Комптоновское рассеяние фотона атомом и атомным ионом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Арепьева, Ольга Александровна

• Арепьева, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Арепьева, Ольга Александровна

1.1.1. Импульсное приближение........................................................15

1.1.2. Приближение некогерентной функции рассеяния...........................18

1.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТОВ

СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА..............................20

1.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ..............................25

ГЛАВА 2

КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНА АТОМОМ.........................27

2.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА..................................................................28

2.2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ДВАЖДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА..................................................................31

2.2.1. Атом 1л\\ комптоновское рассеяние фотона атомом с с! симметрией

в остове...............................................................................31

Атом 302п:

результаты расчета...................................................34

2.2.2. Атомы Т1 и Бе: комптоновское рассеяние фотона атомом с

открытой оболочкой..............................................................42

Атомы 22Т\ и 26Ре: результаты расчета.........................................48

18

2.2.3. Атом Аг: межоболочечные корреляции при комптоновском

рассеянии фотона атомом.........................................................58

18

Атом Аг: результаты расчета...................................................63

2.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГЛАВЫ 2.........................................73

ГЛАВА 3

КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНА АТОМНЫМ

ИОНОМ......................................................................................75

3.1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА.................................75

3.2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ОДНОКРАТНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА..................................................................79

3.2.1. Изоэлектронная последовательность атома Ве (4Ве, 04+, Мё8+)..........79

3.2.2. Изоэлектронная последовательность атома № (,аЫе, 814+, Аг8+)........86

3.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГЛАВЫ 3.........................................93

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................95

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................98

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комптоновское рассеяние фотона атомом и атомным ионом»

ВВЕДЕНИЕ И ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процесса комптоновского рассеяния фотона электронами атома и атомного иона, когда энергия падающего фотона превышает энергии порогов ионизации оболочек атомов.

Для достижения поставленной цели развиты соответствующая многочастичная нерелятивистская квантовая теория и методы расчета спектров комптоновского рассеяния фотона свободным многоэлектронным атомом и атомным ионом.

Актуальность темы. Исследование процесса комптоновского рассеяния фотона такими многоэлектронными системами как атом с открытой оболочкой или многозарядный атомный ион широко востребованы современной фундаментальной и прикладной физикой. В частности, они важны в контексте проблем осуществления управляемого термоядерного синтеза, создания и применения рентгеновского лазера на свободных электронах, астрофизики и биологии.

До настоящего времени в мировой научно-исследовательской практике при квантовомеханических расчетах спектров комптоновского рассеяния традиционно использовали приближение некогерентной функции рассеяния и импульсное приближение [1], а также их обобщения [2,3]. Эти приближения определены при условии, в частности, г\ = да0 / 2 » 1 (здесь д -модуль вектора переданного атому (иону) импульса, а0 - радиус Бора и 2 -заряд ядра). Столь сильное ограничение приводит к формальной неприменимости этих приближений в широких и интенсивно исследуемых современной физикой областях энергий и углов рассеяния фотона. Так, например, для атома Ъа при исследуемой в диссертации энергии падающего фотона 14.93 кэВ указанные приближения становятся существенно некорректными. Более того, в указанных приближениях волновая функция возбужденного электрона сплошного спектра рассматривается в виде плоской

волны [4]. Тем самым как в импульсном приближении, так и в приближении некогерентной функции рассеяния игнорируются не только факт бесконечной /-мультипольности (/ от 0 до оо) физически различных одночастичных в/ состояний рассеяния, но и не учитывается фаза рассеяния. Последнее обстоятельство означает игнорирование одного из важнейших многочастичных эффектов, существенно определяющих теоретические абсолютные значения и форму спектров комптоновского рассеяния, -эффекта радиальной ¿^локализации состояний сплошного спектра в поле остовных вакансий [5].

Таким образом, представляется актуальной разработка вне рамок приближения некогерентной функции рассеяния и импульсного приближения квантовомеханических методов расчета спектральных характеристик процесса комптоновского рассеяния фотона многоэлектронным атомом как с заполненными, так и с открытой оболочкой в основном состоянии и атомным ионом.

Исследование данной проблемы составило основную цель диссертации и потребовало решения следующих основных задач:

• разработки нерелятивистского варианта многочастичной квантовой теории процесса комптоновского рассеяния фотона свободным многоэлектронным атомом с открытой я, р или оболочкой остова вне рамок импульсного приближения и приближения некогерентной функции рассеяния;

• выявления роли эффектов радиальной релаксации и межоболочечных корреляций при комптоновском рассеянии фотона атомом;

• установления динамики сечений комптоновского рассеяния фотона атомом в последовательности элементов Таблицы Менделеева с заполняющейся Зс/-оболочкой остова;

• теоретического описания угловой и энергетической зависимости однократно дифференциальных сечений комптоновского рассеяния фотона при переходе от атома к его бериллиеподобным и неоноподобным изоэлектронным последовательностям.

Выбор объектов исследования. В качестве объектов теоретического исследования выбраны атомы с '5о термом основного состояния (Ве, N6, Аг и Ъп), атомы с открытой в основном состоянии Зс/—оболочкой (Тл, Бе), ряд бериллиеподобных (04+, и неоноподобных (814+, Аг8+) атомных ионов.

Выбор атомов инертных газов, обладающих сферической симметрией основного состояния, обусловлен, прежде всего, тем, что их исследование позволяет выделить роль многочастичных эффектов в исследуемых процессах без учета влияния, например, твердотельных эффектов. Выбор атома цинка обусловлен тем обстоятельством, что Ъп - простейший элемент таблицы Менделеева с заполненной 3¿/-оболочкой и б'о термом основного состояния.

Атомы с открытой оболочкой Тл и Бе взяты с целью демонстрации динамики сечений в последовательности элементов с заполняющейся Ъй— оболочкой при нарушении сферической симметрии многоэлектронной системы. Изменение электростатического потенциала при переходе от атома к его многозарядному иону позволяет получить дополнительную информацию о влиянии многочастичных эффектов на исследуемые дифференциальные сечения.

Научная новизна. Все результаты и выводы, которые легли в основу положений, выносимых на защиту, обладают научной новизной. В частности, впервые'.

• вне рамок импульсного приближения и приближения некогерентной функции рассеяния установлена аналитическая структура

дважды дифференциального сечения контактного комптоновского рассеяния фотона атомом с открытой оболочкой в основном состоянии;

• установлена роль эффектов радиальной релаксации и межоболочечных корреляций в определении абсолютных значений и формы дважды дифференциального сечения комптоновского рассеяния фотона атомом;

• даны теоретическое описание и физическая интерпретация эволюции спектров комптоновского рассеяния фотона при переходе от атома к его изоэлектронной последовательности.

Научная и практическая ценность. Развитые в диссертации нерелятивистская теория и методы расчета могут быть обобщены, в частности, на случай твердых тел, что определяет их ценность для дальнейшего развития квантовой теории процесса нерезонансного неупругого рассеяния фотона веществом в конденсированном состоянии.

Теория диссертации и результаты расчета абсолютных значений и форм сечений нерезонансного неупругого рассеяния фотона для атома с открытой оболочкой и многозарядного атомного иона найдет свои приложения при интерпретации результатов будущих экспериментов, например, с рентгеновским лазером на свободных электронах (энергия падающего на атом фотона от 0.20 до 12 кэВ) [6], в области исследований управляемого термоядерного синтеза [7], астрофизике [8], а также при изучении биологически важных элементов [9].

НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Комптоновское рассеяние фотона атомом сопровождается рождением физически различных состояний сплошного спектра бесконечного набора I-симметрий. Совокупность лидирующих симметрий (/е [0;/тах < оо)) определяется исследуемыми областями энергий фотонов и углов.

2. В представлении смешивания конфигураций развит математический формализм, позволяющий учитывать межоболочечные корреляции при комптоновском рассеянии фотона атомом. На примере атома Аг получено, что при энергиях падающего фотона 5 и 10 кэВ и для углов рассеяния от 60° до 120° эффект межоболочечных корреляций изменяет полное дважды дифференциальное сечение комптоновского рассеяния одноконфигурационного приближения Хартри-Фока на ~ 1 - 3 %.

3. С увеличением заряда ядра иона Ве- и Ке-подобной изоэлектронной последовательности при фиксированных значениях энергии падающего фотона и угла рассеяния дифференциальное сечение комптоновского рассеяния уменьшается. При этом уменьшение интенсивности комптоновской компоненты сопровождается увеличением интенсивности томсоновской и рэлеевской компонент суммарного сечения рассеяния.

4. Учет эффекта радиальной релаксации электронных оболочек в поле остовных вакансий приводит к уменьшению абсолютных значений дифференциального сечения комптоновского рассеяния фотона атомом, рассчитанных на одноэлектронном базисе конфигурации основного состояния. Вместе с тем, переход от атома № к его изоэлектронной последовательности приводит к уменьшению влияния эффекта радиальной релаксации на вероятность комптоновского рассеяния. Этот результат обусловлен, прежде всего, эффектом стабилизации глубокой вакансии остова при увеличении заряда ядра иона.

Личный вклад автора в диссертационную работу. Лично автором разработана основная часть методик учета многочастичных эффектов, выполнено большинство конкретных расчетов спектров комптоновского рассеяния и получены основные результаты исследований, представленные в диссертации.

Постановка задач исследований, анализ и обсуждение полученных в диссертации результатов, формулировка основных выводов и положений, выносимых на защиту, выполнены под руководством Надолинского A.M. и при научных консультациях Хоперского А.Н.

Апробация работы. В реферируемых изданиях опубликовано 9 статей общим объемом 6.16 печатных листов. Основные результаты диссертации доложены и опубликованы в материалах следующих конференций:

1. Всероссийская научно-практическая конференции «Транспорт-2010» (Ростов-на-Дону, Россия, 2010).

2. Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по физике (Владивосток, Россия, 2010).

3. Всероссийская научно-практическая конференции «Транспорт-2011» (Ростов-на-Дону, Россия, 2011).

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 3-х глав, Заключения, изложена на 105 страницах машинописного текста, включая 14 рисунков, 7 таблиц и библиографию из 85 наименований.

Во Введении дана общая характеристика диссертации. Сформулированы основная цель и задачи исследования, а также основные научные результаты и положения, выносимые на защиту, указана научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

В ПЕРВОЙ главе диссертации сделан краткий обзор работ, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию процесса комптоновского рассеяния фотона многоэлектронной системой. Цель обзора - охарактеризовать существующее на сегодняшний день состояние исследований и продемонстрировать актуальность решаемых в диссертации задач. Основное внимание уделено теоретическим моделям описания процесса в области энергий, исследованных в экспериментах Синха и др. [39]

и Кумара и др. [40], когда йсо » Йсо 1 (ЙШ/ - энергия порога ионизации I-оболочки многоэлектронной системы). Проведенный анализ результатов исследований приводит к основному выводу: для снятия некорректных физических допущений при теоретическом описании экспериментальных спектров необходима разработка вне рамок широко используемых в литературе импульсного приближения и приближения некогерентной функции рассеяния нерелятивистской многочастичной квантовой теории и методов расчета спектральных характеристик процесса комптоновского рассеяния фотона атомом и атомным ионом.

Во ВТОРОЙ главе диссертации проводится построение нерелятивистской квантовой теории и методов расчета спектров контактного комптоновского рассеяния фотона свободным многоэлектронным атомом с ^о термом основного состояния и атомом с открытой б, р или с1 оболочкой в основном состоянии на примере атомов Zn, Тл, Бе и Аг. Рассмотрено влияние эффектов радиальной релаксации электронных оболочек в поле остовных вакансий, стабилизации («замораживания») глубокой вакансии остова, межоболочечных корреляций на вероятность рассеяния. Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с результатами известных на сегодняшний день экспериментов по исследованию процесса комптоновского рассеяния фотона атомом.

В ТРЕТЬЕЙ главе диссертации теория и методы расчета Главы 2 распространены на случай рассеяния фотона многозарядным положительным атомным ионом. Теоретические исследования комптоновского рассеяния фотона атомным ионом изоэлектронной последовательности в литературе отсутствуют и впервые проведены в представленной диссертации. На примере атомов Ве, а также бериллиеподобных (04+, и

неоноподобных (814+, Аг8+) атомных ионов исследована угловая и

энергетическая зависимость полных однократно дифференциальных сечений комптоновского рассеяния.

В Заключении дана сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертации.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, включая 9 журнальных статей в российских и зарубежных рецензируемых журналах [34,52,70,76-84].

ГЛАВА 1

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА КОМПТОНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ ФОТОНА МНОГОЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМОЙ

Теоретические и экспериментальные исследования комптоновского рассеяния фотона атомом позволяют получать фундаментальную информацию как о структуре рассеивающего объекта, его спектральных характеристиках, так и о природе и роли многочастичных эффектов и их квантовой интерференции. Такие исследования широко востребованы современной фундаментальной и прикладной физикой, в частности, в контексте проблем создания рентгеновского лазера, осуществления управляемого термоядерного синтеза, получения спектральных данных для астрофизики, а также решения широкого класса задач физики плазмы, ионизирующих излучений, поверхности и других.

В данной главе диссертации проведем обзор работ, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию процесса комптоновского рассеяния фотона многоэлектронной системой (атомом и атомным ионом). Цель обзора - охарактеризовать современное состояние исследований и продемонстрировать актуальность решаемых в диссертации задач. Основное внимание уделено теоретическим моделям описания процесса в области энергий, исследованных в экспериментах Синха и др. [39] и Кумара и др. [40], когда йсо»Йсоу (/гсо/ - энергия порога ионизации глубокой /-оболочки многоэлектронной системы).

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

При энергии падающего фотона, намного превышающей энергии порогов ионизации глубоких 1б, 2р-оболочек атомов, наряду с возможным возвращением атома в свое основное состояние (упругое томсоновское и рэлеевское рассеяние [10]), конечным состоянием рассеяния оказывается

состояние «атомный остаток Ф электрон (один или несколько)» в сплошном спектре.

Амплитуда вероятности такого комптоновского рассеяния в нерелятивистском приближении (для волновых функций состояний рассеяния и оператора перехода) традиционно рассматривается в импульсном приближении или его модификациях [1,4,16] как матричный элемент оператора контактного перехода в гамильтониане взаимодействия электромагнитного поля с электронами атома [11]:

где с - скорость света в вакууме, е - заряд электрона, те - масса электрона, N

- число электронов в атоме, А; = А(г} ,0) - оператор (в представлении вторичного квантования) электромагнитного поля в момент времени ? — 0, г;

- радиус-вектор 1-го электрона атома.

Схему процесса контактного неупругого рассеяния фотона атомом можно представить следующим образом:

Здесь h - постоянная Планка, Йсо, (/?со2) - энергия падающего (рассеянного) фотона, СО] (со2) - соответствующие круговые частоты, [0] - электронная конфигурация основного состояния атома, и Т2 - терм основного и возбужденного состояния атома соответственно, щ - главное квантовое число и li - орбитальное квантовое число рассеивающей фотон оболочки, N\ - число заполнения п\1\-оболочки атома.

Процесс рассеяния принято характеризовать дважды дифференциальным сечением. Дважды дифференциальное сечение процесса рассеяния фотона атомом имеет вид [1,12]:

(1.1)

+[0,Г1]->и1/1Л/' 1б1(Т2) + Ь(О2, 1 = 0,1,...,со,

(1.2)

(1.3)

- — Л Q -

d(h(D2)dQ l^coj

где О - телесный угол (угол вылета рассеянного фотона), г0 = 2,818-10"13 см

классический радиус электрона, Q - амплитуда вероятности процесса.

В формуле (1.3) подразумевается суммирование (интегрирование) по всем промежуточным и конечным состояниям рассеяния и их термам, а также спектральным функциям аппаратуры, регистрирующей рассеянный фотон.

Аналитическая структура сечения (1.3) определяется нерелятивистским оператором взаимодействия (в кулоновской калибровке для поля) электромагнитного поля с атомом (в атомног^ системе единиц: е-те =Н = \, е - заряд электрона и те — его масса):

где N - число электронов в атоме, рг - оператор импульса /-электрона атома.

Первая сумма в F -операторе (1.4) определяет аналитическую структуру амплитуды вероятности контактного (Томсоновского) рассеяния фотона атомом. При coj = С02 (упругое рассеяние) эта сумма определяет формфактор атома, тогда как при со2 < coi она определяет амплитуду вероятности неупругого контактного (Ландсберг-Манделынтам-Раман-Комптоновского) рассеяния.

Вторая сумма в F -операторе определяет аналитическую структуру аномально-дисперсионных слагаемых амплитуды вероятности резонансного рассеяния фотона атомом: при coi ~ (й2 - упругое Рэлеевское рассеяние; при cd2 < coi - неупругое Ландсберг-Мандельштам-Раман-Комптоновское рассеяние. В диссертации рассматривается, в основном, контактная часть (первая сумма) оператора (1.4).

(1.4)

А,=А(г„0),

До настоящего времени в мировой научно-исследовательской практике при квантовомеханических расчетах спектров контактного комптоновского рассеяния традиционно использовали приближение некогерентной функции рассеяния и импульсное приближение, а также их модификации. Рассмотрим их более подробно.

1.1.1. Импульсное приближение. Контактная часть амплитуды вероятности процесса неупругого рассеяния фотона атомом во втором порядке квантовомеханической теории возмущений в нерелятивистском приближении имеет вид:

N

С(0 ,СО],со2) = {о|^Гехр(/к • Гу)|т), (1-5)

Ю1 1 , Г32 о ®2

к= к = к,-к2 =^-д/14-(32-грсоБб, р

С С0|

В формуле (1.5) определены следующие величины: |0)-волновая функция основного состояния атома (начальное состояние рассеяния),|т)-волновая функция конечного состояния атома (конечное

состояние рассеяния), N - число электронов в атоме, к - вектор рассеяния (вектор переданного атому импульса), г,- - радиус-вектор у'-го электрона атома, к] и к2 - волновые векторы падающего и рассеянного фотонов, 9 - угол рассеяния (угол между векторами к] и к2), с - скорость света в вакууме.

В случае неупругого рассеяния фотона атомом закон сохранения энергии принимает вид:

©! +£0 =Ет +со2, (1.5)

где Ет — энергия \т) -конечного состояния атома (системы «атомный остаток

+ фотоэлектрон»).

Дважды дифференциальное сечение процесса комптоновского рассеяния принимает вид:

¿/2ст

= Гп

( \ со-,

Vе0! У

(ех • е2)2|С(9,о)1,со2)| .

(1.6)

Конкретизировав выражение (1.6) для конечного состояния рассеяния сплошного спектра, получим:

¿/2а сИ1с1а) ■

= гп

х 8

/ л со-,

Vю! У

(е, -е2)20 [|(0|ехр(/к • г)\т(\:

т «

X

Е0 - Ет + с»! - со2 -

2 ч\ Ч 2

(1.7)

где проведено суммирование по всем каналам конечных состояний рассеяния, <12 ~~ волновой вектор свободного электрона, соответствующий фиксированному га-каналу конечного состояния рассеяния.

В рамках импульсного приближения делаются следующие базовые допущения:

1) в 5-функции Дирака, фиксирующей закон сохранения энергии при рассеянии, пренебрегается величиной /„/-(ей] - Юг)"1, /„/ - порог ионизации «/-оболочки остова (величины /„/ исключаются из рассмотрения);

2) электроны атома рассеивают фотон независимо друг от друга (игнорируются эффекты конфигурационного смешивания, прежде всего, в конечных состояниях рассеяния);

3) волновая функция комптоновского электрона (электрона сплошного спектра) принимается в виде плоской волны

Ч^20) = (2л) Зехр(/я2 - г);

(1.8)

(таким образом, не фиксируется /-симметрия волновой функции электрона и его фаза, следовательно, игнорируются эффекты радиальной релаксации (делокализации) при появлении «/-вакансии в атомном остове).

Одноэлектронный матричный элемент оператора контактного перехода ехр(7к • г) относительно функции (1.8) равен:

2

<Ч2 |ехр(/к • г)|а) = (27Г) 3|м/Дг)ехр(/(к-я2)т)^г, (1.9)

где, согласно закону сохранения импульса, к - равно импульсу электрона в начальном состоянии q1 и правая часть (1.9) является волновой функцией связанного (остовного, а < /, / - уровень Ферми) электрона в импульсном представлении:

иа.

,(Ч) = (2Т1) 3|уд(г)ехр(-/Ч-г)й?г.

При осуществлении перехода к интегрированию в выражении (1.9) по содержащаяся в (1.9) 5-функция ограничивает интегрирование в импульсном пространстве по плоскостью, перпендикулярной переданному импульсу. Тогда, учитывая малость ql по сравнению с к , получаем:

¿/2а (К1с1с02

Г0

со-

Vю! У

(е1 -е2>2>|2^(со1 -со2 -41 (1-Ю)

Данное выражение для дважды дифференциального сечения комптоновского рассеяния линейно поляризованного (перпендикулярно плоскости рассеяния) фотона атомом в импульсном приближении (нерелятивистская форма) в атомной системе единиц традиционно записывают в виде:

2_ Г..

(1-11)

к

¿/2а 2

= Г0 (е1 • е2)

со2

2 Vю! У

где О - пространственный угол вылета рассеянного фотона, е\ (е2) - вектор поляризации падающего (рассеянного) фотона, «/(ц.) - функция распределения волновых векторов электронов в атоме (комптоновский профиль), представляющая собой сумму функций распределения отдельных электронов, - проекция волнового вектора остовного атомного электрона на направление переданного импульса фотона, определяемая соотношением:

1

1

ц = 7(со, -со2)--к, к 1

В случае атома с заполненными оболочками комптоновский профиль принимает вид:

где / - уровень Ферми (совокупность квантовых чисел валентной оболочки атома), Nп1 - число заполнения «/-оболочки остова, Jnl{\i) - функция распределения волновых векторов электронов оболочки атома, Рп1{г) -радиальная часть волновой функции электрона в «/-оболочке атома, у'Ддт) -сферическая функция Бесселя первого рода порядка /.

В рамках импульсного приближения и его многочисленных модификаций не учитываются:

1) многочастичные эффекты при описании процесса контактного неупругого рассеяния фотона атомом;

2) состояния перехода электрона атомного остова в дискретный спектр;

3) тот факт, что волновая функция возбужденного электрона должна описываться не плоской волной, а волновой функцией, полученной, например, методом самосогласованного поля Хартри-Фока.

1.1.2. Приближение некогерентной функции рассеяния. Приближение некогерентной функции рассеяния применяется только к однократно дифференциальным сечениям. Однократно дифференциальное сечение комптоновского рассеяния фотона атомом в приближении некогерентной функции рассеяния (нерелятивистская форма) имеет вид [24,25]:

(1.12)

(1.13)

d<j dQ

J KNT

co-

vcoiy

СО, C02 . 2A

—+ —- sin 9

vco2

CO,

Выражение (1.14) носит название формулы Клейна-Нишины-Тамма {КЫТ) (24,25). Здесь 0 - угол рассеяния.

Сама функция некогерентного рассеяния определяется следующим образом:

2

S(x,Z) = Y, 1

X--sin

X

Е>0

i-l UJ

e|Xexp(/(k;. -ry))|0

(1.15)

В формуле (1.15) определены следующие величины: Z - заряд ядра

атома, 8 - энергия комптоновского электрона, 10) - конфигурация основного

состояния атома, X - длина волны падающего фотона.

В рамках приближения некогерентной функции рассеяния делаются следующие базовые допущения (24,25):

1) некогерентная функции рассеяния S(x,Z) рассчитывается при условии ©2 = Юь тогда как при комптоновском рассеянии со2 < ®ь

2) при построении функции S(x,Z) предполагается, что ¡е) -состояния

образуют полный ортонормированный набор, что некорректно в силу игнорирования состояний дискретного спектра для «/<,>/ (/ -уровень Ферми);

3) формула Клейна -Нишины Тамма (KNT) получена для рассеяния фотона свободным электроном, тогда как электроны атомного остова таковыми не являются.

1.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТОВ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА

Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования процесса контактного неупругого рассеяния фотона атомом проведены для энергий падающего фотона, намного превышающих энергии порогов ионизации глубоких 1б, 2з, 2р-оболочек атомов.

Традиционно при исследовании процессов неупругого рассеяния учет контактной части оператора рассеяния осуществлялся с помощью двух приближений: импульсного приближения и приближения некогерентной функции рассеяния. Из огромного массива опубликованных работ взяты основные теоретические работы, выполненные в нерелятивистском

приближении (нерелятивистский гамильтониан взаимодействия ~ (А • А) и волновые функции электронов НЕ спиноры Дирака, а, прежде всего, решения нерелятивистских уравнений Хартри-Фока). Причина в том, что сама задача диссертации - построение нерелятивистской теории комптоновского рассеяния вне рамок импульсного приближения и приближения некогерентной функции рассеяния.

Ниже представим обзор данного процесса в рамках импульсного приближения [4,16] и его модификаций [2,3,18,20].

В работе Эйзенбергера и Платцмана (1970) [4] выводится метод, используемый ранее для анализа комптоновского рассеяния - импульсное приближение (ИП), и его точность сравнивается с точными расчетами комптоновского рассеяния водородоподобными системами. Показано, что ИП дает достаточно точные результаты для слабо связанных электронов и более точный расчет может быть необходим только для того, чтобы исключить вклады в комптоновское рассеяние от глубоко связанных с ядром электронов. В качестве проверки изложенных идей представлены экспериментальные результаты для комптоновского рассеяния атомом гелия. Анализ результатов эксперимента в ИП показывает, что импульсное

распределение для слабо связанных электронов гелия находится в хорошем согласии с импульсным распределением, полученным Клементи [85] для волновых функций Хартри-Фока.

В работе Биггса и др. (1975) [16] приведены орбитальные и полные атомные комптоновские профили для всех элементов Таблицы Менделеева. При численных расчетах были использованы нерелятивистские волновые функции Хартри-Фока для атомов с 1 < Z < 36 и релятивистские волновые функции Дирака-Хартри-Фока для атомов с 36 < Z < 102.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Арепьева, Ольга Александровна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kane, P.P. Inelastic scattering of X-rays and gamma rays by inner shell electrons /P.P. Kane //Phys. Reports. - 1992. - V. 218. -P. 67-139.

2. Suric, T. Compton scattering beyond impulse approximation: Correlation, nonlocal-exchange and dynamic effects / T. Suric // Radiat. Phys. Chem. -2006. - V. 75. - P. 1646-1650.

3. Pratt, R.H. Compton scattering revisited / R.H. Pratt, L.A. LaJohn, V. Florescu, T. Suric, B.K. Chatterjee, S.C. Roy // Radiat. Phys. Chem. - 2010. -V. 79.-P. 124-131.

4. Eisenberger, P. Compton scattering of X-rays from bound electrons / P. Eisenberger, P.M. Platzmann // Phys. Rev. A - 1970. - V. 2. - P. 415-423.

5. Amusia, M.Ya. Many-electron correlations in scattering processes / M.Ya. Amusia, N.A. Cherepkov // Case Stud. Atom. Phys. - 1975. - V. 5. - P. 47179.

6. Emma, P. First lasing and operation of an angstrom-wavelength free-electron laser / P. Emma, R. Akre, J. Arthur, et al. // Nature Photonics - 2010. - V. 4. -P. 641-647.

7. Glenzer, S.H. X-ray Thomson scattering in high energy density plasmas / S.H. Glenzer, R. Redmer // Rev. Mod. Phys. - 2009. - V. 81. - P. 1625-1663.

8. Remington, B.A. Experimental astrophysics with high power lasers and Z pinches / B.A. Remington, R.P. Drake, D.D. Ryutov // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78.-P. 775-807.

9. Hugtenburg, R. P. Anomalous Rayleigh scattering with dillute concentrations of elements of biological importance / R. P. Hugtenburg, D. A. Bradley // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. B. - 2004. - V. 213. - P. 552-555.

10. Roy, S.C. Elastic scattering of photons / S.C. Roy, L. Kissel, R.H. Pratt // Radiat. Phys. Chem. - 1999. - V. 56. - P. 3-26.

11. Дирак, П.А.М. Принципы квантовой механики / П.A.M. Дирак - М. : Наука, 1979.-480 с.

12. Каразия, Р.И. Введение в теорию рентгеновских и электронных спектров свободных атомов/ Р.И. Каразия. - Вильнюс: Мокслас, 1987. -276 с.

13. Compton scattering. The investigation of electron momentum distribution. Ed. by Williams. New York: McGraw Hill, 1977 (366 pages).

14. Cooper, M.J. Compton scattering and electron momentum determination / M.J. Cooper. // Rep. Prog. Phys. - 1985. V.48. P. 415^182.

15. Florescu, V. K-shell Compton scattering at high photon energy / V. Florescu, R.H. Pratt. // Phys. Rev. A - 2009. - V.80. - 033421 (16 pages).

16. Biggs, F. Hartree-Fock Compton profiles for the elements / F. Biggs, L.B. Mendelsohn, J.B. Mann // At. Data Nucl. Data Tables. - 1975. - V.16. -P.201-309.

17. Holm, P. Relativistic Compton cross section for general central-field Hartree-Fock wave functions / P. Holm // Phys. Rev. A - 1988. - V.37. - P. 3706-3719.

18. Holm, P. First correction to the nonrelativistic Compton cross section in the impulse approximation / P. Holm, R. Ribberfors // Phys. Rev. A - 1989. -V.40.-P. 6251-6259.

19. Bergstrom, P.M. Compton scattering of photons from bound electrons: Full relativistic independent-particle-approximation calculations / P.M. Bergstrom, T. Suric, K. Pisk, R.H. Pratt // Phys. Rev. A - 1993. - V.48. - P. 1134-1162.

20. Jung, M. Manifestations of Nonlocal Exchange, Correlation, and Dynamic Effects in X-Ray Scattering / M. Jung, R.W. Dunford, D.S. Gemmell, E.P. Kanter, B. Krässig, T.W. LeBrun, S.H. Southworth, L. Young, J.P.J. Carney, L. La John, R.H. Pratt, P.M.(Jr) Bergstrom // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V.81. -P. 1596-1599.

21. Ribberfors, R. Relationship of the relativistic Compton cross section to the momentum distribution of bound electron states / R. Ribberfors // Phys. Rev. B. - 1975. - V.12. - P. 2067- 2074.

22. Suric, T. Compton scattering of photons by inner-shell electrons / T. Suric, P. M. Bergstrom, Jr., K. Pisk, R. H. Pratt // Phys. Rev. Lett. 1991. - V.67. - P. 189-192.

23. Heisenberg, W. Zur Quantentheorie der Multiplettstruktur und der anomalen Zeemaneffekte / W. Heisenberg // Z. Phys. A. - 1925. V.32. - P. 841-860.

24. Klein, O. Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac / O. Klein, Y. Nishina // Z. Phys. A. - 1928. V.52. - P. 853-868.

25. Tamm, I. Über die Wechselwirkung der freien Elektronen mit der Strahlung nach der Diracsehen Theorie des Elektrons und nach der Quantenelektrodynamik /1. Tamm // Z. Phys. A. - 1930. V.62. - P. 545-868.

26. Freeman, A.J. A study of the Compton scattering of X-rays, Ne, Cu+, Cu and Zn // A.J. Freeman // Acta Crystalogr. -1959. - V.12. - P. 274- 279.

27. Hubbell, J.H. Atomic form factors, incoherent scattering functions, and photon scattering cross sections / J.H. Hubbell, Wm.J. Veigele, E.A. Briggs et al. //J. Phys. Chem. Ref. Data. - 1975. - V.4. - P. 471-538.

28. Hubbell, J.H. Pair, Triplet, and Total Atomic Cross Sections (and Mass Attenuation Coefficients) for 1 MeV-100 GeV Photons in Elements Z^-l to 100 / J.H. Hubbell, H.A. Gimm, I. 0verb0. // J. Phys. Chem. Ref. Data. -1980. - V.9. - P. 1023-1148.

29. Kane, P.P. Elastic scattering of y-Rays and X-Rays by atoms / P.P. Kane, L. Kissel, R.H. Pratt, S.C. Roy // Phys. Rep. - 1986. - V. 140. - P. 75-159.

30. Namito , Y. Compton scattering of 20- to 40-lceV photons / Y. Namito, S. Ban, H. Hirayama et al. // Phys. Rev. A - 1995. - V.51. - P. 3036-3043.

31. Hubbell, J.H. Compilation of photon cross-sections: some historical remarks and current status / J.H. Hubbell. // X-Ray Spectrometry. - 1999. - V.28. - P. 215-223.

32. Latha, P. Differential scattering cross sections for elements with 13 < Z < 50 using 59.54 keV gamma rays / P. Latha, K.K. Abdullah, M.P. Unnikrishnan, K.M. Varier, B.R.S. Babu. // Phys. Scripta. - 2012. - V.85. - 035303.

33. Hopersky, A.N. Nonrelativistic quantum theory of the contact inelastic scattering of an x-ray photon by an atom / A.N. Hopersky, A.M. Nadolinsky. // Phys. Rev. A - 2008. - V.77. - 022712 (5 pages).

34. Хоперский, A.H. Нерезонансное комптоновское рассеяние рентгеновского фотона атомом с ¿/-симметрией в остове / А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский, К.Х. Икоева, O.A. Хорошавина // Оптика и спектр. - 2012. - Т. 112. - С. 47- 52.

35. Löwdin, Р.-О. Quantum theory of many-particle systems. I. Physical interpretations by means of density matrices, natural spin-orbitals, and convergence problems in the method of configurational interaction / P.-O. Löwdin // Phys. Rev. - 1955. - V. 97. - P. 1474-1489.

36. Jucys, A.P. The general theory of the extended method of calculation of atomic structures / A.P. Jucys, E.P. Naslenas, P.S. Zvirblis // Int. J. Quantum Chem. - 1972. - V. 6. - P. 465-472.

37. Kane, P.P. Elastic scattering of y-rays and X-rays by atoms / P.P. Kane, L. Kissel, R.H. Pratt, and S.C. Roy // Phys. Rep. - 1986. V. 140. - P. 75-159.

38. Hopersky, A.N. Scattering of Photons by Many-Electron Systems / A.N. Hopersky, V.A. Yavna. - Heidelberg: Springer. - 2010. - 144 p.

39. Singh P. P. Large angle elastic and inelastic scattering of 14.93 keV photons / Singh, D. Mehta, S. Kumar, M. Sharma, S. Puri, J.S. Shahi, N. Singh // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. В -2004. -V. 222. - P. 1-10.

40. Kumar, S. Differential cross-section measurements for inelastic scattering of 22.1 keV photons by elements with 4<Z<69 / S. Kumar, J.S. Shahi, S. Puri, D. Mehta, N. Singh // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. В - 2002. V. 194. - P. 99104.

41. Kiernan, L.M. Measurement of the XUV photoabsorption spectra of atomic zinc and its ions Znn^: n=l 2 and 3 in the region of Зр-subshell excitation / L.M. Kiernan, J.T. Costello, E.T. Kennedy, J.P. Mosnier, B.F. Sonntag // J. Phys. B. At. Mol. And Optical Phys. - 1997. - V. 30. - P. 4801-4812.

42. O'Reilly, F. 3d Photoabsorption in Zn III and Ge V / F. O'Reilly, P. Dunne // J. Phys. B. At. Mol. And Optical Phys. - 1998. -V. 31. - P. LI41.

43. Campbell, J.L. Widths of the atomic К-Ы7 levels / J.L. Campbell, T. Papp // At. Data Nucl. Data Tables.-2001,-V. 77.-P. 1-56.

44. Deslattes, R.D. X-Ray transition energies: new approach to a comprehensive evaluation / R.D. Deslattes, E.G. Kessler (Jr.), P. Indelicato, L. de Billy, E. Lindroth, J. Anton // Rev. Mod. Phys. - 2003. - V. 75. - P. 35- 99.

45. Compton, A.H. A quantum theory of the scattering of X-rays by light elements / A.H. Compton // Phys. Rev. - 1923. -V. 21. P. 483-502.

46. Inokuti, M. Inelastic collisions of fast charged particles with atoms and molecules-Bethe theory revisited / M. Inokuti // Rev. Mod. Phys. - 1971. V. -43. P. 297-347.

47. Amusia, M.Ya. Many-electron correlation effects in the generalized oscillator strengths of noble-gas atoms / M.Ya. Amusia, L.V. Chernysheva, Z. Felfli, A.Z. Msezane // Phys. Rev. A - 2001. V. 64. - P. 2711-2722.

48. Хоперский, A.H. Комптоновское рассеяние рентгеновского фотона атомом с открытой оболочкой / А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский // ЖЭТФ. - 2012. - Т. 142. - С. 453-462.

49. Хоперский, А.Н. Многочастичные эффекты при резонансном неупругом рассеянии рентгеновского фотона атомом / А.Н. Хоперский,

A.M. Надолинский, В.А. Явна // ЖЭТФ. - 2005. - Т.128. - С. 698-713.

50. Юцис, А.П. Математические основы теории атома / А.П. Юцис, А.Ю. Савукинас. - Вильнюс: Минтис, 1973. - 480 с.

51. Froese Fischer, Ch. Computational Atomic Structure - an MCHF Approach / Ch. Froese Fischer, T. Brage, P. Jönsson. - Berkshire: Institute of Physics, University of Reading, 1997. - 279 p.

52. Hopersky, A.N. X-ray photon Compton scattering by an atom with d symmetry in the core / A.N. Hopersky, A.M. Nadolinsky, K.Kh. Ikoeva, O.A. Khoroshavina // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 2011. - V.44. - P. 145202 (5 pages).

53. Hund, F. Zur Deutung verwickelter Spektren, insbesondere der Elemente Scandium bis Nickel / F. Hund // Z. Phys. A - 1925. - V. 33. - P. 345-371.

54. Biggs, F. Hartree-Fock Compton profiles for the elements / F. Biggs, L. Mendelsohn, J. B. Mann // At. Data Nucl. Data Tables - 1975. - V. 16. -P.201-309.

55. Jaiswal, P. Kinetically-balanced Gaussian Basis Set Approach to Relativistic Compton Profiles of Atoms / P. Jaiswal, A. Shukla // Phys. Rev. A - 2007. -V. 75.-P. 2504-2515.

56. Дэвис, Ф. Интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование. Справочник по специальным функциям. / Ф. Дэвис, И. Полонский, под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М. : Наука, 1979. - С. 673-720.

57. Gel'mukhanov, F. Resonant X-Ray Raman scattering / F. Gel'mukhanov, H. Ägren // Phys. Reports. - 1999. - V. 312. - P. 87-330.

58. Амусья, М.Я. Межобол очечное взаимодействие в атомах / М.Я. Амусья,

B.К. Иванов//УФН.- 1987.-Т. 152.-С. 185-230.

59. Amusia, M.Ya. Cross sections of discrete-level excitation of noble-gas atoms in Compton scattering / M.Ya. Amusia, L.V. Chernysheva, Z. Felfli, A.Z. Msezane // Phys. Rev. A - 2002. - V. -65. P. 2705-2711.

60. Amusia, M.Ya. Compton Scattering upon Heavy Atoms with Account of Many-Electron Correlations / M.Ya. Amusia, L.V. Chernysheva, Z. Felfli, A.Z. Msezane // Surf. Rev. Lett. - 2002. - V. 9. - P. 1155-1160.

61. Амусья, М.Я. Межоболочечные и межподоболочечные эффекты при фотоионизации атомов / М.Я. Амусья, В.К. Иванов, Н.А. Черепков, JI.B. Чернышева // ЖЭТФ - 1974. - Т. 66. С. 1537-1549.

62. Lynch, M.J. The photoionization of the 3 s subshell of argon in the threshold region by photoelectron spectroscopy / M.J. Lynch, J.L. Gardner, K. Codling, G.V. Marr // Phys. Lett. A - 1973. - V. 43. - P. 237-238.

63. Houlgate, R.G. Angular distribution and photoionization cross section measurements on the 3p and 3s subshells of argon / R.G. Houlgate, K. Codling, G.V. Marr, and J.B. West / J. Phys. В : At. Mol. Opt. Phys. - 1974. -V. 7.-P. L470.

64. Huotari, S. Assymetry of Compton profiles / S. Huotari, K. Hamalainen, S. Manninen, A. Issolah, M. Marangolo // J. Phys. Chem. Solids - 2001. - V. 62.-P. 2205-2213.

65. Wilhelmi, O. Improved resolution of the prominent Ar 35-electron threshold energy range photoionization resonances / O. Wilhelmi, G. Mentzel, B. Magel, K.-H. Schartner, A. Werner, S. Lauer, H. Schmoranzer, F. Vollweiler // Phys. Lett. A. - 1997. - V. 228. - P. 283-285.

66. Katori, H. Lifetime measurement of the l55 metastable state of argon and krypton with a magneto-optical trap / H. Katori, F. Shimizu // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 70. - P. 3545- 3548.

67. Hopersky, A.N. Many-electron effects in anomalous elastic scattering of X-Ray photons by Ar near the /sT-edge / A.N. Hopersky, V.A. Yavna, V.A. Popov // J. Phys. В : At. Mol. Opt. Phys. - 1996. - V. 29. - P. 461-469.

68. Xie, B.P. Inelastic x-ray scattering study of the state-resolved differential cross section of Compton excitations in helium atoms / B.P. Xie, L.F. Zhu, K. Yang, B. Zhou, N. Hiraoka, Y.Q. Cai, Y. Yao, C.Q. Wu, E.L. Wang, D.L. Feng // Phys. Rev. A - 2010. - V. 82. - P. 2501-2504.

69. Zhu, L.F. Inelastic x-ray scattering study on the single excitations of helium / L.F. Zhu, L.S. Wang, B.P. Xie, K. Yang, N. Hiraoka, Y.Q. Cao, D.L. Feng // J. Phys. В - 2011. - V. 44. - P. 025203 (7 pp.).

70. Хоперский, A.II. Межоболочечные корреляции при нерезонансном комптоновском рассеянии рентгеновского фотона атомом / А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский, К.Х. Икоева, О.А. Хорошавина // ЖЭТФ.-2011.-Т. 140.-С. 844-851.

71. Huotari, S. Energy dependence of experimental Be Compton profiles / S. Huotari, K. Hamalainen, S. Manninen, S. Kaprzyk, A. Bansil, W. Caliebe, T. Buslaps, V. Honkimaki, and P. Suortti // Phys. Rev. В - 2000. - V. 62. - P. 7956-7963.

72. Landsberg, G.S. Uber die Lihtzerstreuung in Kristallen / G.S. Landsberg, L.I. Mandelstam / Zs. fur. Physik. - 1928. - V. 50. - P. 769-778.

73. Raman, C.V. A new radiation / C.V. Raman // Indian J. Phys. - 1928. - V. 2. -P. 387-391.

74. West, J.B. Photoionization of atomic ions / J.B. West // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. -2001. - V. 34.-P. R45.

75. Hopersky, A.N. Anomalous elastic scattering of x-ray photon by a neon-like ion / A.N. Hopersky, A.M. Nadolinsky, D.V. Dzuba, V.A. Yavna // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 2005. - V.38. - P. 1507-1518.

76. Хоперский, A.H. Комптоновское рассеяние фотона атомным ионом / А.Н. Хоперский, А.С. Каспржицкий, A.M. Надолинский, О.А. Хорошавина // Оптика и спектр. - 2010. - Т. 109. - С. 1059-1063.

77. Хоперский, A.II. Многочастичные эффекты при комптоновском рассеянии фотона атомным ионом / А.Н. Хоперский, А.С. Каспржицкий, A.M. Надолинский, О.А. Хорошавина // Труды Всерос. научно-практ. конференции «Транспорт-2010». Ростов-на-Дону, Россия, Апрель 2010. -С. 355-357.

78. Хорошавина, О.А. Комптоновское рассеяние фотона атомом и атомным ионом / О.А. Хорошавина // Материалы Всерос. конф. студентов, аспирантов и мол. ученых по физике. Владивосток, Россия, 12-14 мая 2010.-С. 144-145.

79. Hopersky, A.N. X-ray photon Compton scattering by an atomic ion / A.N. Hopersky, A.S. Kasprzhitsky, A.M. Nadolinsky, O.A. Khoroshavina, V.A. Yavna // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 2011. - V. 44. - P. 045602 (6 pages).

80. Хоперский, А.Н. О полноте набора одночастичных состояний многоэлектронного атома / А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский, К.Х. Икоева, О.А. Хорошавина // Оптика и спектр. - 2011. - Т. 111. - С. 785787.

81. Икоева, К.Х. О полноте набора одночастичных состояний многоэлектронного атома в расширенном пространстве Рильберта / К.Х.

Икоева, О.А. Хорошавина, А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский // Вестник РГУПС, Физ.-мат. науки. 2011. - № 2. - С. 160-164.

82. Каспржицкий, А.С. Резонансное неупругое контактное рассеяние

О!

рентгеновского фотона атомом Аг и его ионами Са и Fe / А.С. Каспржицкий, О.А. Хорошавина // Труды Всерос. научно-практ. конференции «Транспорт-2011». Ростов-на-Дону, Россия, Май 2011. - С. 369-371.

83. Хорошавина, О.А. Эффект межоболочечных корреляций при нерезонансном комптоновском рассеянии фотона свободным атомом / О.А. Хорошавина К.Х. Икоева, A.M. Надолинский, А.Н. Хоперский // Вестник РГУПС, Физ.-мат. науки. 2011. № 3. - С. 167-174.

84. Хоперский, А.Н. Нерезонансное комптоновское рассеяние рентгеновского фотона Ni-подобным атомным ионом / А.Н. Хоперский, A.M. Надолинский, К.Х. Икоева, О.А. Хорошавина, А.С. Каспржицкий // Оптика и спектр. - 2012. - Т. 112. - С. 3-9.

85. Clementi, Е. Hartree-Fock Compton profiles for the elements. / E. Clementi, C. Roetti // Special Issue in Atomic Data and Nuclear Data Table, Academic Press, New York, 1974.

Автор благодарен Алексею Михайловичу Надолинскому за внимательное руководство и неоценимую помощь, оказанную при выполнении работы.

Автор признателен Виктору Анатольевичу Явна и Алексею Николаевичу Хоперскому за критические замечания, ценные консультации и полезные советы, сделанные в процессе выполнения работы.

Также считаю необходимым упомянуть со словами благодарности Антона Сергеевича Каспржицкого за помощь в проведении расчетов и консультации по теоретическим и расчетным вопросам.