ (27)

и РСС для каждой оболочки:

3. УСС относительно ближайших частиц из данной оболочки:

/ю»" - - 1 ^ < № - Фч? + № - к? > - < (Ф< - Ф» вь)

и УСС относительно ближайших частиц соседней оболочки:

1 V < " ^ > + < № - в> - < - ^ + в' - вь) >\^

< ьи^ >_ ^ ^ ■ щ (30)

где ф и в - сферические координаты, индексы и ¿2 относятся к ближайшей частице из той же и из соседней оболочки, 2^о = ^ - среднее угловое расстояние между ближайшими частицами данной оболочки.

2.5 Особенности расчета квантовых кулоновских кластеров.

Для расчетов свойств квантовых кластеров использовался квантовый метод Монте-Карло интегрирования по траекториям (см., напр., обзор [76]). Свойства исходной двумерной квантовой системы 1\, г — 1..М оцениваются по фиктивной трехмерной системе (с координатами г^г — = 0..Р — 1), полученной дискретизацией функциональных интегралов. Требуемая точность этой замены контролировалась безразмерным параметром г = у^р и достигалась подбором числа слоев Р трехмерной системы так, чтобы лучше удовлетворить условию т = 0.3 (при дальнейшем увеличении числа слоев результаты вычислений не изменялись). При расчете использовалось два вида алгоритмов. В первом алгоритме чередовалось четыре вида случайных движений: 1) Случайное движение одной (случайно взятой) частицы на одном (случайно взятом) слое; 2) Случайное движение одной (случайно взятой) оболочки (группы частиц) на одном (случайно взятом) слое; 3) Случайное движение одной (случайно взятой) частицы на всех слоях; 4) Случайное движение одной (случайно взятой) оболочки на всех слоях. Во втором алгоритме сначала двигались на одном слое одна частица, затем две, ..., затем все, затем половина системы, ..., одна частица, затем то же самое на всех слоях. Для достижения хорошей точности система в каждой точке (при заданных X ид) отогревалась 3 • 104 итераций, а затем исследовалась втечение 1 • 107 итераций Монте-Карло.

Рассчитывались следующие физические величины:

1. Полная энергия системы Е.

2. Потенциальная энергия системы

3. Кинетическая энергия системы К = Е — II.

4. Теплоемкость С.

(31)

5. Радиальное относительное среднеквадратичное смещение

2

N N Р-1

= § £ 5 ^

< > < гб >2

1,

а также дисперсия межчастичных расстоянии

2

ирагг'2 —

N N Р-1 (г?Л* Ъ-

ЕЕЕ( р\ Г - !)■

6. Радиальное среднеквадратиное смещение

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Ракоч, Евгений Александрович

7 Выводы.

1. Показано, что двумерные мезоскопические кластеры частиц, отталкивающихся по дипольному, кулоновскому и логарифмическому закону и удерживаемые внешним квадратичным потенциалом, имеют оболочечную структуру при низких температурах. Найдены конфигурации системы в локальных и глобальных минимумах потенциальной энергии. При увеличении числа частиц в кластерах зарождается фрагмент треугольной решетки. Чем более далыюдействующим является закон взаимодействия между частицами, тем большее число частиц необходимо для образования треугольной решетки. Рассматриваются следующие физические реализации: электроны на поверхности жидкого гелия, электроны в квантовой точке, частицы в слое магнитной жидкости, вихри в маленьком сверхпроводящем островке или во вращающемся сосуде со сверхтекучим гелием, а также электроны в полупроводниковой наноструктуре, окруженной средой с малой диэлектрической проницаемостью и т.п.

2. Детально исследованы температурные зависимости потенциальной энергии, среднеквадратичного радиального и углового смещения, функции радиального и углового распределения частиц и распределение частиц по локальным минимумам потенциальной энергии. В результате исследовано плавление системы. Показано, что в дипольных макрокластерах плавление происходит в одну стадию. В макрокластерах с более дальнодейству-ющим потенциалом взаимодействия и во всех мезоскопических кластерах (исключение составляют магические мезоскопические кластеры со структурой треугольной решетки) плавление происходит в две стадии: при меньших температурах происходит ориентационное плавление - из замороженной фазы в состояние с вращательной переориентацией "кристаллических" оболочек друг относительно друга; затем - переход с исчезновением радиального порядка. В кулоновских и логарифмических макрокластерах ориентационное плавление происходит только для внешних пар оболочек.

3. Причина ориентационного плавления заключается в несоизмеримости (малости) потенциального барьера относительно вращения оболочек по сравнению с барьером относительно перескока частицы из .одной оболочки в другую (в мезоскопических кластерах для всех пар оболочек и в макроскопических кластерах с кулоновским и логарифмическим законами взаимодействия для внешних пар оболочек). При сравнении температур исчезновения потенциальных барьеров с соответствующими им температурами плавления видно, что температура плавления меньше температуры исчезновения соответствующего ей барьера примерно в 5 - 15 раз. Предложен способ предсказания характера плавления в оболочечных кластерах с помощью сравнения потенциальных барьеров вращения оболочек к перескока частиц между оболочками. Температуры плавления можно оценить с помощью температур исчезновения потенциальных барьеров.

4. Мы исследовали изменение структуры кластеров при различной степени анизотропии удерживающего потенциала. При малой степени анизотропии глобальные минимумы смещаются в конфигурации с меньшим числом частиц во внутренних оболочках и в конфигурации с меньшим числом оболочек. При сильной степени анизотропии удерживающего потенциала внутренняя оболочка может иметь два хвоста, направленные вдоль оси, или даже может выродиться в прямую линию. Если кластер состоит из одной оболочки, то при вырождении в прямую линию кластер становится одномерным. При увеличении степени анизотропии барьеры вращения увеличиваются по отношению к барьерам перескока и при некоторой степени анизотропии ориентационное плавление исчезает и плавление становится одностадийным.

5. Чем больше размерность кластера, тем больше критическое число частиц, при котором образуется новая оболочка. Ориентационное плавление имеет место также в трехмерных кулоновских мезоскопических кластерах. Однако при больших значениях N ориентационное плавление исчезает и плавление трехмерных макрокластеров одностадийно.

6. Плавление квантовых мезоскопических кластеров также происходит в две стадии. Получена фазовая диаграмма плавления квантового кулоновского мезоскопического кластера в координатах д, Т. При возрастании квантовых флуктуации: в кластере сначала происходит ориентационное разупорядочение, а затем полное квантовое плавление. Причем квантовое ориентационное и полное плавление сильнее удалены друг от друга при увеличении квантового параметра д.

Основной вывод данной работы: преобладание оболочечной структуры в кластере над структурой объемной фазы, отношение потенциальных барьеров перескока частиц между оболочками и вращательной переориентации оболочек, отношение температур ориентационного и полного плавления и осуществимость ориентационного плавления увеличиваются - 1. при более дальнодействующем законе взаимодействия между частицами; 2. при уменьшении числа частиц в кластере; 3. при уменьшении степени анизотропии удерживающего потенциала; 4. при увеличении размерности системы; 5 - при увеличении квантовых флуктуаций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ракоч, Евгений Александрович, 1999 год

Список литературы

[1] S.Iijima. The 60-carbon cluster has been revealed. J.of Phys.Chem., 1987, 91, 13, 3466-3467.

[2] Ю.И.Петров. Кластеры и малые частицы. М.:Наука, 1985.

[3] Microclusters. Edited by S.Sugano et. al. Berlin: Springer, 1987.

[4] М.Е.Грачева, В.А.Кашурииков, И.А.Руднев. Особенности динамики плавления вихревой решетки в ВТСП при наличии центров пиннинга. Письма в ЖЭТФ, 1997, 66, 4, 269-275.

[5] Ю.И.Петров. Физика малых частиц. М.:Наука, 1982.

[6] В.А.Мандельштам. Структура и фазовые переходы в кластерах. Диссертация канд. наук., М., 1991.

[7] L.N.Cooper. Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas. Phys.Rev., 1956, 104, 4, 1189-1190.

[8] А.А.Абрикосов. Основы теории металлов. М.:Наука, 1987.

[9] А.А.Абрикосов. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы. ЖЭТФ, 1957, 32, 6, 1442-1452.

[10] L.Onsager. Nuovo Cim.Suppl., 1949, 6, , 249-257.

[11] R.P.Feynman. Application of quantum mechanics to liquid Helium. Progress Low-Temperature Physics. Amsterdam: North Holland, 1955.

[12] A.L.Fetter. Low-lying superfiuid states in a rotating annulus. Phyn.Rev., 1967, 153, 1, 285-296.

[13] G.B.Hess, W.M.Fairbank. Angular momentum of Hell in a rotating cylinder. Low Temperature Physics, Plenum Press, New York, 1965. Part A, 188-190.

[14] G.В.Hess. Angular momentum of superfluicl Helium in a rotating cylinder. Phys.Rev., 1967, 161, 1, 189-193.

[15] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретиеская физика. Статистическая физика. Часть 1. М.: Наука, 1995.

[16] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Статистическая физика. Часть 2. М.: Наука, 1995.

[17] H.Totsuji, J.L.Barrat. Structure of nonneutral classical plasma in a magnetic field. Pliys.Rev.Lett., 1988, 60, 24, 2484-2491.

[18] K.Tsuruta, S.Ichimaru. Binding energy, microstructure, and shell moclell of Coulomb clusters. Pliys.Rev.A, 1993, 48, 2, 1339-1344.

[19] D.StaufFer, A.L.Fetter. Distribution of vortices in rotating Heliumll. Phys.Rev., 1968, 168, 1, 156-159.

[20] L.J.Campbell, R.M.Ziff. Vortex patterns and energies in a rotating superfluid. Phys.Rev.B, 1979, 20, 5, 1886-1902.

[21] Р.Н.Игнатьев, Э.Б.Сонин. О вихревой решетке конечного размера во вращающейся сверхтекучей жидкости. ЖЭТФ, 1981, 81, 6, 2059-2062.

[22] G.E.Volovik, U.Parts. Clusters with magic numbers of vortices. Письма в ЖЭТФ, 1993, 58, 10, 826-830.

[23] G.Blatter, M.V.Feigel'man, V.B.Geshkenbein e.a. Vortices in high temperature superconductors. Rev.Modern Phys., 1994, 66, 4, 1125-1388.

[24] Ю.Е.Лозовик. Ионные и электронные кластеры. УФН, 1987, 153, 2, 356-358.

[25] J.J.Thomson. On the structure of the atom. Phil.Mag., 1904, S6, 7 39, 237-265.

[26] Y.Pearl. Appl.Phys.Lett., 1990, 5, 65, 96-110.

[27] Yu.E.Lozovik, S.G.Akopov. Kosterlits-Thouless-like transition in granular superconducting films. Solid State Communications, 1980, 35, 5, 693-697.

[28] В.М.Агранович, Ю.Е.Лозовик, А.Г.Малыиуков. Электронные перестройки на границе диэлектрик-металл и проблема поисков высокотемпературной сверхпроводимости. Усп.Физ.Наук, 1975, 117, 3, 570-572.

[29] В.М.Агранович, Ю.Е.Лозовик. О переходе полупроводник-металл под действием сил электростатического изображения. Письма в ЖЭТФ, 1973, 17, 4, 209-212.

[30] В.М.Агранович, Ю.Е.Лозовик. Оптические эффекты при переходе полупроводник-металл. Физика твердого тела, 1975, 17, 8, 2437-2438.

[31] Ю.Е.Лозовик, В.И.Нишанов. Экситоны Ванье-Мотта в слоистых структурах и вблизи границы двух сред. ФТТ, 1976, 18, 11, 3267-3272.

[32] I.V.Lerner, Yu.E.Lozovik. Electron-hole liquid near semiconductcr-metall interface. Phys.Lett.A, 1978, 64, 5, 483-484.

[33] Yu.E.Lozovik. Molecules and excitons in the strong magneti'.'. field. Proceedings 2nd European Congress on Molecular Spectroscopy, Tallin, 1973, 163.

[34] Ю.Е.Лозовик, В.И.Юдсон. О возможности сверхтекучести разделенных в пространстве электронов и дырок при их спаривании; новый механизм сверхпроводимости. Письма в ЖЭТФ, 1975, 22, 11, 556-559.

[35] D.Yoshioka, H.Fukuyama. Existence of clipole-density wave (DDW) state in electron-hole junction systems. J.Phys.Soc.Jpn, 1978, 45, 1, 137-147.

[36] L.Brey. Energy spectrum and charge-density-wave instability of a double quantum well in magnetic field. Phys.Rev.Lett., 1990, 65, 1, 903-906.

[37] D.Yoshioka, A.H.MacDonald. Double quantum well electron-hole systems in strong magnetic fields. J.Phys.Soc.Jpn, 1990, 59, 12, 4211-4214.

[38] X.M.Chen, J.J.Quinn. Excitonic charge-density-wave instability of spatially separated electron-hole layers in strong magnetic fields. Phys.Rev.Lett.., 1991, 67, 7, 895-898.

[39] Ю.Е.Лозовик, О.Л.Берман. Фазовые переходы в системе из двух связанных квантовых ям. Письма в ЖЭТФ, 1996, 64, 8, 526-531.

[40] Ю.Е.Лозовик, О.Л.Берман. Фазовые переходы в системе пространственно-разделенных электронов и дырок. ЖЭТФ, 1997, 111, 5, 1879-1895.

[41] Yu.E.Lozovik, O.L.Berman. The crystallization of indirect excitons in coupled quantum wells. Phys.Scripta, 1998, 58, 1, 86-89.

[42] V.M.Agranovich, K.N.Ilinski. Dielectric-metal phase transition in a system of interacting charge-transfer excitons. Phys.Lett. A, 1994, 191, 3/4, 309-316.

[43] S.M.Apenko, A.V.Kluchnik, Yu.E.Lozovik. Two-dimensional electron crystal in magnetic field. Topoloical phase and stability region. Sol.St.Comm., 1980, 36, 6, 485-492.

[44] Б.А.Абдулаев, Ю.Е.Лозовик. Силы изображения и область устойчивости двумерного вигнеровского кристалла. ФТТ, 1982, 24, 9, 2663-2666.

[45] Ю.Е.Лозовик, В.И.Юдсон. Новый механизм сверхпроводимости: спаривание между пространственно разделенными электронами и дырками. ЖЭТФ, 1976, 71, 2, 738-753.

[46] I.V.Lerner, Yu.E.Lozovik, D.R.Musin. Spatially separated electron-hole system in high magnetic fields. J.Phys.C, 1981, 14, 11, L311-L315.

[47] V.M.Bedanov, G.V.Gadiyak, Yu.E.Lozovik. Melting in a two-dimensional system with dipole interaction. Phys.Lett.A 1982, 92, 8, 400-402.

[48] В.М.Беданов, Г.В.Гадияк, Ю.Е.Лозовик. Плавление двумерных кристаллов. ЖЭТФ, 1985, 88, 5, 1622-1633.

[49] Yu.E.Lozovik, V.M.Farztdinov. Oscillations spectra and phase diagramm of two-dimensional electron crystal: "new" (3+4)-self-consistent approximation. Sol.St.Comm., 1985, 54, 8, 725-728.

[50] R.K.Kalia, P.Vashishta. Interfacial colloidal crystals and melting transition. J.Phys.C, 1981, 14, 22, L643-L648.

[51] A.T.Skjeltorp. One- and two-dimensional crystallization of magnetic holes. Phys.Rev.Lett., 1983, 51, 25, 2306-2309.

[52] P.E.Toschelc. Edited by G.Grynberg, R.Stora. New trends in atomic physics, Les Houches, Session 38, North-Holland, Amsterdam, 1984, 1, 383.

[53] U.Albrecht, P.Leiderer. Properties of multielectron bubbles in liquid helium. Can.J.Phys., 1987, 65, 11, 1536-1538.

[54] M.A.Read, W.P.Kirk. Nanostructure physics and fabrication. Academic press, Boston, 1989.

[55] Nanostructure Physics and Fabrications. Edited by M.A.Read, W.P.Kirk. Boston: Academic, 1989.

[56] F.Diedrich, E.Peik, J.M.Chen, W.Quint, H.Walther. Observation of a phase transition of stored laser cooled ions. Phys.Rev.Lett., 1987, 59, 26, 2931-2934.

[57] S.L.Gilbert, J.J.Bollinger, D.J.Wineland. Shell-structure phase of magnetically confined strongly coupled plasmas. Phys.Rev.Lett., 1988, 60, 20, 2022-2025.

[58] D.J.Wineland, W.M.Itano. Laser cooling. Phys.Today, 1987, 40, 6, 34-40.

[59] C.N.Cohen-Tannoudji, W.D.Phillips. New mechanisms for laser cooling. Phys.Today, 1990, 43, 10, 33-40.

[60] N. Metropolis, A.W.Rosenbluth, M.N.Rosenbluth, A.M.Teller, E.Teller. Equation of state calculations by fast computing machines. J.Chem.Phys., 1953, 21, 6, 1087-1092.

[61] C.C.Grimes, G.Adams. Evidence for a liquid-to crystal phase transition in a classical two-dimensional sheet of electrons. Phys.Rev.Lett., 1979, 42, 12, 795-798.

[62] R.C.Gann, S.Chakravarty, G.V.Chester. Monte Carlo simulation of the classical one-component plasma. Phys.Rev.B, 1979, 20, 1, 326-344.

[63] R.H.Morf. Temperature dependence of the shear modulus and melting of the two-dimensional electron solid. Phys.Rev.Lett., 1979, 43, 13, 931-935.

[64] Ю.Е.Лозовик, В.А.Манделынам. Кулоновские кластеры в ловушке. Физическая реализация атома Томсона. Академия наук СССР, отделение общей физики и астрономии, институт спектроскопии, г.Троицк Московской области, препринт N15, 1989.

[65] Yu.E.Lozovik, L.M.Pomirchy. Shell structure of two-dimensional electron clusters. Phys.Stat.Sol.B, 1990, 161, K11-K13.

[66] Yu.E.Lozovik, V.A.Mandelshtam. Coulomb clusters in a trap. Phys.Lett.A, 1990, 145, 5, 269-271.

[67] Yu.E.Lozovik, V.A.Mandelshtam. Classical and quantum melting of Coulomb cluster in a trap. Phys.Lett.A, 1992, 165, 5/6, 469-472.

[68] Ю.Е.Лозовик, А.М.Попов. Образование углеродных наночастиц с обо-лочечной структурой. Известия РАН, сер.физ., 1996, 60, 9, 81-84.

[69] R.W.Hasse, V.V.Avilov. Structure and Modelling energy of spherical Coulomb crystals. Phys.Rev.A, 1991, 44, 1, 4506-4515.

[70] V.M.Bedanov, F.M.Peeters. Ordering and phase transitions of charged particles in a classical finite two-dimensional system. Phys.Rev.B, 1994, 49, 4, 2667-2676.

[71] F.M.Peeters, V.A.Schweigert, V.M.Bebanov. Classical two-dimensional atoms. Physica B, 1995, 212, 3, 237-244.

[72] V.A.Schweigert, F.M.Peeters. Spectral properties of classical two-dimensional clusters. Phys.Rev.B, 1995, 51, 12, 7700-7712.

[73] I.V.Schweigert, V.A.Schweigert, F.M.Peeters. Properties of two-dimensional Coulomb clusters confined in a ring. Phys.Rev.B, 1996, 54, 15, 10827-10834.

[74] P.Cheung, M.F.Choi, P.M.Hui. Classical interacting particles in confinement. Sol.St.Comm., 1997, 103, 6, 357-360.

[75] M.F.Herman, E.J.Bruskin, B.J.Berne. On path integral Monte Carlo simulations. J.Chem.Phys., 1982, 76, 10, 5150-5155.

[76] W. Janke, T.Sauer. Optimal energy estimation in path-integral Monte Carlo simulations. J.Chem.Phys., 1997, 107, 15, 5821-5839.

[77] C.Chakravarty. Quantum delocalization and cluster melting. J.Chem.Phys., 1995, 103, Ц, 10663-10668.

[78] А.И.Белоусов, Ю.Е.Лозовик. Письма в ЖЭТФ, 1998, 68, 9, 817-821.

[79] Н.Н.Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978.

[80] Л.В.Келдыш. Кулоновское взаимодействие в тонких пленках полепро-водников и полуметаллов. Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, И, 716-719.

[81] Ю.Е.Лозовик, Е.А.Ракоч. Двумерные микрокластеры вихрей: оболо-чечная структура и плавление. Письма в ЖЭТФ, 1997, 65, 3, 268-273.

[82] Ю.Е.Лозовик, Е.А.Ракоч. Двумерные микрокластеры абрикосовских вихрей: оболочечная структура и плавление. ФТТ, 1997, 39, 6, 1005-1010.

[83] Yu.E.Lozovik, E.A.Rakoch. Structure and melting of dipole clusters. Phys.Lett.A, 1997, 235, 2?, 55-64.

[84] Ю.Е.Лозовик, Е.А.Ракоч. Структура и плавление дипольных кластеров. ФТТ 1998, 40, 7, 1379-1386.

[85] Yu.E.Lozovik, E.A.Rakoch. Energy barriers, structure and melting of micro clusters of vortices. Phys.Rev.B, 1998, 57, 2, 1214-1225.

[86] Yu.E.Lozovik, E.A.Rakoch. Coulomb clusters: melting and potential barriers. Phys.Lett.A, 1998, 240, 6, 311-321.

[87] Ю.Е.Лозовик, Е.А.Ракоч. Особенности плавления двумерных мезоско-пических вигнеровских кластеров. ФТТ (в печати).

[88] Ю.Е.Лозовик, Е.А.Ракоч. Структура, плавление и потенциальные барьеры в мезоскопических кластерах отталкивающихся частиц. ЖЭТФ (в печати).

[89] Yu.E.Lozovik, E.A.Rakoch. Melting and phase diagram of mesoscopic quantum Coulomb cluster. Phys.Stat.Sol. (in print).