Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бузмакова, Мария Михайловна

• Бузмакова, Мария Михайловна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бузмакова, Мария Михайловна

Оглавление

Введение. Общая характеристика работы

Глава 1. Композиционные наноматериалы. Основные определения и методы теории перколяции.

Перколяция сфер и эллипсоидов

1.1. Введение

1.2. Композиционные наноматериалы

1.3. Основные понятия теории перколяции

1.4. Континуальные модели теории перколяции

1.5. Перколяция сфер

1.6. Перколяция эллипсоидов

1.7. Выводы

Глава 2. Алгоритмы и методика моделирования

2.1. Введение

2.2. Методика заполнения системы элементами

2.3. Модифицированный алгоритм Хошена-Копельмана

2.4. «Волновой алгоритм»

2.5. Методика нахождения пересечения двух эллипсоидов

2.6. Методика определения фрактальной размерности перколяционного кластера

2.7. Методика определения критических показателей

и ¡3

2.8. Методика определения среднего значения соседей Вс и его распределения

2.9. Методика оценки порога перколяции и погрешностей результатов

2.10.Вывод ы

Глава 3. Моделирование континуальной перколяции

жестких сфер с проницаемыми оболочками

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Результаты моделирования: 1-ая модель

3.4. Результаты моделирования: 2-ая модель

3.5. Выводы

Глава 4. Моделирование континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи

4.3. Результаты моделирования

4.4. Выводы

Заключение

Литература

Приложение А Программный комплекс «Континуальная

перколяция эллипсоидов»

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Композиционные наноматериалы находят широкое применение в промышленности. Их широкая применимость объясняется тем, что этим материалам можно придать определенные физические и механические свойства путем введения наночастиц. Особенно важным является то, что для достижения улучшенных свойств необходимо введение нанонаполнителей в незначительных количествах, не сопоставимых с концентрацией традиционных макронаполнителей.

Особенно востребованы в последнее время полимерные нанокомпо-зиты. В качестве матрицы в этом виде нанокомпозитов применяют полипропилен, полистирол, полиамид или нейлон, а нанонаполнителями выступают частицы оксидов алюминия или титана, фуллерены, углеродные и кремниевые нанотрубки и нановолокна, наночастицы глины и ДР-

Производство нанокомпозитов представляет собой высокотехнологичную отрасль и требует огромных трудовых, временных и денежных ресурсов. Возникает потребность в проведении серьезных научных исследований в данном направлении, в том числе моделировании структуры таких материалов и теоретическом исследовании свойств.

Разработка научных основ исследования структуры и свойств компо-

зиционных наноматериалов является актуальной задачей на сегодняшний день.

В настоящее время не существует единой теории физико-химических свойств композиционных наноматериалов. Среди методов исследования структуры и свойств нанокомпозитов большой популярностью пользуются методы теории перколяции и теории фракталов [1,2].

Теория перколяции занимает немаловажное место в современной науке. Ее методы можно использовать и в математике, и в физике, и в химии, и в биологии, и в экономике и других науках [3]. Теория перколяции имеет множество практических приложений [4]. С помощью методов теории перколяции изучают электропроводность [5-8], магнетизм [9-11], процессы гелеобразования [12-16], прыжковую проводимость в полупроводниках [17], распространение эпидемий, распространение пожаров и многое другое [18].

Перколяционные модели делятся на решеточные и континуальные [18]. В решеточных моделях изучается перколяция на различных решетках, а в континуальных — в непрерывных системах. Решеточные модели весьма популярны и хорошо изучены. Континуальные модели, напротив, сложны в изучении и исследованы недостаточно. Хотя именно континуальные перколяционные модели более реалистично и адекватно описывают большинство физических, химических и других процессов.

Континуальные перколяционные модели успешно используются для исследования структуры и свойств композиционных материалов [60,64, 74,76]. Важно понимать поведение таких систем в критической области около порога перколяции, так как именно на пороге перколяции система значительно меняет свои свойства или приобретает новые. Как правило, при создании композиционных материалов особое значение исследователи придают свойству электропроводности [2] и прочности [19,20].

В данном диссертационном исследовании проведено моделирование структуры полимерного нанокомпозита, наполнителем которого являются дисперсные наночастицы: фуллерены и углеродные нанотрубки. Предложены перколяционные модели жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками. В случае перколяции сфер рассмотрена модель, в которой рассмотрены жесткие сферы с проницаемыми оболочками и предложен новый подход к связности элементов; в случае перко-ляции эллипсоидов предложена новая модель, в которой рассмотрены вытянутые жесткие эллипсоиды вращения с проницаемыми оболочками.

Цель и задачи исследования Целью диссертационного исследования является построение математической модели перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками. Данная модель позволяет исследовать влияние агрегации наночастиц на физические и механические свойства нанокомпозйта. Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. разработан метод моделирования континуальных перколяционных систем, состоящих из жестких элементов с проницаемыми оболочками;

2. построены и исследованы модели континуальной перколяции жестких сфер и вытянутых жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Для этих моделей:

• исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и

фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее число соседей Вс) элемента на пороге перколяции;

• исследована зависимость значения порога перколяции от толщины проницаемой оболочки элемента;

• исследована зависимость значения порога перколяции от ас-пектного отношения элемента;

3. разработан программный комплекс для проведения вычислительного эксперимента по нахождению порога перколяции и других основных характеристик модели, для случая жестких сфср с проницаемыми оболочками (две модели) и для случая жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками;

4. на основе полученных данных компьютерного эксперимента проведен теоретический анализ структуры полимерного нанокомпози-та, исследованы степень усиления (повышение модуля упругости) и возникновение электропроводности наноматериала.

Объекты и методы исследования В диссертационной работе проведено моделирование континуальной перколяции жестких сфср и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Построена математическая модель М = (Дп, к1,р,рьОП(1, к, состоящая из элементов Яп С ./V х Аг х А7", кг — количество испытаний, р — доля заполнения исследуемой системы элементами, рьопв. — вероятность возникновения связи между элементами (1 в случае, когда связь между элементами гарантирована перекрытием проницаемых оболочек и О ^ РЪопй ^ 1 в случае, когда связь между элементами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек), к — аспектное отношение элемента (отношение большей полуоси к меньшей: 1 для сфер и >1

для вытянутых эллипсоидов вращения), /г = с1/г — отношение толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения.

Моделирование проводилось методом Монте-Карло. Для распределения элементов по кластерам был модифицирован алгоритм Хошена-Копельмана [21], который позволяет за один проход идентифицировать все кластеры. Для генерации случайных чисел применялся алгоритм вихрь Мерсснна [22], который имеет период 219937 — 1. Нахождение пер-коляционного кластера проводилось с помощью «волнового алгоритма» [23]. При моделировании использовались периодические граничные условия по всем трем направлениям.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложенные модели отличаются от существующих следующим. Во-первых, для перколяционной задачи сфер впервые учитывается вероятность возникновения связи между сферами, пропорциональная объему перекрытия их проницаемых оболочек. Во-вторых, для перколяционной задачи эллипсоидов впервые проведено исследование жестких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемыми оболочками. В-третьих, предложенные модели близки к реальным системам, то есть при моделировании не использовалась дискретизация пространства и все элементы распределялись абсолютно случайным образом без добавления каких-либо правил и дополнений. Для предложенных моделей получены следующие результаты:

1. Зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки жестких сфер в случае, когда связь между сферами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек.

2. Зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки жестких вытянутых эллипсоидов.

3. Зависимость порога перколяции от аспектного отношения эллипсоида.

4. Зависимость вероятности возникновения связи между сферами от доли заполнения при различных значения толщины проницаемой оболочки, в случае когда вероятность возникновения связи пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек.

5. Распределение и среднее значение соседей Вс для сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Кроме того, произведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальной перколяционной задачи. Разработан алгоритм заполнения перколяционной системы элементами. Разработана методика нахождения пересечения жестких частей и проницаемых оболочек двух элементов (эллипсоидов).

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что: во-первых, исследованные модели и произведенные расчеты вносят вклад в теорию континуальной перколяции сфер и эллипсоидов; во-вторых, результаты моделирования можно использовать для анализа структуры полимерного нанокомпозита, содержащего дисперсные наночастицы, и прогнозирования его некоторых свойств. Практическая значимость работы обусловлена следующим. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать континуальную перколяцию жестких сфер и вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками, который использовался в данном диссертационном исследовании с получением новых результатов.

Проведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальных перколяционных задач. В работе получена зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки эллипсоида при аспект-ных отношениях к = 1,2. 3,4, 5. В перспективе с помощью данного программного комплекса можно найти значения порога перколяции при больших значешшх аспектного отношения эллипсоида и выявить зависимость значения порога перколяции от аспектного отношения вытянутого эллипсоида.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и иных научных мероприятиях:

• II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г.

• Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование.», г. Дубна, 25-30 января 2010 г.

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2010 г.

• Семинар «Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления», г. Астрахань, 25-29 сентября 2011 г.

• Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012», г. Москва, 10-13 апреля 2012 г.

• IV Международная научная конференция «Моделирование-2012», г. Киев, 16-18 мая 2012 г.

• XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», г. Новороссийск, 27 мая — 3 июня 2012 г.

• VI Международная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»им. Е. В. Воскресенского, г. Саранск, 6-12 июля 2013 г.

• XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», г. Пермь, 2-5 октября 2013 г.

• Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013», г. Пермь, 29-31 октября 2013 г.

Публикации по теме диссертации. Полностью работа доложена и обсуждена на семинарах:

• Семинар при кафедре ММСиП ПГТУ г.Пермь, 24 мая 2013 г.

• Семинар при кафедре МКМК ПГТУ г. Пермь, 8 октября 2013 г.

• Семинар при ИМСС УрО РАН, 9 октября 2013 г.

По теме диссертации опубликовано в соавторстве и самостоятельно 12 работ, в том числе,

• статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций — 3;

• статей в прочих изданиях — 2;

• зарегистрированных программ — 1;

• тезисов докладов — 6.

Личный вклад автора и роль соавторов Автор принимал участие на всех этапах диссертационного исследования, а именно: в разработке методов моделирования и процессе создания математической модели перколяционной системы (совместно с научным руководителем), разработке программного комплекса, получении экспериментальных данных, их обработке и интерпретации, подготовке публикаций. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Связь с научными проектами В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Астраханском государственном университете в рамках проектов РФФИ № 09-01-97007-р_поволжье_а ■«Математическое моделирование фазовых переходов в системе нано-частиц в перколяционном подходе», К2 09-02-90440-Укр_ф_а «Скорели-рованная перколяция в системах с частицами анизотропной формы», № 09-08-00822_а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции» и проекта Министерства образования и науки России № 1.588.2011 «Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро-и наночастиц».

Объем и структура работы Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и одного приложения. Объем диссертации — 168 стр.

Во введении обосновывается актуальность проблемы и научная новизна исследования, формулируются цель и задачи исследования, указываются объекты и методы исследования, объясняется теоретическая

и практическая значимость исследования, выявляется вклад соискателя в диссертационное исследование, аппробация работы, связь с научными проектами.

В первой главе приведен анализ литературного материала по теоретическому исследованию и практическому получению композиционных наноматериалов. Описаны основные определения и методы теории пер-коляции. Рассмотрены континуальные модели перколяции. Изучены работы предшественников, занимающихся изучением континуальной перколяции сфер и эллипсоидов.

Во второй главе представлены алгоритмы и методики, используемые при моделировании перколяционной системы. Описаны методики определения основных характеристик исследуемых моделей: порога перколяции и оценка погрешности, критических показателей, фрактальной размерности перколяционного кластера, среднего числа соседей элемента.

В третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования континуальной перколяции жестких сфер (эллипсоидов с аспект-ным отношением, равным единице) с проницаемыми оболочками. Рассмотрены две модели: в первой модели две сферы принадлежат одному кластеру, если их проницаемые оболочки пересекаются, во второй модели вероятность возникновения связи между сферами пропорциональна объему перекрытия их проницаемых оболочек. Исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, распределение Вс — среднего числа соседей сферы на

пороге перколяции). Выявлена зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки.

В четвертой главе представлены результаты компьютерного моделирования континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, распределение Вс — среднего числа соседей сферы па пороге перколяции). Выявлена зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки при значениях аспектного соотношения к = 2,3,4,5. Выявлена зависимость порога перколяции от аспектного отношения эллипсоида.

В заключении сформулированы выводы и приведены результаты исследования, выносимые на защиту.

Глава

Композиционные наноматериалы. Основные определения и методы теории перколяции. Перколяция сфер и эллипсоидов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками»

1.1. Введение

В двадцать первом веке началась эра новых информационных технологий и технологий новых материалов. Современное производство ориентируется на композиционные материалы, и в первую очередь на композиционные наноматериалы. Новый импульс в создании новых композиционных наноматериалов связан с началом развития нанотехнологии. Нанотехнология как направление, сформировавшееся в науке и технике в последние 15 — 20 лет, изучает объекты, размер которых лежит в диапазоне от 0.1 до 100 нм. Такие объекты называют нанообъекта-ми. Важной составляющей этого направления является конструирование (синтез, получение) наноструктурированных материалов.

1.2. Композиционные наноматериалы

Композиционный материал (композит) — многокомпонентный материал, имеющий границу раздела фаз, одну или несколько непрерывных фаз и обладающий новым сочетанием свойств [24]. Прообразом современных композиционных материалов является железобетон. Компонент, непрерывный по всему объему композиционного материала, называется непрерывной фазой (матрицей). Компонент, прерывистый, разъединенный по объему композиционного материала, называется дисперсной фазой (армирующим элементом). В качестве первого компонента чаще всего выступают металлы, полимеры или керамика. Наполнителем могут быть различные волокна, дисперсные частицы. Композиционные наноматериалы — композиты, структурированные на наноуровне.

По характеру наполнителей, композиционные материалы обычно разделяют на три основные группы: волокнистые, состоящие из волокон одного компонента, распределенного в матрице; дисперсные, состоящие из частиц одного или более компонентов, распределенных в матрице и образующие механическую смесь; слоистые, состоящие из двух или более слоев различных компонентов. Следовательно, наполнителями на-нокомпозитов являются нановолокна, дисперсные наночастицы или нитевидные нанокристаллы.

В зависимости от типа матрицы, нанокомпозиты подразделяют на три основные группы: нанокомпозиты с керамической матрицей (улучшение оптических и электрических свойств), нанокомпозиты с металлической матрицей (усиление прочности и электрической проводимости) и нанокомпозиты с полимерной матрицей (уменьшение веса, увеличение ударопрочности, износостойкости, возникновение электрической прово-

димости). Именно полимерные нанокомпозиты особенно востребованы в последнее время.

Наполнителями в нанокомпозитах выступают наночастицы оксидов различных металлов или самих металлов, фуллерены, углеродные и кремниевые нанотрубки и нановолокна, наночастицы глины и др. Особой популярностью последние годы пользуются фуллерены и углеродные нанотрубки. Молекула фуллерсна Соо представляет собой замкнутую сферу, составленную правильными пятиугольниками и шестиугольниками [27]. Углеродные нанотрубки представляют собой однослойные или многослойные свернутые в трубку графитовые слои и обычно заканчиваются полусферической головкой [28,29]. Фуллерены и углеродные нанотрубки обладают высокой механической прочностью, электропроводностью, магнитными и оптическими свойствами, и широко используются в качестве нанонаполнителей в полимерных нанокомпозитах. Так, например, введение от 0.01 до 3.6% фуллерена увеличивает прочностные и адгезионные характеристики тонких пленок фенольной смолы, бутадиенстирольного сополимера, эпоксидной смолы в 2 — 4 раза [30]. На примере полиуретаномочевинных композиций [31] показано, что даже сверхмалые добавки фуллерена существенно улучшают физико-механические свойства материала. Зависимость величин разрывной прочности, относительного удлинения при разрыве, модуля упругости от содержания фуллерена имеют экстремальный характер. Исследования полимерных нанокомпозитов, содержащих углеродные нанотрубки [32], показали, что даже небольшие добавки углеродных нанотрубук (1 — 2%) увеличивают модуль упругости и разрывную прочность полимера в разы. При этом также увеличивается теплопроводность и электропроводность материала.

Основные структурные параметры наночастиц — форма и размер.

Свойства нанокомпозита зависят от межфазного взаимодействия и строения межфазных областей. Причем, сильное взаимодействие между матрицей и наполнителем обеспечивает высокую прочность материала, а слабое взаимодействие обеспечивает ударную прочность [33].

Рис. 1.1. Слева молекула фуллерена Сбо, справа однослойная УНТ [27,28]

Рис. 1.2. Слева углеродные наноразмерные частицы различной структуры и морфологии, справа расплав олнгоимида, наполненного силикатными нано-частицами с различной морфологией [25]

Важным является вопрос о минимальном содержании дисперсной фазы в материале, которое позволило бы его характеризовать как композиционный. Во-первых, количество наполнителя должно быть достаточным для того, чтобы идентифицировать ее присутствие в материале. Во-вторых, добавление наполнителя в материал должно улучшать какие-либо физические или механические свойства композита.

Существуют различные способы получения композитов. Одним из

основных являстся смешение материала и наполнителя. При смешении необходимо учитывать следующие параметры: размер и форму дисперсных частиц, распределение частиц по размерам, способы упаковки. Кроме того, для эффективной модификации свойств полимерных наноком-позитов необходимо удовлетворить ряду требований к таким системам: (1) наночастицы должны иметь узкое распределение по размерам; (2) характерные линейные размеры наночастиц и полимерных макромолекул должны быть одного порядка величины; (3) взаимодействие между наночастицами и полимерными макромолекулами должно быть «опти-мальным»для эффективного диспергирования наночастиц [26].

Рассмотрим ряд исследований по получению, изучению структуры и свойств нанокомпозитов. В работе [33] синтезировали полимерные ме-таллосодержащие нанокомпозиты совместным осаждением паров металла и (или) полупроводника и активного парациклофана с последующей его полимеризацией. После некоторого химического процесса образуется полипкеилилен, содержащий неорганические наночастицы или кластеры размером от 1 до 20 нм. Выяснилось, что свойства нанокомпозитов, полученных таким способом, значительно зависят от концентрации на-нонаполнителя. При низком содержании металла наночастицы не взаимодействуют между собой, в этом случае электросопротивление максимально. Если увеличить концентрацию настолько, чтобы возникла пер-коляция (обмен зарядами между частицами), сопротивление материала значительно снижается.

Исследованы металломатричные композиты (алюминий и медь), упрочненные высокотвердыми нанопорошками БЮ, В4С, ВИ и синтетического алмаза [34]. Нанокомпозиты изготовлены методом механического легирования и способами статистического прессования и динамического компактирования. Для прогнозирования свойств композита пред-

ложен математический анализ. Установлено, что поведение композитов, усиленных наночастицами, в значительной мере определяется прослойкой между матрицей и частицами, толщина которой обычно составляет от 2 до 10 атомных слоев. Нанопорошки, используемые для упрочнения, являются сферическими, что позволяет использовать производные выражения для оценки упругости и проводимости композита.

В работе [35] предложена кластерная модель аморфного состояния полимеров. Структура указанного состояния представляет собой локальные области нанонаполнителя (кластеры), погруженные в рыхло-упакованную матрицу. Определена фрактальная размерность системы

= 2.36 - 2.73 в интервале 293 - 413 К.

Для прогнозирования предельных характеристик (степени усиления, наполнения и пластичности) нанокомпозита полимер/органоглина была предложена модифицированная перколяционная модель [36]. В рамках модели получено уравнение для расчета степени усиления нанокомпо-зитов [37]

|^ = 1 + 11(^п + ^т/)1-7, (1.1)

где Еп и Ет — модули упругости нанокомпозита и матричного полимера, 1рп и — относительные объемные доли нанонаполнителя и межфазных областей.

Поскольку сумма (</?п + ц>т/) не может быть больше единицы, то максимальное значение усиления равно 12. Авторами данной работы предложен вариант расчета степени усиления для нанокомпозитов полимер/органоглина = 1 + 11(1.955<£>п6)1,7 для интеркалированной органоглины и ^ = 1 + 11(2.910(^п6)17 для эсфолированной, где Ь — параметр, характеризующий уровень адгезии.

Выявлено влияние степени диспергирования и уровня межфазной

адгезии на степень усиления нанокомпозитов полимер/органоглина [38]. Получена зависимость степени усиления нанокомпозитов полимер/органоглина от уровня межфазной адгезии

^г- = 1 + 0.661/2. (1.2)

Данная зависимость дает четкое представление о влиянии уровня межфазного взаимодействия на степень усиления. Так, при Ь < 0 (адгезии нет) модуль упругости нанокомпозита ниже модуля упругости матричного полимера. При 6=1 (совершенная адгезия) позволяет получить величину Еп/Ет ~ 1.56. А реализация эффекта наноадгезии (Ь = 6.07 — 12.8) позволяет получить величины Еп/Ет в интервале 2.40 -3.05.

Была рассмотрена термодинамическая модель эффекта наноадгезии для полимерных нанокомпозитов в работе [39]. Были рассмотрены на-нокомпозиты на основе термостойкого ароматического полиамида фенил он С-2. В качестве нанонаполнителя были использованы ультрадисперсные частицы аэросила, оксинитрида кремний-иттрия и /3-сиалона, содержание которых составляло 0.5%. Было установлено, что сильное влияние на уровень межфазной адгезии оказывает агрегация частиц нанонаполнителя.

Исследована электропроводность полипропиленовых волокон с дисперсными углеродными наполнителями [40]. Целью авторов было связать форму частиц наполнителя с электропроводностью композита. Были получены композиты, где в роли матрицы выступает полипропилен, а наполнителями — углеродные наночастицьг четырех типов: технического углерода, графитизированных углеродных нановолокон, одностенных углеродных нанотрубок и многостснных углеродных нанотрубок. Для всех типов измерена электропроводность в зависимости от концентра-

ции наполнителя и определены пороги перколяции. Выявлена зависимость проводимости композита от температуры. Переход диэлектрик-металл соответствует перколяционному переходу при концентрации наполнителя, равной порогу перколяции. Зависимость электрической проводимости композита от концентрации углеродного наполнителя заметно различается для концентраций наполнителя ниже и выше порога перколяции. Выявлено, что на пороге перколяции проводимость резко увеличивается, а далее (выше пороге перколяции) возрастание проводимости уже незначительное. Авторы работы [40] пришли к следующим выводам: для достижения максимально возможных значений проводимости композиционного волокна необходимо учитывать не только значения осевых отношений проводящих наночастиц, но и характер их диспергирования в полимерной матрице. Кроме того, наночастицы в распределенном состоянии должны сохранять форму, близкую к прямолинейной.

Исследован механизм усиления полимерных нанокомпозитов (на основе фенилона), наполненных углеродными нанотрубками [41]. В качестве полимерного связующего нанокомпозитов использован линейный гетероцепной сополимер фенилон С-2. Углеродные нанотрубки представляют собой одномерные наноразмерные нитевидные образования поликристаллического графита. Приготовление композиций осуществлялось методом сухого смешивания в аппарате с электромагнитным полем. Степень усиления нанокомпозита оценивалась так же, как и в работе [36]. Основным выводом данного исследования можно считать то, что определяющим фактором усиления композитов являются межфазные явления.

Прогнозирование степени усиления полимерного нанокомпозита, содержащего углеродные нанотрубки, было произведено в работе [42]. В

качестве матричного полимера использован полипропилен, наполнителя — углеродные нанотрубки и нановолокпа. Степень усиления расчитывалась как и в работе [41]. Авторы оценили эффективность использования нанонаполнителя без учета его агрегации для усиления полимеров. Наиболее эффективна оказалась органоглина, менее — дисперсные наночастицы, еще меньше — углеродные нанотрубки (нановолокна). Авторы получили обобщенное уравнение, предсказывающее степень усиления полимерных нанокомпозитов с неагрегированным наполнителем. Авторы сделали основной вывод: повышение степени анизотропии частиц снижает его роль в усилении матричного полимера.

Исследованы пленки композиций полистирола, содержащие молекулы фуллсрена Сео [43]. Введение фуллерена увеличивает плотность молекулярной упаковки цепей полистирола и оказывает влияние на транспорт малых молекул через полимерные пленки. Процесс диффузии молекул газа через такие пленки осуществляется медленнее, а газоразделительные свойства композита выше.

Было выявлено влияние углеродных нанотрубок на электропроводность эпоксидной матрицы в работе [44]. Предполагается, что углеродные нанотрубки в полимере образуют замкнутый пространственный каркас, что и придает электропроводящие свойства полимеру. Процент внесения углеродных нанотрубок в полимер составил от 0.5 до 6%.

Была выявлена зависимость электропроводности и теплопроводности от концентрации углеродных нанотрубок в поливинилхлориде [45]. Было выявлено, что электропроводность стремительно возрастает вблизи критической концентрации около порога перколяции (ipc = 0.00047).

Как говорилось в введении, для моделирования структуры композиционных наноматериалов успешно используется теория перколяции. Рассмотрим основные определения теории перколяции подробнее.

1.3. Основные понятия теории перколяции

Перколяция (percolation — англ.) — протекание. Можно встретить другие варианты перевода — просачивание, фильтрация. Такое название возникло вследствие того, что первые работы в этом направлении был посвящены процессам протекания жидкостей или газов через пористую среду. Явление перколяции ставят в противоположность явлению диффузии. То есть, если диффузии соответствует движение неупорядоченных частиц в регулярной среде, то в теории перколяции мы имеем дело с регулярным движением частиц в неупорядоченной среде.

Теория перколяции впервые появляется в работах Флори (1941) и Стокмайера (1943), в которых рассматривались процессы образования гелей при полимеризации [40-53]. А началом теории перколяции считают работу Броадбента и Хаммерсли [54], опубликованную в 1957 году, в которой авторы ввели название «теория перколяции» и рассмотрели это явление с математической точки зрения. Перколяция имеет широкую область применения [3,4,17,18,55].

Теория перколяции изучает образование связанных объектов — кластеров. Кластеры могут быть разных размеров. Если кластер проходит по всей среде, то есть соединяет начало и конец системы, то его называют перколяционным. Будучи по своей природе связным случайным графом, в зависимости от конкретной реализации перколяционный кластер может иметь различную форму. По наличию перколяционного кластера в системе можно говорить о наличии процесса перколяции, будь то протекание жидкости в пористой среде или же возникновение проводимости в полупроводниках под внешним воздействием. Порогом перколяции называется минимальная концентрация заполняющего материала,

при которой имеет место протекание от одной стенки системы к другой. Кроме определения порога перколяции, производят расчет и других характеристик системы: распределение кластеров по размерам, средний размер кластера, мощность и фрактальную размерность перколяцион-ного кластера и другие. Приведены формулы для характеристик [3,18]: (N3) — среднее число кластеров размеров в, N — полное число ячеек. Распределение кластеров по размерам

п3(р) = (1-3)

Вероятность того, что случайно выбранный занятый узел (в нашем исследовании сфера или эллипсоид) принадлежит кластеру размера в

гия =

Т<а8П*(р)

Средний размер кластера

(1.4)

5 = (1.5)

в

Вероятность того, что выбранный случайным образом узел (в нашем исследовании сфера или эллипсоид) принадлежит перколяционному кластеру (мощность перколяционного кластера)

р~(р) = (1-е)

где N00 — это количество сфер (эллипсоидов), принадлежащих перколяционному кластеру, V — объем сферы (эллипсоида), Ь —линейный размер рассматриваемого куба.

Перколяционный переход является геометрическим фазовым переходом [3]. Порог перколяции разделяет две фазы. В первой фазе существуют только кластеры конечного размера и перколяционного кластера нет, в другой фазе существует один бесконечный кластер и кластеры

малых размеров. Важную роль в перколяции играет концентрация занятых узлов. Многие важные характеристики кластера описаны вблизи порога перколяции показательной функцией с различными критическими показателями

^оо(р)ос(р-рсЛ (1-7)

йр) к \р - Рс\~и, (1.8)

5Ыос|р-рс|-^. (1.9)

Показатели /3, 7, и являются универсальными, т.е. не зависящим от типа перколяции. Они зависят только от размерности пространства и связаны между собой следующим соотношением

2/3 + 7 = ис1,

где с? — размерность пространства. Это соотношение следует из масштабной инвариантности или скейлинга — неизменности уравнений при изменении всех расстояний в одинаковое число раз. Значения данных критических показателей известны и приведены в различных работах [3,18].

В решеточных моделях изучается перколяция на различных решетках, а в континуальных — в непрерывных системах. Исследуются следующие модели: задача узлов (случай, когда два узла принадлежат одному кластеру, если они находятся рядом), задача связей (случай, когда одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей) и смешанная задача, в которой учитывается как наличие узлов так и наличие связей между ними.

В континуальной перколяции рассматриваются задачи жестких и пересекающихся сфер или эллипсоидов, положения которых в пространстве не ограничены жесткими рамками периодической решетки [18].

Существует еще группа задач, которые занимают промежуточное место между решеточными и континуальными. Это задачи псрколяции на решетке неточечных объектов. Например, в работе [56] исследована перколяция «иголок» длиной 2 на простой кубической решетке.

При решении псрколяционных задач можно использовать два вида граничных условий: открытые граничные условия (к каждому граничному слою добавляются нулевые слои и, таким образом, все объекты становятся эквивалентными) и периодические граничные условия (каждый объект размещается в системе с периодом, равным линейному размеру системы, по всем направлениям). Кроме открытых и периодических граничных условий, можно использовать смешанные граничные условия. То есть по одному направлению открытые границы, по другому периодические. Границы оказывают значительное влияние на размещение объектов (на граничных участках заполнение происходит неравномерно), поиск кластеров и идентификацию перколяционного кластера (кластеры могут быть разрезаны границами).

1.4. Континуальные модели теории перколяции

Понятно, что решеточные модели удобны для изучения, но, к сожалению, большинство неупорядоченных сред не имеют решеточной структуры, и требуется другой подход в изучении протекающих процессов в неупорядоченных средах. Континуальная перколяция имеет три наиболее популярные формулировки: модель пустот или модель швейцарского сыра, проблема сфер или обратная модель швейцарского сыра, модель потенциалов. Суть модели швейцарского сыра в том, что сфери-

ч

i

Рис. 1.3. Модель пустот или модель швейцарского сыра

ческис пустоты (могут быть как одинакового размера, так и с некоторым распределением размеров) случайным образом помещаются внутрь проводящей среды. Сферические пустоты могут перекрывать друг друга. При критической доле объема таких пустот возникает кластер, соединяющий эти пустоты и, таким образом, среда становится непроводящей [18]. Данные модели широко используются для описания транспорта в пористых средах.

В обратной модели швейцарского сыра (проблеме сфер) рассмотрены проводящие сферы, находящиеся в непроводящей среде. Аналогично первой модели, при критическом доле объема таких сфер возникает проводящий кластер. Модель была использована для описания прыжковой проводимости в допированных полупроводниках [17] и фазовых переходов в ферромагнетиках [57].

В книге [3] приведены расчеты, применимые для обеих моделей швейцарского сыра. Вводится функция распределения сфер /(сг) (f(a)da — это распределение «хороших» сфер с проводимостью между а и а + da ). Ситуация становится интересной, когда распределение f(a)da становится очень широким, например: f{a)da ос a~w, где

О ^ а ^ сгтах. Такое распределение возникает в континуальных моделях проводимости или же протекании жидкости в пористой среде. Если ввести значение ширины взаимодействия сфер 5, то справедливо следующее:

а ос 5У+1,

где у зависит от характера проводимости (электричества или вязкой жидкости) и формы связи.

Модель потенциалов была введена для описания локализации квазиклассических электронов, где рассматривается гладкая функция ф(х)~ потенциал, создаваемый примесями, и h — энергия электронов. Изучается геометрия области ip(x) ^ h = const [18].

Актуальной проблемой континуальной перколяции является задача перколяции эллипсоидов в пространстве. Решение этой задачи необходимо для исследования структуры полимерных композиционных на-номатериалов, состоящих из дисперсных наночастиц. Кроме того, данная перколяционная задача может служить моделью фазового перехода золь-гель.

1.5. Перколяция сфер

Сфера — это эллипсоид с аспектным отношением равным единице, который обладает весьма интересными свойствами и привлекает внимание исследователей.

Существует множество работ по исследованию перколяции сфер [5865,67,70]. В работах [58,61] исследуется перколяция адгезивных (адгезия — слипание твердых или жидких тел на молекулярном уровне) жестких сфер. В работе [61] порог перколяции оценивается через кон-

такт между двумя сферами как возникновение прочных связей между ними (слипания). В работе [59] исследована смешанная перколяция жестких сфер. В работе [60] показано влияние полидисперсностр! (полидисперсность возникает в дисперсной среде, состоящей из двух и более фаз с неодинаковыми по размеру частицами) на критические параметры модели смеси асимметричных жестких сфер. Перколяция свободно пересекающихся случайно размещенных сфер была исследована в работе [62], определены критические показатели для данной модели. Исследована континуальная перколяция перекрывающихся сфер и определены критические показатели в работе [63], порог перколяции в данной работе равен 0.2895 ± 0.0005. Изучена электрическая проводимость модели жестко связанных твердых сфер в горячих жидких металлах в работе [64].

Рассмотрим более подробно работы, которые близки к нашему исследованию. В 1988 году авторы работы [65] создали алгоритм для получения функции связности пары сфер для континуальной перколяционной модели. Были рассмотрены жесткие сферы с проницаемыми оболочками и полностью проницаемые сферы в двумерной и трехмерной системах. Сферы (диски) распределялись случайно в кубе (квадрате). Если какая-либо сфера пересекалась с ранее распределенной сферой, то ее двигали на малое расстояние до тех пор, пока ненужное пересечение не исчезало. Генерация положения сфер происходила с помощью алгоритма Метрополиса [66]. При моделировании использовались периодические граничные условия. Для размерности задачи И = 3 система состояла из 64,125, 216, 512 сфер, для Б = 2 соответственно 100, 225,400, 625. Кроме получения функции связности пары сфер, авторы выявили зависимость среднего размера кластера от этой самой функции.

Была рассмотрена перколяционная задача связей сфер [67], которая

описывает фазовый переход золь-гель. В качестве модели выступает система жестких сфер с проницаемыми оболочками, для которых в, — диаметр жесткой сферы и 1 + е) — общий диаметр. Сферы с диаметром (1 — 1 регулярно распределяются в куб с линейным размером Ь = 40 следующим образом: случайно выбранную сферу двигают в случайном направлении на расстояние и. Если вновь полученная сфера пересекается с какой-либо из ранее размещенных сфер, то ее перемещают, пока не будет достигнуто касание между ними. При моделировании используются открытые граничные условия. Авторы приводят следующие определения: доля упаковки ф = П7га!3/6, общая доля упаковки фг = ф( 1 + е)3. В работе рассмотрена эффективная доля упаковки, которая должна удовлетворять условию ^ фе > ф для е > 0.

Было предложено следующее отношение между вероятностью существования связи ръ и долей упаковки ф на пороге перколяции связей [68]

где рьс — критическая вероятность возникновения связи для ф = 1, фс — критическая доля упаковки для рь = 1.

Для подсчета фе авторы использовали соотношение между и фе, взятое из работы [69]

фе{х,фь) = 1 - (1 -хф^ехр[-(1 -х)фг]х

(4 + 9ж1/3 - 18ж2/3 + 5х)хфъ + 2(1 - х)х2ф1]}, (1.10) где х = (1 + фь = ф( 1 + е)3.

Авторы определили порог перколяции для доли упаковки ф с максимальным значением 0.5 для различных значений е от 0.02 до 0.9 и

1 оёФ \ogPb \оёфс \ogpbc

выявили зависимость фес от е. В 2008 году вышла работа [70], в которой 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30

0.01 0.1 1

Е

Рис. 1.4. Зависимость фес от е [67]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бузмакова, Мария Михайловна, 2013 год

Литература

1. Кулак, M. И. Фрактальная механика материалов / М. И. Кулак. — Минск: Вышэйшая школа, 2002. — 304 с.

2. Шевченко, В. Г. Основы физики полимерных композиционных материалов / В. Г. Шевченко. - М.: МГУ, 2010. - 98 с.

3. Stauffer, D. Introduction to Percolation Theory / D. Stauffer, A. Aharony. — London: Taylor & Francis, 1992. — 181 p.

4. Sahimi, M. Application of Percolation Theory / M. Sahimi. — London: Taylor & Francis, 1994. — 258 p.

5. Pike, G. E. Percolation and conductivity: A computer study. I / G. E. Pike, С. H. Seager // Physical Review B. — 1974. — Vol. 10. — P. 1421-1434.

6. Pike, G. E. Percolation and conductivity: A computer study. II / G. E. Pike, С. H. Seager // Physical Review B. — 1974. — Vol. 10. — P. 1435-1446.

7. Zhang, G. A Percolation Model of Thermal Conductivity for Filled Polymer Composites / G. Zhang, Y. Xia, H. Wang, Y. Tao, G. Tao, S. Tu, H. Wu ¡I Journal of Composite Materials. — 2010. — Vol. 44. — P. 963-970.

8. Zelinka, S. L. A Percolation Model For Electrical Conduction In Wood With Implications For Wood—Water Relations / S. L. Zelinka,

S. V. Glass, D. S. Stone // Wood and Fiber Science. — 2008. — Vol. 40. — P. 544-552.

9. Fiske, T. J. Percolation in magnetic composites / T. J. Fiske, H. S. Gokturk, D. M. Kaluon // Journal of materials science. — 1997. — Vol. 32. — P. 5551-5560.

10. Bergqvist, L. Magnetic Percolation in Diluted Magnetic Semiconductors / L. Bergqvist, O. Eriksson, J. Kudrnovsky, V. Drchal, P. Ko-rzhavyi, I. Turek // Physical Review Letters. — 2004. — Vol. 93. — P. 137202(4).

11. Phillips, J. S Critical transport properties of random metals in large magnetic fields / J. S. Phillips // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 1997. — Vol. 94. — P. 10532-10535.

12. Kenji, O. Fluctuations in chemical gelation / O. Kenji, M. Sato, M. Kohmoto I/ Physical Review E. — 2007. — Vol. 75. — P. 041402(6).

13. Gado, E. Slow dynamics in gelation phenomena: From chemical gels to colloidal glasses / E. Gado, A. Fierro, L. Arcangelis, A. Coniglio II Physical Review E. — 2004. — Vol. 69. — P. 051103(9).

14. Jespersen, S. Cluster diffusion at the gelation point / S. Jespersen // Physical Review E. — 2002. — Vol. 66. — P. 031502(5).

15. Plischke, M. Viscoelasticity near the gel point: A molecular dynamics study / M. Plischke, D. Vernon // Physical Review E. — 2001. — Vol. 64. — P. 031505(5).

16. Plischke, M. Model for gelation with explicit solvent effects: Structure and dynamics / M. Plischke, D. Vernon // Physical Review E. — 2003. — Vol. 67. — P. 011401(6).

17. Шкловский, Б. И. Электронные свойства легированных полупроводников / Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос. — М.: Наука, 1979. — 416 с.

18. Тарасевич, Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы / Ю. Ю. Тарасевич. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 112 с.

19. Сенюшкин, Н. С. Применение композиционных материалов в конструкции БПЛА / Н. С. Сенюшкин, Р. Р. Ямалиев, Л. Р. Ялчибаев // Молодой ученый. - 2011. - Т. 1, № 4. - С. 59-61.

20. Браутман, Л. Н. Применение композиционных материалов в технике Том 3 / Л. Н. Браутман. — М.: Машиностроение, 1978. — 511 с.

21. Hoshen, J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm / J. Hoshen, R. Kopelman // Physical Review B. — 1976. — Vol. 14, № 8. — P. 3438-3445.

22. Malsumoto, M. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidis-tributed uniform pseudorandom number generator / M. Matsumoto II ACM Trans, on Modeling and Computer Simulations. — 1998. — Vol. 8. — P. 3-30.

23. Rubin, F. The Lee path connection algorithm / F. Rubin // IEEE Transactions on Computers. — 1974. — Vol. 23. — P. 907-914.

24. Васильев, В. В. Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев. — М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

25. Юдин,В. Е. Методы контроля равномерности диспергирования на-ночастиц в полимерной матрице и свойств полимерных композитов

/ В. Е. Юдин // Наносертифика, Институт высокомолекулярных технологий РАН.

26. Озерин, А. Н. Полимерные нанокомпозиты. Инженерная конструкция или структурированная коллоидная система? / А. Н. Озерин II Наука и техника: Нанотехнологии [Электронный журнал]. — 2011.

27. Елецкий, А. В. Фуллерены и углеродные структуры / А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов II Успехи физических наук. — 1995. — Т. 165, № 9. - С. 977-1009.

28. Елецкий, А. В. Углеродные нанотрубки / А. В. Елецкий 11 Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167, № 9. — С. 945-972.

29. Дьячков, П. Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения / П. Н. Дьячков. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 293 с.

30. Алдошин, С. М. Полимерные нанокомпозиты — новое поколение полимерных материалов с повышенными эксплуатационными характеристиками / С. М. Алдошин, Э. Р. Бадамшииа, Е. Н. Каб-лов // Сб. трудов. Междунар. форума по нанотехнологиям «Rusnanotech 08». М. : РОСНАНО. — 2008. — Т. 1. — С. 385-386.

31. Atovmyan, Е. G. Polyfunctional Cross-Linking Agents on the Fullerene C60 Base for Polyurethane Nanocomposites / E. G. Atovmyan, E. R. Badamshina, Ya. I. Estrin, M. P. Gafurova, А. А. Grischuk, Yu. A. Olkhov II European Polymer Congress 2005, Moscow. Ab-stacts, 2005. — P. 56.

32. Coleman, J. N. Small but Strong: A Review of the Mechanical Properties of Carbon Nanotube-Polymer Composites / J. N. Coleman, U. Khan, W. J. Blau, Y. K. Gun'ko // Carbon. — 2006. — Vol. 44, № 9. — P. 1624-1652.

33. Чвалвун, С. H. Полимерные нанокомпозиты / С. Н. Чвалвуп // Природа. [Электронный эюурнал]. — 2000. — Т. 7.

34. Гулъбин, В. Металломатричные композиты, упрочненные высокотвердыми нанопорошками / В. Гулъбин, В. Попов, И. Севостьянов // Наноиндустрия: Промышленные нанотехнологии. — 2007. — Т. 1. - С. 16-19.

35. Вашоров, М. Т. Формирование структуры естественных наноком-позитов: фрактальная модель / М. Т. Башоров, Г. В. Козлов, А. К. Микитаев // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. - Т. 16, № 3. - С. 502-503.

36. Джангуразов, Б. Прогнозирование предельных характеристик на-нокомпозитов полимер/органоглина / Б. Джангуразов, Г. Козлов, А. Микитаев // Наноиндустрия: Наноматериалы. — 2009. — Т. 5. - С. 26-28.

37. Mikitaev, А. К Polymer Nanocomposites: Variety of Structural Forms and Application / А. К. Mikitaev, G. V. Kozlov, G. E. Zaikov. — New York: Nova Science Publisher, Inc., 2008. — 319 p.

38. Джангуразов, Б. Ж. Влияние степени диспергирования и уровня межфазной адгезии на степень усиления нанокомпозитов полимер/органоглина / Б. Ж. Дэ/сангуразов, Г. В. Козлов, Е. Н. Овча-ренко, А. К. Микитаев // Конденсированные среды и межфазные границы. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 255-259.

39. Козлов, Г. В. Термодинамическая модель эффекта наноадгезии для полимерных нанокомпозитов / Г. В. Козлов, 3. X. Афашагова, Г. Е. Заиков // Вестник МИТХТ: Синтез и переработка полимеров и композитов на их основе. — 2009. — Т. 4, № 3. — С. 89-91.

40. Москалюк, О. А. Электропроводность полипропиленовых волокон с дисперсными углеродными наполнителями / O.A. Москалюк, А. Н. Алешин, Е. С. Цобкалло, А. В. Крестинин, В. Е. Юдин // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54, № 10. - С. 1993-1998.

41. Козлов, Г. В. Механизм усиления полимерных нанокомпозитов, наполненных углеродными нанотрубками / Г. В. Козлов, А. И. Буря, академик HAH Украины Ю. С. Липатов // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. — 2008. — № 1. — C. 132-136.

42. Жирикова, 3. Нанокомпозит — полимер/углеродные ианотрубки: прогнозирование степени усиления / 3. Жирикова, Г. Козлов, Е. Алоев // Напоиндустрия: Наноматериалы. — 2012. — Т. 33, № 3. - С. 38-41.

43. Гладченко, С. В. Исследование твердофазных композиций полистирол-фуллерен / С. В. Гладченко, Г. А. Полоцкая, А. В. Грибанов, В. Н. Згонник // Журнал техгшческой физики. — 2002. — Т. 72, № 1. - С. 105-109.

44. Блохин, А. Н. Влияние углеродных нанотрубок на электропроводность эпоксидной матрицы / А. Н. Блохин// Вопросы современной науки и практики. — 2012. — Т. 41, № 3. — С. 384-386.

45. Marnunya, Ye. Electrical and thcrmophysical behaviour of PVC-MWCNT nanocomposites / Ye. Mamunya, A. Boudenne, N. Lebovka,

L. Ibos, Y. Candau, M. Lsunova // Composites science and technology. — 2008. — . 68. — . 1981-1988.

46. Flory, P. J. Molecular size distribution in three dimensional polymers.

I. Gelation / P. J. Flory // J. Am. Chern. Soc. — 1941. — Vol. 63. — P. 3083-3090.

47. Flory, P. J. Molecular size distribution in three dimensional polymers.

II. Trifunctional branching units / P. J. Flory // J. Am. Chem. Soc. — 1941. — Vol. 63. — P. 3091-3096.

48. Flory, P. J. Molecular size distribution in three dimensional polymers.

III. Tetrafunctional branching units / P. J. Flory // J. Am. Chem. Soc. — 1941. — Vol. 63. — P. 3096-3100.

49. Flory, P. J. Molecular size distribution in three dimensional polymers.

V.Post-gclation relationships / P. J. Flory // J. Am. Chem. Soc. — 1947. — Vol. 69. — P. 30-35.

50. Flory, P. J. Molecular size distribution in three-dimensional polymers.

VI. Branched polymer containing A-R-Bf— 1—type units / P. J. Flory // J. Am. Chem. Soc. — 1952. — Vol. 74. — P. 2718-2723.

51. Flory, P. J. Principles of polymer chemistry / P. J. Flory. — New York: Cornell University Press, 1953. — 672 p.

52. Stockmayer, W. H. Theory of molecular size distribution and gel formation in branched-chain polymers / W. H. Stockmayer // J.Chem.Phys. — 1943. — Vol. 11. — P. 45-55.

53. Stockmayer, W. H. Theory of molecular size distribution and gel formation in branched polymers. II.General cross-linking / W. H. Stockmayer ¡I J.Chem.Phys. — 1944. — Vol. 12. — P. 125-131.

54. Broadbent, S. К. Percolation processes I. Crystals and mazes / S. K. Broadbent, J. M. Hammersley // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1957. — Vol. 53. — P. 629-641.

55. Займан, Д. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем / Д. Займан. — М.: Мир, 1982. — 591 с.

56. Черкасова, В. А. Ориентированная перколяция димсров на простой кубической решетке / В. А. Черкасова, Ю. Ю. Тарасевич // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 8. — С. 100-107.

57. Abrikosov, A. A. Spin glasses with short range interaction / A. A. Abrikosov // Adv. Phys. — 1980. — Vol. 29, № 6. — P. 869-946.

58. Miller, M. A. Competition of Percolation and Phase Separation in a Fluid of Adhesive Hard Spheres / M. A. Miller, D. Frenkel // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 90, № 13. — P. 135702(4).

59. Louis, A. A. Fluid-Solid Phase Separation in Hard-Sphere Mixtures is Unrelated to Bond Percolation / A. A. Louis // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 84, № 8. — P. 1840(1).

60. Largo, J. Influence of polydispersity on the critical parameters of an effective-potential model for asymmetric hard-sphere mixtures / J. Largo, N. B. Wilding // Physical Review E. — 2006. — Vol. 73. — P. 036115(10).

61. Kaneko, T. Percolation in fluid mixtures containing adhesive charged hard spheres / T. Kaneko // Physical Review E. — 1996. — Vol. 53, № 6. — P. 6134(10).

62. Elam, W. T. Critical properties of the void percolation problem for spheres / W. T. Elam, A. R. Kerstein, J. J. Rehr // Physical Review Letters. — 1984. — Vol. 52, № 17. — P. 1516(4).

63. Rintoul, M. D. Precise determination of the critical threshold and exponents in a three-dimensional continuum percolation model / M. D. Rintoul, S. Torquato //J. Phys. A: Math. Gen.. — 1997. — Vol. 30. — P. L585-L592.

64. Tarazona, P. Electrical conductivity of a tight-binding hard-sphere model for hot fluid metals / P. Tarazona, E. Chacn, J. A. Vergs, M. Reinaldo-Falagn, E. Velasco, J. P. Hernandez // Physical Review B. — 2005. — Vol. 71. — P. 024203(5).

65. Lee, S. Pair connectedness and mean cluster size for continuum-percolation models: Computer-simulation results / S. Lee, S. Torquato II J. Chem. Phys. — 1988. — Vol. 89, № 10. — P. 6427-6433.

66. Metropolis, N. Equation of state calculations by fast computing machines / N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A.H. Teller, E. Teller // J. Chem. Phys. — 1953. — Vol. 21, № 6. — P. 1087-1093.

67. Rottereau, M. 3d Monte Carlo simulation of site-bond continuum percolation of spheres / M. Rottereau, J. C. Gimel, T. Nicolai, D. Durand II Physical Review E. — 2003. — Vol. 11. — P. 61-64.

68. Yanuka, M. Englman R. Bond-site percolation: empirical representation of critical probabilities / M. Yanuka, R. Englman // J.Phys.A. — 1990. — Vol. 23. — P. L339-L345.

69. Rikvold, P. A. Porosity and Specific Surface for Interpenetrablc-Sphere Models of Two-Phase Random Media ¡P.A. Rikvold, G. Stell // J.Chem. Phys. — 1985. — Vol. 82. — P. 1014.

70. Johner, N. Transport exponent in a three-dimensional continuum tunneling-percolation model / N. Johner, C. Grimaldi, I. Balberg, P. Ryser // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77, № 17. — P. 174204(11).

71. Lorenz, C. D. Precise determination of the critical percolation threshold for the three-dimensional "Swiss cheese" model using a growth algorithm / C. D. Lorenz, R. M. Ziff // J.Chem.Phys. — 2001. — Vol. 114. — P. 3659-3661.

72. Garboczi, E. J. Geometrical percolation threshold of overlapping ellipsoids / E. J. Garboczi, K. A. Snyder, J. F. Douglas, M. F. Thorpe // Physical Review E. — 1995. — Vol. 52, № 1. — P. 819-828.

73. Scher, H. Critical density in percolation processes / H. Scher, R. Zallen // J.Chem.Phys. — 1970. — Vol. 53. — P. 3759.

74. Yi, Y. B. Conductivity in Particulate Arrays: 2D-3D Transitions in Percolation, and Design of Thin Electrodes / Y. B. Yi, A. M. Sas-try // The Electrochemical Society, Inc. — 2003. — Abs. 200, 204th Meeting.

75. Yi, Y. B. Analytical approximation of the percolation threshold for overlapping ellipsoids of revolution / Y. B. Yi, A. M. Sastry // Proc. R. Soc. Lond. A. — 2004. — Vol. 460. — P. 2353-2380.

76. Yi, Y. B. Void percolation and conduction of overlapping ellipsoids / Y. B. Yi// Physical Review E. — 2006. — Vol. 74. — P. 031112(6).

77. Yi, Y. В. Two-Dimensional vs. Three-Dimensional Clustering and Percolation in Fields of Overlapping Ellipsoids / Y. B. Yi, C. W. Wang, A. M. Sastry // Journal of The Electrochemical Society. — 2004. — Vol. 151, № 8. — P. A1292-A1300.

78. Akagawa, S. Geometrical percolation of hard-core ellipsoids of revolution in the continuum / S. Akagawa, T. Odagaki // Physical Review E. — 2007. — Vol. 76, № 8. — P. 051402(5).

79. Soppe, W. Computer simulation of random packing of hard spheres / W. Soppe // Powder Technol. — 1990. — Vol. 62. — P. 189-197.

80. Ambrosetti, G. Percolative properties of hard oblate ellipsoids of revolution with a soft shell / G. Ambrosetti, N. Johner, C. Grimaldi, A. Danani, P. Ryser // Physical Review E. — 2008. — Vol. 78. — P. 061126(11).

81. Lee, M. Complementary algorithms for graphs and percolation / M. Lee I/ Physical Review E. — 2007. — Vol. 76, № 2. — P. 027702(4).

82. Balberg, I. Invariant properties of the percolation thresholds in the soft-core - hard-core transition / I. Balberg, N. Binenbaum // Physical Review A. — 1987. — Vol. 35, № 12. — P. 5174(4).

83. Эфрос, A. JI. Физика и геометрия беспорядка / Библиотека «Квант», выпуск 19. / А. Л. Эфрос. — М.: Наука, 1982. — 265 с.

84. Zhydkov, V. 3D continuum percolation approach and its application to lava-like fuel-containing materials behavior forecast / V. Zhydkov // Condensed Matter Physics. — 2009. — Vol. 12, № 2. — P. 193-203.

85. Тейлор, Д. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ. / Д. Тейлор. — М.: Мир, 1985. - 272 с.

86. ван дер Варден, Б. Л. Математическая статистика. Пер. с нем. / Б. Л. ван дер Варден. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. - 436 с.

87. Герасимович, А. И. Математическая статистика / А. И. Герасимович, Я. И. Матвеева. — Минск: Высшая школа, 1978. — 200 с.

88. Гринчук, П. С. Экстремум поверхности перколяционного кластера / П. С. Гринчук, О. С. Рабинович // Журнал технической и экспериментальной физики. — 2003. — Vol. 123, № 2. — Р. 341-350.

89. Blavatska, V. Multifractality of Self-Avoiding Walks on Percolation Clusters / V. Blavatska, J. Wolfhard // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101. — P. 125701(4).

90. Золотухин, И. В. Твердотельные фрактальные структуры / И. В. Золотухин, Ю.Е. Калинин, В. И. Логинова // Международный научный журнал <«Альтернативная энергетика и экология». - 2005. - Т. 9, № 29. - С. 56-66.

91. Москалев, П. В. Анализ структуры перколяционного кластера / П. В. Москалев // Журнал технической физики. — 2009. — Т. 79, № 6. - С. 1-7.

92. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман — М.: ИЛ, 1960. - 400 с.

93. Соколов, И. М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания / И. М. Соколов // Успехи физических наук. — 1986. — Т. 150, № 2. — Р. 221-255.

94. Goncharuk, A. I. Aggregation, percolation and phase transitions in ne-matic liquid crystal EBB A doped with carbon nanotubes / A. I. Gon-

charuk, N. I. Lebovka, L. N. Lisetski, S. S. Minenko // JOURNAL OF PHYSICS D: APPLIED PHYSICS. — 2009. — Vol. 42. — P. 165411(8).

95. Федер, E. Фракталы / E. Федер — M.: Мир, 1991. — 260 с.

96. Богданов, К. Ю. Закон Ома для углеродных нанотрубок / К. Ю. Богданов // Нанометр: Нанотехнологическое сообщество [Электронный э/сурнал]. — 2008.

А1. Бузмакова, М. М. Перколяция сфер в континууме / М. М. Бузмакова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 48-56.

А2. Бузмакова, М. М. Перколяция вытянутых эллипсоидов вращения в континууме / М. М. Бузмакова // Вестник СамГТУ. Серия физико-математические науки. — 2012. — Т. 29, № 4. — С. 146-153.

A3. Бузмакова, М. М. Моделирование континуальной перко-ляции сфер и эллипсоидов / М. М. Бузмакова // Естественные науки. — 2012. — Т. 41, № 4. — С. 123-133.

А4. С. 2012619369 Российская Федерация. Программный комплекс «Континуальная перколяция эллипсоидов»/ Бузмакова М. М. (Бузмакова М. М.). — № 2012617244; Заявл. 27.08.2012 // Реестр программ для ЭВМ. — 16.10.2012.

А5. Назарова, М. М. Моделирование процессов гелеобразования с использованием методов теории перколяции в континууме /

M. M. Назарова// Тезисы докладов научной школы Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования и «школьной секции». Сборник трудов конференции молодых ученых. Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. - С. 25.

А6. Назарова, M. М. Смешанная перколяция сфер / M. М. Назарова, Ю. Ю. Тарасевич // Семнадцатая меэ/еду народная конференция Математика. Компьютер. Образование, г. Дубна, 25-30 января 2010 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — С. 162.

А7. Бузмакова, M. М. Континуальная перколяция жестких сфер с проницаемыми оболочками/ M. М. Бузмакова // Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяциопные явления: материалы семинара. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет»,

2011. - С. 37-50.

А8. Бузмакова, M. М. Математическое моделирование континуальной перколяции эллипсоидов / M. М. Бузмакова // Материалы Меэ/сдународного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ -2012». г.Москва, 10-13 апреля 2012 г. Секция «Математика и механика». Подсекция « Вычислительная математика, математическое моделирование и численные методы», 2012. [http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/ structure_l 6 _1791. htm].

А9. Бузмакова, M. М. Компьютерное моделирование континуальной перколяции эллипсоидов / M. М. Бузмакова // Моделирование

2012. Сборник трудов конференции. Киев, 2012. — С. 125-128.

А10. Бузмакова, M. М. Математическое моделирование фазового перехода золь-гель с помощью теории перколяции / М. М. Бузмакова / / XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». VII международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Труды. Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, Ростов н/Д, 2012. - 108 с.

All. Бузмакова, М. М. Математическое моделирование полимерного нанокомпозита, содержащего фуллерсны / М. М. Бузмакова // XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов Математическое моделирование в естественных пау-ках^-г. Пермь, 2-5 октября 2013 г. Материалы коференции. Пермь: Издательство ПНИПУ, 2013. - С. 30-31.

А12. Бузмакова, М. М. Моделирование полимерного нанокомпозита, содержащего углеродные нанотрубки, с помощью методов теории перколяции / М. М. Бузмакова // Современные проблемы математики и её прикладные аспекты — 2013: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 29-31 октября 2013 г.) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т, Пермь, 2013. — С. 94.

Приложение А Программный комплекс «Континуальная перколяция эллипсоидов»

Программный комплекс «Континуальная перколяция эллипсоидов »предназначен для изучения перколяции жестких сфер с проницаемыми оболочками и жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками в континууме. Данный программный комплекс может быть использован в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей. Программа обеспечивает выполнение следующих функций: расчет порога перколяции и основных характеристик модели для континуальной перколяционной задачи жестких сфер с проницаемыми оболочками в случае, когда две сферы принадлежат одному кластеру при пересечении их проницаемых оболочек; расчет порога перколяции и основных характеристик модели для континуальной перколяционной задачи жестких сфер с проницаемыми оболочками в случае, вероятность возникновения связи между сферами пропорциональна объему перекрытий их проницаемых оболочек; расчет порога перколяции и основных характеристик модели для континуальной перколяционной задачи жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками для случая, когда два эллипсоида

принадлежат одному кластеру, если их проницаемые оболочки пересекаются.

Входными данными программы являются: L — линейный размер куба, г — радиус вращения эллипсоида, к — аспектное отношение эллипсоида, h — отношение толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения эллипсоида, pmin — минимальное значение доли заполнения куба эллипсоидами, ртах — максимальное значение доли заполнения куба эллипсоидами, step — шаг изменения доли заполнения, кг — количество испытаний.

Если к = 1, то имеет место псрколяция сфер, и программа предлагает выбрать одну из двух моделей; если к > 1, то имеет место перколяция эллипсоидов.

Выходными данными программы являются текстовые файлы, в которых представлены следующие результаты моделирования: вероятность возникновения перколяционного кластера для заданного диапазона значений доли заполнения системы элементами; значения среднего размера кластера, мощности перколяционного кластера, среднего значения соседей элемента, ошибки эксперимента для заданного диапазона значений доли заполнения системы элементами; распределение кластеров по размерам; распределение соседей элементов; количество элементов, принадлежащих перколяционному кластеру (от / до L); в случае второй модели перколяции сфер: вероятность связи между сферами для заданного диапазона значений доли заполнения системы элементами.

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2012619369

Правообладатель(ли): БуЗ-

шш щщ! £

Лвтор(ы): Бузмакова Мария Михайловна (Ш1)

ей Мария

Заявка >й 20126172*44

Дата поступления 27 августа 2012 г.

Зйрегигф!фоааио в Реодре программ для ЭВМ

16 октября 2012 г.

■ п , .

> Руководитель Федеральной сщмсбы

• ''-'по иШеаШтуаяшЬй собеШеююти

¿Л * ' $

„„,,,/У К Л Симонов

ШСОТЙОШК ФВДЗЕРМРШ